Tema 6: Capacidad de Canal

Transcripción

1 UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, - Tema 6: Caacidad de Canal Parte. Canales Continuos

2 Maximización de la velocidad de transmisión Teorema de caacidad de canal de Shannon Máxima cantidad de inormación que uede transmitirse or un canal sin errores Ejemlo: caacidad de un canal gaussiano limitado en banda (bits/seg) xt () N Nt () SN( ) = B c B c + b /B (bits/s/hz) yt () P Eb b C= Blog + = Blog + PN NB b B = C/ B ( ) [ bits/seg./hz] E N b UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, -. egión en la que b >C Límite de Shannon -.6 Límite de caacidad b =C egión en la que b <C 3 b B E b N B b b B b = B Eb N E b /N db

3 Maximización de la velocidad de transmisión En algunos canales la SN deende de la recuencia Ejemlo: canales ADSL Usuario st () t H( ) c kd ( ) = e Usuario kd ( ) W S( ) = ST ( ) e + SN( ) Hz donde kd () = d k d e uido: NEXT Tíicamente k =.58 d e =6 Km. uido Inter Inter Modelo S ( ) = S ( ) H ( ) = S ( ) β.. 3/ N T XT T W Hz Tíicamente β= -9 UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, - 3

4 Ejemlo: canal ADSL En canales ADSL s () t s () t Usuario T H( ) c kd ( ) = e elación señal a ruido uido: NEXT S S e S Usuario kd ( ) ( ) = T ( ) + N( ) S ( ) = S ( ) β N Inter. 3/ T Usuario k ST ( ) HC( ) HC( ) e Inter 3/ ST ( ) HXT( ) HXT( ) β S = = N Es una unción de la recuencia S e = SN( ) = N UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, - kd ( ) β 3/ Densidad esectral de otencia (db) S N ( ) e k β 3/ Frecuencia (MHz) 4

5 Caacidad en canales con SN variable Modelo de canal s () t s () t T H ( ) C uido S ( ) N S ( ) = S ( ) H ( ) + S ( ) T C N ST( ) HC( ) Caacidad C= log( + SN( ) ) d = log d { B} + { B} SN ( ) Ejemlo: canal gaussiano y distribución uniorme de otencia: S ( ) H ( ) T C P = B st () t B H ( ) C B s () t N Nt () SN( ) = UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, - c c B c + P log B P C= d Blog + = + { B} N NB 5

6 Caacidad en canales con SN variable Modelo de canal Caacidad s () t s () t T H ( ) C uidos ( ) N C= log ( + SN ( ) ) d { B} S ( ) ( ) log T HC = + d { B} SN ( ) Si queremos maximizar la velocidad de transmisión, el único arámetro que se uede ajustar es la distribución de otencia transmitida: S T ( ) Objetivo: encontrar S T ( ) (distribución de otencia transmitida) que maximiza ST( ) HC( ) C= max log d ST ( ) + { B} SN ( ) estricción: la otencia total está limitada a P X vatios UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, - P S ( ) d X = { B} T 6

7 Distribución de otencia transmitida Encontrar la S T ( ) que maximiza: S N Densidad Esectral ST( ) HC( ) C= max log d ST ( ) + { B} SN ( ) es un roblema muy comlejo La solución consiste en dividir el esectro en intervalos en los que la relación señal a ruido ueda considerarse constante. Modulaciones multiortadora Δ i Intervalo i-ésimo P = S ( ) Δ P = P H ( ) Ti, T i i, Ti, C i PNi, = SN( i) Δ recuencia P Ci =Δ log + P C = i C i i, Ni, UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, - 7

8 Distribución de la otencia transmitida Distribución de la otencia transmitida s () t P i, s () t T H ( ) C C i =Δ log + P P i, Ni, Δ uido SN ( ) Objetivo: Maximizar la caacidad P max Δ log + P i, i P, i Ni, Encontrar la distribución de otencia recibida P,i que maximiza la caacidad es equivalente a calcular la P T,i ótima: sólo diieren en una constante (H C ( i ) ) estricciones La otencia total está limitada i P = P P = P Ti, T i, i Puede haber bandas en las que no se transmita otencia (P T,i = P,i = ) P i, PNi, = SN( i) Δ P = S ( ) H ( ) Δ = P H ( ), i T i C i T, i C i UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, - 8

9 Water-illing discreto Distribución de otencia en canales aralelos Objetivo: Maximizar la caacidad P max Δ log + P i, i P, i Ni, estricciones Pi, = P P i, i El lagrangiano ermite encontrar una solución que maximice la caacidad y que cumla las restricciones. Lagrangiano Si P,i P i, max LP ( i,, λ) = max Δ log + + λ P Pi, Pi, P i, i P Ni, i P i, log + ero P λ P P, i Ni, i UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, - 9

10 Waterilling discreto Distribución de otencia en canales aralelos Objetivo: Maximizar la caacidad P, i max Δ log + P i, i P Ni, estricciones Lagrangiano P, i = P P i, i P i, max LP ( i,, λ) = max Δ log + + λ P Pi, Pi, P i, i P Ni, i ealizando la derivada arcial resecto de P,i LP ( i,, λ) Δ PNi, Δ = λ= λ Pi, ln P, ( ln i )( Pi, + PNi, ) + P Ni, e igualando a UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, - Δ P, + P, = = cte. = λ [W] λ ln ( i Ni)

11 Waterilling discreto Distribución de otencia Δ P, + P, = = cte. = λ [W] λ ln ( i Ni) Water Filling Método subótimo. [W] λ Δ S N P, i P Ni, Intervalo i-ésimo recuencia UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, -

12 Waterilling discreto Ejemlo de distribución de otencia en canales aralelos Para maximizar la caacidad P max Δ log + P i, i P i, Ni,... y cumlir las restricciones Solución ( i Ni) P, i = P P i, i Δ P, + P, = = cte. = λ λ ln λ [W] P, P,3 < P,5 < P P,,4 P + P + P = P,,,4 Δ P N,3 P N,4 UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, -

13 Water-illing discreto Algoritmo Matlab unction wline=will(vec, con, tol) % WFILL: The Water Filling algorithm. % WLINE = WFILL(VEC, PCON, TOL) erorms the water illing algorithm % VEC is a noise absolute or relative level in LINEA units at dierent requencies, % sace or whatever bins. % PCON is a total ower constrain given in the same units as the VEC. % TOL is an accetable tolerance in the units o VEC. % WLINE indicates the WATELINE level in units o VEC so that: % abs(pcon-sum(max(wline-vec, )))<=TOL N=length(vec); %irst ste o water illing wline=min(vec)+con/n; %initial waterline tot=sum(max(wline-vec,)); %total ower or current waterline %gradual water illing while abs(con-tot)>tol end wline=wline+(con-tot)/n; tot=sum(max(wline-vec,)); >> lambda_=will([ ], 4.,.); λ 3.7 [W] 3. Δ UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, - 3

14 Water Filling continuo En canales s () t s () t T Water Filling SN( ) S HC ( ) N λ H ( ) C W Hz S T ( ) nt () S ( ) = λ P T S H N C N ( ) ( ) SN ( ) = λ d { HC ( ) } HC( ) Caacidad de canal ST( ) HC( ) HC( ) C= log + d = log λ d { B} S ( ) SN ( ) { H ( ) ( ) C S } N ( ) T = λ S N UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, - H C ( ) 4

15 Water Filling continuo Ejemlo Water Filling W Hz S N c ( ) H ( ) λ Caacidad de canal H ( ) ( ) log c C= SN λ d λ > S ( ) Hc ( ) N P T SN ( ) = SN ( ) λ d λ > H ( ) ( ) c Hc UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, - 5

16 Water Filling continuo Ejemlo: ruido blanco gaussiano de ancho de banda B st () t H ( ) c = s () t nt () Water Filling SN( ) S Hc( ) N UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, - W Hz Caacidad de canal P T N Hc( ) + log PT C d Blog B = λ = Blog { Hc ( ) } SN ( ) N = + NB λ N B c SN ( ) PT = λ d { Hc ( ) } Hc( ) N = λ B c B c + P T N λ = + B 6

17 Water Filling continuo Ejemlo: ruido coloreado de ancho de banda B s () t s () t T H ( ) c Water Filling nt () SN ( ) H ( ) SN( ) c λ λ ( ) P = λ X Caacidad de canal c λ c c B c + H ( ) log C C= λ d { HC ( ) } SN ( ) x log b( x) dx = xlog b + cte. e UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, - 7

18 UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, - Parte. Canales Discretos

19 Caacidad Canales sin memoria (DMC) Entroía de la uente/símbolos recibidos: Incertidumbre asociada a los símbolos de entrada/salida X Canal discreto Y H( X) ( x)log E log = = x X () x () x Entroías condicionales Incertidumbre en los símbolos de entrada cuando se conocen los de salida HXY ( ) = yhxy ( ) ( = y) = y ( ) xy ( )log yy yy xx = xy (, )log HX ( ) x ( y) x X y Y Incertidumbre en los símbolos de salida cuando se conocen los de entrada HY ( ) = y ( )log y Y HY ( X) = xy (, )log HY ( ) y ( x) x X y Y x ( y) y ( ) UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, - 9

20 Calculo de la caacidad ara DMC Interretaciones Si H(X Y) = (ó H(Y X) = ), el canal NO introduce errores. Si H(X Y) > (ó H(Y X) > ), el canal SÍ introduce errores Cuando conocer los símbolos de entrada no reduce la incertidumbre de los de salida (H(Y) = H(Y X)), la inormación transmitida or el canal es. Equivocación: Inormación erdida en la transmisión H( XY ) Entroía de la uente Inormación transmitida H( X) IXY ( ; ) H( Y) Inormación recibida H( Y X) UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, - Irrelevancia I( XY ; ) = HX ( ) HXY ( ) H() Y = I( X;) Y + HY ( X) Incertidumbre que no rocede de la uente (ruido)

21 Calculo de la caacidad ara DMC Inormación transmitida Es la reducción en la incertidumbre sobre los símbolos de salida (entrada) cuando se conocen los de entrada (salida) IXY ( ; ) = HY ( ) HY ( X) = y ( )log xy (, )log, ( ) y ( x) y Y y x X y Y = (, xy)log + xy (, )log y ( x), = x X y Y y ( ) x X y Y x X y Y xy (, )log y ( x) y ( ) IXY ( ; ) HY ( ) HY ( X) xyx ( ) ( )log = = x X y Y ( y x) ( y) UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, -

22 Calculo de la caacidad ara DMC La caacidad de un canal es la máxima inormación mutua = = IXY HY HY X x yx ( y x) YX ( ; ) ( ) ( ) X( ) Y X( )log, x X y Y Y ( y) Como en los canales continuos, (y x) deende de las características del canal. ( y= x= ) =, BSC X={,} - - Para maximizar I(X;Y) solo odemos actuar sobre X (x) transmisor x ( ) Y={,} YX YX YX YX ( y= x= ) =, ( y= x= ) =, ( y= x= ) =. C= max I( X; Y), ( x), x X, ( x) =. X x X X UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, -

23 Calculo de la caacidad ara DMC Para canales binarios simétricos X (x=)=w X={,} BSC - Y={,} ( y) = ( x) ( y x), Y X Y X x X ( y= ) = ( x= ) ( y= x= ) + ( x= ) ( y= x= ) Y X Y X X Y X Y (y=)=w(-)+(-w) Caacidad - = Caacidad w=½ UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, - C x y x Y (y=)=w+(-w)(-) ( y x) YX max X( ) Y X( )log, X ( x) x X y Y Y ( y) C= + log + ( )log ( ) = H( ) 3

24 Calculo de la caacidad ara DMC Para canales binarios simétricos X={,} BSC Y={,} C= + log + ( )log ( ) = H( ) C (bits/uso del canal) UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, - 4

25 Caacidad de canal Teorema de Shannon Para un canal discreto sin memoria, la caacidad de canal C tiene la siguiente roiedad = max I( X; Y) Para cualquier ε > y < C existe un código bloque de longitud n y tasa y un algoritmo de descodiicación ara el que la robabilidad de error está acotada or ε x ( ) k bits Inormación Codiicador bloque (n,k) n>k = UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, - k n n bits canal El uso de un codiicador bloque ermite roteger la inormación. Si emleamos codiicación bloque (n,k), siendo n>k» edundancia: entran k bits de inormación, salen n bits de canal C ( ) C() (bits/uso canal) = 3 = 3 C ( ) = 5 n bits = canal Caacidad < C Descodiicador Pr ( error ) k bits Inormación < ε 5

26 Cut-o ate El cut-o rate es una medida emleada en la Teoría de la Inormación ara cuantiicar la máxima tasa de datos que en la ráctica uede transmitirse or un canal emleando un codiicador de comlejidad moderada. Se deine como: = max log X( x) Y X( y x) X ( x) y Y x X Se cumle que C UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, - 6

27 Cut-o ate Ejemlo X={,} Y={,} BSC X (x=)=w ( y= x= ) =, ( y = x= ) =, YX YX ( y= x= ) =, ( y = x= ) =. YX YX - X (x=)=-w - = max log X( x) Y X( y x) X ( x) y Y x X { ( ) ( ) } w w w w = max log + ( ) + + ( ) w UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, - 7

28 Cut-o ate Ejemlo X={,} BSC Y={,} X (x=)=w - X (x=)=-w { ( ) ( ) } = max log w + ( w) + w + ( w) w = - = C= + log + ( )log ( ) (bits/uso canal) Máximos en w=½ =, (bits/uso canal) C w=.5 = log + ( ).... C w UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión,

29 Cut-o rate y Probabilidad de Error El uso de un codiicador bloque ermite roteger la inormación. k bits Inormación Codiicador bloque (n,k) n>k = k n n bits canal Cuando se transmite un bloque de n bits, la robabilidad de error ( ( ) ) Pr error n ( ) canal ( ) n bits canal Descodiicador k Pr ( error) bits Inormación Siendo (bits/uso del canal) el cut-o rate ( ) = log ( ) + y (bits/uso del canal) la tasa de bits de inormación orecida al canal Comromiso: Si hacemos n grande, reducimos la Pr(error) ero tardamos más en transmitir los bits de inormación UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, - 9

30 Cut-o ate y Función de iabilidad Función de iabilidad E() E()= ()- Cuando la tasa de bits es equeña, la iabilidad es alta. La robabilidad de error es equeña Cuando nos aroximamos a la caacidad, la iabilidad se reduce. E() k bits Inormación Codiicador bloque (n,k) n>k = k n n bits canal () (bits/uso canal) canal ( ) E ( ) = 3 ( ) Cut-o ate Pr(error) E ( ) = 5 n bits canal Descodiicador ( ) ( ) ne Pr error Pr ( error) k bits Inormación < <C C UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, - n 3

31 Codiicación y Probabilidad de Error Calcular n ara que la Pr(error) < Pr Umbral k bits Codiicador (n,k) n>k k = n n bits canal ( ) ( ) ( ) Pr error n( ) Para acotar la Probabilidad de Error ( ) ( ) Pr error Pr error < PrUmbral n ( ( ) ) n ( ( ) ) < Pr Umbral -n( - ) Prumbral = 4 n = n ( ) = log + ( ) k log[ Pr Umbral] n ( ) n n k log (Pr Umbral) ( ) UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, - 3

32 Prouestas de ejercicio Calcular la caacidad de un canal con borrado --q q? q --q C x y x YX max X( ) Y X( )log, X ( x) x X y Y Y ( y) = ( y= x= ) = ( y= x= ) = q YX YX ( y= x= ) = ( y= x= ) = YX YX ( y=? x= ) = ( y=? x= ) = q YX YX Calcular la caacidad de un concatenación de canales BSC ( y x) X={,} BSC BSC Y={,} C min( C, C )? UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, - 3

33 Prouestas de ejercicio Calcular la caacidad de un canal con borrado X (x=)=w X (x=)=-w --q q q --q? C x y x YX max X( ) Y X( )log, X ( x) x X y Y Y ( y) = ( y= x= ) = ( y= x= ) = q YX YX ( y= x= ) = ( y= x= ) = YX YX ( y=? x= ) = ( y=? x= ) = q YX YX ( y) = ( x) ( y x), Y X Y X x X ( y x) C = ( q) log + log q q q q w= UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, - 33

34 Prouestas de ejercicio Calcular la caacidad de un concatenación de canales BSC X={,} BSC BSC ( )( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) = + = ( ) = ( y= x= ) = + = ( ) ( ) = + = +.8 Y={,}.6.4. UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión,

35 Prouestas de ejercicio Calcular la caacidad de un concatenación de canales BSC X={,} BSC ( )( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) = + = ( ) = ( y= x= ) = + = ( ) ( ) = + = + C = + log + ( ) log( ) Y={,} BSC C C min( C, C )? UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión,

36 Caacidad: canales con memoria Los errores introducidos or el canal se ueden modelar como si uesen generados or una uente de error X Y = X E Entroía de la uente Inormación transmitida HXY ( ) Equivocación Inormación recibida E H( X) I( XY ; ) HY () Fuente de error ( ; ) = ( ) ( ) = H ( Y) H( X E X) = H( Y) H( E X) I X Y H Y H Y X H( YX ) Irrelevancia UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, - ( ; ) = ( ) ( ) I X Y H Y H E 36

37 Caacidad: canales con memoria El objetivo es maximizar la Inormación Transerida max ( ; ) max ( ( ) ( )) C = I X Y H Y H E Como no odemos controlar los errores ( ( ) ( )) ( ) C = max I( X; Y) max H Y H E max H Y El valor máximo de H(Y) se consigue cuando los bits a la salida son equirobables. En este caso, H(Y)=: C = H( E) Y ( y) UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, - 37

38 Caacidad: canales con memoria Modelo de Gilbert P S =Bueno Pr(e=)= P S =Malo Pr(e=)=-h P P P() = h h( ) P P P = Caacidad teórica donde Ejemlo: P=., =. y h=.7 CGE = H( E) = + Pr() v( k)log v() k k= P() = ( h ) ( h)( ) T Pr() = π P() k T k Pr( ) π P() P() P() k vk () = Pr( ) = = T Pr() π P() C = + Pr() v( k)log v( k) =,88 GE k= UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, - 38

39 Caacidad: canales con memoria Aroximación de la caacidad Canal con M estados M Caacidad aroximada donde UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, - ( ( )) ( ( )) ( ( )) C = π H E S + π H E S + + π H E S GE M M = π C + πc + + π C Ci M M HES ( ) es la erdida de inormacion en el estado " i" i es la caacidad en el estado " i" C GE < C GE 39

40 Caacidad: canales con memoria Ejemlo Pr ( S ) = π = P + P = S S Pr ( S ) P = π = P +,9 En en el estado S, Pb ( a): BSC - -5 =-5 =,7 =,3 En en el estado S, Pb ( a): BSC - -5 ( ) 5 C = + log + ( )log ( ) =,9998 = ( ) C = + log + ( )log ( ) =, =,3 P C GE = C+ C=.99, =.998 P+ P+ C = + Pr() v( k)log v( k) =,88 GE k= UC3M, Sistemas y Canales de Transmisión, - 4