SOLUCIONARIO UNIDAD 1. MATRICES. Actividad 1. a) Tiene dimensión 2 x 3; b) a 12 = 2/5, a 21 = 4 y a 23 = 3. Actividad 2

Transcripción

1 SOLUCIONARIO UNIDAD MATRICES Actividad a) Tiene dimensión ; b) a /, a y a Actividad, y 7, z Actividad a) b) ; ; c) d) ; Actividad t A y A Actividad a) A B b) A B 8 ; ; c) A B C ; d) AB e) BA f) AB C ; ; ( ) 6 Actividad 6 7 AB 6 9 ; B A Actividad 7 a) A B 7 b) A B 8 7 ; ; c) A t B ; 6 8 t 7 t t 6 d) AB ; e) C A 6 8 ; f) B C 6 Actividad AB ( C) 9 ; AB AC

2 Actividad a) AB 8 7 ; b) B A 6 ; c) A B Actividad A A A ; ; ; a partir de A vuelven a repetirse Como, A ( A ) 7, A Por otra parte, como 7 ( A ) A A Actividad y a) A A A y y y y y b) y y De la igualdad de matrices se tiene: y y y y y y Actividad X a a a a X X X b c b c y ab bc c b c a b c a Se establece la igualdad: ab bc c a b c De la igualdad de matrices se obtiene el sistema: a a a y a ab bc b ab bc b c c c y c Para a y c b ; b Para a y c b b; identidad que afirma que b puede tomar cualquier valor Para a y c b b ; el mismo resultado anterior para b Para a y c b b b ; b ; b Por tanto, las posibles matrices X son: ; ; ; b b 9

3 Actividad A A a b A ab a a b ; Se establece la igualdad, a b a a b b a La igualdad de matrices da lugar al sistema: ab ( ) a ( ) b a b b Para a y b A y B ; B ; se observa que, B B; por tanto, B B B B B B B; B B ; A A A A A A a b ab a a b a b 9 9 Se observa que el eponente de la base es inferior en una unidad al eponente de A, por tanto: A 9 9 Actividad A ; A ; de donde, A A A n O matriz nula Actividad a) A b) B / / ; ; c) C, la matriz inversa de C es ella misma / Actividad 6 / / 8 / 8 / / 8 / / / 8 / 8 / 8 / 8 / La matriz inversa es / 8 / 8 / / / 8 / 8

4 Actividad 7 La inversa es Comprobación: Actividad La inversa es: 6 Comprobación: Actividad 9 ª F ª F ª F ª F ª F ª F - De donde A Se multiplica a la derecha y a la izquierda por A A ( A X A) A A A ; ( A A) X( A A ) A A - ; - X A A ; X Actividad Como A X y X B y Se igualan los dos términos y se obtiene: y y y ; de donde ; y ; se sustituye en las otras dos y se obtiene y y y y y y 6 La matriz X será : X

5 Actividad Se calcula A : ª F ª F dividir por ª F ª F ª F ª F De donde A - Se opera, X A B A; se sustituyen los valores 7 y se obtiene X X Actividad a) Matriz de ventas : A,, M 7 6 ; atriz de precios : B 8,,, 8,,, 7 6 b) AB 8,,, 8, 6 9 C 6 El elemento c 6 da los ingresos por venta de los CD normales El elemento c da los ingresos por venta de los CD etras,, c) B A 8,, 8 6 D, 8, 88 7 El elemento d 9 da los ingresos por venta de los CD envasados de dos en dos (de las dos clases) El elemento d da los ingresos por venta de los paquetes de unidades El elemento d da los ingresos por venta de los paquetes de unidades d) Se observa que la suma de los elementos de ambas diagonales es la misma: 79 euros

6 Actividad a) La tabla del enunciado da lugar a la matriz: A 6 6 Los datos del enunciado es la matriz de producción: P El producto AP es la matriz de materiales que se precisan para la producción deseada chatarra AP carbón 6 aleaciones b) Sea P ' y la matriz de producción que se puede realizar a partir de matriz de eistencias E; luego AP ' E z se multiplica por la inversa de A y se obtiene el resultado, P' A E 6 y 8 z La matriz inversa de A es A La solución será: 7 y z Actividad a) Matriz de actividades: A ; b) Matriz de ingresos diarios: I 7 66; c) Nueva matriz de actividades: A' El sueldo diario como telefonista será:,, 7, 7, 7, 7, 8 9, Nueva matriz de ingresos: I 7, 68, 7, 7, 7, 68,

7 UNIDAD INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES Actividad a) Soluciones: y b) Soluciones: y Actividad Soluciones: -- y Actividad a) Por ejemplo 6 ; ; b) 8 > ; > ; > c) < ; 6 < 8; < 7 Actividad Se trasforma la primera en la segunda aplicando los principios de equivalencia Ecuación: 8< Multiplicar por : < 6 Transponer términos: < 8 Multiplicar por : > 8 Actividad Se transforma la primera en la segunda aplicando los principios de equivalencia Ecuación: 8 Multiplicar por 6: 9 8 Transponer términos: 9 6 Dividir por 9: 9 Actividad 6 a) > 8 ; > ; > 6 ; > La solución gráfica es: - b) < ; < ; < ; <6 La solución gráfica es: -6

8 c) ; 6 86; ; La solución gráfica es: d) 9 ; ; ; La solución gráfica es: - e) - ; ; 6 6 La solución gráfica es: f) -6 - < ; < 6; < ; > La solución gráfica es: - Actividad 7, 6,, 6, Sea p el peso del paquetecoste º p; Coste º, p p, p, p, 6p,p p 7 gramos Actividad 8 Las soluciones son los semiplanos coloreados: a) b) c) d) e) I I I I II - - II - - II - - II

9 Actividad 9 La soluciones son los semiplanos coloreados a) b) c) d) 6 9 Actividad En primer lugar se simplifica: Se suma y a los dos miembros: y y > Se opera: y > Se multiplica por ( ) : 6y < Se representa gráficamente - II - - I -6 Actividad a) > ; 6 > ; > ; > La solución general es el intervalo: (, ) b) 6 < ( ); 6 < ; < 9; < La solución general es el intervalo: (,) c) 6 6; < ; 9 6; La solución general será el intervalo: (, ] d) 6 ; 6 6; 9 8; La solución general será el intervalo: [, ) Actividad a) Se representa la recta y ; los puntos del semiplano en color azul, incluida la frontera es la solución general b) La inecuación simplificada es y > ; se representa la recta y, los puntos del semiplano azul son la solución general; los puntos de la recta frontera no son solución c) La inecuación simplifica es y < 6; se representa la recta y 6, los puntos del semiplano azul son la solución general, los puntos de la recta frontera no son solución d) La inecuación simplificada es y ; se representa la recta y, los puntos del semiplano azul son la solución general de la inecuación, los puntos de la recta frontera también son solución 6

10 Soluciones gráficas: a) b) c) d) y y y Actividad a) Se descompone el trinomio ( -- )( ) Se divide la recta en los intervalos (--, -- ) (--, ) (, ) Se toman valores en los intervalos y se ve si cumplen la inecuación Para -- ; (-- -- )(-- ) ; -- 6 (-- ) verdadero; la solución es el intervalo (--, -- ] Para ; ( -- )( ) ; --, falso, el intervalo (--, ) no es solución Para ; ( -- )( ) ; 6, verdadero, el intervalo [, ) es solución b) -- Se descompone el trinomio ( ) únicamente se cumple para c) -- 6 ; se descompone el trinomio, ( -- )( -- ) Para ; ( )( ) ( -- ) (--) ; verdadero, (--, ] es solución Para,; (, )(, ) (--,)(,) ; falso, (, ) no es solución Para ; ( )( ) ; verdadero, [, ) es solución Actividad Se representa las funciones cuadráticas correspondientes y a partir de ellas se obtienen las soluciones a) b) (-, ) (,) a) Solución [, ] b) Solución (, ) Actividad ( ) ( ) a) ; ; ; ; (, ] ( ) 7 7 7

11 b) ; ; ; ; [, ] Actividad 6 6> a) Si 6> entonces ( 6) ; sistema 6 Solución analítica: > y ; o sea el intervalo (, ) 6< Si 6< entonces ( 6) ; sistema 6 Solución analítica: < y ; o sea el intervalo (, ] La solución de la ecuación será: (, ] (, ) > b) Si > entonces ( ) ; sistema Solución analítica: > y ; o sea, el intervalo [, ) < Si < entonces ( ) ; sistema Solución analítica: < y ; o sea, el intervalo (, ) La solución de la ecuación será: (, ) [, ) 8> c) Si 8> entonces ( 8) < 8; sistema < Solución analítica: > y <8; o sea, el intervalo vacio 8< Si 8< entonces ( 8) > 8; sistema > Solución analítica: < y >8; o sea, el intervalo ( 8, ) Solución de la ecuación ( 8, ) > d) Si > entonces 8> ; sistema 8< Solución analítica: > y < ; o sea, el intervalo (, ) < Si < entonces 8 <, sistema 8> Solución analítica: < y > ; o sea el intervalo vació Solución de la ecuación (, ) 8

12 Actividad 7 a) b) (, ) Actividad 8 a) b) (, ) (,,,) Actividad 9 Se representan los semiplanos solución de cada inecuación, la intersección nos da la solución del sistema Actividad -6 a) b) c) d) A(,6)

13 Actividad a) Se determinan las soluciones de cada una de las inecuaciones El conjunto de las soluciones son los puntos del triángulo de color y el punto (, 7) es solución del sistema ya que cumple las tres inecuaciones b) En este caso el conjunto de las soluciones es la región abierta de color c) No tiene solución a) b) c) y y y (, 7) (, 7) (, 7) Actividad Las soluciones aparecen en color: a) b) (, ) (, ) Actividad Las soluciones aparecen en color: a) b) (, ), -,, -,

14 UNIDAD PROGRAMACIÓN LINEAL Actividad Sea el número paquetes que realiza del lote A e y el número de paquetes del lote B La función objetivo será la ganancia de las ventas de los lotes F(,y) 9y Los paquetes están sometidos a las restricciones siguientes: Actividad Sean los microbuses e y los autobuses que se alquilan La función objetivo será el coste total de los autobuses y microbuses que se alquilan F(, y) 7 6y y y 8 y 6 y 6 Los alquileres están sometidos a las restricciones siguientes: y y Actividad Se representa la región factible y se calculan sus vértices Los vértices de la región factible son: O(, ), A(, ) y D(8, ) inmediatos El vértice B se obtiene al resolver el sistema: y ( y) y ; y 6 y ; y 7; ; ; B(, 7) El vértice C es la solución del sistema: 8 y ; y ; C( 8, ) y Se dibuja la recta que resulta de anular la función objetivo F(,y) 9y; 9y y se traslada perpendicularmente a su dirección Se ve en los desplazamientos que el haz de rectas paralelas entra en la región factible por el vértice O(, ), donde la función objetivo vale y sale por el vértice B(, 7) donde la función vale 7 a) La función alcanza el máimo en el vértice B, vendiendo paquetes del lote A y 7 paquetes del lote B b) La ganancia máima que puede obtener es de 7 euros y y 8 y c) Los valores de la función objetivo en cualquier otro punto de la región es menor que el obtenido por donde sale la función objetivo, ya que este es el punto más alejado del origen de coordenadas A(,) 8 6-9y 7 B(,7) C(8,) 9y O(,) D(8,)

15 Actividad Se representa la región factible y se calculan sus vértices Los vértices de la región factible son: A(, ) y C(, 6) inmediatos y 8 Vértice B: Se resta, la primera menos la segunda, y y 6 Se sustituye en la primera, ; B(, ) Se dibuja la recta que resulta de anular la función objetivo F(,y) 7 6y; 7 6y y se traslada perpendicularmente a su dirección Se ve en los desplazamientos que el haz de rectas paralelas entra en la región factible por el vértice B(, ), donde la función objetivo vale 66 y sale por el vértice C(, 6), donde la función vale 96 La función objetivo es mínima o sea, el coste de los alquileres es el menor, si se alquilan microbuses y autobuses 7 6y 6 A(,) En cualquier otro punto interior de la región factible el valor de la función objetivo es mayor ya que su gráfica se aleja del origen de coordenadas 7 C(,6) O(,) - - B(,) Actividad C(,-) a) Se representa la región factible; que resulta ser el cuadrilátero ABCD y - D(,6) B(,-) A(,) Se calculan los vértices Vértice A: y 6 y ; y y y 6 ; A (, ) Vértice B: y y y y ; y 9y 9 ( ) 6 ; B (, ) Vértice C : Vértice D : y y y ; C(, -) y 6 y 6 y 6; D (, 6) b) Se sustituyen los valores de los vértices en la función z y, para ver donde toma los valores máimo y mínimo: z A (, ) -- ; z B (,--) 7; z C (,--) ; z D (, 6) El valor máimo se encuentra en el punto B(, ), su valor es 7 y el mínimo en el punto D (, 6) y su valor es

16 Actividad 6 a) Representación del conjunto ACálculo de los vértices: y dos por primera más segunda; y 6 y ; y - b) Gráfica del conjunto B Actividad 7 B(,) A(,) C(,) Valores de z y en los vértices: F E (, ) ( ) ; F F (, ) Se sustituye en la primera ; B(, ) Máimo de F(, y) y en el conjunto F A (, ) ; F B (, ) ; F C (, ) El valor máimo de z se encuentra en C (, ) y su valor es El conjunto A se puede definir sin necesidad de la inecuación y La función F toma los mismos valores en todos los puntos del segmento EF; los valores de F aumentan al desplazarse paralelamente sobre el conjunto B; por tanto, no tiene máimo en él - E(,-) - El máimo y mínimo de la función f se encuentran en los vértices del cuadrilátero y estos tienen las siguientes coordenadas: A (, ); B (, ); C (, -) y D (, ) Los valores de F en los vértices son: F A (, ) ; F B (, ) ; F C (, --) (--) ; F D (, ) La función tiene un máimo de valor y un mínimo de valor La función F toma el toma el valor máimo en B (, ) y el valor mínimo en dos puntos C (, --) y D (, ); por tanto, es mínima en todos los puntos del segmento CD Actividad 8 Se dibuja la región factible Se calculan los vértice; O(, ), A(, ) y D(/7, ) son inmediatos A(,) 8 6 B(/,/) -7 y -7 y - - y - C(, /) D(/7, ) - - F(,) 7 y Vértice B: y y y Se suman las dos ecuaciones: ; ; y ; se opera: y B, y Vértice C : ; se suman las dos ecuaciones, 7 y ; - - -

17 En la segunda ecuación, y --; se opera: y Se sustituyen los vértices en la función objetivo: F(, y) y FO(, ) ; FA(, ) F B, ; 6 8 F C, 7 ; F D, 7 El mínimo se encuentra en O(, ) y su valor es ; el máimo se encuentra en Actividad 9,8 B(/, /),6 A(,/) C(/, ½),, y - y -, O(,),,,6 D(/,) -, Se dibuja la región factible Se calculan los vértice; O(, ), A(, /) y D(/, ) son inmediatos Vértice B: y y ; se suman las dos ecuaciones: ; y y En la primera ecuación, y ; y B, Vértice C: ; C, 6 C 8, y su valor es y ; y ; y ; D, Se sustituyen los vértices en la función objetivo: F(, y) 6 - y ; FO(, ) ; FA(, ) ; F B, 6 ; F, C 6 ; FD, 6 El mínimo se encuentra en A(, ) y su valor es, el máimo se encuentra en D y su valor es, Actividad Se representa la región factible: Se calculan los vértices los vértices, O(, ); A(, ) y C(, ) son inmediatos y y Vértice B: A(,) ; y y se suman las dos ecuaciones: -- y ; y 6 - Se sustituye en la primera ecuación: 8 B(6, 8) - Se sustituyen los vértices en la función que se desea maimizar: F O (, ) ; F A (, ) ; F B (8, 6) F C (, ) La función objetivo F(, y) y toma el valor máimo en B(8,6) y su valor es 6 B(8,6) y 9 C(,) y - y

18 Actividad Sean e y el número de plazas de fumadores y no fumadores que se ofertan y 9 y 9 Las plazas están sometidas a las restricciones siguientes: y y Se representa la región factible: ; y ; y Se calculan los vértices Los vértices A (, 6) y C (9, ) son inmediatos y 9 El vértice B es la solución del sistema A(,6) Solución: B(, ) y B(,) Se trata de optimizar la función F(,y) 6y - O(,) - C(9,) F A (, 6) euros F B (, ) 6 7 euros F C (9, ) euros El beneficio máimo se obtiene ofertando las 9 plazas a los fumadores Actividad a) Sea el número de cámaras e y el de alarmas que debe instalar para cumplir los objetivos 6< < Están sometidos a las restricciones: 6 < y y 6 El número de cámaras que puede instalar será: 7, 8, 9,,,, o El mínimo gasto en cámaras será si instala 7; por un importe de 7 euros Para instalar alarmas le quedan euros; que le permiten instalar hasta 8 alarmas Por tanto, no puede instalar 7 cámaras y 9 alarmas El máimo número de cámaras que puede colocar será, con un gasto de euros; lo que permite colocar 6 alarmas A partir de la figura que es un trapecio de área ( 8) 8 A 6 posibilidades La función objetivo que se desea maimizar es F(, y) y b) El máimo se encuentra en los vértices: F(7, ) ; F(, ) 8 Por tanto, se pueden colocar 6 dispositivos como máimo; de los que 7 deben ser cámaras y el resto 8 alarmas El coste total es: euros

19 Actividad Sean los abanicos del modelo A e y los abanicos del modelo B que se pueden fabricar 6y 6y y 8y 7 8y 7 y 8 Los abanicos se someten a las siguientes restricciones y 7 y 7 y 7 y y y A(,) 8 6 B(,) C(,) D(6,) a) Se calculan los vértices: y primera menos segunda; y 8; y y 7 7 Vértice B (, ) y 8 primera menos dos por segunda; y 7 y 7 Vértice C (, ) b) La función objetivo (beneficio precio de venta menos el de producción) a maimizar será: F (, y) (,8,8y) (,,y),6,y Se sustituyen los vértices en la función objetivo para ver cómo se logra el beneficio máimo F A (, ),6, euros; F B (, ),6, 8 euros; F C (, ),6, 9 euros; F D (6, ),6 6, 6 euros Se deben fabricar abanicos del modelo A y abanicos del modelo B c) El beneficio máimo es de 9 euros Actividad Sea el número de paquetes de C e y el de C que se pueden preparar y 9 y 9 y 6 y 6 Los paquetes están sometidos a las restricciones siguientes: Se representa la región factible y y Se calculan los vértices: y 9 multiplicar por menos cuatro la primera y sumar 8 y 6 6 y 6 ; y 6 A(,) B(,) Se sustituye en la primera ecuación: 6 y 9; y Vértice B(, ) - D(,) C(,) 6 - a) Se trata de optimizar la función objetivo F(, y),9, y F A (, ),9,,8 euros; F B (, ),9,, euros; F C (, ),9,,7 euros El máimo beneficio se obtiene fabricando paquetes del tipo C y del C b) El beneficio máimo es de, euros 6

20 Actividad Sean e y las coordenadas de la región S Estas coordenadas están sometidas a las restricciones siguientes: B(,) y y y y y y a(,) D(,, ) C(,) Se representa la región factible Los vértices son inmediatos: A(,); B(,); C(,) y D(,,) Veamos donde la función f(, y) y toma el valor máimo: f A (, y) ; f B (, y) ; f C (, ) ; f D (,,), El máimo de la función f se encuentra en C(,) y su valor es Actividad 6 Sea el dinero para préstamos de riesgo alto e y para préstamos de riesgo medio y y Los riesgos están sometidos a las restricciones siguientes: y 8 y 8 y y La gráfica de la región factible es: Los vértices de la región factible son: A(, ) y B(, 8); inmediatos B(8,) A(,) D(,, ) C(8,) Vértice C: F A (,),,7,8 millones de euros La función objetivo a maimizar es F(, y),,7y y el valor máimo se encuentra en los vértices F B (,8),,7 8,6 millones de euros F C (8,), 8,7,8 millones de euros F D (,, ),,,7,78 millones de euros Luego el máimo está en C(8, ) y el valor máimo es 8 euros y 8 7 ( 8 ) 9 7 ; 8; y 9 y 8 8 ; C(8, ) y 6 ;, ; D(,, ) y 7

21 Actividad 7 Sea el número de vagones para transportar coches e y el número de vagones para transportar motocicletas Estos valores están sometidos a las restricciones siguientes: La grafica de la región factible es: - B(,) A(,6) C(8,9) - F B (, ) 6 88 euros y 7 y 7 y y Los vértices de la región factible son: A(, 6) y { y 7; y ; B(, ) y 7 y 7 { y y 7 y 9; 8; C( 8, 9) y La función objetivo que se desea maimizar es F(, y) 6y ; el valor máimo se encuentra en los vértices de la región factible: F A (, 6) euros F C (8, 9) euros El beneficio máimo se presenta en C 8 vagones para transportar coches y 9 vagones para transportar motocicletas; el beneficio máimo será de 96 euros Actividad 8 Sea los modelos de coches del tipo A e y los del tipo B que deben venderse para cumplir los objetivos y y Los modelo están sujetos a las restricciones siguientes: y y La gráfica de la región factible será: 9 y 6 9 y 6 Los vértices de la región factible son; D(, ) y E(, ) son inmediatos y 6 Vértice A: 6 7 A 6 6 ;, ;, 9 y 6 B(,) C(,) y Vértice B: B(, ) Vértice C: C(, ) A(6/, 6/) y y E(,) D(,) - - Precio del modelo B 9 / 9 euros La función objetivo que se desea maimizar es F(, y) 9 y - F A (,7,,7) 9,7,7 9 euros; F B (, ) 9 euros F C (, ) 9 euros; F D (, ) 9 8 euros F E (, ) 9 6 euros a) Para maimizar beneficios se deben vender coches del modelo A y coches del modelo B b) El importe de la venta será euros 8

22 UNIDAD LÍMITES, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS Actividad a) L ' Hôpital ind ; ' b) L Hôpital ind ind L Hôpital 6 ' ; 6 6 L ' Hôpital c) ( ind ) 8 6 Actividad a) ( ind 7 6 ) ; 6 b) ( ind ) ; c) Actividad 6 a) b) Actividad a) ind ; 7 b) ( ind c) ) ; 6 ( ) { } cambio n n n n n conjugado ( ind ) n n n n n n n n n n n n n n n n Actividad ( ind ) 7 8 a) e e e e ind L ' Hôpital ind 6 L ' Hôpital c) ind 6 6 ; ' 6 L Hôpital ( ind ) e e e e e e ind e 6 ; 6 LH ' ôpital ; b) e e ; c) e e 9

23 Actividad 6 a) ind y lny Actividad 7 ( ) ( lny ) ln ( y ) y e ; b) ind y lny lny ln y a) L ' Hôpital ind L ' Hôpital ind ; L Hôpital 8 6 b) ind 6 ' 6 6 ln( L ' Hôpital ) ln( ) ( lny ) ( ind ) y ( L ' Hôpital ln ln ln ind l ) í m lny l í m y e ; ln c) y lny ( lny ) ln ln ind lny y ln ln ( y ) y e L ' Hôpital ( ind ) Actividad 8 a) ind restamos ( ) ( ) ( ) 8 L ' Hôpital 9 b) ( ind ) L ' Hôpit al ( ind ) ; Actividad 9 L' Hôpital a) ( ind ) ; b) L Hôpital ind 9 ' Actividad L ' Hôpital 9 a) ind 9 ; 9 9 b) L Hôpital ind 9 ' 6 7

24 Actividad a) ( ind ) 6 ( ) b) ( ind ) Actividad ( ) 6 a) ( ind ) e e e veces L 'Hôpital b) ( ind ) 8 8 Actividad 6 Para la representación gráfica consideramos la función que aparece en cada trozo: una recta (la bisectriz del er - er cuadrante, que termina en (--,--)), una parábola (que pasa por (--,), vértice (,) y termina en (,--)) y una función constante f ( ) f f En tenemos: f ( ) f f ; ( ) / f La función presenta una discontinuidad inevitable de salto finito Actividad a) f ; f ( a ) 7a para que f sea continua en 7, f f 7a a 7 7, si < 7 b) La función queda f y su gráfica es la que aparece a, si 7 la derecha Actividad Posible punto de discontinuidad f ( ) ; f ( ) / f f es continua en R{}, y presenta una discontinuidad inevitable de salto finito en Actividad 6 8 a) Posible punto de discontinuidad 6: f (, ) 7 f 89, , la diferencia en gasto es de,9, que es un % superior 7

25 b) Separando G en sus dos funciones componentes tenemos: G (), -- recta creciente (pendiente positiva) c) r 7 Descomponemos la fracción G en la forma: c, quedando: G 7 d 8 8 constante función de proporcionalidad inversa siempre creciente (por el signo menos del numerador) o también a 8 través de la derivada G ' G es creciente en todo su dominio 8 G 7 8 Actividad 7 y DEN > No tiene asíntotas verticales ± No tiene asíntota horizontal ± ± ± m f ± ± ± n ( f m) ± y Ob La función se acerca a su asíntota ± ± ± ± y yob cuando y oblicua del siguiente modo: y yob > > yob y yob < cuando y < yob Actividad 8 a) f() ; f ( ) ; f ln ln f f f es continua en R b) La función se compone de: b º) parábola con vértice en V, yv y a Como V <, tomamos los puntos (,) y (,); 8 º) logaritmo neperiano, comenzando en (,) Actividad 9 ( ) f DEN l > No tiene asíntotas verticales í m ( ) y H ± ± No tiene asíntota oblicua, porque tiene asíntota horizontal y H, que se acerca a la función del siguiente modo: > si f > y sgn( f yh ) sgn sgn < si f < y H Actividad f { } a) DEN, Dom f R, H

26 b) 8 Los posibles puntos de discontinuidad son y f( ) / f( ) discontinuidad inevitable de salto infinito f 7 / f discontinuidad inevitable de salto infinito f es continua en R{, } c) Asíntotas verticales --,, comportándose en sus proimidades como: 8 7 ; 8 7 no tiene asíntota horizontal ± ± ± m f ± ± ± n f m 6 ( ) ± ± ± ± yob La asíntota oblicua se acerca a la función del modo siguiente: 7 7 sgn( f yob ) sgn sgn sgn 7 7 > si f > y < si f < yob Ob Actividad f a) NUM ± DEN ± Dom f,,, ( ] ( ) [ ) ( ) ( ) sgn (, ) (, ) (,) (, ) (, ) b) Asíntotas verticales, La función siempre tenderá a, porque siempre es positiva ± ± y H La función f va siempre por debajo de y H, porque < Actividad, si < f, si a a) f ( ) f a ; a 7 f f a a a

27 b), si < f Separamos la función en sus dos componentes:, si f no tiene asíntotas de tipo alguno f asíntota vertical ; y H La función va por debajo de la asíntota horizontal, porque sgn < cuando Actividad e, si < f a, si Actividad Damos dos ejemplos de posibles solución del ejercicio:, si a b, si a< < b f a f b a a Ej : f b ( b), si b c f b f b ( b ) b b b b ( b) b, si > c f c c, si < a f f, si a b a a b( b) Ej : f b( b) f f, si b < < c b b ( )( ) b b b ln( c), si c f ( c) c c ln Actividad, si > f f ( ) 6 f, si ( ) / f Actividad 6 a, si < f b, si < Posibles puntos de discontinuidad, e a, si f ( a) a f ( b) b a b; f () ( b) b f ( e a) a b a Resolviendo el sistema se obtiene a, b f ( e ) ; f ( a) a f f * ( a) a ± a a

28 Actividad 7, si > f f, si 8 / f f ( ) Actividad 8, f k, si si f ( ) k Actividad 9 a) DEN Posibles puntos de discontinuidad son, b) f discontinuidad inevitable de salto infinito lim f ; lim f factorizando ( ) ( ) f ( ind) ( )( ) discontinuidad evitable c) Podemos añadir al dominio el número, redefiniendo la función o simplificando los factores, pero no el número Actividad Por lo tanto, a lo sumo, Dom f R a) f f No es continua en m f b) ± n lí m 8 8 f tiene una asíntota horizontal y cuando y una asíntota oblicua y 8 cuando H { } Ob

29 UNIDAD DERIVADA DE UNA FUNCIÓN APLICACIONES (I) Actividad a) y y ( )( ) 6 ' Actividad ( a) y y b) ) ( ) ' ; y y' ; ( ) ( ) ( ) ( 8 6 c) y ) y ' Actividad a) y y ( ) ( 6)( ) ( ) ' 8 ; Actividad a) y ln ( 6 7) y' ; b) y y' 6 7 Actividad ( a) y y b) y y ( ) ) 8 ' ; ' ; ( ) ( ) c) y 8 y ' 8 y ' Actividad 6 a) y e y' e e e ; b) y y ' 8 Actividad 7 a) y e y e b) y y 7 ' ; ' c) f f ' 8 8, ( 8), c) y y ',,, b) y ln y' ln ln ( ln ) ; c) y y ( ) ( ) ' ; ( 8 ) ( ) b) y e ( ) y' e ( e )( ) e 6 ; c) y y ' ( ) ; ; 6

30 Actividad 8 ( ) ( ) ( ) a) y y ( ) ' y ' ; ( ' ) ( ) ( 7 b) y y y y 7 ) ; c) ' 7 Actividad 9 a) y sen( ) y' ( ) cos ( ) ; b) Actividad a) y e y e ( ) ' 6 b) y y 8 ' Actividad y y ; f ' e f ' r : y r : y y y ' Actividad f ' y y( ) 7, 7 de la recta es r : y 7 r : y 6 Actividad a f ' f ' a ( a ) ( a ) ± ( a) a r: a a f r: y ( ) r: y 6 r : a a f r : y ( ) r : y Actividad a) y es continua en todo R ; y', < f si b), s i ( ) Actividad b f a f f b a f ; '( ) '( ) a, b { } DEN / y '( ) y es derivable en R es continua en R porque f ( ) f ( ) Sin embargo, f '( ) f '( ) y ' es el punto de tangencia y la ecuación f es derivable en R{} 7 7

31 Actividad 6 a) y y' Como DEN es derivable en R b) 8 f es continua en su dominio f ' Vemos que f ' (, /) (/, /) (/, ) sgn( puede ser calculada en todos los puntos del dominio de f, por -- ) -- lo que podemos concluir que f es derivable en (, /)#(/, ) si c) Escribimos la función usando la definición de valor absoluto: y, < El único punto problemático es, si Continuidad: f f f es continua Derivabilidad: f '( ) ; f '( ) f '( ) f es derivable en R Actividad 7 a b, si < f a, si Posibles puntos de discontinuidad, b a, si > Continuidad: -- f ( ) ( a b) a b ; f ( ) ( a ) a a b a f ( a ) a ; f ( b a) b a a b a a b a a b a, b a b a a b Para estos valores de a y de b la derivabilidad queda: f '( ) ; f '( ) / f '( ); f '( ) ; f '( ) / f ' Por lo tanto, f es derivable en R, Actividad 8 f ln ( ) Dom f { R/ > } ± Dom f, { } (, ) y, si <, si Posible punto de discontinuidad Continuidad: f f f es continua Derivabilidad: f '( ) ; f '( ) / f ' f es derivable en R{} 8

32 Actividad 9 a, si f Posible punto de discontinuidad b, si > Continuidad: f ( a ) a ; f ( b) b a b Derivabilidad: f '( ) a a ; f '( ) a b 6 a a b a, Actividad ( a) y ' y '' ) ( 6 7)( )( ) y '' ; Actividad ( a) y ' y '' ( ) ) ( ) ; ( ) ( ) 8 8( )8 8( ) 8( ) 6 b) y ' y '' ( 6 6) ; c) f ' f '' Actividad a) y' e y'' 9 e ; b) y' Actividad a) y' e y'' 8e 6 ; b) y' ( )( ) y '' Actividad a) y ' y '' ( ) ; b) y ' 6 6 ( ) ( ) ( ) y '' ( ) ( ) ( 6) 7 ( ) ( 7) ; c) y ' y '' ( ) b) y ' y '' y '' ( ) Actividad a) y' ( ) cos ( ) y'' cos( ) ( ) sen( ) ; b) y y ' y '' ( ) ( ( ) ( ) 9 7 ( 8 ) y '' ; c) y ' y '' ( 8 ) ) ; c) f ' f '' 9

33 Actividad 6 NUM ± f ' DEN > en R{} Actividad 7 y' 6 en Actividad 8 y' e y' y Actividad 9 f ' e f ' Actividad f ' ( ) Actividad 6 8, 8 NUM y ' 6 ( 8) 8, 8 DEN > en R{ 8} Actividad > R{ } es un punto de infleión: y'' ( ) y'' y' y', y ( )( ) y' NUM ( ) ( ) DEN triple Ruffini y siempre es creciente Carece de puntos críticos, pues aunque y' en (, ) (, ) (, ) sgn f ' -- f C v D b C v (, ) (, ) (, ) sgn y í -- y C v D b C v (, / ) ( /, ) sgn f ' -- f D b C v (, ) (, /) ( /, ) sgn f ' f D b C v D b (, ) (, )-- { -- 8} (, ) sgn y í -- y C v D b C v (, ) (, ) (, ) (, ) sgn y í y D b C v D b C v Actividad a) y' y'' y'', 6 Punto de infleión (, ) (, ) sgn y íí -- y # b) y' 6( ) y'' ( ) y'' Punto de infleión, Actividad NUM > a) y ' y '' No tiene puntos de infleión DEN ( triple) (, / ) ( /, ) sgn y íí -- y # (, ) (, ) sgn y íí -- y # 6

34 b) 8 y ' y '' ( ) 9 ( 9) No tiene puntos de infleión NUM > DEN triple ± (, ) (, ) (, ) sgn y íí -- y # # Actividad a) y ' y '' ( ) 9 7 ( ) b) Actividad 6 NUM a) y ' y '' ( ) 6 ( ) > 8 8 DEN 8 b) Actividad 7 NUM a) y ' y '' ( ) ± DEN > b) Actividad 8 a) No tiene puntos de infleión ( ) y e ' y'' e y'' Punto de infleión No tiene punto de infleión y ' y '' Punto de infleión (, ) e, Puntos de infleión,ln ;,ln ( ) y' e y'' e y'' y Puntos de infleión,, (, ) e ± ± y e ' y'' e y'' Puntos de infleión, ;, e e NUM b) y ' y '' ( ) 6 ( ) ± DEN > Puntos de infleión, ;, NUM, NUM > DEN y NUM DEN > en R{ } (, ) (, ) (, ) sgn y íí -- y # # (, / ) ( /, ) sgn y íí -- y # (, 8) ( 8, ) sgn y íí -- y # (, ) {} (, ) sgn y íí -- y # (, ) (, ) (, ) sgn y íí -- y # # (, ) (,) (, ) sgn y íí -- y # #,,, sgn y íí -- y # #,,, sgn y íí y # 6

35 Actividad 9 a) b) y ' Actividad y '' 6 ( ) NUM, ± 6 DEN > 6 Puntos de infleión 6 6, ;, ; 8 6, 8 y ' y'' y'' y Puntos de infleión, 7 ;(, ) (, --AG6 ) (--AG6, ) (, AG6 ) (AG6, ) sgn y íí y # # (, ) (, ) (, ) sgn y íí -- y # # a 96 a) f ' a 8; f '' f '' > f en cuando a 8 b) AV: ; No tiene AH; A Ob: y 9 Ob tiene un mínimo Actividad a) f '' ( 6 8) f '', Actividad Puntos de infleión (,8); (,9) b) ) la gráfica que se adjunta ) Sólo puede anularse 8, ) 8, si < f ', si < < f, si > No eisten ni f '( ) ni f ' ) y( 6) ; f '( 6) r : y a) y' y'' 6 y'' punto de infleión (,); recta tangente r : y b) Si no es punto crítico es porque es un punto de infleión: f() a b c ; f '() a b; f '' a 6 a, b, c (, ) (, ) (, ) sgn y íí -- y # # es decreciente en (, ), constante en (, ) y creciente en (, ) (, ) 6

36 UNIDAD 6 APLICACIONES DE LA DERIVADA Actividad a) b y 7 parábola con vértice en V, yv y 7 V(, 7) Corta al eje OX en los puntos a y ± 7 7, ; 7, El valor absoluto convierte el trozo negativo (que va de 7 a 7) en positivo b) 7, si 7 y 7, si 7 < < 7 y' ; y 6 r : y 8 7, si 7 V(,7) 7 7 c) De la gráfica de la función obtenemos que sólo tiene un máimo en su vértice (,7) Usando la derivada: ( ), si, 7 7, y ' y', si ( 7, 7 ) ( 7, 7) y '' < máimo en (, 7) Actividad Función a optimizar: V ( 8 ) ( ) 6 V' ; V ' Actividad f ' a f ' a a ; f b b Actividad R', R' ; R''( ), a) la rentabilidad máima se obtiene invirtiendo euros; b) R má, euros Actividad Función a optimizar : S (, y )( ) ( y ) S 6 S' S' Relación variables : y 8 y ; S'' S '' > el gasto de papel es mínimo para cm, y 6 cm Al resolver la ecuación 9 desechamos la solución negativa por no tener sentido en el problema Actividad 6 V Función a optimizar V V ' V' ; V'' > mínimo para g ( absurda) V V 8 ; ; '' '' > V '' 8 < el volumen de la caja es máimo cortando un cuadrado de lado cm y vale V 8 má cm 6

37 Actividad 7 B B' B' ; B''( ) < El beneficio es máimo para una venta de unidaddes diarias, siendo B má 87, euros Actividad 8 a) f a b c f ' a b f '' a f '' a a f '( ) b b ; f c 7 c b) Como es un polinomio de º grado con un mínimo, es decreciente en (, ) y creciente en (, ) Actividad 9 π r Función a optimizar : A( r, h) rh ( π ) r h A r ( π ) r Relación variables : P h r π r A'( r) ( π ) r A'( r) r ; A''( r) ( π )< r m; π máimo para π h m π Actividad a( b ) a b a) y ' y '( ) b b a ; y'' (, ) (, ) (, ) NUM b) y ' ( ) ± sgn y DEN > í y D b C v D b Actividad a) '' C ' ' '' A( ), < CA, 6 8, 7, CA, CA, 8, la compañía A '' C A ( ), > ' ' '' alcanza su máima cotización al º día y la mínima el º C, C, > la compañía B alcanza su mínima cotización el º día a absurda y a b a ; y y y''( ) < y tiene un mínimo en, para a b CAmá CA( ) 7, CA min CA( ) 7, CB min ( ) 77, CB CB 8, b) La compañía A estuvo al alza del º al º día; después a la baja hasta el º día, y de nuevo al alza a partir del 6º La compañía B estuvo a la baja hasta el º día Después estuvo al alza Actividad 7 7 min h T ( ) 6 T t t t 6 t 7 7 t t, han de pasar 9 min 6 6 h T'( t) t T'( t) t ; T''( t) < la temperatura máima se alcanza al cabo de hora, valiendo T T () má Como no se obtiene ningún mínimo relativo, la temperatura mínima debe encontrarse en alguno de los etremos del intervalo: T T T mín, dicha temperatura mínima se produce a las ó a las horas B B C B 6

38 Actividad 6a a 6 f ' a b c f '' 6a b ; f '( ) 8 c b b c ; f( ) 8 6 d d f 6 Actividad a) f ' es positiva en (, ) f es creciente en (, ); f ' es negativa en (, ) f es decreciente en (, ); f 'es cero en g' es negativa en (, )#(, ) g es decreciente en dichos intervalos; é es positiva en (,), por lo que g es creciente en dicho intervalo; g' es cero en, b) f tiene un máimo en (a su izquierda crece y a su derecha decrece); g tiene un mínimo en (a su izquierda decrece y a su derecha crece) y un máimo en ( a su izquierda crece y a su derecha decrece) Actividad Función a optimizar : A(, y) y A A' A' Relación variables : 6y y ; A''( ) < tiene un máimo para m, y m, siendo el área máima cercada Amá m 7 Actividad 6 C C' ; C'' C '' > mínimo para unidades, con un coste mínimo que vale Cmín C Desechamos la solución negativa, por no tener sentido en el problema Actividad 7 Función a optimizar : C(, y) y C C' C' 6 ; Relación variables : y 8 y 6 C'' C''( ) > el coste es mínimo para m, y m, valiendo C mín euros Desechamos la solución negativa, por no tener sentido en el problema Actividad 8 f ' a; f ' a a ; f 8 b b 6 f 6 f( ) 6

39 Actividad 9 ( ) ) Dom y R; ) y( ) y impar, simétrica respecto del origen de coordenadas; ) ) ) No tiene Asíntotas Verticales (AA VV) por ser un polinomio Asíntota Horizontal (AH): ( )± No tiene AH 6) f OX ( ), ;, ;, ; f OY (, ) (, --AG ) (--AG, ) (, AG ) (AG, ) sgn y íí Asíntota Oblicua (A Ob): ± y' y' ± 7) Máimo en (-, ) y mínimo en (, -) m ± No tiene A Ob (, ) (, ) (, ) sgn y í -- y Cv Db Cv (-,) (,-) 8) yíí 6 yíí Punto de infleión (, ) (, ) (, ) sgn y íí -- y # Actividad ) Dom y R pues el denominador es positivo siempre ) y( ) y par, simétrica respecto del eje OY ) f OX y no corta al eje OX ; f OY y, ) La función es siempre positiva, porque lo son su numerador y su denominador ) No tiene AA VV; AH: yh ; y > yh porque y es positiva ± 6) y ' NUM ( ) DEN > (, ) (, ) sgn y í -- y Cv Db 6 NUM 7) Máimo en (, ) ; 8) y '' Puntos de infleión ( ) ± DEN >, ;,,,, sgn y íí -- y # # (,) 66

40 Actividad ) Dom y R {o}; ) y( ) y par, simétrica respecto al eje OY ; ) f OX y (, ) la función corta a los ejes en el origen de coordenadas; ) NUM en DEN ± > R{} ) AA VV: AH: ; No tiene A Ob por tener AH sgn y y sgn ( H) >, cuando ± y > y 8 NUM 6) y ' ( ) (, ) --{--} (, ) --{} sgn y DEN > en R { ± } í -- y Cv Db 7) Máimo en (,) 8) No tiene puntos de infleión 8 y '' (, ) (--, ) -- {} (, ) sgn y -- NUM > DEN triple ± (, ) (, ) (, ) sgn y íí -- y # # ± y H ± H Actividad ) Dom y R-- {}; ) no es simétrica; ) f OX doble, f OY / y Nocortaal ejeoy 8 8 (, ) (, )-- {} ) ) AA VV: sgn y -- 8( ) 8 8( ) AH: 8 8 lim y No tiene A Ob por tener AH H ± ± ± 6), cuando y y sgn y y sgn 8 ( H ) < < >, cuando y > y H NUM, y ' 8 DEN > en R{} 7) mínimo en (,) y máimo en, 7 H (, ) (, ) (, ) sgn y í y Db Cv Db 67

41 8) NUM ; y '' DEN ( quíntuple) puntos de infleión con, y ;, y con y, 8 ; y, (, ) (, ) (, ) (, ) sgn y ì y # #, 7 (,) Actividad ) Dom y R-- {o}; ) y( ) impar, simétrica respecto del origen de coordenadas; ) f OX y (, ) es el punto de corte con ambos ejes; (, ) (, ) (, ) (, ) ) NUM DEN O ± sgn y ) AA VV: AH: ± ± ± ; ( ) No tiene AH: 6) A Ob: m yob sgn( y yob ) sgn y ' 7) Mínimo en, y máimo en, ± ± ± ; n lí m ± NUM ( doble), ± DEN > en R { ± } cuando y y >, > <, cuando y < y Ob 6 NUM 8) y '' Punto de infleión (, ) DEN ± ( triple) sgn y ì (, ) (, ) (, ) (, ) y # # Ob (, AG ){ } (AG, AG )-- {, } (AG, ) sgn y í y D b C v D b 68

42 Actividad ) Dom y R; ) par, simétrica respecto del eje OY: y( ) ( ) ( ) y; ) f OX y ±,, y, ; (, ) ; la función, corta al eje OY en el origen de coordenadas; ), ) no tiene AA VV ; AH: {},, ± sgn y -- No tiene AH; A Ob: m ± ± ± No tiene A Ob; 6) y' y' ( ), y,,,, sgn y í y Db Cv Db Cv 9 9 7) Mínimos en, y, ; máimo en (, ); 6 6 8) Actividad ) Dom y R{} ) No es simétrica ) ) y'' y'' ± Puntos de infleión,,, 6 6 ) AV : y y ; (, / ) ( /, / ) ( /, ) sgn y íí -- y # # (, ) { } (, ) (, ) sgn y -- f OX, ;, No corta al eje OY AH : y H sgn( y y H) >, cuando sgn <, cuando NUM (, ) (, 6) y ' / ) ( /, ) DEN sgn y í -- y Cv Db Cv 7) Mínimo en,, - 69

43 8 6 NUM 8 8) y '' Punto de infleión, 7 DEN > en R{} (, 8 / ) { } ( 8 /, ) sgn y íí -- y # Actividad 6 ) Dom y R ± { } ) Impar, simétrica respecto del eje OY ) Corta a los ejes en (,) ) (, ) (, ) (, ) (, ) sgn y y y ) AA VV : ; ; y y AH : y y H ( ) <, cuando y < y H sgn y yh sgn ± >, cuando y > y H No tiene AOb portener AH NUM 6) y ' ( ) < y' < y es decreciente en su dominio DEN > en R { ± } 7) No tiene puntos críticos ( ) NUM 8) y '' DEN ± ( triple) (, ) (, ) (, ) (, ) sgn y íí y # # Punto de infleión (, ) - 7

44 UNIDAD 7 INTEGRALES Actividad 7 9 a) 7 d k; b) 9 d k Actividad a), b) d, k; d k Actividad a) d k; b) 7 8 d 8 k Actividad a) ( 9 ) d k b) 8e 9 9 ; d 8e ln k Actividad a) 6 d k; b) 6 d ln k Actividad 6 a) b) Actividad 7 ( ) ( ) ( ) 6 d ( ) d k 6 u d du du 7 du lnu k ln ( ) k u' d 6 u u 6 u 9 a) 9 d du du u 9 u 8 d ' u du u k u 7 b) d 7 du 7 du 7 7 du u k u 6 d u 6 6 ln ln ( ' u 6 6 ) k 6 k; Actividad 8 a) cos d sen k b) 8 ; 8 d ln ( ) k Actividad 9 a) b) u 8 d du du u 8 u du u k 8 u 6 d ' e d e k k; Actividad 7 a) 7e d e k; b) e d e k 7

45 Actividad u sen 8 cos a) d sen 8 du cos du du u' cos d ln ln 8 ; u cos u k ( sen ) k u cos 7 7 b) d ln ( ) k Actividad u 6 u' 6 a) d du 6 u 7 u' 6 b) du 8e d 6 Actividad si ( ) d <, ( ) d ( ) d si d d d, ( ) Actividad ( ) du u du 7 e k e k 6 u u ln u k ln ( 6) k f f ( ), y A f d F( ) F F A F F( ) F F 8u F Actividad f ( ) d ( ) d ( ) d ln d d ln ( ) Actividad 6 si, f, si < como los ites de integración son,, integramos f, f, si > f ; f < La función es continua en, pues f lim ( ) f ( ) F () F El área vale A ( ) d ( ) d F ; F A u F F ln 7

46 Actividad 7 Actividad 8 Actividad 9 a) a a) d a l n( ) ln a; b) d ( ln ) ln ( a ) a e a e ; c) a d ln a a e F e f e f A e d F A e u e F a a a ( ln a ) ln a ln e a a e a e a a( e ) a a h g f 6 h ( ) y la anchura del dibujo es de m y su área vale A h ( ) d H ( ) H A m H b) m euros En los m caben, es decir, figuras y huecos El coste será C fig euros fig m Actividad h f g h A d u Actividad h h 8 ( 8), A h d H 8 H 6 A u H Actividad h a h ( a) a, y a A h d hd a H( a) a H H A a a a a u a 8 a 8 a H( a) a a 7

47 Actividad f 8 f, y A f( ) d f d 6 F( ) 6 6 F 8 F( ) A u 6 F() Actividad e e e F 7 e k F 7 k 6, 7 k F 7 e Actividad f, f < F, 8 S f d F > 8 S m F Actividad 6 h f g h ( ), y A hd hd H( ) 8 H H A H H( ) H H u 8 H Actividad 7 π π 8 a) sen d cos ; b) Actividad 8 H ( ) h h ± A hd H H ( ) A HH 8 u Actividad 9 a) π π π cos sen d ln sen π π ln ln ln ln ; b) 7 e e e e d d ( e ) e e u e e e e e du du du u' ( e e ) d u e e u e e u ( ) ln ln( ) ln( ) ( e e ) e e e d ln e ln e ln ln e π Ruffini 6 e e e e e e d

48 Actividad f a ; g h ( a ) h ( a ) a ( a ) A h d H H a ( a ) H a 6 a Actividad F a) F sen ln( ) I l F ln( ) n ( π ) π π u e e u' e e b) du d e e Actividad f '' a) f ' ± f '' 6 < 6 máimo en f '' 6 > Actividad, 6 ; punto de infleión (, ) F( ) ln e e e d e lnu ln e e u e e F() lne e 9 b) f,, A f d f d F ( ) ( a ) 6 ; A ( a ) 6 ( 6, ), mínimo en 7 F( ) F 7 F() y 6 a 6 A 7 I u h h,, A hd hd H 7 H H A 8 H u y y 6 7

49 Actividad f ''( ) > a) f ' f ' ± ; f '' mínimo en f ''( ) <, y máimo en (, ) F() b) f, A f d F ln 7 A ln u, u F ln Actividad a) f( ) g( ) a b c c ; f g a b c a b 7 a ; b a b b) g'( ) r : y( ) ( ( ) ) r : y UNIDAD 8 PROBABILIDAD Actividad El espacio muestral es el total de entrevistados, Es conveniente hacer un esquema como el del ejemplo : F, fumadores, tiene 9 elementos, B, bebedores, 68 y F B tiene elementos Es evidente que F GB tiene 9 7 elementos y GF B consta de 68 Por otra parte, F B (F GB) ( F B) (GF B), luego este suceso tiene 7 elementos y como GF GB es el complementario de F B, estará formado por 8 elementos Actividad Si Si { } { } { } { } { } { } {,, }, Luego { t, v }, A B { r, s, u, w,, y, z} {,,,,,,}, A r, s, t, u, v, A w,, y, z B t, v,, B r, s, u, w, y, z A B r, s, t, u, v,, A B w, y, z A B w y z A B A B A B c) h f g h, A hd 7 H() H A H( ) A B r s u w y z Luego A B A B u 9 Actividad Si P(A),, P(B),6 y P(A B),8 Como P(A B) P(A ) P(B ) -- P(A< B), P(A< B) P(A ) P(B ) -- P(A B),,6,8, Actividad Si PA, PB y PA ( B), entonces 76

50 a) PA PA ; b) PB PB ; c) PA ( B) PA PB PA ( B) ; d) PA ( B) PA PA ( B) Actividad 8 Si PA ( B), PA ( B) y PB, entonces PB PB ; PA PA ( B) PB PA ( B) 9 8, y como PB PA ( B) PA ( B), PA ( B) PB PA ( B) 9 Actividad 6 a) P(6) (,,,,,),; b) P({,,}),,,, Actividad 7 P(empate#gane#pierda), P(empate) P(gane#pierda) (,,), Actividad 8 a) P(A ) P(se obtiene al menos un ) /6 b) P( B) P(se obtiene un doble) 6/6 /6 c) P(A< B)) /6 d) P(A B 6/6 Actividad 9 Divisibles por {,, 6, 8,,,, 6, 8, ], P(divisible ) / / Divisibles por {, 6, 9,,, 8}, P(divisible ) 6/ / P(divisible divisible ) / Divisible por 6 {6,, 8}, P(divisible 6) / P(divisible < no divisible 6)) / Actividad menús Actividad De A a C hay caminos El trayecto de ida y vuelta A C A, empleando recorridos distintos a la ida y a la vuelta es: ida, caminos; vuelta, ( ) ( ) 6; en total, 6 7 caminos Actividad a) Si hay devolución: P(NR) 6/ /, P(RN) / 6/, P(NR, RN) 6/ / /, b) Si no hay devolución: P(RR) 6/ /9, P(NN) / /9, P(RR, NN) 6/ /9 / /9 7/ Actividad a) Con devolución de la primera carta: P(AA) / / /, P(A À) / 6/ 9/ b) Sin devolución de la primera carta: P(AA) / /9 /, P(A À) / 6/9 6/6 Actividad a) P(A/B),/,,9; b) PA ( B) PA ( B) PA ( B), PA ( B) PA PB PA ( B),7,,,7 Actividad P(A B ),7, P(mujer) 7%, P( ) 8%, P(mujer / ) P(mujer ) /P( ) 6% /8%,7 - totales hombres % 7% % mujeres 6% % 7% 8% 7% % 77

51 Actividad 6 Sea A el suceso la alarma se activa e I el suceso se produce un incidente, los sucesos À y GI ; no se activa la alarma y no se produce incidente Conocemos: PA ( I), PI ( A) ypi a) Se debe calcular P( I A), sabemos que I ( I A) ( I A), siendo I A y I A incompatibles Luego: b) Actividad 7 a) Si PA ( B) PA PB tenemos que probar que PA ( B) PA PB Por un lado, PA ( B) PA ( B) b) Actividad 8 a),7 P( A B) P( A B) P( A B), luego P( A B), 7, Como no se cumple que b) PI P(( I A) ( I A)) PI ( A) PI ( A) PI ( A) ; PI ( A), 8 Para calcular PA, sabemos que, A ( I A) ( I A), siendo I Ay I A sucesos incompatibles 7 Por tanto: PA P(( I A) ( I A)) PI ( A) PI ( A), 8 c) P(I /A) P(I A)/P(A),8/,8,8 PA ( B) PA PB PA ( B) Por otro lado, P( A) P( B) ( P( A)) ( P( B)) P( A) PB PA ( B) Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí PA PA ( B) PA ( B), PA PA PB PA ( B), PA PA PB PA ( B), PA ( PB ) PA ( B), PA PB PA ( B ), luego A y B son independientes PA ( B) PA PB no son independientes PA ( B) PA PB PA ( B), PA ( B) 6,,,, Actividad 9 a) Con devolución Sea A copa en la primera y B copa en la segunda P(A< B) P(A ) P(B) / / /6 b) Sin devolución P(A < B) P(A ) P(B/A) / 9/9 / Actividad Recurriendo a la fórmula de la probabilidad total obtendríamos: P(negra) P(ª urna) P(negra/ª urna) P(ª urna) P(negra/ª urna) / /8 / 7/ / /6 / 6/6,6 Actividad P(falsa) / /8 / /6 / / 9/96, Actividad P(soltero),7,,,,6 Actividad PD PS ( / D) Sea D directivo y S soltero, por el teorema de Bayes,, PD ( / S) 6, PS 6, Actividad a) Sea G ganar un caso, haciendo un diagrama en árbol es fácil ver que P(G),,6,,8,,7,7 PA PG ( / A), 6, b) PAG ( / ), PG 7, Actividad P(regar) /, P(no regar) /, P(mantenerse/regar) /, P(perderse/regar) /, P(mantenerse/no regar), y P(perderse/no regar),7, 78

52 P( no regar ) P( perderse / no regar ) 7, P( no regar / perderse) 7, P( perderse) 7, Actividad 6 a)! ; b) (9 )! 7! ; c) ( )! 6! 7 Actividad 7 ( 8)!! Actividad 8! 88 ( )! Actividad 9!! a), b), sí dan el mismo resultado 6!!! 6! Actividad a) VR, b) VR, 897 Actividad VR,8 8 Actividad V, Actividad P! Actividad Tomando las chicas como un bloque y luego permutando entre ellas, resulta P! Actividad a) Un rey, C, C 6, 6 b) Dos copas, C, C, 87 c) Al menos un oro, C, C, C, C, C, C, C, Actividad 6 a) C 6, 6; b) C 6, C, Actividad 7 Casos posibles: C,, casos favorables: C 7, C, C 7, C, C 7, 8 Probabilidad 8 /,7 Actividad 8 Casos posibles: C,, casos favorables C 6, C, C 6, C, C 6, 776 Probabilidad 776 /,68 Actividad 9 a) Casos posibles:!, casos favorables: 9! Probabilidad 9! /!, b) Agrupando el 7 y el como una única cifra puede adoptar 9 posiciones diferentes de las posiciones para las cartas, luego casos posibles:!, casos favorables: 9 8! Probabilidad 9 8! /!, 79

53 UNIDAD 9 INFERENCIA ESTADÍSTICA DISTRIBUCIONES MUESTRALES Actividad Se trata de una distribución binomial de parámetros n 6 y p ¼,; es decir, una B(6;,) Tenemos que calcular P[ X ] P[ X ] P[ X ] P[ X ] P[ X ] 6 6, 7,,, Actividad Es una B(,,8) Puede fallar, puede acertar con uno o con dos P[ X ] P[ X ] P[ X ] P[ X ], 8,, Actividad Es una B(;,88) Calculamos a) P[ X ] b) P X [ ], 88, 77; 88, Actividad Es una N(,) Tenemos que calcular P[ X > ] P X > 86 P[ Z> ] P[ Z < ], Actividad a) P [ Z z ] P [ z Z z ],9; luego P [ Z z ],,9,9 Entonces de las tablas de la N(,) obtenemos z, b) P [ Z z ],99; luego P [ Z z ],99, z,7 Actividad 6 Es una N(,8; ) calculamos tal que P X P X 8 [ ], ;, > 8,, ;, ; P [ Z ] 8,, <,, 8, 8 o P Z, 8;, 8, 8 7, 8 Actividad 7 Es una N(7, ) a) PX [ > 79] PZ [ >, 6] PZ [ <, 6],, el, % b) PX [ < 7, ] PZ [ <, ] PZ [ <, ],, el, % Actividad 8 N(,) Calculamos P [ X > ] P [ Z >, ],668 El 6,68% Actividad 9 n n n, 8 8 6, n n n 8 ; n Actividad Si N(,6), X es una normal N(, 6/ ) o N (,) Tenemos que calcular: PX [ < 996] PZ [ < ] PZ [ < ], 86 Actividad sigue una N(,6;,) Tenemos que calcular: P[ < ] P[Z <,6],869,, 98; c) P[ X ] P[ X ] P[ X ], 8 Actividad sigue una N(,,6) Tenemos que calcular: P < X< P [, Z, ] P[ Z, ]P [ Z, ], 999( P[ Z, ] ), ,,, n 8 7; n

54 Actividad sigue una N(9;,) Tenemos que calcular: a) P[ < 9] P[Z <,8] P[Z <,8],976 b) P[ > ] P[Z >,] P[Z <,],778 Actividad Sabemos que μ horas y σ horas, y que μ horas y σ 6 horas Además, n 6 y n y queremos calcular la probabilidad siguiente: P[ XX ] Sabemos que X X es una N( μ μ, ) En est n n Actividad Sabemos que p,, luego sigue una distribución normal N(,;,) Tenemos que calcular: P, < p <, P Z P Z P Z, 9 [ < < ] [ < ] [ < ] Actividad 6 Sabemos que p,9, luego sigue una distribución normal N(,9;,7) Tenemos que calcular: P p < P Z, 9 [ <, ], Actividad 7 En este caso p,7 es la proporción de los que hacen alguna vez botellón, luego sigue una N(,7;,) Tenemos que calcular: P p > 7 P Z P Z, [ >, 6 ] [ <, 6 ], 9 Actividad 8 Sabemos que p /, y p /, ; además, n y n a) Queremos calcular la probabilidad siguiente: Pp [ p, ] Sabemos que p p es una N( p p, p( p) n p( p) ) En este caso es una N (,;,9) Por tanto: n Pp [ p, ] P p p,,, >, 9, 9 P Z>, P[ Z>, ] P[ 9 Z<, ], 96, b) Queremos calcular la probabilidad siguiente: Pp [ p >, ] Sabemos que p p es una N(, ;, 9) Por tanto: Pp [ p, ] P p p (, ), (, ) > >, 9 9, P > Z, 9 P[ Z>, ] P[ Z<,, ], 77, σ σ e caso es una N(8; 7,) Por tanto, PX [ X ] P X X 8 8 > PZ [ >, 6] PZ [ <, 6], 999 7, 7, 8

55 UNIDAD INFERENCIA ESTADÍSTICA INTERVALO DE CONFIANZA Y CONTRASTE DE HIPÓTESIS Actividad Conocemos σ 6, n, X y α 9%, 9 El intervalo de confianza para la media μ viene dado por zα σ zα σ X, X z P < n Z z n α Únicamente falta α, como α α,, 9, 97, en las tablas leemos que,97 está en la fila,9 y en la columna,6, luego z α,96 El intervalo de confianza será: 96, 6 96, 6, (,76,,76) (98,8;,76) Actividad Conocemos σ, n, X y α, 99 El intervalo de confianza para la media μ viene dado por zα σ zα σ X, X Calculamos < n n z, como P Z z, z α α,, 99, 99 α 7, El intervalo de confianza será: Actividad Conocemos σ, n 6, X 6 y α, 99 El intervalo de confianza para la media μ viene dado por z X Actividad Conocemos σ, n, X 6, y α, 9 El intervalo de confianza para la media μ viene dado por z X Actividad zα σ Conocemos σ,, E,, y α,99 El tamaño de la muestra viene dado por n E De P Z < z Actividad 6 a) σ z, X n α α σ z, X n α α α Conocemos σ 6, n, X 76, y α,99, luego zα,7 por lo que el intervalo de confianza pedido es 76, 7 6 7, 6, 76 (7,969; 7,) b) Para α,9, z,96 Como E y σ 6 tenemos n muestra debe ser n 9 7,,, 7 σ Calculamos z < α, como P Z zα,, 99,99, z α,7 El intervalo n 7,, 7 de confianza será: 6, 6 (6,87; 99,) 6 6 σ Calculamos < n z, como P Z z α α,, 9, 97, z α,96 El intervalo de confianza será: 6 96,,, 6, 96, (,6; 7,79) 7,,,, 99, 99, z α,7 Luego n, 6, El tamaño mínimo de la muestra debe ser mayor que 6,, es decir, n 66 (,6; 8,6) α 8 9, 6 8,9 El tamaño mínimo de la

56 Actividad 7 Conocemos σ, n 9, ( 8 ) / 9 78,88 a) b) Actividad 8 Conocemos σ,6, n, 7, 7, 6, 7, 6, a) α,99, luego zα,7 El intervalo de confianza pedido es 7,, 7, (7,8; 7,68) b) Para α,9, zα,96 Como E, y σ,6 tenemos n 96, 6,,6 El tamaño mínimo de la, muestra debe ser n 6 Actividad 9 a) Conocemos σ, n 6, pero desconocemos X y α El valor X es el punto medio del intervalo de confianza b) Conocemos α,98 y E,7 horas Como P Z < z α,, 98, 99, z, n 7 8, 6 El tamaño mínimo de la muestra debe ser n 9, Actividad Como σ es desconocida tomamos σ S 6, n, X 8, α,99,,7 El intervalo, 7 6, 7 6 de confianza pedido es: 8, 8 (8,8;,) Actividad Como n>, el intervalo de confianza es E, E, con E z E, El intervalo es (8,7; 86,) Actividad α,98, luego de P Z < z α, 98, 99, leemos en las tablas z α, El intervalo de confianza,, pedido es78, 88, 78, 88 (,; 6,6) 9 9 Para α,99, zα,7 Como E y σ tenemos n, 7 6, El tamaño mínimo de muestra debe ser n 7 zα (7, 6; 8,), X (7,6 8,)/ 7,7 Ahora, 7,7 7,6, zα (, 8)/,76 En las tablas leemos el 6 valor que le corresponde a,7 en la columna,6 y obtenemos,968 Como α/ α,968, α,78 y α,96 El nivel de confianza es de 9,6% Conocemos E,, α 9,, n y p / y será zα,96 Sustituyendo en E z y despejando n, obtenemos n 96, z α / / ( / ) 9,9 El tamaño mínimo, σ n z n α, 96; σ 9; ; 8 α α, Entonces α p ( p ) n de la muestra debe ser n 8

57 Actividad a) Conocemos n 6, α, 9 y p / De P Z < z 9 α,, 9,, obtenemos en las tablas z α,6 b) b) Actividad a) Como el intervalo de confianza al 9% es (,8;,6), la mejor estimación puntual de la proporción p es el punto medio del intervalo: (,8,6)/,6 b) Como E,, α 9,, z 96, y p p ( p ) α 6,, sustituimos y despejamos n en E zα obteniendo n 6,, 9 n 96, 99,6 El tamaño mínimo de la muestra debe ser n 9, Actividad 6 Como E,, α,9 y p p ( p ) /, sustituimos y despejamos n en E zα obteniendo n / ( / ) n 6, 976,88 El tamaño mínimo de la muestra debe ser n 977, Actividad a) Conocemos n, α,9 y p /, por tanto zα, 96 Sustituyendo en el intervalo de confianza para la propor- p ción p p ( p ) p z p ( p ) z n n, 78,, 78, α, α, 96,,, 96, (,8;,) Como E,, α,9, zα,96 y p p ( p ),, sustituimos y despejamos n en E zα obteniendo n, 78, n 96, 7,6 El tamaño mínimo de la muestra debe ser n 7, Paso Establecemos H : μ,, H : μ Paso Fijamos α %, y -- α,99 Paso Determinamos de la región de aceptación Como z,7 μ Paso Como,7 no pertenece al intervalo (,;,8), rechazamos la hipótesis nula El número de hijos por mujer en esa comunidad no es, Actividad 7 a) Paso Establecemos H : μ, H : μ Paso Fijamos α %, y -- α,9 b) Paso Determinamos de la región de aceptación Como,96 μ z α z Sustituyendo en el intervalo de confianza para la proporción p p z / 6, / ( / ), / 6, 6 α α σ σ μ α n, z n,,,,,,, (,;,8) 6 6 σ zα σ 96, 89,, μ, n n z α α / ( / ) 6 (,;,) p ( p ) p p ( p ), z n n α 96, 89, (,8;,7) 8