Uniformización de curvas algebraicas reales Uniformization of real algebraic curves

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1 Lecturas Matemáticas Volumen 33 (2) (2012), páginas ISSN Uniormización de curvas algebraicas reales Uniormization o real algebraic curves Andrés Jaramillo Puentes Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia Resumen. Desarrollamos un análogo de la teoría de Galois para cubrimientos analíticos y de la teoría de uniormización de supericies de Riemann para curvas algebraicas reales geométricamente suaves, usando la euivalencia entre éstas y las supericies de Riemann M dotadas de una involución antiholomora σ (también conocida como estructura real). En este contexto, usando el teorema de uniormización para supericies de Riemann y la teoría de Galois de los cubrimientos holomoros, analizamos los cubrimientos analíticos de M ue admiten una estructura real. Recordamos la construcción del grupo undamental real de (M, σ) y damos una descripción topológica del mismo, y lo usamos para encontrar una euivalencia entre ciertos subgrupos de éste y cubrimientos ue admiten una estructura real compatible. Construimos una representación del grupo undamental real en el grupo de automorismos dianalíticos del espacio recubridor universal M. Denotamos Γ R la imagen de esta representación, y mostramos ue las transormaciones holomoras de M dentro de Γ R orman un subgrupo de índice 2, denotado Γ, el cual es discreto y actúa libremente en M. Entonces mostramos la existencia de un isomorismo de curvas algebraicas reales entre (M, σ) y el cociente M/Γ dotado con la involución dada por el elemento no trivial en Γ R /Γ. Key words and phrases. Uniormization theory. Klein suraces. Real algebraic varieties Abstract. We developed a version o the Galois theory or analytic coverings and o the Uniormization theory o Riemann suraces or geometrically smooth real algebraic curves, based on the euivalence between them and the the Riemann suraces M endowed with an antiholomorphic involution σ (a.k.a. real structure). In this context, we

2 108 Andrés Jaramillo Puentes. Uniormización de curvas algebraicas reales analyze the analytic coverings o M which admit a real structure. We recall the construction or the real undamental group o (M, σ), we give a topological description o it and use it or state an euivalence between certain subgroups and the coverings admitting a compatible real structure. We construct a representation o the real undamental group into the space o dianalytic automorphisms o the universal covering M o image Γ R. Then we show that the holomorphic transormations o M into Γ R orm a subgroup o index 2, denoted by Γ, which is discrete and acts reely on M. Then we show one isomorphism o real algebraic curves between (M, σ) and the uotient M/Γ endowed with the involution given by the nontrivial element in Γ R /Γ AMS Mathematics Subject Classiication. 20H10, 30F10 1. Introducción El propósito de este documento es desarrollar un análogo de la teoría de Galois para cubrimientos analíticos y la teoría de uniormización de supericies de Riemann en el contexto de las curvas algebraicas reales, usando la euivalencia entre estas y las supericies de Riemann M dotadas de una involución antiholomora σ. En la primera parte enunciamos los resultados clásicos de la teoría de supericies de Riemann ue ueremos extrapolar a las curvas algebraicas reales, junto con las herramientas utilizadas. En la segunda parte describimos la versión real del grupo undamental, el cual es nuestra herramienta principal. Éste es una extensión de Z/2Z por el grupo undamental real topológico. Damos una descripción de éste en términos de caminos y lo usaremos para presentar una curva algebraica real hiperbólica como cociente del semiplano de Poincaré H por un grupo discreto de automorismos dotado de una estructura real inducida por una biyección antiholomora de H. Nosotros establecemos una correspondencia de Galois real entre cubrimientos de una curva algebraica por curvas algebraicas reales y subgrupos del grupo undamental real ue no están contenidos en el grupo undamental topológico. Damos un ejemplo de una curva algebraica real ue no tiene un cubrimiento universal real. 2. Supericies de Riemann Deinición 2.1. Una supericie de Riemann es una 2-variedad dierenciable con un atlas maximal {U i, ϕ i } i I en donde las unciones de transición son unciones analíticas (satisacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en cada punto) entre abiertos de C R 2. Como ejemplos clásicos tenemos el plano complejo C, cualuier subconjunto abierto de C, entre los cuales se encuentran el semiplano de Poincaré H = {z

3 Lecturas Matemáticas, vol. 33(2) (2012), págs C Im (z) > 0} y el disco abierto D = {z C z < 1}. La recta proyectiva compleja CP (homeomora a la esera S ) tiene estructura de supericie de Riemann determinada por las cartas (U o, ϕ 0 ) y (U 1, ϕ 1 ) donde U 0 = {[z 0 : z 1 ] CP z 0 0}, U 1 = {[z 0 : z 1 ] CP z 1 0} y ϕ 0 : U 0 C [z 0 : z 1 ] z1 z 0, ϕ 1 : U 1 C [z 0 : z 1 ] z0 z 1. La recta proyectiva compleja CP es conocida como la esera de Riemann y coincide con la compactiicación de Alexandrov del plano complejo al agregar un punto al ininito. Deinición 2.2. Dadas dos supericies de Riemann M y N, un homomorismo de supericies de Riemann es una unción (continua) : M N, tal ue para cada carta (U, ϕ) de M y cada carta (V, ψ) de N, para las cuales (U) V, se tiene ue ψ ϕ 1 : ϕ(u) ψ(v ) es una unción holomora entre abiertos de C. Un isomorismo de supericies de Riemann es una biyección : M N tal ue y 1 son homomorismos de supericies de Riemann. Estos homomorismos se conocen como unciones holomoras o analíticas entre supericies de Riemann. La transormación de Cayley H D z z i z+i es un isomorismo de supericies de Riemann. Proposición 2.3. Si : M N es una unción holomora y bijectiva, entonces 1 es holomora, es decir, es un isomorismo de supericies de Riemann. Proposición 2.4. [3] Tenemos El grupo de automorismos de la esera de Riemann CP C { } es isomoro a PGL(2, C). Este isomorismo es el inverso del homomorismo: PGL(2, C) Aut(CP) ( ) ( a b z az + b ) c d cz + d El grupo de automorismos del semiplano de Poincaré es el subgrupo de Aut(CP) ue dejan invariante a H CP. Es isomoro a PSL(2, R) mediante restricción de la aplicación anterior. El grupo de automorismos del plano complejo C es el subgrupo de Aut(CP) ue dejan invariante a C CP. Es isomoro a {z az + b a C, b C}.

4 110 Andrés Jaramillo Puentes. Uniormización de curvas algebraicas reales Dotamos cada uno de estos grupos de la topología de subespacio, considerando PGL(2, C) C Supericies de Riemann simplemente conexas. Deinición 2.5. Recordamos las siguientes deiniciones: Dado un espacio topológico X y un punto a X, el grupo undamental de X con respecto a a es π 1 (X; a), el conjunto de aplicaciones continuas γ : S 1 X tales ue γ(1) = a (también conocidas como caminos cerrados, o lazos, basados en a) módulo relación de homotopía. La ley de multiplicación está dada por [γ] [η] = [γ η] donde γ η es la concatenación de caminos γ η(t) = { γ(2t) si 0 t 1/2 η(2t 1) si 1/2 t 1 la cual es un camino ue recorre γ y luego η. Un espacio topológico X es simplemente conexo si es conexo por caminos y su grupo undamental π 1 (X; a) es el grupo trivial para algún a X. Si X es una supericie de Riemann conexa (la cual es un espacio topológico conexo por caminos) un camino γ entre dos puntos a y b de X determina el isomorismo no canónico g γ : π 1 (X; a) π 1 (X; b) [η] [γ 1 η γ] Por lo tanto, el grupo undamental de una supericie de Riemann conexa no depende del punto de base. Si : X Y es una aplicación continua entre espacios topológicos, entonces induce un homomorismo de grupos : 2.2. Cubrimientos analíticos. π 1 (X; a) π 1 (Y ; (a)) [γ] [ γ] Deinición 2.6. Si p : Y X es una aplicación continua entre espacios topológicos, p es un cubrimiento topológico si para cada x X existe una vecindad V X de x tal ue p 1 (V ) = α U α y p Uα : U α V es un homeomorismo. Un cubrimiento topológico p : Y X es un homeomorismo local. p se dice conexo si su dominio lo es. El conjunto p 1 ({x}) es llamado la ibra de p en x X. Un cubrimiento analítico u holomoro es un cubrimiento topológico entre supericies de Riemann..

5 Lecturas Matemáticas, vol. 33(2) (2012), págs Proposición 2.7 ([3]). Si X es una supericie de Riemann, Y es un espacio topológico Hausdor y p : Y X es un cubrimiento topológico, entonces existe una única estructura de supericie de Riemann sobre Y para la cual p es un cubrimiento analítico. Supongamos ue X, Y y Z son espacios topológicos y p : Y X y : Z X son unciones continuas. Entonces por un levantamiento de con respecto a p, nos reerimos a una unción continua g : Z Y tal ue = p g, es decir, el siguiente diagrama conmuta. Z g Teorema 2.8 (Unicidad del levantamiento, [3]). Supongamos ue p : X Y es un cubrimiento topológico entre supericies de Riemann. Si Z es un espacio topológico conexo y : Z X es una unción continua. Si g 1, g 2 son dos levantamientos de y g 1 (z 0 ) = g 2 (z 0 ) para algún z 0 Z entonces g 1 = g 2. Cuando Z = [0, 1], la unción es un camino en X, y su levantamiento g : [0, 1] Y es un camino en Y ue se proyecta a X mediante p. Por el teorema anterior, basta con determinar g en un punto para determinar todo g. Así, escogiendo y p 1 ({x}) ijo, podemos levantar de manera única cualuier camino empezando en x = p(y). Como el grupo undamental está compuesto de clases de homotopía, la siguiente propiedad nos será muy útil. Teorema 2.9 (Levantamientos de curvas homotópicas, [3]). Supongamos ue p : Y X es un cubrimiento holomoro entre supericies de Riemann. Supongamos ue a, b X y ue ã Y es un punto tal ue p(ã) = a. Si suponemos ue una homotopía H : [0, 1] [0, 1] X es tal ue H(0, s) = a y H(1, s) = b para cada s [0, 1]. Deiniendo u s (t) := H(t, s), tenemos una amilia de curvas. Cada curva u s puede ser levantada a una curva inicial ũ s con punto inicial ã, entonces ũ 0 y ũ 1 tienen el mismo punto inal y son homotópicos. Deinición Dada una supericie de Riemann M y un cubrimiento analítico conexo p : M M, p es un cubrimiento universal de M si para cada otro cubrimiento conexo : N M, y para cada elección de puntos y 0 M, z 0 N con p(y 0 ) = (z 0 ) existe una única unción : M N tal ue (y 0 ) = z 0 y el diagrama M p Y X p N M

6 112 Andrés Jaramillo Puentes. Uniormización de curvas algebraicas reales conmuta. Denotaremos por M el espacio M correspondiente al dominio del cubrimiento universal. Teorema 2.11 ([3]). Si M y N son supericies de Riemann conexas, N es simplemente conexa y p : N M es un cubrimiento holomoro. Entonces p es el cubrimiento universal de M. Teorema 2.12 ([3]). Supongamos ue M es una supericie de Riemann conexa. Entonces existe una supericie de Riemann simplemente conexa M y un cubrimiento holomoro p : M M. Demostración. Fijemos a M. Por π(a, x) denotamos el conjunto de clases de caminos con punto inicial a y punto inal x. Sea M a = {(x, [α]) x M, [α] π(a, x)}. Supongamos ue (x, [α]) M a y ue U M es una vecindad de x abierta y simplemente conexa. Entonces deinimos U α M a como el conjunto de todos los puntos (y, [β]) M a tales ue y U y β = α ζ, donde ζ es un camino de a a y completamente dentro de U (como U es simplemente conexo, su clase de homotopía sólo depende de los extremos). Dotamos a M a de la topología generada por los conjuntos U α. Con esta topología, M a es una supericie de Riemann conexa y simplemente conexa y la aplicación p : M a M por p(x, [α]) = x es holomora. Los detalles se pueden encontrar en [3] Uniormización de supericies de Riemann. Deinición Sea p : N M un cubrimiento holomoro. Un automorismo de p es un automorimo Aut(N) tal ue p = p, es decir, ue el diagrama N p M conmute. El grupo de automorismos de p se denota por Aut(N/M). Este grupo actúa sobre N por Aut(N/M) N N : (, y) (y). Deinición Un cubrimiento holomoro p : N M es de Galois si su grupo de automorismos actúa de manera transitiva en las ibras de p, es decir, para cada x M y cada par de puntos y 0, y 1 p 1 ({x}) existe Aut(N/M) tal ue (y 0 ) = y 1. Teorema 2.15 ([3]). Sea M una supericie de Riemann y p : M M un cubrimiento universal. Entonces p : M M es de Galois y su grupo de automorismos Aut( M/M) es isomoro al grupo undamental π 1 (M; a), con a M. p N

7 Lecturas Matemáticas, vol. 33(2) (2012), págs Demostración. Sea x M y y 0, y 1 p 1 ({x}). Por la propiedad del cubrimiento universal, existen cubrimientos holomoros, g : M M tales ue (y 0 ) = y 1 y g(y 1 ) = y 0. Así g(y 1 ) = y 1 y g (y 0 ) = y 0, entonces por la unicidad en la deinición del cubrimiento universal, g y g son la identidad sobre M. Por lo tanto es un automorismo de p tal ue (y 0 ) = y 1, luego Aut( M/M) actúa transitivamente sobre las ibras de p, es decir, p : M M es de Galois. Ahora, ijemos x M y x p 1 ({x}). Deinimos Φ : Aut( M/M) π 1 (M; x) la aplicación ue envía Aut( M/M) a la clase de homotopía de p η, donde η es un camino en M de x a ( x). Φ está bien deinida puesto ue p es una unción continua (y por lo tanto su inducida en caminos envía caminos homotópicos en caminos homotópicos), p η es un camino cerrado en x y la clase de η sólo depende de sus extremos (debido a ue M es simplemente conexo). Supongamos ue, g Aut( M/M) y η, ζ son caminos en M de x a ( x) y g( x), respectivamente. Entonces ζ es un camino con punto inicial en ( x) y punto inal g( x). También p ( ζ) = (p ) ζ = p ζ. El camino η ( ζ) es un camino de x a g( x). Así Φ(g) = [p (η ( ζ))] = [p η] [p ( ζ)] = [p η] [p ζ] = Φ() Φ(g). Si Φ() = [p η] es la clase de homotopía del camino c x constante en x (el elemento identidad en π 1 (M; x)). Como η es un levantamiento de p η, entonces por la propiedad del levantamiento de homotopías de p, η es homotópico a c x, el camino constante a x, luego ( x) = η(1) = x y entonces = Id M. Luego Φ es inyectiva. Si α es un lazo en basado en x y η un levantamiento de α a M empezando en x, entonces y = α(1) p 1 ({x}), dado ue Aut( M/M) actúa transitivamente, existe Aut( M/M) tal ue ( x) = y. De la deinición de Φ tenemos ue Φ() = [α]. De este teorema, el isomorismo Φ nos permite construir una inclusión de π 1 (M; x) en el grupo de automorismos (holomoros) de M. Además π 1 (M; x) Aut( M/M) actúa en M de manera ue M/π 1 (M; x) M. Teorema 2.16 ([3]). Supongamos ue M y N son supericies de Riemann conexas, : N M un cubrimiento analítico y p : M M un cubrimiento universal de M. Sea : M N una aplicación ue preserva las ibras, la cual existe de la deinición de cubrimiento universal. Entonces es un cubrimiento y existe un subgrupo G Aut( M/M) tales ue dados dos puntos x, x M, (x) = (x ) si y sólo si existe g G tales ue x = g(x). Más aún G π 1 (N; n), para cualuier n N. Además, es un cubrimiento de Galois si y sólo si el subgrupo G es normal en π 1 (M; x). En este caso se tiene ue Aut(N/M) = π 1 (M; x)/π 1 (N; (x)).

8 114 Andrés Jaramillo Puentes. Uniormización de curvas algebraicas reales Dado ue en el anterior teorema : M N es un cubrimiento holomoro y M es simplemente conexa por ser el cubrimiento universal de M, entonces por el teorema 2.11 tenemos ue es un cubrimiento universal de N. Teorema 2.17 (Teorema de uniormización de supericies de Riemann, [2]). Si M es una supericie de Riemann conexa y simplemente conexa, entonces M es isomora a una y sólo una de las supericies: 1. La esera de Riemann CP. 2. El plano complejo C. 3. El semiplano de Poincaré H. Diremos ue una supericie de Riemann M es elíptica si M CP, ue es parabólica si M C o ue es hiperbólica si M H. Observación Si M es una supericie de Riemann elíptica, tenemos ue su cubrimiento universal p : CP M es una aplicación continua, luego M es compacta. Aplicando la órmula de Riemann-Hurwitz tenemos ue necesariamente M CP, es decir, módulo isomorismos CP es la única supericie de Riemann elíptica. Teorema 2.19 ([2]). Si M es una supericie de Riemann parabólica, entonces M es isomora a C, C o a un toro de la orma C/Λ, con Λ un retículo en C. De lo anterior podemos deducir ue cualuier supericie de Riemann ue no sea isomora a C, CP, C o C/Λ (con Λ un retículo en C) es hiperbólica. En este trabajo nos concentraremos en este tipo de supericies. Teorema 2.20 ([2]). Si G es un subgrupo de PSL(2, R) Aut(H) es tal ue existe un punto z 0 H en el ue G actúa propia y discontinuamente, es decir, el estabilizador G z0 = {g G g(z 0 ) = z 0 } es inito y existe una vecindad abierta U H de z 0 tal ue g(u) = U para todo g G z0 y g(u) U = para todo g G \ G z0, entonces G es un subconjunto discreto del espacio topológico PSL(2, R). Deinición Una representación de π 1 (M; x) en Aut( M) es un homomorismo de grupos ρ : π 1 (M; x) Aut( M). Diremos ue es iel si ρ es inyectiva y ue es discreta si el conjunto Im (ρ) es un subconjunto discreto del espacio topológico Aut( M). Teorema 2.22 (Uniormización de supericies de Riemann hiperbólicas). Sea M una supericie de Riemann hiperbólica y x X, entonces 1. Existe una representación ρ iel y discreta de π 1 (M; x) en PSL(2, R) tal ue Γ := Im (ρ) actúa de manera libre en H y además H/ M. 2. Si ρ es otra representación de π 1 (M; x) en PSL(2, R) con las mismas propiedades, entonces existe g PSL(2, R) y δ Aut(π 1 (M; x)) tal ue ρ = Ad g ρ δ 1.

9 Lecturas Matemáticas, vol. 33(2) (2012), págs Demostración. 1. Consideramos p : M x M el cubrimiento universal descrito en el teorema Sea ϕ : M x H un isomorismo de supericies de Riemann ijo. Como π 1 (M; x) Aut( M x /M) = { Aut( M x ) p = p}, donde p : M x M es un cubrimiento universal. Entonces sea ρ : π 1 (M; x) PSL(2, R) ϕ ϕ 1. Tenemos ue ρ( g) = ϕ g ϕ 1 = ϕ ϕ 1 ϕ g ϕ 1 = ρ() ρ(g), luego ρ es un homomorismo de grupos. Si ρ() = ρ(g) entonces ϕ ϕ 1 = ϕ g ϕ 1, luego = g y ρ es inyectiva. Ahora tenemos ue Γ = Im (ρ) es un subgrupo de PSL(2, R). Si z H y g Γ son tales ue g(z) = z, dado ue existe π 1 (M; x) tal ue g = ρ() = ϕ ϕ 1, se tiene ue si y = ϕ 1 (z) entonces (y) = y, luego = Id Mx y g = ρ(id Mx ) = Id H, por ende Γ z = {Id H }, luego la acción es libre. Sea x un punto en la ibra p 1 ({x}) y z 0 = ϕ( x). Dado ue p : M x M es un cubrimiento, existe una vecindad V M de x tal ue p 1 (V ) = α U α. Sea α 0 tal ue x U α0 y U = U α0 entonces p U es un homeomorismo. Sea U = ϕ(u ) H, la cual es una vecindad de z 0. Si g Γ es tal ue g(u) U entonces ϕ 1 (g(u) U), pero ϕ 1 (g(u) U) = (U ) U con = ρ 1 (g). Pero si (U ) U, hay un elemento u U tal ue (u) U. Pero entonces p 1 ({p(u)}) U = u, y dado ue preserva las ibras, (u) = u, luego = Id Mx y g = ρ(id Mx ) = Id H. Entonces g(u) = U para todo g Γ z0 y g(u) U = para todo g Γ \ Γ z0. Por el teorema 2.20 tenemos ue Γ es un subconjunto discreto de PSL(2, R). Como Γ es un grupo ue actúa libre y discontinuamente, entonces el cociente H/ tiene estructura de supericie de Riemann. Sea φ : H/ M h Γ p(ϕ 1 (h)), así, si h = g(h) para g = ρ() Γ, entonces ϕ 1 (h ) = (ϕ 1 (h)) y p(ϕ 1 (h )) = p((ϕ 1 (h))) = p(ϕ 1 (h)), así ue φ está bien deinida. Si φ(h Γ) = φ(h Γ), entonces p(ϕ 1 (h)) = p(ϕ 1 (h )), luego existe π 1 (M; x) tal ue ϕ 1 (h) = (ϕ 1 (h )), de donde h = ϕ (ϕ 1 (h )) = ρ()(h ), por lo ue h y h están en la misma órbita bajo Γ y φ es inyectiva. Para cada m M, tenemos ue si m es un punto en la ibra de m, entonces m = p(ϕ 1 (ϕ( m))) = φ(ϕ( m Γ), por lo tanto φ es sobreyectiva. Ahora, si denotamos π : H H/, como la acción es libre y discontinua, existe una vecindad U H de h tal ue π U es un homeomorismo y tal ue p ϕ 1 (U) también lo sea. Luego π(u) π 1 U U ϕ 1 ϕ 1 (U) p ϕ 1 (U) p(ϕ 1 (U)) lo ue implica ue φ está dada localmente por la composición de unciones holomoras, luego es holomora. Dado ue φ es una bijección holomora, por la proposición 2.3 tenemos ue φ es un isomorismo de supericies de Riemann.

10 116 Andrés Jaramillo Puentes. Uniormización de curvas algebraicas reales 2. Supongamos ue ρ es otra representación de π 1 (M; x) en PSL(2, R) con las mismas propiedades, entonces sea Γ = Im (ρ ) y φ : H/ M. Dados x un punto en la ibra p 1 ({x}) y h φ 1 (x), existe ϕ := φ 1 : M x H. Sea g = ϕ ϕ 1 : H H Aut(H). Entonces para π 1 (M; x) tenemos ue Ad g ρ() = g ρ() g 1 = ϕ ϕ 1 (ϕ ϕ 1 ) ϕ ϕ 1 = ϕ ϕ 1 es un automorismo γ de H tal ue ϕ 1 γ ϕ π 1 (M; x), luego γ Γ = Im (ρ ), entonces podemos deinir δ : π 1 (M; x) π 1 (M; x) ρ 1 Ad g ρ(). así δ Aut(π 1 (M; x)) es tal ue ρ = Ad g ρ δ Curvas algebraicas reales Una supericie de Klein es una 2-variedad dotada de un atlas maximal {U α, ϕ α } para el cual las unciones de transición son unciones dianalíticas entre abiertos de C o abiertos del conjunto {z C Im (z) 0}, es decir, las son analíticas o anti-analíticas en el interior de su dominio y además envían números reales en números reales. Una supericie de Klein puede tener borde o ser no orientable. unciónes ϕ β ϕ 1 α El cociente de una supericie de Riemann por una involución anti-holomora tiene estructura de supericie de Klein. Además, para cada supericie de Klein X existe una supericie de Riemann M y una involución anti-holomora σ de M tal ue M/σ es isomora a X como supericie de Klein. Luego hay una euivalencia entre supericies de Klein y pares (M, σ) de una supericie de Riemann dotada con una involución anti-holomora. Deinición 3.1. Una curva algebraica real es un par (M, σ) de una supericie de Riemann y una involución anti-holomora de M. Si consideramos el toro M := C/Γ, donde el grupo Γ = {z z + n + im n, m Z} junto con las aplicaciones en M dadas por σ 1 : M M :[z] [ z] σ 2 : M M :[z] [i z] σ 3 : M M :[z] [ z ] las cuales dan lugar a distintas curvas algebraicas reales, cuyo cociente es homeomoro a un anillo, una banda de Möbius y una botella de Klein, respectivamente.

11 Lecturas Matemáticas, vol. 33(2) (2012), págs Deinición 3.2. Un homomorismo entre dos curvas algebraicas reales (M, σ), (N, τ) es una aplicación holomora : M N tal ue el diagrama M τ M conmuta. N σ N En particular, si M = N entonces un isomorismo entre las curvas algebraicas reales (M, σ) y (M, τ) es un automorismo de la supericie de Riemann M tal ue σ = τ, es decir τ = σ 1. Por lo tanto, (M, σ) y (M, τ) son isomoras como curvas algebraicas reales si y sólo si σ y τ son conjugadas la una de la otra por un automorismo holomoro de M. En la esera de Riemann M = CP consideremos las dos estructuras reales σ 1 : σ 2 : CP CP z z CP CP z 1 z Tenemos ue el conjunto de puntos reales de la primera estructura M σ1 es el conjunto R { } = RP 1 S 1 mientras ue para la segunda estructura si z = 1 z, entonces z 2 = 1, de donde M σ2 =. Como los conjuntos de puntos reales no son homeomoros, las estructuras reales no pueden ser congujadas, es decir, las curvas (M, σ 1 ) y (M, σ 2 ) no son isomoras. El plano complejo C tiene una estructura real canónica dada por la conjugación compleja. El disco D es invariante bajo la conjugación compleja y ésta es una estructura real en él, bajo la transormación de Cayley, esta estructura se puede inducir en H y resulta τ 0 : H H :. Si z = a+bi, entonces τ 0 (z) = a + bi es el relejo de z respecto al eje imaginario. De hecho, τ 0 la estructura canónica en H es la única módulo isomorismos. Lema 3.3. El semiplano superior de Poincaré H tiene una única estructura real salvo conjugación. Demostración. Sea τ 0 : H H : z z y sea σ una estructura real en H. Como σ τ 0 es una biyección holomora ( ) en H, es un automorismo. Sea a b Aut(H) tal ue = σ τ 0 con como matriz asociada, la cual c d puede ser escogida de determinante 1. Entonces σ(z) = σ τ 2 0 (z) = τ 0 (z) = ( z) = a z + b c z + d.,.

12 118 Andrés Jaramillo Puentes. Uniormización de curvas algebraicas reales Como σ 2 = Id H, entonces z = σ 2 (z) = σ ( ) a z + b = (a2 bc)z + b(d a) c z + d c(a d)z + d 2 bc de donde a 2 bc = ( d 2 bc) and b(d a) = c(a d) = 0; como ( ad bc ) = ( 1, tenemos ) a b 1 0 a b a = d. Dado ue está en la misma clase de = c d 0 1 c d ( ) a b, podemos asumir a > 0. Considere g Aut(H) el automorismo c d ( ) a + 1 b correspondiente a la matriz, el cual está bien deinido pues a c 2(a+1) y el determinante de esta matriz es igual a (a + 1) 1 2 2(a+1) ( ( b) = 1 ) (a+1) 2 bc 2(a+1) = 1+2a+a2 bc 2(a+1) = 2a+2 2(a+1) = 1. La inversa de g tiene 2 b c 2(a+1) a + 1 como matriz asociada. Por lo tanto, si z H entonces ( ) τ 0 g τ 0 (z) = τ 0 g( z) = τ 0 = (a + 1) z b c 2(a+1) z c (a + 1)z + b c 2(a+1) z ( ) a + 1 b por lo cual τ 0 g τ 0 tiene como matriz asociada. Luego a g 1 c 2(a+1) τ 0 g τ 0 le corresponde la matriz ( 1 ) ( ) 2 b a + 1 b c c 1 = 2(a+1) a + 1 2(a+1) 2 como a bc 2(a+1) = (a+1)2 +bc 2(a+1) 1 2 ( a bc 2(a+1) c 2 + c 2 = a2 +2a+1+bc 2(a+1) = 2a2 +2a 2(a+1) b 2 + b 2 bc 2(a+1) + a+1 2 ) = a. Entonces g 1 τ 0 g τ 0 = y σ = σ τ0 2 = τ 0 = g 1 τ 0 g τ 0 τ 0 = g 1 τ 0 g y por lo tanto cada estructura real en H es conjugada de τ 0. Esta estructura real induce una involución en Aut(H) = PSL(2, R) deinida por u τ 0 u τ 0, y podemos considerar el producto semidirecto PSL(2, R) τ0 Z/2Z. En particular tenemos la sucesión exacta corta de grupos 1 PSL(2, R) PSL(2, R) τ0 Z/2Z Z/2Z 1 ( ) Este grupo está ácilmente identiicado. Lema 3.4. El grupo PSL(2, R) τ0 Z/2Z es isomoro a PGL(2, R) y la sucesión exacta corta ( ) es isomora a 1 PSL(2, R) PGL(2, R) det Z/2Z 1

13 Lecturas Matemáticas, vol. 33(2) (2012), págs El isomorismo es la aplicación Ψ : PSL(2, R) τ0 Z/Z determinado ( por ) 1 0 Ψ(A) = A si A PSL(2, R) PSL(2, R) τ0 Z/Z y por Ψ(τ 0 ) = Grupo undamental real. Deinición 3.5. Sea (M, σ) una curva algebraica real y sean x M y p : M x M el cubrimiento universal de M deinido en El grupo undamental real de (M, σ) es el subgrupo del grupo de dieomorismos de M x deinido por π R 1 ((M, σ); x) := { : M x M x p = α p, α {Id M, σ}} Es decir, es el grupo de transormaciones de M x ue inducen o la identidad en M o la estructura real σ. Debido a ue p es un homeomorismo local, si una unción π1 R ((M, σ); x) satisace ue p = σ p, entonces es antiholomora; si es tal ue p = p (en caso ue α = Id M ), entonces es una transormación holomora, luego Aut( M x /M) π 1 (M; x). Luego π 1 (M; x) = π1 R ((M, σ); x) Aut( M x /M) π1 R ((M, σ); x). Esta contenencia es propia gracias al siguiente lema. Lema 3.6. Sea (M, σ) una curva algebraica real con M conexa y sea x M. Si p : M M es un cubrimiento universal de M. Para cada x y cada σ(x) puntos en la ibra p 1 ({x}) y p 1 ({σ(x)}) respectivamente, existe σ π R 1 ((M, σ); x) tal ue σ( x) = σ(x) y p σ = σ p. Demostración. Sea γ un camino en M de x a σ(x). Entonces γ := p γ es un camino en M de x a σ(x). Dada un elemento y M, tomamos α un camino en M de x a y. Como M es simplemente conexo, cualuier otro camino de x a y es homótopo a α. El camino γ (σ p α) es un camino en M empezando en x. Sea β el levantamiento de este camino con respecto a x, un camino en M. Deinimos σ(y) = β(1). Tenemos ue σ está bien deinido pues p envia y levanta caminos homótopos en caminos homótopos, y caminos homótopos tienen las mismas terminaciones. Además p( σ(y)) = p β(1) = γ (σ p α)(1) = σ p α(1) = σ p(y), de donde p σ = σ p. Si c x es el camino constante en x, entonces σ p c x = c σ(x) y γ (σ p α) = γ c σ(x) es homotopo a γ, y su levantamiento por p es homótopo a γ, así σ( x) = γ(1) = σ(x). En el lema anterior tenemos ue la transormación antiholomora σ sólo depende del camino γ = p γ. Por la deinición de σ, si tomamos otro camino γ de x a σ(x) homotópicamente no euivalente, tendremos una transormación anti-holomora distinta. Como veremos en la siguiente proposición, hay tantas clases de euivalencia de caminos de x a σ(x) como elementos anti-holomoros en π R 1 ((M, σ); x)π R 1 ((M, σ); x).

14 120 Andrés Jaramillo Puentes. Uniormización de curvas algebraicas reales Decimos ue x M es un punto real si σ(x) = x. Para un punto no real x de M tenemos una descripción por caminos del grupo undamental real. Proposición 3.7. Si x M es un punto no real, entonces el grupo undamental real π1 R ((M, σ); x) es isomoro al grupo de clases de homotopía de lazos basados en x o de caminos de x a σ(x), junto con la operación { [γ] [η] = [γ η] si γ es un lazo basado en x [γ (σ η)] si γ es un camino de x a σ(x) Demostración. Sea Π = {[η] η(0) = x, η(1) {x, σ(x)}} y sea x M x un punto ijo en la ibra p 1 ({x}), entonces para cada π R 1 ((M, σ); x) tomamos η un camino en M x de x a ( x) y deinimos Ψ : π R 1 ((M, σ); x) Π [p η]. La cual está bien deinida por ser M x simplemente conexa. Supongamos ue, g π R 1 ((M, σ); x) y η, ζ son caminos en M x de x a ( x) y g( x), respectivamente. Entonces ζ es un camino con punto inicial en ( x) y punto inal g( x). También p ( ζ) = (p ) ζ = α p ζ. El camino η ( ζ) es un camino de x a g( x). Así Ψ( g) = [p (η ( ζ))] = [(p η) (p ( ζ))] = [p η α p ζ] si α es la identidad, p η es un lazo basado en x; si α = σ, p η es un camino de x a σ(x), luego por la deinición de la operación en Π, tenemos ue Ψ( g) = [p η α p ζ] = [p η] [p ζ] = Ψ() Ψ(g). Si Φ() = [c x ] la clase de homotopía del camino constante a x M, entonces p η c x, de donde η c x, luego ( x) = x y además es holomora (de lo contrario p ( x) = σ(x) x), por lo ue necesariamente = Id Mx y Φ es inyectiva. Dado una clase [γ] Π, si γ es un lazo basado en x, existe Aut( M x ) tal ue Φ() = [γ], de lo contrario el levantamiento de γ por p con respecto a x es un camino de x a un punto en la ibra de p 1 ({σ(x)}), por el lema 3.6 existe σ π1 R ((M, σ); x) con Φ( σ) = [γ]. Por lo tanto Φ es sobrejectivo. Si tenemos dos elementos, g π R 1 ((M, σ); x) ue cubren σ, entonces σ p = σ (p g) g 1 = σ 2 p g 1 = p g 1 y así p ( g 1 ) = (p ) g 1 = (σ p) g 1 = σ 2 p = p. Luego h = g 1 π 1 (M; x), es decir, dos elementos anti-holomoros diieren por un elemento en π 1 (M; x). Proposición 3.8. La aplicación π1 R ((M, σ); x) { Z/Z 1 si p = p 1 si p = σ p

15 Lecturas Matemáticas, vol. 33(2) (2012), págs es un epimorismo de grupos cuyo núcleo es π 1 (M; x). Luego la sucesión 1 π 1 (M; x) π R 1 ((M, σ); x) Z/Z es una sucesión exacta corta. Diremos ue una curva algebraica real (M, σ) es parabólica, elíptica o hiperbólica si M lo es. Deinición 3.9. Para una curva algebraica real hiperbólica, una representación real de π R 1 ((M, σ); x) es un homomorismo de grupos ρ R : π R 1 ((M, σ); x) PGL(2, R) tal ue si ρ = ρ R π1(m;x) entonces ρ cumple con Im (ρ) PSL(2, R). Es decir, tenemos un diagrama conmutativo: 1 π 1 (M; x) π1 R ((M, σ); x) ρ ρ Z/Z 1 1 PSL(2, R) PGL(2, R) Z/Z 1 Es iel si ρ R es inyectiva. Es discreta si el grupo Im (ρ R ) es un subconjunto discreto de PGL(2, R). Observación Si G es un subgrupo discreto de PGL(2, R), el subgrupo G 0 = G PSL(2, R) es un subgrupo discreto de automorismos de H. haciendo ue el cociente H/G 0 tenga estructura de supericie de Riemann (se puede consultar [2] para detalles sobre la construcción del atlas holomoro). Además, si el grupo G es una extensión de Z/Z por G 0, entonces el cociente H/G tiene una estructura real dada por el elemento no trivial en G/G 0. Supongamos ue G/G 0 {1, τ}, donde τ = [B] es la clase de un elemento en G de determinante negativo, entonces γ B es una biyección anti-holomora de H y τ : H/G H/G h G 0 γ B (h) G 0 donde γ B es el automorismo asociado; si B τ es otro representante, existe g G tal ue γ B (h) = g γ B (h), luego γ B (h) G 0 = γ B (h) G 0 y así, la acción de τ sobre el cociente H/ está bien deinida. Además τ 2 (h) = γ 2 B (h) G 0 = h G 0 puesto ue B 2 G y tiene determinante positivo. Dado ue τ está dado localmente por aplicar γ B, es una involución anti-holomora de H/. Esta curva algebraica real la denotaremos por (H/G, G/G ). Para extensiones del grupo Z/2Z, diremos ue un homomorismo γ : G G respeta extensiones si para γ 0 := γ G0 tenemos ue el diagrama 1 G 0 G Z/2Z 1 1 G 0 γ 0 γ G Z/2Z 1

16 122 Andrés Jaramillo Puentes. Uniormización de curvas algebraicas reales conmuta, es decir, si es un homomorismo de extensiones. Denotaremos por Hom Z/2Z y por Aut Z/2Z a los homomorismos y a las automorismos ue respetan extensiones, respectivamente. Teorema 3.11 (Uniormización de curvas algebraicas reales hiperbólicas). Sea (M, σ) una curva algebraica real hiperbólica y x M. Entonces 1. existe una representación real, iel y discreta ρ R de π1 R ((M, σ); x) en PGL(2, R) tal ue los grupos Γ R = Im (ρ R ) y Γ = ρ R (π 1 (M; x)) satisacen ue det 1 Γ Γ R Z/2Z 1 es una suceción exacta corta, Γ actúa libremente en H y además (M, σ) (H/, R / ) como curvas algebraicas reales. 2. si ρ R es otra representación real de πr 1 ((M, σ); x) con las mismas propiedades, entonces existe g PSL(2, R) y δ Aut Z/2Z (π R 1 ((M, σ); x)) tal ue ρ R = Ad g ρ R δ 1. Demostración. 1. Sea ϕ : M H un isomorismo de supericies de Riemann ijo. Sea π1 ρ R : R ((M, σ); x) PGL(2, R) ϕ ϕ 1. Sean, g π1 R ((M, σ); x), entonces ρ( g) = ϕ g ϕ 1 = ϕ ϕ 1 ϕ g ϕ 1 = ρ() ρ(g), luego ρ es un homomorismo de grupos. Si ρ R () = Id H, entonces = ϕ 1 Id H ϕ = Id M, luego ρ R es inyectiva. Como ρ R es un monomorismo de grupos, entonces Γ := ρ R (π 1 (M; x)) π 1 (M; x) está incluido propiamente en Γ R := Im (ρ R ) π1 R ((M, σ); x), y si A, B Γ R \ Γ, entonces tenemos ue existen, g π1 R ((M, σ); x) \ π 1 (M; x) tales ue A = ρ R (), B = ρ R (g). Dado ue g 1 π1 R ((M, σ); x), entonces AB 1 Γ, de donde la sucesión det 1 Γ Γ R Z/2Z 1 es una sucesión exacta corta. Tenemos ue Γ actúa en H por la acción heredada de π 1 (M; x) Aut( M/M) sobre M, como mostramos en el teorema 2.22 esta acción es libre y discontinua. Como Γ PSL(2, R) actúa discontinuamente, por el teorema 2.20 tenemos ue Γ es un subconjunto discreto de PSL(2, R). Además, para un elemento A Γ R \ Γ tenemos ue Γ R = Γ (A Γ), con A Γ PGL(2, R) \ PSL(2, R), dado ue Γ es un subconjunto discreto y la multiplicación a izuierda por un elemento es un homeomorismo, tenemos ue A Γ es un subconjunto discreto de la componente conexa PGL(2, R) \ PSL(2, R). Dado ue Γ R es una unión disjunta de dos subconjuntos discretos, cada uno en dierentes componentes conexas, es un subconjunto discreto de PGL(2, R). Como Γ R es un subgrupo discreto, el cual es una extesión de Z/2Z por Γ = Γ R PSL(2, R), por la observación 3.10 tenemos ue H/ es una

17 Lecturas Matemáticas, vol. 33(2) (2012), págs supericie de Riemann, la cual posee una estructura real dada por el elemento no trivial de Γ R /Γ {1, τ}. Sea ψ : H/ M h Γ p(ϕ 1 (h)), el cual es un isomorismo de supericies de Riemann. Tenemos ue si h H entonces σ ψ(h Γ) = σ(p(ϕ 1 (h))) = p σ(ϕ 1 (h)) = p ϕ 1 γ B ϕ ϕ 1 (h) = p ϕ 1 (γ B (h)) = ψ τ(h) Luego ψ es un isomorismo de curvas algebraicas reales. 2. Ahora, si ρ R es otra representación real de πr 1 ((M, σ); x) con las mismas propiedades, entonces sean Γ R = Im (ρ R ), Γ = ρ R (π 1(M; x)) y ψ : H/Γ M. Entonces tenemos ue (H/Γ, Γ R/Γ ) ψ (M, σ) como curvas algebraicas reales. Usaremos este isomorismo para encontrar g. Dados x un punto en la ibra p 1 ({x}) y h ψ 1 (x), existe ϕ := ψ 1 : M x H. Sea g = ϕ ϕ 1 : H H Aut(H). Entonces para π R 1 ((M, σ); x) tenemos ue Ad g ρ R () = g ρ() g 1 = ϕ ϕ 1 (ϕ ϕ 1 ) ϕ ϕ 1 = ϕ ϕ 1. Sea γ = ϕ ϕ 1, entonces γ PGL(2, R) es tal ue el diagrama M x M x ϕ H γ H conmuta. De auí, γ es una transormación de H ue induce en el cociente H/Γ un elemento en Γ R /Γ. Dado ue (M, σ) (H/Γ, Γ R /Γ ), cuyo automorismo está inducido por ϕ y dado ue π1 R ((H/Γ, Γ R /Γ) ; h) = Γ R, entonces γ Γ R = Im (ρ R ). Por lo tanto podemos deinir ϕ δ : π1 R ((M, σ); x) π1 R ((M, σ); x) ρ 1 R Ad g ρ R () de donde δ Aut Z/2Z (π R 1 ((M, σ); x)) es tal ue ρ R = Ad g ρ R δ 1.

18 124 Andrés Jaramillo Puentes. Uniormización de curvas algebraicas reales Basados en la demostración anterior y usando la misma notación, tenemos ue a un isomorismo ϕ : M H, es decir, una estructura de supericie de Riemann para M, le podemos asociar una representación real ψ(ϕ) de π R 1 ((M, σ); x) en PGL(2, R) iel y discreta ue respecta extensiones, es decir un punto en el espacio Hom d Z/2Z(π R 1 ((M, σ); x), PGL(2, R)). Sobre el espacio Hom d Z/2Z(π R 1 ((M, σ); x), PGL(2, R)) también tenemos una acción de Aut Z/2Z (π R 1 ((M, σ); x)) dada por δ ρ R = ρ R δ 1. Como ρ R es un homomorismo, si δ es el automorismo interior deinido por congujar por un elemento 0 π 1 (M; x) tenemos ue para π R 1 ((M, σ); x) δ ρ R () = ρ R δ 1 () = ρ R ( 1 0 0) = ρ R ( 1 0 ) ρ R() ρ R ( 0 ) = Ad ρr ( 1 0 ) ρ R() y dado ue ρ R (0 1 ) PSL(2, R), esta acción ya está contemplada. Consideremos la restricción al conjunto Out R := Aut Z/2Z (π R 1 ((M, σ); x))/inn(π 1 (M; x)). Si ρ R, ρ R Homd Z/2Z(π1 R ((M, σ); x), PGL(2, R)) son tales ue Im (ρ R ) = Im (ρ R) entonces (H/Γ, Γ R /Γ) = (H/Γ, Γ R /Γ ) y además δ := ρ 1 R ρ R Aut(π1 R ((M, σ); x)) es tal ue ρ R = ρ R δ 1. Si δ Inn(π 1 (M; x)) entonces ρ R = Ad g ρ R para g Γ. La estructura real σ está ligada a la supericie de Riemann M. Así ue si uisieramos pensar en deormaciones de la estructura de curva algebraica de (M, σ), deberíamos pensar en deormaciones de la estructura de supericie de Klein de M/σ. Por la euivalencia dada, esto corresponde a una estructura real σ sobre una supericie de Riemann M tal ue M /σ es homeomoro a M/σ, el cual es el espacio topológico invariante. Esta construcción nos permite enunciar el siguiente corolario. Corolario Sea (M, σ) una curva algebraica real hiperbólica y x M. Hay una biyección entre clases de isomorismo de curvas algebraicas reales (N, τ) tales ue N/τ es homeomora a M/σ, y el conjunto Hom d Z/2Z(π R 1 ((M, σ); x), PGL(2, R)) módulo la acción de PSL(2, R) y la acción de Out R (π R 1 ((M, σ); x)). Demostración. Sea (M, σ) una curva algebraica real y sea x M. Si (M, σ ) es una curva algebraica real isomora a (M, σ), existe ψ : M M tal ue σ = ψ σ ψ 1 y π1 R ((M, σ ); ψ(x)) π1 R ((M, σ); x). Por el teorema 3.11 (usando la misma notación) tenemos ue existen ρ R, ρ R Homd Z/2Z(π1 R ((M, σ); x), PGL(2, R)) tales ue (H/Γ, Γ R /Γ) φ (M, σ) ψ (M, σ ) φ 1 (H/Γ, Γ R/Γ )

19 Lecturas Matemáticas, vol. 33(2) (2012), págs escogiendo puntos h, h H en las ibras de φ 1 (x) y φ (ψ(x)) respectivamente, tenemos ue existe g PSL(2, R) tal ue ρ R = Ad g ρ R y tomando δ := ρ 1 R Ad g ρ R tenemos ue ρ R = Ad g ρ R δ 1 y así las representaciones están en la misma órbita. Si tenemos dos representaciones ρ R, ρ R Hom d Z/2Z(π1 R ((M, σ); x), PGL(2, R)) ue están en la misma órbita, entonces existen g PSL(2, R) y δ Out R (π1 R ((M, σ); x)) tales ue ρ R = Ad g ρ R δ 1, entonces por las observaciones hechas tenemos ue g induce un isomorismo en las curvas algebraicas reales (H/Γ, Γ R /Γ) g (H/Γ, Γ R /Γ ) Cubrimientos algebraicos reales. Deinición Deinimos: 1. Un cubrimiento real de (M, σ) es un cubrimiento : N M por una curva algebraica real (N, τ) tal ue el diagrama N τ N M σ M conmuta. Lo denotaremos por p : (N, τ) (M, σ). 2. Sea : (N, τ) (M, σ) un cubrimiento real, entonces un cubrimiento real r : (N, τ ) (M, σ) es un subcubrimiento real de si existe : N N un cubrimiento analítico tal ue el diagrama N τ N τ r N r M σ M conmuta, es decir, es un morismo de curvas algebraicas reales ue es un cubrimiento. Dado ue r : N M es un cubrimiento intermedio de, le corresponde un subgrupo del grupo de automorismos de. Más aún, si g Aut(N/N ) Aut(N/M) entonces g = y (τ g τ) = τ g τ = τ τ = τ 2 = luego (τ g τ) Aut(N/N ), el cual es un subgrupo τ-invariante de Aut(N/M). Recíprocamente, si tomamos H Aut(N/M) el cual es τ-invariante, el cociente N/H tiene una estructura real inducida por τ deinida por τ : N/H N/H [n] [τ(n)]. N

20 126 Andrés Jaramillo Puentes. Uniormización de curvas algebraicas reales Para ver ue está bien deinida, tomemos n [n], luego existe g H tal ue g(n) = n y entonces τ(n ) = τ(g(n)) = τ g(n) = τ g τ 2 (n) = (τ g τ) τ(n) = g (τ(n)) [τ(n)] donde g = τ g τ H (puesto ue H es τ-invariante). Luego τ está bien deinida. Deiniendo r : N/H M : [n] (n) se tiene ue r τ ([n]) = r([τ(n)]) = (τ(n)) = σ((n)). Deinición Un cubrimiento real p : (M, σ ) (M, σ) es el cubrimiento universal real de (M, σ) si para cada otro cubrimiento real : (N, τ) (M, σ) existe : (M, σ ) (N, τ) tal ue el diagrama conmuta. M σ p N τ N M σ M p M Si M es una supericie de Riemann y x M. Por el lema 3.6 para cualesuiera x y σ(x) puntos en la ibras p 1 ({x}) y p 1 ({σ(x)}) respectivamente, existe σ : M x M x tal ue p σ = σ p con p : M x M cubrimiento universal de M. Luego p σ 2 = σ p σ = σ 2 p = p, por lo ue σ 2 π 1 (M; x). De auí, un subcubrimiento real de p ue tenga una estructura real inducida por σ estaría en correspondencia con un subgrupo del grupo de automorismos de p ue contiene σ 2 y es σ-invariante. El subgrupo más peueño ue satisace esto es < σ 2 > y está asociado al cubrimiento M/ < σ 2 > M inducido por p con la estructura real inducida por σ. Proposición La existencia de σ una estructura real de M x ue cubre σ es euivalente a ue el grupo undamental real π R 1 ((M, σ); x) sea isomoro a un producto semidirecto π 1 (M; x) σ Z/2Z. Demostración. Dado ue la sucesión 1 π 1 (M; x) π R 1 ((M, σ); x) Z/2Z 1 es una sucesión exacta corta, π1 R ((M, σ); x) tiene estructura de producto semidirecto si y sólo la sucesión se escinde, es decir, si existe un homomorismo φ : Z/2Z π1 R ((M, σ); x) tal ue φ( 1) π1 R ((M, σ); x) \ π 1 (M; x), de orma euivalente, ue exista una biyección anti-holomora de M x de orden 2 ue cubra sigma, es decir, una estructura real de M x ue cubre σ. Proposición Si el conjunto de puntos reales M σ = {x X σ(x) = x} es no vacío, entonces existe σ una estructura real de M x ue cubre a σ.