Matemáticas 3 ESO Biblioteca del profesorado SOLUCIONARIO

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1 Matemáticas ESO Biblioteca del profesorado SOLUCIONARIO El Solucionario de Matemáticas para.º de ESO es una obra colectiva, concebida, diseñada y creada en el departamento de Ediciones Educativas de Santillana, dirigido por Enric Juan Redal. En su realización han intervenido: Ana María Gaztelu Augusto González EDICIÓN Rafael Nevado Carlos Pérez DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez Figueroa Santillana

2 Planetas Radio Distancia ecuatorial al Sol (km) Mercurio.0 km,79 0 Venus 6.0 km,08 0 La Tierra 6.78 km,96 0 Marte.97 km,79 0 Júpiter 7.9 km 7,78 0 Saturno km,9 0 Urano.9 km,87 0 Neptuno.76 km, 0 Lunas Periodo de Rotación Órbita 7 0 8,6 dias 87,97 días 8 0 dias,7 días 8,9 horas 6,6 días 8,6 horas 686,98 días 8 6 9,8 horas,86 años 9 8* 0, horas 9,6 años 9 7,9 horas 8,0 años 9 8 6, horas 6,8 años *Algunos astrónomos atribuyen satélites al planeta Saturno. Lab Noticias Astronautas Estaciones espaciales Diversión Vivir en el espacio Exploración Estamos solos? Navegación espacial combustibles y comburentes químicos. Por desgracia, esos motores no son muy eficaces; por ejemplo, más de la mitad del peso de la sonda espacial Rosetta de la ESA en el momento de su lanzamiento era de combustible. La ESA está estudiando actualmente las formas de reducir la cantidad de combustible que transportan las naves. Una de las ideas consiste en un motor de iones que utilice una pistola eléctrica para disparar gas hacia el espacio. Aunque la fuerza de empuje del motor cohete eléctrico de iones es muy pequeña, la nave va aumentando gradualmente su velocidad hasta que, llegado La sonda SMART ha probado con éxito un motor de iones en su viaje de la Tierra a la Luna. Por cada kilogramo de combustible consumido, ese motor produce un aumento de la velocidad de la nave diez veces mayor que si fuera un motor cohete ordinario. alcanzar una velocidad de km/h. Exploración ExoMars Futuras exploraciones en Marte Nueva formas de transporte COMPRA DE BILLETES EXTRANJEROS Y/O CHEQUES DE VIAJE EN DIVISA Y/O PAGO DE CHEQUE DE CUENTA EN DIVISA D. SERGIO AVELLANEDA GIL Domicilio AVENIDA DE LA LUZ, S/N Población MADRID C.P. 808 D.N.I./C.I Concepto: OPERACION INVISIBLE EUR REF DOCUMENTO DIVISA IMPORTE CAMBIO CONTRAVALOR BILLETES GBP 00,0 0, ,7 EUR Comisiones y gastos 07,7 EUR FECHA OPERACIÓN: /07/007 FECHA VALOR: /07/007 TOTAL 07,7 EUR (firma del interesado) BANCO (firma y sello) BANCO Presentación El nombre de la serie, La Casa del Saber, responde al planteamiento de presentar un proyecto de Matemáticas centrado en la adquisición de los contenidos necesarios para que los alumnos puedan desenvolverse en la vida real. El saber matemático, dentro de la etapa obligatoria de la enseñanza, debe garantizar no solo la interpretación y la descripción de la realidad, sino también la actuación sobre ella. En este sentido, y considerando las matemáticas a estos niveles como una materia esencialmente procedimental, recogemos en este material la resolución de todos los ejercicios y problemas formulados en el libro del alumno. Pretendemos que esta resolución no sea solo un instrumento sino que pueda entenderse como una propuesta didáctica para enfocar la adquisición de los distintos conceptos y procedimientos que se presentan en el libro del alumno. Sistemas de ecuaciones ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS CLASES DE SISTEMAS RESOLUCIÓN GRÁFICA MÉTODOS DE RESOLUCIÓN Una clase improvisada Estar invitado a la «fiesta de la Primavera», que cada año se celebraba en el palacio del maharajá, era un honor reservado tan solo a los personajes más influyentes. Al subirse al elefante, el sabio Brahmagupta y su joven ayudante, Serhane, coincidieron en reconocer que el maharajá era muy generoso al enviar a su séquito para llevarlos a palacio. El joven ayudante pasó la mitad del camino quejándose de las disciplinas que tenía que estudiar: Maestro, por qué tengo que estudiar álgebra? No tiene ninguna utilidad, pues si tengo cinco monedas son cinco monedas y no cinco incógnitas Y que la incógnita pueda ser cualquier cosa es antinatural. Brahmagupta tomó la palabra, y durante la mitad del camino que les quedaba, le explicó a su discípulo la utilidad del álgebra: Todo en este mundo tiene su significado: la estrella en la frente del elefante no solo es una estrella, significa que pertenece al maharajá, y la cruz coronada de cuatro círculos no es solo un dibujo, es el símbolo de la ciudad. En Matemáticas lo más sencillo es quitarle el significado a las cosas, operar con números y, después, interpretar el resultado. Tras estas palabras, maestro y discípulo permanecieron en silencio durante el kilómetro que faltaba para llegar al palacio. Con ayuda de una ecuación, calcula la distancia que ambos recorrieron a lomos del elefante. SUSTITUCIÓN IGUALACIÓN REDUCCIÓN x = distancia x + x + = x x + x +=x x = Recorrieron una distancia de km. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE SISTEMAS DE DOS ECUACIONES Y DOS INGÓGNITAS Números reales EN LA VIDA COTIDIANA 0 Navegando en Internet hemos llegado a la siguiente página. Formación de los planetas Los planetas se formaron hace unos.00 millones de años, al mismo tiempo que el Sol. En general, los materiales ligeros que no se quedaron en el Sol se alejaron más que los pesados. En la nube de gas y polvo original, que giraba en espirales, había zonas más densas, proyectos de planetas. La gravedad y las colisiones llevaron más materia a estas zonas y el movimiento rotatorio las redondeó 06 c) La distancia de la Tierra a Neptuno:, 0 9, =, 0 9 0, =,0 0 9 km La velocidad es de km/h =,6 0 km/h. De la Tierra a Neptuno se tarda: (,0 0 9 ) : (,6 0 ) =,08 0 =.08 horas = 0, días En ir y volver se tardará el doble, es decir,.006 días, lo que equivale aproximadamente a años y 9 meses, luego sí podríamos ir y volver de Neptuno. Ten en cuenta que estamos suponiendo que desde el primer momento alcanzamos la velocidad máxima de km/h. Sergio acaba de llegar a Londres. Antes de su viaje cambió en el banco 00 libras y este es el recibo que le dieron. BANCO ENTIDAD - OFICINA - CUENTA SOLUCIONARIO Exploración Hasta ahora, casi todas las misiones espaciales han utilizado motores cohete alimentados con el momento, permite que la nave espacial se despace con mucha rapidez. BANCO La ESA también está estudiando de usar naves espaciales que utilicen velas solares en lugar de motores cohete. La luz solar sopla sobre una vela de gran tamaño y puede propulsar una nave espacial haci otros planetas. Después de muchos meses de viaje con el viento del Sol, una nave de ese tipo podría a) Qué distancia hay entre Mercurio y Saturno? b) Qué distancia es mayor, la de la Tierra a Urano o la de Marte a Neptuno? c) Con una nave como la que describe en la segunda página, cuánto se tardaría en llegar a Neptuno? Podríamos visitar Neptuno y volver a la Tierra? a) La distancia de Mercurio a Saturno:,9 0 9, =, , = =, km b) La distancia de la Tierra a Urano:,87 0 9, =, , =, km La distancia de Marte a Neptuno:, 0 9, =, 0 9 0, =, km Hay más distancia de Marte a Neptuno que de la Tierra a Urano. Un euro vale 0,69900 libras, por lo que las 00 libras que cambió le costaron 07,7. Sergio quiere comprarse unos pantalones que cuestan 8, libras y necesita calcular su coste en euros para hacerse una idea de su valor. a) Crees que es correcta su estimación? Qué error comete? b) Si las cinco noches de hotel le cuestan 67 libras, cuál será el valor en euros que hará Sergio según sus estimaciones? Y cuál será el valor real? Cuesta unos 60 a) 8, : 0,69900 = 7,6, por lo que la estimación es errónea, y Sergio comete un error absoluto de,6 y un error relativo de 0,96. b) El valor real es de 78,7, y el error que cometerá es de: 78,7 0,96 = = 0,8. Por tanto, él estimará: 78,7 0,8 = 77,7. 7 7

3 Índice Unidad 0 Repaso 9- Unidad Números racionales - Unidad Números reales -7 Unidad Polinomios 7-79 Unidad Ecuaciones de primer y segundo grado 00-7 Unidad Sistemas de ecuaciones 8-77 Unidad 6 Proporcionalidad numérica Unidad 7 Progresiones 08- Unidad 8 Lugares geométricos. Figuras planas -7 Unidad 9 Cuerpos geométricos 7-09 Unidad 0 Movimientos y semejanzas 0-7 Unidad Funciones 8-6 Unidad Funciones lineales y afines 66-9 Unidad Estadística 9- Unidad Probabilidad -7

4 0 Repaso NÚMEROS 00 Halla seis múltiplos de cada número. a) b) 0 c) 0 d) 7 e) 00 f) 0 g) 600 h) 7 a) 0,, 0,, 0, b) 0, 0, 0, 0, 60, 70 c) 00, 0, 00, 0, 00, 0 d), 6, 88, 60,, 0 e) 00, 00, 00, 00, 600, 700 f) 900,.0,.800,.0,.700,.0 g).00,.800,.00,.000,.600,.00 h).6,.69,.89,.6,.8, Obtén dos divisores de los siguientes números. a) b) c) 0 d) 90 e) 0 f) 0 g) 600 h) 7 a) y c) y 0 e) 0 y 80 g) 6 y 00 b) y d) 0 y 9 f) y 9 h) y 00 Completa los huecos con la palabra adecuada (múltiplo o divisor). a) es de 6 c) es de b) es de d) es de 7 a) es múltiplo de 6 c) es múltiplo de b) es divisor de d) es múltiplo de 7 00 Averigua cuáles de los siguientes números son primos o compuestos: 79, 9, 7, 9,, 8,.00 y 6.7. Primos: 79, 9, Compuestos: 9 = 7 = 8 =.00 = = 8 00 Busca los números primos comprendidos entre 00 y 0. Los números primos entre 00 y 0 son: 0, 0, 07, 09 y. 006 Completa los huecos. a) Div (0) = {,,,,,,, } b) Div (00) = {,,,, 0,,,, 00} c) Div (97) = {, 97} d) Div (8) = {,,,, 6,,,,, } a) Div (0) = {,,,, 6, 0,, 0} b) Div (00) = {,,,, 0, 0,, 0, 00} c) Div (97) = {, 97} d) Div (8) = {,,,, 6, 8,, 6,, 8}

5 SOLUCIONARIO Obtén el m.c.d. de cada pareja de números. a) 6 y c) y e) 76 y 8 g) 60 y 80 b) 9 y 0 d) y f) 0 y 0 h) 8 y a) c) e) g) 0 b) d) f) h) 008 Obtén el m.c.m. de estos números. a) 7 y c) 9 y 6 e) 6 y 9 g) 0 y b) y 7 d) 8 y f) 80 y 6 h) 96 y a) c) e).989 g).0 b) 8 d) 00 f).60 h) Obtén el m.c.d. y el m.c.m. de cada grupo de números. a), 0 y 00 c) 0, y 8 e) 8, 0, y b) 6, 7 y 8 d), 8 y 0 f),, 6, 8 y 0 a) m.c.m. (, 0, 00) = 00 m.c.d. (, 0, 00) = b) m.c.m. (6, 7, 8) = 68 m.c.d. (6, 7, 8) = c) m.c.m. (0,, 8) =.680 m.c.d. (0,, 8) = d) m.c.m. (, 8, 0) = 80 m.c.d. (, 8, 0) = e) m.c.m. (8, 0,, ) = 80 m.c.d. (8, 0,, ) = f) m.c.m. (,, 6, 8, 0) = 0 m.c.d. (,, 6, 8, 0) = 00 Dos buques mercantes salen de un puerto el día de enero. El primero tarda en regresar 6 días, y el segundo, 0 días. Ambos van y vienen constantemente. Cuántos días tardan los buques en coincidir de nuevo en el puerto? Calculamos el m.c.m. (6, 0) = 90. Los barcos tardan 90 días en volver a coincidir en el puerto, es decir, coincidirán el de enero del siguiente año. 0 Se dispone de dos rollos de cuerda que tienen y 0 m de longitud, respectivamente. Cuál es el número de trozos iguales, de tamaño máximo, que se puede hacer con los rollos de cuerda? Calculamos el m.c.d. (, 0) =. El tamaño máximo de los trozos de cuerda es m y, por tanto, el número de trozos que se puede hacer es: 0 + = 6 + = trozos.

6 Repaso 0 Escribe todos los números enteros. a) Mayores que y menores que +. b) Menores que + y mayores que. c) Menores que + y mayores que. d) Mayores que y menores que +6. a) < < < < 0 < < b) < < < < < 0 < < < c) < < 0 < d) < < < < < 0 < < < < < < 6 0 Representa en la recta numérica los siguientes números: 6, 0, 8, +, y Indica el número entero que corresponde a cada punto marcado en la recta numérica. A B C D a) 0 A B C D b) 0 a) A =, B =, C =, D = b) A = 6, B =, C =, D = 0 Completa con números enteros. a) < < <+ c) 9 < < < 6 b) + > > > d) < < < 0 Puedes colocar más de un número en cada hueco? a) < < < + c) 9 < 8 < 7 < 6 b) + > + > + > d) < < < 0 La solución no es única, salvo para el apartado c). 06 Calcula. a) + b) c) 7 d) e) + f) 9 a) + = c) 7 = 7 e) + = b) = d) = f) 9 = 9 07 Obtén los opuestos de estos números. a) b) +8 c) d) 0 e) + f) a) Op ( ) = + c) Op ( ) = + e) Op (+) = b) Op (+8) = 8 d) Op ( 0) = +0 f) Op ( ) = + 6

7 SOLUCIONARIO 0 08 Calcula. a) ( ) + (+) c) ( 0) + ( ) b) (+) + (+) d) (+) + ( ) a) ( ) + (+) = 7 c) ( 0) + ( ) = b) (+) + (+) = d) (+) + ( ) = 09 Realiza estas restas. a) ( ) (+) c) ( ) ( 7) b) (+) ( 7) d) (+8) (+7) a) ( ) (+) = 0 c) ( ) ( 7) = b) (+) ( 7) = 0 d) (+8) (+7) = 00 Calcula. a) ( ) + (+) ( 8) c) (+0) ( ) (+) b) (+0) (+7) + ( 8) d) ( ) (+) ( 7) a) ( ) + (+) ( 8) = 9 c) (+0) ( ) (+) = 0 b) (+0) (+7) + ( 8) = d) ( ) (+) ( 7) = 8 0 Completa los huecos para que las igualdades sean ciertas. a) (+) + = (+) c) ( ) = (+9) b) + ( 0) = ( ) d) (+8) = (+7) a) b) 8 c) d) 0 Calcula. a) (+) ( ) c) ( 0) ( 0) b) ( 0) (+8) d) (+) (+) a) (+) ( ) = 0 c) ( 0) ( 0) = 00 b) ( 0) (+8) = 0 d) (+) (+) = 0 0 Haz estas divisiones. a) (+) : ( 7) b) ( ) : (+) c) ( 8) : ( ) d) (+0) : ( 0) a) (+) : ( 7) = c) ( 8) : ( ) = 9 b) ( ) : (+) = 7 d) (+0) : ( 0) = 0 Completa los huecos para que las igualdades sean ciertas. a) (+) = (+9) c) ( ) : = (+) b) ( 6) = ( ) d) : (+8) = (+) a) b) 7 c) d) 6 7

8 Repaso 0 Realiza estas operaciones. a) 6 + ( + ) ( ) e) 0 (8 7) + ( 9 ) b) 7 ( ) + ( ) f) ( ) + ( ) c) + ( ) ( 7) g) ( + + ) d) 8 + ( + ) + ( 7 9) h) + ( 9) (7 7) a) 6 + ( + ) ( ) = 6 + ( ) ( ) = 8 b) 7 ( ) + ( ) = 7 (+) + ( ) = c) + ( ) ( 7) = + ( ) ( ) = d) 8 + ( + ) + ( 7 9) = 8 + (+) + ( 6) = 9 e) 0 (8 7) + ( 9 ) = 0 (+) + ( ) = f) ( ) + ( ) = ( ) + ( 9) = 7 g) ( + + ) = (0) = h) + ( 9) (7 7) = + ( ) ( ) = 06 Halla el valor de estas expresiones. a) d) 00 b) ( ) 7 : e) ( 6) : 6 : + c) 9 : f) ( 9) 7 ( 6) : a) = b) ( ) 7 : = 8 c) 9 : = 6 d) 00 = 0 e) ( 6) : 6 : + = + = f) ( 9) 7 ( 6) : = + = 07 Haz estas operaciones. a) ( ) ( 6) : (+) b) (+) : ( ) ( 7) (+) c) ( ) (+) ( ) : ( 6) ( 9) d) ( 8) [(+) + ( 6)] : (+) + (+) e) ( ) ( 9) (+) ( ) : ( ) : ( 6) f) (+) (+6) : (+) ( ) : [( ) + ( )] a) ( ) ( 6) : (+) = ( ) ( ) = b) (+) : ( ) ( 7) (+) = ( ) = c) ( ) (+) ( ) : ( 6) ( 9) = ( ) (+) ( 9) = d) ( 8) [(+) + ( 6)] : (+) + (+) = ( 8) ( ) + (+) = e) ( ) ( 9) (+) ( ) : ( ) : ( 6) = ( ) ( 9) ( ) = f) (+) (+6) : (+) ( ) : [( ) + ( )] = (+) ( ) = 0 8

9 SOLUCIONARIO Calcula. a) ( + ) ( + ) ( ) b) [( 6 + ) ( ) + 9] 7 c) [ ( )] d) [ + (6 + )] [( ) ( 6) + ] a) ( + ) ( + ) ( ) = 0 = 8 b) [( 6 + ) ( ) + 9] 7 = [( ) + 9] 7 = 6 c) [ ( )] = ( ) = d) [ + (6 + )] [( ) ( 6) + ] = ( 6) ( ) = 7 Completa los huecos para que se cumplan las igualdades. a) ( 6) [( ) + ] = 8 c) [ ] = 8 b) 8 [ ] = d) + [ : ] = a) b) 0 c) d) Expresa mediante una razón. a) De las preguntas del test he acertado 6. b) Teníamos 68 huevos y se han roto. c) En el primer turno de comida comen 9 alumnos, y en el segundo, 6. d) Una frutería tiene 7 cajas de tomates y de pimientos. 6 6 a) b) c) d) En el comedor del colegio ponen barras de pan por cada 8 alumnos. Hoy hemos comido alumnos y han puesto 0 barras, se ha mantenido la proporción? 0 Comprobamos si las dos razones: y forman una proporción Luego no se ha mantenido la proporción. 0 Identifica las razones que forman una proporción. a) ,,, b),,, 0 8 c) 6 a) Forman proporción: =. 0 0 b) Forman proporción: =. 0 7, 0 c) Forman proporción: =. 7,,,, 6 0 9

10 Repaso 0 «PUEBLA DE MONTEALBO: SOLO EL 8 % DE LOS ENCUESTADOS CRITICA LA LABOR MUNICIPAL.» Si Puebla de Montealbo tiene habitantes, cuántos, aproximadamente, aprueban la labor del alcalde? El 8 % de = 60 personas critican la labor municipal. Luego = 6.0 personas aprueban la labor municipal. 0 A la derecha ves la composición de un yogur: Calcula el peso de sus componentes si pesa g. VALOR NUTRITIVO Proteínas:, % Carbohidratos:, % Grasas:,9 % En g de yogur hay:, % de =,7 g de proteínas, % de = 6,7 g de carbohidratos,9 % de =,7 g de grasas GEOMETRÍA 0 Dibuja este polígono en tu cuaderno y señala sus lados, vértices y ángulos. Traza sus diagonales. Cuántas diagonales tiene? G Vértice G Lado G G Diagonal Ángulo Tiene diagonales. 06 Dibuja un octógono, un eneágono y un decágono que no sean regulares y dibuja sus diagonales. 0

11 SOLUCIONARIO 0 07 Contesta si es verdadero o falso. a) Un polígono puede tener más vértices que lados. b) Un polígono puede tener más vértices que ángulos. c) Un polígono puede tener más vértices que diagonales. a) Falso. c) Verdadero, por ejemplo b) Falso. un triángulo o un cuadrado. 08 Dibuja una circunferencia con un compás. Después, traza una cuerda y los dos arcos que determina. B Arco BA F G Cuerda A G Arco AB 09 En esta circunferencia, señala los segmentos que son cuerdas, radios y diámetros. G Diámetro F G G Radios Cuerdas F G 00 Contesta a estas preguntas. a) Un triángulo rectángulo, puede ser equilátero? b) Cuál es el valor de los ángulos de un triángulo rectángulo isósceles? c) Cuánto miden los ángulos de un triángulo rectángulo con un ángulo agudo que mide el triple que el otro ángulo agudo? a) No, porque los tres ángulos de un triángulo equilátero miden 60. b) Un ángulo mide 90 y los otros dos miden cada uno. c) Un ángulo mide 90, el otro mide, y el tercero 67,. 0 Un triángulo isósceles tiene el ángulo desigual de 0. Cuánto miden los ángulos iguales? C Los ángulos iguales miden: 80 0 = 6. A B

12 Repaso 0 Si dibujamos un triángulo rectángulo, uno isósceles y otro escaleno, y los cortamos por una recta paralela a la base, qué polígonos obtenemos en cada caso? En el caso del triángulo rectángulo, si la base es uno de los catetos obtenemos otro triángulo rectángulo y un trapecio rectángulo. Y si la base es la hipotenusa obtenemos un triángulo rectángulo y un trapecio. En el caso del triángulo isósceles, si la base es el lado desigual obtenemos un triángulo isósceles y un trapecio isósceles. Y si la base es el lado desigual se obtiene un triángulo isósceles y un trapecio. Si el triángulo es escaleno se obtiene un triángulo escaleno semejante al original y un trapecio. 0 Calcula la medida de C $ en este trapecio rectángulo sabiendo que B $ =. D C A B A $ = 90, D $ = 90 y B $ = C $ = = FUNCIONES 0 Indica las coordenadas de cada punto. B Y C A E C Y G A B X D X D E F A(, ) C(0, ) E(, ) A(, 6) C(, ) E(, 0) B(, ) D(, ) F(, ) B(6, ) D(0, ) F(, )

13 SOLUCIONARIO 0 0 Dados los siguientes puntos: A(, ), B(, ), C(, ) y D(, ): a) Represéntalos en el plano. b) Únelos en orden alfabético y une también D con A. Qué figura obtienes? Y B C A X Se obtiene un romboide. D 06 Haz lo mismo con estos puntos: A(, 0), B(, ), C(, ), D(, 0) y E(0, ). Y C B D A X La figura que se obtiene es un pentágono. E 07 Representa los siguientes puntos: A(, ), B(, 0), C(, ), D(8, ) y E(, ). a) Indica los puntos que tienen la misma ordenada. b) Cuántos puntos tienen la misma abscisa? Cuáles son? Y A C E D B 0 7 X a) Tienen la misma ordenada: A, D y E. b) Tienen la misma abscisa: A y C. 08 Dibuja los ejes de coordenadas para que el punto sea A(, ). Y A X

14 Números racionales NÚMEROS DECIMALES EXACTOS PERIÓDICOS NO EXACTOS Y NO PERIÓDICOS PUROS MIXTOS FRACCIONES FRACCIÓN EQUIVALENTE OPERACIONES FRACCIÓN IRREDUCIBLE SUMA RESTA MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN NÚMEROS RACIONALES

15 La senda de los recuerdos La sala del trono papal aparecía enorme y vacía a los ojos de Silvestre II. El otrora poderoso pontífice romano había perdido todo su poder político aunque a los ojos de cualquiera su presencia aún imponía un respeto casi místico. Ya anciano gustaba de pasear por su pasado, el único sitio adonde solo podía llegar él y se sentía libre. Recordaba feliz su estancia en el monasterio catalán de Ripoll, las frecuentes visitas a su imponente biblioteca y la ciencia que venía del sur. A su memoria volvían algunos de sus recuerdos iluminando su rostro, como aquel ábaco que él mismo construyó con los números arábigos escritos en sus fichas y cuyo uso describió con detalle, o el proyecto de aquella máquina que fraccionaría el tiempo, sustituta de la campana de los monjes: maitines, laudes, prima, tercia Abrió el libro y, por azar, se encontró con el proyecto de la máquina que medía el tiempo cuyas primeras líneas decían: Día y noche son las dos partes en que se divide el día, mas no son iguales, el primero de diciembre durante el día se han consumido velas y 6 durante la noche De repente, como el humo de las velas tras un golpe de aire, el imaginario camino trazado en el tiempo se desvaneció al oír la voz de su secretario que, a cierta distancia, le informaba de su próxima audiencia. Qué fracción del día le asignarías al día y a la noche? Al día se le asigna: = 9 A la noche se le asigna: 6 = 9

16 Números racionales EJERCICIOS 00 Calcula. a) de 0 b) de 0 7 a) 0 60 b) = 7 0 = 0 00 Comprueba si son equivalentes estas fracciones. 7 0 a) y b) y 6 60 a) Son equivalentes, ya que: 7 6 = =. b) No son equivalentes, pues = = Representa, mediante un gráfico, estas fracciones como partes de la unidad. 7 6 a) b) c) d) 0 a) b) c) d) Escribe fracciones cuyo valor numérico sea: a) b) c) 0, d), a) = c) 7 = 0, b) 6 = d) =, Escribe dos fracciones equivalentes a cada una de las siguientes por amplificación y otras dos por simplificación a) b) c) AMPLIFICACIÓN SIMPLIFICACIÓN a) b) c) = = = = = = = = = = = = 7 6

17 SOLUCIONARIO 006 Calcula la fracción irreducible de estas fracciones a) b) c) a) m.c.d. (8, 0) = = b) m.c.d. (60, 7) = = 7 c) m.c.d. (, 6) = = Halla fracciones de denominador 00 que sean equivalentes 9 a las fracciones, y = = = a La fracción es irreducible. Seguirá siendo irreducible si multiplicamos b el numerador y el denominador por 7? No seguirá siendo irreducible, ya que el numerador y el denominador tienen 7 como común denominador. 009 Ordena, de menor a mayor. a) b),,, 9,,, a) m.c.m. (9,,, 0) = 90; 9 = 0 0 6, =, =, = < < < b) m.c.m. (,, 7, 9) =.60; 9 60 = =, =, = < < < 9 0,. 60 7

18 Números racionales Ordena, de menor a mayor:,,,, m.c.m. (9,,,,7) =.60; =, =, = < < < 6 < =, =, a 7 Cuánto tiene que valer a para que >? a debe ser mayor que 7: a > 7. 0 Calcula. a) c) b) d) a) = = b) = + = c) = 8 8 d) = = Realiza estos productos. 7 a) b) ( ) a) = = b) ( ) = = Haz las siguientes operaciones a) + b) 8 a) = + = b) = =

19 SOLUCIONARIO 0 Completa con una fracción. a) = b) + a) = + = b) = = = 06 Realiza las divisiones. a) 9 7 : c) : 7 b) 8 0 : d) ( ) : a) : = c) : = b) d) ( ) : = = 9 : = Calcula. 7 a) + b) 9 a) b) Opera. 7 9 a) 7 + b) 6 7 a) 7 + = 7 7 = b) = : : 6 = : 09 Completa con una fracción para que estas igualdades sean ciertas. a) b) : 6 = = : 0 60 a) : = = b) : = = 9

20 Números racionales 00 Indica la parte entera, la decimal, el período y el anteperíodo. a) 0, c),7888 b),6 d) 0,0 a) Parte entera: 0. c) Parte entera:. Período:. Anteperíodo: 7. Período: 8. b) Parte entera:. d) Parte entera: 0. Anteperíodo: 6. Anteperíodo: 0. Período:. Período:. 0 Clasifica estos números. a) 0, b),666 c),6 a) Periódico puro. b) Periódico mixto. c) Decimal exacto. 0 Completa hasta diez cifras decimales. a),77 c),666 b),77 d) 0,77 a),777 c), b),77777 d) 0, Escribe dos números decimales no exactos y no periódicos.,678 y 6, 0 Sin realizar la división, clasifica estas fracciones según se expresen como un número entero, decimal exacto, periódico puro o periódico mixto. a) 7 8 d) g) 7 b) 7 8 e) h) c) f) i) 6 a) Periódico. f) Periódico. b) Periódico. g) Entero. c) Decimal exacto. h) = d) Entero. 0 Decimal exacto. e) 7 6 Decimal exacto. i) = 7 = Periódico

21 SOLUCIONARIO 0 Escribe dos fracciones que expresen: a) Un número entero. b) Un número decimal exacto. c) Un número decimal periódico. 0 7 a) y b) y c) y 8 06 Una fracción cuyo numerador no es múltiplo del denominador y el denominador tiene factores distintos de y, qué tipo de número decimal expresa? Expresa un decimal periódico puro, ya que no es entero y los factores del denominador son distintos de y Obtén la fracción generatriz de estos números decimales. a), f) 0,8 ) b) 9,87 g) 0,77 ) ) c) 0,00000 h), ) d),7 i) 7, e) 7,00 j),0 ) a) 77 8 = f) b) g) 00 9 c). 06 = h) d) = i) 00 e) =. 0 j) Expresa en forma de fracción. a),9 ) b),79 ) c),9 ) A qué equivale el período formado por 9? 6 6 a) = b) = 8 c) = El número decimal periódico puro con período 9 equivale al número entero inmediatamente superior. Completa: a), = b) 6, = 8 a), = b) 6, = 00

22 Números racionales 00 Obtén la fracción generatriz de estos números. a), ) b),87 ) c), a) b) c) ) 0 Calcula, utilizando fracciones generatrices. a),7 +,8 b),06 ),9 ) a) b) = = = 6, = =, Razona, sin hallar la fracción generatriz, por qué son falsas las igualdades. a) 0, = c), 7 = b) 00, = d) 0, = a) Es falsa, porque el denominador debe ser 990, 99 del período y 0 del anteperíodo. b) Es falsa, porque el numerador no puede ser mayor que la parte entera, el período y el anteperíodo juntos, en este caso. c) Es falsa, porque el cociente es menor que ( < ) y el número es mayor que. d) Es falsa, porque el denominador debe ser divisor de 900 y no lo es. 0 Completa esta tabla, teniendo en cuenta que un número puede estar en más de una casilla. 0,668800, ,67, , Número natural Número entero Decimal exacto Decimal periódico Decimal no exacto y no periódico Número racional 0,67, , ,67,, , , , 0 Escribe cuatro fracciones que representen números racionales que sean: a) Menores que y mayores que. b) Mayores que y menores que a) b),,,,,,

23 SOLUCIONARIO 0 Escribe cuatro números que no sean racionales y que estén comprendidos entre: a) y b) y 0 a) 0, ; 0,678 ; 0, ; 0,79 b) 0, ; 0,678 ; 0, ; 0,79 06 ACTIVIDADES Expresa estos enunciados utilizando una fracción. a) Una pizza se ha partido en 8 partes y Juan se ha comido. b) De una clase de 0 alumnos, han ido de excursión. c) De un grupo de 7 amigas, son pelirrojas. d) Una de cada cinco personas tiene problemas de espalda. a) = b) = c) d) Escribe la fracción que representa la parte coloreada de cada figura. a) c) b) d) a) b) c) = d) Representa, utilizando figuras geométricas, las siguientes fracciones. 7 a) b) c) d) a) c) b) d)

24 Números racionales 09 Colorea los de la figura. 00 Calcula. a) de 80 c) de 0 e) de 0 8 b) de 0 d) de 0 f) de. 6 9 a) 90 b) 0 c) 6 d) 0 e) 00 f) 66 0 HAZLO ASÍ CÓMO SE REPRESENTAN FRACCIONES IMPROPIAS EN LA RECTA NUMÉRICA? 6 Representa en la recta numérica la fracción. PRIMERO. Se expresa la fracción como un número entero más una fracción propia = + La fracción está comprendida entre y 6. SEGUNDO. Se divide el trozo de recta comprendido entre y 6 en tantas partes como indica el denominador,, y se toman las que señala el numerador,. Para dividir el trozo de recta se traza una semirrecta con origen en, con la inclinación que se desee, y se dibujan tres segmentos iguales. 6 Se une el extremo del último segmento con el punto que representa a 6, y se trazan paralelas a esa recta desde las otras dos divisiones

25 SOLUCIONARIO 0 Representa estos números racionales. 7 a) b) c) d) a) c) 7 = b) = + d) 8 = 8 8 = Qué fracción representa cada letra? A a) B b) C c) a) = 8 b) + = c) 6 + = Indica si son o no equivalentes estos pares de fracciones. a) y d) y b) y e) y c) y f) y a) 7 0. No son equivalentes. b) 0 7 ( ). No son equivalentes. c) No son equivalentes. d) ( ). No son equivalentes. e) 0 = 8. Sí son equivalentes. f) No son equivalentes.

26 Números racionales 0 Calcula el valor de x para que las fracciones sean equivalentes. a) b) c) 6 = x = 6 x = 9 d) a) x = = c) x = 9 = b) x = = 6 d) x = 6 = = x 9 06 Completa. 0 0 = = = = = = = = Agrupa las fracciones que sean equivalentes. 0 y 0 0 0,,,,, 0 0 y y Obtén dos fracciones equivalentes a cada una de las dadas por amplificación y otras dos por simplificación Amplificación: = =. Amplificación: = = Simplificación: = =. Simplificación: = = Amplificación: = =. Amplificación: = = Simplificación: = =. Simplificación: = = Amplifica las siguientes fracciones, de forma que el denominador de la fracción amplificada sea un número mayor que 00 y menor que a) b) c) d) e) f) a) c) e) b) d) f)

27 SOLUCIONARIO 00 Simplifica hasta obtener la fracción irreducible de estas fracciones. a) 0 d) g) 0 b) e) h) 8 8 c) f) i) a) d) g) = b) e) h) 9 7 c) f) i) 9 0 Señala cuáles de estas simplificaciones de fracciones están mal hechas y razona por qué a) = = c) = = 0 b) = = d) : 0 = = 80 : 0 a) Mal, pues no se pueden simplificar sumandos del numerador y del denominador. b) Bien. c) Mal, ya que no se pueden simplificar sumandos del numerador y del denominador. d) Bien, aunque se podría simplificar más. 0 Escribe una fracción equivalente a y otra equivalente a, ambas con el mismo denominador. 6 m.c.m. (, 6) = = y = Ordena, de mayor a menor. a) 7, 9 8 d) b) 7, 8 8 e) 0 0 c),, f) 8 8,, ,, ,,, 7 7

28 Números racionales a) 9 7 > 8 b) 7 8 > 8 c) =, = = > d) 8 =, = > > e) 0 0 = 8 8, = > > 60 0 f) =, =, =, = > > > 8 0 HAZLO ASÍ CÓMO SE OBTIENE UNA FRACCIÓN COMPRENDIDA ENTRE OTRAS DOS FRACCIONES? 7 Encuentra y escribe una fracción comprendida entre las fracciones y. 9 6 PRIMERO. Se suman ambas fracciones = + = SEGUNDO. Se divide entre la fracción obtenida : = La fracción está comprendida entre y Escribe una fracción comprendida entre: a) y c) y e) b) 9 y d) y f) y 6 y 9 7 a) 67 d) + = 9 + : = : b) 8 e) + : = + : = c) f) 6 + = + : = = :

29 SOLUCIONARIO 06 Calcula. a) b) + + c) d) a) 8 7 c) b) = d) + = Haz las siguientes restas. a) 0 7 b) c) d) 0 7 a) 6 00 c) = b) 6 = d) = Calcula. a) c) + e) b) 7 + d) + f) a) 7 0 d) + = = b) = e) + = c) = f) + = Opera. a) 9 + c) + e) b) d) f) a) = d) = b) = = e) + = c) 8 0 f) 6 9 = 0 + =

30 Números racionales 060 Efectúa estas operaciones. a) 7 c) e) b) d) + + f) a) d) + + = b) = e) + + = c) + + = = f) + + = Completa los huecos. a) = c) b) = d) 6 a) = = 6 c) b) = = 6 d) = 9 = 6 = = = = Realiza estos productos a) b) c) d) a) = b) = c) = d) = Opera. a) 9 c) e) b) 7 d) 9 6 f) a) 6 6 = d) = b) = e) c) = f) = 0

31 SOLUCIONARIO 06 Calcula. a) 9 6 : c) : 8 7 b) : d) : a) 0 6 = c) = 0 0 b) 0 d) = = Efectúa las divisiones. a) 7 : c) : 7 b) 8 : 0 d) : 8 6 a) = c) 0 b) 6 d) = Completa los huecos. a) = d) : : = 6 b) = e) ( ) = 0 : 6 c) = f) = : a) b) c) d) e) = : = 6 = : = 6 6 = : : = = : : = = 6 = 0 :( ) = f) = = :( )

32 Números racionales 067 Calcula. a) 7 7 d) : : g) 9 7 b) 7 7 e) 9 + h) : 7 7 c) : f) a) = = e) 9 + = b) = f) 9 = 9 = c) = g) + = + = d) = h) = Realiza las operaciones. a) d) : : g) + : b) 6 7 e) h) + 9 : c) 8 7 : + f) : a) = e) = b) f) = c) : = g) + = d) 7 7 : = h) + = 0 0 Señala la parte entera y decimal de los siguientes números. a) 0,7 c),8989 e),680 b) 7,69 d) 7, f) 7,0 a) Parte entera: 0. Parte decimal: 7. b) Parte entera: 7. Parte decimal: 69. c) Parte entera:. Parte decimal: 8989 d) Parte entera: 7. Parte decimal: e) Parte entera:. Parte decimal: 680 f) Parte entera: 7. Parte decimal: 0

33 SOLUCIONARIO 070 Expresa, mediante una fracción y mediante un número decimal, la parte coloreada de cada una de las figuras. a) c) b) d) a) = 0, c) b) = 07, d) 6 = 0, = 0, Indica cuáles de los números son periódicos y cuáles no. Señala el período para los que sean periódicos. a), d) 6,9876 b),66 e) 0,000 c),0 f), a) Periódico, de período. b) Periódico, de período 6. c) Periódico, de período. d) No periódico. e) Periódico, de período 0. f) No periódico. 07 Clasifica estos números decimales en exactos, periódicos puros, periódicos mixtos o no exactos y no periódicos. a),099 f),666 b) 0,89 g).00,00 c) 7,6066 h) 0,0000 d) 0,8 i),7 e) 98,99000 j) 0,6777 a) Periódico mixto. f) Periódico mixto. b) Periódico mixto. g) Periódico puro. c) No exacto y no periódico. h) Periódico mixto. d) Exacto. i) Exacto. e) No exacto y no periódico. j) Periódico mixto.

34 Números racionales 07 Razona qué tipo de número: entero, decimal exacto o periódico, expresan las siguientes fracciones. 7 a) d) g) 6 0 b) e) h) c) f) i) 90 a) Exacto, porque el denominador de su fracción irreducible solo tiene como factor. b) Entero, porque el numerador es múltiplo del denominador. c) Periódico mixto, porque el denominador de su fracción irreducible tiene como factores y. d) Exacto, porque el denominador solo tiene como factores y. e) Periódico mixto, porque el denominador de su fracción irreducible tiene como factores y. f) Periódico puro, porque los factores del denominador son distintos de y. g) Entero, porque el numerador es múltiplo del denominador. h) Exacto, porque el denominador de su fracción irreducible solo tiene como factores y. i) Periódico mixto, porque el denominador tiene como factores, y. 07 Obtén la fracción generatriz. a), c),7 ) e), ) b),7 d), f) 0, a) = c) 00 9 e) b) = d) f) Expresa en forma de fracción estos números. a) 7 d) 9,6 ) g) 9, ) b) 6,0 e),07 ) h) 0, ) ) c) 0,008 f), i) 0,0 ) a) d) = g) b) = e) h) c) = f) i) = =

35 SOLUCIONARIO 076 Expresa en forma decimal las fracciones, y en forma fraccionaria, los decimales a) f) k) 8 90 b) 7, g) 0,78 l),0 c),7 ) h) 6,6 ) ) m),7 d) 8,9 ) i) 8,7 ) n) 0, ) 8 e) j),6 ) ñ) 0,0 ) 0 ) a), f) 0,8 k), ) b) = g) = l) c) h) = m) d) = i) = n) e),8 j) ñ) = 900 = = Calcula, utilizando las fracciones generatrices. a) 0,777 +, c) 0,, b),666,77 d),888 : 0,99 a) = = c) = b) =. d) : = Indica si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas, justificando tu respuesta. a) Todo número decimal puede expresarse en forma de fracción. b) Un número entero se puede expresar como una fracción. c) En un número decimal periódico, las cifras decimales se repiten indefinidamente después de la coma. d) Si un número decimal tiene como período 0, es un número exacto. a) Falso, los decimales no exactos y no periódicos no se pueden expresar como fracción. b) Verdadero, la fracción será el cociente del número y la unidad. c) Verdadero en el caso de los periódicos puros, pero no en los periódicos mixtos. d) Verdadero, ya que tiene un número exacto de cifras decimales.

36 Números racionales 079 Se dispone de 0 metros de tela. Calcula cuántos metros son: 7 a) de la tela b) de la tela c) de la tela 0 6 a) b) c) 0 8 = m = 7 m 6 0 = m 080 Una empresa ha ingresado esta semana dos quintos de.00. Calcula el dinero que ha ingresado la empresa. Ha ingresado: =. 08 Un padre le da a su hija mayor 0, y a su hijo menor, la tercera parte de lo que ha recibido la mayor. Cuánto ha recibido el hijo menor? El hijo menor ha recibido: 0 0. = 08 HAZLO ASÍ CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS EN LOS QUE SE CONOCE UNA PARTE DEL TOTAL? En la clase, las partes son chicos. Cuántas chicas hay si son alumnos en total? PRIMERO. Se resta la parte conocida,, al total,, para calcular la parte desconocida. = = son chicas SEGUNDO. Se calcula lo que representa esa parte en el total de alumnos,. chicas 7 de = = = = 08 Para el cumpleaños de mi madre, le hemos regalado una caja de bombones. Hemos comido ya las partes de la caja. Si la caja contenía 0 bombones, cuántos bombones quedan? Queda de la caja, es decir: 0 0 bombones. = 6

37 SOLUCIONARIO Los tres octavos del total de alumnos de un IES llevan gafas. Si llevan gafas 9 alumnos, cuántos alumnos son en total? = x = = alumnos son en total. x Un granjero quiere vallar un terreno de.7 m de largo. El primer día hace los del trabajo, y el segundo día, los. Cuántos metros faltan por vallar? = = faltan.. =. m Unos amigos recorren 0 km en bicicleta. El primer día hacen del camino y el segundo día, dejando el resto para el tercer día. Cuántos kilómetros recorren cada día?. er día 0. er día 0 (8 + ) = km. o día 0 8 Una familia gasta de sus ingresos mensuales en el alquiler del piso, en el teléfono y en transporte y ropa Cómo se distribuyen los gastos si sus ingresos mensuales son de.000? Alquiler Transporte y ropa = = Teléfono = En un campamento, de los jóvenes son europeos, asiáticos y el resto africanos. 8 Si hay en total 800 jóvenes: a) Cuántos jóvenes europeos hay? b) Si la mitad de los asiáticos son chicas, cuántas chicas asiáticas habrá? c) Cuántos de estos jóvenes son africanos? a) Europeos = 00 b) Asiáticas : = : = c) Africanos = 0 7

38 Números racionales 089 HAZLO ASÍ CÓMO SE CALCULA UNA PARTE DE UNA FRACCIÓN? Cristina debe leer un libro para el colegio. El primer día lee la cuarta parte del libro, y el segundo día, la mitad de lo que le quedaba. Qué fracción representa lo que lee el segundo día? PRIMERO. Se calcula la fracción de la que se hallará su parte. El primer día lee, y le quedan: =. SEGUNDO. Se calcula la parte de la fracción. El segundo día lee: : =. 8 Por tanto, el segundo día lee del libro Tenemos una pieza de alambre de 90 m. Vendemos las partes a /m, del resto a /m y los metros que quedan a /m. Cuánto hemos ganado 6 si habíamos comprado el metro de alambre a? 90 60, a /m, son 80. = m ( 90 60) = m, a /m, son = m, a /m, son 0. El alambre costó: 90 = 80 y hemos cobrado: = 0. Por tanto, hemos ganado: 0 80 = Tres amigos se reparten 90 que han ganado en la quiniela de la siguiente manera: el primero se queda con la quinta parte, el segundo con la tercera parte de lo que recibe el primero, y el tercero con la mitad de lo que recibe el segundo. a) Qué fracción representa lo que obtiene cada uno? b) Cuánto dinero se queda cada amigo? c) Y cuánto dinero dejan de bote? a). o. o =. o = 0 b). o. o. o 90 = 8 90 = = c) 90 ( ) = 6 dejan de bote. 8

39 SOLUCIONARIO 09 HAZLO ASÍ CÓMO SE CALCULA EL TOTAL CONOCIENDO UNA PARTE? 7 Una piscina está llena hasta los de su capacidad. Aún se necesitan 880 litros 9 para que esté completamente llena. Qué capacidad tiene la piscina? PRIMERO. Se calcula la fracción que representa la parte vacía de la piscina = = SEGUNDO. Se designa por x la capacidad total de la piscina. de x = x = Despejando x: x = 880 : = = = La piscina tiene.960 litros de capacidad. 09 De un calentador, primero se gasta la mitad del agua y luego la cuarta parte de lo que quedaba. Si todavía quedan litros, cuál es la capacidad del calentador? Primero:. Segundo:. = 8 Queda entonces: =. 8 8 x = : = es la capacidad del calentador Unos amigos organizan una excursión a la montaña: el primer día recorren un cuarto de lo programado, el segundo día un tercio, dejando el resto (que son km) para el tercer día. Qué fracción representan los kilómetros recorridos el tercer día? Cuántos kilómetros han recorrido en total? El tercer día recorren: =. Han recorrido en total: x = : = 60 km. 9

40 Números racionales 09 Calcula las siguientes diferencias a) Con los resultados, efectúa esta suma. b) A la vista del resultado anterior, cuál crees que será el resultado de esta suma? = = = 6 0 = 6 = 0 a) = = = = b) = = = = Si vaciamos estos dos recipientes en una jarra, cuál es la proporción de agua y de vinagre en la jarra? MEZCLA MEZCLA partes de agua parte de vinagre partes de agua parte de vinagre La mezcla resultante tendrá partes de agua y partes de vinagre. La proporción de agua es y la de vinagre es

41 SOLUCIONARIO 097 Esta figura contiene nueve cuadrados, todos de lado. Los puntos señalados verifican: PQ = QR = RS = ST = Una recta une a X con uno de esos puntos y divide la figura en dos regiones de igual área. Cuál es esa recta? X T S R Q P Q X Es la recta XQ, que forma un triángulo y un cuadrado. El triángulo tiene 7 de base y de altura:, por lo que su área será: 7 + = : =,. Por su parte, el área del cuadrado es. 9 El área es:, + =,, que es la mitad del área total: =,. EN LA VIDA COTIDIANA 098 Una comunidad de vecinos quiere instalar placas solares para abastecer parte de la energía eléctrica que se consume en el edificio. Han consultado con una empresa instaladora y les ha proporcionado los siguientes datos. Según nuestros informes, la instalación de placas solares permite un ahorro de del consumo 7 energético actual del edificio. PRESUPUESTO PARA LA INSTALACIÓN DE PLACAS SOLARES Comunidad de vecinos: C/ del Sol, Placas solares e instalación. Total:.000

42 Números racionales La empresa instaladora les ha informado de que ciertos organismos oficiales conceden subvenciones para la instalación de placas solares. INSTITUTO PARA LA DIVERSIFICACIÓN Y AHORRO DE LA ENERGÍA En relación con la subvención solicitada por su comunidad para la instalación de placas solares en el edificio situado en la calle del Sol, número, le informamos de que dicha subvención ha sido otorgada, y que su cuantía asciende a la mitad del coste de las placas y su instalación. La compañía eléctrica suministradora de la comunidad cobra a 8,676 céntimos el kilowatio. En el último recibo bimensual, cada uno de los 8 vecinos ha pagado 6,. Cuánto tiempo tardarán en amortizar las placas solares y su instalación, si el consumo de la comunidad se mantiene? Coste de las placas y la instalación:.000. Subvención:.000 =.000. Gasto mensual: (8 6,) : =.,6. Ahorro en el gasto:. 7., 6 = 7, 76 Tiempo de amortización: ( ) : 7,76 =,6 meses. Por tanto, tardarán algo menos de tres años en amortizar el gasto. 099 Las noticias sobre los accidentes ocurridos durante la Semana Santa destacan un importante aumento de siniestros. Siniestralidad durante la Semana Santa en la carretera 08 personas han muerto en accidentes de carretera La mitad de los fallecidos en turismos no utilizaba el cinturón. Uno de cada tres fallecidos en motocicletas no llevaba casco. La mitad de los fallecidos tenía menos de años, y de estos, uno de cada cuatro era menor de años. La distracción aparece como el factor fundamental en dos de cada cinco accidentes, la infracción de las normas de tráfico en uno de cada tres y el exceso de velocidad en tres de cada diez. Vehículo Fallecidos Turismos 9 Motocicletas 7

43 SOLUCIONARIO Fallecidos Medidas de seguridad No llevaba cinturón No utilizaba casco Cumplía las medidas de seguridad 9 6 =, 7 =, = 6 Edades Menores de años Mayores de años Menores de años Causa principal accidente Distracción Infracción de normas de tráfico Exceso de velocidad Ninguna de las circunstancias anteriores 08 = 08 = =, 08 =, 08 6 = 08 0 =, El exceso de velocidad es una infracción de tráfico, luego 08 6 = 9. Hay 9 personas fallecidas en estas circunstancias. Estamos suponiendo que la causa principal de accidente es única, es decir, no se computan dos o más causas principales de accidente. El último párrafo del artículo se refiere a accidentes, pero nosotros resolvemos el problema como si se tratara de fallecidos; así, el párrafo sería: La distracción aparece como el factor fundamental en dos de cada cinco fallecidos, la infracción de las normas de tráfico en uno de cada tres y el exceso de velocidad en tres de cada diez. Si no se considerara de este modo, no podríamos determinar el número de fallecidos, pues en un mismo accidente puede haber más de un fallecido o no haber ninguno.

44 Números reales NÚMEROS RACIONALES NÚMEROS IRRACIONALES NÚMEROS REALES REPRESENTACIÓN POTENCIACIÓN APROXIMACIONES ERRORES EXPONENTE POSITIVO EXPONENTE NEGATIVO NOTACIÓN CIENTÍFICA OPERACIONES SUMA RESTA MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN

45 La razón irracional El gran Pitágoras, el que estudió el mundo y su relación con los números, el descubridor de la belleza racional de todas las cosas creadas, al final de su vida, en los albores del siglo V a.c., se confesaba a uno de sus discípulos amargamente: Escucha le decía a Hipaso de Metaponto : Toda mi vida he buscado la verdad en los números; la explicación de lo divino y lo humano estaba en ellos o en sus razones, todo era perfecto y explicable, todo razonable Hipaso miraba a su maestro con admiración, mientras asentía con la cabeza. Mientras tanto, Pitágoras continuaba: Ahora que ha llegado el final de mi vida he de confesarte una horrible verdad: hace tiempo que los descubrí, hay otros. Otros? preguntó Hipaso. Sí, están ahí pero son inconmensurables: cualquiera puede construir un cuadrado cuyo lado mida ; sin embargo, será incapaz de medir su diagonal. Incluso la razón de la Pentalfa no es tal, sino uno de estos camuflado. Si no lo crees intenta medir la diagonal de esta habitación que tiene pasos de ancho y de largo. Aplicamos el teorema de Pitágoras: + = 9 + = = =, 809 Observamos que aunque el ancho y el eje largo de la habitación se pueden medir con números enteros, su diagonal es un número irracional, es decir, no es medible.

46 Números reales EJERCICIOS 00 Calcula las siguientes potencias. a) d) ( ) g) (,) b) 7 e) (,0) h) c) ( 9) f) i) (,) 8 8 a) 9 d) g) 6,906 b).0 e) 6,69666 h) c) 8 f). 7 i) , Calcula ( 0,8), ( 0,8) y ( 0,8). Cuál es mayor? ( 0,8) = 0,6 ( 0,8) = 0, ( 0,8) = 0,096 El mayor es ( 0,8). 00 Expresa en forma de potencia. a) 9 9 b) 7 7 a) 6 b) Calcula estas potencias. 8 a) 7 d) ( ) g) j) 8 8 b) 7 e) ( ) 0 h) k) c) 7 f) ( ) i) l) a) e) i) 7 = 8 b) 7 f) = j) ( ) 8 c) g) k) 8 = d) = h) l) ( ) 8 8. =.768 6

47 SOLUCIONARIO 00 Contesta si es verdadero o falso. a) Una potencia de exponente negativo es siempre positiva. b) Una potencia de exponente 0 es siempre positiva. a) Falso, será siempre positiva si el exponente es par. b) Verdadero, siempre vale. 006 Cómo calcularías (0,)? 0, 0, = ( ) = = = 007 Calcula. a) (8 ) d) [6 ] b) [( ) ( )] e) [( ) ] c) f) a) 8 = 6 =.768 d) b) ( ) ( ) = ( ) ( 6) = 6 e) c) f) 6 = ( ) = 9 = 6 = = Resuelve: a) 7 b) ( 0) a) = = 7.8 b) ( 6) = 6 = Señala qué desigualdad es cierta. a) < b) [ ( )] < a) Es cierta:. = 8 < b) Es falsa: [ ( )] = = 6 >. 7

48 Números reales 00 Expresa como una sola potencia. a) 6 e) [ ] b) ( 9) 6 : ( 9) f) [( ) ] 0 6 c) g) : 6 6 d) h) : a) +6 = 0 e) = 6 b) ( 9) 6 = 9 f) ( ) = c) g) = d) h) = + 6 = 0 = = 0 Simplifica estas operaciones con potencias. a) ( ) d) (7 : 7 ) b) [( ) : ( ) ] e) (7 9 ) c) [(,) (,) ] f) [( ) ] a) (+) = d) 7 ( ) = 7 b) ( ) ( ) = e) c) (,) (+) = (,) 8 f) Expresa como una sola potencia. a) b) ( 9 ) a) = 6 = b) ( 9 ) = ( 6 ) = 0 Escribe en notación científica. a) c) 0,0006 e) b) d),0006 f) 6,6 a),9 0 8 c),6 0 e), 0 b), 0 d), f), Escribe, con todas sus cifras, los siguientes números dados en notación científica. a), 0 6 b) 9, 0 8 c),76 0 a) b) 0, c)

49 SOLUCIONARIO 0 Estos números no están correctamente escritos en notación científica. Corrígelos. a) 0,7 0 8 b),7 0 8 c) 0,7 0 8 a),7 0 7 b),7 0 9 c), Los activos financieros de una entidad bancaria son aproximadamente billones de euros. Expresa esa cantidad en notación científica., 0 07 Resuelve estas operaciones utilizando la notación científica. a) 7, , 0 7 d) ( 0 ) (, 0 ) b) 0,0 0 +, 0 e) (0,7 0 7 ) : (0, 0 ) c) 7, 0 + 0,0 0 f) (8, ) (0,6 0 7 ) No olvides expresar el resultado en notación científica. a) , 0 7 = 770, 0 7 = 7, b) 0,00 0 +, 0 =,0 0 c) 0, =,7 0 0 d), 0, 0 = 8,68 0 e) (7, 0 6 ) : ( 0 ) =, 0 f) (8, ) (6, 0 6 ) =,9 0 =, Calcula el término que falta en cada caso. a), 0 6 = 8, 0 c) (, 0 6 ) = 8, 0 b) 9, 0 + =,6 0 d) (9, 0 ) : =,6 0 a) =, c) =,6 0 b) =,668 0 d) =, Resuelve esta suma: 7, Luego utiliza la calculadora para realizarla. Qué ocurre? Por qué crees que sucede esto? 7, =, Con la calculadora sale, porque el orden de magnitud es 00, que tiene cifras, y la calculadora solo trabaja con cifras. 00 Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales. a), b), c),... d),9777 a) Racional. c) Irracional. b) Irracional. d) Racional. 9

50 Números reales 0 Escribe cinco números racionales y cinco irracionales. Racionales,6 ) ;,6 ) ; 8;,8 ) ; 0,6 Irracionales, ; 6, ; 0, ; π; 0 Puedes anotar un número irracional con un solo dígito después de la coma? Y con dos dígitos? No, ya que se necesitan infinitos dígitos después de la coma. 0 Trunca y redondea los siguientes números a las centésimas y las milésimas. a),6668 ) g) b),7 ) h),6 c), i) d),66 j),6678 e), k), f),7 ) l), ) a) Truncamiento:, y,. Redondeo:, y,. b) Truncamiento:,77 y,777. Redondeo:,78 y,778. c) Truncamiento:, y,. Redondeo:, y,. d) Truncamiento:, y,6. Redondeo:, y,6. e) Truncamiento:, y,. Redondeo:, y,. f) Truncamiento:, y,7. Redondeo:, y,8. g) Truncamiento:, y,6. Redondeo:, y,6. h) Truncamiento:, y,. Redondeo:, y,. i) Truncamiento:,7 y,7. Redondeo:,7 y,7. j) Truncamiento:,6 y,66. Redondeo:,6 y,67. k) Truncamiento:, y,. Redondeo:, y,. l) Truncamiento:, y,. Redondeo:,6 y,6. 0 Halla el error absoluto y relativo cometido en cada uno de los casos del ejercicio anterior. a) b) Aproximación,,, Error absoluto 0, , ,000 Error relativo 0, , ,0006 Aproximación,77,777,78,778 Error absoluto 0, , ,00 0,000 Error relativo 0,008 0,0008 0,0008 0,00008 c) Aproximación,,, Error absoluto 0,00 0,000 0,00888 Error relativo 0,0009,7E 0 0,