Fud. Físicos de la Iformáica / Fud. Tecológicos de los Compuadores APÉDICE: AÁLISIS DE REGRESIÓ ITRODUCCIÓ El aálisis de regresió es ua herramiea esadísica que permie hacer u ajuse de daos eperimeales a ua reca co u crierio de míimos cuadrados. Si los daos eperimeales so {, }, dode =,,, el aálisis de regresió proporcioa la reca, ( ) = a+ b () que miimiza el error cuadráico medio ere valor siguiee: e ( ), es decir, que miimiza el ( ( )) = ( a b) = = () Obsérvese que e = ( ) es el error que afeca al dao eperimeal que lo desvía del modelo lieal ( ), mieras que e = ( ( )) es el error cuadráico para la medida. La epresió e la ecuació () proporcioa el error cuadráico medio. AÁLISIS DE REGRESIÓ Dado u cojuo de daos eperimeales ( parejas de daos (, ), dode =,, ), para ajusar los daos por míimos cuadrados a ua reca es ecesario realizar u cojuo de cálculos previos, de acuerdo co las siguiees epresioes: µ = (3a) = µ = (3b) = = ( ) (3c) = µ A.6
Fud. Físicos de la Iformáica / Fud. Tecológicos de los Compuadores = ( ) (3d) = µ = ( µ )( µ ) (3e) = A parir de esos valores podemos calcular la ordeada e el orige ( a ) la pediee (b ) de la reca de la epresió () que mejor ajusa los daos: b = (4a) a= µ bµ (4b) El aálisis ambié proporcioa el coeficiee de deermiació R, que se calcula del siguiee modo: ( ) R = (5) Ese coeficiee oma valores ere 0, se puede ierprear como la proporció de la variació e los daos que es debida a la variació de. El reso de la variació e se debe al error (o a oras variables o cosideradas e el aálisis). De ese modo, si R =, se ierpreará que la reca a b = + ajusa perfecamee los daos {, } (si error, es decir, odos los daos se ecuera sobre la reca). Si quiere decir que o eise ua depedecia esadísica ere ambas variables. R = 0, Es más habiual el uso del coeficiee de correlació r e lugar del coeficiee de deermiació R. El coeficiee de correlació oma el valor, r = (6) puede comprobarse que r puede omar valores ere -, eiedo el mismo sigo que la pediee b. Tambié se verifica que r = R. A.7
Fud. Físicos de la Iformáica / Fud. Tecológicos de los Compuadores ITERVALOS DE COFIAZA DE LA PEDIETE Y LA ORDEADA E EL ORIGE Los valores de b a obeidos co las ecuacioes (8) (9) os proporcioa la reca que mejor ajusa los daos eperimeales {, }. Si supoemos que las variables e esá relacioadas por u modelo lieal: = α + β + ε (7) dode α es la ordeada e el orige, β es la pediee, ε es el error (que presea flucuacioes aleaorias), los valores de a b obeidos de las ecuacioes (9) (8) sería ua esimació de los parámeros α β del modelo. Pueso que a b se ha esimado a parir de daos eperimeales ( por ao esá afecados por u error aleaorio), cabría preguarse por el error esádar ( SE ) de a b (es decir, por SE( a ) SE( b )), o por los iervalos de cofiaza del (por ejemplo) 95% de α β, es decir, los iervalos que deja dero el valor real de α de β, respecivamee, co ua probabilidad del 95%. El aálisis de regresió da respuesa a esa cuesió a ravés de u uevo parámero s : s = b (8a) s SE( b) = (8b) µ SE( a) = s + (8c) de modo que los iervalos de cofiaza del 95% de β α viee dados, respecivamee, por: = b± 0 05 SE( b) (9a) β. = a± 005 SE( a) (9b) α. siedo 0. 05 el valor críico de la disribució de Sude co grados de liberad. E la abla se idica los valores de α/ para disios valores de α del A.8
Fud. Físicos de la Iformáica / Fud. Tecológicos de los Compuadores úmero de grados de liberad. Para cada valor de α se ha idicado el ivel de cofiaza correspodiee. ivel de cofiaza 99% 98% 95% 90% 80% 60% α 0.0 0.0 0.05 0. 0. 0.4 Grados de 0. 005 00. 0. 05 005. 0. 0. Liberad 5 4.03 3.36.57.0.48 0.90 6 3.7 3.4.45.94.44 0.906 8 3.36.90.3.86.40 0.889 0 3.7.76.3.8.37 0.879 3.06.68.8.78.36 0.873 5.95.60.3.75.34 0.866 0.84.53.09.7.3 0.860 5.79.48.06.7.3 0.856 30.75.46.04.70.3 0.854 40.70.4.0.68.30 0.85 60.66.39.00.67.30 0.848 0.6.36.98.66.9 0.845.58.33.96.65.8 0.84 Tabla : valores críicos α/ de la disribució de Sude para grados de liberad. IFERECIA ESTADÍSTICA: ITERVALO DE COFIAZA DE Supogamos que eemos u uevo dao + raamos de iferir el valor + asociado a dicho dao (el valor que mediríamos para si hemos observado + ). Si la relació ere e viiera dada por la reca = a+ b, la respuesa sería = a+ b. Si embargo, al esar los daos afecados por u error, a parir de u + + uevo dao + o podemos deermiar el valor de +, sio el iervalo e el que podemos ecorarlo co u ciero ivel de cofiaza. El aálisis de regresió permie deermiar ese iervalo de cofiaza a ravés del error esádar de +. El iervalo de cofiaza del 95% de + viee dado por: A.9
Fud. Físicos de la Iformáica / Fud. Tecológicos de los Compuadores SE ( µ ) = s + + (0a) + ( + ) = a+ b ± SE( ) (0b) + + 0. 05 + siedo 0. 05 el valor críico de la disribució de Sude co grados de liberad, que puede obeerse de la abla, EJEMPLO Supogamos que medimos, para 0 codicioes, la esió ere los ermiales de ua resisecia la corriee que circula a ravés de ésa. Las medidas se muesra e la abla : V (V) I (ma).98.57 4.03.9 3 5.99 4.5 4 8.04 5.89 5 0.4 7.56 6.06 8.83 7 3.88 0.36 8 6..64 9 7.97 3.0 0 9.83 4.83 Tabla : medidas de esió corriee e el ejemplo. Para hacer u aálisis de regresió, co el objeo de ecorar la reca = a+ b que mejor ajusa los daos aeriores (dode se ideifica la esió V co la variable idepediee la iesidad I co la variable depediee ), e primer lugar debemos obeer µ, µ,, : µ =. 004 V (a) µ = 8. 0807 ma (b) = 36. 7066 V (c) A.0
Fud. Físicos de la Iformáica / Fud. Tecológicos de los Compuadores = 77. 7080 ma (d) = 40. 8075 V ma (e) La pediee la ordeada e el orige de la reca que mejor ajusa los daos so, respecivamee: b = 0. 737 ma/ V (a) a = 0. 030 ma (b) relacioado el ajuse por míimos cuadrados co la le de Ohm, I= a+ bv (3a) V I = R (3b) debemos comprobar que el valor de la ordeada e el orige ( a ) es mu pequeño (comparado co las iesidades medidas) puede ser despreciado. Del mismo modo, podemos ideificar el valor de la resisecia co el iverso de la pediee: V R = 3567 3567 k b =. ma =. Ω (4) El coeficiee de deermiació R es, R = 0. 99879 (5) lo que idica que, e los daos medidos, el 99.88% de la variació e la iesidad observada se debe a la variació e la esió aplicada, el 0.% resae se debe a oros procesos (probablemee a errores de medida, bie isrumeales o bie de lecura). El coeficiee de correlació r oma el valor, r = 0. 9993958 (6) pueso que el valor es mu próimo a la uidad, podemos cocluir que los daos eperimeales se ajusa mu bie a ua reca. E la figura se ha represeado los daos medidos {V, I } la reca I= a+ bv que mejor los ajusa. A.
Fud. Físicos de la Iformáica / Fud. Tecológicos de los Compuadores Figura : represeació de los daos del ejemplo de la reca que mejor los ajusa. Para deermiar el iervalo de cofiaza del 95% de la pediee la ordeada e el orige, obeemos los valores siguiees: s = 0. 638 ma (7a) SE( b ) = 0. 009063 ma/ V (7b) SE( a ) = 0. 4 ma (7c) omado 0. 05 (para u ivel de cofiaza del 95%) para 8 grados de liberad de la abla ( 0. 05 = 3. ) obeemos los iervalos de cofiaza: β = 0. 737 ma/ V ± 0. 009 ma/ V (8a) α = 0. 030 ma ± 0. 596 ma (8b) de dode puede cocluirse que la ordeada e el orige es (como era de esperar e ese ejemplo) despreciable. Para deermiar el iervalo de cofiaza del 95% de la resisecia R, podemos hacer uso de la ideificació R = / β, usar la epresió de propagació del error, A.
Fud. Físicos de la Iformáica / Fud. Tecológicos de los Compuadores R( β) β R = β = β β (9a) β R = ± =. 3567 kω± 0. 0384 kω (9b) β β Fialmee, supogamos que omamos ua ueva medida de esió V = + 743. V. El iervalo de cofiaza del 95% de la iesidad que se mediría e ese uevo eperimeo se calcularía a parir de SE( + ), SE( + ) = 0. 84 ma (0) se obedría, + =. 870 ma ± 0. 490 ma () es decir, que si e el eperimeo + medimos 7.43 V, podemos decir que ha ua probabilidad del 95% de que la medida de iesidad + se ecuere ere.398 ma 3.36 ma. CÁLCULOS DE REGRESIÓ CO MICROSOFT EXCEL Para realizar los cálculos básicos de regresió co el paquee Microsof Ecel, se puede proceder del siguiee modo:. Iroducir los daos ; e dos columas (por ejemplo, e las casillas A:A0 las casillas B:B0).. Seleccioar las casillas co los daos (por ejemplo, A:A0 B:B0). 3. Marcar el icoo Asisee para gráficos". 4. Seleccioar el ipo de gráfico XY Dispersió" el subipo e el que sólo figura los puos. 5. Marcar siguiee" varias veces hasa fializar. 6. Marcar u puo de la gráfica co el boó derecho del raó seleccioar Agregar líea de edecia". 7. Elegir el ipo de edecia o regresió Lieal". 8. E esa veaa, seleccioar Opcioes". A.3
Fud. Físicos de la Iformáica / Fud. Tecológicos de los Compuadores 9. E la pare iferior de la veaa de opcioes, marcar Presear ecuació e el gráfico" Presear el valor de R cuadrado e el gráfico". 0. Marcar Acepar": aparecerá el ajuse lieal de los daos, juo co la ecuació de la reca = a + b el coeficiee de deermiació R. Tambié se puede reproducir los cálculos idicados, obeiedo µ, µ,,,, ec. A.4