LABORATORIO DE SEÑALES Y COMUNICACIONES. Ingeniería de Telecomunicación

Transcripción

1 LABORATORIO DE SEÑALES Y COMUNICACIONES Ingeniería de Telecomunicación Apellidos Nombre N o de matrícula o DNI Grupo 91[ ] 92[ ] 93[ ] Firma

2 LABORATORIO DE SEÑALES Y COMUNICACIONES (Tiempo: 2 horas y 30 minutos.) No escriba en las zonas con recuadro grueso Apellidos Nombre N o de matrícula o DNI Grupo N o Firma: 5 6 T NOTA: En el anexo, al final del examen, están las ayudas de MATLAB para todas las funciones que se utilizan a lo largo de las distintas preguntas. E1.- (1 punto) a) Se tiene una señal analógica almacenada en un vector X de longitud L, cuya respuesta en frecuencia es la que aparece en el dibujo. Escriba un código en MATLAB con el cual se digitalice dicha señal de forma que la respuesta en frecuencia de la señal discreta tenga un espectro plano en todas sus frecuencias (0.2 puntos). -f2 -f1 f1 f2 b) En un sistema de recepción se recibe la siguiente señal analógica x(t): donde f1=10khz y f2=25khz. x(t) = 2sin(f1*t)cos(f1*t) + cos(f2*t) b1) Calcule y justifique la frecuencia de muestreo adecuada. Escriba el código en MATLAB para generar las muestras de esta señal, almacenándola en la variable xm, y para generar su referencia temporal, la cual debe abarcar 10 periodos de la componente de x(t) de menor frecuencia (0.2 puntos). b2) Escriba el código en MATLAB que permita visualizar la señal recibida y su transformada de Fourier discreta. Asigne a los ejes de la gráfica los valores oportunos para poder estudiarla tanto en el dominio discreto (X(Ω)) como en el continuo (X(f)). Elija una resolución adecuada justificando su elección. (0.2 puntos). b3) Suponga que por un fallo en el sistema pierde el 70% de las muestras que tenía almacenadas en el vector xm(t). Escriba un código en MATLAB con el que pueda

3 reconstruir lo mejor posible la señal original a partir de las muestras que le quedan usando un interpolador de orden cero. Elija un factor de interpolación adecuado de forma que la señal reconstruida tenga la misma longitud que la señal xm(t) del apartado b1). En función de la frecuencia de muestreo que eligió en el apartado b1) es posible recuperar la señal analógica original habiendo perdido el 70% de las muestras? Justifique su respuesta. (0.4 puntos) Nota: recuerde las siguientes identidades trigonométricas, sin(a + b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a) sin(a - b) = sin(a)cos(b) sin(b)cos(a)

4 E2.- (1 punto) Se desea implementar un programa de MATLAB que realice un filtrado digital. El filtro viene dado por su ecuación en diferencias: y[n] = 1.5 x[n] 0.8y[n-2] + 2y[n-3] Se pide: a) Dibuje el diagrama de bloques que representa al filtro anterior. (0.25 puntos) b) Escriba el código en MATLAB que lo implementa mediante un bucle for, sin recurrir a filter( ) ni a conv( ). Suponga la longitud de la señal x[n] igual a L y condiciones iniciales nulas. (0.25 puntos) c) Indique qué tipo de filtro es, y, si es posible, impleméntelo mediante una convolución lineal (función conv( ) de MATLAB). (0.2 puntos) d) Si ahora las condiciones iniciales son y[n-1] = 0, y[n-2] = 1, y[n-3] = 2, qué modificación debe hacer al programa del apartado b)? (0.1 puntos) La figura 1 representa otro filtro digital. e) Escriba el código en MATLAB que lo implementa mediante un bucle for. Suponga condiciones iniciales nulas y que la longitud de x[n] es L. Nota: puede asignar variables (A,B,C ) a los nodos para la implementación del bucle (0.2 puntos) x[n] a 1 b 1 y[n] z -1 a 2 b 2 z -1 a 3 b 3 Figura 1. Diagrama de bloques de un filtro digital

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6 E3.- (1 punto) Se ha construido una señal discreta x[n] consistente en la suma de 2 exponenciales complejas de la forma exp(jωn). Las dos frecuencias discretas son ω1 = 1 y ω2 = 1.3 radianes, y la longitud temporal es de L = 16. Se ha calculado su espectro (Figura 1) con un número de puntos de la DFT de N = 16. Figura 1. Espectro de la suma de las dos exponenciales complejas. Los círculos marcan los puntos de la DFT. La curva rectilínea es su interpolación lineal con plot(). a) Explique brevemente si le parece razonable la gráfica. (0.25 puntos) b) Escriba el código para construir la señal x[n] con los parámetros indicados y para dibujarla como en la Figura 1. Ponga especial atención al eje de frecuencias y normalice la amplitud adecuadamente en decibelios. (0.25 puntos) c) Calcule, para ese número de puntos de la DFT, la diferencia máxima en radianes que se podría apreciar. Cuál sería el mínimo N para que se vieran con claridad los picos de las exponenciales de frecuencias ω1 y ω2 radianes? (0.25 puntos) Ahora, con un N = 256, se ha generado y dibujado de nuevo el espectro. Además, se han empleado 2 ventanas, una rectangular y otra triangular, para enventanar x[n]. Las dos gráficas se muestran, fragmentadas, en las Figuras 2 y 3. d) Indique qué curvas (1, 2, 3 ó 4) pertenecen a la señal enventanada con una ventana rectangular y cuáles con la ventana triangular. Razone su elección brevemente. (0.25 puntos) Figura 2. Detalle del lóbulo principal de las dos ventanas. Figura 3. Detalle de los lóbulos secundarios de las dos ventanas.

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8 E4.- (1 punto) El código de línea utilizado por un sistema de comunicaciones digitales tiene la densidad espectral de potencia que se muestra en la figura siguiente. A la vista de la gráfica, obtenida mediante la función psd, responda a las siguientes cuestiones. a) De qué código de línea se trata? Justifíquelo razonadamente a partir de las características de la densidad espectral de potencia (DEP) observada en la figura. (0.2 puntos) b) Cuál es la tasa binaria del código de línea y la frecuencia de muestreo usada en la simulación? (0.2 puntos) c) Es adecuado este código para transmitir por un canal paso bajo que es susceptible de sufrir cambios bruscos y frecuentes de polaridad? Justifique su respuesta. En el caso negativo, qué código resultaría más adecuado? (0.2 puntos) d) En el receptor se utiliza un filtro paso bajo que deja pasar únicamente el primer lóbulo de la DEP del código. Suponiendo que el 90 % de la energía de la señal transmitida está contenida en dicho lóbulo, que su amplitud en el dominio del tiempo es A = 1, y que la varianza del ruido es σ 2 = 0.1, calcule la relación E b /N o en decibelios para esta señal. (0.4 puntos)

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10 E5.- (1 punto) Se dispone de una fuente discreta con tres símbolos independientes, A, B, y C, cuyas probabilidades de ocurrencia son respectivamente 0.9, 0.08 y Se pide lo siguiente: a) Calcule la entropía de esta fuente (0.15 puntos). b) Diseñe un codificador de Huffman para la misma, y calcule la longitud media del código obtenido y su eficiencia. (0.25 puntos) c) Realice una extensión de primer orden de los símbolos de la fuente y diseñe de nuevo el codificador de Huffman. Cuáles son ahora la longitud media del código (por símbolo de la fuente original) y su eficiencia? (0.6 puntos)

11 E6.- (1 punto) x Filtro xf xm + xd Muestreo paso bajo xr Cuantifica Retardo 1 muestra xq Se desea simular en MATLAB el funcionamiento del diagrama de bloques que se muestra en la figura siguiente. El sistema consta de los siguientes elementos: a) Filtro paso bajo, que se debe diseñar, eligiendo su orden y su frecuencia de corte (0.25 puntos). b) Muestreo, consistente en tomar únicamente una de cada 10 muestras de la señal analógica filtrada, xf (0.15 puntos). c) Cuantificador, que cuantifica la primera muestra con 8 bits de resolución, para lo que se dispone de la función y=quantize(x), y en el resto de los casos aplica la siguiente regla (0.6 puntos): siendo Δ (delta) un parámetro del cuantificador. Se le pide que escriba un código en MATLAB (tan eficiente como le sea posible) para implementar este sistema, utilizando la función quantize, junto con las que considere oportunas del apéndice (seleccionando los parámetros apropiados), siguiendo la plantilla que se presenta a continuación: % a) Filtro paso bajo: x -> xf % b) Muestreo: xf -> xm % c) Cuantificador: xm -> xq

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13 ANEXO FIR1 FIR filter design using the window method. B = FIR1(N,Wn) designs an N'th order lowpass FIR digital filter and returns the filter coefficients in length N+1 vector B. The cut-off frequency Wn must be between 0 < Wn < 1.0, with 1.0 corresponding to half the sample rate. The filter B is real and has linear phase. The normalized gain of the filter at Wn is -6 db. B = FIR1(N,Wn,'high') designs an N'th order highpass filter. You can also use B = FIR1(N,Wn,'low') to design a lowpass filter. If Wn is a two-element vector, Wn = [W1 W2], FIR1 returns an order N bandpass filter with passband W1 < W < W2. You can also specify B = FIR1(N,Wn,'bandpass'). If Wn = [W1 W2], B = FIR1(N,Wn,'stop') will design a bandstop filter. If Wn is a multi-element vector, Wn = [W1 W2 W3 W4 W5... WN], FIR1 returns an order N multiband filter with bands 0 < W < W1, W1 < W < W2,..., WN < W < 1. B = FIR1(N,Wn,'DC-1') makes the first band a passband. B = FIR1(N,Wn,'DC-0') makes the first band a stopband. B = FIR1(N,Wn,WIN) designs an N-th order FIR filter using the N+1 length vector WIN to window the impulse response. If empty or omitted, FIR1 uses a Hamming window of length N+1. For a complete list of available windows, see the help for the WINDOW function. KAISER and CHEBWIN can be specified with an optional trailing argument. For example, B = FIR1(N,Wn,kaiser(N+1,4)) uses a Kaiser window with beta=4. B = FIR1(N,Wn,'high',chebwin(N+1,R)) uses a Chebyshev window with R decibels of relative sidelobe attenuation. For filters with a gain other than zero at Fs/2, e.g., highpass and bandstop filters, N must be even. Otherwise, N will be incremented by one. In this case the window length should be specified as N+2. By default, the filter is scaled so the center of the first pass band has magnitude exactly one after windowing. Use a trailing 'noscale' argument to prevent this scaling, e.g. B = FIR1(N,Wn,'noscale'), B = FIR1(N,Wn,'high','noscale'), B = FIR1(N,Wn,wind,'noscale'). You can also specify the scaling explicitly, e.g. FIR1(N,Wn,'scale'), etc.

14 FILTER One-dimensional digital filter. Y = FILTER(B,A,X) filters the data in vector X with the filter described by vectors A and B to create the filtered data Y. The filter is a "Direct Form II Transposed" implementation of the standard difference equation: a(1)*y(n) = b(1)*x(n) + b(2)*x(n-1) b(nb+1)*x(n-nb) - a(2)*y(n-1) a(na+1)*y(n-na) If a(1) is not equal to 1, FILTER normalizes the filter coefficients by a(1). FILTER always operates along the first non-singleton dimension, namely dimension 1 for column vectors and non-trivial matrices, and dimension 2 for row vectors. [Y,Zf] = FILTER(B,A,X,Zi) gives access to initial and final conditions, Zi and Zf, of the delays. Zi is a vector of length MAX(LENGTH(A),LENGTH(B))-1, or an array with the leading dimension of size MAX(LENGTH(A),LENGTH(B))-1 and with remaining dimensions matching those of X. FILTER(B,A,X,[],DIM) or FILTER(B,A,X,Zi,DIM) operates along the dimension DIM.