TODA GRÁFICA DE LINEA RECTA ES FUNCIÓN LINEAL? Míller Ángel Martínez Muñoz y Pompilio Sánchez Artunduaga Universidad de la Amazonia

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1 TODA GRÁFICA DE LINEA RECTA ES FUNCIÓN LINEAL? Míller Ángel Martínez Muñoz y Pompilio Sánchez Artunduaga Universidad de la Amazonia Retomando la evolución histórica del concepto de función, se pretende mostrar las concepciones epistemológicas erróneas al confundir la función lineal y la función afín a ella. De igual manera las confusiones que se tienen en algunas investigaciones, además libros de texto matemáticos y escolares al abordar la enseñanza del objeto matemático, que desde su transposición didáctica, se ha confundido la definición de función lineal, desde las transformaciones lineales alejando la concepción original de función asociado a los fenómenos de cambio y variación. En este trabajo se busca precisar algunos referentes matemáticos que el álgebra lineal aporta para su estudio, como son los criterios de linealidad. Palabras claves: función lineal, linealidad, variación. INTRODUCCIÓN El presente trabajo de investigación se enmarca dentro del proyecto denominado: desarrollo de la competencia matemática representar a partir de la enseñanza y el aprendizaje de la función lineal, pero el presente artículo será enfocado principalmente a mostrar cómo se ha venido relacionando y estudiando la función lineal y afín, relacionando fenómenos indistintamente con las dos funciones sin tener en cuenta aspectos propios de cada una. Además las diferentes concepciones que se tiene en algunos libros de texto matemáticos y escolares sobre el concepto de función lineal, que en gran parte no corresponden a la definición contemplada desde las transformaciones lineales, que son los criterios para definir la linealidad de la función lineal, como característica fundamental y que por tanto difiere de la función afín.

2 Es de gran importancia, resaltar el estudio del desarrollo histórico de la función lineal como objeto matemático, desde la concepción de cambio y variación contemplada por Nicolás Oresme (siglo XIV) en sus representaciones gráficas, relaciones de conmensurabilidad entre magnitudes homogéneas, lo que se consideró como un primer obstáculo 1, al igual que en una ecuación en x e y es un medio para expresar la dependencia entre dos cantidades, se asocia la gráfica con la trayectoria de puntos en movimiento, no como elementos de dos conjuntos que satisfacen condiciones en una relación funcional presentando un segundo obstáculo hacia la concepción de función presentados en García (2007). Los aportes hechos por Galileo y Descartes (siglos XVI y XVII), con base a los desarrollos hechos en el álgebra, la introducción de signos y la utilización de letras para representar cantidades desconocidas y constantes, la relación y dependencia entre variables en las expresiones analíticas, sustentan los métodos analíticos para la representación de las funciones en ecuaciones algebraicas. Conocer dicho recorrido se hace necesario puesto que aporta al desarrollo epistemológico permitiendo destacar los obstáculos presentados en su evolución y formarse en principio, algunas concepciones erróneas que se puedan presentar en los estudiantes al momento de ser abordado. Esto no quiere decir que se pretenda abordar la temática con su desarrollo histórico a profundidad, sino que permite reconocer una visión más amplia que la obtenida a través de las conocidas teorías modernas, a las cuales se ha llegado a través de grandes procesos de construcción a través de la historia (Azcarate y Deulofeu, 1990), como instrumento relevante en su desarrollo didáctico. De igual manera presentar las condiciones de linealidad como fundamento desde el Álgebra Lineal a partir del estudio comparativo de las definiciones de transformación lineal, en las cuales radica la diferencia entre la función lineal y la función afín, siendo estas las principales características en el presente estudio, mostrar analíticamente dichas diferencias. 1 Para ampliar la concepción de obstáculos epistemológicos del concepto de función, se remite a RUIZ HIGUERAS, L. (1993): Concepciones de los alumnos de Secundaria sobre la noción de función: Análisis epistemológico y didáctico. Tesis de doctorado. Universidad de Granada. Granada.

3 Además de conocer la fenomenología histórica y matemática de la función lineal, se hace necesario también, reconocer otros fenómenos asociados como son la cotidianidad y la fenomenología aplicada a otras ciencias, como organizadores en las actividades en que se presenta el objeto en estudio, reconociendo la importancia que desarrollan en el medio social y cultural en los que se involucra cada estudiante en su quehacer diario, el cual forma parte activa en la construcción de su conocimiento (Valero, 2002). En este sentido, se aborda igualmente los diferentes registros semióticos de representación planteados por Duval (1999), en relación a que se hace necesario para la comprensión la coordinación entre diferentes registros de representación, refiriéndose a que para abordar un objeto matemático en su complejidad se requieren de por lo menos dos sistemas de representación, por lo que en este estudio se abordarán procesos relacionados a conversión entre los registros gráficos y algebraicos (Duval, 1992). LOS LIBROS DE TEXTO ESCOLARES Los libros de texto, constituyen una herramienta de apoyo del saber, pues contienen las transformaciones didácticas necesarias qué sufre un objeto matemático que proviene del saber sabio hasta ser convertido en un saber enseñado Chevallard (1991). En los textos no solamente se plasman conceptos erróneos, sino también obstáculos, procesos y limitaciones que repercuten directamente en las prácticas de enseñanza y aprendizaje de los objetos matemáticos. De ahí que todo parece indicar que debido a que la función lineal y afín se representan por líneas rectas en un eje de coordenadas cartesianas, se presento una confusión entre ambas, de tal forma que en algunos libros de texto de educación básica secundaria y universitarios se refieren a dichas funciones como si se tratara de una misma función a un cuando en realidad la única función lineal es aquella que cumple los criterios de linealidad antes mencionados En el departamento del Caquetá, Coronado y Montealegre (2007), realizaron un trabajo de investigación titulado Tratamiento Didáctico de la función lineal en libros de texto de

4 matemáticas para la educación básica secundaria; para ello seleccionaron y analizaron 8 libros de texto con el criterio de ser los más utilizados para el estudio de la función lineal en el departamento del Caquetá. En las tablas siguientes se relacionan los libros seleccionados para el análisis por periodos TABLA 1. Libros de texto del periodo I ( ) (p.54). Título del libro de texto, edit., año y edición Algebra y Geometría. Serie Matemática Progresiva 9 Norma ª ed. Matemáticas 2000 Grado 8 Voluntad 1994 Procesos matemáticos 8 Santillana 1995 Alfa 8 Norma 1999 Autores Nelson Londoño y Hernán Bedoya Mauricio Villegas Rodríguez Luis Pompilio Beltrán Beltrán Leonor Camargo y Otros Titulo del libro de texto, edit., año y edición Desafíos matemáticos 9. Norma Nuevo Alfa 8 Con énfasis en competencias Norma 2002 Algebra y Geometría I Santillana 2004 Algebra y Geometría II Santillana 2004 Autores Soraya Padilla Chasing Leonor Camargo y Otros Mauricio Bautista Ballen Y Otros Adolfo Javier Herrera Ruiz TABLA 2. Libros de texto del periodo II ( ) (p.55). Dentro de las categorías de análisis para la dimensión conceptual, los autores, siguiendo a Espejo & Sarmiento (2000), establecen que la definición como categoría de análisis, estudia la definición formal de un determinado objeto matemático presentado en un libro

5 de texto. En las conclusiones del estudio se manifiesta que en algunos libros de texto, definen la función lineal partiendo de su expresión algebraica f(x)=y=mx+b, con m y b números reales. LOS LIBROS DE TEXTO MATEMÁTICOS De igual forma, en algunos libros de texto de matemáticas, tales como: Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al algebra lineal (Apóstol, 1998), Cálculo con Trascendentes tempranas (Stewart, 2002), Algebra y trigonometría con geometría analítica (Swokowski, 2002), Cálculo (Leithold, 2004), manifiestan que una función se llama lineal porque su gráfica es una recta, igualmente definen su forma gráfica como f(x)=y=mx+b. INVESTIGACIONES Algunas investigaciones realizadas sobre el objeto matemático función lineal, tales como: El uso de la computadora en la manipulación y conversión de los registros para el estudio de la función lineal (Gómez, 2006), dificultades que presentan los estudiantes de tercer grado de secundaria al trabajar con los diferentes registros de representación de la función lineal (Guzmán, 2006), resignificando el concepto de función lineal en una experiencia de educación a distancia (García y Montiel, 2007), análisis del parámetro como variable en la transformación de funciones: Un estudio con alumnos universitarios (Félix,2009); muestran que generalmente el concepto de función lineal se asocia a características algebraicas como f(x)= mx+b o geométricas debido a que su gráfica es la grafica de una línea recta. De acuerdo con las definiciones de función lineal propuestas en la revisión anterior, se encontró que en su mayoría dichas definiciones, son erróneas pues asocian dicha función con una línea recta, olvidándose que los verdaderos principios matemáticos de donde emerge el concepto de función lineal se encuentra en los fundamentos del algebra lineal como se tratará de mostrar a continuación.

6 REFERENTES MATEMÁTICOS El Algebra lineal, dentro de su campo de estudio se enuncian los vectores, el algebra matricial, los espacios vectoriales (o espacios lineales), las transformaciones lineales entre otros, pero que para los fines de este trabajo se restringe a algunas generalidades acerca de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales. Desde esta perspectiva y de acuerdo con Grossman (2006), un espacio vectorial real (V), puede definirse como un conjunto de objetos, denominados vectores; junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar, que satisface los diez axiomas enumerados a continuación (p.285). Axiomas validos para todos los vectores u, v, w en V y todos los escalares α y β. 1. La suma de u y v denotada u+v esta en V 2. u+v=v + u 3. u+( v+w)= (u+v) +w 4. v+ (-v)= (-v) +v= v=v+0=v 6. El multiplo escalar u α denotado αu, esta en V 7. α (u+v)=αu+αv 8. (α+β)u=αu+βu 9. (αβ) v=α (βv) 10. 1xu=u De otra parte, al comparar las definiciones de transformación lineal propuestas por Grossman (2006), Apóstol (1998) y Sanchez (1994), se deduce que una transformación lineal T, puede entenderse como una función que se da entre espacios vectoriales reales V y W sobre el conjunto de números reales, que cumple las siguientes propiedades o condiciones de linealidad: i) Aditividad T (u+v)=t (u)+t (v) para todo u, v de V ii) Homogeneidad T (k u)=k (Tu) para todo u de V y cualquier escalar K

7 De acuerdo con las expresiones algebraicas anteriores, estas dos propiedades muestran que la transformación lineal es la única función que mantiene la adición y producto por escalar, definidas en los reales como ejemplos de espacios vectoriales reales. En esta perspectiva, Grossman (2006), hace una advertencia al manifestar que no toda transformación que parece lineal lo es en realidad y que las únicas transformaciones lineales de R en R son funciones de la forma f(x)=mx, para algún número real m. Así, pues entre todas las funciones cuyas graficas son rectas, las únicas que son lineales son aquellas que pasan por el origen (p.385). De acuerdo con lo manifestado por Grossman, toda función de la forma f(x)=mx, con m un real constante se le denomina lineal puesto que los elementos del dominio y codominio de dicha función conservan las propiedades o condiciones de linealidad como se puede verificar a continuación: f(u +v)=m(u +v)=mu +mv=f(u)+f(v), Para cualquiera u, v real. f(k u)=k(mu)=k f(u), para todo u real y escalar k. Por su parte las funciones de la forma f(x)= mx+b, aunque difieren sutilmente de las anteriores en el termino independiente b, este hace que no se mantengan las condiciones de linealidad y por lo tanto no puedan considerarse como lineales. Lo anterior se verifica a partir de las expresiones algebraicas siguientes: f(u+v)=m(u+v)+b=mu+ mv+ b f(u)+f(v)=(mu+b)+(mv+b)=mu+mv +2b, Para cualquier u,v, b real. f(ku)=mku+b= kmu+b k f(u)=k(mu+ b)= kmu + Kb, para cualquiera u, b real y escalar k.

8 CONCLUSIONES Las funciones lineales no son todas aquellas que su representación es una línea recta en un plano cartesiano, si no solamente aquellas que cumplen con las condiciones de linealidad asociadas a sus diferentes formas de representación como sucede con las funciones de expresión algebraica f(x)=mx, y cuyo origen verdadero de linealidad se enmarca dentro de los fundamentos del algebra lineal. Debido a que una de las herramientas de apoyo que utiliza el docente para contribuir a que los estudiantes construyan significados asociados a los diferentes objetos matemáticos son los libros de texto y teniendo en cuenta que en algunos de ellos se ha hecho una transposición didáctica equívoca al confundir la función lineal y su afín, se hace indispensable contar con elementos conceptuales que permitan analizarlos objetivamente con el fin de no ir a promover una idea errónea del concepto antes mencionado.

9 BIBLIOGRAFIA Apóstol, Tom. (1988). Calculus. Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al algebra lineal. 2ª ed. Colombia: Reverte Azcárate, G. y Deulofeu, P. (1990). Funciones y Gráficas. Madrid, España:Síntesis Chevallard, Y. (1991). La transposición didáctica: Del saber sabio al saber enseñado. Argentina: Aique. Coronado, A. & Montealegre, L. (2007). Tratamiento Didáctico de la función lineal en libros de texto de matemáticas para la educación básica secundaria: Un estudio en el departamento del caqueta. Tesis de Maestría. Colombia: Universidad pedagógica Nacional. Duval, R. (1999). Semiosis y pensamiento humano. Registros semióticos y aprendizajes iintelectuales. Universidad del Valle: Peter Lang S.A., Espejo, V. & Sarmiento, B. (2000). Evolución histórica del tratamiento didáctico de la serie de Taylor en los libros de texto universitarios: Bogotá: (Tesis de maestría UPN sin publicar). Félix, L. (2009). Análisis del parámetro como variable en la transformación de funciones: Un estudio con alumnos universitarios. Tesis de maestría. México: Instituto Politécnico Nacional Centro de investigación en ciencia aplicada y tecnología avanzada. García, G., Serrano, C. & Espítia, L. (1997a). El concepto de función en los textos escolares. Bogotá: Colciencias y Universidad Pedagógica Nacional. García, G., Serrano, C. & Espítia, L. (1997b). Hacia la función como dependencia y patrones de la función lineal. Bogotá: Colciencias y UPN. García, M. (2007). Resignificando el concepto de función lineal en una experiencia de educación a distancia. Tesis de maestría. México: Instituto Politécnico Nacional Centro de investigación en ciencia aplicada y tecnología avanzada. Gómez, G. (2006). El uso de la computadora en la manipulación y conversión de los

10 registros para el estudio de la función lineal. Tesis de maestría. México: Universidad pedagógica Nacional Francisca Morazán. Grossman, S. (2006). Álgebra lineal. (6ª ed.). Colombia: McGraw-Hill. Guzmán, R. (2006). Dificultades que presentan los estudiantes de tercer grado de secundaria al trabajar con los diferentes registros de representación de la función lineal. Tesis de licenciatura. México: Universidad autónoma de guerrero. Leithold, Louis. (2004). El cálculo. 7 a ed. Colombia: Reverte. Posada, F y Villa, A. (2006). Propuesta didáctica de aproximación al concepto de función lineal desde una perspectiva variacional. Tesis de maestría. Medellín. Stewart. Cálculo con trascendentes tempranas. 4 a ed. Colombia: Thomson. Swkowski, Earl. (2002). Thomson. y trigonometría con geometría analítica.10 a ed. colombia: Valero, P. (2002). El mito del principiante activo: De lo cognitivo a las interpretaciones sociopolíticas de estudiantes en clase de matemáticas. The Danish University of Education, Denmark.