Solución Examen Institucional Cálculo Diferencial 2018-2 Jornada 1 1. (Valor 24%) Este punto comprende los numerales 1.1. a 1.4. Debido al intenso verano la quebrada que lleva agua al acueducto de cierta población se a secado. Por tal motivo los abitantes se vieron en la necesidad de acer uso de un tanque de almacenamiento de agua para satisfacer sus necesidades. Este tanque posee en su llave de desagüe un dispositivo que permite que la cantidad de agua que sale por ora sea constante. El gráfico que se presenta a continuación representa el volumen de agua V(t) (en litros) que sale del tanque en un tiempo t (en oras). De acuerdo con la información suministrada en el gráfico responda las preguntas 1.1. y 1.2. 28000 V(t) 26000 24000 22000 20000 18000 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000-5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55-2000 t 1.1. (Valor 6%) Supóngase que la llave de desagüe del tanque se abre a las 6:00 a.m. y que no vuelve a cerrarse asta quedar totalmente vacío el tanque. Indique, de las afirmaciones que se presentan a continuación, cuál es falsa. A. La cantidad de agua que sale del tanque cada ora es de 400 litros. B. A las 6 a.m. abía en el tanque 20.000 litros de agua. C. A las 4 p.m. quedan en el tanque 16.000 litros de agua. D. El tanque de agua quedará vacío totalmente 3 días después de abrirse la llave de desagüe. 1.2. (Valor 6%) La expresión matemática que determina una línea recta de pendiente m y que pasa por un punto P(x 1, y 1 ), tiene la forma y y 1 = m(x x 1 ); o también mediante la función f(x) = mx + b, donde el punto (0, b) es el intercepto con el eje y. De acuerdo con lo anterior, el modelo matemático que relaciona el volumen de agua V(t) que queda en el tanque, después de un tiempo t, viene representado por: A. V(t) = 400t 2 + 20.000t + 50 B. V(t) = 400t + 20. 000 C. V(t) = 400t 50 D. V(t) = 20.000t + 50 Resuelva los numerales 1.3. y 1.4., de acuerdo con la información suministrada en la siguiente función expresada por tramos: x 2 + 1; si x < 1 f(x) = { 5 3x; si 1 < x < 3 x 4 ; si x 3 1.3. (Valor 6%) Con respecto a la función por tramos, es falso que: A. lim f(x) no existe, porque lim f(x) lim f(x) x 3 x 3 + x 3 B. La función no está definida en x = 3 (es decir, 3 Domf), porque f(3) no existe. C. El gráfico de la función es continuo en x = 2, porque f(2) f(x) = 1. x 2 D. La función no es derivable en el punto (4, 0), porque en este punto el gráfico de la función presenta un pico. 1.4. (Valor 6%) La función es discontinua en x = 1. Una de las razones para esta discontinuidad es: A. f(1) no existe B. lim f(x) no existe. x 1 C. 1 pertenece al dominio de la función. D. lim x 1 + f(x) lim x 1 f(x)
2. (Valor 28%) Considérese la función (x) = 2 x 2 +4x, a. (Valor 10%) Encontrar el dominio de (x) Sea (x) = 2 x 2 +4x Tómense: f(x) = 2 x 2 y g(x) = 1 +4x Se tiene que: Dom = Dom (fg)(x) = (Dom f) (Domg). El dominio de f(x) = 2 x 2 son los valores de x para los cuales 2 x 0. Es decir: Dom f(x) = { x x (, 2]} g(x) = 1 = 1. +4x x(x 2 El dominio de g(x) queda, entonces: +4) De esta manera, se tiene: Dom g(x) = { x x R {0}} Dom (x) = Dom (fg)(x) = (Dom f) (Domg). = { x x (, 2]} {x x R {0}} = { x x (, 2] {0}} = { x x [, 0) (0,2]} Encontrar Dom f(x) : 4% Encontrar Dom g(x): 4% Encontrar Dom (x): 2% b. (Valor 9%) Calcular lim (x): Forma indeterminada 0 0 lim 2 x 2 ( 2 x 2)( 2 x + 2) (x) + 4x ( + 4x)( 2 x + 2) 2 ( 2 x) 2 2 x 2 x
1 (x 2 +4)( 2 x+ 2) = 1 = 1 (4)(2 2) 8 2 - - 9 % Racionalizar y factorizar correctamente: 5% Simplificar correctamente: 2% Evaluar el límite: 2% c. (Valor 9%) Calcular lim x (x): Forma indeterminada lim (x) = x lim 2 x 2 x + 4x x 2 x 6 x x 6 ++ 2 2 x 6 1 x 5 + 2 x - - - - - + 4x 1 + 4 x 2 = 0 1 = 0 Resolver el límite: 9% ln(x + 2) ; si 2 < x < 1 3. (Valor 22%) Para la función: g(x) = { ; si 1 x < 2 4 x 2 ; si x 2 a. (Valor 18%) Graficar la función, aciendo uso de las técnicas de graficación 9 8 7 6 5 4 3 2 1-9 -8-7 -6-5 -4-3 -2-1 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9-2 -3-4 -5-6 -7-8 -9 y x b. (Valor 4%) Encontrar el dominio y el rango de la función Dom g(x) = { x x ( 2, 1) [ 1,2) [2, )} = {x x ( 2, )} ran g(x) = { y y (, 8)}
Graficar correctamente la función g(x) = ln (x + 2) en el intervalo dado: 3% Graficar correctamente la función g(x) = en el intervalo dado: 3% Graficar correctamente la función g(x) = 4 x 2 en el intervalo dado: 3% Graficar correctamente la función por tramos: 9% Dominio de la función: 2% Rango de la función: 2% 4. (Valor 26%) Resuelva los numerales a. y b. a. (Valor 13%) La posición de un carrito de cuerda que se mueve sobre una pista recta viene determinada por el modelo matemático s(t) = 25 segundos. Utilice la fórmula para la velocidad instantánea t+5 v(t) s(t + ) s(t) donde s(t) está dada en centímetros y t en y determine la velocidad del carrito al segundo de aber iniciado el movimiento Si s(t) = 25 25, entonces s(t + ) =. De esta manera: t+5 t++5 v(t) s(t + ) s(t) 25 t + + 5 25 t + 5 25t+125 25t 25 125 (t++5)(t+5) 25 (t++5)(t+5) 25 (t++5)(t+5) 25 (t++5)(t+5) = 25 (t+5)(t+5) = 25 (t+5) 2 Se tiene entonces que: v(t) = 25 (t+5) 2 Para t = 1, se tiene: v(1) = 25 (1+5) 2 = 25 36 cm s Encontrar s(t + ) y reemplazar en v(t) Encontrar v(t): 7% Encontrar v(1): 2% s(t+) s(t) : 4%
b. (Valor 13%) Para una función y = A(x)B(x), su derivada viene determinada por la expresión y = A(x)B (x) + B(x)A (x) De acuerdo con lo anterior, encuentre la derivada de la función: f(t) = (csct t) 3 sen 3 t + 2 A(t) = (csct t) 3, luego, A (t) = 3(csct t) 2 ( csct cott 1) B(t) = sen 3 t + 2, por tanto, B (t) = 3sen2 t cost 2 sen 3 t+2 De esta manera: f (t) = A(t)B (t) + B(t)A (t) = (csct t) 3 3sen2 t cost 2 sen 3 t+2 + 3(csct t)2 ( csct cott 1) sen 3 t + 2 Derivar A(t) = (csct t) 3 : 5% Derivar B(t) = sen 3 t + 2: 6% Reemplazar en la fórmula de derivada:2%