φ = P + Qx + Ry (3.4.1) φ i = P + Qx i + Ry i φ j = P + Qx j + Ry j

Transcripción

1 .4 MÉTOO E LOS ELEMENTOS FNTOS Se presenta el desarrll para el cas sótrp, de dnde se puede deducr el ansótrp. Para reslver un prblema de flu cn el métd de elements fnts, se dvde en tránguls la regón dnde se desea establecer la red, fand las líneas de crrente etremas las equptencales etremas (cndcnes de frntera). Tenend en cuenta que las líneas de crrente las equptencales sn perpendculares entre sí, en un trángul ntern de vértces (, ), (, ) (, ) (Fg. ), se puede establecer la sguente hpótess: = P + Q + R (3.4.) (, ) (, ) (, ) Fg. Nuds de un sl element fnt e tal md que, para ls vértces de cada trángul, sean váldas las relacnes = P + Q + R = P + Q + R (3.4.a) = P + Q + R Reslvend para P, Q R, el determnante del sstema es el dble del área del trángul, sea: e md que según la regla de Cramer, Q será: = 2A (3.4.2) Q = ( ) ( ) ( 2A + + ) (3.4.3) R = 2A + + ( ) ( ) ( ) (3.4.4) Pr tra parte, s se supne un funcnal π = f() retmand la ecuacón dferencal de h h 2 flu de agua + = h = 0 ; de tal frma que:

2 π 2 = + dddz e acuerd cn la ecuacón 3.4. resultará: (3.4.5) = 2 Q ( Q) + R ( R) dddz (3.4.6) Susttuend las ecuacnes en esta últma, se tene: 2 ( ){ ( ) ( ) ( )} ( ){ ( ) ( ) 2 ( ) = } dddz 4A (3.4.7a) e suerte que admtend que el ntegrand en la ecuacón 3.3.7a es cas cnstante rdenand cn cudad, pdrá btenerse: 2A {( )( ) ( )( ) } {( )( ) ( )( )} {( )( ) ( )( = ) } (3.4.7b) En frma análga se pueden calcular: Para frmar el sguente sstema: ( )( ) + ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( + + ) π 2 A ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( = ) ( )( ) + ( )( ) ( )( ) + ( )( ) ( )( ) ( )( ) + e dnde se defne la matrz [h] cm: {} h ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) = ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) (3.4.7c) (3.4.7d) Que depende sól de las crdenadas de ls vértces del trángul. Ahra ben para mnmzar la funcón π (métd funcnal del element fnt), se necesta que la suma de las dervadas parcales / ψ de tds ls elements que cncurren al 2

3 vértce en estud, sea gual a cer. Pr eempl, cn relacón al vértce O de la fgura 3.20, deberá tenerse que: V =0 (3.4.8) = cte. B A V O C Fgura 3.20 Regón de una malla de elements fnts Al msm temp, de la 3.4.7c, deberá tenerse que en el trángul : = h + h + h 2 B A (3.4.9a) En el trángul = h + h + h 3 B 32 C 33 0 (3.4.9b) En el trángul En el trángul V V = h + h + h 0 2 C 3 = h + h + h V V V 2 A (3.4.9c) (3.4.9d) Susttuend las ecuacnes en la ecuacón para el nud O (ec ) tenend en cuenta que A sn cncdas pr ell frmarán el térmn ndependente, se btendrá: V V V ( h + h ) + ( h + h ) + ( h + h + h + h ) + ( h + h ) + ( h + h ) B 3 C O 23 2 A 3 23 = 3

4 Cnsderand cm térmn ndependente (T), se tene: ( V 23 2 ) ( V A 3 23 ) T = h + h + h + h En frma semeante se pueden determnar ecuacnes para cada un de ls dstnts nuds, hasta establecer un sstema de tantas ecuacnes e ncógntas cm nuds nterns tengan la red, asland en ls térmns ndependentes ls valres de alads en las frnteras de valr prefad, sea: { h * }{ * } { h * }{ * T T } = (3.4.0) Send h* la matrz de resstenca al flu, acplada para tds ls nds de la malla de elements fnts. Resuelta la ecuacón se cncerán ls valres de en cada un de ls nds. El gradente hdráulc, la velcdad el gast en cada element se calculan cn las sguentes epresnes (fg. 2): J J K J Fg. 2 Gradentes hdráulcs: ; = + J + K = + J + K 2A 2A Velcdades: v = ; v = ( ) ( ) Gast en la cara : Q = v ; Q = v 4

5 .4. LÍNEA E CORRENTE SUPEROR La cndcón de frntera para la línea de crrente superr requere una slucón teratva del análss pr element fnt, a que el lugar de la frntera se descnce. Prmer se supne un lugar para la línea de nfltracón se mpne la cndcón de frntera =, que equvale a una presón nula en ls nds sbre la línea de crrente superr. Reslvend el element fnt cnsderand el errr = -, en dchs nds, se mdfcan las lcalzacnes de ls vértces btenéndse una nueva línea de nfltracón. El prces se repte hasta que el errr es sufcentemente pequeñ. 5