1 Técnicas elementales para el cálculo de límites

Transcripción

1 Técnicas elementales para el cálculo de límites. Límites de una función en un punto Todas las funciones elementales son continuas en todos los puntos en los que están definidas. Por lo tanto; para calcular el límite de una función elemental en un punto de su dominio, bastará con sustituir la por el punto. f() =f( )=f( ) El problema aparece al calcular el límite de una función elemental en un punto en el que no está definida. Las situaciones que se pueden presentar son las siguientes: a) f() =a (un número real) Definición f() = a ε > δ > /si < o < δ f() l < ε ε > δ > /si ( o δ, o + δ) { o } f() (l ε,l+ ε) Ejemplo ( +)=5 b) f() =+ Definición f() =+ k>( tan grande como queramos) δ > /si < o < δ f() >k k>( tan grande como queramos) δ > /si ( o δ, o + δ) { o } f() (k, + ) Ejemplo 7 ( ) convergentes) de la gráfica de la función f() = c) f() = Definición =+ (La recta =es una asíntota vertical (ramas 7 ( ) ) f() = k >( tan grande como queramos) δ > /si < o < δ f() < k k> ( tan grande como queramos) δ > /si ( o δ, o + δ) { o } f() (, k) Ejemplo 7 ( ) convergentes) de la gráfica de la función f() = d) No eista f() Ejemplo: ) no eiste = (La recta =es una asíntota vertical (ramas 7 ( ) ) sin( Como las funciones se pueden operar entre sí utilizando las operaciones elementales de suma, resta, multiplicación y división; pueden darse situaciones en las que el límite se puede calcular directamente; para lo cual tendrás que recordar:

2 f() =a g() =b f() =a g() =+ f() =a g() = ) = ) = (f() ± g()) = a ± b (f() g()) = a b ³ f() g() o ) = f() =a (a 6= ) g() = ) = a siempre que b 6= b (f() ± g()) = + (f() g()) = ³ f() g() = a o + = ³ g() f() = + = o a ½ + si a> si a< ½ + si a> si a< (f() ± g()) = ½ si a> (f() g()) = ³ + si a< f() g() = a o = ³ g() f() = ½ si a> = o a + si a< ³ entonces f() g() = a o.diremos que la función presenta para = o una discontinuidad de salto infinito. La recta = o es una asíntota vertical de la gráfica de la función. Siempre tendremos que estudiar los límites laterales; pudiéndose presentar las siguientes situaciones: f() = g() = ) f() = + g() =+ f() = g() =+ f() = g() = entonces ) ) ) entonces entonces entonces ½ a + si a> + = ½ si a> a si a> = + si a> f() g() = es una indeterminación f() g() =+ f() g() = f() g() =+

3 f() = + g() = ) entonces entonces f()g() = (+ ) es una inde- f() =+ ( o ) g() = terminación f() =+ ( o ) ) ) f() g() = ³ f() g() entonces = +.Diremos que la g() = función presenta para = o una discontinuidad de salto infinito. La recta = o es una asíntota vertical de la gráfica de la función. Siempre tendremos que estudiar los límites laterales; pudiendose presentar las siguientes situaciones: + + =+ + = f() =+ g() =+ f() = g() =+ ) = ) = (f()+g()) = + (f() g())=+ (+ ) es indeterminación (f() g()) = + ³ f() g() o = + + es indeterminación (f() g()) = (f()+g())= + ) es indeterminación (f() g()) = ³ f() g() o = + es indeterminación Las únicas situaciones en las que no podemos afirmar el valor del límite, son las indeterminaciones siguientes:,,, El objetivo de estos apuntes es saber como einar esas indeterminaciones y calcular el correspondiente límite Theorem (Funciones que coinciden en todos sus puntos menos en uno) Sea un número real y sean f y g dos funciones que coinciden en todos los puntos de un entorno de, salvo quizás en. Entonces, si eiste el ite de una de ellas en, también eiste el límite ) de la otra y además son iguales f() =g() para todo Eδ ( ) f() (o g()) = f() = g()

4 Demostración Supongamos que eiste el f() =l. Entonces, por la definición, se tiene que para cada ε > eiste un δ > (depende de ε) tal que: f() Eε(l) siempre que Eδ ( ) m f() l < ε siempre que < < δ Ahora bien, como f() =g() para todo Eδ ( )=] δ, + δ[ { }entonces resulta que: g() Eε(l) siempre que Eδ ( ) m g() l < ε siempre que < < δ Por lo tanto; g() =l a) Técnicas de cancelación Se aplica en las funciones racionales cuando nos encontramos con una indeterminación del tipo Sea f() = P () P () y supongamos que Q() Q() = P ( ) Q( ) = ¾ P ( Al ser )= P () =( ) P () = Por el teorema anterior, podemos cancelar el factor ( ) en el numerador y denominador y Q( )= Q() =( ) Q () aplicar la sustitución directa. Pudiendose presentar las siguientes posibilidades Si Q ( ) 6= P () f() = Q() = ( ) P () ( ) Q () = P () Q () = P ( ) Q ( ) Fíjate, que para = la función f presenta una discontinuidad evitable; ya que no eiste f( ) ysinembargosique f(). La gráfica de la función y = f() coincide con la de la función y = P () si a ésta le quitamos el punto Q () P (, P ( ) Q ( ) ). Si P ( ) 6= y Q ( )= P () f() = Q() = ( ) P () ( ) Q () = P () Q () = P ( ) Procederemos a estudiar los límites laterales; ya que la recta = es una asíntota vertical y siempre nos interesa conocer el comportamiento de la función en un entorno reducido de centro y radio tan pequeño como deseemos. 4

5 En esta situación, diremos que la función f presenta en una discontinuidad de salto infinito Si P ( )=y Q ( )= Volveremos a factorizar y cancelar, pudiéndose dar cualquiera de las dos situaciones anteriores Ejemplo Calcula y Sea f() = como + +=( +)( +) entonces su dominio de definición (y de continuidad) es: D(f) =< ½ ¾, + + ) + + = = ( +)( +) ( +)( +) = ( +) ( +) = La función presenta para = una discontinuidad evitable. La gráfica de ( +) la función y = f() coincide con la de la función y = si le quitamos a ( +) ésta el punto de coordenadas P (, ). + + ) + + = = Sabemos que la función presenta para = una discontinuidad de salto infinito. Además la recta = es una asíntota vertical. Nos interesa estudiar el comportamiento de la función en un entorno reducido de. Para lo cual, tendremos que estudiar sus límites laterales. + + ³ = ³ ( +)( +) + ( +)( +) = 4 + =+ + + ³ + + = Mira ahora su gráfica ³ ( +)( +) ( +)( +) = 4 = 5

6 Ejemplo Calcula 9, 9, 9 Sea f() = 9 como 9=( ) ( +) entonces su dominio de definición (y de continuidad) es: D(f) =< {, } ) 9 = 9 = ( ) ( +) = + = 6 La función presenta para =una discontinuidad evitable. La gráfica de la función y = f() coincide con la de la función y = si le quitamos a + ésta el punto de coordenadas P (, 6 ). ) 9 = 6 Sabemos que la función presenta para = una discontinuidad de salto infinito. Además la recta = es una asíntota vertical. Como nos interesa estudiar el comportamiento de la función en un entorno reducido de. Tendremos que estudiar sus límites laterales. ( ) + 9 = ( ) + ( ) ( +) = 6 + = ( ) 9 = ( ) + ( ) ( +) = 6 =+ 6

7 Mira ahora su gráfica ) 9 = 5 b) Técnicas de racionalización Se aplica en las funciones irracionales cuando nos encontramos con una indeterminación del tipo odeltipo. En el caso de que aparezcan raíces cuadradas, multiplicaremos numerador y denominador por el conjugado. En el caso de que aparezcan raíces de índice distinto de, utilizaremos la relación: A n B n =(A B)(A n + A n B AB n + B n ) que nos permite epresar A B de la siguiente manera: A n B n A B = A n + A n B AB n + B n 5 Ejemplos: = = = Ejemplo Calcula, ( ) + + Dada la función y = su dominio de definición (o de continuidad) es: 7

8 D(f) ={ </ + y 6= } =[, ) (, + ) + ) = = ( ) ++ = ( ) ++ Al sustituir nos vuelve a salir pero podemos utilizar la técnica de la cancelación y por lotanto: ( ) ++ = = ++ 4 La función presenta para =una discontinuidad evitable. La gráfica de + la función y = coincide con la de la función y = si le ++ quitamos a ésta el punto de coordenadas P (, 4 ). + ) = ( ) + + Mira la gráfica de la función y = Ejemplo Calcula 8 8 Dada la función y = 8 Su dominio de definición (o de continuidad) es: D(f) =< {8} 8 8 = 8

9 8 8 = 8 ( ) + +4 = = Ejemplo = = ³ ( ) + + Cancelando el factor tendremos ³ ( ) + = ³ + + = + Ejemplo4 5 5 = 5 = ³ 5 ( ) Cancelando el factor tendremos ³ = +6 8 Ejemplo5 Calcula tú el siguiente µ Ejemplo µ = 4 +5 n n n y comprueba que da n n Nota: Como A n B n =(A B)(A n + A n B AB n + B n ) entonces: A B = En particular, la epresión = Con lo que, la función quedará así: y = 8 = ( 8) + +4 = 5 = + + A n B n A n + A n B AB n + B n ( 8) + +4 ( 8) = siendo 6=

10 ³ = 4 ( +5 )( +5+)( 5 4+4) = 5( +5+) ( 5 4+4) = 5 6 = ( 5 4 4)( 5 4+4)( +5+) 4 (5 )( +5+) ( 4)( 5 4+4) =4 4 b) Técnicas de cálculo Es útil cuando tengamos resta o productos de funciones µ Ejemplo Calcula ( ) Dada la función y = q ( ) Su dominio de definición (o de continuidad) es: D(f) =(, + ) Fíjate que y = µ ( ) Ejemplo Calcula à q( ) = 4 ³ ( ) = + Ã! ( ) 4 ³ ( )! = + = Dada la función y = ( ) Su dominio de definición (o de continuidad) es: D(f) =< {} Fíjate que y = ( ) = 4 ( ) Ã! 4 ( ) = = ( ) + = La recta =es una asintota vertical de ramas convergentes

11 Ejemplo Calcula Ã! ( ) Dada la función y = ( ) Su dominio de definición (o de continuidad) es: D(f) Ã=< {}! ( ) = = ( ) La recta =es una asíntota vertical. La función y = ( ) presenta para =una discontinuidad de salto infinito Calculemos ³ los límites laterales = ( ) + = ³ 6+8 = ( ) =+ La recta =es una asíntota vertical de ramas divergentes 5 Fíjate que y = ( ) = 6+8 ( )

12 Ejemplo4 Calcula µ + Ã! ( ) µ Ã! + Dada la función y = ( ) Su dominio de definición (o de continuidad) es: D(f) =< {} Si calculamos por separado cada límite tendremos: + = + 6 ( ) = ( ) = Ã! ( ) = + =+ =+ µ + Con lo cual, el límite à ( )! presenta la indeterminación Para einarla y que nos aparezca la indeterminación calcular la epresión contenida en el límite:! à µ + à ( ) = 7 ( ) 6 +=( ) µ 7 µ + Fíjate que y = ( ) + + = ( ) tendremos que! ( ) ( ) =

13 Ã! ( ) + + ( ) ( ) = = ( ) La recta =es una asíntota vertical de la función. La función presenta en =una discontinuidad de salto infinito. Si calculamos ahora los límites laterales, podremos determinar si es una asíntota de ramas convergentes o divergentes µ Ã! + ( ) + + = + ( ) µ Ã! + ( ) + + = ( ) =es asíntota vertical de ramas divergentes + = + =+ = = µ Ejemplo5 Calcula Su dominio de definición (o de continuidad) es: D(f) ={ </ > 4} =(4, + ) Si calculamos por separado cada límite tendremos: = =+ µ + + = =+ + = Para einar la indeterminación, reduciremos a común denominador la función. 4 + µ = 8 ( (+)) 4 + ( 4) ³ + Ejemplo µ 8 Fíjate que y = + coincide con 4 8 y = ( (+)) ( 4) = 7 + =

14 su dominio de definición o con- Dada la función y = tinuidad es: D(f) =[, 4) (4, + ) = 4 p ( +5) ³ p( +5) ( ) ³ (+5) + (+5) ³ (+5)+ ( +) = ³ ³ ³ (+5) ³ = : (+5)+ ( )( +) + (+5) ( 4) ³ ³ (+5)+ ( +) ( 4) ³ = 9 (+) (+5)+ ( +) ³ + (+5) 4 ( 4) + (+5) La recta =4es una asíntota vertical. La función y = presenta para =4una discontinuidad de salto infinito. Calculemos los límites laterales (+)³ (+5)+ ( +) ³ = 4 + ( 4) + (+5) + =+ (+)³ (+5)+ ( +) ³ ( 4) + (+5) = 4 = La recta =4es una asíntota vertical de ramas divergentes... Ejercicios de límites de una función en un punto +7 Eercise. +7 = = + +5 Eercise = Como =( ) + + ¾ 4 + =( +)( ) + + entonces 4 + = Eercise. a n a n a = n a n a a 9 ( )( ++) (+)( )( ++) = = ( a)( n +a n +...+a n +a n ) a a = = ( n + a n a n + a n )=n a n a 4 ( 4) = + 4 (+) = 4

15 ( + ) n Eercise.4 ( + ) n = ((+) = = n Eercise.5 m = m (+ )((+) n +(+) n (+) +) = n +(+) n (+) +) m = m Eercise.6 n m n ( )( m + m ) = ³ = ( + ) n +(+) n (+) + ( m + m ) = m n = ( )( m + m ) ( )( n + n ) = ( m + m ) ( n + n ) = (a +) + a Eercise.7 a a = (a +) + a a a = ( )( a) a ( a)( + a + a ) = ( ) = a ( + a + a ) = a a Eercise.8 µ = Como ( )=( )( + + ) entonces: = ( )(++ ) µ = ( )( ) = ( )(++ ) = Eercise.9 = ( )( ) ( )(++ ) ( ) (++ ) = + = + ( = +) ( ) ³ (+) = ( ) ³ (+) = ³ ( ) (+) = ( ) A n B n =(A B)(A n + A n B AB n + B n ) (a +) + a = a + a = ( a) ( a) =( )( a) a =( a)( + a + a ) = 5

16 Eercise. a) a Eercise. a) a a Eercise. a + a + a a + a + a + + Eercise. + Eercise.4 6

17 Algunos límites concretos se pueden determinar utilizando el siguiente teorema: Theorem Si f() =y g es una función acotada en un entorno reducido de centro o y radio tan pequeño como queramos. Entonces, se verifica que (f() g()) = aunque g( o ) no eista. Si g está acotada en ( o δ, o δ ) { o } k> tal que g() <k siempre que < o < δ Como f() == Para cada ε > δ > tal que f() < ε k siempre que < o < δ Dado ε > δ =min{δ, δ } > tal que < o < δ. Con lo que: f() < ε k y g() <k siempre que ³Dado cualquier ε > δ > / f()g() < ε k g() < ε siempre que < o < δ (f() g()) = Ejemplo Calcula cos Sea h() = cos Su dominio de definición (o de continuidad) es D(h) = < {} Como = ) cos = cos 5 < {} = Ejemplo Calcula sin Sea h() = sin Su dominio de definición (o de continuidad) es D(h) = < {} Como = ) sin = sin 5 < {} = Otros límites se pueden resolver utilizando el criterio del emparedado, que a continuación se eplica: Theorem Criterio del emparedado Hipótesis: a)seanf,g y h tres funciones definidasenunintervaloabiertoi y sea o I de tal manera que f() 6 g() 6 h() I 6= o. b) Si f() = h() =l Tesis: g() =l 7

18 Demostración: Para todo 6= o I, se tiene que g() l = g() f() (l f()) 6 g() f() + f() l 6 h() f() + f() l pues g() f() 6 h() f() hipótesis a 6 h() l (f() l) + f() l 6 h() l + f() l () Sea ε >, por ser f(), δ >o tal que si : < o < δ entonces f() l < ε 4 (*) por ser h(), δ >o tal que si : < o < δ entonces h() l < ε (**) luego, tomando δ =min{δ, δ }, si < o < δ entonces de () que: g() l 6 h() l + f() l < ε + ε 4 = ε de donde: g() =l sin Ejemplo Demuestra que = Demostración: Si > < sin <<tan tan < < sin Multiplicando esta desigualdad por sin (sin > ) tendremos: sin tan < sin < m cos < sin < Si < tan <<sin sin < < tan Multiplicando esta desigualdad por sin (sin < ) tendremos: sin tan < sin < m cos < sin < En definitiva; hemos comprobado que en un entorno abierto y reducido del cero, la función f() = sin verifica que g() <f() <h() siendo g() = y h() = cos 8

19 Como además g() = cos afirmar que : sin = =y h() =;entonces podemos tan Ejemplo Demuestra que = Demostración: Si > < sin <<tan tan < < sin Multiplicando esta desigualdad por tan (tan > ) tendremos: < tan < tan sin m < tan < cos Si < tan <<sin sin < < tan Multiplicando esta desigualdad por tan (tan < ) tendremos: < tan < tan sin m < tan < cos En definitiva; hemos comprobado que en un entorno abierto y reducido del cero, la función f() = tan verifica que g() <f() <h() siendo g() =y h() = cos. Como además h() = cos afirmar que :.. Infinitésimos tan = =y g() =;entonces podemos Definición: Una función, f, se dice que es un infinitésimo en un punto o, si su límite en dicho punto es cero. f infinitésimo en f() = Ejemplos: f() =sin es un infinitésimo en =;ya que sin = ³ f() =tan π es un infinitésimo en = π ³ ; ya que 4 4 π tan π 4 4 = 9

20 f() = cos es un infinitésimo en =;ya que ( cos ) = f() = es un infinitésimo en =;ya que ( ) = f() = + es un infinitésimo en =;ya que + = f() = arctan π es un infinitésimo en =;ya que 4 ³ arctan π 4 = f() = es un infinitésimo en =;ya que = Definición: Dos infinitésimos f y g,en un mismo punto o,se dice que son f() infinitésimos del mismo orden, cuando g() = k 6= Nota: La función f() = n con n N {} es un infinitésimo de orden n Ejemplos: f () =,f () = 5,f () = son infinitésimos, en =,de orden f () =,f () = 5,f () = son infinitésimos, en =, de orden Definición: Dos infinitésimos f y g,en un mismo punto o,se dice que son f() g() = infinitésimos equivalentes, cuando f() g() = = f() g() Ejemplos: f () =, f () =sin son infinitésimos equivalentes, en =ya que sin = f () =, f () =tan son infinitésimos equivalentes, en =ya que tan = Theorem 4 Cuando, en un límite, un infinitésimo esté multiplicando o dividiendo se le puede sustituir por otro equivalente. Demostración: f() Supongamos que, en f() g() g() = Y supongamos que deseamos calcular un límite en el que aparece f() multiplicando o dividiendo: f() h() = f() f() g() h() = g() g() (g() h()) = (g() h())

21 Esto es, hemos sustituido f() por g() y probablemente el nuevo límite sea más sencillo de calcular Proposition 5 La suma de varios infinitésimos de distinto orden se puede reducir al de menor orden ( )f() f() = g() g() cos Ejemplo: Calcular cos = µ Como cos =sin µ sin cos = sin cuando ³ Entonces, sin cuando Con lo que: µ = 6 = 6 Otra manera de calcular este límite cos = cos ( cos )(+cos) = = ( + cos ) = ( + cos ) = ( + cos ) = = 6 cos ( + cos ) = sin ( + cos ) = Infinitésimos más frecuentes cuando z Trigonométricos sin z z arcsin z z tan z z arctan z z cos z z Eponenciales, logarítmicos, potencias y raíces z ln( + z) e z z a z z ln a n +z n z ( + z) n n z sin cuando Entonces, sin cuando

22 Ejercicios de límites por infinitésimos sin Eercise.5 5 = sin cuando. Porloque: sin () 9 5 = 5 = 5 = 9 5 cos 5 Eercise.6 7 = cos A =sin µ A µ 5 cos 5 =sin µ 5 sin cos 5 7 = 7 sin 5 5 cuando. Porloque: µ µ 5 5 sin 5 7 = 7 = 4 = 5 4 Eercise.7 +7 = Realizamos un cambio de variable Si =z;entonces =+z Además ( ) (z ) Con lo que: = z r +7 8+z = = Ã r z! z 8+z µ 8 r+ z8 = z z z z µ 8+z + z 8 z cuando z. Conloque: µ 8 r+ z8 z z = z 8 z z z = z z = Nota: Otra manera de calcular este límite sin utilizar infinitésimos. +7 = z =

23 +7 ( = +7) ³ ( ) (+7) + = +7+4 Utilizando el teorema de cancelación, tendremos: ³ (+7) + = = Eercise.8 µ ln( ) = ln = Realizamos un cambio de variable Si =z;entonces =+z Además ( ) (z ) Con µ lo que: µ ln( ) ln( + z) = z z Como µ z ln( + z) cuando z, entonces: ln( + z) z = z z z z = Eercise.9 = Como ln cuando ln = =ln Eercise. = Si =z;entonces =+z Además ( ) (z ) Con lo que: z = z +z +z z +z y +z z cuando z z +z z = = +z z z z = z µ Eercise. = Si =z;entonces =+z Además ( ) (z ) Con lo que: µ = z µ z z ³ ( ) (+7)

24 µ Como z ln µ z µ z ln = z z z z ( + ) n Eercise. = µ cuando z. Entonces: =ln = ln Como ( + ) n n cuando ( + ) n n = = n 4

25 . Límites en el infinito 5

26 . Regla de L Hôpital Regla de L Hôpital Sean f y g funciones que verifican las siguientes condiciones: ) f y g son continuas en [a, b] ) f y g son derivables en ]a, b[ salvo quizás en ( ]a, b[) ) g () 6= ]a, b[ { } f () 4) g () = l 5) g( )=f( )= Con estas hipótesis siempre se verificará la siguiente tesis Tenemos que comprobar que: f() a) + b) f() g() = f () g () = l g() = + f() g() = + f () g () = l f () g () = l Consideramos las funciones f y g en [,] siendo ]a, b[ y el punto de las hipótesis a, a y5 a Veamos que ambas funciones verifican las hipótesis del teorema de Cauchy en [,] a) f y g son continuas en [,] por serlo ambas en [a, b] (H) b) f y g son derivables en ],[ por serlo ambas en ]a, b[ (H) c)al ser g () 6= ]a, b[ { }(H) entonces g () 6= ],[. Evidentemente como g no se anula en ],[; entonces f y g no se anulan a la vez en ],[ d)como g ( )=entonces g() 6= ; ya que si ocurriese que g() = entonces por el teorema del valor medio h ],[.tal que g (h) =, lo cual, no puede ocurrir por la hipótesis a de este teorema Como estas dos funciones verifican las hipótesis del teorema de Cauchy en [,]; entonces podemos garantizar la eistencia de al menos un c ],[ tal que: f() f( ) g() g( ) = f (c) g (c) 6

27 Al ser g( )=f( )=por la hipótesis 5 a ; entonces f() g() = f (c) g (c) f() Por lo tanto + g() = f (c) c + g (c) Observa que c ],[,por lo tanto afirmar que + afirmar que c +. Así pues: es equivalente a + f() g() = c + f (c) g (c) = + f () = l en virtud de la hipótesis g 4a () Demuestra tú como ejercicio el apartado b) Eercise. Calcular + e Este límite presenta la indeterminación. Recurriendo a la regla de L hôpital + e e = Continúa la misma indeterminación. Repetimos la regla de L hôpital e e = = + e Por lo tanto = tan Eercise.4 sin arctan e arcsin ln( + ) + n + n 7

28 Todos estos límites presentan la indeterminación. Aplicando una sola vez la regla de L Hôpital obtendremos los límites. tan sec = = sin = cos = arctan e = + e = = ln( + ) = arcsin = + = + + = + = = + = = = = sin Eercise.5 5 = Aplico la regla de L Hôpital sin 6sin cos 5 = = Vuelvo a aplicar la regla de L Hôpital 8 cos 8 sin = 9 5 cos 5 Eercise.6 7 = Aplico la regla de L Hôpital cos 5 5sin5 7 = = 4 Vuelvo a aplicar la regla de L Hôpital: 5 cos 5 = Eercise.7 = Aplico la regla de L Hôpital µ +7 = q ( +7) 8 =

29 Eercise.8 µ ln( ) Aplico la regla de L Hôpital µ µ ln( ) = Eercise.9 = Aplico la regla de L Hôpital ln = =ln Eercise. = Aplico la regla de L Hôpital = = Eercise. Aplico la regla de L Hôpital µ µ = = µ = ln = ln ( + ) n Eercise. = = = = µ Aplico la regla de L Hôpital ( + ) n n( + ) n = = n.. Generalización l Hôpital =ln µ = ln Generalización l Hôpital Este método también es válido para : Las indeterminaciones del tipo Cuando + (o ) en lugar de tender a un número Las indeterminaciones del tipo 9

30 Tendremos que transformar A B de la siguiente manera según convenga: B A B = A( B µ( A )= A ) A A A B = B( A µ( B ) = B ) B A B = AB( B ( A )= B A ) AB Nota: Enocasionestansólotendremosquerestarambasepresiones. Las indeterminaciones del tipo + Se pueden convertir en indeterminaciones del tipo o realizando alguna de las transformaciones siguientes: A B = A B o A B = B A Una vez elegida convenientemente una de las dos opciones; después aplicaremos la regla de L hôpital Las indeterminaciones, y En estos casos se utiliza la relación: A B = e B ln A con lo que obtendremos en el eponente un límite que presentará la indeterminación anterior + Eercise. ln + ln El límite + Aplicando L hôpital presenta la indeterminación + + ln + = + = + = + = Si te fijas en las gráficas, para valores de positivos y cada vez más grandes las imágenes de la función identidad f() = son cada vez mayores que las imágenes de la función logarítmica g() =ln

31 Por lo tanto, es evidente que ln + nos diese ln? Cuál crees que sería el valor del siguiente límite + Comprueba tu contestación utilizando la regla de L hôpital Eercise.4 + sin El límite + sin presenta la indeterminación Utilizando pues la relación A B = e B ln A tendremos + sin = e sin ln + (*) Calculamos ahora el límite del eponente sin ln quepresentalaindeterminación ( ). Para poder obtener la indeterminación + realizamos + la siguiente transformación: sin ln = + + ln sin Como ya nos aparece la indeterminación deseada ; aplicamos l hôpital + Operando esto + + ln sin cos sin = + = + cos sin sin cos

32 Ahora nos aparece la indeterminación. Reiteramos l hôpital + sin cos = + Sustituyendo en (*) tendremos que sin cos (cos sin ) = = + sin = e sin ln + = e = Nota: Habrás observado que este límite es muy largo. Sin embargo si hubiesemos utilizado que sin cuando entonces: sin ln = ln + + Este límite presenta la indeterminación ( ) Como ln = + + ln Aparece la indeterminación + ln = + +. Aplicando la susodicha regla = = + Yporlotanto + sin = e sin ln + = e = tan Eercise.5 sin Este límite presenta la indeterminación Aplicando la Regla de L hôpital tan sin = sec cos También presenta la indeterminación.volviendo a aplicar L hôpital sec tan sin = ( + tan )tan = sin () = tan +tan sin También presenta la indeterminación.volviendo a aplicar L hôpital tan +tan sec +6tan sec = = sin cos

33 Nota: Si utilizasemos que sin y tan cuando ; entonces a partir de la relación () tendríamos ( + tan )tan ( + tan ) = = ( + tan )= sin Eercise.6 e Este límite presenta la indeterminación Aplicando la Regla de L hôpital e e = (4) También presenta la indeterminación.volviendo a aplicar L hôpital e e = = Nota: Si utilizasemos que e cuando ; entonces a partir de la relación (4) tendríamos e = = Eercise.7 µ + Este límite presenta la indeterminación Utilizando la relación A B = e B ln A ; tendremos µ + = e ln + (5) Calculemos por separado el límite del eponente ln + Este límite presenta la indeterminación ; aplicando l hôpital ln + = + ln + ln ( ) = ( ln + ln ) ln + ln = + = = ln + ln =ln 6

34 Con lo que sustituyendo en la epresión (5) tendremos que el límite a calcular es: µ + ln + = e = e ln 6 = 6 µ Eercise.8 (e : +) Este límite presenta la indeterminación realizando dicha resta; obtendremos e (e (6) +) Este límite presenta la indeterminación. Aplicando la regla de l hôpital e (e +)+e = 4 Nota: Si a partir de la relación (6) utilizasemos que e cuando entonces e (e +) = (e +) = e + = 4 Eercise.9 ( ) ln( ) + Este límite presenta la indeterminación ( ) Si transformamos dicho ln( ) producto en el siguiente cociente ln( ) ( ) ln( ) = + + Entonces el límite presentará ahora la indeterminación y aplicando la + regla de l Hôpital Eercise.4 ln( ) + = + µ ( ) = ( ) = + Este límite presenta la indeterminación Aplicando la regla de l Hôpital µ µ = = 4

35 Eercise.4 µ ( ) Este límite presenta la indeterminación Aplicando la regla de l Hôpital µ ( ) Eercise.4 sin = µ ( ) = Este límite presenta la indeterminación Aplicando la regla de l Hôpital: sin cos = cos El límite vuelve a presentar la indeterminación Aplicando la regla de l Hôpital: cos sin = 6 sin El límite 6 vuelve a presentar la indeterminación Aplicando la regla de l Hôpital: Eercise.4 π 4 sin 6 = cos = 6 6 tan cot Este límite presenta la indeterminación Aplicando la regla de l Hôpital: π 4 tan cot = π 4 sec csc = π 4 sin cos = π 4 tan sin cot = cos cos sin = cos sin cos sin cos sin µ cos sin = tan sin cos 5

36 Eercise.44 ³arctan + π Ayuda: La gráfica de y =arctan arctan() = π y arctan() = π + ³arctan + π = ( π + π )= ³arctan + π = Aplico la regla de L hôpital Como + ³ arctan + π ³ arctan + π = = + Ahora nos aparece la indeterminación Aplicando la regla de L hôpital: + Eercise.45 π tan + = ³ π = Ayuda: La gráfica de y =tan 6

37 π π π tan() =+ y ³ π tan ³ π tan π + tan = =+ ( π π )=+ = π Aplico la regla de L hôpital ³ π Eercise.46 π π + π + π π + cot tan() =+ y ³ π tan ³ π tan = ³ π tan π ³ π tan π + = π csc = π tan = = ( π π )= = π + Aplico la regla de L hôpital ³ π Eercise.47 π + + cot = ³ π tan π + (π arctan ) = π + ³ π csc = cot sin = ³ π π + cot sin = 7

38 Como arctan( )= π, el límite + (π arctan ) presenta la indeterminación + Transformando (π arctan ) de la siguiente manera: π arctan = π arctan (π arctan ) = + π arctan + Este límite presenta ahora la indeterminación. L hôpital: Aplicando la regla de π arctan + = + Eercise.48 ³ π arcsin =arcsin= = + + = + Como arcsin + presenta la indeterminación Transformando (π arctan ) de la siguiente manera: π arctan = π arctan ³ π arcsin + = + + = + ³ π, el límite π arcsin + π arcsin Este límite presenta ahora la indeterminación. L hôpital: + π arcsin + Simplificando, nos quedará así: Eercise.49 cot = + + r + + = + Aplicando la regla de µ Evaluando el límite directamente obtenemos la indeterminación. Como cot = cos sin cos sin = (sin ),entonces: cot cos sin = (sin ) + 8

39 Este último presenta la indeterminación. Aplicando la regla de L hôpital: cos sin sin = (sin ) sin + cos Evaluándolo, obtenemos otra vez. Aplicando la regla de L hôpital: Eercise.5 π sin sin + cos = sin µ +cos +sin +cos sin cos cos +cos sin = Apli- Evaluando el límite directamente obtenemos la indeterminación. cando la regla de L hôpital: µ sin +cos π +sin +cos = π µ cos sin sin cos sin Esta epresión presenta la indeterminación. Aplicando la regla de L hôpital: π µ cos sin sin sin Eercise.5 sin Eercise.5 ³ sin Eercise.5 Eercise.54 = π µ 4 sin cos cos cos + ( arctan π) Ayuda: = = 4 + arctan = π Eercise.55 Suponiendo que una función y = f() es derivable hasta el f() f(a) ( a)f (a) orden dos en <.Demostrar que a ( = f (a) a) Evaluándolo, obtenemos. Aplicando la regla de L hôpital : f() f(a) ( a)f (a) f () f (a) a ( = = f (a) a) a a 9