Prblemas de Las Olmpadas Internanales De Físa Jsé Lus Hernández Pérez Agustín Lzan Pradll Madrd 8 Jsé Lus Hernández Pérez, Agustín Lzan Pradll, Madrd 8
XXVI OLIMPIADA INTENACIONAL DE FÍSICA. AUSTALIA. 995.-DESPLAZAMIENTO GAVITACIONAL AL OJO Y MEDIDA DE MASAS ESTELAES. a) Un tón de reuena psee una masa neral eeta m determnada pr su energía. Supner que psee una masa gratanal gual a su masa neral. De auerd n est, un tón emtd en la supere de una estrella perderá energía uand esapa del amp gratanal de la estrella. Mstrar que el desplazament de la reuena del tón uand esapa desde la supere de la estrella hasta el nnt está dad pr: Δ GM para <<. G= nstante gratanal; =rad de la estrella; = eldad de la luz M= masa de la estrella Así s se ne el desplazament haa el rj de una línea espetral medda muy lejs de la estrella se puede utlzar este dat para saber la razón M/. El nment de permte alular la masa M de la estrella. b) Una nae espaal n trpulada se utlza en un experment para medr la masa M y el rad de una estrella de nuestra galaxa. El ón He + emte tnes en a supere de la estrella. Ests tnes pueden ser ntrlads medante absrón resnante n nes He + ntends en una ámara de pruebas stuad en la nae. La absrón resnante urre slamente s la eldad de ls nes haa la estrella permten exatamente el desplazament haa el rj. A medda que la nae espaal se aprxma radalmente a la estrella, la eldad relata = de ls nes He + en absrón resnante se mde en unón de la dstana d (muy próxma) a la supere de la estrella..ls dats expermentales están regds en la tabla. Utlzar tds ls dats de la tabla para determnar gráamente la masa M y el rad de la estrella. Dats para la ndón de resnana Parámetr de eldad Dstana desde la supere de la estrella =/( -5,5,79,95,77,955 d( 8 m) 8,9 9,98, 8,99 6,67 Jsé Lus Hernández Pérez, Agustín Lzan Pradll, Madrd 8
) Cuand se determna y M en un experment, es nrmal nsderar la rreón de reuenas debd al retres del átm emsr.-supner que el átm emsr está en reps, prdue un tón y retrede. Obtener la expresón relatsta para la energía h en unón de E (derena de energías entre ls ds neles del átm) y de la masa en reps m del átm. C.- Estmar el alr numér del desplazament relatsta Δ para ls nes He +. La respuesta debe ser un alr muh retres más pequeñ que el desplazament gratanal btend en b. Dats Veldad dela luz, =,. 8 m/s Energía en reps del hel = m =4*98 MeV,6 Z Energía de Bhr = ev n Cnstante de grataón G=6,7. - N m kg - a) Igualams la s expresnes h m h m En la supere de la estrella la energía es la suma de la del tón más su energía ptenal y en el nnt la energía ptenal es er. h G Mm h h h h M G Δ GM b) Aplams el prnp de nseraón de la energía para el tón en la supere de la estrella y en la nae uand ésta dsta d de la supere de la estrella. h G Mm h Mm G d GM GM d h h M G h h M G d GM GM d La reuena >, est es m s urrese un eet Dppler Jsé Lus Hernández Pérez, Agustín Lzan Pradll, Madrd 8
4 β β β G M G M β G M d d G M d G M d G M d d G M d G M d G M d G M d G M d G M G M d G M G M β d G M d d d G M d G M d d G M β d d GM GM β GM GM d GM () La euaón () ns de que al representar / en el eje de rdenadas rente a /d en el de abssas se btene una línea reta de pendente G M y rdenada en el rgen. G M /,45,4,5,,5,,5,,5,,95 / =,49 (/d)+,89 =,9985,5,,5, /d Jsé Lus Hernández Pérez, Agustín Lzan Pradll, Madrd 8
5 La pendente es tant:,48. 5,48. y la rdenada en el rgen,89. 5, pr 8 G M,48. ; G M,89. 5,89. 5,48.,. 8 m M G,89. 5,. 6,7. 8 8,. 5,. kg,89. 5 ) Desgnams n M a la masa del átm después de emtr el tón. En el pres se debe nserar la energía y la antdad de mment. Utlzams la relaón relatsta 4 E m p m M 4 p h ; p h m h M 4 h m 4 h m h M 4 h h m M m () La araón de energía en el pres es: ΔE ΔE m M M m. Lleand este resultad a la euaón (). h m ΔE m m m ΔE m m m ΔE ΔE ΔE m h ΔE ΔE m () ) La aparón del tón se debe a que en el átm un eletrón que está en el nel n= salta al nel n= emtend la derena de energía en un tón. Utlzand el dat del prblema De la euaón () ΔE,6 4,8eV Jsé Lus Hernández Pérez, Agustín Lzan Pradll, Madrd 8
6 ΔE ΔE h m Send la reuena nsderand el retres del átm. S n nsderams el retres del átm entnes E = h ΔE m ΔE m Δ ΔE m Δ 4,8eV 4 98MeV 4,8 7,5. 9 5,4. 9 El desplazament gratanal es: GM 6,7. 5,5. 8 8,. 5,.,. El desplazament gratanal es,5. 4 ees superr. Jsé Lus Hernández Pérez, Agustín Lzan Pradll, Madrd 8
7. POPAGACIÓN DEL SONIDO La eldad de prpagaón del snd en el éan depende de la prunddad, temperatura y salndad. La gura (a) nda óm aría la eldad del snd n la prunddad z, para un as en el que la mínma eldad se stúa a mtad de la dstana entre la supere del éan y el leh marn. En la gráa se ha nend que z= en el lugar de mínma eldad, z=z s en la supere del éan y z=-zb en el nd. La eldad pr enma de z= ale = +bz y pr debaj de z=, = -bz, b es el gradente de la eldad del snd n la prunddad y es nstante. z z s z s = +bz = -bz S H * x -z b Fg.(a) Fg.(b) La gura (b) muestra una seón del plan zx del éan, send x una dreón hrzntal, En la psón z= y x= se la una uente snra S. Un ray snr emtd pr la uente rma un ángul m nda la gura, dh ray se rerata debd a que la eldad del snd depende de la prunddad a) Mstrar que el ray emtd pr la uente y blgad a desplazarse pr el plan z-x rma un ar de írul de rad π para θ b senθ b) Obtenga una expresón en la que guren z s,, y b que ns dé el alr más pequeñ del ángul, para que ls rays drgds haa arrba puedan transmtrse sn que la nda snra sura relexón en la supere. ) En la gura (b), H es un reeptr del snd que upa la psón z=, x=x. Obtenga una expresón en la que nterengan b, X y, la ual ns ndque ls ánguls para ls que la nda snra partend de S puedan alanzar al reeptr H. Se supne que Z s y Z b sn l Jsé Lus Hernández Pérez, Agustín Lzan Pradll, Madrd 8
suentemente grandes para que n pueda haber relexón n en la supere n en el nd del éan. d) Calular ls uatr alres más pequeñs de que pr reraón salgan de S y alanen al reeptr, uand X= m ; = 5 m/s y b=, s - e) Obtenga una expresón que ns dé el temp que emplea el snd desde S a H sguend la trayetra que se rrespnde al alr más pequeñ de que se determnó en el apartad ). Calule el alr numér de ese temp n ls dats aprtads en el apartad d). Calule el temp que emplea la nda snra en ajar de S a H en línea reta. Cuál de ls ds rays llega a H prmer? dx x Ayuda lntag. sen x La gura se rrespnde a la gura (b) del enunad a la que se ha añadd el rad del ar de runerena. Las rdenadas del entr de la runerena se desgnan n (m,n). 8 Fg. a) Vams a busar uál es la relaón entre ls ánguls y. Supngams que el med materal en lugar de que aríe la eldad del snd de rma ntnua l hae pr apas m nda la gura. Jsé Lus Hernández Pérez, Agustín Lzan Pradll, Madrd 8
9 r r r r Las eldades del snd en ada apa sn,,,.aplams la ley de Snell entre las apas ; ; S l aplams al med ntnu ndad en la gura, resulta: senθ senθ bz Aplams la euaón anterr uand =9º (er gura ). sen 9º senθ bz bz Z b De la gura se dedue: Z n b ; sε senθ n b b Z π La anterr deduón se ha heh entre ls alres θ. Jsé Lus Hernández Pérez, Agustín Lzan Pradll, Madrd 8
b) El límte te ene dad pr Z=Z S, de la euaón () Z S ZS b b ZS b ZS b ZS b θ ar sen Z S b ) La nda snra puede llegar al reeptr H de la rma que nda la gura. Fg. S jams la dstana X entre el emsr S y el reeptr H, hems de busar para qué ángul la nda snra puede llegar al tad reeptr. De la gura se dedue que el ángul es gual a ya que sus lads sn perpendulares entre sí. X sβ sθ X bsenθ sθ tagθ b X La nda snra tambén puede llegar al reeptr sguend el amn ndad en la gura 4. Jsé Lus Hernández Pérez, Agustín Lzan Pradll, Madrd 8
Fg.4 Ls rads de las trayetras sn guales pr enma de SH que pr debaj, pues tal m se deduj en el apartad a), el rad es ndependente de la eldad. X 4 sβ sθ X 4 sθ 4 sθ tagθ 4 bsenθ bx Las sguentes psbldades es que hubesen tres, uatr. ars, en lugar de ds, y el alr general de de tag sería n tagθ ;n,,... b X F nalmente queda el amn dret pr el eje x entre S y H. d) tagθ tagθ tagθ tagθ n b X tagθ 5 5 bx, 4 5 θ bx, 6 5 45 θ bx, 85 6 θ bx, 88,9º 88,7º 89,5º θ 86,9º e) El temp para desplazarse un element de amn ds ale Jsé Lus Hernández Pérez, Agustín Lzan Pradll, Madrd 8
ds dt Send ds un element del ar de runerena al ual le rrespnde una eldad = +bz. Fg,5 En la gura 5 se ha esgd, dentr del ar de rad, un element de ar ds=d.el temp que emplea la nda desde a es: Anterrmente hems st que π dθ dt θ y b b senθ bsenθ Lleand el alr de a la ntegral Jsé Lus Hernández Pérez, Agustín Lzan Pradll, Madrd 8
π dt τ θ b dθ π θ dθ bsenθ π θ ln tag b θ ln b tag π 4 θ tag El temp ttal desde S a H es: τ b θ ln tag t ttal θ τ ln tag b Apland la euaón anterr para = 86,9º t ttal τ, 86,9º ln tag 6,655s La nda que se desplaza de S a H pr el eje x aja a una eldad, yel temp emplead en el aje es: t SH 6,667s 5 Llega prmer la nda que desrbe un ar de runerena. Jsé Lus Hernández Pérez, Agustín Lzan Pradll, Madrd 8
4. BOYA CILÍNDICA Una bya nsste en un lndr de rad a y lngtud l, nenad n un materal de densdad lgera d, el ual llea adsad una qulla pr la parte nerr meda del lndr a l larg de su lngtud. La qulla sta de rente paree una barra tal m se e en la gura. La masa de la qulla es gual a la masa del lndr, la altura de la qulla es gual al dámetr del lndr y su densdad es mayr que la del agua de mar. La bya lta en el agua de mar uya densdad es. a a z a Fg. a Fg,b Fg. a) Para la psón de equlbr btenga una expresón relanand el ángul de ltaón n el ente d/ Despree el lumen de la qulla. Ver la gura a. b ) Sbre la bya, debd a una perturbaón, se hunde ertalmente una dstana pequeña z,, n l que aparee una uerza neta que prdue un mment de slaón ertal de la bya. Determnar la reuena de esta slaón ertal en unón de, g y a. Admtr que la nluena del mment del agua en la dnáma del mment de la bya nrementa en un ter su masa.ver gura b. ) En la aprxmaón de que el lndr se balanea alrededr el eje entral, determnar la reuena de este balane lateral en unón de g y a. Desprear la dnáma y ssdad del agua en estew as- El ángul del balane se supne que es pequeñ. Ver gura. d) La bya ntene aelerómetrs muy sensbles que pueden medr tant la slaón ertal m el balane lateral. Cn aguas en una alma Jsé Lus Hernández Pérez, Agustín Lzan Pradll, Madrd 8
relata el perd de la slaón ertal es de aprxmadamente segund y el perd del balane lateral de uns,5 segunds. A partr de esta nrmaón nrmar que el ángul de ltaón es aprxmadamente 9º, y además estmar el rad y masa de la bya para la ual l=a. 5 a) Desgnams n M a la masa del lndr de la bya y m la qulla tene la msma masa, resulta que la masa ttal de la bya es M. M masa del lndr masa dela qulla πa ld πa ld πa ld Pesdela bya πa S la bya está en equlbr el empuje del agua debe ser gual al pes. ldg Fg. El empuje es gual al pes de agua desaljada pr la bya. En la gura se bsera que el lumen de agua desaljada es gual área rayada* l. El área rayada es el área del setr rular mens el área de ls ds tránguls. Área setr π a π As As a α área rayada a α : área rayada a α a sen αs α a sen α a s α α El empuje es gual E a α a sen αsαlg Igualand el pes y el empuje πa ld g a πd ρ α senαs αlρg α senα s α El pes de la bya atúa en su entr de masas y el empuje atúa en el entr de masas del agua desplazada. Jsé Lus Hernández Pérez, Agustín Lzan Pradll, Madrd 8
El entr de masas de la bya se alula tenend en uenta que el entr de masas del lndr esta en el entr del eje del msm y el entr de masas de la qulla en mtad de ésta, Tmams m rgen el entr del lndr y el sentd pst haa abaj 6 CM bya M Mqulla a M a El entr de masas del agua desplazada estará en un punt del segment rular y en psón smétra m nda la gura. Empuje Metaentr CM Pes=Mg Fg. El pes atúa en el entr de masa de la bya y el empuje en el metaentr que es el entr de masa del agua desplazada. En el equlbr ambs se enuentran en la msma ertal. b)s se hunde la bya una dstana pequeña exste un desplazament extra del agua que rea un empuje,el ual ale,s z es pequeñ, er gura 4, asenαzlgρ k z a z Fg.4 Esa uerza pes atúa ertalmente haa arrba y tende a llear a la bya a su psón de equlbr. Obserams que esa uerza es prprnal al desplazament z,lueg el mment de la bya en una mment armón sbre una masa ttal que es la Jsé Lus Hernández Pérez, Agustín Lzan Pradll, Madrd 8
masa de la bya más / de esa masa debda a la nluena sbre la dnáma, según nda en enunad 7 4 4 8 Masa M M M π a ld π k a sen α lgρ sen αρg ω Masa 8 4 π a d π a ld πd S tenems en uenta que α senα s α, resulta: ρ a ld ω gsen α π d a ρ gsen α a α sen αs α ) En la gura 5 se nda el desplazament de la bya uand gra alrededr del eje que pasa pr el entr del lndr. Se bsera que el lumen de agua desplazada n aría respet de la psón de equlbr pr l que el empuje atúa en el metaentr que se ha dbujad en la gura, per ahra el pes ttal de la bya ya n está en la ertal nal, sn desplazad de md que se ha rmad un par de uerzas que tende a llear a la bya a su psón de equlbr El mment read pr el par de uerzas es τ MgD Mg a Mg a θ D Empuje = Mg Pes = Mg De auerd n la euaón undamental de la Dnáma de rtaón Jsé Lus Hernández Pérez, Agustín Lzan Pradll, Madrd 8
8 d θ I dt τ Mga θ K El mment es armón de rtaón send ω K I Mga I El mment de nera respet al eje que pasa pr el entr del lndr es la suma del mment de nera del lndr y de la barra. M a El mment de nera del lndr es El mment de nera de la qulla respet de su entr de masas ale M a M a. Su mment de nera respet del entr del lndr l btenems a partr del terema de Stener Ma M a Ma Ma Ma 9Ma M g a I ω 6 9Ma 6 g 9a d) ω ω 4 π T 4 π T T T,5,5 gsen α a α sen αs α g 9a 87sen α 4 α sen αs α 87sen α 54 α sen α s α eslems la euaón anterr pr tante =,5 rad 86,78 > 77,9 =,6 rad 86,96 < 88, =,55 rad 86,98 > 84,8 =,59 rad 86,98 < 86,89 La sluón es,59 un alr próxm a / =,57 A partr de la euaón Jsé Lus Hernández Pérez, Agustín Lzan Pradll, Madrd 8
9 4π gsen α ω a T a 9,8 sen,59 α sen αs α 8π,59 sen,59 s,59 A partr de M Masadelabya πa ld πa d,m A partr de la euaón πd α sen αs α α sen αs α d ρ Masadela bya π a Masadela bya, ld π a d π a,59 ρ α - sen α sα π sen,59 s,59 9,6 kg Jsé Lus Hernández Pérez, Agustín Lzan Pradll, Madrd 8