REFLEXIÓN SOBRE LA PRÁCTICA DESDE LA MODELACIÓN MATEMATICA EN EL AULA i

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1 REFLEXIÓN SOBRE LA PRÁCTICA DESDE LA MODELACIÓN MATEMATICA EN EL AULA i Resumen a Corrial-Ayala, C. y b Ramos-Rodríguez, E. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso a carlos.corrial.a@gmail.com, b elisabeth.ramos@pucv.cl Ser un profesor reflexivo es una característica que en la actualidad se está reconociendo en todo aquel que quiera desenvolverse en el área educativa con profesionalismo (Jaworski, 1993; Korthagen, Kessels, Koster, Lagerwerf y Wubbels, 2001). El objetivo de este taller es generar una instancia reflexiva, desde la práctica profesional docente, respecto al desarrollo de la habilidad de modelación matemática en los estudiantes. Se basa en la idea de proceso reflexivo denominado desde ALaCT (Korthagen y Verkuyl, 1987). Nos centramos en un tema matemático, la modelación matemática, que ha tomado espacio en reuniones científicas como la International Conference on the Teaching of Mathematical Modelling and Applications, ICTMA. El producto de este taller, es instalar en los docentes la reflexión como una herramienta que facilita la mejorar de la práctica docente, en particular para el trabajo realizado con la modelación matemática. Palabras claves: reflexión sobre la práctica, modelación matemática, creencias INTRODUCCIÓN El desarrollo profesional de cada docente pasa por un proceso adaptativo donde dialoga constantemente la teoría aprendida -vista y analizada sobre el aula de clases bajo la guía de un profesor de universidad- con la incertidumbre de la práctica docente y de la implementación de tareas. En este proceso adaptativo, todo profesor novel (y sigue experimentando cualquier docente) ante un concepto nuevo a enseñar, busca promover en los estudiantes tareas y aprendizajes significativos que permitan desarrollar habilidades y competencias en ellos. Este proceso marcado posiblemente por ensayo y error, provoca en el docente reconocer las falencias de su práctica que impiden el logro del objetivo de sus tareas de enseñanza, como no haber considerado elementos, interno o externos a los estudiantes, que permitían alcanzar el objetivo de la propuesta. Dentro de las habilidades complejas que debe promover el profesor está la modelación matemática, tema que ha tomado espacio en reuniones científicas como la International Conference on the Teaching of Mathematical Modelling and Applications, ICTMA (Matos, Blum, Houston y Carreira, 2001). El programa chileno de matemática declara y define la modelación como: proceso de utilizar y aplicar modelos, seleccionarlos, modificarlos y construir modelos matemáticos, identificando patrones característicos de situaciones, objetos o fenómenos que se desea estudiar o resolver, para finalmente evaluarlos (MINEDUC, 2012, p.89). Este proceso de modelación al ser llevado al aula suele salir de la zona de confort (Korthagen, 2010) de algunos docentes. Los problemas o ejercicios de modelación, según el objetivo a alcanzar, requieren de un fuerte trabajo previo de planificación y de preparación, pero eso nos asegura que tengamos un resultado óptimo? No podemos asegurar una afirmación ni una negación. Entonces de qué depende obtener buenos resultados en la implementación de tareas? Por último, ser un profesor reflexivo es una característica que en la actualidad se está reconociendo en todo aquel que quiera desenvolverse en el área educativa con profesionalismo (Jaworski, 1993; Korthagen, Kessels, Koster, Lagerwerf y Wubbels, 2001). Contar con docentes con habilidades de

2 XXX, XXX (2015) reflexión y pensamiento crítico, ha sido uno de las nuevas preocupaciones que surgen dentro de las políticas educativas. Así por ejemplo en Chile, el Ministerio de Educación concreta su interés a través de una inversión de recursos económicos y humanos, con el propósito de apoyar la formación inicial y permanente, generando instancias que propicien fuertemente el desarrollo de habilidades de reflexión y pensamiento crítico en los docentes (Miranda, 2003). En este contexto nuestro taller pretende abordar desde la experiencia y el conocimiento de los docentes participantes bajo procesos reflexivos, diversos factores que existen en educación y en enseñanza de la modelación matemática. MARCO DE REFERENCIA El marco de referencia se basa en el proceso reflexivo ALaCT y la modelación matemática. Se ha seleccionado, dentro de los modelos utilizados en educación matemática, un modelo cíclico basado en la reflexión de Kolb, desde la psicología cognitiva (Korthagen y Verkuyl, 1987). El modelo reflexivo a utilizar es el ALaCT de Korthagen consistente en cinco etapas o fases de reflexión que desencadenan un proceso cíclico, posible de repetir. Figura 1. Modelo ALaCT (Korthagen et al., 2001) La reflexión organiza la acción de manera nueva, pero fundamentada (producir un cambio), para ello hay que revisar si los principios o creencias están realmente fundamentados o son premisas superficiales. Creencia no es conocimiento, pero se tiende a creer de manera subjetiva, la creencia no se altera con la enseñanza. Respecto a la modelación matemática, contamos con la noción de modelo que tiene diferentes formas de ser interpretada, dependiendo del ámbito en que ésta se emplee. Así es como en educación matemática tiene una acepción más específica que debemos detenernos a analizar y definir, ya que no es interna a ésta. Cuando la matemática es base de un modelo teórico se crea un modelo matemático (Rico, 2009). En este ámbito (matemático) existe una variedad de autores que han definido este término (Arora y Rogerson, 1991; Cross y Moscardini, 1985). Siguiendo las ideas de autores mencionados, entenderemos por modelo matemático una estructura matemática que se aproxima a las características de un fenómeno (Swetz y Hartzler, 1999, p. 1). En todas las propuestas respecto a modelación, se aprecian rasgos invariantes que fundamentalmente asocian la modelación con la interacción entre el mundo real y el mundo matemático. Asumimos la modelación matemática como el proceso mediante el cual se construye y se estudia una relación entre un fenómeno y una estructura matemática, a partir de una situación o problema del mundo real con la finalidad de aproximarnos a este último. Esto significa que las implicaciones del modelo deben orientarse a la comprensión y resolución del problema correspondiente al mundo real. Diversos autores han propuestos fases que involucra la resolución de problemas. Como la modelación es una forma de resolución de problemas, su caracterización nos lleva a verla como un

3 Reflexión sobre la práctica desde la modelación matemática en el aula proceso (Blum y Niss, 1991). A partir de aportaciones de distintos autores (Blum y Niss, 1991; Swetz, 1989) definimos el proceso de modelación como un proceso que conlleva cuatro fases principales (XXX, 2014): identificación del modelo real, construcción del modelo matemático, elección de los contenidos y utilización de métodos matemáticos apropiados, y la interpretación y validación (Figura 1). METODOLOGÍA Figura 2. Proceso de modelación matemática El objetivo del taller está centrado en generar una instancia reflexiva desde la práctica profesional docente respecto al desarrollo de la modelación matemática en los estudiantes. El taller a presentar se desglosará y categorizará en momentos que están basados en el proceso de reflexión del ALaCT. Momento 1 Se les plantea a los docentes la pregunta: Qué situaciones o conflictos se le ha presentado a usted (docente) desde la práctica de su profesión al intentar desarrollar en los estudiantes la habilidad de modelación matemática? Se les solicita a los docentes que piensen y reflexionen individualmente respecto de su práctica profesional en el aula, y en qué situación, momento o contenido el desarrollo de esta habilidad le ha sido dificultosa de trabajar. Se les solicita que escojan solo uno de esas situaciones y sea capaz de escribirla. Se sugiere plantear una tarea escolar que ejemplifique el problema detectado. Momento 2 Se les solicita a los docentes que se reúnan en grupo reducidos y seleccionen una sola problemática. Compartan la situación seleccionada, la intención es la verbalización de la situación escogida, compartir y contrastar opiniones de cada una de ellas. Posteriormente, generar un esbozo de la situación compartida y tener una opinión reflexiva, posterior interacción con sus pares, de la situación seleccionada. Momento 3 Se genera una puesta en común de todos los participantes, los docentes deberán escoger solo una de las problemáticas conversadas para ser trabajada a modo grupal. El trabajo en este momento está centrado en la distinción de elementos que fueron importantes y relevantes para la implementación del trabajo de modelación seleccionado. Por ejemplo, identificar cuál era el objeto matemático, cuál era el objetivo o intención real de la actividad o clase?, cuál era el plan de clase con el que se abordó?, los estudiantes respondieron como se esperaba?, cuáles fueron los errores de los estudiantes o de la planificación?, cuáles fueron los agentes que influyeron en que esta situación la reconozca como conflictiva?, entre otras. Se puede contrastar la propuesta con la definición entregada por los programas de estudio o las concepciones personales. 3

4 XXX, XXX (2015) Este momento es uno de los más complejos, pues contribuirá poner en juego su conocimiento sobre modelación matemática, sobre enseñanza, entre otros. Momento 4 Romper creencias; los profesores deben despojarse de todas las creencias que rodean sus problemáticas, la institución educativa, la enseñanza, etc. Así, en particular el yo creo que esto permitirá centrar el trabajo en la matemática directamente y en los elementos que permiten trabajar este proceso reflexivo de manera objetiva y argumentada. Este es el otro momento intenso del taller, pues devela las formas de ver la matemática y la enseñanza, en particular sobre la modelación matemática. Momento 5 El momento 5 se caracteriza con la generación de propuestas que permitan abordar errores o elementos defectuosos (conflictivos) identificados y reconocidos en los momentos anteriores. Es así como la creación de elementos nuevos permitirían abordar partes cruciales de una tarea (o plan de clases) respecto de la modelación matemática. Además la búsqueda de elementos que permitan sustentar la situación planteada de mejor manera y propicien el logro del objetivo. Momento 6 Con todos los elementos presentados se invita a los docentes a formular y replantar el problema detectado y la tarea ejemplificadora. Esto permitiría el cierre de un primer ciclo de reflexión en torno a la práctica docente. Compartir la propuesta final con el curso. Momento 7 Explicitar la reflexión llevada a cabo. En este momento se explicita el ciclo de reflexión que se promovió de forma de hacerlo consciente en los participantes para que puedan llevarlo a otras situaciones de su práctica. RESULTADOS Se espera de este taller que los docentes sean capaces de reflexionar de manera individual y colectiva respecto de la práctica y el tratamiento de la modelación matemática, además de compartir experiencias significativas de aprendizaje y retroalimentación que son los espacios brindados por la reflexión. Así también se espera que los docentes adquieran o se vean enfrentados a una herramienta de trabajo (la reflexión) que les permita: problematizar situaciones, describirlas, caracterizarlas y delimitar estas con la finalidad de poder abordarlas de manera óptima y mejor la práctica docente. El trabajo en grupo permite abordar problemas de manera colectiva respecto al delimitar objetos matemáticos y planes de clases que apoyen el desarrollo de éste. Entrega también la oportunidad de trabajar orientaciones colaborativas del trabajo en base a la reflexión de cada uno de los tópicos tratados. Desde la reflexión de los profesores, es posible poner en juego definiciones y elementos que permiten, desde la experiencia, el desarrollo de clases que potencien el modelamiento matemático en los estudiantes. REFERENCIAS Arora, M. S. y Rogerson, A. (1991). Future trends in Mathematical modelling and applications. En M. Niss, W. Blum e I. Huntley (Eds.), Teaching of mathematical modelling and applications (pp ). NY: Ellis Horwood.

5 Reflexión sobre la práctica desde la modelación matemática en el aula Blum, W. y Niss, M. (1991). Applied Mathematical Problem Solving Modelling, Applications, and Links to Other Subjects-States, Trends and Issues in Mathematics Instruction. Educational Studies in Mathematics, 22, Cross, M. y Moscardini, A. (1985). Learning the Art of Mathematical Modelling. Chichester, UK: Ellis Horwood Limited. Jaworski, B. (1993). The professional development of teachers: The potential of critical reflection. British Journal of In-service Education, 19, Korthagen, F.A.J. (2010). La práctica, la teoría y la persona en formación del profesorado. Revista Interuniversitaria de Formación del Profesorado, 68(24), Korthagen, F.A.J. y Verkuyl, H. S. (1987). Supply and Demand: Towards Differentiation in Teacher Education, Based on Differences in Learning Orientations. Paper presented at the Annual Meeting of the American Educational Research Association, Washington. D.C. Korthagen, F., Kessels, J., Koster, B., Lagerwerf, B. y Wubbels, T. (2001). Linking practice and theory: The pedagogy of realistic teacher education. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Matos, J. F., Blum, W., Houston, S. K. y Carreira, S. P. (Eds.) (2001). Modelling and mathematics education: ICTMA 9 Applications in science and technology. Chichester, UK: Horwood. Ministerio de Educación de Chile (MINEDUC) (2012). Matemática. Bases Curriculares Santiago: Autor Miranda, C. (2003). El pensamiento crítico en docentes de educación general básica en chile: un estudio de impacto. Estudios pedagógicos, 29, XXX (2015). Rico, L. (2009). Sobre las nociones de representación y comprensión en la investigación en educación matemática. PNA, 4(1), Swetz, F.J. (1989). Using Problems from the History of Mathematics in Classroom Instruction. Mathematics teacher, 82(5), Swetz, F.J., y Hartzler, J. S. (1991). Mathematical Modeling in the Secondary School Curriculum. National Council of Teachers of Mathematics, Inc., 1906 Association Dr., Reston, VA: NCTM. i Este trabajo es parte de una tesis de magister en didáctica de la matemática. Se enmarca dentro de una investigación más amplia, proyecto Investigación basada en el Diseño para la creación, implementación y evaluación de un curso de formación. Construyendo un escenario para estudiar la reflexión sobre la práctica de profesores noveles de matemáticas, financiado por la Unidad de Mejoramiento de la Docencia Universitaria de la PUCV. 5