Carta al Estudiante MA-0292 Álgebra Lineal para Computación Ciclo II, 2015

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1 Universidad de Costa Rica Facultad de Ciencias Escuela de Matemática Departamento de Matemática Aplicada Carta al Estudiante MA-0292 Álgebra Lineal para Computación Ciclo II, 2015 Naturaleza del curso: Teórico-práctico. Créditos: 4, lo cual corresponde a 12 horas de trabajo académico por semana para el y la estudiante 1 : Horas de lecciones presenciales: 5 Horas de estudio fuera de lecciones: 7 por semana, de preferencia 3 o 4 horas entre una lección y la siguiente Requisito: Introducción a la Matemática para Computación (MA-0291 o MA-0129) Correquisito: ninguno Antiguo nombre: MA Matemática para Computación IV I- PRESENTACIÓN Este es un curso introductorio de álgebra lineal para los estudiantes de la carrera de Ciencias de la Computación e Informática. Le ofrece al estudiante la oportunidad de desarrollar comprensión y habilidades básicas en teoría de matrices y de espacios vectoriales, campos de la Matemática que, juntos, proveen poderosas herramientas conceptuales y procedimentales para la Matemática Superior y sus aplicaciones. En particular, a la teoría de matrices se la ha calificado como la aritmética de las matemáticas superiores 2, por su reconocida eficacia y claridad para representar magnitudes y operaciones en situaciones multidimensionales 3 Durante el curso se estudiarán de manera particular las aplicaciones a la geometría, las cuales refuerzan el soporte intuitivo de la comprensión de situaciones y conceptos del Álgebra Lineal en otros espacios. El curso inicia con el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales y teoría de matrices. Posteriormente se utilizarán herramientas del álgebra vectorial en el planteo y la resolución de problemas de Geometría y de Programación Lineal. En la segunda parte del curso se profundiza el estudio de los espacios vectoriales reales, ortogonalidad y transformaciones lineales en dimensión finita. Finalmente, se aplica el conocimiento adquirido a la teoría de vectores y valores propios, diagonalización de matrices y formas cuadráticas y su aplicación a la identificación de curvas cónicas en el plano. En este curso se requiere que el estudiante mejore su capacidad para el pensamiento abstracto. Se busca que desarrolle estrategias para resolver un problema, mediante reconocimiento de las hipótesis y retos lógicos planteados, y la utilización de los conceptos teóricos en el planteamiento de la solución de dicho problema. MA292 se apoya fuertemente en los fundamentos adquiridos por los estudiantes en los temas de lógica, argumentación, inducción, relaciones y funciones del curso MA Reglamento de Régimen Académico Estudiantil, UCR 2 Richard BELLMAN, en el prefacio de Introduction to Matrix Analysis, 1960, Under the influence of Bellman and Kalman engineers and scientists have found in matrix theory a language for representing and analyzing multivariable systems, Steven J Cox, Matrix Analysis, CAAM 335, Spring 2012, 1

2 Se recomienda que el estudiante, además de aprender algoritmos y procedimientos, dedique suficiente tiempo y esfuerzo a la comprensión de los diferentes conceptos y propiedades que fundamentan dichos algoritmos y procedimientos. II- OBJETIVOS GENERALES 1. Contribuir a la formación matemática del estudiante esencial para describir, entender y resolver problemas de su disciplina. 2. Contribuir en la habilidad del estudiante para interpretar y deducir analíticamente resultados del álgebra lineal y sus aplicaciones. 3. Fomentar el uso correcto del lenguaje de la matemática y desarrollar la habilidad para expresar ideas de manera rigurosa. 4. Que el estudiante desarrolle el dominio de los temas básicos del álgebra lineal. III- OBJETIVOS ESPECÍFICOS Lograr que el estudiante sea capaz de: 1. Aplicar algoritmos para estudiar y resolver sistemas de ecuaciones lineales; expresar el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales como subconjunto de IR n. 2. Conocer el álgebra, y la determinación del rango de matrices y su aplicación en el análisis de los sistemas de ecuaciones lineales. 3. Determinar cuándo existe la inversa de una matriz cuadrada y calcular esta matriz. 4. Conocer y aplicar las propiedades básicas del determinante de una matriz. 5. Aplicar el cálculo de determinantes al estudio y resolución de sistemas de ecuaciones lineales nxn 6. Conocer y aplicar a problemas de geometría, los del plano y del espacio, los conceptos elementales de representación y operación vectorial de flechas libres y de puntos. Estudiar - con y sin vectores de coordenadas - la igualdad y el paralelismo de flechas, así como la intersección, la igualdad y el paralelismo de segmentos, rectas y planos. 7. Identificar el conjunto IR n como un espacio vectorial con producto interno. Aplicar la interpretación geométrica de los vectores de IR n y las propiedades del producto punto y su norma, al estudio y el cálculo de longitudes, ángulos y proyecciones ortogonales de flechas o vectores sobre una dirección. En IR 3: : determinar la ecuación normal de un plano la ortogonalidad de rectas y planos; calcular distancias entre puntos, rectas y planos. 8. Conocer la geometría de los espacios IR n y adquirir las herramientas que permitan generalizar los conceptos de línea recta y plano. 9. Conocer y aplicar las propiedades básicas del producto vectorial en IR Conocer elementos básicos de programación lineal. Comprender y aplicar el método geométrico para resolver problemas de programación lineal. Comprender y aplicar el método Simplex para resolver problemas de programación lineal. 11. Conocer la estructura de espacio vectorial y ejemplos de espacios vectoriales: IR n, el conjunto de matrices mxn, el de los polinomios de grado menor o igual a n, el de flechas libres en el Espacio, espacios asociados a una matriz A cada conjunto con sus respectivas operaciones de suma y multiplicación por escalar. 12. Conocer y utilizar adecuadamente los conceptos y propiedades generales de combinación lineal, conjunto generador, espacio generado, independencia lineal, dependencia lineal, base, vector de coordenadas en una base, dimensión., subespacio vectorial. En casos particulares, determinar cuándo se dan las condiciones de estos y sus propiedades específicas; calcular cuando proceda. 13. Identificar los espacios vectoriales de dimensión finita con los espacios IR n 14. En IR n: : obtener una base ortogonal a partir de una base dada de un espacio vectorial. 15. En IR n determinar el complemento ortogonal de un subespacio y calcular la proyección ortogonal de vectores sobre el subespacio. 2

3 16. Determinar si una aplicación dada, de un espacio vectorial ς en otro espacio vectorial Ω es una aplicación lineal. 17. Representar una aplicación lineal por medio de una matriz. 18. Conocer las propiedades básicas de las aplicaciones lineales y su relación con el álgebra de matrices. 19. Determinar si una transformación es inyectiva, sobreyectiva, biyectiva, invertible. 20. Determinar la inversa de una transformación lineal. 21. Demostrar resultados y relaciones entre conceptos, relacionando los conocimientos adquiridos y las bases que el estudiante tiene para realizar demostraciones. 22. Determinar bases para el núcleo y la imagen de una aplicación lineal; conocer y aplicar el teorema del rango. 23. Representar una aplicación lineal mediante la matriz, asociada a bases dadas de su dominio y de su codominio Determinar matrices de cambio de bases y relacionarlas con la representación matricial de una aplicación lineal. 25. Obtener los valores propios de una matriz cuadrada y los espacios propios asociados a cada valor propio. 26. Determinar si una matriz u operador lineal, es diagonalizable o no. Además, si es diagonalizable ortogonalmente o no lo es. 27. Aplicar los conceptos sobre ortodiagonalización de matrices a la ortogonalizaciòn de formas cuadráticas y al estudio de las ecuaciones cuadráticas en dos variables con sus representaciones gráficas. 28. Redactar la resolución de ejercicios con justificación del procedimiento y de la respuesta con argumentos matemáticos. IV- CONTENIDOS 1. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices a) Definición de las tres operaciones elementales de filas. Escalonamiento de matrices; matrices equivalentes por filas. Reducción de una matriz a su matriz escalonada reducida equivalente. Rango de una matriz. b) Sistemas lineales y álgebra de matrices. Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de eliminación de Gauss-Jordan. Tipos de conjunto solución y su relación con el rango de la matriz de coeficientes (existencia o no de variables libres) y el rango de la matriz aumentada (existencia o no de ecuación contradictoria). Caso particulares: sistemas con menos ecuaciones que incógnitas, sistemas homogéneos. Sistemas cuadrados; criterio del rango de la matriz de coeficientes para la unicidad de la solución; propiedades equivalentes.. c) Definición de una matriz. Álgebra de matrices. Propiedades. Matrices usuales: matriz cuadrada, identidad, nula, canónica, transpuesta, simétrica, triangular superior e inferior, diagonal, matriz escalonada reducida. Matrices equivalentes. d) La inversa de una matriz y su relación con sistemas lineales. Método para hallar la inversa de una matriz. Relación de matrices invertibles con sistemas lineales. Rango de una matriz. 2. Determinantes a) Definición y propiedades de los determinantes. Desarrollo por cofactores y aplicaciones. b) Cálculo del determinante de una matriz triangular. Determinante de una matriz invertible. Determinante de la transpuesta de una matriz. Cálculo de determinantes aplicando operaciones elementales sobre las filas o columnas de matriz. Matrices invertibles y sistemas lineales. Matriz transpuesta y sus propiedades. Regla de Cramer. Relación entre el rango de una matriz y su determinante. Cálculo de la inversa de una matriz usando la matriz adjunta. 3. Elementos de programación lineal a) El problema de la programación lineal. Solución geométrica. b) El método simplex. 4. Geometría vectorial 3

4 a) Vectores en el plano y el espacio. Representación geométrica. b) Álgebra de vectores. Suma y resta de vectores, su representación geométrica y propiedades. c) Producto escalar de vectores y sus propiedades. Norma de un vector. Producto cruz en R 3 y sus propiedades. d) Vectores ortogonales y paralelos. Proyecciones ortogonales. Ángulo y distancia entre vectores. e) Rectas y planos. Ecuaciones vectorial, paramétrica y simétrica de una línea recta. Ecuación vectorial y normal de un plano. Distancia de un punto al plano, entre dos planos, de un punto a una recta, entre dos rectas. Planos paralelos, perpendiculares, intersecciones. 5. Espacios vectoriales a) Espacios y subespacios vectoriales. Subespacios generados. Independencia lineal. Conjunto generador. Bases y dimensión. Rango y aplicaciones. b) Sistemas homogéneos. Base para el conjunto solución de un sistema homogéneo. c) Espacio fila y columna de una matriz. Rango y nulidad. Coordenadas de un vector con respecto a una base. Intersección y suma de subespacios vectoriales. 6. Ortogonalidad en IR n. a) Conjuntos de vectores ortogonales. Bases ortonormales en IR n b) Complemento ortogonal de un subespacio. Proyecciòn ortogonal sobre un subespacio. c) Método de ortonormalización de Gram- Schmidt para la construcción de bases ortonormales 7. Transformaciones lineales a) Transformaciones lineales. Composición de transformaciones lineales y aplicaciones inversas. El núcleo y la imagen de una transformación lineal. Inyectividad y sobreyectividad de una transformación lineal. Relación entre las dimensiones del dominio, el núcleo y la imagen de una transformación lineal. b) Matrices asociadas a una transformación lineal. Cambios de bases y coordenadas para transformaciones lineales. 8. Valores y vectores propios; diagonalización de matrices y formas cuadráticas. a) Valores y vectores propios de un operador lineal de IR n ; de su matriz canónica A.. Polinomio característico de A. Subespacios propios de IR n asociados a la matriz A; al operador T A. Multiplicidad algebraica y multiplicidad geométrica de un valor propio. b) Existencia de base de IR n, compuesta de vectores propios de A: diagonalización de la matriz A. c) Existencia de base ortonormal de IR n, compuesta de vectores propios de A: ortodiagonalización de A, matriz simétrica. d) Introducción a las secciones cónicas: parábolas, elipses e hipérbolas. e) Formas cuadráticas. Diagonalización de formas cuadráticas. Rotación y traslación de las secciones cónicas. Ejes principales y ángulo de rotación. Gráficas. V- OBJETIVOS DE EVALUACIÓN SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES 1. Determinar si una ecuación dada es lineal o no, respecto de las variables involucradas. 2. Identificar la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales. 3. Expresar en forma matricial un sistema de ecuaciones lineales, utilizando la matriz aumentada). 4. Aplicar operaciones elementales a las filas de la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales para obtener el conjunto solución del sistema. 5. Determinar el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales. 6. Expresar el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales. 7. Calcular la forma escalonada reducida de una matriz. 8. Determinar si dos matrices dadas son equivalentes por filas. 9. Determinar el rango fila de una matriz. 4

5 10. Determinar el tipo de solución de un sistema de ecuaciones lineales comparando los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada del sistema. 11. Estudiar sistemas de ecuaciones lineales, homogéneos o no, con coeficientes alfa numéricos, determinando condiciones algebraicas sobre los coeficientes para que el sistema sea inconsistente, o tenga solución única, o tenga infinitas soluciones y en este último caso determinar el número de parámetros libres de los cuales depende el conjunto solución del sistema. 12. Reconocer una matriz y su tamaño, identificar sus filas y sus columnas, referirse mediante subíndices a sus elementos, filas y columnas de acuerdo con el lugar que ocupan en la matriz. 13. Clasificar una matriz como cuadrada, triangular inferior, triangular superior, simétrica, diagonal, ortogonal, canónica. 14. Calcular la matriz transpuesta de una matriz. 15. Determinar cuándo es posible sumar, restar, multiplicar dos matrices. 16. Sumar matrices, multiplicar matrices por números reales, identificar la matriz nula como elemento neutro de la suma de matrices. 17. Multiplicar matrices y respetar la no conmutatividad del producto de matrices. 18. Identificar a la matriz identidad como elemento neutro para la multiplicación de matrices. 19. Conocer y aplicar las propiedades de espacio vectorial del conjunto de matrices mxn; Reconocer y justificar adecuadamente situaciones de combinación lineal de vectores y de matrices. 20. Conocer y aplicar las propiedades de la multiplicación de matrices: asociatividad, distributividad respecto de la suma de matrices, producto de un escalar por el producto de dos matrices. y aplicar las propiedades de la trasposición de matrices en relación con la suma y el producto de matrices y la multiplicación por escalar. 21. Conocer el concepto inverso multiplicativo de una matriz y su unicidad, cuando exista la matriz inversa. 22. Determinar en qué casos una matriz cuadrada tiene inversa; conocer y aplicar criterio del rango o equivalentes Calcular la inversa de una matriz, cuando ésta exista. 24. Resolver ecuaciones matriciales, aplicando las propiedades algebraicas de la suma y la multiplicación, de la transposición y de la inversión de matrices. 25. Aplicar la resolución algebraica de matrices para obtener numéricamente la matriz. 26. Identificar el producto de matriz por vector columna como la respectiva combinación lineal de las columnas de dicha matriz y viceversa. Reconocer y escribir la escritura columnar de un sistema de ecuaciones lineales y su equivalencia con la escritura matricial Determinar si un vector de IR n es o no combinación lineal de otros, y al cálculo de los respectivos pesos cuando así lo sea 28. Demostrar propiedades de las matrices utilizando razonamiento. 29. Aplicar propiedades de las matrices y/o los sistemas de ecuaciones lineales en demostraciones utilizando lenguaje formal matemático. DETERMINANTES 30. Calcular el determinante de una matriz. 31. Calcular el determinante de una matriz triangular. 32. Conocer las propiedades del determinante de una matriz respecto a las operaciones elementales sobre sus filas o sus columnas. 33. Aplicar operaciones elementales sobre las filas y/o columnas de una matriz para calcular su determinante. 34. Conocer y aplicar la linealidad por filas (columnas) del determinante de una matriz. 35. Conocer y aplicar las propiedades del determinante respecto a la multiplicación y la trasposición de matrices. 36. Calcular el determinante de la matriz inversa de una matriz dada, invertible. 37. Determinar, calculando el determinante, si una matriz cuadrada dada es invertible o no. 5

6 38. Conocer y aplicar la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales, con igual número de ecuaciones que de variables y matriz de coeficientes invertible. 39. Calcular la inversa de una matriz usando la matriz adjunta. 40. Determinar condiciones algebraicas en matrices y entradas de matrices para que cumplan con alguna propiedad dada. 41. Determinar condiciones algebraicas en matrices y entradas de matrices para que cumplan con alguna propiedad relacionada con determinantes dada. 42. Demostrar propiedades de los determinantes utilizando razonamiento. 43. Aplicar propiedades de los determinantes en demostraciones, utilizando lenguaje formal matemático. GEOMETRÍA VECTORIAL, RECTAS Y PLANOS 44. Interpretar flechas entre puntos de IR 2 Y IR 3 como vectores. 45. Interpretar geométricamente la suma de dos vectores y el producto de un escalar por un vector. 46. Calcular el producto punto de dos vectores y la norma de un vector. 47. Determinar el coseno del ángulo formado por dos vectores. 48. Reconocer y aplicar la desigualdad triangular y la desigualdad de Cauchy-Schwarz. 49. Determinar la proyección ortogonal de un vector sobre otro. 50. Calcular el producto vectorial de dos vectores en IR 3 y conocer sus propiedades algebraicas. 51. Aplicar el producto vectorial en IR 3 para calcular áreas de paralelogramos y volúmenes de paralelepípedos. 52. Interpretar el valor absoluto del determinante de una matriz 3x3 como el volumen del paralelepípedo formado por sus vectores fila. 53. Aplicar los conceptos de la geometría vectorial para resolver problemas geométricos. 54. Demostrar propiedades de los elementos de IR n utilizando razonamiento. 55. Aplicar propiedades de los elementos de IR n en demostraciones, utilizando lenguaje formal matemático. 56. Determinar condiciones algebraicas en vectores y sus entradas para que cumplan con alguna propiedad dada. 57. Determinar una ecuación vectorial para una línea recta en IR Determinar ecuaciones paramétricas para una línea recta en IR Determinar ecuaciones simétricas para una línea recta en IR Determinar una ecuación vectorial para un plano en IR Determinar una ecuación normal para un plano en IR Generalizar el concepto de ecuación normal para un plano en R3 al concepto de hiperplano en IR n 63. Determinar intersecciones entre dos líneas rectas, entre una línea recta y un plano y entre dos planos. 64. Determinar la distancia entre dos puntos de IR n 65. Determinar la distancia entre un punto y una línea recta, entre dos líneas rectas, entre una línea recta y un plano y entre dos planos. 66. Resolver problemas geométricos relacionados con líneas rectas y planos. 67. Demostrar propiedades de los planos y rectas utilizando razonamiento. 68. Aplicar propiedades de los planos y rectas en demostraciones, utilizando lenguaje formal matemático. 69. Determinar condiciones algebraicas en los planos y rectas para que cumplan con alguna propiedad dada. PROGRAMACIÓN LINEAL 70. Conocer elementos básicos de programación lineal. 6

7 71. Comprender y aplicar el método geométrico para resolver problemas de programación lineal. 72. Comprender y aplicar el método Simplex para resolver problemas de programación lineal. 73. Modelar situaciones que se pueden resolver utilizando el método geométrico y/o el método Simplex como herramientas de la programación lineal. 74. Interpretar en el contexto de un problema los resultados obtenidos al resolver problemas de programación lineal. ESPACIOS VECTORIALES 75. Reconocer la estructura y propiedades algebraicas básicas de espacio vectorial sobre IR. 76. Determinar si una estructura algebraica dada, sobre un conjunto, lo hace espacio vectorial o no. 77. Reconocer como espacios vectoriales reales a IR n, al conjunto de matrices de dimensión mxn, al conjunto de polinomios de grado menor o igual que n, al conjunto de flechas libres en el Espacio y a otras estructuras conocidas por los estudiantes,. 78. Determinar si un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio vectorial. 79. Reconocer subespacios formados por las combinaciones lineales de un conjunto finito de vectores de un espacio vectorial. 80. Hallar un conjunto generador de vectores para un subespacio vectorial dado. 81. Conocer y utilizar correctamente los conceptos de base y dimensión de un espacio vectorial, así como los teoremas que los relacionan con la independencia o dependencia lineal de subconjuntos finitos de k vectores. 82. Hallar bases para los espacios fila, columna y núcleo de una matriz. 83. Hallar bases para subespacios generados por un conjunto de vectores conocidos. 84. Determinar el vector coordenado de un vector de un espacio vectorial, con respecto a una base fija. 85. Determinar si un conjunto de vectores en IR n es linealmente independiente asociando esto a determinar si un sistema de ecuaciones lineales homogéneo tiene solución única y/o hallando el rango de la matriz cuyas columnas (filas) es el conjunto de vectores dado. En el caso nxn, asociación al criterio del determinante y a la invertibilidad 86. Determinar condiciones para que un conjunto de vectores, que dependen de uno o más parámetros, sea linealmente independiente. 87. Demostrar propiedades de los espacios vectoriales utilizando razonamiento. 88. Aplicar propiedades de los espacios vectoriales en demostraciones, utilizando lenguaje formal matemático. 89. Determinar condiciones algebraicas en objetos propios de los espacios vectoriales para que cumplan con alguna propiedad dada. ORTOGONALIDAD EN IR n 90. Reconocer un conjunto ortogonal de vectores de un espacio vectorial con producto interno. 91. Reconocer un conjunto ortonormal de vectores de un espacio vectorial con producto interno. 92. Determinar el complemento ortogonal de un subespacio dado. 93. Obtener una base ortonormal a partir de una base dada de un subespacio. 94. Obtener el vector de coordenadas de un vector aplicando una base ortonormal de un subespacio. 95. Obtener la proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio vectorial. 96. Calcular la distancia de un punto a un subespacio vectorial. 97. Demostrar propiedades de los conjuntos y bases ortonormales utilizando razonamiento. 98. Aplicar propiedades de los conjuntos y bases ortonormales en demostraciones, utilizando lenguaje formal matemático. 99. Determinar condiciones algebraicas en objetos propios de los los conjuntos y bases ortonormales para que cumplan con alguna propiedad dada. 7

8 TRANSFORMACIONES LINEALES 100. Conocer el concepto de aplicación (transformación) lineal y sus propiedades básicas Determinar si una función dada entre dos espacios vectoriales es una aplicación o transformación lineal Reconocer los subespacios vectoriales: núcleo e imagen de una aplicación lineal Obtener bases para el núcleo y la imagen de una aplicación lineal Determinar completamente una transformación lineal, a partir de las imágenes de los elementos de una base de su dominio Determinar completamente una transformación lineal a partir de las imágenes de algunos objetos geométricos dados Determinar si una aplicación lineal es inyectiva Determinar si una aplicación lineal es sobreyectiva Conocer y aplicar la relación entre las dimensiones del dominio, el núcleo y la imagen de una aplicación lineal Conocer que la suma de aplicaciones lineales, la multiplicación por escalar de una aplicación lineal y la composición de aplicaciones lineales es una aplicación lineal Conocer que el conjunto de todas las aplicaciones lineales entre dos espacios vectoriales tiene estructura de espacio vectorial, con las operaciones usuales Reconocer que todo matriz de tamaño mxn determina una aplicación lineal de IR n en IR m Obtener una representación matricial para una aplicación lineal dada de IR n en IR m. con respecto a las bases canónicas, e identificar la acción de la aplicación lineal como una multiplicación de una matriz por un vector Obtener una representación matricial para una aplicación lineal dada de IR n en IR m con respecto a bases dadas para el dominio y el producto de matrices Reconocer una representación matricial de la aplicación identidad, como una matriz de cambio de base Obtener distintas representaciones matriciales de una aplicación lineal, mediante multiplicación por matrices de cambio de base Determinar si una transformación lineal es invertible y en caso afirmativo obtener la transformación lineal inversa Conocer la relación entre transformaciones lineales invertibles y matrices invertibles y aplicarlo a obtener inversas de aplicaciones lineales inyectivas Demostrar propiedades de las transformaciones lineales utilizando razonamiento Aplicar propiedades de las transformaciones lineales en demostraciones, utilizando lenguaje formal matemático. VECTORES Y VALORES PROPIOS, DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES Y FORMAS CUADRÁTICAS 120. Conocer los conceptos de valor y vector propio de una matriz cuadrada; de un operador lineal Calcular el polinomio característico de una matriz cuadrada Identificar los valores propios de una matriz cuadrada con las raíces de su polinomio característico Conocer el concepto de espacio propio correspondiente a un valor propio Determinar los espacios propios correspondientes a los distintos valores propios de una matriz cuadrada, obteniendo una base para cada uno de tales espacios propios Identificar la multiplicidad algebraica y geométrica de un valor propio Determinar si una matriz dada A es diagonalizable (existencia de base β para IR n.formada por vectores propios de A) y en caso que lo sea, obtener una matriz invertible C (matriz de cambio de base de canónica a β) tales que C -1 A C sea diagonal Determinar si una matriz dada A es ortogonalmente diagonalizable (existencia de base ortonormal β para IR n.formada por vectores propios de A) y en caso que lo sea, obtener una matriz ortogonal P (matriz de cambio de base de canónica a β) tal que P t A P sea diagonal Conocer que una matriz real es ortogonalmente diagonalizable si y solo si es simétrica. 8

9 129. Interpretar y aplicar todo lo desarrollado para matrices cuadradas a las transformaciones lineales sobre IR n 130. Demostrar propiedades de los conceptos de valor y vector propios, y conceptos relacionados, utilizando razonamiento Aplicar en demostraciones propiedades de los valores y vectores propios, y conceptos relacionados, utilizando lenguaje formal matemático Conocer el concepto de forma cuadrática Expresar una forma cuadrática en forma matricial Eliminar los términos mixtos de una forma cuadrática, mediante la ortodiagonalización de la matriz simétrica asociada y un cambio de base y de variables apropiado Aplicar la diagonalización ortogonal de las formas cuadráticas a la representación, en forma canónica, de las secciones cónicas Dada una ecuación cuadrática en dos variables, identificar la sección cónica correspondiente, llevarla a una representación canónica y representarla gráficamente, dibujando, en un mismo gráfico, los ejes correspondientes a las variables originales, los ejes correspondientes a la transformación efectuada para llevar la sección cónica a su forma canónica; e indicar el valor del ángulo de rotación de los ejes originales (si hay rotación), determinar si hay traslación Demostrar propiedades de los conceptos de forma cuadrática, y conceptos relacionados, utilizando razonamiento Aplicar propiedades de los conceptos de forma cuadrática, y conceptos relacionados en demostraciones, utilizando lenguaje formal matemático. VI- METODOLOGÍA El curso se desarrollará mediante clase magistral, con inclusión de actividades de trabajo individual o en grupos. Para el buen aprovechamiento de las lecciones se espera la participación proactiva de cada estudiante en las secciones expositivas y en las de actividades. Se procurará una introducción temprana a los conceptos de espacio vectorial, con el fin de que el estudiante se vaya familiarizando desde el inicio, con el lenguaje y el enfoque de situaciones desde este marco conceptual. También es clave que el/la estudiante lleve la materia al día; con este fin se recomienda una dedicación de 3-4 horas de trabajo académico entre una clase y la siguiente, de manera que sumen las 7 horas de trabajo semanal que se mencionan al inicio de esta carta. También se recomienda que el estudiante cuente como referencia constante el libro de Arce et al. y otro más de la bibliografía, que vaya a escogerlo a la biblioteca, como apoyo y complemento de exposiciones y ejemplos. La inclusión de quices frecuentes a lo largo del curso corregidos por el(la)profesor(a) - busca fomentar el progreso continuo del estudiante, en técnicas y conceptos, así como la retroalimentación oportuna del(a) profesor(a) antes de los exámenes parciales. Para reforzar y ampliar el estudio de la materia se propone un proyecto por realizar en grupo; este proyecto podrá tener como finalidad la exploración de una aplicación del Álgebra Lineal en otras disciplinas, o de un software matemático, o la profundización de destrezas de argumentación matemática útiles para alcanzar mayor fluidez en el curso. VII- PÁGINA WEB DEL CURSO Para acceder a la página puede navegar desde la página de la Escuela de Matemática, Cursos virtuales, Moodle, inscribirse como usuario de Moodle, y luego buscar la página de MA292 II-2015 en Matemática Aplicada ; la clave de inscripción le será comunicada por su 9

10 profesor(a). Aquí tendremos el programa del curso, exámenes de otros ciclos, otros materiales y los avisos oficiales VIII- APOYO AL ESTUDIANTE EN SU ESTUDIO FUERA DE CLASES Horas de consulta del profesor: En sus respectivos horarios de consulta los profesores están prestos a la atención de dudas de los estudiantes; estos horarios se publicarán oportunamente en la página web del curso. Estudiaderos: El CASE de Ciencias Básicas (FM 2do. Piso) desarrolla un programa de apoyo al estudiante, que consiste en salas de estudio acompañado (o estudiaderos ), atendidas por estudiantes avanzados de las diversas disciplinas y que han aprobado los cursos con notas altas. Estos espacios de ayuda promueven el estudio en grupo y el desarrollo de la autonomía del estudiante; se programan los días miércoles, con un amplio horario, en el aula 102 FM y se extienden durante todo el semestre; los horarios los publica el CASE. Otros: En algunas ocasiones las escuelas organizan otros apoyos para sus respectivos estudiantes de Álgebra Lineal; pueden informarse directamente en su escuela o en el CASE IX- EVALUACIÓN El avance del estudiante será evaluado a lo largo del semestre mediante quices quincenales, (seis, aproximadamente; 30 minutos en horario de lecciones), tres exámenes y un proyecto. Los exámenes parciales y el proyecto son de cátedra. Los quices serán programados por el profesor de cada grupo y anunciados con al menos una semana de antelación. La Nota de Quices (NQ), se calcula mediante promedio simple, con eliminación del quiz de nota inferior; no se reponen. El proyecto es para realizar en grupo; se desarrollará en paralelo a la materia del segundo parcial; será presentado en detalle por su profesor(a) cuando sea asignado. NOTA DE APROVECHAMIENTO (NA). NA = RED [ 0.2 * NQ * Máx{NP1, NP2} * min{np1, NP2 }+ 0.25NP * NPr) ] Donde: NP1: nota del Parcial 1; NP1: nota del Parcial 1; NP1: nota del Parcial 1; NPr: Nota del proyecto. RED[ x ]: Redondeo de x a la unidad o media unidad más próxima. Por ejemplo, 6,24 se redondea a 6,0 pero 6,26 se redondea a 6,5. En casos donde la parte decimal es 0, 25 o 0,75 se redondeará hacia arriba. Por ejemplo, 6,25 se redondeará a 6,5 y 6,75 se redondeará a 7,0 NOTA FINAL (NF). Según el sistema de evaluación de nuestra Universidad, cuando NA es superior o igual a 7.0, el estudiante aprueba el curso con NF=NA. Si NA es inferior a 6.0, el estudiante reprueba el curso. Y, si 6 NA 6.5 el estudiante tiene derecho a presentar un examen de ampliación en la fecha establecida; en este curso, la materia por evaluar corresponderá, para cada estudiante, a la de los exámenes parciales en los cuales obtuvo nota inferior a Si el estudiante obtiene en esa prueba una nota igual o superior a 7.0, aprueba el curso con NF=7.0. En caso contrario, reprueba el curso con NF=NA.. La calificación final del curso se notifica a la Oficina de Registro e Información, en la escala de cero a diez, en enteros y fracciones de media unidad, según el redondeo ya mencionado El período de tiempo razonable para guardar los trabajos y exámenes de los estudiantes posterior a la conclusión del ciclo lectivo es de seis meses, concluido este tiempo se pueden eliminar. 10

11 CALENDARIO DE EXÁMENES Esta programación puede variar dependiendo de la disponibilidad de aulas (asignadas por la Oficina de Registro) u otros motivos de fuerza mayor (*) Examen Fecha Contenidos Parcial I Sábado 12 de setiembre, 1pm. Sistemas de ecuaciones Rep. Parcial I Miércoles 23 de setiembre, 8 a.m. lineales y matrices; Determinantes Parcial II Sábado 24 de octubre, 1 p.m. Programación lineal; Rep. Parcial II Miércoles 4 de noviembre, 8 a.m. Geometría vectorial; Espacios vectoriales Parcial III lunes 30 de noviembre, 8 a.m. Ortogonalidad; Rep. Parcial III miércoles 2 de dicembre, 8 a.m. Transformaciones lineales; Valores y vectores propios Ampliación miércoles 9 de diciembre, 8 a.m. Todos. NOTA:. En caso de que hubiera alguna modificación ya sea de hora o fecha de los exámenes, esta será notificada oportunamente en el transcurso de las semanas previas a la prueba, tanto en clase como en la página Moodle del curso o en la pizarra del curso- ubicada en el segundo piso de la Escuela de Matemática. Por esos mismos medios, se comunicará oportunamente las aulas y edificios en que se realizarán las pruebas.. AUSENCIAS A EXÁMENES. En casos debidamente justificados (por ejemplo, enfermedad, choque de exámenes, giras ) se le permitirá al estudiante realizar el respectivo examen de reposición programado. En cualquier caso, para solicitar la reposición, el estudiante debe, llenar la boleta correspondiente con todos los datos que en ella se le solicitan y adjuntarle los documentos probatorios que hagan constar el motivo por el que no efectuó el examen. Esta boleta la puede descargar del Moodle del curso, o pedirla en la Secretaría de la Escuela de Matemática. Tanto la boleta como los documentos, deberán ser depositados en el casillero 87, segundo piso FM de la Coordinadora - Prof. Garrido -, y también, para recibir la respuesta, el estudiante debe enviar aviso por correo electrónico a la Coordinadora (profesoraagq@yahoo.fr), con copia al profesor del curso. En caso de no poder depositar los documentos en el casillero, se puede enviarl en formato digital con el aviso, y presentar los originales el día del examen.. DISPOSICIONES PARA LA REALIZACIÓN DE PRUEBAS ESCRITAS (1) Ningún estudiante puede abandonar el recinto de examen hasta tanto no hayan transcurrido treinta minutos luego de iniciada la prueba. No puede entrar ningún estudiante después de los treinta minutos. (2) No se contestan preguntas durante la administración de la prueba, salvo que éstas sean de enunciado,o interés general, en cuyo caso se aclararán en voz alta. (3) Hay que resolver todo el examen utilizando bolígrafo azul o negro. (4) Las pruebas parciales deben realizarse en un cuaderno de examen, sin utilizar hojas sueltas durante la prueba. (5) No se permite el uso de algún aparato electrónico, como teléfonos celulares, pero se permite el uso de una calculadora científica no programable. (6) Se debe presentar la cédula de identidad, o su equivalente legal. (7) Cualquier intento de fraude en el examen será sancionado de acuerdo con lo que estipula el reglamento correspondiente. 11

12 (8) Debe presentarse puntualmente el día del examen en el aula que fue asignada a su grupo. (9) No se permiten los cambios de grupo, todo estudiante debe realizar las evaluaciones en el grupo en que está matriculado. X-CRONOGRAMA Esta es una posible distribución de temas por semanas; cada profesor puede seguir un orden distinto siempre y cuando se cubran los temas para cada examen. En el curso se cubren todos los objetivos y contenidos propuestos, el cronograma es una guía. Semana agosto agosto agosto 4 31 agosto -6 setiembre setiembre Temas Definición de matriz. Matriz escalonada, matriz escalonada reducida. Definición de las tres operaciones de filas matrices equivalentes por filas..reducción de matriz a su matriz escalonada reducida.. Rango. Sistemas de ecuaciones lineales y solución mediante el método de eliminación Gauss-Jordan. Tipos de soluciones y teorema que los asocia con rangos.. Estructura y propiedades de espacio vectorial para M(m,n,IR). Concepto de combinación lineal. Transposición y multiplicación; propiedades algebraicas de matrices. Matrices usuales: matriz cuadrada, identidad, canónica, nula, transpuesta, simétrica, triangular superior e inferior, diagonal. La inversa de una matriz y sus propiedades. Método para hallar la inversa. Matriz ortogonal. Rango, invertibilidad.y sistemas lineales nxn Propiedades definitorias de determinantes..invertibilidad, rango y determinante. Cálculo de determinante.por cofactores u operaciones elementales. Determinante y operaciones matriciales. Propiedades equivalentes de determinante, rango, invertibilidad y solución de sistemas lineales nxn. Inversión mediante matriz adjunta. Regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones. Práctica para el Examen Parcial I. EXAMEN I setiembre Problema de la programación lineal Solución geométrica y método simplex. Vectores en el plano y el espacio. Representación geométrica. 7 Álgebra de vectores. Producto escalar y vectorial setiembre Desigualdades de Cauchy-Schwarz y triangular. Vectores Se asigna proyecto ortogonales y paralelos. Conjuntos ortogonales Proyecciones ortogonales.. 8 Ángulo y distancia entre vectores. Rectas y planos. Distancia 28 setiembre - 4 de un punto al plano, planos paralelos, perpendiculares. octubre Intersecciones octubre Espacios vectoriales y ejemplos. Subespacios vectoriales Independencia lineal y conjuntos generadores. Bases y dimensión. Coordenadas respecto a una base; isomorfismo de coordenadas con IR n octubre Base para el conjunto solución de un sistema homogéneo. Entrega: Proyecto Espacio fila y columna de una matriz. Rango y nulidad octubre Práctica para el Examen Parcial II. EXAMEN II 12

13 octubre noviembre noviembre al 22 de noviembre 23 al 29 de noviembre Ortogonalidad en IR n : Complemento ortogonal de un subespacio. Proyección ortogonal sobre un subespacio Bases ortonormales en IR ν.. Método de ortonormalización de Gram- Schmidt para la construcción de bases ortonormales. Transformaciones lineales y ejemplos. Composición e inversa de una transformación lineal. El núcleo y la imagen de una transformación lineal. Matrices asociadas a una transformación lineal. Cambio de base para una transformación lineal. Valores y vectores propios;.multiplicidad algebraica y geométrica de valores propios. Diagonalización de matrices. Ortodiagonalización de matrices simétricas. Introducción a las curvas cónicas: parábolas, elipses, hipérbolas. Rotación de cónicas. Práctica para el Examen Parcial III. XI- BIBLIOGRAFÍA Arce, C.; Castillo, W. y González, J., Álgebra Lineal, 3a edición, Editorial UCR, Este libro es una referencia común para el curso, en cuanto a enfoque y objetivos: Sin embargo, sus profesores podrán a su disposición materiales complementarios igualmente importantes Lay, D., Álgebra lineal y sus aplicaciones, 3a edición, Pearson, será fuente importante de ejercicios (en particular, de falso o verdadero) y complementos. Atención a su glosario. Los siguientes libros son sugerencias adicionales: Anton, H., Introducción al Álgebra Lineal, 3a edición, Limusa, Grossman, S., Álgebra Lineal con Aplicaciones, 5a edición, McGraw-Hill, Kolman, B., Álgebra Lineal con Aplicaciones y Matlab, 6a edición, Prentice-Hall, XII- GRUPOS Y PROFESORES GRUPO HORARIO AULA PROFESOR(A) 1 L: 07:00-09:50 J: 07:00-08: IF Luis Diego Granera Vega 2 L: 11:00-12:50 J: 10:00-12: IF Adriana Garrido Quesada 3 K: 07:00-09:50 V: 07:00-08: IF Luis Diego Granera Vega Cualquier otro aspecto que no se haya tomado en cuenta aquí, será sometido a consideración de la cátedra para su resolución. Esperando el mejor de los aprendizajes y éxito en este curso, saludos cordiales, Prof. Adriana Garrido Quesada Coordinadora, profesoraagq@yahoo.fr Prof. Luis Diego Granera Vega, luisdiego24@gmail.com 13