Revista Integración ISSN: X Universidad Industrial de Santander Colombia

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1 Revista Integración ISSN: X Universidad Industrial de Santander Colombia Montaño Carreño, Óscar Andrés El problema de Steklov sobre el cono Revista Integración, vol. 30, núm., 01, pp Universidad Industrial de Santander Bucaramanga, Colombia Disponible en: Cómo citar el artículo Número completo Más inormación del artículo Página de la revista en redalyc.org Sistema de Inormación Cientíica Red de Revistas Cientíicas de América Latina, el Caribe, España y Portugal Proyecto académico sin ines de lucro, desarrollado bajo la iniciativa de acceso abierto

2 Revista Integración Escuela de Matemáticas Universidad Industrial de Santander Vol. 30, No., 01, pág El problema de Steklov sobre el cono Óscar Andrés Montaño Carreño Universidad del Valle, Departamento de Matemáticas, Cali, Colombia. Resumen. Sea (M n,g) un cono de altura 0 x n+1 1 en R n+1, dotado con una métrica rotacionalmente invariante ds + (s)dw, donde dw representa la métrica estándar sobre S, la esera unitaria ()-dimensional. Supongamos que Ric(g) 0. En este artículo demostramos que si h > 0 es la curvatura media sobre M y ν 1 es el primer valor propio del problema de Steklov, entonces ν 1 h. Palabras claves: Problema de Steklov, cono, curvatura media. MSC010: 35P15, 53C0, 53C4, 53C43 The Steklov problem on the cone Abstract. Let (M n,g) be a cone o height 0 x n+1 1 in R n+1, endowed with a rotationally invariant metric ds + (s)dw, where dw represents the standard metric on S, the (n 1)-dimensional unit sphere. Assume Ric(g) 0. In this paper we prove that i h > 0 is the mean curvature on M and ν 1 is the irst eigenvalue o the Steklov problem, then ν 1 h. Keywords: Steklov problem, cone, mean curvature. 1. Introducción Sea (M n,g) una variedad riemanniana compacta n-dimensional con borde M y laplaciano g. Dada una unción u C ( M), sea û la extensión armónica de u: { g û = 0 en M, û = u sobre M. Sea η la conormal unitaria exterior a lo largo de M. La unción Dirichlet-a-Neumann es la unción L : C ( M) C ( M) dada por Lu = û η. 0 oscar.montano@correounivalle.edu.co Recibido: 13 de junio de 01, Aceptado: 10 de septiembre de

3 1 O.A. Montaño Carreño L es un operador autoadjunto no negativo con espectro discreto ν 0 < ν 1 ν ν 3... tendiendo a ininito. Los valores propios para este problema ueron discutidos en 190 por Steklov [11], y son a menudo llamados valores propios de Steklov. Puesto que las unciones constantes están en el núcleo de L, el menor valor propio de L es ν 0 = 0. El primer valor propio no cero ν 1 de L es conocido como el primer valor propio de Steklov y está caracterizado variacionalmente por ν 1 = mín ϕ C M ϕ dv M ϕ dσ, (1) donde C = { ϕ C ( M) : M ϕdσ = 0}. Para la bola unitaria B n R n, los valores propios de la unción Dirichlet-a-Neumann son ν k = k, k = 0,1,,..., y las unciones propias están dadas por el espacio de polinomios armónicos homogéneos de grado k restringidos a la esera B n. En 1954 Weinstock [1] demostró que para un dominio plano simplemente conexo M la cantidad ν 1 P( M), donde P( M) es el perímetro del dominio, es maximizada únicamente por un disco. En 1970 Payne [10] demostró, también para un dominio plano y simplemente conexom, que si k 0 > 0 es una cota inerior para la curvatura k del borde M, entonces ν 1 k 0. Posteriormente, en el año 1997, Escobar [4] generalizó el resultado de Payne a variedades -dimensionales con curvatura de Gauss no negativa, reemplazando k por la curvatura geodésica k g sobre el borde. En dimensiones altas para variedades con curvatura Ricci no negativa, en el mismo artículo Escobar demuestra que ν 1 > k0, donde k 0 > 0, y la segunda orma undamental sobre el borde M satisace que π k 0 I. El mismo Escobar [5] conjetura lo siguiente: Conjetura 1.1. Sea (M n,g) una variedad riemanniana compacta con borde y dimensión n 3. Supongamos que Ric(g) 0, y que la segunda orma undamental π satisace π k 0 I sobre M, k 0 > 0. Entonces ν 1 k 0. La igualdad se tiene solamente para la bola euclidiana de radio k 1 0. Una orma práctica de enunciar el problema de Steklov es la siguiente: Encontrar una solución de la ecuación g ϕ = 0 en M, ϕ () = νϕ sobre M, η donde (M n,g) es una variedad riemanniana compacta con borde M y ν es un número real. El problema tiene orígenes ísicos. La unción ϕ representa un estado estacionario de la temperatura sobre M, donde el lujo sobre el borde es proporcional a la temperatura. El problema de Steklov ue estudiado por Calderón [1] en conductividad y análisis armónico. En [8], cuando g es una métrica rotacionalmente invariante y M es una bola n- dimensional, nosotros demostramos la Conjetura 1.1. En este artículo demostramos la Conjetura 1.1 cuando M es el cono n-dimensional, dado por M = { x R n+1 x 1 + +x n x n+1 = 0, 0 x n+1 1 }, [Revista Integración

4 El problema de Steklov sobre el cono 13 y g es una métrica rotacionalmente invariante de la orma ds + (s)dw.. Preliminares Sea M el cono n-dimensional en R n+1 dado por M = { x R n+1 x 1 + +x n x n+1 = 0, 0 x n+1 1 }, (3) con borde M = {x M x n+1 = 1}. (4) Sea S la esera unitaria encajada en R n+1 y parametrizada por Y(w) = Y(w 1,...,w ) = (senw senw n senw 1,...,senw cosw n,cosw,0). Sea X la parametrización usual del cono dada por X(s,w) = s(y(w)+e n+1 ), 0 s 1, (5) donde Los campos coordenados son e n+1 = (0,,0,1) R n+1. X 0 = X s = Y(w)+e n+1, (6) X i = X w i = sy i, i = 1,,. Deinición.1. Diremos que g es una métrica rotacionalmente invariante sobre M si tiene la orma ds + (s)dw, donde dw representa la métrica usual sobre S y es una unción suave con (0) = 0, (0) = 1 y (s) > 0 para 0 < s 1. Observación.. Cuando (s) = s obtenemos la métrica usual sobre M inducida por la métrica euclidiana de R n+1. Si ḡ es la métrica usual de S R n+1, es ácil veriicar las siguientes relaciones: g ss = g(x s,x s ) = ; (7) g is = g(x i,x s ) = 0, i = 1,,; (8) g ij = g(x i,x j ) = g(sy i,sy j ) = (s)ḡ(y i,y j ) = (s)ḡ ij, i,j = 1,,; (9) g = g(x,x ) = (s). (10) El determinante de g, g, viene dado por g = ( ) ḡ. (11) Vol. 30, No., 01]

5 14 O.A. Montaño Carreño.1. Gradiente Si ϕ : M R es una unción de la orma ϕ(s, w) = ψ(s)φ(w), entonces, ϕ(s, w) = g ij X i (ϕ)x j i,j=0 = 1 ϕ s X s + g ij X i (ϕ)x j i,j=1 = 1 ψ φx s + ψ ḡ ij ( φ )X j (1) w i i,j=1.. Laplaciano Si ϕ : M R es una unción de la orma ϕ(s, w) = ψ(s)φ(w), entonces ϕ(s, w) = 1 g s = 1 ϕ { 1 ψ = { 1 s + () } ϕ g + 1 s s + () donde es el Laplaciano sobre S. ϕ s + 1 ψ s g i,j=1 w i { g g ij ϕ } w j ϕ } φ+ ψ φ, (13).3. Derivada normal sobre el borde Sea ϕ : M R una unción de la orma ϕ(s,w) = ψ(s)φ(w). Puesto que η = Xs es un campo normal unitario exterior a M, entonces ϕ η = g( ϕ,η) = 1 ( ) 1 ϕ g s X s,x s = 1 ϕ s = 1 ψ (s)φ(w). (14).4. Conexión y curvatura media Sea D la conexión de Levi-Civita asociada a la métrica g. Para los campos coordenados D satisace la ecuación g(d Xi X j,x k ) = 1 X jg(x i,x k )+ 1 X ig(x j,x k ) 1 X kg(x i,x j ). (15) La ecuación anterior implica que g(d Xi X s,x s ) = 0 [Revista Integración

6 El problema de Steklov sobre el cono 15 y y por lo tanto g(d Xi X s,x j ) = 1 X sg(x i,x j )+ 1 X ig(x s,x j ) 1 X jg(x i,x s ) = 1 { } X s (s)ḡ(y i,y i )δ j i = ḡ(y i,y i )δ j i, D Xi X s = X i. En consecuencia, siendo π la segunda orma undamental, se tiene: π(x i,x i ) = g(d Xi η,x i ) = g(d Xi ( X s ),X i ) (16) = 1 g(d Xi X s,x i ) = 1 g( X i,x i ) = 1 ( )g(x i,x i ). Así que la curvatura media h sobre M está dada por h = 3. Resultados básicos 1 g(x i,x i ) 1 g(d Xi η,x i ) = 1 (1) (1). (17) i=1 Proposición 3.1. El primer valor propio para el operador Laplaciano ( g ) sobre M es λ 1 (M) = (1). Observación 3.. Cuando la métrica es la inducida por la métrica euclidiana, el primer valor propio es λ 1 =. Demostración. λ 1 = g φ g dσ g M mín M φdσg=0 M φ dσ g 1 = mín M φdσg=0 (1) 1 = mín M φdσg=0 (1) 1 = mín M φdσḡ=0 (1) = (1). ḡφ dσ g M M φ dσ g M ḡφ (1)dσḡ M φ (1)dσḡ ḡφ dσḡ M M φ dσḡ Vol. 30, No., 01]

7 16 O.A. Montaño Carreño El siguiente resultado sobre el cono es análogo al obtenido por Escobar en [6] para la bola n-dimensional. Proposición 3.3. La primera unción propia no constante para el problema de Steklov sobre M tiene la orma ϕ(s,w) = ψ(s)e(w), (18) donde e(w) satisace la ecuación e+()e = 0 sobre S y la unción ψ satisace la ecuación dierencial 1 ψ + () ψ () ψ = 0 en (0,1), (19) ψ (1) = ν 1 ψ(1), ψ(0) = 0. (0) Demostración. La ecuación (19) se obtiene ácilmente de la ecuación (13) y de la Proposición 3.1. La condición ψ (1) = ν 1 ψ(1) se obtiene de la ecuación (14). El resto de la prueba es análoga a la del Lema 3 en [6]. Proposición 3.4. Si Ric(g) 0 y h > 0, entonces 1 ( (1)). Demostración. Xia en [14] demostró que λ 1 (n 1)h. De la Proposición 3.1 y la ecuación (17) se obtiene λ 1 ()h, () ( ), 1 ( ). 4. Teorema principal Teorema 4.1. Supongamos que M tiene curvatura de Ricci no negativa y curvatura media h > 0 sobre M. Entonces el primer valor propio no cero del problema de Steklov ν 1 satisace ν 1 h. Demostración. Las unciones coordenadas son unciones propias del Laplaciano sobre S. De la ecuación (18) se sigue que en particular ϕ(s,w) = ψ(s)cosw es una unción propia asociada al primer valor propio del problema de Steklov ν 1. Consideremos la unción F = 1 ϕ. Puesto que ϕ es una unción armónica y Ric( ϕ, ϕ) 0, la órmula de Weizenböck [7], F = Hess(ϕ) +g( ϕ, ( ϕ))+ric( ϕ, ϕ), implica que F 0, y por tanto F es una unción subarmónica. Como consecuencia, el máximo de F es alcanzado en algún punto P(1,θ) M. El principio del máximo implica que F s (1,θ) > 0 ó F es constante. Puesto que { F(s,w) = 1 ( ) ( ) } { 1 ϕ ϕ + = 1 ( ) 1 ψ s w (ψ ) cos w + sen w } [Revista Integración

8 El problema de Steklov sobre el cono 17 y F no es una unción constante, entonces Evaluando F s (1,θ) = 1 ψ ψ cos θ + ψ F w (s,w) en el punto P encontramos que F w (1,θ) = La ecuación () implica que ( (ψ ( ) ψ sen θ > 0. (1) ) ) 1 (ψ ) senθ cosθ = 0. () 1. ( ) ψ(1) 1 (1) (ψ (1)) = 0, ó. senθ = 0 y cos θ = 1, ó 3. sen θ = 1 y cosθ = 0. Observación 4.. ψ(1) = 0 implica ϕ = 0 sobre M, y entonces ϕ sería constante sobre M, lo cual es una contradicción. Así que ψ(1) 0. A continuación analizamos caso por caso. Primer caso. Si ( ) ψ(1) 1 (1) (ψ (1)) = 0, entonces de las ecuaciones (17) y (0) y de la Proposición 3.4 se tiene (ν 1 ) = 1 ( ψ ) ( ) (1) 1 = 1 ( ) (1) = (h). ψ(1) (1) (1) Segundo caso. Si senθ = 0 y cos θ = 1, entonces y F(1,θ 1,...,θ n,θ ) F (ν 1 ) = 1 ( 1,θ 1,...,θ n, π ) = 1 ( ψ ) ( ) (1) 1 1 ψ(1) (1) Tercer caso. Si sen θ = 1 y ( ) ψ ψ > 0, y por lo tanto ) ( ) ν 1 ψ ψ = ( ψ { 1 (ψ ) ( ψ } ) 0 ( ) (1) = (h). (1) cosθ = 0, puesto que F (P) > 0, se tiene s ( ) ψ (ν1 h) > 0. En cualquier caso concluimos que ν 1 h. Vol. 30, No., 01]

9 18 O.A. Montaño Carreño Reerencias [1] Calderón A.P., On an Inverse Boundary Value Problem, Comput. Appl. Math. 5 (006), no. -3, [] Escobar J.F., Conormal Deormation o a Riemannian Metric to a Scalar Flat Metric with Constant Mean Curvature on the Boundary, Ann. o Math. 136 (199), no., [3] Escobar J.F., The Yamabe problem on maniolds with Boundary, J. Dierential Geom. 35 (199) no. 1, [4] Escobar J.F., The Geometry o the irst Non-Zero Steklo Eigenvalue, J. Funct. Anal. 150 (1997), no., [5] Escobar J.F., An isoperimetric inequality and the irst Steklov Eigenvalue, J. Funct. Anal. 165 (1999), no. 1, [6] Escobar J.F., A comparison theorem or the irst non-zero Steklov Eigenvalue, J. Funct. Anal. 178 (000), no. 1, [7] Escobar J.F., Topics in PDE s and Dierential Geometry, XII Escola de Geometria Dierencial. [XII School o Dierential Geometry] Universidade Federal de Goiás, Goiânia, 00. viii+88 pp. [8] Montaño O.A., The irst non-zero Steklo eigenvalue or conormal metrics on the ball, preprint. [9] Reilly R.C., Aplications o the Hessian operator in a Riemannian maniold, Indiana Univ. Math. J. 6 (1977), no. 3, [10] Payne L.E., Some isoperimetric inequalities or harmonic unctions, SIAM J. Math. Anal. 1 (1970), [11] Steklov W., Sur les problemes ondamentaux de la physique mathématique, Ann. Sci. École Norm. Sup. 19 (190), no.3, [1] Weinstock R., Inequalities or a classical eigenvalue problem, J. Rational Mech. Anal. 3 (1954), [13] Wang Q., Xia C., Sharp bounds or the irst non-zero Steklo eigenvalues, J. Funct. Anal. 57 (009), no. 8, [14] Xia C., Rigidity o compact maniolds with boundary and nonnegative Ricci curvature, Proc. Amer. Math. Soc. 15 (1997), no. 6, [Revista Integración