INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA LINEAL Y DE MATRICES. APLICACIONES CON EXCEL

Transcripción

1 INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA LINEAL Y DE MATRICES. APLICACIONES CON EXCEL Araceli Rendón Trejo, Jesús Rodríguez Franco, Andrés Morales Alquicira UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA UNIDAD XOCHIMILCO Casa abierta al tiempo DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

2 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

3 INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA LINEAL Y DE MATRICES. APLICACIONES CON EXCEL Casa abierta al tiempo Araceli Rendón Trejo, Jesús Rodríguez Franco, Andrés Morales Alquicira UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA UNIDAD XOCHIMILCO DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

4 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA Rector general, Dr. José Luis Gázquez Mateos Secretaría general, Lie. Edmundo Jacobo Molina UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA-Xochimilco Rectora, Dra. Patricia Elena Aceves Pastrana Secretario, Dr. Ernesto Soto Reyes Garmedia DIVISIÓN DE CIENCIAS SOCIALES Y HUMANIDADES Director, Dr. Guillermo Villaseñor García Secretario académico, Lie. Gerardo Zamora Fernández de Lara DEPARTAMENTO DE POLÍTICA Y CULTURA Jefe, Mtro. Mario Alejandro Carrillo Luvianos Jefe del Área de Investigación, Dra. Ana Elena Narro Ramírez Proyecto editorial de los productos académicos de las áreas de Investigación Departamental COORDINACIÓN DE EXTENSIÓN UNIVERSITARIA Coordinador, Lie. Rene Aviles Favila Colección Investigaciones ISBN: Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Xochimilco Primera edición: 998 Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Xochimilco Calzada del Hueso núm., colonia Villa Quietud, 496, México, D. F. Sección de Producción Editorial Impreso y hecho en México DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

5 índice Presentación Capítulo. El modelo lineal. Introducción. Ecuaciones Ecuación lineal Ecuación de primer grado con una incógnita Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas Solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Sistema de m ecuaciones con n incógnitas Método de eliminación gaussiana Método de matriz aumentada, (Gauss-Jordán).4 Consistencia e inconsistencia de sistemas de ecuaciones lineales.5 Sistemas homogéneos de ecuaciones Capítulo. Vectores. Introducción. Conceptos básicos Vectores Representación geométrica Magnitud de un vector Igualdad de vectores Propiedades de la igualdad DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

6 . Tipos de vectores 48 Vector renglón 48 Vector columna 48 Vector nulo 48 Vector unidad 49.4 Operaciones básicas 5 Suma de vectores 5 Representación geométrica 5 Producto de escalar y vector 5 Representación geométrica 54 Producto de vector fila y vector columna 55.5 Propiedades 58 Identidad aditiva 59 Conmutativa de suma de vectores 6 Asociativa de suma de vectores 6 Cancelación multiplicativa (vectores) 6 Distributiva (escalar suma de vectores) 6 Distributiva (suma de escalares - vector) 65 Asociativa (escalares - vector) 66 Identidad multiplicativa 67 Inverso aditivo 68 Casa abierta al tiempo Capítulo. Operaciones con escalares y vectores utilizando Excel 7. Introducción 7. Suma de vectores 7. Producto de escalar por vector 74.4 Producto de vector columna por vector fila 76.5 Producto de vector fila por vector columna 8 Capítulo 4. Vectores en R n Introducción Producto interno y proyecciones 86 Ángulo entre dos vectores 88 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

7 Desigualdad de Cauchy - Schwarz 9 Vectores paralelos 9 Vectores perpendiculares 9 Proyección de vectores Combinación lineal de vectores Dependencia e independencia lineal de vectores Capítulo 5. Álgebra de matrices 5 5. Introducción 5 5. Matrices 5 Notación de matrices 7 Dimensión de una matriz 8 Matriz rectangular 9 Matriz cuadrada de dimensión n Escalar (X) 5. Tipos de matrices Matriz triangular superior Matriz triangular inferior Matriz diagonal (D) 4 Matriz unitaria o idéntica (I) \6 Matriz escalar (A,) 7 Matriz simétrica 7 Matriz asimétrica 8 Matriz nula o cero () 8 Matrices iguales 9 Propiedades de las matrices iguales Problemas Capítulo 6. Operaciones con matrices 5 6. Introducción 5 6. Adición y sustracción de matrices 5 Adición de matrices 5 Producto de un escalar por una matriz 7 Sustracción de matrices 9 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

8 6. Producto de matrices Producto interno de matrices Producto de matrices Conformación para la multiplicación de matrices 6.4 Producto de matrices especiales 6 Producto de una matriz por una matriz unitaria 6 Producto de una matriz por una matriz escalar 6 Producto de una matriz por una matriz nula Matriz inversa 8 Determinación de la matriz inversa 4 Inversa de la matriz por reducción gaussiana Solución de ecuaciones lineales con la matriz inversa 45 Ejercicios 49 Capítulo 7. Operaciones con vectores y matrices usando Excel 5 7. Introducción 5 7. Operaciones entre matrices y vectores con Excel 5 Matriz por vector columna 5 Vector fila por matriz Multiplicación de matrices utilizando Excel 6 Matriz de orden (m, n) por matriz (n, p) Obtención de la inversa de una matriz mediante Excel 6 La matriz identidad 65 Capítulo 8. Determinantes Introducción Determinantes 7 Determinantes de una matriz (x) 7 Determinantes de una matriz (x) 7 Determinantes de una matriz (nxn) 7 Propiedades de los determinantes Cálculo de la matriz inversa 8 Método de cofactores 8 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

9 Matriz inversa por el método de cofactores 89 Solución de sistemas de ecuaciones utilizando matriz inversa 94 Método de expansión por cofactores Regla de Cramer Capítulo 9. Determinantes y transpuestas con Excel 9 9. Introducción 9 9. Determinantes 9 9. Transpuesta Capítulo. Álgebra del espacio R n 5. Introducción 5. Ejes de coordenadas usando vectores 5. Base en R n.4 Independencia lineal 4.5 Subespacios en R n y dimensión.6 Rango de una matriz 4.7 Bases ortonormales 4 Matriz ortogonal 45.8 Mínimos cuadrados 47.9 Espacios vectoriales 55 Capítulo. Transformaciones lineales 59. Introducción 59. Representación matricial de una transformación lineal 6 Capítulo. Valores y vectores propios 69. Introducción 69. Valores propios 7. Vectores propios 75 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

10 Capítulo. Aplicaciones 85. El análisis de insumo-producto 85. El ingreso nacional 94. Modelo de mercado con dos bienes Capítulo 4. Cálculo de la matriz insumo-producto con Excel 9 4. Cálculo de las matrices de transacciones interindustriales y coeficientes técnicos 9 4. Cálculo de la matriz de Leontief y su inversa 4. Cálculo del incremento de la producción bruta 6 Bibliografía DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

11 Presentación Las Matemáticas constituyen una parte fundamental en la formación académica de los estudiantes y profesionales de las Ciencias Sociales. Esto lo es aún más para los que se encuentran en áreas en donde es necesario resolver problemas relacionados con la producción, la organización, la toma de decisiones, etc. El presente libro "Introducción al Algebra Lineal y de Matrices", se encuentra especialmente dirigido a las personas que estudian y laboran en las áreas de Administración, Economía y de Política y Gestión Social. Su objetivo es explicar las partes esenciales del Algebra Lineal de una manera clara, comprensiva y precisa abordando además, en la solución de los temas y problemas, el manejo de la computadora. Esto último, es imprescindible debido a las exigencias del competitivo mundo actual que demandan la solución rápida, y prácticamente inmediata, de problemas. Así, en este libro se busca integrar la enseñanza de las matemáticas y el uso de la computadora mediante el manejo de la hoja de cálculo electrónica Excel. El libro consta de catorce capítulos en los que se presentan ejemplos que ayudan a comprender los temas tratados. Al principio de cada capítulo se encuentra una lista de objetivos que indican al lector el propósito del mismo. Para facilitar la comprensión de los temas y destacar los aspectos fundamentales, las definiciones han sido enmarcadas. El primer capítulo describe el modelo lineal. Aborda las ecuaciones lineales considerando su estudio con dos o más incógnitas, la solución de los sistemas de ecuaciones por el método de DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

12 eliminación Gaussiana y el método de matriz aumentada, el análisis de consistencia e inconsistencia de los sistemas de ecuaciones lineales y la determinación con un sistema de ecuaciones homogéneo. En el capítulo se tratan los conceptos básicos de vectores como la representación geométrica, la magnitud, la igualdad y los diferentes tipos de vectores. También se abordan las operaciones: suma, producto de vector, escalar por un vector, productos de un vector fila por un vector columna. Finalmente se analizan las propiedades de los vectores. El capítulo muestra el uso de la hoja de cálculo Excel en el manejo y solución de las operaciones entre vectores. El capítulo 4 estudia los ángulos entre vectores, así como también la identificación de vectores paralelos y perpendiculares. También se analiza la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la proyección de vectores. Finalmente se ve la combinación lineal de vectores y la dependencia o independencia lineal. El capítulo 5 se divide en dos partes para explicar el álgebra de matrices. En la primera se plantea el concepto de matriz y su notación, para posteriormente ver la dimensión de las matrices rectangulares y cuadradas. También se aborda el escalar. En la segunda parte se ven los diferentes tipos de matrices. El capítulo 6 presenta las operaciones con matrices. En primer lugar se estudia la adición y sustracción seguida del producto interno de matrices y el producto entre dos matrices. Posteriormente se ve el producto de matrices especiales y finalmente la matriz inversa y sus aplicaciones para dar solución a un sistema de ecuaciones lineales. El capítulo 7 explica el uso de la Hoja de Cálculo Excel para dar solución a las operaciones de matrices y vectores. Así mismo se plantea como obtener la matriz inversa y la matriz identidad. En el capítulo 8 se analizan los métodos para encontrar los determinantes de matrices de orden ( x ), ( x ) y (n x n). Posteriormente se estudia el método de cofactores para aplicarlo en la determinación de la matriz inversa. También se analiza la solución de los sistemas de ecuaciones mediante la matriz inversa, el DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

13 método de expansión por cofactores. Por último se realiza el estudio de la regla de Cramer. El capítulo 9 emplea la hoja de cálculo Excel en la solución de determinates y transpuestas. El capítulo está integrado por siete partes, en la primera se muestra la obtención de ejes coordenados usando vectores, también se determina la combinación lineal de vectores y las bases en R n. En la segunda parte se analiza la idea de representación única mediante el concepto de independencia lineal mientras que en la tercera se estudia el concepto de subespacios en R n y de dimensión de un subespacio. En la cuarta se define el rango de una matriz, en la quinta se define el concepto de bases ortonormales y de matriz ortogonal, en la sexta se explica en concepto y cálculo de los mínimos cuadrados utilizando vectores y matrices, la última parte está dedicada al estudio de los espacios vectoriales. El capítulo aborda el tema de transformaciones lineales. En éste se hace énfasis en la representación matricial de las transformaciones lineales. El capítulo explica uno de los temas más importentes del álgebra lineal y matricial; el cálculo de los valores y vectores propios. El capítulo esta dedicado a tres aplicaciones en el Área Económica. La primera es el Modelo de Insumo-Producto, la segunda el de Ingreso Nacional y la tercera un modelo de mercado con dos bienes. En el capítulo 4 se describe el proceso de cálculo de la Matriz Insumo-Producto utilizando la hoja de cálculo Excel Deseamos que este libro contribuya a la compresión y a la resolución de los problemas de Algebra Lineal y de Matrices que enfrentan los estudiosos de las Ciencias Sociales. Confiamos que el uso de la hoja de cálculo Excel coadyuvará a la rapidez que se requiere en la solución de tareas y problemas del mundo actual. Los autores DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

14 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

15 Capítulo El modelo lineal Objetivos: Al terminar este capítulo, podrá : S Identificar un modelo lineal. S Diferenciar las características algebraicas y gráficas de las ecuaciones lineales. S Resolver y grafícar ecuaciones de primer grado con una incógnita. S Dar solución y grafícar ecuaciones con dos incógnitas. S Entender la composición de los sitemas de ecuaciones. S Conocer los métodos de eliminación Gaussiana y Gauss - Jordán para la solución de sistemas de ecuaciones lineales. S Identificar la consistencia e inconsistencia de los sistemas de ecuaciones lineales.. Introducción Durante muchos años, el estudio del álgebra ha estado principalmente relacionado con la solución de las ecuaciones. Una ecuación es un enunciado de dos expresiones algebraicas iguales. pág. Paulk Rees Algebra. Mc-Graw Hill 99 décima edición México 99 5 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

16 Existen cierto tipo de problemas matemáticos que se resuelven utilizando ecuaciones lineales y otro en donde la relación entre variables incluye dos o más ecuaciones, siendo necesario resolver un sistema de ecuaciones lineales simultaneas, las cuales pueden tener dos o más incógnitas. En éste capitulóse emplea la elimimación, reducción, eliminación Gaussiana y matriz aumentada (Gauss-Jordán) como métodos para dar solución a los sistemas de m ecuaciones con n incógnitas. Se incluye además los temas de consistencia e inconsistencia de sistemas de ecuaciones lineales y sistemas homogéneos.. Ecuaciones La ecuación es una igualdad en la que hay una o varias incógnitas y sólo se puede comprobar si es verdadera para determinados valores de las incógnitas, por ejemplo: Sea la ecuación x = x + Es verdadera si x se sustituye por el valor de, entonces cada lado es igual a 9 (X) = ()+ 9 =9 Es falsa si x se sustituye por el valor de 4, entonces cada lado esly. De lo anterior se concluye que el conjunto solución está formado por todos los números que satisfacen la ecuación. A los elementos del conjunto solución se les denomina raíz. Teorema a) Si a, b y c e 9t. Dada una ecuación a = b es posible sumar cualquier cantidad c en ambos miembros de la ecuación, teniendo una ecuación equivalente: a+c=b+c a-c =b-c 6 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

17 b) Dada una ecuación a = b, se multiplica a ambos miembros de la ecuación por un número real distinto de cero (c ^ ), obteniéndose una ecuación equivalente. ac = be; c ^ c) Dada una ecuación a = b, se divide ambos miembros de la ecuación por un número real distinto de cero (c ^ ), teniendo una ecuación equivalente. c c' Ecuación Lineal Es la ecuación que esta formada con variables que tienen exponente uno, y que ningún término que forma la ecuación tiene más de una variable como factor, por ejemplo: ) X! +X + X = ) Sea la ecuación: x + x = 9 No es una ecuación lineal, porque el exponente de la variable es igual a dos. ) Sea la ecuación: x + xy = 9 No es una ecuación lineal, por tener dos variables como factores en uno de sus términos. Ecuación de primer grado con una incógnita Una ecuación de primer grado con una incógnita se escribe de la siguiente forma: ax = b En la solución de esta ecuación, se presentan solamente tres casos: ) Si a *, la ecuación tiene una única solución x = b/a 7 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

18 ) Si a = O y b = O, la solución tiene número infinito de opciones (Ox = ), porque cualquier número real x satisface a la ecuación ax = b. ) Si a = y b *, la ecuación no tiene solución (Ox = b) ya que cualquier número real x al sustituirlo del lado izquierdo de la ecuación y multiplicarlo por cero da como resultado que el primer miembro sea cero y el segundo miembro distinto de cero ( * b). Por ejemplo: ) Sea la ecuación x = 6 Encontrar la solución. x = es la solución única y representada geométricamente la solución es: Casa abierta al tiempo - ) Sea la ecuación -6 = x encontrar la solución. x = - es la solución única y representada geométricamente la solución es : ) Sea la ecuación = x? encontrar la solución. La respuesta es No tiene solución Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se escribe en forma general de la siguiente manera: a j X\ + a x = b 8 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

19 en donde a ll5 a, a, a son coeficientes de las variables (no todos son iguales a cero) b { y ^representan a los términos independientes (constantes numéricas reales), x x y x son las variables. La solución de este sistema de ecuaciones con dos incógnitas, es una pareja de números: Xj = a y x = p, los cuales se pueden denotar como X\ y x? y al sustituirlos en ambas ecuaciones las convierten en identidades. En el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, existen tres soluciones posibles; la primera tener una solución única, la segunda un número infinito de soluciones y la tercera no tener solución. El sistema de ecuaciones lineales que tenga por lo menos una solución se le llama compatible o consistente determinado, al que tiene un número infinito de soluciones se le conoce como incompatible o consistente indeterminado y si no tiene solución se dice que es inconsistente. Por ejemplo: ) El sistema de ecuaciones: x - y = -8 -x + 4y = 4 El sistema tiene una solución única, la pareja (-,), por lo tanto el sistema es consistente determinado, como se muestra en forma gráfica (ver figura.). -x + 4y=4 _7 _ I En donde a y ( son constantes numéricas reales 9 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

20 ) El sistema de ecuaciones x + y = x + y = 4 El sistema tiene una infinidad de soluciones y el sistema es consistente indeterminado. En la figura. se observa que las dos ecuaciones se representan en la misma recta. Casa abierta al tiempo Figura. ) El sistema de ecuaciones X + y= x + y = No hay ningún punto común (intersección) en el sistema de ecuaciones, por lo tanto no tiene solución, y el sistema es inconsistente. En la figura. se observa que las dos rectas son paralelas. Figura. DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

21 Solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas Definición Dos o más ecuaciones son equivalentes, si y sólo si, tienen el mismo conjunto solución Por ejemplo: ) Sea el sistema I x + y=9 ----() i 4x+5y=l ()J Multiplicando la primera ecuación por cuatro, tenemos el sistema II, equivalente al sistema I 4x+y=6 ----) n 4x + 5y = ()J Multiplicando la segunda ecuación del sistema II por menos uno y sumando a la primera ecuación, tenemos el sistema III, equivalente al I y al II. 4x -Hy = 6-4x- 5y = - Entonces: 7y = 5 4x + 5y = l ----()J DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

22 El valor de Y para la primera ecuación del sistema III es: y = 5/7 = 5 Sustituyendo el valor de y en la segunda ecuación del sistema III 4x + 5y - 4x + 5(5) = 4x = - 5 x = -6 El sistema tiene una solución única, la pareja (-6, 5) por lo tanto el sistema es consistente determinado. ) Sea el sistema I x+ y = Multiplicando la primera ecuación por dos, obtenemos el sistema II, equivalente al sistema I. II Multiplicando la primera ecuación por menos uno y sumándosela a la segunda ecuación, tenemos el sistema III III La primera ecuación del sistema III es cero, por lo tanto, el sistema III no tiene solución y es inconsistente. El sistema III no es equivalente al sistema I y II. DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

23 ) Sea el sistema I -4x + 6y = (l)l 6x-9y = 4 ()J Multiplicando la primera ecuación por 6 y la segunda por 4, obtenemos el sistema II, equivalente al sistema I -4x+6y= () 4x- 6y=6 ()J Sumando la primera ecuación a la segunda del sistema II tenemos -4x + 6y= 4x-6y=6 + = 4 4 x- 6 y = 6 ()J m La primera ecuación del sistema III es falsa, entonces el sistema no tiene solución y es inconsistente. El sistema III no es equivalente al sistema I y II 4) Resolver el sistema I *+ y = (i)l i x + y = 4 ()J Multiplicando la primera ecuación por dos, tenemos el sistema II DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

24 x + y = 4] f x + y = 4 n En el sistema II ambas ecuaciones son iguales, por lo tanto tienen un número infinito de soluciones y el sistema es consistente indeterminado.. Sistema de m ecuaciones con n incógnitas Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas o variables se representa normalmente de la siguiente manera: a ml xi + a m x a mn x n - b m En donde X!, x,... x n son las incógnitas, a n, a, a ln, a, a 9 a n > a mi > a m y a mn son l s coeficientes de las incógnitas; b\, b,... b m son los términos independientes. Las constantes a y b con subíndice, son constantes numéricas reales. La solución del sistema es una n-ada (xj, x,... x n ) de números. Por ejemplo: ) Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas x x +x + x = 9 xj + 4x -x = Xj + 6x - 5x = En este sistema m = ecuaciones con n = incógnitas. Las incógnitas son X!,x, y x, los términos independientes bj= 9, b =, y b =,los coeficientes son: 4 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

25 an =? a =, a =, a i =, a = 4, a =, a = -, a = 6, a = -5. La solución del sistema I es una triada (,, ) de números que al sustituirlos en el mismo, todas las igualdades de éste se cumplen. Método de eliminación gaussiana Un método sencillo con el que se acostumbra resolver sistemas de m ecuasiones con n incógnitas es el de eliminación gaussiana. Se emplean los siguientes pasos para efectuar la reducción. ) La primera ecuación debe tener un coeficiente a n diferente de cero. Intercambiar el orden de las ecuaciones del sistema de tal manera que el coeficiente a n de la primera ecuación sea diferente de cero. Si no existe tal coeficiente en el sistema, se aplica el procedimiento con el coeficiente a de la variable x, y así sucesivamente. ) Si en la primera ecuación a n es diferente de cero, multiplicar por l/a n a la primera ecuación, para que el coeficiente de xi sea igual a uno (an = ). ) En las demás ecuaciones hacer cero a los coeficientes de la variable Xj (a =,..., a ml = ), mediante la multiplicación de la primera ecuación por el número adecuado y sumar a ésta la ecuación en la que es necesario que el coeficiente de Xj sea cero. 4) Encontrar la ecuación en la que el coeficiente de x sea diferente de cero y repetir este procedimiento. 5) Repetir el procedimiento para las variables restantes del sistema. Por ejemplo: ) Resolver el sistema por eliminación gaussiana Método desarrollado por el matemático alemán Cari Friedrich Gauss 5 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

26 x + y +z = 9 (l)~ x + 4y-z = l () x + 6y-5z = () Multiplicando la primera ecuación por - y sumándola a la segunda del sistema I se obtiene: x + y + z = 9 (l)' y- 7z = -7 () x + 6y - 5z = () II -x-y-4z = -8 x + 4y - z = + y-7z = -7 Multiplicando la primera ecuación por- y sumándosela a la ecuación del sistema II se obtiene: x + y +z= 9 (l)" y- 7z= -7 () y-llz=-7 () -x - y- 6z = -7 x +6y- 5z= "O y-llz=-7 Multiplicando la segunda ecuación por / del sistema III se tiene: --(ir x + y +z= y--z = - () W y-llz =-7 () IV 7 7 y z = * Multiplicando la segunda ecuación por - y sumándosela a la ecuación del sistema IV se obtiene: 6 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

27 x + y + z = 9 Multiplicando la tercera ecuación por - del sistema V se tiene: (l) 7 7. N y-jz = - T --() -Ir -i --() w V -y + /z =5/ y - llz=-7 O - l/z - - / x + y + z= 9 (l)' y-7/z=-7/ () z= --() VI 6 z = Entonces z = y sustituyendo el valor de z en la ecuación dos del sistema VI y-7/ () = -7/ Se tiene que: y = Sustituyendo el valor de z y de>> en la ecuación uno del sistema IV x + + () = 9 Se tiene que: x=. ) Resolver el sistema de ecuaciones por el método de Gauss. x-7y+llz + w=5 x-y + z + w = 4 Primero intercambiamos las dos ecuaciones x - y + z + w = 4 (l) x - 7y + lz + w = 5 ()] 7 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

28 Multiplicando la ecuación uno por - y sumándola a la ecuación dos del sistema I obtenemos: x-y+ z + w=4 ~~(l)l -x + 6y- 9z-w = - / J II x-7y + llz + w= 5 - y + z -w = WJ () - y + z - w = Multiplicando la ecuación dos por - del sistema II se tiene: x - y + z + w = 4 y-z + w=- (l)l ;[\ ni ()J Haciendo z = a, w = b, sustituyéndolos en la ecuación dos del sistema III y despejando se obtiene: y - a + b = - y = a-b- Ahora se sustituye el valor de y, z, w en la ecuación uno del sistema III y despejando x se tiene x-(a-b-) + a + b = 4 x = a - b - El conjunto solución general del sistema es (a - b -, a - b -, a, b) en donde: x = a-b- y = a-b- z = a w = b Una solución particular será darles valores a z y w por ejemplo, si z = - y w =, tenemos: (-7, -8, -, ) como solución particular del sistema. 8 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

29 x = = -7 y = (-) - - = -8 z = - w=l Método de matriz aumentada (Gauss - Jordán) Una matriz aumentada es un arreglo que permite resolver un sistema de ecuaciones lineales en forma sencilla. En lugar de escribir todo el sistema en cada paso de la eliminación gaussiana, sólo se escribe el arreglo de números que muestran los coeficientes de las variables del sistema y todos los términos independientes. La matriz aumentada de un sistema de m-ecuaciones con n- incógnitas se representa de la siguiente manera: Por ejemplo: La matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales + 5x -f-x -9x,»= 8 + x = X l "? X + x -x +8x 4.= 5 x 4 = 4 w --() --() --(4) 9 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

30 Es: Para resolver un sistema de ecuaciones empleando la matriz aumentada, se realizan operaciones elementales de renglón, estas operaciones son:. Intercambio de renglones de la matriz aumentada.. Multiplicación de cualquier renglón de la matriz aumentada por un número real diferente de cero.. Sustitución de cualquier renglón de la matriz por el resultado de sumarle el múltiplo de cualquier otro renglón. A la acción de aplicar estos tres pasos en la matriz aumentada se le conoce como reducción de renglones, y esto permite obtener una matriz escalonada reducida por renglones. Definición Una matriz es de la forma escalonada reducida por renglones si se cumplen las condiciones siguientes:. El primer elemento de un renglón (componente guía) que no contiene un elemento cero es igual a uno.. Todos los elementos que están por debajo del componente guía de un renglón son iguales a cero.. El componente guía de cada renglón se encuentra a la derecha del componente guía de cada renglón precedente. 4. Todos los renglones que constan solamente del elemento cero se encuentran en la parte inferior de la matriz, 5. Todas las columnas que incluyen un componente guía de algún renglón tienen ceros en el resto de las posiciones. DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

31 Ejemplos: ) 4 - ) 9 8 ' - 4 Utilizando la notación de matriz aumentada se resuelve el sistema siguiente. x + y + z = 9 ( x + 4y-z = l () x + 6y-5z = () La matriz aumentada que representa el sistema I es: 9" DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

32 Multiplicando el primer renglón por - y sumándolo al renglón, la matriz se reduce a Multiplicando el primer renglón por - y sumándolo al renglón : Multiplicando por un / el renglón dos 9 7 ~ 7 ~ - -7 Multiplicando por - el renglón dos y sumándolo al renglón tres - _ " - II DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

33 Multiplicando por - el renglón 9" 7 " 7 " Utilizando el método de matriz aumentada (Gauss-Jordán) para generar más reducciones en los renglones, se multiplica por - el renglón dos y se suma al renglón uno, el resultado es: Multiplicando por -/ el renglón tres y sumándolo al renglón uno ' 7 7 ~ dos Multiplicando por 7/ el renglón tres y sumándolo al renglón DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

34 " r Casa abierta al tiempo A = La matriz A se redujo a la forma escalonada reducida. Si planteamos el sistema de ecuaciones lineales asociado de A es: x=l y el sistema tiene solución única. Ejemplos: ) Resolver el sistema de ecuaciones lineales x x - x - 4x 4 + x 5 = - (l x + x + 5x 4 - x 5 = 7 (l)\ I x + x + x 4-5x 5 = ( La matriz aumentada que representa el sistema I es: A = " - -4 : - 5 : 7-5: 4 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

35 R+R "I" y 4 7-7_ - -4 ^ R,+R, 7 n y y 4 7 y5 y R,+R, 6 - "7 i 7 n 4 - y y y 7 6 y. 7 : 5 :. y = A' 5 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

36 Sistema de ecuaciones asociado a la matriz A'. X, - 6/7X 4 + /7X 5 = 6/7 X + I/7X4 + B/7X5 = /7 X + H/7X4 + 4/7X5 = 5/7 Haciendo a X 4 = a y X5 = b, se obtiene un conjunto solución: X, - 6/7a + /7b = 6/7 X + l/7a + /7b = /7 X + ll/7a + 4/7b = 5/7 Ahora si a = y b =, se obtiene una solución particular: x, x x x 4 x 5 = 6/7 = -/7 = -/7 = Para resolver un sistema de m ecuaciones con n incógnitas se continua el método de Gauss - Jordán hasta donde la matriz tome la forma escalonada reducida..4 Consistencia e inconsistencia de sistemas de ecuaciones lineales Se puede determinar si un sistema es inconsistente, consistente o si tiene una solución única o infinidad de soluciones. Un sistema de ecuaciones lineales es inconsistente si la forma escalonada reducida por renglones de su matriz aumentada tiene un renglón del tipo [... = ], entonces la ecuación se convierte en = ( = c, con c * ), en este caso el sistema es inconsistente. 6 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

37 Ejemplo: La matriz A es inconsistente, porque la forma escalonada reducida por renglones de la matriz aumentada del sistema de ecuaciones muestra en su último renglón la forma [ ] y la ecuación es =. " ' A = 5. Para determinar si un sistema de ecuaciones es consistente existen dos alternativas: el sistema tiene solución única, o tiene un número infinito de soluciones.. Para saber si un sistema de m-ecuaciones lineales con n-incógnitas tiene solución única se emplea el teorema : Teorema Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, XI, X,... Xn, tiene una solución única, si en la forma escalonada reducida por renglones de su matriz aumentada los coeficientes son.. c," c c n El sistema de ecuaciones tiene la solución X! = C? X = C,... X n = C n y existe una solución única. Por ejemplo: los sistemas asociados a la matriz A y B son consistentes? 7 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

38 " " A = 5 Teniendo reducida la matriz aumentada demostramos que los sistemas tienen una solución única, entonces las ecuaciones del sistema I asociado a la matriz A y el sistema II asociado a la matriz B se convierten en: X, = = X = = Entonces los sistemas I y II son consistentes determinados.. En un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, X? X,... X n, no hay solución única o tiene un número infinito de soluciones, empleamos el teorema. Teorema En un sistema de ecuaciones lineales que tiene más incógnitas (n) que ecuaciones (m), el sistema no tiene solución alguna o hay un número infinito de soluciones. Ejemplo: - r A = 4 8 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

39 después de haber reducido la matriz aumentada, se observa que el número de variables es menor al número de ecuaciones del sistema. Entonces existe una incógnita que no aparece en la diagonal principal con el valor de, dando como resultado un número infinito de soluciones o si existe alguna solución. A este sistema se le conoce como inconsistente indeterminado. Ejemplo: 4 El sistema asociado alamatrizb es consistente indeterminado..5 Sistemas homogéneos de ecuaciones Un sistema homogéneo de ecuaciones lineales, con m ecuaciones con n incógnitas, tiene por lo menos una solución que se conoce como solución trivial. A continuación se define el sistema homogéneo. Definición: Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, es homogéneo si todos los términos independientes (C n ) son iguales a cero. Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo en general tiene la forma: 9 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

40 a n X x + a n X a X X x + a X a ln X n = O a n X n = O = El sistema de ecuaciones lineales homogéneo tiene una solución trivial: X! =, X =,..., X n =. Por ejemplo: Los sistemas I y II son homogéneos. ) X, X - 6X = 4X, + 8X - 5X = O 4X, + X - X = O X, - X i- Hx -4X 4 + X 5 = OX, f - X l- - 5X+ X 4 + x 5 = X.4- X -X + X 4 ^ = - x 5 El método de Gauss-Jordán se emplea también para resolver un sistema homogéneo de ecuaciones, por ejemplo: ) x, + 4X X = X. + X +- X = /X, - Vi X + I/X = J 4 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

41 4 : 4 4 -; -Rt+R O i : : _J. j ! O O --R 9 o i r : o 8 O -- 8 o o -!» 8 o o i;o " 4 ' : : -R +R JO O : El sistema tiene una solución única: Xj =, X =, X =, el punto (,, ), o sea que tiene una solución trivial y el sistema es consistente determinado. ) Un sistema II homogéneo de ecuaciones que tiene más incógnitas que ecuaciones, el cual tiene un número infinito de soluciones. X, X + 7X X 4 =],+ /X + 4X + '/ X 4 = Oj II I / 4 / 5/ - / 4 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

42 : ; i -R, -> O - 5 " : ~7 5 : R,+R, -6/5 /5 9/5 -/5 9 y 6 ~? ~? 7 : : Entonces se tiene el sistema: X! + 9/5X - /5X 4 = X - /5X + /5X 4 = Haciendo X = a y X4 = b X! = -9a/5 + b/5 X = a/5 - b/5 El sistema II tiene un número infinito de soluciones. Ahora, si a=l y b= X, = -9/5 + 6/5 = -/5 X = /5-9/5= /5 Entonces se tiene una solución particular no trivial X, = -/5, X =/5, X =l y X 4 = 4 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

43 Capítulo Vectores Objetivos: Al terminar este capítulo, el lector: S Comprenderá el concepto de vector. S Identificará diferentes tipos de vectores. S Conocerá sus propiedades.. Introducción En el álgebra matricial no es posible representar una magnitud con un único número, si pensamos en la noción de fuerza en física, la cual caracterizamos por la intensidad y la dirección, para poderla representar geométricamente necesitamos por lo menos dos números. Ahora si analizamos los puntos que forman una línea recta, estos son representados con números reales en un plano o espacio euclidiano como un par o una n-ada ordenada. Al plano lo denotamos en 5R y al espacio euclidiano en 9í n.. Conceptos básicos Vectores A los pares o n-adas ordenadas de números reales se les llama vectores, aquí los denotaremos con letras minúsculas en negritas 4 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

44 como: u, v, w,..., etc. Cada elemento de la n-ada se le da el nombre de componente del punto o vector. Ejemplo: ) u = [l 5] ) v = [l 7 ] ) componentes w = Representación geométrica Un vector se representa geométricamente en un plano, un vector en el espcio bidimensional es un par ordenado (a, b), el plano lo denotamos con 5R. En el caso de un vector en un espacio tridimensional es una terna o triada ordenada de números reales (a, b, c), el plano lo denotamos con 9í. Cuando se tiene un vector (a, b, c,...etc) en un espacio de n-dimensiones se opera en 9i n. Si se considera un espacio bidimensional 9l, se pueden representar a los vectores como puntos en un plano, ver figura.. Ejemplo: Sean los vectores (, ), (-4, ) y (-, -) Figura. Y (-4,) - i I I i (,) (-,-) 44 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

45 El vector (a, b) en SR, se representa a través de un segmento dirigido o flecha a partir de un origen a un punto P, sus propiedades más importantes son su magnitud y su dirección. Los vectores (a, b) en 9í tienen una gran cantidad de aplicaciones, por ejemplo en física la noción de fuerza se caracteriza por la intensidad y dirección; en donde el tamaño o magnitud es la intensidad y la pendiente la dirección del vector, ver figura.. Figura. P(a,b) P(,) X Magnitud de un vector La magnitud del vector es la longitud del segmento de recta que lo representa geométricamente. Definición Sea un vector u en 9P. La magnitud de u se denota por I u y se define como: u = -^u* + \x\ u r : Para el plano 9í es: En el plano SR se tiene: u = 45 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

46 Y para el plano 9í n es: u =. u Ejemplo: La magnitud del vector u en 9? 4 es: u = [ - 5 4] = A/9 + 5 u = V54 Igualdad de vectores Dos vectore u y v son iguales, si todos sus componentes son iguales y se encuentran en el mismo orden. Ejemplos: ) u = [l 5 7] es igual a v = [l 5 7j, entonces u = v ) Suponga que una empresa produce vasos, platos, jarras de vidrio y su venta en un día la registra en un orden. Si esta se expresa mediante un vector columna sería: DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

47 Esto indica que se vendieron $75 de vasos, $ de platos y $5 enjarras. Al plantear en otro orden los componentes del vector indican ventas diferentes de cada producto por ejemplo: 75 5 Significa que se vendieron $ de vasos, $75 de platos y $5 enjarras. ) En el plano 9í, u = (,) es diferente a v = (, ), entonces u ^ v, es decir u { = Vj y u * v. Si lo representamos gráficamente, los vectores u y v no son iguales aunque tengan un componente en común (el ) como se muestra en la figura. Figura. Propiedades de la igualdad a) u = v b) Si u = v.\ v = u c) Si u = v y v = w, entonces u = w 47 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

48 . Tipos de vectores Vector Renglón El vector renglón de n-dimensiones es el conjunto ordenado de componentes (números) dispuestos en una fila y escritos como: (a l5 a,... a n )o[a l5 a,...a n ] Vector Columna El vector columna de n-dimensiones es el conjunto ordenado de componentes dispuestos en una columna y escritos como: Primer componente del vector Segundo componente del vector n-ésimo componente del vector En donde cada componente del vector es un número real, es decir a e 9. Cuando cada componente de un vector es un número complejo se representa de la siguiente forma: Donde Ci es un número complejo Vector Nulo (o vector cero) Es un vector (fila o columna) en el que todos sus componentes son cero y se expresa por, por ejemplo: 48 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

49 ) = [] ) =[,,] ) = 4) = L O n Vector Unidad Es un vector (fila o columna) cuyo i-ésimo componente es la unidad y los demás componentes son iguales a cero. A este vector se le simboliza como e en donde i corresponde a la posición del componente unidad, (i =,,..., n). Entonces existen n vectores unitarios de n componentes: e = [,,,..., ] Primer vector unidad e = [,,,.., ] Segundo " e = [,,,.., ] Tercer e n = [,,,.., n ] n-ésimo vector unidad Vector unitario es el que todos sus componentes son la unidad y se simboliza como. 49 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

50 Ejemplo: ) = [,,,...,!] ).4 Operaciones básicas Suma de vectores Definición: Sean los vectores u y v es: en el plano 9t. La suma de vectores Si: Entonces u = (a,b)y v = (c,d) u + v - (a, b) + (c, d) - (a + c, b + d) Para el plano 9í la suma de vectores es: En el plano 9? n la suma de vectores se representa como sigue: Sean: 5 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

51 u = V = La suma de u y v se define como: a, +b. u + v = a +b Para que pueda efectuarse la suma uyv deben tener el mismo número de componentes y ser todos vectores renglones o vectores columnas. Ejemplos: Sumar los vectores uyv: ) u = (l,) = (5,4) "6" 7 8 v = "9" "6 + 9" 5 U + V = = DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

52 ) u = "5" 7 = (,,,8) No está definida la suma ya que u es vector columna y v es vector fila 4) o = (5, 8) v = (6,7,8) No está definida la suma por ser vectores de diferente orden. Representación geométrica La representación geométrica de la suma de vectores se obtiene formando un paralelogramo determinado por los vectores u y v (ver figura.4). En donde la flecha dirigida que corresponde a la diagonal del paralelogramo representa la suma de los vectores u y v, y sus lados son los vectores u y v. Figura.4 u + v Producto de escalar y vector Dado un escalar X y un vector a en un plano 5R, se define el producto como el vector Xa, y sus componentes vienen dados de mul- 5 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

53 tiplicar el escalar X por cada componente del vector a. Un escalar es un número real o complejo. Xa = (k&i, Xa ) Para el plano 9í es: Xa (Xa? Xa, Xa ) En el plano 9í n tenemos Xa = (Xa b Xa,... Xa n ) Ejemplos: ) SeaX = y a = (5,-) Xa = (5,-) = (5,-) ) Si X = - y b = (6,4,-l) Xb =- (6, 4,-) = (-,-8, ) ) Sea X=5 c = "7" Xc = ) Sea X un escalar. 5 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

54 Aa, El producto de ax es: Representación geométrica Si consideramos X un escalar y v un vector en el plano 5R la interpretación geométrica de X\ 9 es una flecha de longitud X multiplicando a la longitud de v, y la dirección de éste es la misma que la del vector v, siempre que X >, cuando X < la dirección es opuesta a la del vector v, y si X = entonces Ov =. Ejemplos: ) Sea = y v = (l, ) lv = (l,l) = (,) Figura.5 ) 54 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

55 Figura.6 Producto de vector fila y vector columna Si un vector fila u lxn multiplica a un vector columna v nxl, da como redultado un escalar (w) al que se le llama producto interno de dos vectores (ui xn v nxl ). Si u = [u?..., u n ] es el vector renglón n-dimensional y v = es el vector columna n-dimensional, entonces el producto uv esta dado por: uv = [u p u,..., u n ] 55 DERECHOS RESERVADOS 4, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com