Matemáticas I (Grado en Ingeniería Química) Valeri Makarov 3/1/1 5/1/13 F.CC. Matemáticas, Desp. 4 http://www.mat.ucm.es/ vmakarov
Capítulo 4: Funciones de varias variables 4.1 Curvas de nivel. Representación gráfica de funciones
Función real de dos variables: z = f (x, y) define el lugar geométrico de los puntos (x, y, z) R 3. Es una superficie. También podemos representar una superficie en forma impĺıcita F (x, y, z) = En el caso anterior: F = z f (x, y) = 1.5 Ejemplo: (una esfera).5 1 x + y + z = 4 1.5.5.5.5 1 1 1
Curvas de nivel Qué forma tiene la superficie z = x + y? Cortamos planos horizontales: las curvas de nivel. z = 1 z = z = 3 6 6 6 4 4 4 z = 4 z = 5 z = 6 6 6 6 4 4 4
y z Curvas de nivel: z = const x + y = h, h El lugar geométrico: circunferencias del radio h Podría ser un cono. Para ver la forma en vertical podemos ver los cortes con los planos x = const o y = const 3 45 4 35 Con x = h: z = h + y son parábolas. 1 1 3 5 15 1 3 5 1 1 x 5 5 y
Problema 1a: 1.5 1.5 z = const, y = C/x 1.5 y = const, z = cos(cx) z = cos(xy).5 1.5 Curvas de nivel 1.5 1 1 1 5 5 cos(xy) = h 1 x = const, z = cos(cy) z = cos(xy) h [ 1, 1].5.5.5 xy = arc cos(h) y = C x.5 1 5 5
Problema 1c:
4. Derivadas parciales
Sea z = f (x, y). Si mantenemos y = const la derivada de z sobre x se llama la derivada parcial de f sobre x y se denota f Problema a: Hallar las derivadas parciales z = x cos(x 4y) = x cos(x 4y) x sin(x 4y) De la misma manera = 4x sin(x 4y)
Definiciones: Derivadas de primer orden Dada f (x, y): f (x, y) f (x, y) = ĺım h f (x + h, y) f (x, y) h = ĺım h f (x, y + h) f (x, y) h Problema e: z = e (x+y ) = e (x+y ), = ye (x+y )
Definiciones: Derivadas de segundo orden Dada f (x, y): Derivadas cruzadas: f (x, y) f (x, y) f (x, y) f (x, y) = = = = ( ) f (x, y) ( ) f (x, y) ( ) f (x, y) ( ) f (x, y) Nota: Casi siempre f (x,y) = f (x,y), pero en general NO.
Problema b: z = sin(x + y )e y Las derivadas: = cos(x+y )e y, = [ y cos(x + y ) + sin(x + y ) ] e y z = 4 sin(x + y )e y z = [ cos(x + y ) y sin(x + y ) ] e y z = (1 + y) [ cos(x + y ) + (1 y) sin(x + y ) ] e y
Regla de la cadena Problema 3a: Sea z = x + y, donde x = e t sin(t), y = e t cos(t). Calcular z t. Solución: dz dt = dx dt + dy dt = x, = y, t = et (sin(t)+cos(t)), t = et (cos(t) sin(t)) z t = xe t [sin(t) + cos(t)] + ye t [cos(t) sin(t)] = = e t {sin(t)[sin(t) + cos(t)] + cos(t)[cos(t) sin(t)]} = e t
Problema 4: z = arctan ( ) u v, donde u = x sin(y), v = y cos(x). Calcular. Solución: = u u + v u = 1 v[( u v ) + 1] = v u + v, v = u v [( u v ) + 1] = u u + v, = v sin(y) uy sin(x) u + + v u + v = v u = sin(y) v = y sin(x) v sin(y) + uy sin(x) = u + v y cos(x) sin(y) + x sin(y)y sin(x) x sin (y) + y cos (x)
Problema 5: Sea f (t) una función. Definimos g(x, y) = f (t), donde de t = x + y. Calcular g(x,y) y g(x,y). Solución: g(x, y) = g(x, y) df (t) dt t ( = f ) x + y x x + y [ = ( ] ) f x + y x = x + y ( ) = f x + y xy (x + y ) 3/ x x + y = xy x + y [f ( )] x + y = ( ) f x + y ( ) f x + y x + y
Problema 6: La ecuación fundamental de la termodinámica: du = TdS pdv donde U(S, V ) es la energía interna y S es la entropía. i) Cuáles son las derivadas parciales de U? En general el diferencial se define como: du(s, V ) = U U ds + S V dv ii) Sean H = U + pv la entalpía del sistema, G = H TS la energía libre de Gibbs. Calcular dh y dg
Problema 7: Calcular el diferencial de z = a 3x 4y en (a/4, a/4) Resolución: = 3x a 3x 4y = = dz = dx + dy 3a/4 a 3a /16 4a /16 = sign(a) 4y a 3x 4y = 4a = 4 9a 3 sign(a) dz = sign(a) (dx + 43 ) dy
Derivadas parciales para la función impĺıcita En general, dada F (x, y, z) =. Supongamos que z = z(x, y) y derivamos: df dx = F + F = de donde despejamos = F / F Problema 8: Sea xy + z + 3xz 5 = 4. Evaluar y en el punto (, 1). Resolución: 1. Derivamos sobre x (suponiendo z = z(x, y)): y + + 3z5 + 15xz 4 = = y + 3z5 1 + 15xz 4 En el (, 1): z = 4 y = (1 + 3 45 ) = 373
. Derivamos sobre y: x + En el (, 1): z = 4 y = + 15xz4 = = x 1 + 15xz 4