Listo para seguir? Intervención de destrezas Variables y expresiones

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1 2-1 Listo para seguir? Intervención de destrezas Variables y expresiones Una variable es una letra o un símbolo que representa una cantidad que puede cambiar. Una constante es una cantidad que no cambia. Una expresión algebraica contiene una o más variables y puede contener símbolos de operaciones. Para evaluar una expresión algebraica, sustituye la variable por un número y halla su valor. Evaluar expresiones algebraicas Evalúa la expresión para hallar los valores que faltan en la tabla. Vocabulario variable constante expresión algebraica x x 9 Sustituye x en x 9. En la expresión, es la variable. es la constante Cuál es el valor de x 9, cuando x 81? 9 72 Cuál es el valor de x 9, cuando x 72? 9 6 Cuál es el valor de x 9, cuando x 6? 9 Completa la tabla con los valores que faltan. Puedes escribir expresiones de multiplicación y división sin usar los símbolos y. Puedes escribir t como t, t(), ó t. Puedes escribir 56 t como 5. t6 Evaluar expresiones con dos variables Un salón de clases tiene filas de asientos. Cuántos asientos tiene el salón de clases si hay asientos en cada fila? asientos? 5 asientos? r s r s 5 5 Qué representa r? Qué representa s? Qué representa la expresión r s? Cuántos asientos tiene el salón de clases si hay asientos en cada fila? asientos asientos en cada fila? asientos 5 asientos en cada fila? asientos 19 Holt Matemáticas

2 2-1 Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas Variables y expresiones Para evaluar una expresión algebraica, sustituye una variable por un número y halla su valor. Algunas expresiones contienen más de una variable. Shauna planea construir un jardín rectangular. Si el ancho del jardín mide pies, cuál será el área del jardín en pies cuadrados para las longitudes,, 5 ó 6 pies? Puedes multiplicar la longitud por el ancho para hallar el área. Comprende el problema 1. En el problema, cuál es la cantidad que puede cambiar? 2. En el problema, cuál es la cantidad que no cambia? Haz un plan. Cuál es la fórmula para el área de un rectángulo? Resuelve. Completa la siguiente tabla con los valores que faltan. l 5 6 a Comprueba 5. Repasa la pregunta y respóndela. 20 Holt Matemáticas

3 2-2 Listo para seguir? Intervención de destrezas Cómo convertir entre expresiones con palabras y expresiones matemáticas En los problemas con palabras, necesitas identificar la acción para convertir palabras en expresiones matemáticas. Hay varias maneras diferentes de escribir expresiones matemáticas con palabras. Juntar Hallar Juntar o cuánto más grupos de Separar en Acción combinar o menos partes iguales grupos iguales Operación Sumar Restar Multiplicar Dividir Completa la tabla. Operación Expresión x 19 t 11 6 h ó(6)(h) ó p algebraica 6h ó p Con palabras 19 se suma a 11 se resta de t t menos 11 6 h p x 19 la suma de 19 más que x la diferencia de menos que t quítale 11 a t h multiplicado por 6 el producto de el cociente de Convertir palabras en expresiones matemáticas Escribe cada frase como una expresión numérica. 8 más 127 Qué operación representa la acción más? Escribe el símbolo matemático que corresponde. Convertir expresiones matemáticas en palabras Escribe dos frases para la expresión b 17. En la expresión b 17, qué operación se está realizando? Completa las frases. b 17 ó 17 b 21 Holt Matemáticas

4 2-2 Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas Cómo convertir entre expresiones con palabras y expresiones matemáticas Para resolver algunos problemas, puedes necesitar escribir una expresión que contenga más de una operación. Un club musical vende CD a $1 cada uno. El club cobra gastos de envío de $5 por un pedido completo. Escribe una expresión para mostrar el costo total si pides n CD. Comprende el problema 1. Qué será n en la expresión que escribas? 2. Qué se te cobra en un pedido? Haz un plan. Qué expresión representa el precio básico en dólares de n CD antes de los gastos de envío? Resuelve. Qué expresión representa el costo total en dólares de n CD incluyendo los gastos de envío? Comprueba 5. Según la expresión que escribiste, cuál sería el costo total si pides 1 CD? Por qué tiene sentido? Escribe una expresión para cada cantidad. 6. el cambio que recibes cuando compras n artículos que cuestan $ cada uno y pagas con un billete de $20 7. la cantidad de onzas de cada porción cuando cortas una lasaña de libras en x porciones (Pista: 1 lb 16 oz) 8. el costo final de n artículos que cuestan $12 cada uno si usas un cupón de $25 de descuento sobre la cantidad total 22 Holt Matemáticas

5 2- Listo para seguir? Intervención de destrezas Cómo convertir entre tablas y expresiones Busca un patrón entre los valores de la tabla que te ayude a escribir una expresión para los datos de la tabla. Cuando escribas una expresión para los datos de una tabla, comprueba que la expresión funcione para todos los datos de la tabla. Escribir una expresión Halla la expresión para la tabla. Equipos Jugadores Qué operación relaciona la cantidad de equipos con la cantidad de jugadores? 2 n Escribe enunciados de multiplicación que relacionen la cantidad de equipos con la cantidad de jugadores Cuántos jugadores hay en 1 equipo? Usa el patrón entre los valores de la tabla para escribir una expresión para la tabla. n Escribir una expresión para una sucesión Busca una relación entre las posiciones y los valores de los términos de una sucesión. Usa calcular y comprobar. Escribe una expresión para la sucesión de la tabla. Posición n Valor del término Puedes ir del 1 al fácilmente sumando ó multiplicando por. Calcula n. Calcula n. Comprueba sustituyendo 2 por n: 2 Comprueba sustituyendo 2 por n: (2) Comprueba n para los valores que quedan en la tabla: 5 La expresión para la sucesión es. 2 Holt Matemáticas

6 SECCIÓN 2A Listo para seguir? Prueba 2-1 Variables y expresiones Evalúa cada expresión para hallar los valores que faltan en las tablas. 1. v 2. x 5x y n n Harris y Lisa pueden lavar 5 autos en 1 hora. Cuántos autos pueden lavar en 2,, y 5 horas? 6. Richard quiere comprar algunas tarjetas de agradecimiento. Cada paquete contiene 12 tarjetas. Cuántas tarjetas tendrá Richard si compra,, 5 ó 6 paquetes? 2-2 Cómo convertir entre expresiones con palabras y expresiones matemáticas 7. El planeta Saturno tarda alrededor de treinta veces más que la Tierra en girar alrededor del Sol. Sea e la cantidad de años que tarda la Tierra en girar alrededor del Sol. Escribe una expresión para mostrar cuánto tiempo más tarda Saturno en girar alrededor del Sol. 8. Sea b la cantidad de flexiones que hizo Brian en la clase de gimnasia. Jeanette hizo flexiones más que Brian. Escribe una expresión para mostrar cuántas flexiones hizo Jeanette. 2 Holt Matemáticas

7 SECCIÓN 2A Listo para seguir? Prueba (continuación) 2-2 Cómo convertir entre expresiones con palabras y expresiones matemáticas (continuación) Escribe cada frase como una expresión numérica o algebraica menos la suma de 0 y z 11. el producto de y x Escribe dos frases para cada expresión t 1. b Cómo convertir entre tablas y expresiones Haz una tabla para cada sucesión. Luego escribe una expresión para cada sucesión. 15., 8, 12, , 16, 17, 18 Posición Valor del término n n Posición Valor del término Escribe una expresión para el valor que falta en cada tabla. 17. Acampantes Comidas diarias 18. Edad de Bill n n n 25 Holt Matemáticas

8 SECCIÓN 2A El uso de tablas para comparar valores de diferentes expresiones puede ayudarte a tomar cierto tipo de decisiones. Por ejemplo, Jim te ofrece un trabajo de reparto por una semana. Jim es un poco raro y dice que te pagará de una de las siguientes maneras: Plan de pago A: Puedes trabajar por $1 el primer día y sumar el doble de esa cantidad por cada uno de los siguientes 6 días. Por lo tanto, el segundo día, ganarías $2, el tercer día ganarías $, y así sucesivamente. Plan de pago B: Puedes trabajar por dos pagos iguales de $50, uno se te pagará el to día y otro se te pagará el 7 mo día. Puedes crear dos tablas para comparar las pagas. Completa los valores que faltan. 1. Plan A: Listo para seguir? Enriquecimiento Tomar decisiones al usar tablas y expresiones Día Paga diaria $1 $2 $ Paga total $1 $ $ Plan B: Día Paga diaria $0 $0 $0 $ Paga total $0 $0 $ Con qué plan ganarías más después de días?. Con qué plan ganarías más después de 7 días? 5. Si sigue con la misma tasa, cuál sería el equivalente a la paga diaria del plan A el 9 no día? Cuál sería la paga total? 6. Si Jim te ofreciera una tercera opción, $1 el primer día y luego sumar el triple de esa cantidad día por medio, aceptarías? Cuánto ganarías después de días? Y después de 7 días? 26 Holt Matemáticas

9 2- Listo para seguir? Intervención de destrezas Ecuaciones y sus soluciones Una ecuación es un enunciado matemático en el que la cantidad del lado izquierdo del signo de igualdad tiene el mismo valor que la cantidad del lado derecho del signo de igualdad. Las ecuaciones pueden contener variables. Si un valor de una variable hace verdadera la ecuación, ese valor es la solución de la ecuación. Determinar soluciones de ecuaciones Determina si el valor que se da para la variable es una solución. A. t 8 59 para t 25 t ? 59 Por qué número debes sustituir t? Vocabulario ecuación solución? 59 Suma. Son equivalentes los dos números? Verdadero o falso: 25 es una solución para t B. 12 h 108 para h 9 12 h ? 108 Por qué número debes sustituir h?? 108 Multiplica. Son equivalentes los dos números? Verdadero o falso: 9 es una solución para 12 h 108. C. 196 p 1 para p p 1 196? 1 Por qué número debes sustituir p?? 1 Divide. Son equivalentes los dos números? Verdadero o falso: 1 es una solución para 196 p Holt Matemáticas

10 2- Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas Ecuaciones y sus soluciones Puedes usar el sentido matemático para indicar si un número podría ser una solución razonable para una ecuación. Relaciona la solución con la ecuación. h 72 h h h h 72 h 216 Comprende el problema 1. Qué significa que un número sea la solución de una ecuación? Haz un plan 2. Cómo puedes usar el sentido matemático para relacionar las soluciones con las ecuaciones? Resuelve. Qué solución se relaciona con qué ecuación? Explica. Comprueba. Sustituye para comprobar cada solución. Qué opción describe mejor la solución de la ecuación? 5. 9x 5000 a. x 9 b. x 500 c. x z 5000 a. z 0 b. z 5000 c. z Holt Matemáticas

11 2-5 Listo para seguir? Intervención de destrezas Ecuaciones con sumas La resta es la operación inversa, u opuesta, de la suma. Si una ecuación contiene una suma, resuélvela restando de ambos lados para cancelar la suma. Resolver ecuaciones con sumas Resuelve cada ecuación. Comprueba tus respuestas. A. y 6 78 y 6 78 Qué número se suma a y? Qué operación realizarás para cancelar la suma? y Resta. Comprueba: y ? 78 Por qué número sustituirás y en la ecuación? 78? 78 Son equivalentes los dos números? La solución es. B. Ellen y Laura tejieron 8 gorras. Si Ellen tejió 12 de las gorras, cuántas gorras tejió Laura? Sea c la cantidad de gorras que tejió Laura. Puedes usar la ecuación c c 12 8 Qué número se suma a c?. Qué número restarás de ambos lados para cancelar la suma? c 6 Resta. Comprueba: c ? 8 Por qué número sustituirás c en la ecuación? 8? 8 Son equivalentes los dos números? La solución es. Laura tejió gorras. 29 Holt Matemáticas

12 2-5 Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas Ecuaciones con sumas Puedes usar ecuaciones con sumas para hallar los datos que faltan. Cuántos puntos hicieron los Cougars en el segundo cuarto? 1 2 Final Cougars Tigers Comprende el problema 1. Qué número necesitas hallar? Haz un plan 2. Cómo se relacionan los números en la fila de los Cougars? Resuelve. Escribe una ecuación para mostrar la relación entre los puntajes de los Cougars.. Usa la ecuación para resolver el problema. Comprueba 5. Sustituye para comprobar tu solución. Escribe y resuelve una ecuación para resolver cada problema. 6. La cuenta por libros fue de $7. Un libro costó $19 y otro libro costó $15. Cuánto costó el tercer libro? 7. Ganaste partidos de bolos y obtuviste un puntaje total de 58. Tus puntajes en los últimos dos partidos fueron 108 y 17. Cuál fue tu puntaje en el primer partido? 0 Holt Matemáticas

13 2-6 La suma y la resta son operaciones inversas. Cuando una ecuación contiene una resta, usa la suma para cancelar la resta. Recuerda sumar a ambos lados de la ecuación. Resolver ecuaciones con restas Resuelve cada ecuación. Comprueba tus respuestas. A. y 5 Listo para seguir? Intervención de destrezas Ecuaciones con restas y 5 Qué número se resta de y? Qué operación realizarás para cancelar la resta? y Suma. Comprueba: y 5 5? Por qué número sustituirás y en la ecuación?? Son equivalentes los dos números? La solución es. B. Matthew tiene 19 años. Es ocho años menor que su hermano. Qué edad tiene su hermano? Sea b la edad de su hermano. b 19 Qué ecuación puedes usar para hallar la edad de su hermano? b 19 Qué número se resta de b? Qué número sumarás a ambos lados para cancelar la resta? b Suma. Comprueba: b ? 19 Por qué número sustituirás b en la ecuación? 19? 19 Son equivalentes los dos números? La solución es. El hermano de Matthew tiene años. 1 Holt Matemáticas

14 2-6 Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas Ecuaciones con restas Puedes resolver algunos problemas representando una situación con una ecuación con restas. Cortas 1 pulgadas de una tabla y luego cortas 22 pulgadas más. Si te queda una tabla de 2 pies de largo, cuántos pies de largo tenía la tabla antes de que la cortaras? Comprende el problema 1. Qué se te pide que halles? 2. Cuántas pulgadas son 2 pies? Haz un plan. Por qué podrías usar una ecuación con restas para representar la situación descrita en el problema? Resuelve. Escribe una ecuación para relacionar las longitudes de las partes que se describen en el problema. Sea d la longitud original de la tabla. 5. Resuelve la ecuación para resolver el problema. Comprueba 6. Repasa la pregunta y respóndela. Escribe y resuelve una ecuación para resolver cada problema. 7. Después de cortar 2 pies de la tabla, la parte que quedó medía 0 pulgadas de largo. Cuál era la longitud original de la tabla? 8. Al principio tenías $6 y ahora tienes $9. Compraste una camisa por $1 y un par de shorts. Cuánto costaron los shorts? 2 Holt Matemáticas

15 2-7 Listo para seguir? Intervención de destrezas Ecuaciones con multiplicaciones La división y la multiplicación son operaciones inversas. Para resolver una ecuación que contiene una multiplicación, usa la división para cancelar la multiplicación. Resolver ecuaciones con multiplicaciones Resuelve cada ecuación. Comprueba tus respuestas. A. 9y 27 9y 27 Qué número se multiplica por y? 9y 27 Qué operación realizarás para cancelar la multiplicación? y Divide. Comprueba: 9y 27 9? 27 Por qué número sustituirás y en la ecuación? 27? 27 Son equivalentes los dos números? La solución es. B. El área de un rectángulo es 56 centímetros cuadrados. Su ancho es 8 centímetros. Cuál es su longitud? Sea la longitud Qué ecuación puedes usar para hallar la longitud? Qué número se multiplica por? 8 56 Entre qué número dividirás cada lado para cancelar la multiplicación? Divide. Comprueba: ? 56 Por qué número sustituirás en la ecuación? 56? 56 Son equivalentes los dos números? La solución es. Por lo tanto, la longitud del rectángulo es centímetros. Holt Matemáticas

16 2-7 Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas Ecuaciones con multiplicaciones Cuando escribes una ecuación con multiplicaciones para representar una situación, ten cuidado qué multiplicas. En una excursión escolar, tiene que haber por lo menos 1 adulto cada 6 estudiantes. Cuántos adultos se necesitan si hay estudiantes? Comprende el problema 1. Si hubiera 12 estudiantes, cuántos adultos se necesitarían? Haz un plan 2. Por qué podrías usar una ecuación con multiplicaciones para representar la situación descrita en el problema? Resuelve. Sea a la cantidad de adultos y s la cantidad de estudiantes. Por qué la ecuación a 6s norepresentaría la situación de 1 adulto cada 6 estudiantes?. Escribe una ecuación usando las variables a y s que sí represente 1 adulto cada 6 estudiantes. 5. Escribe y resuelve la ecuación para s. Comprueba 6. Repasa la pregunta y respóndela. Escribe y resuelve una ecuación para resolver cada problema. 7. Para un concierto nocturno, tiene que haber por lo menos 1 adulto cada 2 estudiantes. Cuántos adultos se necesitan si asisten los 69 estudiantes de la escuela? 8. Si multiplicas un número por 7, luego por 11 y luego por 1, obtienes 12,12. Cuál es el número? Holt Matemáticas

17 2-8 La multiplicación es la operación inversa de la división. Para resolver una ecuación que contiene una división, usa la multiplicación para cancelar la división. Resolver ecuaciones con divisiones Resuelve cada ecuación. Comprueba tus respuestas. A. y 6 Listo para seguir? Intervención de destrezas Ecuaciones con divisiones y 6 Qué número se divide entre y? Qué operación realizarás para cancelar y 6 la división? y Multiplica. Comprueba: 6 y 6? Por qué número sustituirás y en la ecuación?? Son equivalentes los dos números? La solución es. B. El área de la habitación de John es la dieciseisava parte del área de su casa. El área de su habitación es 75 pies cuadrados. Sea h el área de su casa. Halla el área de la casa de John. h 75 Establece una ecuación. h 75 Entre qué número se divide h? h 1 75 Entre qué número dividirás cada lado para 6 cancelar la división? h Multiplica. Comprueba: h ? 75 Por qué número sustituirás h 16 en la ecuación? 75? 75 Son equivalentes los dos números? La solución es. El área de la casa de John es pies cuadrados. 5 Holt Matemáticas

18 2-8 Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas Ecuaciones con divisiones A veces puedes usar una ecuación con multiplicaciones y divisiones para resolver un solo problema. Horneaste un pastel de zanahorias. Si cortaras el pastel en 12 porciones iguales, cada porción pesaría 6 onzas. Si cortaras el pastel en 18 porciones, cuánto pesaría cada porción del pastel? Comprende el problema 1. Qué información sabes? 2. Qué se supone que debes calcular? Haz un plan. Si supieras el peso en onzas w del pastel, qué ecuación podrías resolver para hallar el peso en onzas p de cada una de las 18 porciones?. Cómo puedes hallar el peso total w del pastel? Resuelve 5. Cuál es el peso del pastel? 6. Usa el valor de w en la ecuación que escribiste para la Pregunta. Cuál es la respuesta al problema? Comprueba 7. Por qué tiene sentido que la respuesta sea menor que 6 onzas? Resuelve the problema. 8. Este fin de semana planeas pasar seis sesiones de 20 minutos haciendo tu tarea. Si separas ese mismo tiempo total en sesiones iguales en lugar de 6, cuánto durará cada sesión? 6 Holt Matemáticas

19 SECCIÓN 2B Listo para seguir? Prueba 2- Ecuaciones y sus soluciones Determina si el valor que se da para cada variable es una solución. 1. t 16 8 para t x 60 para x y 15 para y m 7 para m b para b a 86 para a James tiene siete monedas de 25 centavos en el bolsillo. Quiere comprar un cuaderno que cuesta $1.75. Escribe una ecuación para determinar si James tiene suficiente dinero para comprar el cuaderno. 2-5 Ecuaciones con sumas Resuelve cada ecuación. Comprueba tus respuestas. 8. j t x En 1990, la población de Texico, Nueva México era de 966 habitantes. En 2000, la población se había incrementado en 99 personas. Escribe y resuelve una ecuación para hallar la población de Texico en Ecuaciones con restas Resuelve cada ecuación. Comprueba tus respuestas. 12. q p 1. n La distancia en auto entre Omaha, Nebraska y Topeka, Kansas es de alrededor de 170 millas. En el viaje de Omaha a Topeka, Nina y su familia ven una señal que dice Topeka, 8 millas. Escribe y resuelve una ecuación para hallar la distancia que la familia ha recorrido desde Omaha. 7 Holt Matemáticas

20 SECCIÓN 2B Listo para seguir? Prueba (continuación) 2-7 Ecuaciones con multiplicaciones Resuelve cada ecuación. Comprueba tus respuestas. 16. t b 18. 7c q y k Chantelle dona su colección de 65 pequeños animales de peluche a 5 organizaciones benéficas. A cada organización le da la misma cantidad de animales de peluche. Escribe y resuelve una ecuación para hallar la cantidad de animales de peluche que le da a cada organización. 2-8 Ecuaciones con divisiones Resuelve cada ecuación. Comprueba tus respuestas p r z a f 28. m Jaime compró 6 camisetas en oferta por un total de $0 antes del impuesto. Escribe y resuelve una ecuación para hallar cuánto cuesta cada camiseta. 0. Theresa tiene algunas fotos para colocar en un álbum de recortes. Coloca fotos en cada página y el álbum tiene 16 páginas. Escribe y resuelve una ecuación para hallar cuántas fotos tiene Theresa. 8 Holt Matemáticas

21 SECCIÓN 2B Listo para seguir? Enriquecimiento Ecuaciones con edades Resuelve la siguiente adivinanza: el padre de Jason, Ed, tiene 8 años. Ed es dos años menor que cinco veces la edad de Jason. Cuántos años tiene Jason? Comienza repasando lo que sabes. 1. Cuántos años tiene Ed? Ahora, asigna una variable a una de las edades que deseas hallar. Sea j edad de Jason. Sabes que Ed es dos años menor que cinco veces la edad de Jason. Debes expresar esto en una ecuación. 2. Qué operación indica cinco veces la edad de Jason? Escribe una expresión que muestre esto.. Qué operación indica dos años menor?. Escribe una expresión para dos años menor que cinco veces la edad de Jason. 5. La edad de Ed, 8, es equivalente a la expresión del Ejercicio. Establece y resuelve la ecuación. 6. Cuántos años tiene Jason? 7. La hermana de Jason, Renee, es 8 años menor que dos veces la edad de Jason. Cuántos años tiene Renee? 8. Alice, la madre de Jason, tiene tres veces la edad de Renee más 10. Cuántos años tiene Alice? 9. Escribe una ecuación que exprese la edad de Alice en términos de la edad de Jason. 10. El abuelo de Jason le dice a Jason que tiene tres veces las edades de Jason y su hermana juntos. Cuántos años tiene el abuelo? 9 Holt Matemáticas