º de Bachillerato 1. El propietario de un inmueble tiene alquilados los cuarenta pisos del mismo a 00 al mes cada uno. Por cada 10 de aumento en el precio del alquiler pierde un inquilino, que se traslada a otro piso más económico. Cuál es el alquiler que más beneficios produce al propietario?. Se desea que el teto escrito en una hoja de papel ocupe 84 cm y que los márgenes superior e inferior midan cm y los márgenes izquierdo y derecho, cm. Cuáles deben ser las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo.. Un campesino dispone de 54.000 kg de fruta que puede vender a 0, euros/kg. Cada día que pasa, el precio aumenta 0,05 euros, pero se estropean 1.000 kg. Calcular cuando le interesa vender la fruta para obtener los máimos ingresos posibles y a cuánto ascenderán dichos ingresos. 4. Hallar a y b para la función: f() a b tenga un mínimo en (, -1). 5. Hallar un número positivo tal que la suma de dicho número y el inverso de su cuadrado sea mínima. 6. Hallar a, b, c y d para que la función: f() a b c d tenga un máimo relativo en (-, 4) y un mínimo en (-1, 6). 7. Durante 1 días consecutivos las acciones de las compañías A y B han tenido unas cotizaciones dadas por las funciones: CA 0,0 0,9 7,5 100 y CB 0,1 100, donde es el número de días transcurridos. a) Hallar las cotizaciones máima y mínima de cada compañía y los días en que se han conseguido. Hallar los días en que las respectivas acciones estuvieron en alza y los que estuvieron a la baja. 8. Después de t horas de estudio, el rendimiento de cierto estudiante (en una escala de 0 a 100) viene dado por la función: 80t r(t) t 4 a) Calcular el rendimiento a las 4 horas de estudio. b) Determinar cuando el rendimiento va en aumento y cuando va disminuyendo durante las primeras 7 horas de estudio. c) Encontrar en que momento consigue el estudiante su máimo rendimiento así como el valor de ese rendimiento máimo. 9. Una empresa fabrica 0 máquinas diarias, que pueden ser de dos tipos: A y B. Si fabrica máquinas de tipo A e y máquinas de tipo B, el coste de producción es de: 5 500 y 48000 euros al día. a) Cuántas máquinas de cada tipo debe fabricar, para minimizar el coste de producción diario?. b) Hallar ese coste de producción mínimo. 10. El índice de inflación de un país fue variando con el paso de los meses de un cierto año según la función: t 8t I(t) donde t 1 corresponde a enero, t a febrero,..., t 1 a diciembre. 40 a) Durante qué meses el índice de inflación fue subiendo y durante cuales bajando?. b) Cuáles fueron los valores máimo y mínimo del índice de inflación de ese año y en qué meses se alcanzaron?. Jun _ 04 Una internacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euros vienen dado por la función 11. I() 8 6.000, mientras que sus gastos (también en euros) pueden calcularse mediante la función G() 44 1.000 700.000 donde representa la cantidad de unidades vendidas. Determinar: a) la función que define el beneficio en euros. b) La cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea máimo. Justifica que es máimo. c) El beneficio máimo. S: b) 750unid. c) 8.00.000 1. Jun _ 04 La parte superior de una pared de metros de base tiene una forma parabólica determinada por la epresión 0.5 1, donde mide la longitud en metros desde la parte izquierda de la pared. Calcula la superficie de dicha pared utilizando una integral. Sep _ 04 Se quiere imprimir un cartel anunciador rectangular que debe contener 18 cm de teto impreso (también rectangular). Los márgenes superior e inferior deben ser de cm cada uno, mientras que los laterales deben ser de 1 cm. Calcular las dimensiones del cartel para que el gasto de papel sea mínimo y justificar que dicho gasto es realmente mínimo. S: base 5 cm y alto 10 cm. 1. 14. Sep _ 04 C(t) Un restaurante abre a las 8 de la noche y cierra cuando todos los clientes se han ido. La función 60t 10t representa el número de clientes que hay en el restaurante en función del número de horas t que lleva abierto el establecimiento. Se pide: a) Determinar el número máimo de clientes que van a una determinada noche al restaurante. Justificar que es un máimo. S: el número máimo de clientes será de 90. b) Si deseamos ir al restaurante cuando haya al menos 50 personas y no más de 80, entre qué horas tendríamos que ir? S: entre las 9 y 10 de la noche, o bien, entre las 1 y la 1 de la madrugada. _ 05 Jun Una empresa de telefonía quiere lanzar al mercado una oferta de tarifa plana de internet. Se ha realizado un estudio que determina que si la tarifa fuera de 6 podrían conseguirse 4800 contratos. Sin embargo, por cada euro menos en la tarifa, el número de contratos previsto anteriormente se incrementaría en 150. Se pide: a) Epresar el ingreso total previsto como una función de una variable. Eplicar el significado de la variable utilizada. b) Cuál debería ser la tarifa para que la empresa obtuviera el ingreso máimo? Cuál es éste y 15. con cuántos abonados se conseguiría? Justificar que el ingreso obtenido realmente es máimo. 5100 ;ingreso: 17400 S: tarifa 4 ;nº de abonados:
º de Bachillerato 16. Jun _ 05 Se estima que los beneficios mensuales de una fábrica de golosinas, en miles de euros, vienen dados por la función f() 0.1.5 10, cuando se venden toneladas de producto. Se pide: a) Calcular la cantidad de toneladas que se ha de vender para obtener el beneficio máimo y calcular éste. Justificar que es máimo. b) La cantidad mínima que se ha de vender para no tener pérdidas. c) Qué cantidad produce el máimo beneficio por tonelada vendida? Calcular el máimo beneficio y justificar que es máimo. S: a)1 5 toneladas del producto y el beneficio será de 565. b) 5 toneladas c) 10 toneladas, el beneficio será 5000. 17. _ 05 Sep Hallar el área del recinto limitado por la parábola f() 1 el eje de abscisas, la recta y la recta 5 S: A=7, u.a. 18. _ 05 Sep En unos almacenes se tienen 000 Kg. de alimentos perecederos que se pueden vender a el Kg., pero si se venden más tarde, el precio aumenta en 0,1 el Kg. cada día. Calcular cuándo interesa vender estos alimentos para tener los máimos ingresos si cada día que pasa se estropean 50 Kg. de ellos. Cuáles son estos ingresos máimos? Cuántos los kilos que se venden y a qué precio? Justificar que es máimo. S: 1750 Kg a 50 /Kg. Total 615 19. _ 06 Jun Estudia la continuidad en el intervalo [-,] de la función: 10 si f() si 1 ( ) / si 1 de la función f(). S: a) continua en =-. No continua en =1. b) A=7u.a.. Halla la integral entre y 0. Jun _ 06 Los beneficios anuales B(), en miles de euros, previstos por una empresa para los próimos años vienen dados por 5 la siguiente función, B() donde representa el número de años a partir del actual: a) Cuántos años han de 16 transcurrir para que la empresa obtenga el máimo beneficio y cuál es el valor de dicho beneficio? Justifica que es máimo. b) Puede esta empresa tener pérdidas algún año? Por qué?. S: a) 4º año, B(4)=15 b) NO Jun _ 06 y 5, se pide: a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Máimos y mínimos locales. d) Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores. 1.. Sep _ 06 a) Determina el valor de a para que la función sea continua en = 1: a=5/. b) Estudia la continuidad de la función anterior para a = 0. c) Halla la integral entre y de la función f(). Sep _ 06 S: a) A=-8 a si 1 () a si 1 1 ( 11) / si f S: a) f() se pide: 1 a) Dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. b) Ecuación de sus asíntotas. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Máimos y mínimos relativos. e)utiliza la información anterior para representarla gráficamente Sep _ 06 El dinero en efectivo, en euros, de una oficina bancaria durante las seis horas que permanece la caja abierta al 4. público viene dado por la epresión C(t) 000 4t 7t, siendo t el tiempo en horas transcurrido desde la apertura. Determina: a) En qué momento hay más dinero en efectivo y cuánto? b) En qué momento hay menos dinero en efectivo y cuánto? Justifica que son máimos y mínimos, respectivamente. S: a) al abrir y hay 000.b) 1/ h y hay 149 4 f(), se pide: a) Su dominio y puntos de corte con los coordenados. b) Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Máimos y mínimos locales) Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores. Sep _ 07 y 9 4 5. Sep _ 07 6. a) Calcula los máimos y mínimos locales. Justifica que los puntos encontrados son máimos y mínimos locales. 1
º de Bachillerato b) Halla el área de la región del plano determinada por la gráfica de y f() y las rectas y 0, 0 y 5 S: a) ma.loc(,); min.loc.(4,19). b) A=96,5u.a. 7. Sep _ 07 : 0 f() 6 1 4 a 4 8 a) Halla el valor de a para que la función y f() sea continua en el intervalo [0,8]. S: a=1 b) Halla los máimos y mínimos absolutos de y f() en el intervalo [0,4]. Justifica que los puntos encontrados son máimos y mínimos absolutos. S: min.abs(0,); ma.abs:(,4) y (4,4). c) Calcula el área de la región del plano limitada por las rectas de ecuación y 0, 0, y la gráfica de y f(). S: A=8/ u.a. 8. Jun _ 07 a) Estudia la continuidad de la función f() 1 1 1 en el intervalo 4, b) Calcula el área limitada por la gráfica de la función y f() las rectas, y el eje de abscisas. 9. _ 07 Jun La función y f() tiene las siguientes propiedades: Su dominio es la recta real salvo los puntos 1 y 1. Es continua en todo su dominio y corta al eje OX en el punto (,0). Tiene una asíntota horizontal en y 0 con f() 0 si y f() 0 si, 1, 1. Tiene una asíntota vertical en 1, con lim f() y lim f() 1 1. 1, con lim f() y lim f(). Tiene una asíntota vertical en 1 1 Tiene un mínimo en (4, ) y otro en ( 0,). No tiene máimos. a) Representa gráficamente dicha función. b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento. 0. _ 08 Jun a) Calcula los máimos y mínimos absolutos de la función f() 6 9 1 en el intervalo [1,4]. Justifica que los puntos encontrados son máimos o mínimos absolutos. S: min. Abs: (,1); ma.abs: (1,5)y(4,5). b) Estudia la continuidad en el intervalo [0,4] de la siguiente función: 1. Jun _ 08 f() 6 9 1 0 1 1 4 determina: a) Dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. b) Ecuación f() 4 de sus asíntotas. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Máimos y mínimos relativos. e) Utiliza la información anterior para representarla gráficamente. Jun _ 08 El coste de fabricación en euros de unidades de un artículo viene dado por la función f() 0 a) Cuál es la función que determina el coste de fabricación unitario? b) Para qué producción resulta mínimo el coste unitario? Cuánto vale éste? Justifica que es mínimo. S: =400un.; coste unit:0.95.. Sep _ 08 f() se pide: a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. 1 b) Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Máimos y mínimos locales. e) Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores.
º de Bachillerato 4. _ 08 Sep Obtén los parámetros r, s y t para que la función f() r s t tenga un máimo en un mínimo un mínimo en 0 y pase por el punto (1,-1). 5. Sep _ 08 La cuenta de resultados (pérdidas o ganancias) en millones de euros, y, de una empresa vienen dadas 5 0 5 por la siguiente función de los años de eistencia de la misma: f() a) A partir de qué año deja la 7 empresa de tener pérdidas?. S: 1 er año b) En qué momento alcanza la empresa sus ganancias máimas? A cuánto ascienden éstas? S: 7º año; 648571 c) Describe la evolución de la cuenta de resultados de la empresa. Cuáles serán sus beneficios a muy largo plazo? S: 5 millones de euros 6. Jun _ 09 Dada la siguiente función: 1 f() 1 1 4 6 4 6 a) Estudia la continuidad de la función f () en el intervalo ],6[ b) Calcula el área de la región del plano limitada por y = f () y por las rectas y = 0, = 1 y = 5 7. Jun _ 09 f() 6 se pide: a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. b) Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Máimos y mínimos locales. e) Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores. 8. El rendimiento de cierto producto en función del tiempo de uso (medido en años) viene dado por la epresión: f() 8.5 1, 0 a) Eisten intervalos de tiempo en los que el rendimiento crece? Y en los que decrece? Cuáles son? b) En qué punto se alcanza el rendimiento máimo? Cuánto vale éste? c) Por mucho que pase el tiempo, puede llegar a ser el rendimiento inferior al rendimiento que el producto tenía inicialmente? Por qué? 9. f() 1 7 se pide a) Hallar sus máimos y mínimos relativos. b) Hallar sus máimos y mínimos absolutos en el intervalo [, ]. c) Hallar sus máimos y mínimos absolutos en el intervalo [ 4, 4 ]. d) Hallar sus máimos y mínimos absolutos en el intervalo [ 5, 5 ]. 40. Sep _ 09 f() 1, se pide: a) Su dominio y punto de corte con los ejes coordenados. b) Ecuación de las asíntotas horizontales y verticales. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Máimos y mínimos locales. e) Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores. 41. _ 09 Sep La especialidad de una pastelería es la fabricación de cajas de bombones Xupladitis. Los costes de fabricación, C() en euros, están relacionados con el número de cajas producidas,, mediante la función: C() 0.1 0 500 Si el precio de venta de una caja de bombones es de 80 euros y se venden todas las caja producidas, se pide: a) La función de ingresos que obtiene la pastelería con la venta de las cajas. b) La función de beneficios, entendida como diferencia entre ingresos y costes de fabricación. c) El número de cajas de bombones que se deben producir para maimizar el beneficio y el beneficio máimo. Jun 1 f ( ) 9, se pide a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. b) Ecuación de las asíntotas horizontales y verticales. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Máimos y mínimos locales. e) Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores. 4. _10
º de Bachillerato 4. Jun _10 La siguiente función representa la valoración de una empresa en millones de euros en función del tiempo, t, a lo largo de los últimos 1 años: 5 0. 1t 0 t 5 f t) 4. 5 0. 05( t 5) 5 t 10 4. 75 0. 1( t 10) 10 t 1 (. Estudia analíticamente en el intervalo [0, 1]: a) Si la función f(t) es o no continua, indicando en caso negativo los puntos de discontinuidad. b) Instante t en el que la valoración de la empresa es máima y dicha valoración máima. c) Instante t en el que la valoración de la empresa es mínima y dicha valoración mínima. Sep _10 Una pastelería ha comprobado que el número de pasteles de un determinado tipo que vende semanalmente depende de su precio p en euros, según la función: n(p) = 000 1000 p donde n(p) es el número de pasteles vendidos cada semana. Calcula: a) La función I(p) que epresa los ingresos semanales de la pastelería en función del precio p de cada pastel. b) El precio al que hay que vender cada pastel para obtener los ingresos semanales máimos. A cuánto ascenderán dichos ingresos máimos? Justifica la respuesta. 44. 45. Sep _10 Sea la función: 46. _11 f ) 1 0 6 8 1 ( definida en el intervalo [ 1, 5 ]. Se pide: 4 4 5 a) Estudia la continuidad en todos los puntos del intervalo [ 1, 5 ]. b) Calcula el área de la región del plano limitada por el eje de abscisas, las rectas = y = 4 y la gráfica de y =f(). Jun Sea la función f ( ) 1,. Calcula: a) Ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales, si las hay. b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Máimos y mínimos locales. 47. Jun _11 f ( ) 1 0 1 1 a) Estudia la continuidad de la función en el intervalo [0,]. b) Calcula los máimos y mínimos absolutos de f(). c) Calcula el área de la región determinada por la gráfica de la función y las rectas = 0, y = 0 y =. Sep f( ), se pide: 1 a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. b) Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Máimos y mínimos locales. e) Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores Sep _ 11 48. _ 11 49. Un ganadero ordeña una vaca desde el día siguiente al día que ésta pare hasta 00 días después del parto. La producción diaria en litros de leche que obtiene de dicha vaca viene dada por la función: 10 f ( ) 40, donde 5000 representa el número de días transcurridos desde el parto. Se pide: a) El día de máima producción y la producción máima. b) El día de mínima producción y la producción mínima. 50. _ 1 Jun Dibuja la gráfica de la función y = f () sabiendo que: a) Está definida para todos los valores de salvo para =1, siendo la recta =1 la única asíntota vertical. b) La recta y = es la única asíntota horizontal. c) El único punto de corte con los ejes es el (0, 0). d) La derivada de la función y = f () sólo se anula en = /.
º de Bachillerato e) f () < 0 en el conjunto ],1[ ]1, / [. f) f () > 0 en el intervalo ]/, + [. g) f (/ ) =1/. 51. _ 1 Jun Una empresa dispone de 15 comerciales que proporcionan unos ingresos por ventas de 5750 euros mensuales cada uno. Se calcula que por cada nuevo comercial que contrate la empresa los ingresos de cada uno disminuyen en 50 euros. Calcula: a) Los ingresos mensuales de la empresa proporcionados por los 15 comerciales. b) La función que determina los ingresos mensuales que se obtendrían si se contrataran comerciales más. c) El número total de comerciales que debe tener la empresa para que los ingresos por este medio sean máimos. d) Los ingresos máimos. 5. Sep _1 Se estima que el beneficio anual B(t), en %, que produce cierta inversión viene determinado por el tiempo t en meses 6t que se mantiene dicha inversión a través de la siguiente epresión: B ( t) 1, t 0 t 4 a) Describe la evolución del beneficio en función del tiempo durante los primeros 0 meses. b) Calcula razonadamente cuánto tiempo debe mantenerse dicha inversión para que el beneficio sea máimo. Cuál es el beneficio máimo? c) Cuál sería el beneficio de dicha inversión si ésta se mantuviera en el tiempo de forma indefinida? Sep _1 Sea la función f( ) ( ). Se pide: a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. b) Las ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales, si las hay. c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Los máimos y mínimos locales. e) La representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores. 4 4 Jun f ( ),, se pide: 4 a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. b) Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales, si las hay. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Máimos y mínimos locales. e) Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores. 5. 54. _ 1 55. Jun _ 1 f ( ) 1 0 0 5 a) Estudia la continuidad de la función en todos los puntos del intervalo [,5]. b) Calcula los máimos y mínimos absolutos de f () 5 en el intervalo, c) Calcula f ( ) d 1 56. Jul _ 1 La gráfica de la función f () es la siguiente, se pide: a) Su dominio y puntos de intersección con los ejes coordenados. b) Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales, si las hay. c) Valores de para los que la función derivada de f () es positiva, negativa o nula, respectivamente. lim f ( ) y lim f ( ) d) El valor de los siguientes límites: 0 : 57. _ 1 Jul Una cadena de montaje está especializada en la producción de cierto modelo de motocicleta. Los costes de producción en euros, C(), están relacionados con el número de motocicletas fabricadas,, mediante la siguiente epresión: C ( ) 10 000 50000. Si el precio de venta de cada motocicleta es de 8000 euros y se venden todas las motocicletas fabricadas, se pide: a) Definir la función de ingresos que obtiene la cadena de montaje en función de las ventas de las motocicletas producidas. b) Cuál es la función que epresa los beneficios de la cadena de montaje? c) Cuántas motocicletas debe fabricar para maimizar beneficios? A cuánto ascenderán estos beneficios?
º de Bachillerato 58. Jun _14 En una sesión, el valor de cierta acción, en euros, vino dado por la función: 15 f() 8 6 0 6 6 8 Donde representa el tiempo, en horas, transcurrido desde el inicio de la sesión. Se pide: a) Estudiar la continuidad de f(). b) Calcular el valor máimo y el valor mínimo que alcanzó la acción. c) En qué momentos convino comprar y vender para maimizar el beneficio? Cuál hubiera sido este? 59. Jun _14 f() = ( 1) ( + ), se pide: Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Máimos y mínimos locales. c) El valor de la integral definida de f() entre = 1 y = 1. Jul 8 16 f() 8 15, se pide: a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. b) Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Máimos y mínimos locales. e) Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores. 60. _14 61. Jul _ 14 Sea la función: a f() 8 5 5 7 a) Calcula el valor de a para el que f() es continua en el intervalo [, 7 ]. b) Para a = 15, estudia el crecimiento y decrecimiento de f () en el intervalo [, 7 ] c) Calcula 6 5 f()d 6. Jun _15 Calcula: a) Todas las asíntotas verticales y horizontales de la función 1 f ( ). 9 b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función g ( ) 4 4 8, c) Los máimos y mínimos de la función g () del apartado anterior 6. Jun _15 El rendimiento de un estudiante durante las primeras 6 horas de estudio viene dado (en una escala de 0 a 100) por la 700t función R ( t) 4 t, donde t es el número de horas transcurrido. a) Calcula el rendimiento a las horas de estudio. b) 9 Determina la evolución del rendimiento durante las primeras 6 horas de estudio (cuándo aumenta y cuándo disminuye). Cuál es el rendimiento máimo? c) Una vez alcanzado el rendimiento máimo, en qué momento el rendimiento es igual a 5? 64. Jul _15 Sea la función f ( ) 6 1 1 1 4 a) Estudia la continuidad de f() en el intervalo,. b) Calcula los máimos y mínimos locales de f(). c) Calcula el área de la región limitada por f() y las rectas = 1 y =1.
º de Bachillerato 65. _15 Jul Cierta empresa de material fotográfico oferta una máquina que es capaz de revelar 15,5 fotografías por minuto. Sin embargo, sus cualidades se van deteriorando con el tiempo de forma que el número de fotografías reveladas por minuto viene dado por la función f(), donde es la antigüedad de la máquina en años. a) Estudia la continuidad de f() en el intervalo, 15,5 1,1 f ( ) 5 45 0 5 0. b) Comprueba que el número de fotografías reveladas por minuto decrece con la antigüedad de la máquina. Justifica que si la máquina tiene más de 5 años revelará menos de 10 fotografías por minuto. c) Es cierto que la máquina nunca revelará menos de 5 fotografías por minuto? Por qué? 5