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1 Estudio de dos ecuaciones parabólicas lineales con métodos de energía: Notas para la I Semana Multidisciplinar Javier Gómez Serrano 1,3 y Rafael Granero Belinchón,3 Resumen En este texto estudiaremos las ecuaciones tu = xu y tu = Λ α u (donde Λ = ( ) 1/ ) con métodos de energía. Daremos un apéndice con los resultados más útiles en este tipo de cálculos. Palabras clave: Método de la energía, ecuación del calor, ecuaciones no-locales, interfase. Índice 1. Introducción 1. Motivación y modelización.1. La ecuación del calor La ecuación t u = Λu La ecuación de Burgers La ecuación Korteweg-de Vries (o KdV) La ecuación del calor t u = x u La ecuación t u = Λ α u. 1 A. El operador Λ y otros Operadores Integrales Singulares 13 A.1. El operador Λ A.. Integrales singulares B. Los espacios L p () y W k,p () 16 B.1. Desigualdades imprescindibles C. Métodos numéricos Introducción En este texto estudiaremos dos ejemplos de ecuaciones parabólicas lineales con el método de la energía. Daremos un apéndice con los resultados más útiles cuando se quiere aplicar este método Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM) C/Nicolás Cabrera, 13-15, Campus de Cantoblanco, Madrid 1

2 El método de la energía parte del hecho físico de que hay una cantidad, la energía, que en los sistemas disipativos decae y en los conservativos se conserva. En cualquier caso, si no hay fuerzas externas, no puede aumentar. La idea es conseguir cotas para las distintas energías relevantes en la ecuación, por ejemplo la norma L de la velocidad del fluido, de manera que podamos afirmar que, al menos hasta un tiempo T, no se produce una explosión de esta cantidad. El estudiante que quiera aplicar estos métodos debe conocer los rudimentos de la teoría de la medida (espacios L p, teoremas de convergencia), y del análisis funcional (espacios de Sobolev, inmersión de Sobolev, desigualdad de Poincaré). Recomamos como lecturas básicas los libros [Ev-08], [B], [GT] o [LSU]. Para que el texto sea lo más autocontenido posible adjuntamos un apéndice con las definiciones y resultados utilizados. Por su versatilidad a la hora de tratar con las ecuaciones no-lineales esta técnica es de las más usadas a la hora de obtener que un determinado problema está bien puesto en cierto espacio de funciones.. Motivación y modelización En esta sección obtremos las ecuaciones que nos interesan partio de premisas físicas lo más básicas posibles..1. La ecuación del calor Consideremos una sustancia en un cierto dominio espacial R d con frontera regular y sea n su normal hacia afuera. En este dominio una sustancia se difunde. Podemos pensar en que la incógnita u es una concentración de alguna sustancia, o de calor (por lo que u sería la temperatura). Si ni se crea ni se destruye sustancia (o energía en el caso del calor) el cambio en la concentración a lo largo del tiempo tiene que venir de la cantidad que salga o entre en el dominio. Sea Q el campo vectorial que nos indica cómo se mueve la sustancia y supongamos cierta la Ley de Fourier (que afirma que el flujo es proporcional al gradiente): tenemos la ecuación t udx = Q n = D u n = D udx. En la ecuación anterior hemos usado la Ley de Fourier Q = D u. Observamos que aparece un signo menos en la tasa de cambio Q n debido a que si Q y n están alineados (es decir, la sustancia sale) la integral es positiva y queremos que sea negativa para el caso en el que la sustancia sale. Ahora razonamos que como debe ser válido para cualquier los integrandos deben ser iguales en todo punto (aquí hay una hipótesis de continuidad de las derivadas de u) y concluímos la ecuación t u = D u. Observamos que la constante D es físicamente relevante y no es adimensional (tiene unidades [D] = L τ, donde L es la dimensión espacial y τ es la dimensión temporal). Esta ecuación aparece en la física estadística y la termodinámica relacionada con el movimiento de una partícula clásica (si es cuántica aparece la ecuación de Schrödinger). Consideremos ahora una malla en dos dimensiones (una asociada al espacio y otra al tiempo) {(ndx, mdt), m, n Z} con incrementos dx y dt. Consideremos una partícula que está en tiempo 0 en la posición x = 0. Esta partícula tiene una probabilidad 1/ de moverse hacia la derecha o hacia la izquierda, a la vez que automáticamente subirá en la malla al ser el eje vertical el eje temporal. Tal y como hemos dicho anteriormente nuestro modelo quiere reflejar la situación de una partícula que se mueve al azar por estar sometida a choques aleatorios. Sea p(n, m) la probabilidad de que esta partícula esté en la posición ndx en tiempo mdt. Usando probabilidades condicionadas, se tiene que y por lo tanto, p(n, m + 1) = 1 (p(n 1, m) + p(n + 1, m)) p(n, m + 1) p(n, m) = 1 (p(n 1, m) p(n, m) + p(n + 1, m))

3 Figura 1: La evolución de u Figura : a) La evolución de u. b) La evolución de máx x u(x, t) Figura 3: a) La evolución de u. b) La evolución de máx x u(x, t). 3

4 Si ahora suponemos que podemos escribir (dx) dt = D > 0 (1) p(n, m + 1) p(n, m) dt = D (p(n 1, m) p(n, m) + p(n + 1, m)) dx La condición en el cociente que hemos establecido en (1) es necesaria para obtener una ecuación parabólica, si considerasemos otra distinta el límite resultante no tría sentido. Formalmente, asumio que los límites que tomamos a continuación existen, hacio dx, dt 0 pero guardando (1) y escribio ndx = x, mdt = t, resulta que nuestra probabilidad discreta converge a una densidad, p(n, m) f(x, t) y obtenemos que la densidad verifica la ecuación del calor con parámetro D/ t f(x, t) = D f(x, t), f(x, 0) = δ 0(x) () La hipótesis (1) es clave y nos garantiza que la ecuación que obtenemos es la de difusión, como por otra parte debe ser dado el modelo que hemos considerado. Nuestra constante D será igual a la unidad en el movimiento browniano estándar. Estos cálculos son puramente formales, pues entre otras cosas, el paso al límite anterior no es riguroso. Sin embargo se puede formalizar de manera rigurosa por medio del teorema del límite central, el cual nos confirma que la probabilidad del proceso definido anteriormente viene dada por una distribución normal N(0, Dt). Todos estos cálculos se encuentran, convenientemente justificados, en [Ev]. Einstein en [E] aborda este problema. Nuestros argumentos formales nos empiezan a enseñar que puede haber una conexión entre la probabilidad y las EDP... La ecuación t u = Λu Consideremos ahora una partícula que, a diferencia de la anterior, no se mueva a los lugares adyacentes sino que salte entre ellos. Entemos que saltar quiere decir moverse más de dx unidades en el eje horizontal, por ejemplo poder pasar en un intervalo temporal de n = 0 a n = 18. Una partícula con estas características sigue (exáctamente igual que la de la sección anterior) un proceso de Markov. Sin embargo dicho proceso de Markov será no-local. Así, si hemos visto que el movimiento browniano estándar (que es la difusión límite de la partícula de la sección 1 anterior) genera el operador diferencial, nuestro proceso con saltos nos dará un operador integral difusivo. En otras palabras, lo que se suele llamar un operador pseudo-diferencial. Un ejemplo de tales operadores lo encontramos en las potencias fraccionarias del laplaciano ( ) α/ (ver apéndice). Llegados a este punto nos surge la pregunta de si esto es un mero artificio matemático o verdaderamente tenemos que estudiarlos con un fin práctico. Consideremos una partícula que se mueve a velocidades relativistas. La mecánica clásica no sirve en este régimen de velocidades (o energías). Tenemos que considerar la relatividad especial de Einstein. En esta teoría la matería se puede transformar en energía y viceversa. Así nuestra partícula puede desaparecer y volver a aparecer (quizá no la misma partícula) tras un tiempo. Así si consideramos la posición en el espacio-tiempo de dicha partícula tenemos un salto como los comentados anteriormente. Queremos remarcar que el hamiltoniano relativista es el operador no-local + c 1 (c, m), con c la velocidad de la luz y m la masa (el concepto de masa también es delicado en este régimen) de la partícula. Veamos otro ejemplo donde nos aparece de manera sencilla un operador no-local. Consideremos una disolución tal que las partículas presentes sean las del fluido (muy pequeñas), partículas de tipo 1 (pequeñas) y partículas de tipo (tamaño grande con respecto a los otros dos tipos). Así tenemos que las partículas inmersas en el fluido están sometidas a choques constantes y aleatorios i.e. la fuerza tiene una componente browniana. Ahora supongamos que una de las partículas de tipo choca con una partículas de tipo 1; por el abrumadoramente mayor tamaño y masa de la partícula de tipo el choque desplazará a la partícula más pequeña de manera notable. Así, si medimos las posiciones cada dt tiempo el dibujo completo puede estar bien aproximado por un proceso con 4

5 saltos, pues aunque los movimientos son continuos a suficiente número de partículas los choques son muy numerosos y perdemos la posibilidad de seguir a cada partícula individualmente..3. La ecuación de Burgers Las ecuaciones principales de los fluidos son las ecuaciones de Navier-Stokes y de Euler. Para un fluido incompresible con temperatura constante y densidad 1 las ecuaciones de Navier-Stokes se pueden escribir Mientras que las de Euler son t u + (u )u = p + 1 Re u, u = 0. t u + (u )u = p, u = 0. Observamos que son d + 1 ecuaciones pues u = (u 1,...u d ), d =, 3. Si queremos modelizar un escalar que es transportado (si hay difusión se añade un término laplaciano o similar en el miembro de la derecha) por el fluido la ecuación es t θ + u θ = 0, (3) También hemos de tener, para cerrar la evolución que u = u(θ). Típicamente recuperaremos u por medio de una integral singular con un núcleo que preserve el carácter incompresible del campo de velocidades, u = P.V. θ(y)k(x, y)dy. R d Un θ que cumple lo anterior se llama escalar activo. Sin embargo, en el caso unidimensional (donde no hay choques que preserven cantidad de movimiento ni hay por lo tanto condición de incompresibilidad) podemos suponer que la velocidad se conserva. Dicho de otra manera, el fluido transporta su propia velocidad. Entonces la ecuación (3) es la ecuación de Burgers t u + u x u = 0 (4) o, si le añadimos un operador de difusión que sea una potencia fraccionaria del laplaciano, t u + u x u = νλ α u. (5) Así (4) y (5) modelizan un fluido unidimensional sin y con difusión respectivamente. Veamos otro caso donde aparece la ecuación de Burgers. Consideremos el caso de una ola. Una ola se puede ver como la interfase entre dos fluidos dos dimensionales, el agua del mar y el aire. Sea ζ(x, t) la interfase, que suponemos que es un grafo, entonces verifica la ecuación t ζ = n v y=ζ = x ζv 1 + v. Supongamos que la velocidad en la dirección y de la ola sea cero (i.e. la ola ni aumenta ni disminuye su máximo o su mínimo). Hagamos además la hipótesis de que la velocidad en la dirección x es proporcional a la altura de la interfase. Entonces la ecuación final es, si cambiamos las variables adecuadamente, (4). Comentario 1 El restringir la velocidad a la interfase es algo muy delicado. Estas cuentas son sólo formales. Si por el contrario suponemos que la velocidad en la dirección y no es cero, sino que consideramos que la partículas del agua tienen rozamiento, entonces hemos de añadir un término difusivo que típicamente será una potencia fraccionaria del laplaciano. Si hacemos esto obtenemos la ecuación (5). 5

6 λ a h Figura 4: Una ola y sus parámetros característicos.4. La ecuación Korteweg-de Vries (o KdV) Queremos estudiar una ola. Para ello consideramos que el agua bajo la superfie tiene un flujo irrotacional, i.e. u = φ para cierta función escalar φ. Si suponemos válidas las ecuaciones de Euler para el agua bajo la superficie tenemos que φ sigue la ley t φ + 1 φ + p + gy = 0. Como antes, si y = ζ(x, t) es la superficie del agua (que suponemos un grafo) entonces la ecuación de la interfase es t ζ = x ζv 1 + v, donde las velocidades se recuperan de los valores en la frontera (la traza) de φ. Además, por la incompresibilidad se tiene φ = 0. La coordenada y se distingue de la x en que actúa la gravedad, por lo tanto parece natural hacer un desarrollo de φ en potencias de y, φ = n=0 yn φ n (x, t). Si consideramos olas pequeñas en amplitud con respecto a la longitud de onda, entonces tenemos que despreciar los términos de orden grande en y en nuestra expresión para φ. Si además suponemos que x φ 0 ζ podemos concluir la ecuación t ζ + x ζζ = x 3 ζ. (6) Comentario La hipótesis x φ 0 ζ se consigue hacio las ecuaciones adimensionales y observando semejanzas entre las ecuaciones resultantes a nivel lineal. De aquí puede obtenerse (en un régimen distinto del que nos da KdV (6)) la ecuación de ondas lineal. Observamos que la hipótesis para obtener la ecuación de Korteveg-de Vries es menos restrictiva que para obtener la ecuación de Burgers, pues exclusivamente suponemos que x φ 0 (x, t) = ζ(x, t) no que x φ(x, f(x, t), t) = v 1 (x, f(x, t), t) = ζ(x, t). Consideramos por lo tanto discrepancias en los ordenes mayores. También se estudian otras generalizaciones de KdV como la ecuación Korteveg-de Vries no-local (nlkdv) t ζ + x ζζ = x Λζ, (7) o la ecuación de Burgers-Korteveg-de Vries t ζ + x ζζ = 3 xζ + xζ. (8) Queremos hacer notar que KdV es un sistema hamiltoniano ( sabrías escribir el hamiltoniano?). También se puede escribir ( demuéstralo!) como una ecuación de Euler-Lagrange para el lagrangiano L = 1 xφ t φ + ( x φ) 3 1 ( x φ), A = 3. La ecuación del calor t u = x u. t t 0 Ldxdt. Consideremos la siguiente ecuación, a la que hay que añadir condiciones de borde, t u = x u, u(0, x) = f(x), en, (9) 6

7 con un abierto de R y f(x) L 1 () C b () (y por la desigualdad de Hölder entonces f L p () para todo 1 p ). Comentario 3 Observamos que según sea de regular u el concepto de solución cambia. Si u(t, x) C 1, ((0, ) ) la solución es solución clásica, sin embargo en el caso de u C 1 ([0, ), H 1 ()) se dice que u es solución débil si se cumple t uv = x u x v, v H 1 () Recomamos al lector el libro [B]. La descripción del espacio H 1 se encuentra en el apéndice. También hacemos notar que t u (H 1 ), con (H 1 ) el espacio dual de H 1. Las cantidades relevantes para esta ecuación son Masa(t) = u, u Hs(t) con 0 s (el espacio H 0 () es L ()), M(t) = máx x u(t, x) y m(t) = mín x u(t, x). Observamos que si f > 0 las cotas de Masa(t) y de u L (t) nos dan cotas de la normas L p para los p intermedios por interpolación. Además el conocer M(t) y m(t) nos da la norma L de u. Comenzamos obtenio un resultado de conservación de la masa. Sio esta ecuación el modelo típico de difusión isótropa es de esperar que la cantidad total que se difunde se conserve. Por ejemplo, si u modela la temperatura de un alambre en un determinado punto x en un tiempo t, de principios físicos básicos como es la conservación de la energía obtenemos que el calor (la cantidad total de temperatura) se conserva. En este caso el calor es nuestra Masa(t). Lema 1 (Conservación de la masa). Sea = R u = T 1 = [ π, π] (con condiciones de borde periódicas). Entonces para la ecuación (9) la masa total se conserva, i.e: d dt Masa(t) = d u = 0. dt Demostración. Observamos que d dt Masa(t) = d dt u = tu = xu. Como x es una diferencial exacta, el teorema fundamental del cálculo junto con las condiciones de borde periódicas o de decaimiento suficientemente rápido en el infinito (condición necesaria para que u esté en L p ) nos dan el resultado. En el caso de = R podemos evaluar esta integral como la evaluación de la transformada de Fourier en el cero. Dado que el laplaciano es un operador de multiplicación por k, al evaluar en cero, la integral es nula. Comentario 4 Observamos que la masa de las sucesivas derivadas de u también se conserva. Hacemos notar que por este resultado podemos restringirnos a datos iniciales de masa cero. Lema (Comportamiento de la norma L de u). Sea = R u = T 1 = [ π, π] (con condiciones de borde periódicas) y T > 0. d dt u L(t) 0. Es más, en el caso periódico se tiene u L (t) f L e ct. (10) sio c > 0 la constante de la desigualdad de Poincaré. En ambos casos se cumple la siguiente cota: sup u L (t) f L (11) t [0,T] Demostración. Multiplicamos la ecuación (9) por u e integramos en. Obtenemos dt u L = x uudx, si ahora integramos por partes, aplicando las condiciones de borde periódicas o de decaimiento en el infinito suficientemente rápido, tenemos dt u L = x uudx = ( x u) dx 0. (1) 7

8 Si ahora aplicamos la desigualdad de Poincaré (ver apéndice), válida en el caso = T, obtenemos dt u L = ( x u) dx c u dx = c u L (t). Por lo tanto, en el caso periódico concluímos que u es siempre una función de L (observamos que inicialmente lo era). En el caso de = R, por la desigualdad anterior (ecuación (1)), u es siempre una función de L, pues se tiene la cota u L (t) f L. Vamos a querer demostrar que existe una única solución que cumple u H s para cierto s por lo menos hasta un tiempo T (posiblemente infinito). Eso es que el problema esté bien puesto en H s. Lema 3 (Comportamiento de la norma L de xu). n Sea n N y T > 0. La norma L de xu n cumple que d dt n xu L 0, (13) por lo tanto sup xu n L (t) n xf L. (14) t [0,T] Se concluye que u es al menos tan regular como el dato inicial y esta propiedad se conserva para todo tiempo 0 t T. Demostración. Comenzamos derivando la ecuación n veces respecto a x, multiplicamos por xu n e integramos en espacio, obtenio dt n xu L = n+ x u xu. n Integramos por partes utilizando que no hay término de borde y logramos dt n xu L = ( n+1 x u) 0 Integrando en tiempo, llegamos a que: n xu L n xf L Comentario 5 Hacemos notar que gracias a la inmersión de Sobolev si s 3 se tiene que u es solución clásica. Ahora consideramos la regularización siguiente: para todo ǫ > 0 definimos la suavización J ǫ u ǫ (x) = u ǫ (x y)j ǫ (y)dy R donde J es una aproximación infinitamente diferenciable de la delta de Dirac cuando ǫ 0. Para más información se pueden consultar [Ev-08] o [Ma]. De que J ǫ C c concluímos que J ǫ u ǫ (x) C. La idea es aproximar el problema considerando una suavización del mismo y demostrar usando el teorema de Picard (ver [Ma]) en espacios de Banach de dimensión cualquiera que para todo ǫ > 0 tenemos una solución clásica suave del problema suavizado. Si conseguimos una cota uniforme en ǫ y vemos que la sucesión de soluciones de los problemas aproximados es de Cauchy entonces podemos pasar al límite consiguio una solución del problema completo. Teorema 1. (Bien propuesto en H n ) Sea f H n con n 3. Entonces existe una única u C 1 ([0, ), H n ()) solución de (9). 8

9 Demostración. Consideramos el problema suavizado t u ǫ (x, t) = J ǫ J ǫ u ǫ (x), u ǫ (0, x) = f(x). (15) Este problema lo podemos resolver usando el teorema de Picard. Necesitamos ver que F ǫ (u) = J ǫ J ǫ u(x) lleva H n en H n y es Lipschitz con respecto a esa norma. Que lleva H n en H n se sigue de que podemos derivar al suavizador (mollifier en inglés) en lugar de a u, y por lo tanto no perdemos derivadas. Además las normas del suavizador no explotan. Falta ver que es Lipschitz: F ǫ (u) F ǫ (v) H n = J ǫ J ǫ u J ǫ J ǫ v H n = J ǫ J ǫ (u v) H n c ǫ u v H n, de nuevo derivando al suavizador. Por lo tanto, usando el teorema de Picard se concluye que existe una única solución clásica del problema suavizado u ǫ C 1 ([0, T ǫ ], H n ). En realidad T ǫ =. Vamos a razonar por contradicción: si no existe solución del problema aproximado para todo tiempo entonces la norma H n explota. Por el lema 3 eso no puede ocurrir y concluímos que T ǫ =. Por el lema y el lema 3 tenemos unas cotas uniformes en ǫ para las normas H n. Si demostramos que la sucesión u ǫ de soluciones aproximadas es de Cauchy en la norma correcta podremos concluir que convergen a u solución del problema completo en un cierto sentido. Sean ǫ y δ dos números positivos. Consideramos la norma L de u ǫ u δ : dt uǫ u δ L = (J ǫ J ǫ u ǫ J δ J δ u δ )(u ǫ u δ )dx = ((J ǫ J ǫ J δ J δ )u ǫ )(u ǫ u δ )dx + ((J δ J δ (u ǫ u δ )(u ǫ u δ )dx ((J ǫ J ǫ J δ J δ )u ǫ )(u ǫ u δ )dx c máx(ǫ, δ) u ǫ H 3 u ǫ u δ L c( f H 3)máx(ǫ, δ) u ǫ u δ L. Concluímos que es Cauchy en C([0, ), L ) y usando interpolación en espacios de Sobolev ([Ma], página 108) y la cota uniforme en H n podemos inferir que existe u = lím ǫ 0 u ǫ C([0, ), H n ). Recordamos que la norma en este espacio se define como Observamos que u C([0,T],H n ()) = sup u H n. t [0,T] u(t, x) = f(x) + t 0 u(s, x)ds, pero entonces u C([0, )) u C 1 ([0, ]) y concluímos (gracias a la inmersión de Sobolev) que u es solución clásica de la ecuación del calor. La unicidad es una consecuencia de que en el caso de existir dos soluciones la diferencia de ambas cumple la ecuación (11) con f 0, y por tanto ambas soluciones son iguales. Lema 4 (Principio del máximo). Consideremos un dato inicial que cumpla fdx = 0 y supongamos que para dicho dato inicial la solución clásica existe. Entonces la función M(t) = máx x u(t, x) decae en el tiempo, mientras que la función m(t) = mín x u(t, x) crece en el tiempo. Demostración. Observamos que la función M(t) es Lipschitz. En efecto, podemos suponer que el máximo no es negativo y el mínimo no es positivo ya que la masa se conserva y el dato inicial es de masa cero. Por tanto: máx x u(t 1, x) = máx x (u(t 1, x) u(t, x) + u(t, x)) máx (u(t 1, x) u(t, x)) + máx u(t, x), x x 9

10 de donde máx x u(t 1, x) máx x u(t, x) máx (u(t 1, x) u(t, x)) = máx x ( tu(s, x)(t 1 t )) x máx máx( tu(s, x)(t 1 t ). (16) s (t,t 1) x Para concluir que la función es Lipschitz observamos que debemos restringirnos a un intervalo temporal [0, T] con T > 0 fijo. Ahora nos aseguramos de que (t 1, t ) [0, T] y obtenemos máx x u(t 1, x) máx u(t, x) máx máx( tu(s, x))(t 1 t ) = C(t 1 t ). x s [0,T] x Usamos ahora el teorema de Rademacher (que nos asegura que una función Lipschitz es diferenciable en casi todo punto) (ver [Ev-08]) en uno de los puntos t de derivabilidad. Así tenemos que la derivada de M(t) = máx x u(t, x) = u(t, x M (t)) viene dada por M u(t + h, x M (t + h)) u(t, x M (t)) (t) = lím h 0 h y por lo tanto lím h 0 = u(t + h, x M (t + h)) u(t + h, x M (t)) + u(t + h, x M (t)) u(t, x M (t)) h = t u(t, x M ) De manera análoga se comprueba que M (t) = t u(t, x M ) = x u(t, x M) < 0. (17) m (t) = t u(t, x m ) = xu(t, x m ) > 0. (18) Hemos demostrado que la norma L () decae conforme avanza el tiempo. Comentario 6 Observamos que para el caso periódico podíamos haber conseguido la existencia y las demás propiedades del método de la separación de variables (series de Fourier). En el caso de = R podíamos haber aplicado separación de variables (que en este caso es aplicar la transformada integral de Fourier) también. La gran ventaja de este método es que es aplicable igualmente a ecuaciones no-lineales. Otro tema importante es la irreversibilidad de la ecuación del calor (y demás ecuaciones de tipo parabólico). La irreversibilidad está relacionada con el propio modelo físico-estadístico. Matemáticamente el efecto regularizante obliga a que hacia atrás el problema esté mal puesto. Consideremos las ecuaciones del calor hacia atrás y t u = xu, u(t, x) = f(x), (19) t u = xu, u(0, x) = f(x). (0) Hagamos el cambio v(t, x) = u(t t, x) en la ecuación (19). Entonces t v = t u y x v = xu. El dato final ahora es inicial, f(x) = u(t, x) = v(0, x), y hemos demostrado anteriormente (teorema 1) que la ecuación resultante para v en el caso de cumplir u la ecuación (19) está bien puesta. Hagamos ahora el cambio de variables v(t t, x) = u(t, x) en la ecuación (0). Entonces t v = t u y xv = xu. El dato inicial pasa a ser final, f(x) = u(0, x) = v(t, x) (entonces para v tenemos la ecuación del calor normal (9) con un dato final). Se tiene el siguiente resultado Lema 5 (Irreversibilidad). Consideremos la ecuación (0). Sea f(x) una función H s () pero no H s+1 (). Entonces el problema (0) está mal puesto en H s (). Demostración. Consideremos s = 1. El caso general se hace igual. Las estimaciones de energía anteriores ahora no nos dan un decaimiento, sino que dan un aumento. En efecto, se tienen dt u L = ( x u) dx 0, 10

11 dt xu L = ( x u) dx 0, dt xu L = ( xu) 3 dx 0, pero 1 xu L (0) = 1 xf L =, por lo tanto 1 xu L (t) = para todo tiempo t (0, T). Ahora bien, esto implica que dt xu L = ( x u) dx =, para todo tiempo. Razonamos igual para la norma L de u y concluimos que el problema está mal puesto en H 1 (). Comentario 7 La mayor parte de estos resultados se apoyan en las condiciones de borde (que nos dejen integrar por partes sin términos de frontera) y en la dimensión d del espacio ambiente. Por lo tanto son fácilmente generalizables a otros dominios en dimensiones mayores. Proposición 1 (Comportamiento con datos Dirichlet). Sea R un intervalo acotado. Y sea el problema (9) con condiciones de borde Dirichlet y dato inicial positivo en todo punto. Entonces se tiene: La masa udx decae. Las cotas de los lemas y 3 siguen sio válidas. El principio del máximo (lema 4) sigue sio válido. Proposición (Comportamiento con datos Neumann). Sea R un intervalo acotado. Y sea el problema (9) con condiciones de borde Dirichlet y dato inicial cumplio fdx = 0. Entonces se tiene La masa udx se conserva. Las cotas de los lemas y 3 siguen sio válidas. El principio del máximo (lema 4) sigue sio válido. Comentario 8 Si f tiene un signo, por ejemplo f 0, el resultado de la proposición cambia bastante. Tenemos entonces una consevación de la norma L 1 en un dominio acotado. Esto fuerza a que las normas L p se estabilicen en un valor distinto de cero. Podemos llegar a esta conclusión utilizando el principio del máximo. Si el máximo baja y el mínimo sube tienen que ter a un valor distinto de cero. Pero ahora usamos la interpolación en los espacios L p y concluimos que todas las normas se estabilizan. Ejercicio 1. Demuestra el comentario. Ejercicio (Importante). Utiliza los lemas 1 y 4 para demostrar que si f > 0 entonces se tiene un decaimiento de todas las normas L p () con p > 1. Observación: la hipótesis del lema 4 de que R f 0 = 0 NO es realmente necesaria. Ejercicio 3. Demuestra que las normas n x u L decaen. Ejercicio 4. Razona las cotas de decaimiento de f L utilizando el espectro (autovalores) del laplaciano en el toro. 11

12 4. La ecuación t u = Λ α u. Consideremos la siguiente ecuación, a la que hay que añadir condiciones de borde, t u = Λ α u, u(0, x) = f(x), en, Λ α = ( ) α/ 0 < α < (1) con = R o = T y f(x) L 1 () C b (). De nuevo por la desigualdad de Hölder f L p () para todo 1 p. Las cantidades relevantes para esta ecuación son las mismas que para (9): Masa(t) = u, u H s(t) con 0 s (el espacio H 0 () es L ()), M(t) = máx x u(t, x) y m(t) = mín x u(t, x). Observamos que si f > 0 las cotas de Masa(t) y de u L (t) nos dan cotas de la normas L p para los p intermedios por interpolación. Además el conocer M(t) y m(t) nos da la norma L de u. Comenzamos obtenio un resultado de conservación de la masa. Sio esta ecuación el modelo típico de difusión isótropa y anómala es de esperar que la cantidad total que se difunde se conserve. Lema 6 (Conservación de la masa). Sea = R u = T 1 = [ π, π] (con condiciones de borde periódicas). Entonces para la ecuación (1) la masa total se conserva, i.e: d dt Masa(t) = d u = 0. dt Demostración. Observamos que d dt Masa(t) = d dt u = tu = Λα u. Usamos ahora las propiedades de la transformada de Fourier, pues se tiene que F(Λ α u)(k) = k α F(u)(k), y además R g(x)dx = F(g)(0). Lema 7 (Comportamiento de la norma L de u). Sea = R u = T 1 = [ π, π] (con condiciones de borde periódicas) y T > 0. d dt u L(t) 0. Por lo tanto u L () para todo 0 t T. Demostración. Multiplicamos la ecuación (1) por u e integramos en. Obtenemos dt u L = Λ α uudx. Estos operadores no tienen una formula de integrar por partes como tal. Sin embargo, por el teorema de Plancherel (o Parseval) podemos concluir que Λ α es autoadjunto. Por lo tanto podemos escribir dt u L = F(Λ α u)(k)f(u)(k)dk = k α (F(u)(k)) dk = (Λ α/ u) dx 0. () De aquí inferimos que u es siempre una función de L si inicialmente lo es, pues se tiene la cota u L (t) f L. Comentario 9 Observamos que el teorema anterior y la linealidad de la ecuación nos permiten concluir la unicidad de solución en L. Como en la sección anterior, vamos a querer demostrar que existe una única solución que cumple u H s para cierto s por lo menos hasta un tiempo T (posiblemente infinito). Eso es que el problema esté bien puesto en H s. 1

13 Lema 8 (Comportamiento de la norma L de Λ s u). Sea s R y T > 0. La norma L de Λ s u cumple que d dt Λs u L 0, (3) por lo tanto sup Λ s u L (t) Λs f L. (4) t [0,T] Se concluye que u es al menos tan regular como el dato inicial y esta propiedad se conserva para todo tiempo 0 t T. Demostración. Comenzamos aplicando Λ s a la ecuación. Después multiplicamos por Λ s u e integramos en x, obtenio dt Λs u L = Λ s uλ s+α u. Integramos por partes utilizando las propiedades de los multiplicadores y de la transformada de Fourier y logramos dt Λs u L = (Λ s+α/ u) 0 Integrando, se obtiene que la norma L al cuadrado de la derivada s-ésima decae. Mediante el método de la energía expuesto en la sección anterior podemos demostrar (de manera análoga) el siguiente teorema: Teorema. (Bien propuesto en H s ) Sea f H s con s R, s α+1. Entonces existe una única u C 1 ([0, ), H s ()) solución de (1). De nuevo, al igual que para la ecuación del calor, podemos garantizar que el máximo de la función decae y que el mínimo crece. Lema 9. (Principio del Máximo) Sea f un dato inicial tal que fdx = 0. Entonces M(t) es decreciente y m(t) es creciente. Demostración. Procedemos de la misma forma que en el lema 4. La demostración de que M(t) es Lipschitz es válida en este caso también. Aplicando el Teorema de Rademacher, calculemos la derivada de M(t): M (t) = Λ α u(y, t) u(x M, t) u(x M, t) = P.V x y d+α dy < 0 puesto que u es máxima en x M. Análogamente, se puede demostrar que el mínimo es creciente ya que u(y, t) u(x m, t) P.V. x y d+α dy > 0. A. El operador Λ y otros Operadores Integrales Singulares A.1. El operador Λ Consideremos el operador Laplaciano = n x i=1 i cuya transformada de Fourier al aplicarlo sobre una función f suficientemente regular y que decae en el infinito viene dada por: F( f)(k) = k F(f)(k) Podemos generalizar esta definición a potencias fraccionarias del Laplaciano, es decir, sustituyo el exponente por α y realizar la antitransformada de Fourier. Esto resulta en la siguiente familia de operadores: F(( ) α/ f)(k) = k α F(f)(k), 0 α Por otro lado, si el exponente α es negativo, tenemos la siguiente familia de operadores: 13

14 Definición 1. Un potencial de Riesz es el operador integral que viene dado por la siguiente convolución: I α f(x) = 1 f(y) P.V. γ α R x y d αdx, 0 < α < d n y la constante γ α viene dada por: γ α = π d α Γ ( ) α Γ ( ) d α Proposición 3. Los potenciales de Riesz satisfacen la siguiente igualdad en sentido distribucional: F(I α f)(k) = k α F(f)(k) Demostración. Usando propiedades de la transformada de Fourier, tenemos que: Por tanto: F( x α ) = πα d Γ ( ) d α Γ ( ) α k α d F(I α f)(k) = 1 γ α F( x (d α) f) = 1 γ α F( x (d α) )F(f)(k) = k α F(f)(k) Notemos que también podemos escribir el resultado de aplicar el laplaciano fraccionario como la siguiente convolución: (Λ α f(x) f(y) f)(x) = β(α, d)p.v. dy R x y d+α d donde β(α, d) es una constante de normalización. A.. Integrales singulares En esta subsección nos basaremos en el libro de Duoandikoetxea [Duo]. En la actualidad, una de las integrales singulares más utilizadas es la transformada de Hilbert que viene dada por la siguiente convolución: H(f)(x) = P.V. 1 πx f(x) = P.V. 1 f(y) π R x y dy Además de presentar numerosas aplicaciones en el campo del tratamiento de la señal (filtros, moduladores, demoduladores, etc), en mecánica de fluidos sirve, entre otras cosas, para presentar modelos unidimensionales de carácterísticas similares a las ecuaciones de Euler (ver [Ma]). Por otro lado, una de sus propiedades en análisis complejo es la siguiente: Proposición 4. Sea f(z) una función analítica en el semiplano superior. Entonces, si u(t) = Rf(t), t R If(t) = H(u)(t) + C, t R. Esto es, podemos recuperar la parte imaginaria de la función sobre la frontera salvo una constante, conocio su parte real. Corolario 1. Bajo las mismas hipótesis que en la proposición anterior, conocio If(t), sabemos recuperar Rf(t) salvo una constante aditiva. Demostración. Basta notar que H(H(f)) = f y aplicar la proposición anterior. Comentario 10 Notemos que 1 πx no es localmente integrable en 0 y por tanto no podemos definir su convolución como tal. Para ello tremos que usar el valor principal sobre S y ver que coincide sobre S para así exterlo primero a L (R d ) y después a L p (R d ). Para un tratamiento más detallado de este aspecto, ver [Duo]. Por último, notemos la siguiente conexión entre la transformada de Hilbert y el Laplaciano- 1 : 14

15 H(f x )(x) = 1 π P.V. R f(x) f(y) (x y) dy = ( ) 1 (f)(x) Intentamos generalizar ahora el concepto de Transformada de Hilbert a R d. Para ello utilizaremos las transformadas de Riesz, definidas de la siguiente manera: lema: F(R j )(f) = i k j k F(f)(k) o bien mediante el valor principal: R j (f)(x) = P.V. R j (x y)f(y)dy R d donde R j viene dado por el siguiente núcleo singular: R j (x) = c d x j x d+1 Tenio en cuenta que la transformada de Fourier de R j verifica que: Esto implica que la constante c d = Lema 10. F(R j )(k) = i k j k. d+1 Γ( ) π d+1. Veámoslo. Para ello, necesitaremos el siguiente F( x a ) = πa d Γ ( ) d a Γ ( ) a k a d 0 < a < d Continuando con la demostración, tenemos que, en sentido distribucional: Por tanto: ( F( P.V. Usando el lema anterior: x j x d+1 x 1 d = (1 d)p.v. x j x j x d+1 ) ) = 1 ( ) 1 d F( x d+1 x j πik j 1 d F( x d+1 ) = πik j 1 d π d 1 Γ ( ) 1 Γ ( ) d 1 ) = πik j 1 d x d+1. 1 k. Por último, usando las relaciones: ( ) 1 Γ = ( ) ( ) d + 1 π, Γ = Γ obtenemos que: F ( xj x d+1 ) = i π d+1 Γ ( d+1 ) k j k c d = Γ ( d+1 ) Por último, veamos una utilidad de las transformadas de Riesz: podemos recuperar los valores de cualquier derivada segunda conocio únicamente el Laplaciano. En términos matriciales esto significa que conocio la diagonal de la Hessiana podemos recuperar la matriz entera. Tenemos la siguiente identidad, cuya demostración aparece en el libro [St]: Proposición 5. f x i x j = R i R j ( )(f), π d+1 1 i, j d. 15

16 Demostración. Demostraremos esta identidad vio que las transformadas de Fourier son iguales. Tenemos que: ( ) ( f F = (ik i )(ik j ) x i x ˆf = i k ) ( i i k ) j ( k ) ˆf) = F (Ri (R j ( f))). j k k También, podemos relacionar la transformada de Riesz con el Laplaciano- 1 manera (ver [Ad]): de la siguiente Proposición 6. Demostración. De nuevo, por Fourier: F( f x i ) = (ik i )F(f) = f x i = R i ( ) 1 (f), ( i k i k 1 i d ) ( ( k ) 1 )F(f) = F(R i (( ) 1 f). Además, tenemos el siguiente corolario: Corolario. x i ( ) 1 (f) = Ri (f), 1 i d B. Los espacios L p () y W k,p () En esta sección se suponen conocidos los resultados básicos de teoría de la medida, por lo que si el lector no está familiarizado recomamos la lectura de [CK]. Sea un dominio en R d. Se definen los espacios L p (), 1 p <, con respecto a la medida de Lebesgue como el conjunto de los representantes de las clases de equivalencia con respecto a la condición ser igual en casi todo punto que cumplen que f p dx <. Podemos pensar en este espacio como el del conjunto de las funciones cuya potencia p es integrable siempre que recordemos que podemos redefinirlas en un conjunto de medida nula sin alterar la función (ambas serán representantes de la misma clase de equivalencia). L () es el conjunto de los representantes de las clases de equivalencia con respecto a la condición ser igual en casi todo punto que cumplen que ess sup x f <. Es decir, que están acotadas salvo en un conjunto de medida nula. Estos espacios son espacios de Banach (completos y normados) con respecto a las normas f p L = f p dx, f p L = sup f. (5) x Además el espacio L () es un espacio de Hilbert con respecto al producto escalar f, g = fḡdx, que en el caso de f, g tomando valores reales es f, g = fgdx. 16

17 Se define el espacio de Sobolev W 1,p como { W 1,p () = u L p () g 1, g,...g d L p () tales que u φ } = g i φ, φ Cc x (), i = 1,...d i (6) donde Cc () es el conjunto de las funciones infinitamente derivables y que además tienen soporte (la clausura del conjunto de los puntos donde la función es distinta de cero) compacto. Observemos que g i = u x i en el sentido de las derivadas débiles. Está claro que si u posee derivadas fuertes estas serán las g i, basta aplicar integración por partes y reparar en que φ = 0 por el soporte compacto. A las φ las llamaremos funciones test. En el caso en el que p = lo denotaremos por H 1 (). W k,p () se define igual pero con hasta k derivadas. Escribiremos H k () = W k, (). Los espacios de Sobolev H s (R) son espacios de Banach (en realidad son de Hilbert) con respecto a la norma También se usa la norma equivalente f H s = R d (1 + k ) s F(f)(k) dk. (7) f H s = R d (1 + k s ) F(f)(k) dk. (8) Podemos observar la conexión con la norma del operador Λ s notando que: Λ s f L = F(Λs f) L = k s F(f)(k) L = R d k s F(f)(k) dk lo que demuestra que podemos acotar la norma en H s, con s N, de la siguiente manera: f H s = R d (1 + k ) s F(f)(k) dk C s Λ i f L Ejercicio 5. Escribe cuidadosamente la definición de W k,p (). Escribe las normas naturales en estos espacios para el caso general (no uses en ningún caso la transformada de Fourier) y la definición de producto escalar para el caso de H s (). Demuestra que efectivamente son normas. Ejercicio 6. Escribe la definición del espacio C k (). Escribe la norma natural para este espacio. B.1. Desigualdades imprescindibles Estos espacios tienen unas propiedades muy importantes y útiles. La principal de ellas es que una cota L de una derivada nos da una cota uniforme de la función sin derivar. O dicho de otra manera: Teorema 3 (Sobolev). El espacio H s+k (R d ) está contenido con inmersión continua en el espacio C k (R d ) siempre que s > d/ y k 0. La continuidad de la inmersión significa que f C k c f H s+k f H s+k. i=0 Teorema 4 (Álgebra de Banach). Sea s > d/. Entonces existe una constante c tal que para todo par de funciones u, v de H s (R d ) se cumple uv H s c u H s v H s. (9) Proposición 7 (Interpolación en espacios L p ). Sea un dominio acotado, y sean p, q, r tales que 1 p q r. Si f(x) L p () L r (), entonces se tiene que f L q (). 17

18 Demostración. Supongamos que r =. Entonces tenemos que: f q q = f(x) q dx = Por otro lado, si r : f q q = f(x) p f(x) q p dx f q p L f(x) p dx = f q p L f p p < f(x) q dx = f(x) r (q p) (r p) f(x) p (r q) (r p) dx Aplicando la desigualdad de Hölder a los exponentes conjugados α = r p q p, α = r p r q, tenemos que: f q q f r α α f p α α = f r α r f p α p < Teorema 5 (Desigualdad de Poincaré, versión 1). Sea un abierto conexo y acotado de R d, con frontera suave. Sea 1 p. Entonces existe una constante C(d, p, ) tal que para toda función u W 1,p se tiene que: u (u) L p C u L p, (u) = 1 u(y)dy Demostración. Razonamos por contradicción. Supongamos que para todo n existe una u n W 1,p () tal que: u n (u n ) L p > n u n L p Renormalizando las u n, obtenemos la sucesión de: u n (u n ) v n = u n (u n ) Lp () Es evidente que ahora (v n ) = 0, v n L p () = 1, y por tanto: v n L p () < 1 n Por el teorema de Rellich-Kondrachov, existe una subsucesión, la cual por aligerar la notación denotaremos como v n tal que v n converge a una función v L p () en L p (). Tenemos que v es de media 0 y de norma 1. Por otro lado, para toda función ϕ Cc (): vϕ xi = lím n v n ϕ xi = lím n v n,xi ϕ = 0 Por tanto, v W 1,p y v = 0 en casi todo punto, lo que implica que v es constante. Al ser de media 0, necesariamente v = 0 y por tanto su norma debería ser igual a 0. Contradicción. Veamos otra versión del la Desigualdad de Poincaré. Teorema 6 (Desigualdad de Poincaré, versión ). Sea R d un conjunto acotado con frontera regular. Entonces para toda función u H 1 0() se verifica la siguiente desigualdad Demostración. Consideremos el problema u L c() u L. u = λu; u = 0. Si multiplicamos por u e integramos por partes (observando que el término de frontera lo cual es válido en H0 1) concluímos λ u = u, 18

19 El espectro del laplaciano es bien conocido. Se sabe que hay un autovalor mínimo λ 1 > 0. Por lo tanto u = 1 u 1 u. λ λ 1 De donde se concluye el resultado. Observamos que además conocemos explícitamente la forma de la constante óptima. Teorema 7 (Desigualdad de Gagliardo-Nirenberg). Sea u L q (R d ). Entonces existe una constante C depiente de d, m, j, q, r, α tal que: para todo p, q, r, j, m, α tales que: 1 p = j ( 1 d + r m n Λ j u L p C Λ m u α L r u 1 α L q ) α + 1 α, q j m α 1, 0 < j < m Ejercicio 7 (Importante). Lee la sección 5.6.e [Ev-08]. En concreto el teorema 1 y la motivación preliminar. C. Métodos numéricos En esta sección veremos cómo aproximar con un método espectral la solución del problema (9) en el toro. La idea es utilizar las series de Fourier. Así tenemos que si f(x) es el dato inicial y F(f)(k) es su coeficiente k ésimo de Fourier, la solución del problema (9) es u(t, x) = k= donde la EDO que verifica cada coeficiente de Fourier es d dt F(u)(k, t) = k F(u)(k, t), F(u)(k, t)e ikx, (30) F(u)(k, 0) = F(f)(k). Así el método básicamente es aproximar las EDOs anteriores para cada k y después invertir la transformada de Fourier, recuperando u. function [x,u,mx]=heatff(f,n,dt,m,k) %%% %Funcion que utiliza un metodo expectral para resolver %la ecuacion del calor con difusion K en el toro. %N es el numero de nodos temporales, %dt es el paso temporal %m es el numero de iteraciones %F es una funcion con el dato inicial %%% %Rafael Granero Belinchon r(dot)granero(at)icmat.es x=-pi:*pi/n:pi*(n-1)/n; uo=feval(f,x); for k=1:n/ L(k)=(k-1)*(k-1); L(k+N/)=(N/-k+1)*(N/-k+1); L/(N*N); u(:,1)=uo ; for l=1:m u(:,l+1)=ifft(exp(-l*k*dt*l).*fft(uo)) ; 19

20 plot(x,u(:,)); axis([-pi,pi,-1,1]); drawnow; mx(l+1)=max(u(:,l+1)); figure; subplot(1,,1); plot(x,u); subplot(1,,); plot(mx(:)) function [f,x,t,time,mx]=lambda(f0,n,m,t,nu,alpha) %%% %Funcion que me aproxima la solucion de la ecuacion %pat f=-nu*(lambda)^alpha f en el intervalo de tiempo %[0,T] con dato inicial f0. N es el numero de nodos espaciales y %M el de temporales. %%% %Rafael Granero Belinchon r(dot)granero(at)icmat.es tic dt=t/m; dx=*pi/n; x=-pi:dx:pi; t=0:dt:t; U=zeros(N+1,M+1);%la matriz solucion de la edo para las transformadas de f f=zeros(n+1,m+1); L=zeros(N+1,1); mx=max(f0)*ones(1,m+1); for k=1:(n+1)/+1 L(k)=(abs((k-1)))^alpha; for k=(n+1)/+:n+1 L(k)=abs(N+-k)^alpha; %L=L/((N+1)^alpha);%el operador Lambda^alpha U(:,1)=fft(f0 ); f(:,1)=f0 ; for l=1:m-1 %RK4 K1=-nu*L.*U(:,l); K=-nu*L.*(U(:,l)+dt*K1/); K3=-nu*L.*(U(:,l)+dt*K/); K4=-nu*L.*(U(:,l)+dt*K3); U(:,l+1)=U(:,l)+dt*(K1/6+K/3+K3/3+K4/6); %for l=1:m % U(:,l+1)=U(:,l)+dt*(-nu*L.*U(:,l));%Euler forward % for j=1:m+1 f(:,j)=real(ifft(u(:,j)));%las f mx(j)=max(f(:,j)); plot(x,f(:,j)); axis([-pi,pi,-1,1]);%cambiar segun el dato inicial drawnow; %for l=1:m % f(:,l+1)=ifft(exp(-nu*l*dt*l).*fft(f0 ));%Solucion exacta % plot(x,f(:,l+1)); % axis([-pi,pi,-1,1]); % drawnow; 0

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