PAU: Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II JULIO 0 ESPECÍFICA. Calcule a para que las siguientes funciones: sen a cos f( ) g() tengan el mismo límite en el punto 0. Calculamos cada límite: sen a 0 f( ) 0 0 0 sen a acos a a 0 0 cos 0 g( ) 0 0 0 cos cos sen sen 0 0 0 0 0 cos 0 Para que los dos límites sean iguales debe verificarse que a -.. El perímetro de una cara lateral de un prisma recto de base cuadrada es de 60 centímetros. Calcule sus dimensiones de forma que su volumen sea máimo. Volumen área base altura V y Perímetro de una cara lateral 60 + y 60 + y 0 Epresamos una de las variables en función de la otra: y 0 La función a maimizar es : V() (0 ) 0 V () 60 V () 0 0 0 0, 0 V () 60 6 V (0) 60 0 < 0 Descartamos el valor 0 porque no se tendría prisma. Aplicando el criterio de la segunda derivada, si V (0) < 0, la función presenta un máimo en 0. Por tanto, las dimensiones del prisma son base cuadrada de 0 cm y altura 0 cm. JULIO 0 GENERAL. Sea la función f : R R definida por 4 si 0 f( ) 4( e ) si 0 Usando la definición de derivada, demuestra si la función f es derivable en 0 f() f(0) La función es derivable en 0 si se verifica que eiste f (0) 0 4( e ) 4 f() f(0) f (0) 4(e ) 4 4(e ) 0 0 0 0 0 0 ( ) 4 e 0 0 0 4e. 0
PAU: Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II. Calcule: ln ln ln + 0 ln ln 0 ( ) ln + 0 ( ) ln ln + ln + 0 ln + + ln + JUNIO 0 ESPECÍFICA. Se considera la curva: y + a) Halle el punto de la curva en el que la recta tangente a su gráfica tiene pendiente máima. b) Calcule el valor de esa pendiente. a) La pendiente de la recta tangente a su gráfica en un punto a viene dada por la derivada de la función en a (f (a)). Si f() y f () + ( + ) Para determinar la pendiente máima derivamos f () f () ( ) ( ) + + + 6 4 ( + ) ( + ) Estudiamos el signo de f para determinar el máimo: f () 0 si 0 ± f () > 0 si < y > f () < 0 si < < es un máimo Punto:, 4 b) El valor de la pendiente es: f 6 8 + + 9
PAU: Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II JUNIO 0 GENERAL. Halle el rectángulo de mayor área inscrito en una circunferencia de radio. Sean e y las dimensiones del rectángulo. Área del rectángulo: A y El triángulo ABC es rectángulo, sus lados miden, y y 6, por tanto, se verifica que: 6 + y y 6 Luego, el área es A() 6 Para que su área sea máima su primera derivada tiene que ser cero: A () 6 + 6 6 6 0 si 6 0 + 8 Descartada la solución negativa por ser una longitud. Por tanto, el rectángulo de mayor área es el cuadrado de lado unidades.. Halle una función polinómica de tercer grado y a + b + c + d tal que tenga un mínimo en el punto (,) y un punto de infleión en el punto (0,). La curva pasa por el punto (,), por tanto, se verifica que y() : a + b + c + d () La curva pasa por el punto (0,), por tanto, se verifica que y(0) : d. La función tiene un mínimo en, por tanto, se verifica que y () 0: y a + b + c y () a + b + c 0 () La función tiene un punto de infleión en 0, por tanto, se verifica que y (0) 0: y 6a + b y (0) b 0 b 0 Sustituyendo los valores de d y b en las ecuaciones () y (), obtenemos el siguiente sistema: a + c + a + c a a c a + c 0 a + c 0 Por tanto, la función es y +
PAU: Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II 4 JULIO 0 ESPECÍFICA. Dada la curva: f( ) + a) Obtenga sus máimos, mínimos y puntos de infleión. b) Encuentre los intervalos de crecimiento y decrecimiento. a) Para determinar los etremos relativos imponemos que f () 0: f () + 0 ( )( ) 0, Aplicando el criterio de la segunda derivada, determinamos si son máimos o mínimos: f () f () > 0 La función tiene un mínimo en f () < 0 La función tiene un máimo en Para determinar los puntos de infleión imponemos que f () 0: f () 0 si La función tiene un punto de infleión en ya que f () 0 b) f () + 0 ( )( ) 0, Estudiamos el signo de la derivada en los siguientes intervalos: o (,) : f () > 0 ya que para 0 f (0) >0 f creciente o (,) : f () < 0 ya que para,5 f (,5) < 0 f decreciente o (,+ ) : f () > 0 ya que para f () > 0 f creciente. Calcule: a) cos( ) ( Ln ) b) ( ) 4 0 + e a) cos ( ) 0 ( ) Ln 0 cos ( ) sen( ) sen( ) 0 ( Ln ) Ln Ln 0 sen( ) + cos( ) sen( ) + cos( ) 4 b) ( e ) 0 + [f () ] g() g() 0 Aplicamos f() e 0 0 4 4 + e 0 [f() ] g() ( + e ) 0 0 0 0 + e 4 + e 4 0 0 4 Por tanto, ( e ) 0 + e
PAU: Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II 5. De todos los cilindros inscritos en una esfera de radio metro, halle el volumen del que lo tenga máimo. Volumen de un cilindro: V π r h, siendo r radio del circulo base h altura del cilindro El cilindro está inscrito en una esfera de radio, por tanto, según el dibujo, se verifica: r +, siendo h. Si r y h, el volumen del cilindro es: V() π ( ) π ( ) π ( ) Derivando: V () π ( 6 ) V () 0: 6 0 V () - V < 0 máimo Por tanto, el cilindro de mayor volumen tiene altura h y radio r 6. JULIO 0 GENERAL m sen. Sabiendo que el 0 es finito, calcule el valor de m y halle el límite. msen 0 m R 0 0 mcos m 0 0 Para que el límite sea finito, imponemos que m 0 m Resolvemos el límite si m : cos 0 0 0 sen 0 0. Sea f: R R la función definida por: b) Halle los etremos de la función si f( ) si > si f( ) si > si f ( ) si > 6 si f ( ) 0 si > Para determinar los etremos imponemos que f () 0: 0 0, Para determinar si los etremos son máimos o mínimos, aplicamos el criterio de la segunda derivada: f (0) - < 0 f presenta un máimo en 0 (0,0) máimo f > 0 f presenta un mínimo en 4, 7 mínimo
PAU: Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II 6 JUNIO 0 ESPECÍFICA. Una ventana rectangular tiene un perímetro de metros. Calcule las dimensiones de los lados del rectángulo para que el área de la ventana sea máima. Área ventana: A y, siendo base, y altura Perímetro rectángulo + y + y 6 y 6 Área ventana: A() (6 ) 6 Para determinar el área máima, imponemos que A () 0: A () 6 0 Comprobamos que es un máimo, para ello aplicamos el criterio de la segunda derivada: A () - < 0 es un máimo. Las dimensiones del rectángulo son: y 6, es decir, un cuadrado de lado m. JUNIO 0 GENERAL. Se desea diseñar un libro de forma que cada página tenga 600 cm de área. Sabiendo que los márgenes superior e inferior son de 4cm cada uno y los laterales de cm, calcule las dimensiones de cada página para que el área impresa se máima. Alto de la página impresa: 8 Ancho de la página impresa: y 4 Área impresa: A ( 8)(y 4) Área página: y 600 y 600 Para determinar el valor máimo, imponemos que A () 0: 4800 4800 4 A () 4 + 0 A () 4800 A () < 0 0 > ( ) 600 Área impresa: A() ( 8) 4 4800 6 4 0 00 0 0 A 0 < 0 0 máimo, siendo y 600 0 0. Calcula: + 0 tan( ) Tan() función tangente de + 0 tan( ) 0 tan( ) ln + 0 0 tan( ) ln + 0 ln tan( ) ( ln ) 0 + 0 + cos ( ) sen () ln ln ln - ln -ln
PAU: Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II 7 Aplicando : ln / sen 0 + + + 0 cos 0 sen cos 0 0 sen sen 4sen cos 0 + 0 Por tanto, + 0 tan( ) e 0 JUNIO 00 ESPECÍFICA. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 0 cm. Halle las dimensiones de los catetos de forma que el área del triángulo sea máima. Área del triángulo: A y siendo e y los catetos del triángulo rectángulo. La hipotenusa mide 0 cm, por tanto, se verifica: 0 + y y La función área es A() 00. 00 Para determinar el valor máimo, calculamos la primera derivada e igualamos a cero: 00 50 A () 00 + 0 50 0 ± 50 ± 5 00 00 00 5 (descartamos el valor negativo) y 00 50 5 Comprobamos que es un máimo de la función empleando el criterio de la segunda derivada: A () ( ) ( ) 00 50 ( 00 ) + ( 50 ) ( ) ( ) 00 50 00 00 00 00 00 A 5 5 (50 50) 5 ( 00) < 0 50 50 50 5 Por tanto, el triángulo de área máima es un triángulo rectángulo isósceles de catetos 5 cm.. Se considera la función: ln si > 0 f( ) a + b + c si 0 Determine los valores de a, b y c para que la función sea continua, tenga un máimo en - y la tangente en - sea paralela a la recta y. Imponemos que f sea continua en 0: + 0 0 ( ) ( ln ) f() ln 0 f(0) c c 0 f() f(0) 0 0 0 La función tiene un máimo en - f (-) 0 + ln si > 0 f ( ) a + b si 0 ln ( ) 0 0 0 f (-) -a + b 0 b a La tangente en - es paralela a y f (-) -4a + b -a a - b -
PAU: Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II 8 JUNIO 00 GENERAL. Se considera la curva: y. Halle, si eisten, los máimos, mínimos y puntos de infleión. + Para determinar los etremos relativos imponemos que f () 0: ( + ) + y y ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) 0 0, - ( ) ( ) ( + ) + + ( + ) ( + ) + + ( + ) 4 4 y (0) > 0 (0,0) mínimo y (-) - < 0 (-,-4) máimo ( + ) ( + ) Para determinar los puntos de infleión imponemos que f () 0, pero no se anula para ningún valor, por tanto, no eisten. SEPTIEMBRE 00 ESPECÍFICA. Dada la función y 5e a) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. b) Halle, si eisten, los máimos, mínimos y puntos de infleión. Para estudiar el crecimiento de la función, determinamos f (): f () 5e + 5e 5 e ( + ) 0 - f () > 0 si > - f creciente en (, + ) f () < 0 si < - f decreciente en (, ) 5 Según el criterio de la primera derivada, la función tiene un máimo en, e. Para determinar los puntos de infleión de la función, calculamos f (): f () 5 e ( + ) + 5 e 5 e ( + ) 0 si - Estudiando el signo de la segunda derivada: Si > - f () > 0 f cóncava Si <- f () < 0 f cónvea 0 Por tanto, la función tiene un punto de infleión en, e