COLEGIO PARTICULAR MONTERREY FÍSICA I

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1 COLEGIO PARTICULAR MONTERREY FÍSICA I MODULO I BABAHOYO ECUADOR

2 Dr. Gustavo Álvarez Gavilanes CANCILLER Dra. Oly Alvarez VICE CANCILLER ACADÉMICA Ing. Rosendo Gil Avilez COMPILACIÓN Prohibida la reproducción total o parcial de este modulo Por cualquier medio, sin autorización del autor DERECHO RESERVADO Física I Primera Edición 006

3 3 1. DATOS INFORMATIVOS. ASIGNATURA CURSO ESPECIALIDAD MEDIADOR PERÍODO ACADÉMICO. INTRODUCCIÓN : : : : : FÍSICA 1º DIVERSIFICADO PROPEDÉUTICO ING. ROSENDO GIL AVILEZ No puedes disfrutar un juego si no conoces las reglas. Ya sea que se trate de un juego de pelota, de computadora o simplemente de un juego en una fiesta, si no conoces las reglas te aburrirías. No entiendes lo que los demás disfrutan. Así como un músico escucha lo que los oídos no capacitados no consiguen percibir, y del mismo modo como un cocinero saborea en un platillo lo que otros no identifican, la persona que conoce las reglas de la Naturaleza la aprecia mejor. Hay dos cosas que cualquier curso introductorio de física se debe lograr, ya sea en su enfoque, su énfasis o lo que trate de obtener: Impartir una compresión de los principios físicos fundamentales. Capacitar a los estudiantes para resolver una diversidad de problemas razonables en las áreas especificadas correspondientemente. Estos objetivos están enlazados. Una comprensión de los principios físicos, es de uso limitado, si no capacita a los estudiantes para resolver problemas. La física es una ciencia de solución de problemas, y los estudiantes deben ser calificados a partir de su capacidad para dar la respuesta correcta, en los exámenes finales. Sin embargo, algunos pocos consideran que aprender a resolver problemas mecánicamente, es lo mismo que aprender física. Saber y hacer, introspección y capacidad deben ir de la mano. 3. OBJETIVO GENERAL Impartir una comprensión de los principios físicos fundamentales y capacitar a los estudiantes para resolver diversos problemas razonables en las áreas especificadas, de tal manera que se tenga

4 4 un conocimiento completo de la naturaleza física y se aprecie mejor los conocimientos adquiridos, para su aplicación y colaboración en el desarrollo integral del profesional. ARTICULACIÓN # 1 4. CONTENIDOS CIENTÍFICOS Introducción a la Física Objetivo: Describir y comprender los conceptos físicos introductorios y aprender a utilizar las unidades de conversión necesarias para la resolución de problemas. Tiempo: Esta unidad está planificada para 10 horas La ciencia fundamental: la Física La ciencia es lo equivalente actual de lo que se solía llamar filosofía natural. La filosofía natural era la el estudio de las preguntas sin respuestas acerca de la naturaleza. A medida que se encontraban estas respuestas pasaban a formar parte de lo que hoy se llama ciencia. El estudio de las ciencias actuales se divide en el estudio de los seres vivos y de los objetos que no tienen vida, es decir es la ciencia de la vida y la ciencia Físicas. Nosotros en este curso estudiaremos las ciencias Físicas. La física es más que una rama de las ciencias físicas: es la más fundamental de las ciencias. La física estudia la naturaleza de cosas tan básicas como el movimiento, las fuerzas, la energía, la materia, el calor, el sonido, la luz y la composición de los átomos. Esta definición a traído como consecuencia para facilitar el estudio de la Física en dividirla por ramas, y que a continuación detallaremos. 1.. Ramas en que se divide la Física. Para facilitar el estudio de una ciencia tan amplia como es la ciencia física se la a dividido las siguientes ramas:

5 5 La Mecánica.- Rama de la física que estudia el movimiento y que a su vez se subdivide en Cinemática: que es la que estudia el movimiento pero sin importar que es lo que lo causa. La Dinámica: que estudia el movimiento y las causas que lo producen. Termodinámica.- Es aquella rama de la física que se encarga del estudio y comportamiento de los cuerpos con el calor. Acústica.- Es la rama que se encarga del estudio del sonido, su origen, medios de trasmisión y rapidez. Óptica.- Es aquella rama de la física que estudia el comportamiento de la luz al interactuar con la materia. Electricidad.- Es la rama de la física que se encarga del estudio de los fenómenos eléctricos y electromagnéticos. Física Atómica y Nuclear.- es la que estudia la estructuras atómicas, la energía y la interacción atómica Sistema de Unidades. La física se ocupa casi exclusivamente de cantidades mensurables. Por tanto es muy importante saber exactamente qué es lo que se entiende por medida. MAGNITUD.- es todo aquello que puede ser medido. MEDIDA.- Es la comparación de una magnitud con otra de la misma especie, que arbitrariamente se toma como unidad. La magnitud de una cantidad física se expresa mediante un número de veces de unidades medida. En el estudio de la Física se distinguen dos tipos de magnitudes: fundamentales y derivadas

6 6 Las Magnitudes Fundamentales no se definen en términos de otras magnitudes y dependen del sistema de unidades. En el sistema absoluto, las magnitudes fundamentales son: Magnitud Unidad Símbolo Dimensión Longitud Masa Tiempo Temperatura Cantidad sustancia Intensidad luminosa Intensidad corriente Metro Kilogramo Segundo Kelvin Mol Candela Amperio m Kg s ºk mol cd A L M T Θ N I Las Magnitudes Derivadas se forman mediante la combinación de las magnitudes fundamentales. Ejemplos: Magnitud Unidad Símbolo Dimensión Velocidad Aceleración Fuerza Densidad Energía Metro/seg Metro/seg Newton Kilogramo/m 3 joule m/s m/s N Kg/m 3 J LT -1 LT - MLT - ML -3 ML T - Sistemas de Unidades El sistema absoluto esta formado por: El sistema MKS (SI): metro, kilogramo, segundo. El sistema CGS: Centímetro, gramo, segundo. El sistema FPS: Pie, Libra, Segundo. El sistema técnico está formado por: El sistema MKS (europeo): Metro, Unidad técnica de masa, segundo. El sistema FPS (Inglés): Pie, slug, segundo.

7 7 Cuadro de Conversiones. Unidades de longitud 1mm = 1Cm = 1m = 1Km = 1 Plg(In) = 1 pie (ft) = 1 Yarda = 1milla = mm cm m Km in ft yd mill x x x x x x x x x x x x x Unidades de Tiempo 1 segundo = 1 minuto = 1 hora = 1 día = Seg min h D x x x x x x Unidades de Masa. 1 onza = 1 libra = 1 gramo = 1 Kilogramo = 1 Unidad técnica de masa = oz lb g Kg Utm x x Unidades de Fuerza y Peso. 1 Newton = 1 Kg.m/s = 1 Kgf =! Kp = 1 dina = 1 poundals = N Kgf o Kp din Pound x x x

8 Ejercicios de conversión de unidades. La conversión de unidades juega un papel muy importante para la resolución de ejercicios de Física, ya que nos permite comparar y enlazar los diferentes sistemas de unidades. Las unidades por su parte ayudaran a en la aplicación de las formulas físicas ya que por ejemplo si deseamos calcular la velocidad de un móvil sabiendo en que unidades esta dada la velocidad, podemos evaluar si la fórmula que aplicamos es la correcta ya que no solo el resultado numérico debe ser el correcto sino que las unidades resultantes de la operación deben también ser las adecuadas. Por ejemplo: La velocidad siempre tendrá como unidad una unidad de longitud sobre una unidad de tiempo ( m/s), (Km/h) etc. Ejercicios: Un vehículo que marcha por una carretera a 70 millas/hora A Cuántos Km/h viajará dicho vehículo? 1.- las expresiones millas/horas se leen en física como millas por hora, y Km/h se lee Kilómetros por hora..- Debemos determinar de que unidad a que unidad vamos a transformar. No se puede transformar unidades de longitud en unidades de tiempo, solo podemos transformar unidades del mismo genero pero de un sistema a otro. 3.- En el ejercicio tenemos que transformar las millas a Kilómetros ya que las horas están en ambas magnitudes. 4.- Colocamos la primera magnitud y lo multiplicamos por el factor de conversión correspondiente de tal manera que las unidades iguales se simplifique y queden las unidades resultantes como lo aremos a continuación: 70 mill/h x km/1mill = Km/h Las 70 mill/h fueron transformadas y equivalen a Km/h. Esto se obtuvo transformando las millas a kilómetros usando

9 9 la equivalencia sacada del cuadro de unidades de longitud en donde podemos observar que 1 milla que se encuentra en el denominador para poderla simplificar con la milla que se encuentra en el numerador es igual a Km valor que es multiplicado con el 70 para obtener el valor resultante. Ejemplo # Convertir 50 mill/h a metros/segundos En este caso, a partir del cuadro de conversiones, 1mill = 1609 m y 1h = 3600 seg. Estas relaciones se utilizan para cancelar las unidades que se van a cambiar, dejando detrás las que se desean. 50 mill/h x 1609 m/mill x 1h/3600 s = m/s Note que se han cancelado las millas y las horas y quedan los metros y segundos. Ejercicios Propuestos: 1. Cuántos metros hay en (a) 30 pies, (b) 580 pies?. Haga las conversiones siguientes: (a) 5 m a pies, (b) 1 pulgadas a centímetros, (c) 14 días a segundos. 3. Un estudiante determinado medía 0 in de largo cuando nació. Ahora tiene 5 ft 4 in y tiene 18 años de edad. Cuántos centímetros creció, en promedio, por año? 3 4. Un equipo de baloncesto de los Estados Unidos tiene un centro que tiene 6 pies 9 pulgada de alto y pesa 00 libras. Si el equipo participa en juegos de exhibición en Europa Cuáles serán las cifras listadas por el parlante para los aficionados si se utiliza el sistema internacional de unidades (SI)? 5. A un lado de una carretera hay un letrero que indica que el límite de velocidad que debe de ir el conductor de un auto es de un máximo 60 mill/h si el vehículo va a 80 km/h excederá del límite de velocidad?.

10 10 6. En un ascensor de capacidad para 400 Kg. Se suben 6 personas de 10 lb, 145 lb, 160 lb, 180 lb, 150 lb y 170 lb. Podrán subir todas estas personas en un solo viaje?. Cuántos viajes deberán hacer?. 7. En un vehículo la velocidad que marca el velocímetro es de Ft/seg. (a) a cuántos Km/h irá el vehículo? (b) y A cuántas mill/h irá?. 8. Un cable sostiene un puente colgante y para ello requiere realizar una tensión de 7500 N cuántos (a) kgf, (b) poundals requiere de fuerza para sostener el puente? 9. Un terreno de forma rectangular tiene m de largo y 7.89 m de ancho Cuál es el área del terreno expresado en pie? 10. Un balón de fútbol tiene de 11 a 11 1/4 pulg de diámetro cuál es el área del balón cm?. Nota el área de la esfera es πd o 4πr. ARTICULACIÓN # Mecánica. Cinemática Descripción del Movimiento. Objetivo: desarrollar en el estudiante el interés por conocer lo elemental del movimiento para su correcta aplicación y que sea capaz de resolver problemas inherentes al tema como parte integral de su proceso de aprendizaje. Tiempo: Esta Unidad esta planificada para un total de 0 horas.1. Movimiento Lineal. Hay movimiento para todas partes a nuestro alrededor. Lo vemos en la actividad cotidiana de las personas de los autos que pasan por la carretera etc. Cuando hablamos de movimiento lineal nos referimos al análisis que se hace del movimiento a lo largo de una trayectoria recta.

11 11 En este análisis se puede determinar que el movimiento es relativo. Por ejemplo un libro que está en reposo respecto a la mesa sobre la cual se encuentra se mueve a unos 30 kilómetros por segundo en relación con el Sol, y aún más aprisa respecto al centro de nuestra galaxia. Este ejemplo nos define claramente lo que es movimiento relativo ya que depende del punto de referencia para analizarlo... Rapidez y Velocidad. Un objeto en movimiento recorre una cierta distancia en un tiempo determinado. Un auto por ejemplo, recorre un cierto número de kilómetros en una hora. La rapidez es una medida de qué tan aprisa se mueve un objeto. Es la razón de cambio a la que se recorre la distancia. (Llámese razón de cambio a la división de alguna cantidad entre el tiempo). La rapidez se mide siempre en términos de una unidad de distancia dividida entre una unidad de tiempo. Rapidez Instantánea.- Un auto no se desplaza siempre con la misma rapidez. Un auto puede recorrer una calle a 50 Km/h, reducir su rapidez a 0 Km/h en un semáforo y luego aumentar a solo 30 Km/h a causa del tráfico. Se puede saber la rapidez del vehículo en cualquier momento mirando el velocímetro del mismo. La rapidez en cualquier instante se conoce como rapidez instantánea. Rapidez promedio.- Cuando alguien planea realizar un viaje en un auto, a menudo le interesa saber cuánto tiempo le tomará recorrer cierta distancia. Desde luego, el auto no viajará con la misma rapidez durante todo el recorrido. Al conductor le interesa sólo la rapidez promedio para la totalidad del trayecto. La rapidez promedio se define como sigue: Distancia total recorrida Rapidez Promedio = Intervalo de tiempo La rapidez promedio se calcula con facilidad. Por ejemplo, si recorremos una distancia de 60 kilómetros por hora (60 km/h) o bien, si recorre 40 kilómetro en 4 horas veremos que:

12 1 Distancia total recorrida 40 Km Rapidez promedio = = = 60 km/h Intervalo de tiempo 4 h VELOCIDAD.- En el lenguaje cotidiano empleamos las palabras rapidez y velocidad de manera indistinta. En física hacemos una distinción entre ellas. De manera muy sencilla, la diferencia es que la velocidad es una rapidez en una dirección determinada. Cuando decimos que un auto viaja a 60 km/h estamos indicando su rapidez. Pero si decimos que un vehículo se desplaza a 60 km/h hacia el norte estamos especificando su velocidad. La rapidez describe que tan aprisa se desplaza un objeto; la velocidad nos dice que tan aprisa lo hace y en que dirección..3. Movimiento Rectilíneo Uniforme (con velocidad constante) Cuando se habla de movimiento rectilíneo uniforme se puede analizar aquel que se produce con velocidad constante o el que se produce con velocidad variada. El primer movimiento que se analiza es el movimiento con velocidad constante. VELOCIDAD CONSTANTE.- De la definición de velocidad se deduce que para tener una velocidad constante se requiere que tanto la rapidez como la dirección sean constantes. Rapidez constante significa que el movimiento conserva la misma rapidez, es decir, el objeto no se mueve ni más aprisa ni más lentamente. Dirección constante significa que el movimiento sigue una línea recta. Por lo tanto el movimiento a velocidad constante es un movimiento en línea recta y con rapidez constante. Otro de los conceptos importante de definir en esté capitulo es el desplazamiento. Que es la distancia en línea recta entre dos puntos, junto con la dirección de aquí que al igual que la velocidad el desplazamiento es una cantidad vectorial con magnitud y dirección. Para entender lo de cantidad vectorial definamos brevemente lo que es un vector y un escalar

13 13 VECTOR.- es aquella magnitud física que posee módulo, unidad, dirección y sentido. ESCALAR.- es aquella magnitud que solo tiene módulo y unidad y con ello expresan todo lo necesario. Una vez que hemos determinado la diferencia entre cantidad vectorial y cantidad escalar, estamos en condiciones de expresar matemáticamente el movimiento rectilíneo. En donde: La velocidad en un movimiento rectilíneo se define como la razón entre el desplazamiento y el tiempo d V = t La unidad de velocidad siempre estará dada por una unidad de longitud sobre una unidad de tiempo. Ejemplo: m/s, km/h. pie/ seg. Etc. Ejercicio ilustrativo Un automóvil recorre 450 km en 6 hora. Calcule la velocidad media en Km/h y en m/s. El primer paso para resolver un ejercicio de física es identificar los datos del problema que se encuentran en el enunciado. Datos: d = 450 Km. t = 6 h Vm =? Luego de haber determinado los datos y saber cual es la incógnita o la variable a encontrar, vemos la fórmula y la aplicamos.

14 14 d 450 km Vm = = = 75 Km/h t 6 h Vm = 75 km/h Luego realizamos la transformación de unidades para llevarlo a m/s Vm = 75 km/h x 1000 m/1km x 1h/3600 seg. = 0.83 m/s Vm = 0.83 m/s. Ejemplo # Un motociclista maneja 15 km de una ciudad a otra como indica la figura, en horas, pero el viaje de regreso lo hace en sólo 1.5 h cuál es la rapidez promedio para (a) cada mitad de viaje redondo y (b) el viaje total? A 15 Km B Al igual que el ejercicio anterior lo primero que debemos hacer es clasificar los datos y las incógnitas. Datos: d = 15 Km ti = h. tr = 1.5 h Vm =? (a) cada mitad de viaje redondo. (b) el viaje total. Una vez que tenemos los datos plenamente identificado aplicamos la fórmula. d Vm = t

15 15 Para lo cual vemos en los datos cual es la variable que se debe calcular y de que forma hacerlo según el análisis del enunciado. Primero resolvemos el literal (a). Entonces 15 Km Vm = = 6.5 Km/h h Este resultado corresponde a la rapidez promedio de ida. 15 Km Vm = = km/h 1.5 h Este resultado corresponde a la rapidez promedio de regreso. Para resolver el literal (b) demos considerar: 1. Que la distancia total recorrida es de 50 Km entre ida y regreso.. Que el tiempo total del recorrido es de 3.5 h Basándose en estos datos obtenidos sacamos la rapidez promedio total. 50 Km Vm = = Km/h 3.5 h Debe considerar que se supone que el motociclista va y regresa inmediatamente. Ejercicios propuestos: 1. Un aeroplano vuela en línea recta a una rapidez de 140 km/h cuánto le toma volar 400 km?. Un autobús viaja por una carretera a una rapidez promedio de 90 km/h. Qué tan lejos viaja en 15 min en promedio?

16 16 3. Un corredor da tres vueltas completas alrededor de una pista de 1 km de largo en 13.3 min Cuál es (a) su rapidez promedio y (b) su velocidad promedio? 4. Un automóvil viaja uniformemente a lo largo de una carretera recta cubriendo una distancia de 88 pies cada segundo. (a) cuál es la rapidez del automóvil en mill/h? (b) Cuáles son la rapidez media y la velocidad media en m/s?. 5. Se cubre una distancia de 1.50 km al hacer una vuelta alrededor de una pista avalada para bicicletas. Si un corredor que va con rapidez constante hace una vuelta en 1.5 min, cuál es la rapidez de la bicicleta y del corredor en m/s. 6. Una pista circular tiene un diámetro de 0.50 km. Un coche ligero con una rapidez constante de 7 m/s hace dos vueltas completas alrededor de la pista, cuánto tiempo le toma completar las dos vueltas? 7. Un estudiante que conduce a su casa para pasar las vacaciones parte a las 8:00 a.m. para hacer un viaje de 675 km, que es prácticamente todo por una carretera no urbana. Si desea llegar a casa no más tarde de las 3:00 p.m., cuál deberá ser su rapidez promedio mínima? Tendrá que exceder el limite de velocidad de 65 mi/h? 8. Dos conductores se aproximan uno al otro sobre una pista recta; tienen velocidades constantes de m/s y m/s, respectivamente, cuando están separados por 100 metros Cuánto le tomará encontrarse y en qué posición ocurrirá? 9. Dos motociclistas corren contrarreloj en una ruta a través del campo de 40 Km. El primero recorre la ruta con una rapidez promedio de 55 km/h. el segundo parte 3.5 min después del primero, pero cruza la línea final al mismo tiempo. Cuál es la rapidez promedio del segundo?

17 17.4. Aceleración. La descripción básica de un movimiento comprende el intervalo de tiempo de un cambio de posición, que puede expresarse por la velocidad. El paso siguiente sería cómo cambia la velocidad del cambio. Suponga que algo se está moviendo a una velocidad constante y que la velocidad cambia; esto es una aceleración. El pedal de la gasolina de un automóvil se llama comúnmente acelerador. Cuando usted presiona el acelerador, el carro acelera; y cuando usted libera el acelerador, el automóvil desacelera. Esto es, hay un cambio de velocidad con el tiempo, o una aceleración. Específicamente, la aceleración del cambio de velocidad en un intervalo de tiempo. Cambio de velocidad Aceleración promedio = Tiempo para hacer el cambio Δv v - vo O a = = Δt t - to Esta expresión permite calcular la aceleración de un objeto, de donde podemos determinar que como la velocidad esta dada en unidad de longitud sobre unidad de tiempo y esto sobre unidad de tiempo entonces: m/s/s = m/s. En otras palabras la aceleración estará dada por una unidad de longitud sobre una unidad de tiempo al cuadrado..5. Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado Este movimiento analiza los cambios de velocidades, ósea las aceleraciones por lo tanto también se lo llama movimiento uniformemente acelerado.

18 18 De donde: v - vo a = t De esta expresión despejamos v que es la velocidad final. Tenemos: V = Vo + at (solo para aceleración constante). También podemos encontrar la velocidad media en base a la velocidad final (v) y velocidad inicial (vo). v + vo Vm = ECUACIONES CINEMÁTICAS.- la descripción del movimiento en una dimensión con aceleración constante requiere sólo de tres ecuaciones básicas. Las ecuaciones básicas en que nos vamos a basar para el estudio del M.R.U.V. son: X = Vm.t 1 v + vo Vm = v = vo + at 3 La primera ecuación pertenece a situaciones de movimiento con velocidad constante. Las otras dos ecuaciones intervienen en casos que la aceleración es constante. No obstante, la descripción del movimiento en algunos casos requiere de aplicaciones múltiples de estas ecuaciones, que en un principio parece no ser obvias. Sería de gran ayuda si hubiera una forma de reducir el número

19 19 de operaciones al resolver problemas cinemáticos, y si hay: la combinación algebraica de ecuaciones. Por ejemplo, la combinación de las ecuaciones anteriores requiere primero de la sustitución de vm de la ecuación en la 1. v + vo X = vm.t = ( ) t t Luego, sustituyendo v en la ecuación 3, tenemos V + vo (vo + at) + vo X = ( )t = { }.t La simplificación nos da X = vot + 1/ at Estas ecuaciones combinadas permiten calcular directamente la distancia recorrida. Otra posibilidad es utilizar la ecuación 3 para eliminar el tiempo (t), en lugar de la velocidad final (v), escribiendo la ecuación en la forma t = (v - vo) /a. Entonces, como antes, al sustituir para vm en la ecuación 1 a partir de la obtenemos. v +vo X = vm t = ( ).t Pero si sustituimos t, obtenemos v + vo v + vo v - vo X = ( ).t = ( ) ( ) a

20 0 La simplificación nos da V = vo + a x Ejemplo # 1 Un automóvil que viaja sobre un camino recto a 90 km/h disminuye la velocidad a 40 km/h en 5 s cuál es su aceleración promedio? Solución. En el problema tenemos los datos siguientes [Como el movimiento es rectilíneo, suponemos que la velocidades instantáneas tienen dirección positiva, y la conversión a las unidades estándar (km/s a m/s) se hace de inmediato pues el tiempo está dado en segundos. En general, siempre se trabaja con la aceleración en unidades estándar.] Datos. vo = 90 km/h x 1000 m/1 km x 1h/3600 s = 5 m/s v = 40 km/h x 1000 m/1 km x 1h/3600 s = 11 m/s t = 5 s a =? Dados las velocidades inicial y final y el intervalo de tiempo, la aceleración promedio se puede encontrar utilizando la siguiente ecuación. v - vo a = t 11 m/s - 5 m/s a = = -.8 m/s 5 s El signo menos indica la dirección de la aceleración (vectorial). En este caso, la aceleración es opuesta a la dirección del movimiento inicial (+vo), y hace más lento al

21 1 automóvil. Una aceleración tal se llama algunas veces desaceleración. Una aceleración negativa no necesariamente significa que un objeto en movimiento desacelera o que su velocidad disminuye. Los signos + y - indican los sentidos vectoriales con respecto al eje de referencia. Si la velocidad y la aceleración tienen sentidos opuestos, un objeto en movimiento desacelerará. No obstante, supongamos que un carro que viaja en la dirección x negativa (-vo) experimenta una aceleración en la dirección x positiva (+a). El carro estaría desacelerando. Similarmente, si la velocidad y la aceleración tienen la misma dirección, el carro acelerará. Por ejemplo, si el carro viaja inicialmente en la dirección x negativas (- vo), una aceleración negativa (-a) lo acelerará en esa dirección. Ejemplo # Un bote de motor parte del reposo en un lago y acelera en línea recta a una velocidad constante de 3 m/s durante 8 s. Cuál es su velocidad final? y Qué tan lejos viajó el bote durante este tiempo? Solución. Al leer el problema y resumir los datos dados y lo que se busca, tenemos, Datos: vo = 0 a = 3 m/s t = 8 seg. v =? x =? Lo primero que podemos observar es que todas las unidades son estándar ósea que están en el mismo sistema de unidades. Mirando los datos del problema y analizando las fórmulas podemos darnos cuenta que la ecuación adecuada para calcular la velocidad final que adquiere el bote es:

22 v = vo + at v = 0 + (3 m/s ) (8 s) = 4 m/s Note que al multiplicar las unidades de aceleración con las de tiempo se simplifican los segundos dando por resultado la unidad de velocidad. Finalmente la magnitud del desplazamiento o la distancia recorrida es: x = vot + 1/ a t x = 0 + 1/ (3 m/s )(8 s) = 96 m. Ejercicios propuestos 1. Un automóvil que viaja a 5 km/h a lo largo de un camino recto acelera a 50 km/h en 5 seg. Cuál es la aceleración media?. Un automóvil que se mueve con una velocidad de 4 m/s en una calle de un solo sentido debe detenerse en 4 s. Cuál es la aceleración media requerida? 3. Un carro acelera uniformemente del reposo a una velocidad de 5.5 m/s. Qué tan lejos viaja en 7 s? Cuál es la rapidez del carro en ese tiempo? 4. Un bote de motor que se mueve en línea recta disminuye su velocidad uniformemente de 70 km/h a 35 km/h en una distancia de 50 m Cuál es la desaceleración? 5. Una bala viaja horizontalmente con una rapidez de 35 m/s choca contra una tabla perpendicular a la superficie, la atraviesa y sale por el otro lado con una velocidad de 1 m/s si la tabla es de 4 cm de grueso, cuánto tiempo le tomó a la bala atravesarla? 6. Un avión recorre antes de despegar una distancia de 1800 m en 1 segundos, con una aceleración

23 3 constante calcular: (a) La aceleración, (b) la velocidad en el momento del despegue. 7. La velocidad inicial de un proyectil es de 600 m/s. sabiendo que la longitud del cañón es de 150 cm, calcular la aceleración media del proyectil hasta el momento de salir del cañón. 8. el conductor de un camión que va a 100 km/h aplica los frenos, dando al camión una desaceleración uniforme de 6.50 m/s conforme viaja 0 m (a) Cuál es la velocidad del camión en Km/h al final de esta distancia? Cuánto tiempo empleo? 9. El limite de velocidad en una zona escolar es de 40 Km/h (alrededor de 5 mill/h). Un conductor que viaja a esa velocidad ve ha un niño que corre por el camino 17 m delante de su carro. Aplica los frenos y el carro se desacelera uniformemente a 8 m/s. si el tiempo de reacción del conductor es de 0.5 s, Se detendrá el carro antes de atropellar al niño? 10. Un tren que viaja sobre rieles recta tiene una velocidad de 45 km/h. Se aplica una aceleración uniforme de 1.50 m/s conforme el tren recorre 00 m. (a) Cuál es la rapidez del tren al final de esta distancia? (b) cuánto tiempo le tomó al tren recorrer los 00 m?.6. Caída Libre. Uno de los casos más familiares de aceleración constante se debe a la gravedad cerca de la superficie de la tierra. Cuando un objeto cae, su velocidad inicial es cero (en el instante en que es liberado), pero un tiempo después durante la caída tiene una velocidad que no es cero. Ha habido un cambio en la velocidad y, por definición, una aceleración. La aceleración debida a la gravedad (g) tiene un valor aproximado (magnitud) de: g = 9.80 m/s aceleración debido a la gravedad

24 4 o 980 cm/s y se dirige hacia abajo (hacia el centro de la tierra). En unidades británicas, el valor g es alrededor de 3 pies/s. Los valores para g son sólo aproximados pues la aceleración debida a la gravedad varía ligeramente en diferentes lugares como resultado de las diferencias en la elevación y la masa promedio regional de la tierra. Se dice que los objetos en movimiento sólo bajo la influencia de la gravedad, están en caída libre. En el movimiento de caída libre el desplazamiento lo representaremos con la letra (y). Y como la aceleración debida a la gravedad siempre es hacia abajo, está en sentido negativo. -g = m/s. No obstante la relación a = - g se puede expresar explícitamente en las ecuaciones para el movimiento lineal y = vmt (6) v + vo vm = v = vo - gt y = vot - 1/gt v = vo - gy () (7) (8) (9) Como se puede observar las ecuaciones para caída libre son muy similares a las ecuaciones de movimiento horizontal con la diferencia de la gravedad que se aplica en los cuerpos que se mueven verticalmente. Ejemplo. Un niño que está sobre un puente tira verticalmente una piedra hacia abajo con una velocidad inicial de 14.7 m/s. Si la piedra choca con el agua seg. Después, cuál es la altura del puente sobre el río?

25 5 Solución. Como es usual, primero leemos el problema y escribimos los datos que se nos dan y lo que debemos encontrar. Datos: Vo = m/s (hacia abajo se toma como la dirección negativa) t = s g (= 9.80 m/s ) y =? Observe que g ahora es sólo una cifra, dado que el signo menos ya se ha puesto en las ecuaciones anteriores del movimiento. Después de un tiempo, probablemente sólo escribirá el símbolo g, dado que se habrá familiarizado con su valor numérico. Esta vez, haga usted mismo el esquema para ayudarse a analizar la situación. Considerando qué ecuaciones nos darán la solución usando los datos dados, es evidente que la distancia que la piedra recorre en un tiempo t se da directamente por la ecuación 8 Y = vot - 1/gt = (-14.7 m/s)( s) - 1/(9.8 m/s )( s) = -9.4 m m = m El signo menos indica que el desplazamiento es hacia abajo, lo cual concuerda con lo que usted sabe de la formulación de problema. ( Podría encintrar cuánto le tomó a la piedra?) Ejemplo # Un trabajador está en un andamio frente a un anuncio y tira una pelota en línea recta hacia arriba. La pelota tiene una velocidad inicial de 11. m/s cuando deja la mano del trabajador en el mismo nivel que indica la flecha. (a) Cuál es

26 6 la altura máxima que alcanza la bola medida desde donde indica la línea de puntos? (b) Cuánto tiempo le toma alcanzar esa altura? (c) Cuál es la posición de la bola en t = s? Solución. Tal parece que todo lo que se ha dado en el problema general es la velocidad inicial vo. A pesar de ello, algunos otros datos están implícitamente "dados" pues se conocen. Uno de ellos es la aceleración g, y el otro es la velocidad cuando la pelota se detiene a la máxima altura. Aquí, al cambiar la dirección, la velocidad de la pelota es momentáneamente cero; así tenemos. Datos: vo = 11. m/s g = 9.80 m/s v = 0 para (a) t = s (para la parte c) (a) y(max) = (altura máxima) (b) ta (tiempo hacia arriba ) (c) y (en t = s) (a) observe que nos referimos a la altura (y = 0) de la parte donde se encuentra la línea de puntos. Para esta parte del problema sólo debemos preocuparnos del movimiento hacia arriba: la pelota se tira hacia arriba y se detiene a la altura

27 7 máxima ymáx. Con v = 0 a esta altura, ymax se puede encontrar directamente de la ecuación. V = 0 = vo - g ymax Vo Y max = g (11. m/s) = = 6.40 m (9.8 m/s ) Con respecto a la parte superior del anuncio y = 0, ver figura). (b) El tiempo que la pelota viaja hacia arriba se designa ta. Este es el tiempo que le toma alcanzar ymax, en donde v = 0 entonces, conociendo vo y v, el tiempo ta se puede encontrar directamente de la ecuación: v = 0 = vo - gta y vo ta = g 11. m/s = = 1.14 s 9.8 m/s (c) La altura de la pelota en t = s está dada directamente en la ecuación: y = vo t - 1/ g t (11. m/s)( s) - 1/ (9.8 m/s ) ( s).4 m m =.8 m

28 8 Observe que esto es.8 m arriba, o medidos hacia arriba desde el punto de referencia (y = 0). La pelota alcanzó su altura máxima y está en su camino de regreso hacia abajo. Si consideramos el problema desde otro punto de referencia, sería como dejar caer la pelota desde una altura y max arroba de la parte donde se encuentra la línea de puntos con vo = 0 y preguntarnos qué tan lejos caería en el tiempo t = s - ta = s s = 0.86 s. La respuesta es y = vot - 1/ g t = 0-1/ (9.8 m/s ) (0.86 s) = m Es la misma posición que obtuvimos antes, pero ahora se ha medido con respecto a la altura máxima como punto de referencia; esto es y (máx.) -3.6 m = 6.4 m m =.8 m Concejo para la solución de problemas Cuando se trabaja con problemas de proyección vertical que comprenden movimiento hacia arriba y hacia abajo, con frecuencia es conveniente dividir el problema en dos partes y considerar cada una en forma separada. Como se vio en el ejemplo anterior, para la parte en la que el movimiento se dirige hacia arriba, la velocidad es cero ala altura máxima. Una cantidad cero simplifica los cálculos. En forma similar, la parte en la que el movimiento se dirige hacia abajo es análogo a la del objeto que se deja caer desde determinada altura, en donde la velocidad inicial es cero. Ejercicios propuestos 1. Un objeto se suelta desde la parte más alta de un acantilado tarda 1.80 s para llegar al agua del lago hay debajo. Cuál es la altura del acantilado sobre el agua?. Con qué rapidez hay que proyectar verticalmente hacia arriba un objeto para que alcance una altura máxima de 1 m sobre un punto de partida?

29 9 3. Se tira verticalmente hacia abajo una piedra con una velocidad inicial de 1.4 m/s desde una altura de 65 m sobre el suelo. (a) Qué tan lejos viaja la piedra en s? (b) Cuál es su velocidad cuando llega al suelo? 4. Una persona que está inclinada sobre el borde de un edificio de 34 m de alto lanza una pelota hacia arriba con una rapidez inicial de 6 m/s de modo que la pelota no choque contra el edificio en el viaje de regreso. (a) Qué tan lejos sobre el suelo estará la pelota al final de 1 s.? (b) cuál es la velocidad de la pelota en ese momento? (c) Cuándo y con qué rapidez chocará la pelota en el suelo? 5. Una pelota de béisbol lanzada verticalmente hacia arriba se cacha a la misma altura 3.0 s después. Cuáles son (a) la velocidad inicial de la pelota y (b) su altura máxima sobre el punto de partida?. 6. Cierta persona salta una distancia vertical de 0.85 m. (a) Cuál es el tiempo total que la persona está fuera del piso? (b) Con que velocidad llegará la persona al piso? 7. Al tirar verticalmente hacia arriba un objeto con una velocidad de 7.5 m/s desde la parte superior de un edificio alto, inclinado el lanzador sobre el borde de modo que el objeto no choque con el edificio en su viaje de regreso, (a) cuál es la velocidad del objeto cuando ha viajado una distancia total de 5 m (b) Cuánto le toma viajar esta distancia? 8. Un fotógrafo en un helicóptero que asciende verticalmente a una rapidez constante de 1.75 m/s deja caer accidentalmente una cámara cuando el helicóptero está a 50 m arriba del suelo. (a) Cuánto tiempo tardará la cámara en llegar al suelo? (a) cuánto tiempo tardará la cámara en llegar al suelo? (b) Cuál será su rapidez cuando choque?. 9. La aceleración debida a la gravedad en la luna es un sexto de la de la tierra. (a) si un objeto se dejará caer desde misma altura en la luna y en la tierra, cuánto más tiempo le tomaría chocar con la superficie de la Luna? (b)

30 30 Para un proyectil con una velocidad inicial de 18 m/s hacia arriba Cuál sería la altura máxima que alcanzaría y el tiempo total de vuelo sobre la luna y sobre la tierra? 10. Un estudiante que está en una ventana en el segundo piso de un dormitorio ve ha su profesor de matemáticas venir por la acera que corre al lado del edificio. Tira un globo con agua desde 18 m arriba del suelo cuando el profesor está a 1 m del punto directo debajo de la ventana. Si el profesor tiene 170 cm de altura y camina a una velocidad de m/s, le caerá el globo en la cabeza? Le caerá en alguna parte del cuerpo? 11. Un objeto que cae pasa por una ventana que tiene una altura de 1.35 m durante 0.10 s Desde qué altura sobre la ventana se soltó el objeto? ARTICULACIÓN # 3 Movimiento en dos dimensiones Objetivo: Impartir una comprensión de los principios físicos fundamentales y capacitar a los estudiantes para resolver diversos problemas razonables en las áreas especificadas, de tal manera que se tenga un conocimiento completo de la naturaleza física y se aprecie mejor los conocimientos adquiridos, para su aplicación y colaboración en el desarrollo integral del profesional. Tiempo: Esta unidad Está planificada para 0 horas 3.1. Introducción.- podría usted describir el movimiento de la pelota pateada por un jugador de fútbol? Obviamente, éste no es el caso de un movimiento en línea recta, o rectilíneo, en una dimensión como los que consideramos la unidad anterior. Aquí, tenemos movimiento en un plano; es decir, en dos dimensiones. Los componentes del movimiento se pueden representar convenientemente con notación vectorial. Un vector desplazamiento por ejemplo, tiene o está constituido de los componentes de posición X y Y. En forma similar, un vector de velocidad tiene los componentes de velocidad vx y vy; Un vector de aceleración tiene los componentes de

31 31 aceleración ax y ay. En algunos casos, los aspectos del movimiento se puede analizar sumando directamente vectores. Debido a que todo vector tiene tanto magnitud como dirección, la adición escalar de números, que usted aprendió en la escuela primaria, no se aplica. En este capítulo, usted aprenderá cómo sumar y restar vectores operaciones que toman en cuenta la dirección. 3.. Sistema de coordenadas en el plano Coordenadas Rectangulares. Están formadas por dos ejes numéricos perpendiculares entre sí. El punto de intersección se considera como el origen de cada uno de los ejes numéricos x e y. Este punto se llama origen de coordenadas y se designa con la letra O. Y (+) º cuadrante 1 er cuadrante (-) x (+) o 3 er cuadrante 4º cuadrante (-) El eje horizontal se denomina abscisa o eje de las x. Es positiva a la derecha del origen, y negativa a la izquierda. El eje vertical se denomina ordenada o eje de las y. Es positiva hacia arriba del origen, y negativa hacia abaja. Estos ejes numéricos perpendiculares dividen el plano en cuatro cuadrantes ordenados. La posición de un punto en el plano queda determinado por un par de números ordenados (x,y), llamados

32 3 coordenadas rectangulares, que corresponden a la intersección de una abscisa (x) y una ordenada(y). Ejemplo: Representar la posición de los siguientes puntos en el plano: A(5,1) B(-4,4) C(,-4) D(-1,1) E(-1,1) F(7,-1) Coordenadas polares.- Están formadas por el eje numérico de referencia x, denominado eje polar. En un punto de éste se halla el origen de coordenadas O, llamado origen o polo r (r, Ø) Ø O La posición de un punto en el plano queda determinada por un par ordenado (r,ø), donde r es el radio vector y representa la distancia positiva del origen al punto; y Ø es el ángulo polar, y representa la medida del ángulo desde el eje polar hasta el radio vector, en sentido antihorario Ejemplo: A(50 Km, 10º) B(0 Km, 330º) C(40 Km, 45º) D(30 Km, 0º)

33 33 Coordenadas Geográficas.- Están formadas por dos ejes perpendiculares entre sí. El punto de intersección de los ejes se considera como el origen de cada uno de ellos. Estos ejes perpendiculares dividen al plano en los cuatros puntos cardinales: Norte, Sur, Este y Oeste. N O E S El eje horizontal representa el Este (E) a la derecha del origen, y el Oeste (O) a la izquierda del origen. El eje vertical representa el Norte (N) hacia arriba del origen, y el Sur, (S) hacia abajo del origen. Ejemplo: A(10 m, S40ºO) B( 4 m, N30ºE) C( 8 m, S0ºE) D( 6 m, N60º) 3.3. Resolución de Triángulos Rectángulos.- Un triángulo rectángulo está compuesto de seis elementos: tres lados, dos ángulos agudos y un ángulo recto. La suma de los ángulos es 90º y (x,y) o r Ø x y

34 Fórmula Símbolo Función 34 En la resolución de un triángulo es necesario conocer tres de los seis elementos que lo componen, siempre que al menos uno de ellos sea un lado. Para la resolución de triángulos rectángulos se aplica: a) El teorema de Pitágoras. b) Las funciones trigonométricas de un ángulo agudo. Teorema de Pitágoras.- en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la medida de la hipotenusa, es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos: R = x + y Principales funciones trigonométricas.- en todo triángulo rectángulo las principales funciones trigonométricas de uin ángulo agudo son: Coordenadas Rectangulares Triángulos rectángulo Seno Sen Ø Ordenada / radio vector Cateto opuesto / hipotenusa Y/r Coseno Cos Ø Abscisa / Radio vector Cateto adyacente / hipotenusa. X/r Tangente Tan Ø Ordenada / abscisa Cateto opuesto / cateto adyacente Y / x El aprendizaje de la resolución de triángulos rectángulos es importante para analizar el movimiento en dos dimensiones y para la suma de vectores. Ejercicio de aplicación Resolver el siguiente triangulo rectángulo. a = 3 c =? b = 5

35 35 Del triangulo rectángulo dado no se conoce la hipotenusa ni los ángulos agudos que lo forman. Para encontrar la hipotenusa lo podemos hacer aplicando el teorema de Pitágoras. C = a + b C = a b De donde: C = 3 4 = 5 C= 5 Luego para calcular los ángulos alfa y beta se aplica funciones trigonométricas. tan 3 tan tan º 53.13º op ady a b sen b c tan tan Al sumar estos ángulos debe de sumar 90º para cumplir con la ley de los triángulos que sumado al ángulo recto dará 180º.

36 36 Ejercicios de aplicación Resolver los siguientes triángulos rectángulos m Componentes del Movimiento 70 0 En los capítulos anteriores se estudiaron objetos que se mueven en línea recta o a lo largo del eje horizontal a lo largo del eje vertical. El caso primero el movimiento rectilíneo uniforme y el uniformemente variado, y para el segundo caso caída libre. Pero el movimiento no solo se manifiesta en estos dos sentidos por separado sino que se necesita de ambos (x, y) para describir el movimiento de un objeto que se mueve diagonalmente. y y = vy t v d (x, y) x = Vx t x

37 37 v ( v x ) ( v y ) d x y Si se da el valor y dirección de la velocidad de un objeto que se mueve diagonalmente se puede calcular las componentes de la velocidad mediante: Ejemplo # 1 Vx = v cos Vy = v sen Una pelota que se mueve diagonalmente y tienen una velocidad de 0.50 m/s y un ángulo de 37º en relación con el eje de las x, encuentre qué tan lejos viajará en 3 s; utilice los componentes x, y. Solución. Si organizamos los datos, tenemos Datos: V = 0.50 m/s = 37º t = 3 s encontrar: d (distancia) la distancia en términos de los componentes x e y está dado por d = x y. De modo que para encontrar x e y primeros calculamos los componentes de la velocidad vx y vy. Vx = v cos 37º = (0.50 m/s)(0.80) = 0.40 m/s Vy = v sen 37º = (0.50 m/s) (0.60) = 0.30 m/s Entonces, las distancias componentes son X = vxt = (0.40 m/s) (3 s) = 1. m Y = vyt = (0.30 m/s) (3 s.) = 0.90 m Y la distancia real de la trayectoria es

38 38 d x y 3 1.m 0.90m 1.5m (Obsérvese que para este caso sencillo, la distancia también se puede obtener directamente a partir de d = vt d = (0.50m/s)(3 s) = 1.5 m. A pesar de ello, hemos resuelto este ejemplo en una forma más general para ilustrar el uso de los componentes del movimiento. Ecuaciones cinemáticas para los componentes del movimiento. El ejemplo anterior trató sobre un movimiento bidimensional en un plano. Con una velocidad constante (componentes constantes vx y vy), el movimiento rectilíneo. El movimiento también puede tener aceleración. Para el movimiento en un plano con una aceleración constante que tiene los componentes ax y ay, los componentes del desplazamiento y la velocidad se dan en la ecuación cinemáticas para la dirección x e y. X = vx0 t + 1/ ax t y = vy0 t + 1/ ay t vx = vx0 + ax t vy = vy0 + ay t Ejemplo # Suponga que una pelota tiene una velocidad inicial de 1.50 m/s a lo largo del eje de las x, y al iniciar en t0 recibe una aceleración de.80 m/s en la dirección y (a) Cuál es la posición de la pelota 3 s después de t0? (b) cuál es la velocidad de la pelota en ese tiempo?

39 39 Vy3 = ay t3 v y3 = 1/ ay t3 vx vx t0 vx x= vx t Dados: Vx0 = vx = 1.50 m/s Vy0 = 0 ax = 0 ay =.80 m/s t = 3 s Encontrar: (a) x,y) coordenadas de posición (b) v (velocidad) (a) 3 s después de t0 = 0, la pelota ha viajado las distancias siguientes a partir del origen, en las direcciones x e y: x = vx0 t + 1/ ax t = (1.50 m/s)(3 s) + 0 = 4.50 m y = vy0 t + 1/ ay t = 0 + 1/(.80 m/s )(3 s) = 1.6 m

40 40 así su posición es (x, y) = (84.50m, 1.6 m). si usted calcula la distancia d = x y, cuál podría ser? (Observe que ésta no es la distancia real que la pelota ha recorrido en 3 seg., sino la magnitud del desplazamiento desde el origen hasta t = 3 s) (b) el componente x de la velocidad está dado por vx = vx0 + ax t = 1.50 m/s + 0 = 1.50 m/s (Éste es constante dado que no hay aceleración en la dirección x.) El componente de la velocidad es vy = vy0 + ay t = 0 + (.80 m/s ) (3 s)= 8.40 m/s Por lo tanto la velocidad tiene una magnitud de v v x v y 1.50m/ s 8.40m/ s 8.53m/ s y su dirección en relación con eje de las x es tan 1 v v y x tan m/s 1.50m/s 79.9º Ejercicios Propuestos. 1. Un objeto se mueve con una velocidad de 6 m/s a un ángulo de 37º en relación con el eje de las x Cuál es la magnitud del componente x de la velocidad?. Un bote de motor viaja con una rapidez de 40 km/h en una trayectoria recta sobre un lago tranquilo. De improviso, un fuerte viento uniforme empuja el bote en dirección perpendicular a su trayectoria en línea recta con una rapidez de 15 km/h durante 5 s. en relación con su posición en el momento en que el viento comenzó a soplar, dónde estará localizada el bote al final de este tiempo?. 3. Un objeto se mueve con una velocidad de 7.5 m/s a un ángulo de 7.5º con el eje de las x. cuáles son los componentes x e y de la velocidad?

41 41 4. El componente y de una velocidad que tienen un ángulo de 7º con el eje de las x tienen una magnitud de 3.8 m/s. (a) cuál es la magnitud de la velocidad? (b) cuál es la magnitud del componente x de la velocidad? 5. Una pelota rueda con una velocidad constante de.40 m/s con un ángulo de 37º en relación con el eje de las x del cuarto cuadrante. Si sabemos que la pelota estaba en el origen en t = 0, cuáles son las coordenadas (x, y) 1.75 s más tarde? 6. Una partícula situada en el punto (4; -5)m se mueve con velocidad constante hasta el punto (-; 7)m en 1 s determinar: (a) La velocidad empleada. (b) El desplazamiento realizado. 7. Un móvil con una rapidez constante de 3,4 km/h parte del punto (45; 18)m y moviéndose rectilíneamente llega al punto (-1; -31)m. Determinar: a) El tiempo empleado. (b) El desplazamiento realizado. (c) La distancia recorrida. 8. Una pelota que se mueve a lo largo del eje de las x con una rapidez de 1.5 m/s, experimenta una aceleración de 0.5 m/s con un ángulo de 37º con el eje de las x, que inicia cuando la pelota está en el origen (t = 0) y continúa sin interrupción. Cuáles son las coordenadas de la pelota en t = 3 s? 9. Una partícula parte del punto (-5;3) m y se mueve con una velocidad constante de (4i + 7j) m/s durante 7 s. Determinar: (a) La posición alcanzada por la partícula. (b) El desplazamiento realizado. 10. Un móvil que va por una carretera recta con una velocidad constante de (-14i; -18j)m/s se encuentra en el punto (5; -8)m en t = 15 s. Determinar: (a) La posición que tuvo el móvil en t = 3 s. (b) El desplazamiento realizado desde t1 = 3 s hasta t = 15 s Adición y sustracción de vectores Muchas magnitudes físicas son vectores. Usted ya a trabajado con algunas pocas relacionadas con el movimiento (desplazamiento, velocidad y aceleración) y encontrará más durante este curso. Una técnica my importante en el análisis de muchas situaciones físicas es la

42 4 adición (y la sustracción) de magnitudes vectoriales. Mediante la suma o combinación de esas magnitudes (adición de vectores), obtener el efecto neto o general; la resultante, como llamamos a la suma de vectores. Para lograr la suma de vectores podemos acudir a dos métodos generales: Método Geométrico y Método Matemático. Dentro del método geométrico tenemos tres sub. divisiones que son: Método del Triángulo.- para sumar dos vectores por ejemplo, para sumar B y A (esto es para encontrar A + B) por el método del triángulo, primero se debe dibujar A en una hoja de papel milimetrada con alguna escala y con el ángulo de inclinación correspondiente. Por ejemplo, si A es un desplazamiento en metros, una escala conveniente es 1 cm: 1 m, para que 1 cm de longitud vectorial en la gráfica corresponda a 1 metro de desplazamiento; la dirección del vector A está en un ángulo ( ) con respecto al eje de las coordenadas, usualmente, el de las x. Luego se dibuja B a partir de la punta de A. (así, este método también e conoce como el método de punta con cola). El vector que va de la cola de A a la punta de B es, entonces, el vector suma, o sea, la resultante de los dos vectores: R = A + B. Si el vector se dibuja a escala, se puede encontrar la magnitud de R midiendo su longitud y usando la escala. En este método gráfico, el ángulo de dirección

43 43 3.3c debe ser mucho más fácil de encontrar el teorema de Pitágoras para la magnitud y mediante la función trigonométrica inversa para encontrar el ángulo de la dirección (observe que en este caso R está forma por los componentes x y e (A y B).) Método del paralelogramo. Otro método grafico de adición de vectores similar al método del triángulo es el método del paralelogramo. En la figura 3.4, A, y B se dibujan cola con cola, y se forma un paralelogramo como se muestra. La resultante R corre a lo largo de la diagonal del paralelogramo. Si el diagrama se dibuja a escala con las orientaciones correctas, la magnitud y la dirección de R se pueden medir directamente del diagrama, como en el método del triángulo. Observe que B se podría mover sobre el otro lado del paralelogramo para formar el triángulo A + B. En general, un vector flecha se puede mover en los métodos de adición e vectores. Mientras usted no cambie