1.- INTERPRETACIÓN DE LA FRACCIÓN. EQUIVALENCIA DE FRACCIONES

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1 2º ESO - UNIDAD.- FRACCIONES Y DECIMALES OBJETIVOS MÍNIMOS DE LA UNIDAD 1.- Resolver problemas que usen la fracción como operador en sentido directo 2.- Reducir fracciones a mínimo común denominador..- Ordenar fracciones y aplicar el resultado a situaciones reales 4.- Realizar operaciones simples con fracciones.- Obtener la expresión decimal de una fracción y clasificar el decimal 6.- Resolver problemas que usen al menos dos operaciones distintas con decimales 7.- Expresar números muy grandes en notación científica 1.- INTERPRETACIÓN DE LA FRACCIÓN. EQUIVALENCIA DE FRACCIONES Fracción. Una fracción es una expresión del tipo a b siendo a, b números enteros, b 0. El numerador es a y el denominador es b. Por ejemplo, 4 es una fracción Fracción como partes de un todo. En una fracción, el denominador indica las partes iguales en que se divide la unidad y el numerador las partes que se toman. Por ejemplo, 4 indica que dividimos la unidad en 4 partes iguales y tomamos partes. En la vida real se usan las fracciones como partes de un todo en diferentes situaciones. - Dos de cada tres alumnos aprueban, se expresa diciendo que aprueban los 2 de los alumnos - Si tengo 20 y me gasto, me he gastado 20 de mi dinero y me quedan Fracción como división. Una fracción se puede interpretar como una división del numerador entre el denominador. Ejemplo: 4 = : 4 = 0,7 - Si el numerador es menor que el denominador obtenemos un número menor que 1. Este tipo de fracciones se llaman propias. Ejemplo: = 0,6 - Si el numerador es mayor que el denominador obtenemos un número mayor que 1. Este tipo de fracciones se llaman impropias. Ejemplo: 19 8 = 2,7 Si el numerador es divisible entre el denominador se obtiene un número entero. 12 = 12 : = 4 = : = 1 Todo número entero se puede escribir en forma de fracción Ejemplo: = = = =, etc

2 2º ESO - UNIDAD.- FRACCIONES Y DECIMALES Fracción como operador. Una fracción a se puede interpretar como un operador: se multiplica por el b numerador y se divide entre el denominador. Por ejemplo, 2 de 12 se puede calcular de dos formas y da el mismo resultado: 2. 12: = 24 : = 8 12:. 2 = 4. 2 = 8 Observa que 2 de 12 es dos veces la tercera parte de De una cosecha de 000 kg de aceituna, primero se vendieron las 2 que quedaba. Cuántos kg de aceituna quedaron sin vender? partes y luego la quinta parte de lo 2.- En un instituto hay 720 alumnos. Las 9 partes son de la ESO, las partes del resto son de Formación 8 Profesional y los que quedan son de Bachillerato. Cuántos alumnos hay de cada tipo?.- Se repartió una herencia de terreno de olivos de 40 hectáreas entre una viuda y sus dos hijos. A la señora le correspondieron los 2 del total y a cada uno de los dos hijos la mitad del resto. Cuántas hectáreas le correspondieron a cada uno? 4.- Un sastre compra 60 metros de tela a /m. Vende las 7 12 partes a /m, 2 que le sobra a, /m. Cuánto gana en la operación? del resto a 4 /m y la tela.- (Prueba de Evaluación de Diagnóstico 2008/2009) La cadena de bollería LA MERIENDA hace diariamente 60 panecillos empaquetándolos en bolsas de media docena y de una docena de piezas. El distribuidor reparte las bolsas de panecillos entre las cuatro tiendas de la cadena de la siguiente manera: En LA MERIENDA 1 deja la tercera parte de los panecillos. En LA MERIENDA 2 deja la cuarta parte. En LA MERIENDA deja la quinta parte. En LA MERIENDA 4 deja las bolsas que quedan. Cuántos panecillos vende a cada una de las cuatro tiendas de la cadena? Expresa tus cálculos. 2.- EQUIVALENCIA DE FRACCIONES. REDUCCIÓN A COMÚN DENOMINADOR Y ORDENACIÓN Fracciones equivalentes: Son las que tienen el mismo valor. 4 y 6 8 Ejemplo: 4 son equivalentes porque representan la misma parte de rectángulo

3 2º ESO - UNIDAD.- FRACCIONES Y DECIMALES Podemos averiguar si dos fracciones son equivalentes sin tener que representarlas: - Pasándolas a decimal. En el caso de las fracciones anteriores, 4 = : 4 = 0,7 6 8 = 6 : 8 = 0,7. Vemos que son equivalentes porque se obtiene el mismo número decimal - Haciendo los productos cruzados. En el caso de las fracciones 4 y 6 8, Como da el mismo valor, las fracciones son equivalentes. La regla es: a c a.d b.c b d Amplificación de fracciones. Para amplificar una fracción se multiplican numerador y denominador por un mismo número entero (no nulo). Se obtiene entonces una fracción equivalente a la inicial. La regla es: a b = a.c b.c ( 1) 2 ( ).( 1) 7 ( 7).( 1) 7 ( ).( 1) Simplificación de fracciones. Para simplificar una fracción se dividen numerador y denominador por un mismo divisor común. a Se obtiene entonces una fracción equivalente a la inicial. La regla es: b = a: d b : d Ejemplo: : : 22 :11 2 Se podría haber simplificado directamente, dividiendo entre = 66 Las fracciones que no se pueden simplificar se llaman irreducibles. En el ejemplo anterior, 2 es una fracción irreducible Reducción de fracciones a común denominador. Para reducir fracciones al mismo denominador se toma como común denominador el mcm de los denominadores. Luego, se divide el mcm entre cada denominador y el resultado se multiplica por el numerador. Ejemplo: 1 7 y 4 6. Como MCM(4,6) = 12, las fracciones reducidas a común denominador son 12 Ordenación de fracciones. - Si las fracciones tienen el mismo denominador, es menor la que tiene menor numerador. Por ejemplo, 1 porque 1 < y

4 2º ESO - UNIDAD.- FRACCIONES Y DECIMALES - Si las fracciones tienen el mismo numerador, es menor la que tiene mayor denominador. Por ejemplo, 2 2 porque >. Observa: Cuando las fracciones no tengan el mismo denominador, se pueden comparar reduciéndolas a común denominador. Por ejemplo, vamos a comparar y y Como, entonces Otra forma de comparar fracciones es pasarlas a decimal y comparar los decimales Indica si las fracciones 4 6 y 6 9 son o no equivalentes 2.- Simplifica las fracciones: a) 6 10 b) 21 6 c) 22 d) 10.- Si tenemos una fracción propia y otra impropia, cuál es la mayor? 4.- Sin hacer ningún cálculo escribe el signo >, < ó = a) 7 yyy 8 b) yyy 6 10 c) 9 10 yyy 9 1 d) 2 yyy 0 e) 1 2 yyy 0 f) 2 yyy g) 7 1 yyy Ordena de mayor a menor: 7 6, 10, 9, 8 y 1 Actividades del libro (unidad ): 7 y.- SUMA Y RESTA DE FRACCIONES - Si tienen el mismo denominador, se deja el mismo denominador y se suman o restan los numeradores: a c a c b b b a c a c b b b Si tienen distinto denominador se reducen a común denominador y se aplica lo anterior. Fracción opuesta de una fracción. Se obtiene cambiando de signo al numerador. La opuesta de a b es Por ejemplo, la opuesta de 2 2 es. a b - 4 -

5 2º ESO - UNIDAD.- FRACCIONES Y DECIMALES 1.- Calcula las siguientes sumas y restas: a) 2 b) c) d) e) Cuánto vale la suma de una fracción con su opuesta?.- Calcula las siguientes sumas y restas de fracciones: 1 1 a) b) En el cumpleaños de Paula, la tarta se repartió de la siguiente manera: Blanca tomo 1 4, María 1, Jorge 1 y Paula 1. Indica la fracción de tarta que sobró PRODUCTO Y COCIENTE DE FRACCIONES. POTENCIA Y RAÍZ DE UNA FRACCIÓN Producto de fracciones. Se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador: a c a.c. Ejemplo: b d b.d ( )( ) Fracción inversa. Se obtiene intercambiando el numerador y denominador. La inversa de a b es b a. Por ejemplo, la inversa de 8 8 es. 8 Si el numerador es 0 no existe la fracción inversa. El inverso de un número entero a es 1 a. Por ejemplo, el inverso de 7 es 1 7 El producto de una fracción por su inversa siempre da 1. Por ejemplo,. = División de fracciones: Se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda. Se puede hacer directamente multiplicando en cruz. La regla es a c a.d :. Ejemplo: b d b.c : ( ) Potencia de base una fracción: Se elevan al exponente el numerador y el denominador. m m a a b m b 2 ( 2) 8 Por ejemplo, 12 Raíz cuadrada de una fracción: Se calcula la raíz del numerador y del denominador a a Por ejemplo, b b

6 2º ESO - UNIDAD.- FRACCIONES Y DECIMALES 1.- Calcula los siguientes productos y cocientes: a) 2. 7 d) : 1 4 e) 1 1 : 2 f). 4 g) 2. b) h) c) : : i) : Indica la fracción inversa: a) 2.- Cuál es el inverso del número 4? b) Cuál es el único número que no tiene inverso?.- Qué número obtenemos al multiplicar una fracción por su inversa? 6.- Una alumna dice que si dividimos un número entre su inverso obtenemos el cuadrado de dicho número. Es cierto? 7.- La inversa de una fracción propia, es una fracción impropia? 8.- Calcula los 2 de las tres quintas partes de Una jarra tiene una capacidad de 2 de litro y está llena de agua en Cuántos litros de agua contiene? de su capacidad Realiza los siguientes productos y cocientes y simplifica el resultado: 4 4 a). b). c) : d) : ( 6) e) : Los 2 de los 7 de las uvas recolectadas en unas viñas se destinan a elaborar vinagre. 8 Qué fracción de las uvas recolectadas se destina a elaborar vinagre? 12.- Se quiere repartir 6 litros de agua en vasos de 1 4 litro. Cuántos vasos hacen falta?.- OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES Para realizar operaciones combinadas con fracciones, se hacen primero las multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha) y después las sumas y restas. Si hubiese paréntesis, se realizan en primer lugar las operaciones situadas dentro de ellos en el orden indicado anteriormente. 1.- Realiza las siguientes operaciones combinadas con fracciones y simplifica el resultado: 1 1 a) 10 : b) 1 1 : c) : :

7 2º ESO - UNIDAD.- FRACCIONES Y DECIMALES 2.- (Prueba de evaluación de diagnóstico ) Nuestra pandilla suele ir a cenar a la pizzería Pizza con garbo. Allí todas las pizzas las dan partidas en ocho porciones iguales. De los seis de la pandilla, Laura, María y Alejandro se comen siempre media pizza cada uno. Beatriz se come siempre tres porciones de una pizza. Julián y yo somos los menos comilones, y nos comemos siempre un cuarto de pizza cada uno. Las porciones que sobran se las damos a mi perro Budy. a) Cuántas pizzas tenemos que comprar para comer las cantidades indicadas y que no nos sobren pizzas completas? b) Cuántas porciones daremos a Budy?.- Juan y María mezclan café de Brasil, Guinea, Venezuela y Colombia en paquetes iguales. Observa la fracción de kg que utilizan de cada tipo de café y calcula la fracción de kg que representa el café de Colombia utilizado en la mezcla A y en la mezcla B. Actividades del libro (unidad ): 8, 8, 84 y RELACIÓN ENTRE FRACCIONES Y DECIMALES Expresión decimal de una fracción. Es el resultado de dividir el numerador entre el denominador. Al dividir se puede obtener: a) Un número entero o un decimal exacto. Ocurre cuando la división es exacta o tiene un número finito de decimales = 4, 8 = 0,87 b) Un decimal periódico. Ocurre cuando la división da lugar a un decimal con cifras que se repiten indefinidamente. El grupo de cifras que se repite se llama periodo. Si el periodo empieza a partir de la coma se llama periódico puro y si no periódico mixto. 8 = 2,666 = 2, 6 es un decimal periódico puro. La parte entera es 2 y el periodo es 6 = 0,8 = 0,8 es un decimal periódico mixto. La parte entera es 0, el periodo es y el anteperiodo es 8 6 Fracción generatriz de los decimales exactos y números enteros. La regla es: Numerador :Número sin coma Denominador :1 y tantos 0 como cifras decimales haya,2 = 2 100, 7 =

8 2º ESO - UNIDAD.- FRACCIONES Y DECIMALES 1.- Escribe en forma de decimal exacto los siguientes números enteros: a) b) 6 c) Indica los tres tipos de decimales que se pueden obtener a partir de una fracción..- Escribe el decimal que corresponde a las siguientes fracciones: a) b) Indica la parte entera, el periodo y anteperiodo de los siguientes decimales: a), b) 2, c) 0, c) Escribe el decimal periódico puro cuya parte entera es 2 y la parte periódica es Escribe de forma abreviada el decimal 2, e indica de qué tipo es 7.- Calcula la fracción generatriz de los siguientes decimales exactos: a) 0,2 b) 41,1026 c) Cuando pasas a fracción el decimal,241, Cuántos ceros debes poner en el denominador? 9.- Si el denominador de una fracción es una potencia de 10 (o sea 10, 100,...), de qué tipo es su expresión decimal? 7.- PROBLEMAS USANDO OPERACIONES CON FRACCIONES Y DECIMALES 1.- Ángela ha comprado 1/4 de kilogramo de chorizo a 2,4 por kilogramo y 1, kilogramos de queso a 19,4 por kilogramo. Si ha pagado con un billete de 100, cuánto le tienen que devolver? 2.- Un camión transporta bloques de mármol de 1, toneladas cada uno y 2 vigas de hierro de 0, toneladas cada una. Calcula: a) El total de toneladas que transporta el camión b) El total de kilos que transporta el camión.- En una semana se ha observado las siguientes temperaturas: 0,6 º, 1,7 º, 6,6 º,,8 º, º, 7, º. Cuál ha sido la temperatura media en ese lugar? 4.- (Prueba de Evaluación de Diagnostico ) María Luisa, Andrés y Katia vuelven de viaje y coinciden en el aeropuerto. Deciden compartir el taxi, dado que viven en la misma ruta. La bajada de bandera (inicio del recorrido) son. Cuando el taxi se para en casa de María Luisa el taxímetro marca 18,60, cuando se baja Andrés marca 24,90 y, por fin, cuando finaliza el trayecto en casa de Katia el precio final es 1,0. a) Completa la tabla siguiente: b) Cuánto debería pagar cada uno de los tres amigos por el taxi? Ten en cuenta que no todos hacen el mismo trayecto. Puedes ayudarte con el siguiente cuadro

9 2º ESO - UNIDAD.- FRACCIONES Y DECIMALES.- (Prueba de Evaluación de Diagnostico ) A los hermanos Juan y Antonio, su madre les ha mandado a la frutería a hacer las siguientes compras: ½ Kg de zanahorias a 0,70 /Kg. ¼ de Kg de pimientos a 2,20 /Kg. 1 Kg y ½ de naranjas a 0,80 /Kg. 1 Kg y ¾ de manzanas a 1,40 /Kg. Cuánto pesa el total de los productos comprados? Explica cómo obtienes el resultado. 6.- (Prueba de Evaluación de Diagnostico ) Nos vamos a mudar a un piso más grande. Tenemos que hacer la mudanza desde la Plaza del Centeno hasta la Avenida del Estadio. Para hacer la mudanza podríamos usar varios caminos como ves en la gráfica. El Camino de los Barrios y el Camino del Centro atraviesan la ciudad. En ellos se tarda 1, minutos en recorrer cada km. Además, en estos dos caminos hay semáforos como ves en la gráfica. Cada semáforo en rojo nos hace estar parados dos minutos. El Camino de Circunvalación rodea la ciudad. No tiene semáforos y se viaja normalmente a una velocidad mayor, tardándose 1 minuto en recorrer cada km. a) Suponiendo que encontráramos siempre los semáforos en rojo, Por qué camino tardaríamos menos tiempo en hacer el recorrido de la mudanza? Cuál sería ese tiempo? Para facilitarte los cálculos puedes usar la tabla siguiente: b) Suponiendo ahora que en cada viaje encontramos la mitad de los semáforos en verde y la mitad en rojo, por qué camino tardaríamos menos tiempo en hacer el recorrido de la mudanza? Cuál sería ese tiempo? Utiliza el cuadro para tus cálculos. c) Si queremos elegir el camino que nos suponga menos tiempo, teniendo en cuenta que tendremos que dar muchos viajes, qué camino elegirías?, por qué? Ten en cuenta que no sabemos de antemano si los semáforos estarán en rojo o en verde

10 2º ESO - UNIDAD.- FRACCIONES Y DECIMALES 7.- (Prueba de Evaluación de Diagnostico ) Dos compañías de telefonía móvil tienen las siguientes tarifas: Compañía 1: 12 céntimos el establecimiento de llamada y 8 céntimos el minuto. Compañía 2: No tiene establecimiento de llamada y 10 céntimos el minuto. a) Completa la siguiente tabla para comparar los precios de ambas compañías: b) Si dispongo de 2 para una llamada, cuánto tiempo podría hablar en cada compañía? 8.- NOTACIÓN CIENTÍFICA Multiplicación por potencias de base 10. Para multiplicar un número por una potencia de base 10, se desplaza la coma hacia delante tantas cifras como indica el exponente, añadiendo ceros si fuese necesario. Ejemplo:,2. 10 = 20 Expresión en notación científica. Un número está escrito en notación científica si es de la forma A. 10 m, siendo A es un número decimal con sólo una cifra entera no nula y el exponente m es un número entero, llamado orden de magnitud del número que nos indica lo grande que es el número. Esta notación suele ser muy útil cuando los números tienen muchas cifras Ejemplo: =, El orden de magnitud es 11 Para comparar números muy grandes se expresan en notación científica y se comparan tanto la parte decimal como la potencias de 10.,.10 1 > 8, , pues 1 > 12 2, <,7.10 7, pues 2,2 <,7-10 -

11 2º ESO - UNIDAD.- FRACCIONES Y DECIMALES 1.- Indica por qué los siguientes números no están escritos en notación científica: a), b) 0, Indica qué número es mayor: 8,.10 1 ó 1, Cuál es el orden de magnitud del número 0 billones de? 4.- Indica cuál es el orden de magnitud de los siguientes números y ordénalos de mayor a menor: A =,.10 7 B = 1,4.10 C =, D = 1,4.10 Actividades del libro (unidad ):, 6, 7, 8 y APROXIMACIONES DECIMALES Una aproximación de un número es otro número que está relativamente próximo a él. Por ejemplo, si una camisa cuesta 29,9, decimos que nos ha costado unos 0. En este ejemplo, 0 es una aproximación del precio exacto de la camisa. Esta aproximación es por exceso pues el valor aproximado es mayor que el valor exacto La aproximación que se suele utilizar en la mayoría de los casos es el redondeo. Para redondear un número a una determinada cifra: - Dejamos igual las cifras anteriores a esa cifra. - Si la cifra que le sigue es menor que, dejamos igual la cifra por la que estamos redondeando; si fuese mayor o igual que, le sumamos 1. - Sustituimos por ceros todas las cifras que le siguen 1,2 redondeado a la cifra de las unidades redondeado ala cifra de las milésimas 2,00 = 2 ; 7,24 7,2 161 redondeado ala cifra de las centenas Un alumno dice que al redondear 2,97 a las décimas obtiene un número natural. Lleva razón? 2.- Al redondear a las centésimas 4,26a obtenemos 4,27. Cuáles son los posibles valores de la cifra a?.- Elige el número más próximo a 1, : a) 1,489 b) 1,49 c) 1,02 d) 1,1 4.- Las medidas de una caja son 10,8 cm de largo,,1 cm de ancho y 6, cm de alto. Si redondeamos las dimensiones a las unidades, qué variación hay en el volumen que se obtiene? Actividades del libro (unidad ):