MATEMÁTICAS APLICADAS a las CC.SS. I

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1 MATEMÁTICAS APLICADAS a las CC.SS. I I.E.S. FERNANDO DE MENA DPTO. DE MATEMÁTICAS CURSO Profesor: Alfonso González López Alumno/a:

2 . DPTO. DE MATEMÁTICAS AVISO LEGAL Del presente teto es autor Alfonso González López, profesor de Matemáticas del IES Fernando de Mena (Socuéllamos, Ciudad Real, España), y tiene una finalidad eclusivamente didáctica, para la divulgación de materiales didácticos relacionados con la materia Matemáticas aplicadas a las CCSS I de º de Bachillerato de Ciencias Sociales. No tiene fines comerciales ni ánimo de lucro. No está permitida la reproducción de los contenidos (de cualquier tipo) del presente teto en formato impreso libro, cuaderno, etc. o digital página web, DVD, etc. con ánimo de lucro, salvo mención epresa de su origen, y contando con el consentimiento epreso del autor, para lo cual podrá contactarse a través del alfonsogonzalopez@yahoo.es. Sí está permitida la utilización de los materiales didácticos contenidos en el teto para uso particular o en el ámbito académico, siempre y cuando se indique en este último caso epresamente su autoría. El autor agradecerá que le sean comunicadas a la dirección antes reseñada las posibles erratas que se encuentren en el presente teto, así como sugerencias, aportaciones, etc. a éste. En el presente teto pueden eistir contenidos de terceros. En cualquiera de los casos, y como es intención siempre el respetar los derechos de autor, el trabajo ajeno y las leyes del copyright, en caso de eistir cualquier mínimo problema respecto a cualquier material publicado en este teto, se ruega contactar a través del arriba indicado, y el contenido será retirado (tras ser comprobado) con la máima celeridad posible. Este teto se encuentra bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial.0 Unported.

3 0 ejercicios de repaso de NÚMERO REAL, POLINOMIOS, ECUACIONES, INECUACIONES y SISTEMAS Repaso de polinomios:. Dados P() = y Q() = 4-4 +, se pide: a) Etraer el máimo factor común de Q() b) P()- Q() (Sol: ) c) Q() Q() (Sol: ) d) P() : Q(), con comprobación (Sol: C()= --; R()=+) RECORDAR: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B. Desarrollar, aplicando las igualdades notables correspondientes: a) (+) = b) (-) = c) (+) (-)= d) (+) = e) (-) = f) (5+4) (5-4)= g) ( +5) = (Sol: m) h) ( -) = i) ( -) ( +)= j) ( +) = k) ( -) = l) (--) = m) + = + + ; n) 9 4a - 6a + ; o) 4 4 t) 4 9; u) n) a = o) = + p) + = 4 q) = 4 ; p) ; q) 6 ) r) a a + + = s) = t) + = u) + = ; r) a 4 - s) 4 + ; 9. Dados P()= , Q()= -+7 y R()=7 -+, hallar: a) El valor numérico de P() para =- (Sol: -) b) La factorización de R() (Sol: polin. irreducible) c) P()+Q()+R() (Sol: ) d) P()-Q()-R() (Sol: - +-5) e) P()+Q()-R() (Sol: ) f) P() : (+) por Ruffini, y comprobar (Sol: C()=4 -+; R()=-) 4. Operar y simplificar: a) (+) +(-)(+)= b) (-) -(+5)(-5)= Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

4 c) (+)(-+)-(+) = d) (-+) -(+) -(+)(-)= e) -+(-5)(+5)-(- ) = f) (-) -(-5 -) -(-+ )( +)= (Sol: a) +-; b) 5-6+6; c) --0; d) ; e) ; f) ) 5. Dados P()= y Q()=-, se pide: a) Factorizar P(), por Ruffini [Sol: (-)(-)(+)(+)] b) P() Q ()- Q () (Sol: ) c) P() : Q() [Sol: C()= ; R()=0] 6. Dados P()= y Q()= -9, se pide: a) Factorizar P(), por Ruffini [Sol: (+)(-)(+) ( +)] b) P()-Q () Q () (Sol: ) c) P() : Q() [Sol: C()= ; R()= ] Repaso de ecuaciones: 7. Resolver, y comprobar en los casos indicados: 4 ) = 0 por Ruffini + comprobación (Sol: =; =-; =-; 4=4) 4 ) + 6 = 0 + comprobación (Sol: =±; =±) ) 5 = + comprobación (Sol: =5) ) ( ) 5 = 4 + comprobación (Sol: =5) 8 6 5) ( ) ( ) ( ) + = comprobación (Sol: =±) = comprobación (Sol: =-; =-5/4) 4 6) ( )( ) 7) = (Sol: =; =4) 8) 5 9 = + + comprobación (Sol: =4) 6 9) + = (Sol: =) 0) + = 0 por Ruffini + comprobación (Sol: =) 4 ) + = 0 + comprobación (Sol: =±) ) = + comprobación (Sol: =7) Se recuerda que las ecuaciones en las que la incógnita aparece en el denominador, así como las ecuaciones irracionales, es decir, aquellas en las que la incógnita aparece bajo el signo radical, suelen requerir habitualmente comprobación. Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

5 4 ) 4 = 0 + comprobación (Sol: =0; =±) + 4 = + comprobación (Sol: =-7) 4) ( ) 5) = + comprobación (Sol: =±) 6) + + = 6 7) 4 = 6 (Sol: =8/7) (Sol: =0) 8) ( )( ) 4 + = 0 igualando a 0 cada factor + comprobación (Sol: =0; =-4; =±) 9) = 4 8 (Sol: =0/47) 0) = 0 por Ruffini + comprobación (Sol: =) ) 5 + = 4 4 (Sol: =0; =/4) ) ( 7)( + ) = 0 igualando a 0 cada factor + comprobación (Sol: =7/; =-) ) ( ) ( ) + = 0 igualando a 0 cada factor + comprobación (Sol: =-; =) ) ( ) = (Sol: soluc.) = (Sol: Es una identidad, es decir, se verifica R) 5) ( ) 6) + 6 = 0 factorizando previamente + comprobación (Sol: =0; =; =-) 7) = + 8) = + comprobación (Sol: =; =-5/4) (Sol: =) 9) ( + )( ) + = ( ) + comprobación (Sol: =-; =± ) 4 0) + = 0 factorizando previamente + comprobación (Sol: =0; =) ) = 5 5 (Sol: =± 5) ) 4 = + + comprobación (Sol: =-7) 5 ) ( + )( ) ( ) 4 = 4 + comprobación (Sol: =±) 6 4) ( + )( ) ( + ) ( ) = (Sol: 4 6 ± 48 = 6 ) 5) + 5 = (Sol: =4) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

6 6) + = 4 5 7) = 5 + comprobación (Sol: =/) (Sol: =4) 8) 5 + = (Sol: =6/8) 9) + = (Sol: soluc.) 40) + = + 4) + + = (Sol: =0, =-8) (Sol: =6, =-) 4) + = + (Sol: soluc.) 5 5 4) = comprobación (Sol: =0) 44) 8 + = (Sol: =0, =-) 45) + 6 = comprobación (Sol: =0; =±) 46) - -=0 + comprobación (Sol: =0, =-) 47) = ( Sol : = /, = - ) 48) ( +) 4 =65 + comprobación (Sol: =±) 49) 6 + = + 9 (Sol: =, =-) 50) ( -) 4 =0 + comprobación (Sol: =±) 5) 4 = 8 0 5) = 0 (Sol: = 0, = 0 ) (Sol: soluc.) 5) = + comprobación (Sol: =-, =-) 54) 6-6 =0 + comprobación (Sol: =0, =±) 55) + 5 = + comprobación (Sol: =) 56) = + comprobación (Sol: =0, = ; =- ) 57) 4 = ) + 7 = 4 [Sol: soluc.] (Sol: =4) 59) = + (Sol: =-) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

7 60) + 4 = 4 6) = (Sol: =5; =/9) (Sol: =± ) 6) 5 = + + (Sol: =; =-4) 8. TEORÍA: a) Qué es el discriminante de una ecuación de º grado? Qué indica? Sin llegar a resolverla, cómo podemos saber de antemano que la ecuación ++ carece de soluciones? b) Inventar una ecuación de º grado con raíces =/ y =, y cuyo coeficiente cuadrático sea c) Sin resolver y sin sustituir, cómo podemos asegurar que las soluciones de +5-00=0 son =5 y =-0? d) Calcular el valor del coeficiente b en la ecuación +b+6=0 sabiendo que una de las soluciones es. Sin necesidad de resolver, cuál es la otra solución? Repaso de SS.EE.: 9. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método indicado (si no se dice nada, se deja ad libitum), y hacer siempre la comprobación: ) y = 4 y = por sustitución (Sol: =, y=) ) + y = 5 y = 5 (Sol: =5, y=0) ) y = 4 por igualación (Sol: =-, y=) + 5y = ) 4 + y = 0 7y = 0 (Sol: =0, y=0) ) y = por reducción (Sol: =4, y=-) + y = ) + 5 = y + 9 = 5y (Sol: =0, y=) 4) 7 + 6y = 4 + y = por reducción (Sol: =, y=-) 4) + y = 5 4 6y = 6 (Sol: / soluc ; incompatible) 5) + 5y = 4 + y = por sustitución (Sol: =-, y=0) 5) y = y = 8 (Sol: soluc.; comp. indtdo.) 6) y = 6 por igualación + y = 0 7) y = 6 por igualación + y = 0 8) + y = 5 por reducción + y = 5 9) + y = y = 5 0) y = 9 6 4y = 4 (Sol: =, y=-) (Sol: =, y=-) (Sol: =, y=) (Sol: soluc.; comp.indtdo.) (Sol: / soluc ; incompatible) 6) + y = 4 (Sol: =, y=) y = 0 + 5y = 7) (Sol: =, y=-) y = 4 y = 4 8) (Sol: =0, y=-8) y = 4 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

8 9) + + y = + y = 4 (Sol: =-, y=) 6) 5y + z = 4 y + z = 5 + y + 7z = (Sol: =5, y=0; z=-) 0) ) ) ) 4) ( ) (y ) + = (Sol: =, y=4) (y 4) ( ) + = y = 9 (Sol: =, y=-) 7 + ( y) = 4 6 ( -) (y ) + = 6 (Sol: =, y=) ( + ) (y + ) 5 = 5 + y = (Sol: =-5/,y=0/) y + + = y + z = 6 + y z = 9 (Sol: =, y=-; z=) + y + z = 7) 8) 9) 0) ) + y z = (Sol: =, y=0; z=) 4 y + 5z = 9 + 4y z = + y z = 4y + z = + y 5z = (Sol: =, y=; z=) + y z = 9 (Sol: =6, y=-; z=-5/) y + 4z = 4 y + 6z = + y + z = + y + 5z = 5y + 6z = 9 (Sol: =, y=-; z=) + y + z = y z = 0 (Sol: =, y=-; z=) + y z = 5 5) + y z = 0 y + z = + y + 4z = 9 (Sol: =, y=-; z=) 0. TEORÍA: a) Inventar un sistema compatible determinado que tenga por solución =, y=- b) Inventar un sistema compatible indeterminado y razonar por qué tiene soluciones. c) Inventar un sistema incompatible y razonar por qué no tiene solución. d) Resolver los siguientes sistemas e indicar de qué tipo se tratan: 4 y = 5 4 y = 5 4 y = 5 + y = y = 0 9y = (Sol: SCD =, y=; SCI; SI) e) Dado el sistema de ecuaciones a + y = + y = hallar el valor que debe tener el parámetro a para que el sistema tenga: i) una única solución; ii) soluciones; iii) Ninguna solución.. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones NO lineales por el método más apropiado en cada caso, y hacer siempre la comprobación:. y = + = y 45 (Sol: =6, y =; =-, y =-6) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

9 y = + = y + y = 7 + = y 5 y = + = y 0 + y = 4 + = y 40 y = y = - y = + y = 5 + = + = y 7 y 6 = y + y = 6 y = 0 + y = 6 y = 5 y ( ) + = + y = 6 y + y = 6 (Sol: =4, y =-; =, y =0) (Sol: =, y =4; =4, y =) (Sol: =0, y =-; =/7, y =-/7) (Sol: =-, y =6; =6, y =-) (Sol: =-, y =; =5, y =/) (Sol: =, y =4; =-, y =-4; =4, y =; 4=-4, y 4=-) (Sol: =, y =-; =, y =) (Sol: =-, y =; =, y =-) (Sol: =-6, y =-5; =5, y =6; =-5, y =-6; 4=6, y 4=5) (Sol: =, y = ; =, y =- ) (Sol: =5, y =; =, y =5). y = 05 + y = 7 (Sol: =, y=65) 4. y = 5 + = y 4 y 0 (Sol: =7, y =; =-, y =-) Problemas de planteamiento: RECORDAR: A la hora de resolver un problema que requiera el planteamiento de una ecuación o un sistema se recomienda: Leer atentamente el enunciado en su totalidad. Detectar qué nos piden y llamarlo (e y, si se trata de un sistema). Plantear la ecuación (o el sistema) que relaciona algebraicamente los datos del enunciado y la(s) incógnita(s); para ello, suele ser recomendable hacer una tabla en los problemas de edades, o un dibujo en los de tipo geométrico, o un diagrama problemas de mezclas, etc. Resolverla. Interpretar los resultados obtenidos y comprobar que verifican las condiciones del enunciado. Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

10 . Tres amigos se pesan en una báscula de dos en dos. Antonio y Benito suman 0 kg, Antonio y Carlos 0 kg, mientras que Benito y Carlos pesan 0 kg Cuánto pesa cada uno? (Sol: Antonio 50 kg, Benito 80 kg y Carlos 70 kg). Los 90 alumnos de º de Bachillerato de un colegio están divididos en tres grupos, A, B y C. Calcular el número de alumnos de cada grupo sabiendo que, si se pasan 7 alumnos del B al A ambos grupos quedan nivelados, y si se pasan 4 del C al A entonces en éste habría la mitad de alumnos que en aquél. (Sol: 6 alumnos en el A, 0 en el B y 44 en el C) 4. Disponemos de fotos para pegar en las hojas de un álbum. Si pegamos 4 fotos en cada hoja nos sobran dos hojas pero si colocamos fotos por hoja entonces nos sobran 0 fotos Cuántas fotos tenemos y cuántas hojas tiene el álbum? (Sol: 64 fotos y 8 hojas) 5. a) Calcular el precio original de unos pantalones rebajados un 5 % por los que hemos pagado 68 (Sol: 68 ) b) Por una multa de tráfico que lleva una penalización del 0 % por demora pagamos finalmente 44 Cuál era el precio original de la multa? (Sol: 0 ) c) Un comerciante vende los artículos de su tienda aumentando un 40 el precio de coste como margen de beneficio. A sus allegados quiere vendérselos al precio de coste y, para ello, da a sus dependientes la orden de que les rebajen un 40 % del precio de venta al público. Razonar que este comerciante no sabe muchas Matemáticas y acabará perdiendo dinero. 6. Un tren transporta 500 viajeros y la recaudación del importe de sus billetes asciende a 55. Calcular cuántos viajeros han pagado el importe total del billete, que vale 5, cuántos han pagado el 0 % del billete y cuántos el 50 %, sabiendo que el número de viajeros que han pagado el 0 % es el doble de los que pagan el billete entero. (Sol: 500 viajeros a 5, 00 a y 50 a 7,5 ) 7. La suma de las edades de un padre y de su hijo es de 5 años. Dentro de 0 años la edad del padre será dos veces la del hijo Qué edad tienen ahora el padre y el hijo? 8. Un comerciante piensa vender por 050 una partida de piezas de porcelana. Se le rompen 5 y, para compensar la pérdida, debe vender más caro cada una de las restantes Cuántas piezas de porcelana tenía al principio, y cuánto costaban? (Sol: 75 piezas a 4 ) 9. a) Después de subir un 0 %, un artículo vale 45,60 Cuánto valía antes de la subida? (Sol: 8 ) b) Después de rebajarse en un 5 %, un artículo vale 8,90 Cuánto valía antes de la rebaja? (Sol: 6 ) c) Una entrada de un cine costaba el año pasado 5,50 y este año 6,5 Cuál ha sido el porcentaje de subida? (Sol:,64 %) 0. Una familia decide dar un donativo de 5. Los padres aportan conjuntamente una determinada cantidad y entre los tres hijos entregan la cuarta parte de lo que dan sus padres Cuánto ha donado cada hijo si cada uno de ellos aporta lo mismo? (Sol: 75 ). Calcular las edades de un padre y de sus dos hijos sabiendo que entre los tres suman 99 años, que la edad del padre y la del hijo mayor difieren en 5 años, y que la suma de las edades de ambos hijos se diferencian en la edad del padre en 5 años.. Tres amigos deciden alquilar un piso juntos y acuerdan que cada uno pague en proporción a sus ingresos. El piso cuesta 050 mensuales. Javier gana 4000, Fernando 000 y Pablo 000 Cuánto deberá aportar cada uno? (Sol: Javier 600, Fernando 00 y Pablo 50 ). a) La cantidad de agua de un embalse ha disminuido en un 5 % respecto a lo que había el año pasado. Ahora contiene 74,5 millones de litros Cuántos litros tenía el año pasado? (Sol: 4, millones de l) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

11 b) En una evaluación de Matemáticas ha aprobado el 60 % de la clase. El resto se presenta a la recuperación, aprobando el 0 % de ellos. Al final del proceso son en total 8 los aprobados Cuál es el porcentaje de aprobados? Cuántos estudiantes forman la clase? (Sol: 7 %; 5 estudiantes) c) Unos pantalones que cuestan 50 sufren un descuento de 0 en las rebajas de junio. Posteriormente, en septiembre, vuelven a ser rebajados, esta vez un 40 %. Calcular su precio final. (Sol: 4 ) 4. En una competición de baloncesto a doble vuelta participan equipos. Cada partido ganado vale puntos y los partidos perdidos punto (no puede haber empates). Al final de la competición el equipo de Luis tiene 6 puntos Cuántos partidos ha ganado? (Ayuda: Razona, en primer lugar, cuántos partidos jugará cada equipo) (Sol: Cada equipo jugará partidos; el equipo de Luis ha ganado 4 partidos y ha perdido 8) 5. Un orfebre quiere conocer las dimensiones de un grabado con forma rectangular. Calcular sus dimensiones sabiendo que uno de sus lados mide cm más que el otro, y que su área ha de ser 70 cm (Sol: 0 cm 7 cm) 6. El cajero del banco nos entrega un total de 8 billetes cuando vamos a cobrar un cheque de 600, utilizando para ello billetes de 0 y de 50 eclusivamente Cuántos de cada tipo? (Sol: 8 de 50 y 0 de 0) 7. En una comunidad de vecinos ha de hacerse una obra urgente. En promedio cada vecino debería pagar 56, pero tres vecinos morosos se niegan a colaborar. Los demás calculan que entonces deberán pagar 0 Cuántos vecinos son en total en la comunidad? A cuánto asciende la obra? (Sol: 5 vecinos; 840 ) 8. Una finca rectangular la hemos cercado con 0 rollos de alambrada de 0 m cada uno. Si la finca es 0 m más larga que ancha, calcular sus dimensiones. (Sol: 85 m 65 m) 9. En una clase de 5 estudiantes han aprobado las Matemáticas el 80 % de las chicas y el 60 % de los chicos Cuántas alumnas tiene la clase si el número de chicas que han aprobado es el mismo que el de chicos? Cuántos chicos hay? (Sol: 0 chicos y 5 chicas) 0. Dos hermanos, mientras charlan, concluyen que entre ambos tienen 9 años, y el uno le dice al otro: Dentro de 8 años mi edad será el doble de la tuya. Cuántos años tiene cada uno en la actualidad? (Sol: 7 y años). Una familia adquiere una determinada cantidad de litros de aceite por un importe de 44. Al cabo de un año los precios han disminuido en /litro, por lo que, con el mismo dinero, puede comprar l más de aceite Qué cantidad había adquirido inicialmente y a qué precio? (Sol: 6 l a 4 /l). En º de Bachillerato hay el doble de alumnos que en el B. Si 9 alumnos del B pasaran al A habría en éste grupo el quíntuplo de alumnos de los que quedan en B. Hallar el número de alumnos que hay en cada grupo.. Se quiere distribuir un lote de libros entre varios alumnos. Si a cada alumno se le asignan tres libros sobran 7 y para asignarle 4 faltan 8 libros. Hallar el número de alumnos y de libros. 4. Dos tinajas tienen la misma cantidad de vino. Si se pasan 7 litros de una a otra, ésta contiene ahora el triple que la primera Cuántos litros de vino había en cada tinaja al principio? (Sol: 74 l) 5. Un padre, preocupado por motivar a su hijo en Matemáticas, se compromete a darle por problema bien hecho, mientras que, si está mal, el hijo le devolverá 0,5. Después de realizar 60 problemas, el hijo ganó 0. Cuántos problemas resolvió correctamente? (Ayuda: Plantear un SS.EE. de er grado) (Sol: 40 problemas) 6. Tres hermanos se reparten un premio de 50. Si el mayor recibe la mitad de lo que recibe el mediano; y el mediano la mitad de lo que recibe el pequeño, cuánto dinero tendrá cada hermano al final? (Sol: 50 el mayor, 00 el mediano y 00 el pequeño) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

12 7. Un salón de forma rectangular tiene una superficie de 48 m y su diagonal mide 0 m Cuáles son sus dimensiones? (Sol: 6 m 8 m) 8. Hallar dos números positivos sabiendo que su cociente es / y su producto 6 (Sol: y 8) 9. Si los lados de un cuadrado aumentan cm, su área aumenta 8 cm Cuáles son las dimensiones del cuadrado originario? (Sol: Se trata de un cuadrado de lado 6 cm) 40. Un grupo de estudiantes alquila un piso por el que tienen que pagar 40 al mes. Uno de ellos hace cuentas y observa que si fueran dos estudiantes más, cada uno tendría que pagar 4 menos. Cuántos estudiantes han alquilado el piso? Cuánto paga cada uno? (Sol: 5 estudiantes a 84 cada uno) 4. Un almacenista de fruta compra un determinado número de cajas de fruta por un total de 00. Si hubiera comprado 0 cajas más y cada caja le hubiera salido por menos, entonces habría pagado 0. Cuántas cajas compró y cuánto costó cada caja? (Sol: 0 cajas a 5 ) 4. Un rectángulo tiene 00 cm de área y su diagonal mide 5 cm. Cuánto miden sus lados? (Sol: 0 5 cm) 4. Un frutero ha comprado manzanas por valor de 6. Si el kilo de manzanas costara 0,80 menos, podría comprar 48 kg más. Calcular el precio de las manzanas y la cantidad que compró. (Sol: 0 kg a,80 /kg) 44. Una persona compra una parcela de terreno por Si el m hubiera costado menos, por el mismo dinero habría podido comprar una parcela 00 m mayor. Cuál es la superficie de la parcela que ha comprado? Cuánto cuesta el m? (Sol: 600 m ; 8 ) 45. El área de un triángulo rectángulo es 0 m y la hipotenusa mide m. Cuáles son las longitudes de los catetos? (Sol: m y 5 m) 46. Calcular dos números naturales impares consecutivos cuyo producto sea 95 (Sol: y 5) 47. Si multiplicamos la tercera parte de cierto número por sus tres quintas partes, obtenemos 405. Cuál es ese número? (Sol: 45) 48. Varios amigos alquilan un local por 800. Si hubieran sido tres más, habría pagado cada uno 60 menos. Cuántos amigos son? (Sol: 5 amigos) 49. Uno de los lados de un rectángulo es doble que el otro y el área mide 50 m. Calcular las dimensiones del rectángulo. (Sol: 5 0 m) 50. Un campo rectangular de 4 ha de superficie tiene un perímetro de 0 hm. Calcular, en metros, su longitud y su anchura. (Recordar: ha=00 a; a=00 m ) (Sol: 00 m 400 m) 5. Las diagonales de un rombo están en la relación de a. El área es de 08 cm. Calcular la longitud de las diagonales y el lado del rombo. (Sol: d= cm; D=8 cm; l 0,8 cm) 5. El diámetro de la base de un cilindro es igual a su altura. El área total es 69,56 m. Calcular sus dimensiones. (Sol: d=h=6 m) Problemas de mezclas: 5. Con dos tipos de café, de 8,5 /kg y /kg, queremos obtener una mezcla de /kg Qué cantidad habrá que mezclar de cada tipo para obtener 0 kg de mezcla? (Sol: 8,9 kg del café de 8,5 y, kg del otro) 54. Si se mezclan dos tipos de abono, uno de,64 /kg y otro de,48 /kg, se obtiene otro tipo de una calidad intermedia que sale a,5 /kg Cuántos g de cada tipo contiene el kg de mezcla? (Sol: 50 g del de,64 y 750 g del otro) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

13 55. Disponemos de un vino de 0º y de otro de 5º y queremos mezclarlos para obtener un vino de º Qué volumen de cada tipo contendrá el litro de mezcla? (Sol: /5 de litro y /5 de litro, respectivamente) 56. a) Disponemos de dos tipos de gasóleo: uno de 70 cent/l y otro de 90 cent/l, y queremos mezclarlos en un depósito de 000 l de capacidad para obtener un gasóleo de 75 cent/l Cuántos litros tendremos que añadir de cada tipo? (Sol: 750 l del primer gasóleo y 50 l del otro) b) Si decidiéramos hacer una nueva mezcla en el mismo depósito utilizando 400 l del gasóleo de 70 cent, cuánto costaría el litro de gasóleo obtenido? (Sol: 8 cent/l) 57. Se desea mezclar harina de 55 cent/kg con otra de 40 cent/kg, de modo que el kg de la mezcla resulte a 45 cent Cuántos kg de cada clase deben mezclarse para obtener 00 kg de la mezcla? 58. Se desea mezclar cacao de /kg con cacao de,80 /kg de modo que la mezcla resulte a,40 /kg Cuántos kg de cada clase debemos mezclar para obtener un total de 40 kg de cacao? 59. Con dos tipos de barniz, de,50 /kg y de,50 /kg, queremos obtener un barniz de, /kg. Cuántos kilogramos tenemos que poner de cada clase para obtener 50 kg de la mezcla? (Ayuda: plantear un sistema de ecuaciones de primer grado) (Sol: 8 kg del barniz de,50 y kg del de,50) Repartos inversamente proporcionales: 60. De los tres grifos que afluyen a un estanque de 000 l uno puede llenarlo funcionando él solo en 6 horas, otro en 0 horas y el tercero en 0 horas. a) Cuánto tiempo tardarán en llenarlo juntos? b) Es necesario el dato de los 000 l? Qué conclusión sacas en general para los repartos inversamente proporcionales? Solución: En primer lugar, veamos la contribución de cada grifo funcionando separadamente: 000 litros 0 horas 000litros 0horas 000 t = litros t horas litros 0 horas 000litros 0horas 000 t = litros t horas litros 6 horas 000litros 6horas 000 t = litros t horas 6 Por lo tanto, el er grifo proporciona litros en t horas, el º en 000 0, y el º en Por consiguiente, podemos sumar las tres contribuciones e igualarlas a 000 litros: Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

14 000t 000t 000t = 000 Vemos que el dato de la capacidad total del depósito es irrelevante, y esto va a ocurrir siempre en los problemas de repartos inversamente proporcionales. Obtenemos así la Fórmula general de los repartos inversamente proporcionales: t t t = Es trivial despejar t, obteniéndose como solución: 9 horas. 6. Un pintor tarda tres horas en pintar una pared mientras que otro sólo tardaría dos horas Cuánto tardarán en pintarla los dos a la vez. (Sol: h min) 6. Una cuadrilla vendimia una parcela de ha en hora mientras que otra más lenta lo haría en horas. a) Cuánto tardarían en vendimiar esa parcela trabajando ambos a la vez? b) Cuánto tardarán en vendimiar a la vez un campo de 5 ha? (Sol: 40 min; h 0 min) 6. Un albañil levanta una pared en horas, otro en horas y un tercero en 4 horas Cuánto tardarán en levantarla juntos? (Sol: 55 min) Repaso de intervalos: 64. Completar: REPRES. GRÁFICA INTERVALO DEF. MATEMÁTICA [-,] [-,) 5 { IR/ < 5} 6-7 { IR/ <} 8 (0, ) 9 - Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

15 REPRES. GRÁFICA INTERVALO DEF. MATEMÁTICA 0 (-,5) { R/ 0} [/, ) { IR/ -< } 4 { IR/ <} 5 { IR/ } 6 7 [-,] 8 { IR/ <-} (-,-)U(, ) (-,)U(, ) { IR/ 5} [-,] Representar en la recta real los siguientes intervalos y definirlos empleando desigualdades: a) [,4] b) (,6) c) [,5) d) (-, ) e) (-,) f) (0, ) g) (-,] h) [-,] i) (5/, ) j) (-,-] 66. Representar en la recta real los siguientes conjuntos numéricos y nombrarlos siempre que se pueda empleando intervalos: a) { IR/ -< } d) { IR/ <0} g) { IR/ >-} j) { IR/ } b) { IR/ 4} e) { IR/ } h) { IR/ 5} k) { IR/ =} c) { IR/ } f) { IR/ >4} i) { IR/ <5} Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

16 Epresiones con valor absoluto: RECORDAR: Hay casos posibles (k>0 siempre): epresión =k epresión=k epresión=-k epresión <k -k<epresión<k epresión >k epresión<-k ó epresión>k 67. Indicar para qué valores de se cumplen las siguientes relaciones; en el caso de las desigualdades, indicar la solución mediante intervalos: a) =5 b) 5 c) >5 d) -4 = (Sol: =, =6) e) -4 (Sol: [,6]) f) -4 > (Sol: (-,)U(6, )) g) +4 >5 (Sol: (-,-9)U(, )) h) =- i) =0 j) < k) l) + = (Sol: =-4, =) m) - (Sol: [-,5]) n) =7 o) 6 p) > q) - <5 (Sol: (-,7)) r) + 7 (Sol: (-,-0]U[4, )) s) <8 (Sol: (-4,4)) t) >- (Sol: R) u) = v) =- (Sol: soluc.) Repaso de inecuaciones: Inecuaciones de er grado con una incógnita: 68. Dada la inecuación >5, estudiar si los siguientes números pueden ser solución: =-, =0, =, =, =, =4, =5/. Indicar, a continuación, su solución general. 69. Dada la inecuación +>+5 se pide, por este orden: a) Comprobar si son posibles las soluciones =5, =0, =- b) Resolverla y dibujar en la recta real la solución. RECORDAR: Las inecuaciones de er grado se resuelven de forma prácticamente similar a las ecuaciones de er grado; por ejemplo, si un número positivo está multiplicando a todo un miembro, pasará al otro miembro dividiendo: ECUACIÓN: = 6 = INECUACIÓN: 6 Solamente hay una diferencia con las ecuaciones: si el factor multiplicativo fuera negativo, habría que cambiar el sentido de la desigualdad. El motivo es el siguiente: Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

17 p. ej. < 6 multiplicamos ambos miembros por - > 6 En la práctica se recomienda multiplicar ambos miembros de la desigualdad por -, lo cual cambia el sentido de la desigualdad. Por ejemplo: Resolver las siguientes inecuaciones simples, epresando la solución mediante desigualdades: a) 7 4 e) 0 5 i) -<- (Sol: <) m) -<- (Sol: <) b) ->6 f) -4 7 j) -5 5 (Sol: -) n) -7-7 (Sol: ) c) -9 d) -5-5 g) -> h) 0-0 (Sol: -) k) - l) <- (Sol: <-) o) > 7. Resolver las siguientes inecuaciones, y epresar la solución mediante intervalos y representada en la recta real: ) +6 4 (Sol: 4) ) -4 8 (Sol: 4) ) (Sol: 7) 4) +5<+ (Sol: <4) 5) 5- - (Sol: 8/) 6) (Sol: ) 7) 5+<4- (Sol: <-/4) 8) ->4- (Sol: >7/4) 9) 6-<4+7 (Sol: <5) 0) -<-+4 (Sol: <) ) +9>+5 (Sol: <4) ) (-)+5(-) -4 (Sol: ) ) (+)+5<(4+)+ (Sol: soluc.) 4) 5(-)-4(+)<-+ (Sol: IR) 5) (-)> ++ (Sol: <-/4) 6) (+)(+)<(-)(+5) (Sol: <-) 7) (+)+(-)>(+) (Sol: >/) 8) 4 < 9) (Sol: <) + > 5 (Sol: >5) 6 0) < (Sol: <7/8) ) + + > (Sol: <6) 7 ) ) > (Sol: >4) > (Sol: <) 4) < (Sol: <9/7) 5 4 5) < (Sol: >9) 4 6) > 0 (Sol: >09/0) ) < 0 (Sol: >6) 7 8) 7 4 < + (Sol: <) 4 9) + + > + (Sol: soluc.) 4 0) ) ) 5 6 > (Sol: <8) (Sol: ) > (Sol: <) 5 5 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

18 . DPTO. DE MATEMÁTICAS CURSO 00/ 7. Un empresario paga a un vendedor un sueldo fijo de 500 más por artículo vendido. Otro vendedor, más emprendedor, no tiene sueldo fijo, pero pacta cobrar por cada unidad que logre vender A partir de qué número de productos vendidos cobrará más el segundo empleado? 7. Un alumno ha obtenido un,75 en el primer eamen de la evaluación, y un 4,5 en el segundo. Hallar qué nota deberá sacar como mínimo en el tercer y último eamen, que hace media con los anteriores, para poder aprobar. (NOTA: se considera aprobado si la media es al menos un 5) 74. Una editorial ofrece a un vendedor dos tipos de contrato: A) 5000 fijos más un 0 % por cada libro vendido; o bien: B) El 0 % del precio de cada libro vendido. Si el precio de cada ejemplar es de 5, a partir de cuántos ejemplares vendidos le resultará más beneficiosa la opción B? (Sol: Deberá vender 57 libros) 75. Se define el Índice de masa corporal (IMC) como el siguiente cociente: peso (enkg) IMC = estatura (en m) Un peso normal se considera entre 8,5 y 4,9. Si el IMC de un individuo supera este último valor, se le considera obeso. Hallar cuál es el peso máimo para un individuo de,89 m de altura de modo que se pueda considerar un peso normal. Inecuaciones de er grado con dos incógnitas: Ejemplo: Resolver - y - 6 Solución: º) Dibujamos la recta -y=-6. Para ello, lo habitual y más sencillo es dar los valores =0 e y=0: 0 - y 0 º) Vemos que la recta anterior divide al plano en dos semiplanos en los que lógicamente la epresión -y -6 va a ser, respectivamente, V o F. Para ver cuál de los dos es la región solución (es decir, aquella cuyos puntos verifican -y -6) damos un valor arbitrario; el más fácil es el (0,0): = y = 0 obteniendo una desigualdad V. Por lo tanto, el (0,0) se encuentra en la región solución. Y, por lo tanto, la región solución es el semiplano inferior (de hecho, puede comprobarse que cualquier otro punto de ese semiplano también conduce a una desigualdad V), que señalaremos sombreándolo: Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

19 NOTA: Lógicamente, el otro semiplano, el no sombreado, sería la solución de -y -6. NOTA: Nótese que los puntos de la recta también forman parte de la solución, pues conducen a la desigualdad 6-6, que es V. Y, para indicar que incluimos la recta en la solución, la dibujamos con trazo continuo. Si la desigualdad hubiera sido -y>-6, la recta iría con trazo discontinuo. 76. Determinar la representación gráfica de la solución de cada una de las siguientes inecuaciones de er grado con dos incógnitas: a) +y b) +y< c) -y 4- d) +y>7-y e) >0 f) y 4 g) y<+ h) +y 5 i) -y<6 j) 6+5y 0 RECORDAR: Resolver un sistema de inecuaciones significa encontrar la región del plano que verifica todas y cada una de las inecuaciones del sistema. Por lo tanto, para resolverlo tendremos que: º) Encontrar por separado las regiones solución de cada inecuación en particular. Se recomienda dibujar todas ellas sobre los mismos ejes. º) La región solución del sistema será la de las regiones anteriores. Podemos obtener un recinto poligonal, o un recinto abierto, o es posible que los recintos particulares no tengan ningún punto en común, en cuyo caso el sistema carecería de solución (sistema incompatible). 77. Representar gráficamente la solución de cada uno de estos sistemas de inecuaciones de er grado con dos incógnitas: a) - y > - + y 5 b) y 6 + 5y < 0 c) y < - y + d) - y > 6 + 5y < 0 e) + y 6 6 4y - f) + y 5 + y 6 g) + y 5 + y < 0 h) 6 y > 4 i) y 6 y > 0 j) y > 6 y < 0 - y > -5 k) + y > - + y 0 l) y < y > y > - + m) 5 y + Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

20 Repaso número real: 78. Separar los siguientes números en racionales o irracionales, indicando, de la forma más sencilla posible, el porqué: π 5, , 6,4 54, (Sol: Q; I; I; Q; Q; Q; Q; I; Q; Q; Q; I) 79. Indicar cuál es el menor conjunto numérico al que pertenecen los siguientes números (N, Z, Q o I); en caso de ser Q o I, razonar el porqué: π (Sol: I; I; N; Q; Z; Q; Q; I) 4 0, ,, Señalar cuáles de los siguientes números son racionales o irracionales, indicando el porqué: a), b) 0, (Sol: Q; I; Q; I; Q; I) c) 5, d) 0, e) 7, f) 4, TEORÍA: Verdadero o falso? Razonar la respuesta: a) Todo número real es racional. b) Todo número natural es entero. c) Todo número entero es racional. d) Siempre que multiplicamos dos números racionales obtenemos otro racional. e) Siempre que multiplicamos dos números irracionales obtenemos otro irracional. f) Entre dos números reales eiste siempre un racional. g) " " " " " " irracional 8. Separar los siguientes números en racionales e irracionales, indicando el porqué:,6 π 69 0,7 0, ,75-6,4 5, (Sol: Q; I; I; Q; Q; Q; Q; Q; I; Q; Q; Q; I) 8. a) Representar sobre la misma recta real los siguientes racionales: 5 9 0,6,5, b) Construir,, 5, 6, 7, 8 y 0 sobre la recta real (no necesariamente sobre la misma), mediante regla y compás, y la aplicación del teorema de Pitágoras. Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

21 Repaso fracciones, potencias y raíces: 84. Operar, simplificando en todo momento: 5 6 : : = 5 6 : : (Sol: 46/4) 85. Completar: m n a a = a m n a = m ( a ) n = ( a b ) n = n a = b 0 a = n a = a b n = n = ( ) par = ( ) impar = ( ) par basenegativa = ( ) impar basenegativa = Añadir estas fórmulas al formulario matemático de este curso. Utilizando las propiedades anteriores, simplificar la siguiente epresión: 0 ( ) ( ) + = (Sol: ) 86. Completar: Definición de raíz n-ésima n a= Casos particulares de simplificación Equivalencia con una potencia de eponente fraccionario Simplificación de radicales/índice común Producto de raíces del mismo índice Cociente de raíces del mismo índice n n = ( ) n n = n m = n p n n n m p = n a b= a b = Potencia de una raíz ( ) m n a = Raíz de una raíz m n a = Introducir/Etraer factores n a= Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

22 MATEMÁTICAS aplicadas a las CCSS I Añadir estas fórmulas al formulario matemático de este curso. Utilizando las propiedades anteriores, simplificar la siguiente epresión: a a ( ) a a = (Sol: a ) 87. Operar, simplificando en todo momento: a) : 4 = 5 : 5 (Sol: 4/5) b) + ( ) + ( ) ( ) = (Sol: -4/79) c) 4 8 ( ) = (Sol: 4 5 d) : : 4 5 = (Sol: 6/697) e) ( 4) = (Sol: -/64) ( 5 ) f) = (Sol: 4 5 ) g) = (Sol: -608/8) 88. a) Etraer factores y simplificar: = 5 Sol : b) Sumar, reduciendo previamente a radicales semejantes: 7 Sol : = 4 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

23 5 6 Sol : + 6 Sol : 5 0 MATEMÁTICAS aplicadas a las CCSS I c) Racionalizar y simplificar: = Sol : = 96 Sol : = 5 (Sol: ) 89. a) Simplificar, reduciendo previamente a radicales semejantes: = b) Racionalizar y simplificar: 6 + = = (Sol: /7) 5 Sol : c) Operar y simplificar: ( 7 + ) ( 5 ) = (Sol: 8) d) Simplificar y operar: = 90. Racionalizar denominadores y simplificar: a) Sol : b) 6 Sol : 4 c) + + d) = Sol : + e) + (Sol: 7) ( ) Sol : Repaso de fracciones algebraicas: 9. Operar y simplificar: a) (Sol: +4) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

24 + b) Sol : + + c) = + 6 d) e) = Sol : + 5 Sol : ( Sol : + ) Repaso de inecuaciones (más complicados): 9. Resolver: a) -7-7 (Sol: ) b) ( + )( ) ( + )( ) [Sol: (-,-5]U[, )] c) 0 > + 4 > + ( + ) ( + 6) [Sol: [6,0)] d) <9 e) f) > 5 5 g) +5+<0 h) +5+>0 i) ( + )( ) ( - )( + ) < 4 4 j) ( -4)( -)>0 k) ( -4)( +4)<0 [Sol: (-,)] [Sol: [-,0)U[, )] (Sol: <) (Sol: soluc.) (Sol: R) [Sol: (-,-)U(, )] [Sol: (-,)] l) m) n) ( ) ( + )( ) + < ( + ) ( + 4) + 4 ( +) ( ) + < [Sol: (0,7)] [Sol: [-,)] [Sol: [-,7)] Resolución gráfica de sistemas: 9. Resolver gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones; resolverlos a continuación analíticamente (por el método deseado), y comprobar que se obtiene idéntico resultado: Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

25 a) + y = y = (Sol: =7, y=5) g) + y = 5 + y = 7 (Sol: =, y=) b) + y = 6 y = (Sol: =0, y=) h) y = 4 6y = (Sol: soluc, S.C.I.) c) + y = 4 y = (Sol: =, y=) i) + y = y = (Sol: =, y=0) d) 5y = 4 0y = (Sol: soluc, S.C.I.) j) y = + y = (Sol: soluc, S.I.) e) + y = 0 y = 5 (Sol: =, y=-) k) y = y = f) y = 4 + 4y = 6 (Sol: soluc, S.I.) Resolución gráfica de inecuaciones: 94. Resolver gráficamente las siguientes inecuaciones de º grado; resolverlas a continuación analíticamente y comprobar que se obtiene idéntico resultado: a) [Sol: (-,]U[4, )] b) --<0 [Sol: (-,)] c) -5+6>0 [Sol: (-,)U(, )] d) [Sol: [-,5]] e) [Sol: (-,]U[7/, )] f) -6+4<0 [Sol: (,6)] g) [Sol: IR] h) ->0 [Sol: (-,0)U(, )] i) -4 0 [Sol: (-,-]U[, )] j) -4+4>0 [Sol: IR-{}] k) [Sol: IR] l) +6+9>0 [Sol: IR-{-}] m) -+<0 [Sol: soluc.] n) [Sol: =] o) 6-5-6<0 [Sol: (-/,/)] p) -4+7<0 [Sol: soluc.] r) -8+6<0 [Sol: (,)] s) [Sol: [-,-]] t) [Sol: [,4]] Notación científica: 95. Pasar a notación científica los siguientes números: a) = b) 456= c) 0,5= d) 0, = e) = f) 0,00000= g) ,4= h) 0,000009= i) = j) 4 billones = k) 50 millones $= l) 7,= m) 7= n) 0,000000= o) 0= p) = q) 0,000= r) = s) -45,45 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

26 96. Realizar las siguientes operaciones de dos formas distintas (y comprobar que se obtiene el mismo resultado): - Sin calculadora, aplicando sólo las propiedades de las potencias. - Utilizando la calculadora científica. a), ,6 0 7 = b) 4, ,4 0-8 = c), ,4 0 5 = d), 0 9 +,5 0 = e), 0 8 -, 0 8 = f) 7, , 0 - = g) 4, ,4 0 5 = h) ( 0 9 ) (,5 0 7 )= 9 i) 8,4 0 = 7 0 -, j) ( )( ) = k) ( 0 5 ) = La estrella más cercana a nuestro sistema solar es α-centauri, que está a una distancia de tan sólo 4, años luz. Epresar, en km, esta distancia en notación científica. (Datos: velocidad de la luz: km/s; año 65,5 días) Cuántos años tardaría en llegar una sonda espacial viajando a 0 km/s? (Sol: 4,068 0 km; años) 98. En una balanza de precisión pesamos cien granos de arroz, obteniendo un valor de 0, kg. Cuántos granos hay en 000 toneladas de arroz? Utilícese notación científica. (Sol:,6 0 granos) 99. Calcular el volumen aproimado (en m ) de la Tierra, tomando como valor medio de su radio 678 km, 4 dando el resultado en notación científica con dos cifras decimales. ( Volumen de la esfera : π r ) (Sol:, m ) 00. La luz del Sol tarda 8 minutos y 0 segundos en llegar a la Tierra. Calcular la distancia Tierra-Sol, empleando notación científica. (Sol:,5 0 8 km) Miscelánea (más complicados): 0. a) Dado P()= -9, hallar P 4 (), por Tartaglia (Sol: ) b) Dado Q()=-, se pide Q 5 (), por Tartaglia (Sol: ) c) Dados R() = +, hallar R () d) Dados S()= -, calcular S 4 () 0. Determinar el polinomio de grado que verifica: P(-)=P()=P(-)=0 y P(-)=8 0. Hallar la U e de los siguientes intervalos: a) A=[-,5) B=(,7) b) C=(0,] D=(, ) c) E=(-,0] F=(-, ) d) G=[-5,-) H=(,7/] e) I=(-,0) J=[0, ) f) K=(,5) L=(5,9] g) M=[-,-) N=(,7] h) O=(-,7) P=(,4] i) Q=[-,5) R=[, ) j) S=(0,) T=[9/, ) k) U=(-5,-] V=[-,4] l) W=(-,) X=[, ) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

27 Sol : a b MATEMÁTICAS aplicadas a las CCSS I 04. a) Qué otro nombre recibe el intervalo [0, )? Y (-,0]? b) A qué equivale IR + U IR -? Y IR + IR -? 05. Resolver: a) =0 b) 6-64=0 (Sol: =, =-) (Sol: =±) c) + y = (Sol: =; y =; =/5; y =/) = y d) = (Sol: =5) e) y = a = ay donde a R (Soluc : = a, y = a 4 ) f) = (Sol: =) g) h) = y y = y = y= (Sol: =, y=) (Sol: =; y=) 06. Resolver la ecuación 4 6 =, sabiendo que una de sus raíces es / (Sol: =±/, /) 07. Resolver la ecuación = (Ayuda: aplicar Tartaglia y Ruffini) (Sol: =) 08. Resolver: a) = 4 b) = + 4 (Sol: =-, =4) (Sol: =-/; =7) 09. a) Inventar una ecuación polinómica de grado que tenga únicamente por soluciones =-, = y = b) Inventar una ecuación polinómica de grado 4 que tenga únicamente como raíces y c) Un polinomio de grado, cuántas raíces puede tener como mínimo? Razonar la respuesta. (Sol: raíz) 0. Simplificar las siguientes fracciones algebraicas: y a) y = y + y b) = + c) a + b a+ b a+ b = a b ab ab (Sol: y) Sol : Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

28 MATEMÁTICAS aplicadas a las CCSS I d) y y y : + = y y y e) + = 4 Sol : y Sol : + + y +. Demostrar que: a) a b c a c a = d b d b a + b a b = b) ( ) ( ) = a b 4 4. Transformar en potencias de eponente fraccionario la siguiente epresión, operar y simplificar: 4 =. Despejar y simplificar: 5 + = 5 5 ( Sol : = ± 5 ) 4. Demostrar que son ciertas las siguientes igualdades: a) = ( ) b) + = ( +) 5. Dos árboles de 5 m y 0 m de altura están a una distancia de 5 m. En la copa de cada uno hay una lechuza al acecho. De repente, aparece entre ellos un ratoncillo, y ambas lechuzas se lanzan a su captura a la misma velocidad, llegando simultáneamente al lugar de la presa. A qué distancia de cada árbol apareció el ratón? (Ayuda: Si se lanzan a la misma velocidad, recorren el mismo espacio, pues llegan a la vez; aplicar el teorema de Pitágoras, y plantear un SS.EE. de º grado) (Sol: a 5 m del árbol más alto) 6. Calcular la velocidad y el tiempo que ha invertido un ciclista en recorrer una etapa de 0 km sabiendo que, si hubiera ido 0 km/h más deprisa, habría tardado una hora menos. (Sol: v=0 km/h; t=4 h) 7. En un terreno rectangular de lados 64 m y 80 m se quieren plantar 57 árboles formando una cuadrícula regular. Cuál será el lado de esa cuadrícula? (Ayuda: En el lado menor, por ejemplo, hay 64/ cuadrículas, y un árbol más que el número de cuadrículas) (Sol: =4 m) 8. Al aumentar en cm la arista de un cubo su volumen aumenta en 7 cm. Cuánto mide la arista? (Ayuda: plantear una ecuación de er grado) (Sol: 9 cm) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

29 9. Un ganadero decide repartir una manada de 456 caballos entre sus hijos e hijas. Antes del reparto se enfada con los dos únicos varones, que se quedan sin caballos. Así, cada hija recibe 9 cabezas más. Cuántas hijas tiene el ganadero? (Sol. 6 hijas) 0. Una cuadrilla de vendimiadores tiene que vendimiar dos fincas, una de las cuales tiene doble superficie que la otra. Durante medio día trabajó todo el personal de la cuadrilla en la finca grande; después de la comida, una mitad de la gente quedó en la finca grande y la otra mitad trabajó en la pequeña. Durante esa tarde fueron terminadas las dos fincas, a ecepción de un reducido sector de la finca pequeña, cuya vendimia ocupó el día siguiente completo a un solo vendimiador. Con cuántos vendimiadores contaba la cuadrilla? (Ayuda: Llamar al nº de vendimiadores y s a la superficie que vendimia una persona en media jornada, y plantear una ecuación, no un sistema!) (Sol. 8 vendimiadores) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

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31 FUNCIONES MATEMÁTICAS CCSS I º Bachillerato Alfonso González IES Fernando de Mena Dpto. de Matemáticas

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33 I) CONCEPTO DE FUNCIÓN. DEFINICIONES Ejemplo : Considerar la función y=f()= Podemos estudiar su comportamiento utilizando un diagrama de conjuntos o diagrama de Venn : f()= 0 4 Dom(f)=R Im(f)=R + Ahora bien, en la práctica lo anterior se suele indicar más bien mediante tabla de valores: f()= (NOTA: más adelante veremos que esta función se trata de una parábola ) Por ejemplo, se dice que la imagen de a través de la función anterior es 9, y se designa como f()=9 Muy importante!: Para que una función esté bien definida, cada no puede tener más de una imagen. Definiciones: «Una función es una aplicación entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento llamado, o variable independiente- del conjunto inicial le corresponde un único elemento a lo sumo llamado imagen de, o f()- del conjunto final». Como acabamos de indicar, se llama variable independiente, mientras que y es la variable dependiente (ya que, obviamente, depende de ). f() se llama imagen de, mientras que se llama antiimagen de f(). En el ejemplo anterior, la antiimagen de y=9 sería =±. Dominio de definición de la función: «Es el conjunto formado por todos los para los que eiste imagen»; se suele designar como Dom (f), o Dom f(), etc. En el ejemplo anterior sería, lógicamente, Dom (f)=r, como se indica en el propio diagrama de conjuntos. Introducidos en 880 por el matemático y filósofo británico John Venn (84-9) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

34 Imagen o Recorrido de la función: «Es el conjunto formado por todas las imágenes f() posibles que recorre la función»; se puede designar como Im (f), o R(f), etc. En el ejemplo anterior sería, lógicamente, Im (f)=r +, como también se indica en el diagrama. Por tanto, la definición ehaustiva de esta función sería: f: R R + f()= pero en la práctica, por comodidad, se suele abreviar diciendo simplemente f()= Ejercicios final tema: y II) GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Ejemplo : Construir la gráfica de f()= mediante tabla de valores f()=.. Definición: «La gráfica de una función y=f() está formada por los puntos (,y) que verifican la epresión y=f()». Observaciones: º) Podemos obtener gráficamente el Dom(f) si nos desplazamos imaginariamente de izquierda a derecha a lo largo del eje y vamos viendo -hacia arriba o hacia abajocuándo eiste imagen, es decir, cuándo hay gráfica. De la misma forma, podemos obtener el Im(f) a partir de la gráfica si nos vamos desplazando imaginariamente a lo largo del eje y de abajo a arriba y vamos viendo -a izquierda y derecha- cuándo eiste antiimagen(es), es decir, cuándo hay gráfica. º) El hecho de que un mismo no pueda tener más de una imagen se traduce gráficamente en que «Toda recta vertical que se desplace imaginariamente a lo largo de la gráfica sólo puede cortar a ésta a lo sumo en un punto». Ejemplo : Dada f() =, se pide: a) Representarla gráficamente. b) Deducir su Dom(f) e Im(f) a la vista de lo anterior. f()= Dom (f)= Im (f)= En cambio, una recta horizontal que se desplace imaginariamente por la gráfica puede cortar a ésta en varios puntos, lo que corresponde al hecho de que un mismo f() puede tener varias antimágenes (como ocurre en el ejemplo ) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

35 Ejercicios final tema: a 6 III) CÁLCULO DEL Dom(f) DE LAS FUNCIONES MÁS HABITUALES Vamos a ver una serie de "recetas" para deducir el dominio de definición de una función a partir eclusivamente del tipo de epresión analítica, es decir, sin necesidad de dibujar su gráfica previamente. III.) Función polinómica: «Dom[f() polinómica]=r» La eplicación es obvia: recordemos que el dominio de una función está formado por todos los para los que eiste imagen, y es evidente que, sea cual sea el polinomio, siempre va a eistir imagen R. III.) Función racional: Recordar que una función racional es toda aquella que se puede epresar como g() un cociente, es decir, una función del tipo f() = h() Pues bien, es obvio que para una función tal eistirá imagen siempre que el denominador no se anule; por lo tanto: «El Dom(f) de una función racional está formado por todos los para los que no se anula el denominador». Epresado en lenguaje matemático: { / } g() Dom f() = = h() 0 h() En la práctica, esto se traduce en ver cuándo se anula la epresión del denominador, es decir, resolver una ecuación; aquellos que sean raíces del denominador tendremos que ecluirlos del dominio: Ejemplo 4: Obtener, razonadamente, el Dom(f) de las siguientes funciones racionales: a) f() = 4 (Sol: Dom(f)=IR-{4}) b) f() = 4 c) f() = + 4 (Sol: Dom(f)=IR-{±}) (Sol: Dom(f)=IR) III.) Función irracional: Recordar que una función irracional es aquella en la que la figura dentro de una raíz. En este tipo de funciones es evidente que, si el índice de la raíz es par, entonces eistirá imagen siempre que el radicando sea 0; ahora bien, si el índice es impar, no hay ningún problema en que el radicando sea negativo. Por lo tanto: «El Dom(f) de una función irracional de índice par está formado por todos los para los que su radicando es 0». Epresado en lenguaje matemático: { / } par Dom f() = g() = g() 0 En la práctica, esto se traduce en resolver una inecuación: Ejemplo 5: Obtener, razonadamente, el Dom(f) de las siguientes funciones irracionales: Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

36 a) f() = 9 (Sol: Dom(f)=[9, )) b) f() = 9 (Sol: Dom(f)=(-,-]U[, )) c) 4 f() = 4 + (Sol: Dom(f)=(-,]U[, )) d) f() = + 9 (Sol: Dom(f)=IR) e) f() = 9 (Sol: Dom(f)=IR) f) f() = + + (Sol: Dom(f)=IR) NOTA: Para hallar también analíticamente el Im(f) habría que obtener, previamente, la inversa de f() como veremos en el apartado VIII-, y hallar a continuación el dominio de ésta; como ello puede resultar complicado, se recomienda preferiblemente hallar el Im(f) gráficamente. Ejercicios final tema: 7 y 8 IV) PROPIEDADES QUE SE DEDUCEN DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN IV.) Continuidad: «Una función es continua si puede dibujarse su gráfica sin levantar el lápiz del papel. En caso contrario, se dice que es discontinua» En el tema 4 (Límites y continuidad) veremos una definición más formal de continuidad, que nos permitirá, además, obtener la continuidad de una función sin tener que representarla. De momento, nos contentaremos con esta definición "intuitiva", a partir de la gráfica. Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

37 NOTA: La continuidad se indica siempre respecto al eje. Ejercicio final tema: 9 IV.) Crecimiento y decrecimiento. M y m: Idea intuitiva: f( ) f() f() f( ) FUNCIÓN CRECIENTE FUNCIÓN DECRECIENTE Def: «Una función es creciente en un punto si en las proimidades de dicho punto se cumple que, a medida que aumentan las, aumentan también las imágenes f() correspondientes». «Una f() es decreciente en un punto si en las proimidades de dicho punto se cumple que, a medida que aumentan las, disminuyen las imágenes f() correspondientes». Más formalmente: f() es creciente en un punto si en las proimidades de dicho punto se cumple: < ' f() < f(') f() es decreciente en un punto si en las proimidades de dicho punto se cumple: < ' f() > f(') Observaciones: º) Para indicar que una función es creciente utilizaremos el símbolo, y si es decreciente. º) En el caso de una función constante, la definición sería: < ' f() = f(') En general, las funciones no son siempre crecientes o siempre decrecientes, sino que presentan intervalos de crecimiento o monotonía: M CREC DECREC CREC Def: «Una función presenta un máimo (M) en un punto si en las proimidades de dicho punto pasa de forma continua de creciente ( ) a decreciente ( )». «Una función presenta un mínimo (m) en un punto si en las proimidades de dicho punto pasa de forma continua de decreciente ( ) a creciente ( )». m Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

38 Más formalmente: f() tiene un M en =a si en todos los próimos a ese punto se verifica f()<f(a) f() tiene un m en =a si en todos los próimos a ese punto se verifica f()>f(a) Observaciones: º) Los intervalos de crecimiento, también llamados de monotonía, se indican respecto al eje. º) Los M y m que hemos definido se llaman etremos relativos 4. º) Cuando veamos el último tema (Derivadas), veremos una forma rápida y cómoda de obtener los intervalos de crecimiento y los etremos relativos, no gráfica sino analíticamente. 4º) Puede haber varios M o m, no haber, o infinitos. 5º) Si la f() es continua, entre dos M siempre hay un m, y viceversa. Ejercicio final tema: 0 IV.) Cortes con los ejes: Observando la siguiente gráfica ejemplo: y= (0,6) (-,0) (,0) (,0) es fácil entender la forma de obtener analíticamente es decir, sin necesidad de dibujar previamente su gráfica- los puntos donde una función corta a los ejes de coordenadas, y que se resume en la siguiente tabla: CORTE CON: CÓMO SE CALCULA? CUÁNTOS CORTES PUEDE HABER? eje Haciendo y=0 (Supone resolver una ecuación) ninguno, uno, o varios eje y Sustituyendo =0 uno o ninguno Ejercicios final tema: y 4 El máimo y mínimo que estamos definiendo se llaman etremos relativos o locales; el próimo curso los definiremos más formalmente, y también veremos que hay etremos absolutos Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

39 IV.4) Simetría: a) f() PAR: f(-)=f() f() simétrica respecto al eje y [f() SIMÉTRICA PAR] - b) f() IMPAR: f() - f(-)=-f() f() simétrica respecto al origen [f() SIMÉTRICA IMPAR] f(-) Observaciones: º) En la práctica, para ver si una función es simétrica a priori, es decir, sin necesidad de representarla gráficamente, tenemos que hallar f(-), es decir, reemplazar por ( utilizando, cuando sea necesario, paréntesis!), y simplificar la epresión resultante; a continuación, tenemos que ver si f(-) corresponde a alguno de los siguientes tres casos: f() PAR f( ) = f() IMPAR ninguno de los anteriores no es simétrica º) Eisten más tipos de simetría, pero nosotros este curso sólo vamos a ver estos dos. º) Una función no tiene por qué ser siempre simétrica; de hecho, la mayoría de las funciones no lo son. 4º) Utilidad de advertir a priori sin necesidad de hacer previamente una tabla de valores para dibujar su gráfica- si una función es simétrica: en caso de ser simétrica, podemos dedicar nuestros esfuerzos a la parte positiva del eje, y dibujar cómodamente su mitad negativa sabiendo que será simétrica... Por ejemplo, si una función es par y presenta un M(,5), necesariamente tendrá otro en M(-,5); ahora bien, si fuera impar, lo que presentaría es un m(-,-5). 5º) Se utiliza el adjetivo "par" porque la función simétrica par típica es y=, es decir, con eponente par (también tendría la misma simetría y= 4, y= - 6, etc.). De la misma forma, la función impar por antonomasia es y=. Ejercicios final tema: a 6 (Simetría) 7 y 8 (Estudio completo de una función) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

40 V) TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES FUNCIÓN ORIGINAL TIPO DE TRANSFORMACIÓN FUNCIÓN TRANSFORMADA GRÁFICA RESULTADO y=f()+k TRASLACIÓN hacia ARRIBA y=f() y=f()±k TRASLACIONES y=f() y=f()-k TRASLACIÓN hacia ABAJO TRASLACIÓN hacia la IZQUIERDA y=f(+k) y=f() y=f(±k) TRASLACIÓN hacia la DERECHA y=f() y=f(-k) y=k f() k> CONTRACCIÓN y=f() y=f() CONTRACCIONES o EXPANSIONES y=k f () 0<k< -<k<0 y=f() y=k f() y=f() y=k f() EXPANSIÓN (Refleión +) EXPANSIÓN k<- y=f() y=k f() (Refleión +) CONTRACCIÓN REFLEXIONES y=-f() y=f(-) y=f() y=-f() y=f(-) y=f() REFLEXIÓN respecto al EJE X REFLEXIÓN respecto al EJE Y

41 Ejercicios final tema: 9 y 0 VI) ALGUNOS CASOS PARTICULARES DE FUNCIONES VI.) Función constante y=k Su gráfica, lógicamente, es una recta horizontal, que corta al eje vertical a la altura de k unidades; ejemplos: y y y= 0 y=- =-4 = De forma parecida, =K representa una recta vertical, la cual corta al eje a la altura de k unidades; en el gráfico anterior puede verse un par de ejemplos de este caso. Qué ecuación tendrán entonces los ejes de coordenadas? VI.) Función afín y=m+n La gráfica de una función de er grado es siempre una recta. Ya vimos en los ejercicios del comienzo del tema que para representar una recta basta con dos valores (habitualmente se suele dar =0 e y=0, correspondientes a los cortes con los ejes). Ejemplo 6: Representar y = + y = 5 y = 5 sobre los mismos ejes. Consecuencias: º) m (el coeficiente de las ) se llama pendiente, e indica la inclinación de la recta: m>0 recta CRECIENTE m<0 recta DECRECIENTE (Si m=0 -es decir, si la recta carece de término en - significa que la recta y=n será horizontal, es decir, constante, como vimos en el subapartado anterior) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

42 º) n (el tº indpte.) se llama ordenada en el origen, e indica dónde corta la recta al eje y (Si n=0 -es decir, si la recta carece de tº indpte.- significa que la recta y=m necesariamente pasará por el origen; se llama función de proporcionalidad directa) y=+ y=--5 n= y= = y=- y= y=4 = y=-6 = n=-5 = Por cada unidad que aumenta la la y aumenta unidades m= y 4 m =... = = = = Por cada unidad que aumenta la la y disminuye unidades m=- y 6 m = = = =... = FUNCIÓN CONSTANTE m=0 Por lo tanto, en función del signo de m y n, eisten 4 casos: n n n n m>0 n>0 m>0 n<0 m<0 n>0 m<0 n<0 Ejercicios final tema: a 5 VI.) Función cuadrática y=a +b+c La gráfica de una función de o grado es siempre una parábola. Recordar de cursos anteriores que la forma rápida de representarla, mejor que mediante tabla de valores, es hallar los siguientes elementos: b º) Vértice: Su abscisa viene dada por v = ; la ordenada y v se obtiene sustituyendo v en la ecuación de la parábola. a Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

43 º) Cortes con los ejes: El corte con el eje se obtiene haciendo y=0, es decir, resolviendo la ecuación de º grado asociada a la parábola; nótese que la parábola no tiene por qué cortar necesariamente a dicho eje. El corte con el eje y se obtiene simplemente sustituyendo =0 en la ecuación de la parábola. Siempre va a cortar a dicho eje. Observaciones: El signo del coeficiente cuadrático, a, nos indica la orientación de la parábola: a>0 a<0 Las ramas de la parábola son simétricas respecto a un eje vertical que pase por su vértice. Caso particular: y=a Aplicando todo lo anterior es trivial comprobar que la parábola y=a pasa por el origen, el cual es a la vez su vértice y su corte con los ejes. Ejemplo 7: Representar la parábola y= -4+ Ejercicios final tema: 6 a 7 VI.4) Hipérbolas: Son curvas cuya epresión es de la forma a + b y =, donde c 0 c + d Ejercicio final tema: 8 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

44 A la vista del ejercicio anterior, para representar una hipérbola ya no es necesario hacer una tabla de valores, sino seguir los siguientes pasos: a º) ASÍNTOTAS: A.H: y = c A.V: Anular el denominador: c+d=0 d = c º) CORTES EJES: Corte eje : y=0 a + b = 0 c + d b = a Corte eje y: Sustituir =0 b y = d k y = Caso particular: Función de proporcionalidad inversa a + k k y = y = Si en la hipérbola c + d hacemos a=d=0 y c=, obtenemos, es decir, la llamada «Función de proporcionalidad inversa», ya vista en cursos anteriores. Recordar su gráfica, en función del signo de k: y = y = k>0 k<0 Ejercicios final tema: 9 a 44 VI.5) Función "parte entera" f()=ent() «Es la función que asocia a cada el entero más próimo situado a su izquierda en la recta real». Por ejemplo: Ent (5,)=5 Ent (5)=5 Ent (-4,7)=-5 Ent (-)=- etc Gráfica de la función Ent(): Ejercicio final tema: 45 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

45 VI.6) Funciones a trozos Para obtener la gráfica de una función definida a trozos, también llamada definida por ramas, hay que representar cada rama en su dominio particular de definición, como puede observarse en los siguientes ejercicios: Ejercicios final tema: 46 y 47 VI.7) Función valor absoluto: Definición: si 0 f() = = si > 0 Por lo tanto, su representación gráfica será: y=- y= Ejemplo 8: Representar f()= -4 y epresarla como función definida a trozos. Conclusión: Pasos a seguir para representar f() : º) Representar f(): f() f() Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

46 º) Las partes positivas (i.e. por encima del eje ) de f() se dejan igual, y las negativas se reflejan respecto al eje : -f() f() f() f() -f() Por lo tanto, la clave a la hora de dibujar f() es ver cuándo se anula la función del interior del valor absoluto -es decir, f()-, y reflejarla en los intervalos convenientes. Ejercicios final tema: 48 y a 59 (Problemas de aplicación) VII) INTERPOLACIÓN y EXTRAPOLACIÓN Ejemplo 8: Sabido es que los censos de población se realizan habitualmente cada 0 años. La tabla adjunta muestra la evolución de la población de la Comunidad de Madrid en los últimos decenios: Año Población Fuente: Instituto de Estadística de la Comunidad de Madrid ( Nos hacemos dos preguntas: Cuál fue la población en 006? Cuál será la población estimada en 0? Cuando queremos conocer un dato comprendido entre dos datos de la tabla el proceso se llama interpolación (en este caso, 006). Por el contrario, si el dato buscado está fuera de la tabla se trata de etrapolación (0 en el ejemplo). Para resolver las dos cuestiones planteadas, en primer lugar vamos a representar los datos de la tabla: POBLACIÓN AÑOS Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

47 Observamos que los datos están bastante alineados, y por lo tanto vamos a aplicar interpolación lineal (también eiste cuadrática, eponencial, etc.), es decir, suponemos que la relación funcional entre las dos variables del fenómeno estudiado es una recta. Para estimar la población en 006 calcularemos la recta que pasa por los dos últimos puntos: Compárese el valor obtenido con el real, habitantes, que puede obtenerse en la fuente mencionada en la tabla. Y para estimar la población madrileña en 0 podemos utilizar la misma recta: (Valor real: habitantes) A la hora de interpolar, conviene tener en cuenta: En primer lugar, conviene representar los datos más dados, para ver si procede aplicar interpolación lineal, o cuadrática, etc. Para calcular la recta de interpolación (o etrapolación) tenemos que escoger los dos datos más cercanos al dato del cual nos piden una estimación. La etrapolación es tanto menos fiable cuanto más nos alejemos de los datos dados. Por último, en ciertos casos se puede interpolar/etrapolar gráficamente. Los ejemplos más típicos son los de la evolución de la población mundial, o de las temperaturas medias debido al cambio climático: Ejercicios final tema: 60 a 68 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

48 68 EJERCICIOS de FUNCIONES Concepto de función:. Dada f () =, se pide: a) Razonar que se trata de una función. b) Calcular f(4), f(), f(0), f(-9), f(/4), f() y f( ). Ídem para f()=+ c) Hallar la antiimagen de, de 5 y de -4 d) Razonar cuál es su Dom(f) e Im(f). Cuáles de estas representaciones corresponden a la gráfica de una función? (Razonar la respuesta): a) b) c) d) 4. Cuál es el Dom(f) e Im(f) de cada una de estas funciones?: a) b) c) De un cuadrado de 4 cm de lado, se cortan en las esquinas triángulos rectángulos isósceles cuyos lados iguales miden. a) Escribir el área del octógono que resulta, en función de (Sol: A()=6- ) b) Cuál es el dominio y recorrido de esa función? (Sol: Dom(f)=[0,]; Im(f)=[8,6]) 4 cm Gráfica de una función: 6. Para cada una de las funciones que figuran a continuación se pide: i) Tabla de valores apropiada y representación gráfica. ii) Dom(f) e Im(f) a la vista de la gráfica. iii) lim f() y lim f() a) f()=+5 b) f()= -4+ vértice? c) f()= d) f()= 4 e) f()= f) f() = 9 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

49 g) h) f() = asíntotas? lim f() y lim f()? f() = asíntotas? lim f() y lim f()? - + i) f() = asíntotas? + Cálculo del Dom(f): 7. Obtener analíticamente, de forma razonada, el Dom(f) de las funciones del ejercicio anterior, comprobando que se obtiene el mismo resultado que gráficamente. 8. Sin necesidad de representarlas, hallar analíticamente el Dom(f) de las siguientes funciones: a) b) c) f() = + + f() = f() = 8 d) f() = 4 e) f() = 6 f) f() = + 6 g) f() = + 5 h) f() = + 5 i) f() = 5 j) f() = 4 k) f() = 9 l) f() = + 8 m) f() = n) o) p) q) f() = f() = 6 + ( ) + f() = 6 f() = r) s) t) u) f() = + 4 f() = f() = + + f() = v) f() = + + w) + f() = 4 (Sol: a) IR; b) IR-[-5}; c) IR-{-,4}; d) IR-{0,4}; e) IR-[±4}; f) IR; g) [-5, ); h) (-5, ); i) [5/, ); j) (-,4]; k) (-,-]U[, ); l) (-,-4]U[, ); m) IR; n) (-4,0]U(4, ); o) IR-{/}; p) [-,-)U(, ); q) (4, ); r) IR; s) (-,)U(, ); t) IR-{-}; u) IR; v) IR; w) IR-{±}) Propiedades que se deducen de la gráfica de una función: 9. A la vista de sus gráficas, indicar la continuidad de las funciones del ejercicio A la vista de sus gráficas, indicar los intervalos de crecimiento y los posibles M y m de las funciones del ejercicio 6.. Hallar analíticamente los posibles puntos de corte con los ejes de las funciones del ejercicio 6, y comprobar que lo obtenido coincide con la gráfica.. Hallar los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones (en el caso de las cuatro primeras, dibujar además, únicamente con esa información, la gráfica): a) y = 6 b) f() = + c) f() = + + d) f() = e) y = 4 + f) f() = + 4 g) f() = + 4 h) y = i) = y j) f() = + k) y = + 9 l) f() = m) y = n) f() = o) f() = 4 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

50 p) y = q) f() = r) f() = (Sol: a) (,0),(0,-6); b) (-,0),(,0),(0,-); c) (0,); d) (0,0),(,0); e) (-,0),(,0),(0,-); f) (-,0),(0,); g) (0,4); h) (-4,0),(0,); i) (,0),(-,0),(0,); j) (-,0),(,0); k) (0,); l) (,0),(,0),(,0),(0,-6); m) (0,); n) (0,-); o) (-,0),(,0),(0,-)). Hallar analíticamente la posible simetría de las funciones del ejercicio 6, y comprobar que lo obtenido coincide con la gráfica. 4. Hallar la posible simetría de las siguientes funciones: 4 a) f() = b) f() = c) f() = 4 d) f() = e) f() = 5 f) f() = g) h) i) + f() = y = y = + + j) k) l) f() = + 6 y = f() = 5 m) y = n) o) 5 + f() = + + y = + (Sol: a) par; b) impar; c) par; d) no simétrica; e) no simétrica; f) impar; g) par; h) impar; i) impar; j) par; k) impar; l) no simétrica; m) no simétrica; n) no simétrica; o) no simétrica) 5. a) Una función puede ser simétrica par e impar al mismo tiempo? Razonar la respuesta. b) Demostrar que toda función impar definida en el origen necesariamente pasa por éste 6. Estudiar los puntos de corte con los ejes y la simetría de las siguientes funciones: a) 4 f() = b) + + y = c) + 4 y = d) 9 = e) + y f() = Estudio completo de una función (I): 7. Dada f()= - se pide: i) Dom(f) ii) Posible simetría. iii) Posibles cortes con los ejes. iv) Tabla de valores apropiada y representación gráfica. v) Intervalos de crecimiento. Posibles M y m. vi) Es continua? vii) A la vista de la gráfica, indicar su Im(f) viii) Ecuación de las posibles asíntotas. i) lim f() y lim f() ) Hallar la antiimagen de y= Ídem para: a) f()= - Antiimagen de y= b) + y = Antiimagen de y= c) y= 4 - Antiimagen de y=-/ d) y = + Antiimagen de y=4/5 e) f()= - Antiimagen de y=- f) f() = + Antiimagen de y= g) y=- + Antiimagen de y=- h) i) j) k) l) 9 y = + 9 f() = Antiimagen de y=-/ f() = Antiimagen de y=- = Antiimagen de y=-/ + + y = Antiimagen de y=-/ + y Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

51 m) y = 4 ( ) o) + 5 y = Antiimagen de y=-6 n) y = Transformaciones de funciones: 9. Completar la siguiente tabla (véase el primer ejemplo): FUNCIÓN ORIGINAL TIPO DE TRANSFORMACIÓN FUNCIÓN TRANSFORMADA RESULTADO TRASLACIÓN hacia ARRIBA f()±k y= +4 TRASLACIONES y= - TRASLACIÓN hacia ABAJO TRASLACIÓN hacia la DERECHA f(±k) y=(-) TRASLACIÓN hacia la IZQUIERDA y= y=(+) CONTRACCIONES o EXPANSIONES y= y = CONTRACCIÓN EXPANSIÓN (Refleión +) CONTRACCIÓN y=- Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

52 REFLEXIÓN respecto al EJE X 4 y= -4+4 REFLEXIONES y=-( -4+4)= REFLEXIÓN respecto al EJE Y y=(-) -4(-)+4= a) A partir de la gráfica de f() =, representar las gráficas de f() = +, ( ) f() = +, f() = y ( ) f() = (cada una en distintos ejes), indicando el nombre de la transformación obtenida. b) Ídem con f() = + y las funciones f() = +, f() = ( + ) y f() = + c) Ídem con f() = y las funciones f() = y f() = Ejercicios de rectas:. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(,) y B(,7). Representarla gráficamente. Comprobar gráficamente su pendiente y ordenada en el origen. (Soluc: y=+). Ídem para: a) A(,-) y B(4,8) (Soluc: y=-4) b) A(-,4) y B(,) (Soluc: y=-+) c) A(-4,-) y B(,-4) (Soluc: y=-/-) d) A(-,-) y B(,-7) (Soluc: --) e) A(,) y B(-6,-) (Soluc: y=/) f) A(,) y (,7) (Soluc: y=-). Hallar, razonadamente, la ecuación de las siguientes rectas: a) b) c) d) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

53 (Soluc: a) y=+4; b) y=-+; c) y=-; d) y=-+7) 4. Dada la recta de la figura, se pide: a) Hallar su epresión analítica. (Soluc: y=-+7) b) Comprobar gráficamente el valor de la pendiente obtenido en el apartado anterior. c) Deducir, analíticamente, dónde corta a los ejes. 5. Midiendo la temperatura a diferentes alturas se han obtenido los datos de la tabla: Altura (m) Temperatura (ºC) ,5 a) Representar la temperatura en función de la altura. b) Obtener su epresión algebraica. (Soluc: y=-/80+0) c) A partir de qué altura la temperatura será menor de 0ºC? (Soluc: =800 m) Ejercicios de parábolas: 6. Representar sobre los mismos ejes las siguientes parábolas. Qué conclusiones podemos etraer?: a) y= b) y= c) y= / d) y=- e) y=-4 7. Dadas las siguientes parábolas, hallar: i) Vértice. ii) Posibles puntos de corte con los ejes. iii) Representación gráfica. a) y= -6+8 i) y= +- q) y=(+5) -8 y) y=- -6+ b) y= -- j) y= -4 r) y=(-) -8 z) y= -+ c) y=- -4- k) y= +4 s) y=(-5) +8 α) y= -6+5 d) y= -4+7 e) y= -6 f) y= ++ g) y= +5+8 h) y=- -- l) y= +4+5 m) y= +4+ n) y= o) y= +4+6 p) y=- - t) y=-(-) +8 u) y = ( + ) 5 v) y= -+ w) y= -4+ ) y= -8+6 β) y= + 4 γ) y= -0+8 δ) y = ε) y= a) Se sabe que la función y=a +b+c pasa por los puntos (,), (0,0) y (-,). Calcular a, b y c. (Soluc: y= ) b) Ídem para los puntos (,4), (0,-) y (,5) (Soluc: y= +-) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

54 9. Una función cuadrática tiene una epresión de la forma y=a +a+a y pasa por el punto P(,9). Calcular el valor de a. Cuál sería su vértice? 0. Calcular b para que la parábola y= +b+ pase por el punto P(,-). Cuál sería su vértice?. Calcular m para que la parábola y= +m+0 tenga el vértice en el punto V(,). Cuáles son los puntos de corte con los ejes?. Cuánto debe valer k para que la parábola y=4-0+k tenga un solo punto de corte con el eje de abscisas? Para qué valores de k no cortará al eje?. La parábola y=a +b+c pasa por el origen de coordenadas. Cuánto valdrá c? Si además sabemos que pasa por los puntos (,) y (4,6), cómo calcularíamos a y b? Hallar a y b y representar la parábola. 4. Una parábola corta al eje de abscisas en los puntos = y =5. La ordenada del vértice es y=-. Cuál es su ecuación? 5. Calcular la epresión de una función cuadrática cuya intersección con el eje son los puntos (,0) y (,0) 6. a) Una parábola tiene su vértice en el punto V(,) y pasa por P(0,). Hallar su ecuación. (Sol: y= -+) b) Ídem para la parábola de vértice V(-,) que pasa por P(,-) ( 8 Sol : y = ) 7. En cada apartado, representar las parábolas sobre los mismos ejes: a) y= b) y= c) A la vista de lo anterior, cómo sería la parábola y=(-4) y= +4 y=(-4) +5? Cuál es su vértice? y=(+5) y= -5 Hipérbolas. Función de proporcionalidad inversa: 8. Representar las siguientes hipérbolas: a) 4 y = b) y = + c) y = d) y = e) + y = 9. Supongamos que un pintor tarda 0 minutos en pintar él solo un muro. Es evidente que, por tanto, dos obreros trabajando a la vez tardarían 60 minutos, y así sucesivamente. Con estos datos, se pide: a) Completar la siguiente tabla: nº de pintores tiempo empleado en pintar el muro (en minutos 0 60 b) Cuál es la epresión algebraica de la función correspondiente? c) Representarla gráficamente. Qué pasa a medida que el número de pintores aumenta? Cómo se llama, por tanto, una función así? Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

55 d) Indicar otros tres ejemplos de situaciones de la vida real en las que se da una función de proporcionalidad inversa. 40. a) Hallar la ecuación de la función de proporcionalidad inversa que pasa por el punto (,5). b) Ídem para (,4) c) Ídem para (-5,) d) Ídem para (,-) (Soluc: a) y=5/; b) y=/; c) y=-5/; d) y=-/) 4. En la realización de un eperimento se han obtenido los valores de la tabla adjunta y 8 4 9, 7 5,6 4,6 4,5 a) Construir una gráfica. b) Se trata de una función de proporcionalidad inversa? c) En caso de ser así, hallar su fórmula (Sol: y=8/) Nº de obreros Días de trabajo tabla adjunta. 4. En una empresa constructora han realizado un estudio correspondiente a los días de trabajo necesarios para hacer una obra en función del número de obreros contratados, según muestra la a) Se puede ajustar la tabla a una función de proporcionalidad inversa? Por qué? b) En caso afirmativo, hallar su epresión algebraica y su gráfica. (Sol: y=800/) c) Cuántos obreros tendrán que contratar para hacer una obra en un plazo de dos semanas? (Sol: 58 obreros) Un depósito de 000 l se puede llenar con un sólo grifo en 0 horas En cuánto tiempo se llenarán dos grifos del mismo caudal? Y 4? Y 0? Construir una tabla y dibujar la gráfica correspondiente Cuál es su fórmula? (Sol: t=0/nº grifos) 44. Queremos encontrar todos los rectángulos que tengan por área 0 cm. Si llamamos b a la base y h a la altura del rectángulo, se pide: a) Obtener una relación entre b y h. b) Dibujar la gráfica de la función obtenida. 45. Representar la función f()=ent() Estudio completo de una función (II): 46. Dadas las siguientes funciones definidas a trozos se pide: i) Gráfica. ii) Dom(f) e Im(f) iii) Posibles cortes con los ejes. iv) Intervalos de crecimiento. Posibles M y m. v) Continuidad. vi) Ecuación de las posibles asíntotas. vii) lim f() y lim f() viii) Responder, además, a las preguntas particulares de cada - apartado: a) f() = si [, ) si (,) f(), f() y f()? Antiimagen de y=? 5 si (4, ) 4 si (-,) b) f() = si [,4] Hallar la antiimagen de y=6 Hallar la antiimagen de y= Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

56 c) si < f() = si < si f() y f(-)? Antiimagen de y=? Antiimagen de y=-? k) si f() = + si < 5-8 si > 8 Hallar la antiimagen de y -8 d) 5 si f() = si = / si > f(), f(/), f() y f(-)? Antiimagen de y=? Antiimagen de y=? Antiimagen de y=8? si 5 < 0 e) f() = si 0 < + si f) g) ( ] / si, f() = si (, ) - si < 0 f() = si = 0 4 si > 0 h) si (,] i) j) f() = 4 si (, ) 5 si 0 5 f() = + si 0 < 0 si > + f(0) y f()? Qué tiene por imagen y=0? Qué tiene por imagen y=/? Qué tiene por imagen y=/? 0 si < 0 si 0 < f() = 4 si < 6 0 si > 6 Vértice de la parábola? f(-6), f(0)? + 4 si < l) f() = si < 0 si > Hallar la antiimagen de y= + 5 si m) f() = 4 + si < si > 4 Hallar la antiimagen de y=6 + 0 si 4 n) f() = + si 4 < / si > Hallar qué tiene por imagen si 0 o) f() = si 0 < < 4 si 4 Hallar la antiimagen de y=4 + 4 si p) f() = 6 si < 6 4 si > 6 Hallar la antiimagen de y=4 4 si (,) q) f() = si [,5] + 6 si (5, ) Cuáles son las antiimágenes de y 6? si < r) f() = 5 si < si Hallar la antiimagen de si < s) f() = si < si > 4 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

57 + 5 si < - t) f() = + si - < 5 si - Hallar la antiimagen de 47. Hallar la epresión analítica es decir, como función definida por ramas de las siguientes funciones: a) b) 48. Dadas las siguientes funciones valor absoluto se pide: i) Definición analítica por ramas. ii) Gráfica. iii) Dom(f) e Im(f) iv) Posibles cortes con los ejes. v) Intervalos de crecimiento. Posibles M y m. vi) Continuidad. vii) lim f() y lim. f() - a) f() = b) f() = + c) f() = + 6 d) f() = e) f() = 4 + f) f() = 4 5 g) f() = 4 h) f() = 4+ 5 i) f() = - + j) f() = 4 k) f() = l) f() = 9 m) f() = + n) f() = + + o) f() = + 6 p) f() = q) f() = r) + si < f() = -6 si s) f() = +4+ si < ( ) si t) f() = + u) f() = t) f() = + + u) f() = A partir de la gráfica de f() =, representar sucesivamente (cada una en distintos ejes) f() = +, f() =, f() =, f() = y f() = Problemas de aplicación: 50. Una fotocopiadora cobra 5 cent por cada fotocopia, pero ofrece también un servicio de multicopia por el que cobra 50 cent por el cliché y 0,5 cent por cada copia de un mismo ejemplar. a) Obtener, para cada caso, la función que nos muestra lo que hay que pagar según el número de copias realizadas. b) Representar ambas funciones A partir de cuántas copias es más económico utilizar la multicopista? c) Resolverlo analíticamente, mediante una inecuación. (Sol: b) A partir de 5 copias inclusive) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

58 5. Para fabricar un determinado producto hace falta un gasto inicial fijo de 000 más 50 por cada unidad producida. Se pide: a) Razonar que el coste por unidad de fabricación disminuye según el número de unidades fabricadas y viene dado por la función y = b) Hacer la gráfica correspondiente Cuál es su Dom(f)? c) Cuál será el coste cuando el número de unidades se haga muy grande? (Sol: c) El coste tenderá a ser de 50 ) 5. En una academia de mecanografía han llegado a la conclusión de que el número de pulsaciones por minuto de un alumno promedio viene dado por la función ( + ) 400 y = + 5 donde representa el número de clases recibidas. Se pide: a) Representarla gráficamente Cuál es su Dom(f)? b) Cuántas clases necesita un alumno para conseguir 00 pulsaciones? c) Según este modelo, un alumno podría llegar a tener más de 400 pulsaciones? Por qué? (Sol: b) A partir de 7 clases. c) NO) 5. En una fábrica de montajes se ha estimado que el número de montajes realizados por un aprendiz dependen de los días de prácticas, según la función: 60 y = + 5 donde es el tiempo, en días. a) Cuántos montajes realizará el primer día? Y el día vigesimoquinto? b) Cuántos días tiene que practicar para superar los 60 montajes al día? c) Dibujar la gráfica de f() (Sol: a) 0 y 50 respectivamente b) Nunca) 54. Un técnico de una compañía ha calculado que los costes de producción (en ) de un determinado producto vienen dados por la siguiente epresión: C()= donde representa el número de unidades producidas. Por otra parte, cada unidad se vende al público a un precio de 50. a) Epresar, en función del número de artículos producidos, el beneficio y representarlo gráficamente. b) Cuántas unidades hay que producir para que el beneficio sea máimo? Cuál es ese beneficio? (Sol: b) 50 unidades; 500 ) 55. La dosis de un fármaco comienza con 0 mg y cada día debe aumentar mg hasta llegar a 0 mg. Debe seguir 5 días con esa cantidad y a partir de entonces ir disminuyendo 4 mg cada día. a) Representar la función que describe este enunciado y determinar su epresión analítica, como función definida por ramas. b) Indicar cuál es su dominio y recorrido. (Sol: b) Dom(f)=[0,5]; Im(f)=[0,0]) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

59 Resolución gráfica de problemas de optimización: 56. Con un listón de madera de 4 m de largo queremos fabricar un marco para un cuadro. a) Razonar que el valor de la superficie para una base cualquiera viene dado por S()=- b) Representar gráficamente la función anterior Cuál es el valor de la base para el que se obtiene la superficie máima? c) Cuánto vale dicha superficie? (Sol: b) m c) m ) 00 m pared 57. Con 00 m de valla queremos acotar un recinto rectangular aprovechando una pared de 00 m de largo, como indica la figura. valla b) Cuáles serán las dimensiones del recinto de área máima? c) Cuánto vale esa área? (Sol: a) S()=00- b) 5 m 50 m c) 50 m ) a) Llamar a uno de los lados y construir la función que nos da el área. Representarla gráficamente Cuál es su Dom(f)? 58. Tenemos 00 kg de naranjas que hoy se venderán a 40 cent/kg. Se estima que cada día que pase se estropeará kg, pero el precio aumentará cent/kg. a) Razonar que el beneficio que obtendremos al vender pasados días viene dado por B()= b) Representarla gráficamente y hallar su dominio de definición. c) Cuándo hemos de venderlas para obtener el máimo beneficio? Cuál será ese beneficio? (Sol: c) Interesará venderlas pasados 80 días) 59. Una cooperativa ha cosechado kg de tomates que puede vender a 5 cent/kg. Se sabe que, por cada semana que transcurre, se pierden 4000 kg de tomates pero el precio de cada kg aumenta en 5 cent. Epresar el valor total de los tomates en función del tiempo. Representar la gráfica de dicha función e indicar al cabo de cuántas semanas nos interesará vender. (Sol: B()= ;,5 semanas 5 50 ) Problemas de Interpolación/Etrapolación: Altura (cm) Peso (kg) ,5 (Sol: 7,8 kg) b) La altura adecuada para un hombre que pese 70 kg. (Sol: 67,8 cm) 60. En la tabla podemos encontrar los pesos ideales correspondientes a las distintas alturas de hombres. Calcular por interpolación lineal: a) El peso adecuado para un hombre que mida 7 cm. 6. En la tabla podemos encontrar los pesos perfectos para mujeres. Calcular por etrapolación lineal: a) El peso adecuado para una mujer que mida 7 cm. (Sol: 60, kg) b) La altura adecuada para una mujer que pese 48 kg. (Sol: 55,7 cm) Altura (cm) Peso (kg) 5 54,5 58 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

60 6. Las ventas de un periódico en los últimos años han sido las que figuran en la tabla. Año Nº de ejemplares (miles) a) Calcular la recta de interpolación lineal con los años 008 y 00. (Se recomienda utilizar 0,,, y 4 como valores de la variable) (Sol: y=,5+65) b) Calcular, con la recta hallada, el valor teórico correspondiente al año 009 Qué diferencia hay entre el valor teórico y el real? (Sol: ejemplares) c) Con los valores correspondientes a los años 989, 990 y 99, calcular el polinomio de interpolación cuadrático. (Sol: y=4, -+8,67) d) Hallar, utilizando el polinomio anterior, el valor teórico correspondiente a 0. Compararlo con el que se obtendría por interpolación lineal Cuál de las dos aproimaciones es mejor? (Sol: ejemplares, por interpolación cuadrática) e) Calcular por etrapolación las ventas que tendrá el periódico en 0. (Sol: ejemplares, por interpolación lineal) 6. Una entidad de crédito ha tenido en los últimos años los depósitos indicados en la tabla adjunta. a) Calcular los depósitos correspondientes a 0. (Sol: 85 millones de, por interpolación lineal) Año Depósitos (millones de ) b) Calcular los depósitos de los años (Sol: 5 y 55 millones de, respectivamente) 64. En un eperimento de laboratorio se ha medido la temperatura de enfriamiento de un líquido a temperatura ambiente de 0 ºC. Tiempo transcurrido (horas) Temperatura (ºC) Qué temperatura tendría la muestra transcurridas 4 horas? Y en 0 horas? (Sol: 45º y 0º respectivamente, por interpolación cuadrática) 65. Una gran empresa presenta el balance de algunos de sus últimos ejercicios, en los que se han producido las siguientes ganancias en millones de : Año Beneficios (millones de ) Determinar, por el método de interpolación cuadrática, las ganancias correspondientes a los años 0 y 0. (Sol:,75 y,75 millones de, respectivamente) 66. La siguiente tabla recoge la depreciación de un determinado modelo de BMW 8 lanzado al mercado en 00: Año Precio ( ) en 05? a) Dibujar la gráfica correspondiente e indicar a qué modelo interpolador responde mejor. b) Cuánto nos darán por este modelo Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

61 67. El número de trasplantes de riñón efectuado en un determinado país en 0 fue de 86, mientras que en 04 fue de 8. Usando interpolación lineal determinar el número de trasplantes que se efectuaron en 0 y 0. (Sol: 66 y 009, respectivamente) 68. El gasto (en ) en fotocopias en una oficina viene dado por los siguientes datos durante los tres primeros meses del año: Obtener el polinomio interpolador cuadrático y deducir el gasto en fotocopias probable para el mes de abril. (Sol: 50 ) Mes enero febrero marzo Gasto ( ) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

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63 LOGARITMOS John Neper (550-67) Henry Briggs (56-60) MATEMÁTICAS CCSS I º Bachillerato Alfonso González IES Fernando de Mena Dpto. de Matemáticas

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65 I) FUNCIÓN EXPONENCIAL de BASE a f()=a «Es aquella función en la que la variable independiente figura en un eponente, es decir, toda función del tipo f()=a, donde a R + -{}». Ejemplo : Construir una tabla de valores apropiada y representar f()= y= Consecuencias: º) Signo de f(): º) Crecimiento: º) Dom(f)= Im(f)= 4º) Asíntotas: 5º) lim lim = = Ejemplo : Ídem con f() = = 0,5 = = y = Consecuencias: º) Signo de f(): º) Crecimiento: º) Dom(f)= Im(f)= 4º) Asíntotas: 5º) lim = lim = En la siguiente página se eplica por qué se impone que a R + - { } Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

66 Definición: Función eponencial de base a>0 (a ): R R + -{0} a NOTA: Se considera a>0 porque, en caso contrario, obtendríamos una función poco "congruente"; por ejemplo, para f()=(-) : f ( ) = ( ) = 4 > 0 Pero f ( ) = ( ) = 8 < 0 / f ( / ) = ( ) = = etc. Propiedades de la función eponencial: º) La función a siempre pasa por (0,) y (,a) º) a> a CRECIENTE a< a DECRECIENTE º) Dom (f ) =R, es decir, «La función eponencial a siempre está definida» 4º) Im(f ) =R + -{0}, o dicho de otra forma, a >0 R, es decir, «La función eponencial siempre es estrictamente positiva» 5º) a> 0<a < lim a = 0+ lim a = lim a = lim a = 0+ 6º) y=0 A.H., es decir, «La función eponencial a siempre presenta el eje como A.H.» Todo lo visto hasta ahora se puede resumir en las siguientes gráficas: y=a y=a y=0 A.H. a a> 0<a< a Nótese que nos referimos a a ; por ejemplo, a / no estará definida en =0 De nuevo, nos referimos a a ; por ejemplo, a / presenta la A.H. y= Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

67 Caso particular: Cuando la base es e, (cte. de Euler 4 ), tenemos la función eponencial de base e, utilizada muy frecuentemente. (Construiremos su gráfica en el ejercicio del final del tema). II) FUNCIÓN LOGARÍTMICA de BASE a f()=log a La enorme complejidad de los cálculos que se presentaron durante el siglo XVI en los estudios astronómicos dio lugar a numerosos intentos de simplificación, entre ellos la sustitución de multiplicaciones por sumas. Se debe al escocés John Napier (en latín, Neper) la invención en aquella época de los logaritmos, lo cual trajo consigo la función logarítmica. En cambio, el reciente desarrollo de la electrónica ha originado que en la actualidad prácticamente haya desaparecido la importancia de su utilización como técnica de cálculo, aunque no como concepto matemático. Definición: «La función logarítmica y=log a (con a>0 y a ) es la inversa de la función eponencial y=a» Ejemplo : Utilizando la tabla de la función y= (ejemplo ), obtener la tabla de y=log y su gráfica FUNCIÓN INVERSA y= y y=log FUNCIÓN INVERSA y 4 El número e, llamado constante de Euler -en honor al matemático suizo Leonhard Euler (707-78)-, surge como límite de la siguiente sucesión: an = + n n Por ejemplo, n= a = n=00 a 00 n= a =,5 =,5 n= 000 a 000 n= a =,,704 n=0 000 a n=4 a 4 =,5 4 n=00000 a n=5 a 5 n e, Se trata de un número irracional, es decir, consta de cifras decimales no periódicas. Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

68 Nótese en la tabla que: log 4= (pq =4) Y, en general: log 8= (pq =8) log 6=4 (pq 4 =6) Definición: «El logaritmo en base a de un número es el eponente al que hay que elevar la base para obtener dicho número» argumento o antilogaritmo log a N = a = N base logaritmo Ejemplos: log 8= pq log 0 00= log 64= log /= log 9 = log (-9)= pq pq pq pq pq Nótese que en todo esto hay cierta analogía con la conocida definición de n a = como inversa de n Ejemplo 4: Utilizando la tabla de la función y = (ejemplo ), obtener la tabla de y=log / y su gráfica. y = FUNCIÓN INVERSA y y=log / FUNCIÓN INVERSA y Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

69 CONCLUSIÓN: Propiedades de la función logarítmica: º) Dom(f ) =R + -{0}, o dicho de otra forma, «No eiste el logaritmo de un número negativo 5» º) Im(f ) =R, por lo que podemos añadir: «pero un logaritmo puede ser negativo» º) loga a = (porque a =a) «El logaritmo de la base siempre es» loga = 0 (porque a 0 =) «El logaritmo de, sea cual sea la base, siempre es 0» 4º) a> log a CRECIENTE 0<a < log a DECRECIENTE 5º) a> lim loga = lim loga = + 0 a< lim loga = lim loga = + 0 6º) =0 A.V., es decir, «La función logarítmica log a siempre presenta el eje y como A.V. 6» Todo lo visto hasta ahora se puede resumir en las siguientes gráficas: y=log a =0 A.V. a> 0<a< (a,) (a,) (,0) a (,0) a y=log a =0 A.V. Caso particular: LOGARITMOS NEPERIANOS 7 : Son los que utilizan como base e, ; tienen una notación especial: log e =ln Ejercicio final tema: a 4 5 Nótese que, puesto que la función eponencial y la logarítmica son inversas, el dominio de una coincide con el recorrido de la otra, y viceversa. 6 Nótese que nos referimos a log a ; por ejemplo, log presenta únicamente A.V. en = y = 7 Se llaman así en honor a John Neper (550-67), matemático escocés que, como ya se ha dicho, ideó los logaritmos para simplificar cálculos. Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

70 Las calculadoras normalmente disponen de sendas teclas log y ln para calcular logaritmos decimales o neperianos Cómo obtener logaritmos en cualquier base?: log ln log a DERIVE LOG(,0) LN() o LOG() LOG(,a) GRAPH log() ln() logb(,a) CALCULADORA log ln log : log a NOTA: La última fórmula, llamada del cambio de base, se eplicará en el apdo. V III) CÁLCULO LOGARÍTMICO III.) Logaritmo de un producto: log (p q) = log p + log q Es decir, «El logaritmo de un producto es la suma de logaritmos» conocemos p y q Dem: loga p = a = p y y a ( ) y p q a a a + = = log p q = + y = log a p + log a q (C.Q.D.) loga q y a q = = Observaciones: ) Esta fórmula es válida en cualquier base. ) Esta fórmula se puede generalizar a o más argumentos: log (p q r ) = log p + log q + log r etc. ) Esta fórmula y las siguientes que veremos a continuación- nos puede servir para comprender cómo surgieron los logaritmos en el siglo XVI como instrumento para facilitar los cálculos astronómicos con cantidades elevadísimas para la época (como ya indicamos al comienzo del apartado II). Vamos a eplicarlo con un ejemplo: Supongamos que queremos hallar el valor de N= (Recordar que, antes de la aparición de las calculadoras, operaciones de este tipo eran muy laboriosas) Tomamos logaritmos en ambos miembros: log log =logn Se disponía de tablas de logaritmos muy completas, con las que se podía reemplazar cada logaritmo por su valor (evidentemente, era más fácil sumar a mano decimales que multiplicar números de muchas cifras): 6,44 +6,940 = log N Es decir:,5085 = logn A continuación, se buscaba en las tablas el caso inverso, es decir, cuál es el número cuyo logaritmo es,5085 (lo que se conoce como antilogaritmo 8 ): 8 En la calculadora, para hallar un antilogaritmo, normalmente se utiliza la combinación SHIFT-log: log N =,5085 N= SHIFT-log,5085 = Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

71 log N=,5085 N= Hoy en día todo esto se nos puede antojar algo laborioso, pero situémonos en aquellos tiempos no muy remotos 9 -, sin ordenadores ni calculadoras III.) Logaritmo de un cociente: Dem: p log log p log q q = Es decir, «El logaritmo de un cociente es la resta de logaritmos» III.) Logaritmo de una potencia: n log p = n log p Es decir, «El logaritmo de una potencia es el eponente por el logaritmo de la base» Dem: Vamos a probarlo para n N: n términos n términos n logp = log(p p p... p) = logp + logp logp = n logp (C.Q.D.) Observaciones: ) En realidad esta fórmula es válida n R ) Caso particular: LOGARITMO DE UNA RAÍZ: log p = log p = logp (C.Q.D.) n n /n Es decir: «El logaritmo de una raíz es el inverso del índice multiplicado por el logaritmo del radicando» Ejercicios final tema: 5 al IV) ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS «Una ecuación eponencial es aquella en la que la incógnita aparece como eponente». Eisten varios procedimientos para su resolución, dependiendo del tipo de ecuación; básicamente, se pueden resumir en tres: er caso: Algunas ecuaciones eponenciales se resuelven consiguiendo una igualdad entre dos potencias de la misma base, con lo cual los eponentes tendrán que ser iguales. 4+ = 8 Ejemplo 5: 9 Por ejemplo, el uso generalizado de las calculadoras se produjo en la década de los 70 del siglo pasado Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

72 o caso: Cuando figuran sumas y/o restas de epresiones eponenciales, lo que suele funcionar es aplicar un cambio de variable del tipo a =t (donde a suele ser primo), con lo cual la ecuación eponencial se transforma en una ecuación algebraica en t. 9 + = 664 Ejemplo 6: er caso: En otros casos lo que suele funcionar es tomar logaritmos decimales (o también neperianos, según convenga ) en ambos miembros ( evidentemente, esto no funciona cuando al menos uno de los miembros es una suma!). Ejemplo 7: = NOTA: El saber cuál de los tres procedimientos aplicar a una ecuación eponencial concreta es una técnica que requiere práctica y sentido común; en algunos casos sólo funciona uno de los tres métodos, mientras que en otros es posible que se pueda elegir entre dos de ellos, o cualquiera de los tres Para adquirir dicha técnica, resultará útil el siguiente ejercicio: Ejercicios final tema: al 4 «Una ecuación logarítmica es aquella en la que la incógnita aparece en el argumento de un logaritmo». Se resuelven siempre aplicando las propiedades de los logaritmos en orden inverso hasta lograr una igualdad de logaritmos de la misma base, con lo cual sus argumentos serán iguales (esto se conoce como propiedad inyectiva): log = log y = y a a IMPORTANTE!: En este caso es fundamental comprobar las posibles soluciones obtenidas sustituyéndolas en la ecuación del principio, y descartar aquellas que conduzcan a un logaritmo con argumento negativo. Ejemplo 8: log = log 4 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

73 Soluc : = 0 Ejemplo 9: 4 log - = log 4+log () ( ) Ejercicio final tema: 5 6 a 8 (Problemas de aplicación) V) CAMBIO DE BASE Fórmula del cambio de base de sistema de logaritmos: log = log a log b b a Dem: Puesto que el logaritmo y la eponencial son funciones inversas, es evidente que: = a log a Tomando log b en ambos miembros, y aplicando la fórmula del logaritmo de una potencia, obtenemos la fórmula anterior (desordenada): log = log a = log log a (C.Q.D) log a b b a b Utilidad: La fórmula del cambio de base permite calcular logaritmos en cualquier base con las calculadoras habituales, que sólo disponen de logaritmos decimales (o neperianos); en efecto, para ello basta con tomar b=0 en la fórmula, con lo cual se obtiene: log = log log a a Despejando: log log a = log a log 9 0, Ejemplo: log 9 = = = (Como puede comprobarse, aplicando la definición ) log 0, Ejercicios final tema: 9 a Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

74 EJERCICIOS de LOGARITMOS Función eponencial y logarítmica:. Para cada una de las funciones que figuran a continuación, se pide: i) Tabla de valores y representación gráfica. ii) Signo de f(). iii) Cortes con los ejes. iv) Intervalos de crecimiento. v) Dominio y recorrido. vi) Asíntotas. vii) lim f() y lim f() - a) f() = 0 y f() = log b) f() 0, = y f( ) = log 0, c) f() = e y f() = ln d) f() = y f() = log Definición de logaritmo: log N = a a = N (donde a>0, a ) Sistemas de logaritmos más utilizados: NOMBRE BASE NOTACIÓN DEFINICIÓN log N = 0 = N Logaritmo decimal a=0 log ln N = e = N Logaritmo neperiano a=e Ln, ln donde e, se llama cte. de Euler; es un número irracional. Definición de logaritmo:. Utilizando la definición, hallar los siguientes logaritmos: a) log 9 b) log 8 c) log /9 d) log (-9) e) log f) log 8 g) log h) log 4 i) log 4 64 j) log 0 0,0 k) log 4 /6 l) log 5 0, m) log 4 56 n) log 4 /64 o) log 0,5 p) log 4 q) log 04 r) log /64 s) log 7 t) log log 4 (Soluc: a) ; b) 4; c) -; d) ; e) /; f) /; g) ; h) /; i) ; j) -; k) -; l) -; m) 4; n) -; o) -; p) 0; q) 0; r) -6; s) /; t) ). Calcular los logaritmos decimales de los siguientes números (sin calculadora) y comprobar el resultado: a) b) c) 0,00 d) / e) 0 8 f) 0-7 g) 0 h) (Soluc: a) 4; b) 6; c) -; d) -6; e) 8; f) -7; g) ; h) 0) En honor a John Napier (Neper, en latín), matemático inglés (550-67) inventor de los logaritmos. Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

75 log MATEMÁTICAS aplicadas a las CCSS I 4. Utilizando la definición de logaritmo, hallar el valor de en cada una de las igualdades siguientes: a) log 8= f) log =- k) log 5=- p) log =0 u) log =0 b) log /8= g) log 49= l) log /00 00= q) log 0,5 = c) log 00= h) log 8= m) log 0.0= r) log (-6)= d) log = i) ln e = n) ln=-/ s) log 5=- e) ln= j) log 64= o) log /6 = t) log log = (Soluc: a) ; b) -; c) ; d) 7; e) e ; f) /9; g) 7; h) ; i) ; j) 64; k) /5; l) -; m) 0,; n) e/e; o) /96; p) ; q) 0,065; r) ; s) /5; t) 0 u) R) Cálculo logarítmico: Fórmulas del cálculo logarítmico: p q = log p + log q p log = log p -log q q n log p = n log p n log p = log p n (todas son válidas en cualquier base) Casos particulares: log a a = a log a = ln e = e ln = log a = a log = 0 a ln e = ln = 0 5. Aplicando las fórmulas anteriores, calcular (y hacer la comprobación): a) log6 6 4 b) log 7 c) log d) loga e) ln e 4 a f) 4 5 log 64 g) log 9 h) ln e i) log4 j) log8 k) log 8 l) ln e m) log 64 n) log4 64 o) log 5 8 p) log 9 q) e ln e r) log 4 ( 4) s) log t) log 7 u) log v) ln e w) log 4 ) log 0 log 5 + y) z) α) 00 log 0 log 7 9 ln 4 e e β) 0 log 0, γ) δ) ln e e log 4 7 ε) log/5 5 ζ) η) log5 5 5 ln e e (Soluc: a) -; b) /4; c) /; d) -/; e) ; f) -/5; g) /; h) -; i) /; j) /; k) 5/6; l) /; m) 6; n) -; o) /5; p) -/; q) -/; r) ; s) 5/; t) /; u) -9/5; v) -/; w) -5/; ) ; y) -/; z) -/; α) /4; β) /; γ) /; δ) -7/4; ε) -; ζ) -5/; η) -5/) 6. Volver a hacer el ejercicio, pero esta vez aplicando las fórmulas del cálculo logarítmico. Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

76 5 + log MATEMÁTICAS aplicadas a las CCSS I 7. Epresar en función de log los logaritmos decimales siguientes, y comprobar con la calculadora: a) log 6 d) log 0,5 g) log /40 j) log 0, m) log 0,0 8 b) log 5 e) log 0,65 h) log 6 k) log 0, n) log + log + log + log c) log /5 f) log 50 i) log 6/5 l) log 4 (Soluc: a) 4log ; b) -log ; c) -+6log ; d) -log ; e) -4log ; f) -log ; g) --log ; h) 4 log ; i) -+5log ; j) -+5log ; k) -+log ; l) ; m) + log ; n) -log ) 8. Epresar en función de ln o ln : ln 8 e e 4 ln ln ln a) b) c) 4 d) e (Soluc: a) ln ; b) -ln ; c) - ln ; d) + ln ; e) ln e e) f) 9e ln e + ln 5 ln 8 ln + ; f) ; g) ) g) 9e ln e 9. Epresar en función de log y log los logaritmos siguientes, y comprobar con la calculadora: a) log 5 b) log 4 c) log 4/ d) log 9/4 e) log 6 f) log 0 g) log 6 h) log,6 i) log, (Sol: a) - log ; b) log +log ; c) log -log ; d) log -log ; e) j) log 90 k) log 0,7 l) log 0,7 m) log,6 log + log ; f) +log ; g) log +4 log ; h) -+ log + log ; i) -+ log + log ; j) + log ; k) -+ log ; l) -+ log + log ; m) -/+ log + log ) 0. Epresar en función de log, log y log 7 los logaritmos siguientes: a) log 84 b) log 0,8 c) log 0,5 d) log 4,4 e) log. Calcular: a) b) 4ln ln ln ln e 5e + 5e + 5e (Sol: 6) ln ln e (Sol: ) c) ln ln ln 9e 8e + e (Sol: -/9). Justificar las siguientes igualdades: a) log 6 + log = log 9 + log 8 log 6 b) log 5=(-log ) c) log 6 + log -log = log 9 log e) + log 8 = = log/log log 5 + log (*) f) d) log 0 = 4. Sabiendo que log 7,54=0, , hallar (sin calculadora): a) log 75,4 b) log 0,00754 c) log 754 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

77 loga + logb log MATEMÁTICAS aplicadas a las CCSS I 4. Utilizando las fórmulas del cálculo logarítmico, desarrollar al máimo las epresiones siguientes: mnp a) log () log ln g) qr l) q) log ( 0 ) b) log ( ) log m) log ( -y a b c5 ) a/4 log r) log c) h) m mp n y log r mn n) pq r log i) d) ln (a p s) log ( n y m ) ) log m n m n o) log t) pq e) ln (a) 4 ln m j) e log log c p) f) m + ln log mn u) k) (Sol: a) log + log ; log c b) log + log ; c) log + log - log y; d) ln a+ ln ; e) ln a+ ln ; f) ; log log m + log n ln g) log m+log n+log p-log q-log r; h) 4 ; i) r log m+r log n-r log p; j) --ln ; k) ; l) ; m) log(+y)+log(-y); n) n log m -log p -r log q m + ; o) m ; p) n m + log log a + log b + 5 log c log m log p + q) ; r) ; s) n log +m log y; t) log + log m+ log n-log p-4 log q ln u) ) + log n m log m+ + log log 5. Obtener en las siguientes epresiones: log = + log a a) log = b) ln a + ln b ln = ln a ln c) b logc + logd Soluc : = 0 a ( ) a b Soluc : = ( c d ) b4 6 a Soluc : = a6 ( ). 6. Sabiendo que =7 e y=, utilizar la calculadora para hallar: a) log b) log () c) log d) log (+y) e) log + y f) + y log g) log + y a lo g + lo g b = 7 7. a) Hallar a sabiendo que b 7 (Soluc: a=49) N log 4 b) Si log 4 N=, cuánto vale N? Cuánto vale N? (Soluc: -8; N=64) 8. En qué base se cumple que log a +log a =? (Soluc: a=6) 9. V o F? Razonar la respuesta: a) log (A+B)=log A + log B b) log (A +B )=log A+ log B c) d) ln = ln ln = ln Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

78 e) AB C log logc AB log = g) Los logaritmos decimales de números < son negativos; en caso contrario, son positivos. f) El logaritmo de un número siempre da como resultado un número irracional. 0. CURIOSIDAD MATEMÁTICA: Comprobar la veracidad de la siguiente fórmula, debida al físico británico Paul Dirac (90-984), que permite escribir cualquier número N empleando solamente tres doses: N= log log (N raíces). Cuáles son los números cuyos logaritmos decimales están comprendidos entre 0 y? Y entre 0 y -? (Soluc: y 00; 0,0 y ) Ecuaciones eponenciales:. Resolver las siguientes ecuaciones eponenciales por el método más apropiado, y comprobar el resultado en cada caso: 0 +6 = 0 = (Soluc: 0,80). (Soluc:,57) = 8 =. (Soluc: =-). 7 (Soluc: -,7549) e4 5e + 5e + 5e 6 = = 80. (Soluc: 5,479) + = 0 4. (Soluc: =) + + = 6 5. (Soluc: =) = (Soluc: =-6) = (Soluc: =) = 8. (Soluc: soluc.) 5 = (Soluc: =) e 4 = + e 4 = 00 0 = 0005 / = = = (Soluc: 4,4055) (Soluc: =4) (Soluc: =) (Soluc:,0949) (Soluc: soluc.) (Soluc: =) 6. = 7 e (Soluc: -,958) = 7. = 9 8. ( ) e e + + e = 0 9. (Soluc: =, =) (Soluc: =) (Soluc: =) (Soluc: =0, =ln; =ln) = e = 4. 0 e 5e + 6e = 0 5. = e = e 4 - = = 0 9. = (Soluc: =) (Soluc: soluc.) (Sol: =, =) (Soluc: =) (Sol: =, =) (Soluc: -7,880) (Soluc: =, =) (Soluc: =5). e 9 = 7 (Soluc:,45) +9 =. (Soluc: 5,8) =. 8 (Soluc: =±) 4. 0 = + = 4 5. e + + e = e 6. (*) + e / = a = a 8. (Soluc: =) e e + = 0 9. (Soluc: 4 soluc.) 4 + = (Soluc: =) (Soluc: =0, =) (Soluc: =-, =) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

79 log log log MATEMÁTICAS aplicadas a las CCSS I (Soluc: =, =log /log ) = 5 (Soluc: =) = 4 = (Soluc: =0, =) + = = 7 4 = 6 (Soluc: =) (Soluc: =) (Soluc: =) (Soluc:,5850) 9 =8 47. (Soluc: =, =log /log ) = 0 = = 6 = + 5. e = e (Soluc: =0) (Soluc: soluc.) (Soluc: =-) (Soluc: =) (Soluc: =ln ). Considérese la siguiente fórmula: U = P( ρ + V) /D ρ V P D U D Despejar ρ (Ayuda: no es necesario utilizar logaritmos) (Soluc: = + ) 4. Sin necesidad de operar, razonar que ecuaciones del tipo: + = = = 0, etc. no pueden tener solución. Ecuaciones logarítmicas: 5. Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas, comprobando la validez de las soluciones obtenidas: a) log -log (+6)= log (Soluc: =) b) 4 log ( +)=log 65 (Soluc: =±) c) (Soluc: =±5) d) (Soluc: =0) e) ln + + = = =log (Soluc: =e-) f) ln (-)+ln (+)=ln +ln (-) (Soluc: =5) Soluc : = 0; = 5 0 /0 g) log + 7 log -9=0 ( ) h) log log -9=0 ( ) i) ln (-)=ln -ln 4 (Soluc: =4) j) log (+)-log (-6)= (Soluc: =7) k) log 0 - = (Soluc: =) l) log (+9)=+log (Soluc: =/) Soluc : = m) log (+)+log (-)=/00 ( ) n) log log = Soluc : = 0 (Soluc: =5) o) log ( -7+0)= (Soluc: =; =5) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

80 p) ln + ln (+)= ln (Soluc: =) q) log ( ++6)=+log (+) (Soluc: =; =6) r) ln +ln +ln 4= (Soluc: =e/) s) 4 log - log (-)= log 4 (Soluc: =) t) ln (-)+ln (+6)=ln (+) (Soluc: =) u) log +log (-)= (Soluc: =5) v) log (+9)-log = (Soluc:,8) w) log (+6)-= log(-) (Soluc: =; =/5) ) log (+)- log = (Soluc: =/0) y) log (6-)-log (+4)=log (Soluc: =) z) log +log =5 (Soluc: =0) Se recomienda ver también los ejercicios resueltos pág. 79 y 4 pág. 89 Problemas de aplicación: 6. a) Demostrar que la función que permite calcular en cuánto se convierte un capital C 0 acumulado al cabo de t años con un interés i es: donde: C 0 es el capital inicial, en i es el interés anual, en % i C(t)=C0 +, en 00 b) Cuánto dinero tendremos al cabo de 6 años si colocamos a plazo fijo al %? (Soluc: 5 ) c) Cuántos años debemos mantener en una entidad bancaria a una tasa del,5% si queremos duplicar el capital? Es relevante el dato del capital inicial? (Soluc: 8 años; NO) d) Una persona que tiene depositada en una caja de ahorros a una tasa del % quiere llegar a tener Cuánto tiempo deberá mantener intacto el capital? (Soluc: 9 años y 9 meses) t 7. a) Demostrar que la función que epresa el volumen de madera que tiene un bosque al cabo de t años es: donde: M 0 es el volumen inicial de madera, en m l es el crecimiento anual, en % 0 ( ) t M(t)=M +l, enm b) Se calcula que un bosque tiene 000 m de madera y que aumenta el 5% cada año Cuánta madera tendrá al cabo de 0 años si sigue creciendo en estas condiciones? (Soluc: 9 546,7 m) c) Cuánto tiempo tardará en duplicarse el bosque? (Soluc: 4, años) 8. Algunos tipos de bacterias tienen un crecimiento de sus poblaciones muy rápido. La escherichia coli puede duplicar su población cada hora. a) Supongamos que hacemos un cultivo en el que inicialmente hay 5000 bacterias de este tipo. Construir una tabla para razonar que la función que nos da el número de bacterias al cabo de t horas es: t f(t)=5000 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

81 b) Cuántas habrá al cabo de 6 horas? c) Dibujar una gráfica que represente el crecimiento en las 8 primeras horas. d) Si tenemos un cultivo de 00 bacterias y queremos conseguir un millón, cuánto tiempo ha de transcurrir? (Soluc: b) bacterias; d) horas y cuarto) Cambio de base: log = log a log b b a (fórmula del cambio de base) 9. Utilizando la fórmula del cambio de base se pide: a) Demostrar que log a b log b a= b) Hallar la relación entre el logaritmo neperiano y el logaritmo decimal. c) Epresar log en función de log (Soluc: log =,9log) 0. a) Nuestra calculadora sólo dispone de logaritmos decimales. Usando la fórmula del cambio de base, hallar log 4 5 b) Razonar que log 4 5 es irracional.. Volver a hacer el ejercicio, pero utilizando esta vez la calculadora y la fórmula del cambio de base. Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

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83 LÍMITES DE FUNCIONES CONTINUIDAD MATEMÁTICAS CCSS I º Bachillerato Alfonso González IES Fernando de Mena Dpto. de Matemáticas

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85 I) IDEA INTUITIVA DE lim f() = L a Ejemplo : La función f() = no está definida en =; investigar, rellenando las siguientes tablas (mediante calculadora), su comportamiento en las proimidades de dicho punto, y eplicar gráficamente la situación: NUMÉRICAMENTE - 0,9 0,99 0,999 f() +,,0,00 f() lim f() = + lim f() = lim f() = ANALÍTICAMENTE En la práctica, los límites no se suelen calcular de esta forma, sino operando: ( + )( ) lim = lim = lim ( + ) = Es decir, nótese que la f() del enunciado se comporta como la recta y=+, salvo en = (punto en el cual no está definida); por lo tanto, su representación gráfica es: GRÁFICAMENTE f() = Vemos que cuando las se acercan a - (flecha izqda.; ª tabla) las imágenes correspondientes tienden a -, mientras que cuando las se acercan a + (flecha dcha.; ª tabla) las imágenes correspondientes tienden a +. Y todo ello es independiente de que, eactamente en =, la función no está definida. Conclusiones: º Para que eista límite han de coincidir los límites laterales. lim f º A efectos de a, no hay que tener en cuenta lo que ocurre eactamente en =a, sino en las ( ) proimidades; de hecho, hay casos en los que en un punto no eiste imagen pero sí límite (como en el ejemplo anterior), y esta es precisamente la utilidad del concepto de límite. º De todos modos, normalmente eisten límite e imagen, y ambos coinciden, como en el siguiente ejemplo: Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

86 Ejemplo : Dada f()=, obtener numéricamente, mediante las siguientes tablas, lim f() : MATEMÁTICAS aplicadas a las CCSS I -,9,99,999 f() lim f() = y = +,,0,00 f() + lim f() = lim f() = Es decir, cuando las se acercan a - (flecha izqda.; ª tabla) las imágenes correspondientes tienden a 4 -, mientras que cuando las se acercan a + (flecha dcha.; ª tabla) las imágenes correspondientes tienden a 4 +. En este caso, la función sí está definida precisamente en =, y su valor es 4; es decir, en este ejemplo límite e imagen coinciden (lo cual, por cierto, es lo más habitual). Analíticamente, sería muy sencillo: lim = = 4 Veamos ahora un ejemplo de función en el que no hay límite: - si < 0 Ejemplo : Dada f() = se pide: a) Representarla. b) Hallar lim f() gráficamente. si 0 0 y = y = lim f() lim ( ) 0 = = lim f() = lim = + 0 lim f() En este caso, al acercarnos a =0 - por la rama izquierda, las imágenes tienden eactamente a - (aunque precisamente en =0 no tengan el valor esperado, sino ; de nuevo, téngase en cuenta que a efectos del límite no hay que tener en cuenta lo que hace la función eactamente en el punto sino en sus proimidades ), mientras que al acercarnos a =0 + por la rama derecha, las imágenes tienden eactamente a. Por lo tanto, como no coinciden los límites laterales, el límite global no eiste. Podríamos ver más ejemplos, pero todos ellos se resumirían en alguno de los 4 casos del siguiente esquema; va a eistir límite cuando a sólo en los tres primeros supuestos: f(a) f() L f() f(a) L f() f(a) f() a a a a lim f() = f(a) a [Lo más habitual] [ lim f() = L a aunque f(a) ] lim f() = L f(a) a / lim f() a [ aunque f(a) ] Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

87 Como resumen: «A efectos gráficos, no va a haber lim f a si en =a las dos ramas no coinciden» ( ) Ejercicios final tema:,, II) lim f() =. ASÍNTOTA VERTICAL a Ejemplo 4: Vemos fácilmente que la función f() = no está definida en =; investigar, rellenando ( ) las siguientes tablas (inténtese sin calculadora), su comportamiento en las proimidades de dicho punto, y eplicar analítica y gráficamente la situación: NUMÉRICAMENTE -,9,99,999 f() +,,0,00 f() lim f() = lim + f() = lim f() = ANALÍTICAMENTE En la práctica, se procede así : lim ( ) + lim ( ) = = (0 ) + (0 ) = = = lim ( ) = = Gráficamente, la situación es la siguiente: GRÁFICAMENTE X= A.V. Es decir, cuando las se acercan a - (flecha izqda; rama izquierda) las imágenes correspondientes tienden a hacerse infinitamente grandes i.e., y cuando las se aproiman a + (flecha dcha.; rama derecha) las imágenes tienden también a. Y todo ello, volvemos a insistir, es independiente de que concretamente en = la función no está definida. Esta es precisamente la utilidad de la noción de límite: incluso aunque la función no esté definida en un punto, el límite da cuenta del comportamiento de la función en dicho punto. En el ejemplo anterior, se dice que f() presenta una asíntota vertical en =. 0 + o 0 - se conocen como infinitésimos. Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

88 Observaciones: º Cuando por sustitución directa en un límite obtengamos k/0, automáticamente tenemos que plantear límites laterales, para discernir si el denominador es 0 + o 0 -, lo cual determinará si el límite finalmente es o - (en función también del signo de k). º Nótese que, a la hora de calcular un límite, en el momento en que sustituyamos en la función, desaparece el símbolo de lim. Definición de asíntota vertical: lim f() = = a A.V. a ( o ) Ejemplo 5: Estudiar analíticamente lim presenta la función? y eplicar gráficamente la situación. Qué asíntota vertical lim = lim = lim = + Ejercicios final tema: 4, 5 III) lim f() = L. ASÍNTOTA HORIZONTAL Ejemplo 6: Estudiar, mediante la siguiente tabla de valores, + lim f() = 5 + lim = 5 En la práctica, como, lógicamente podemos despreciar el efecto de sumar o restar un número finito a, por lo cual podemos proceder de la siguiente forma: = 5 A.V. + y = 5 Es decir, cuando (o - ), nos quedaremos con el término de mayor grado del polinomio (lo que se conoce como término dominante), y despreciaremos términos de menor grado. Nótese que esto sólo tiene sentido cuando (o - )! Ésta será una técnica muy utilizada para calcular límites. y = A.H. El símbolo se lee equivalente a y se utiliza cuando, a la hora de resolver una indeterminación, y despreciamos una cantidad finita aditiva respecto a un. Gráficamente, la situación está indicada al margen. + lim lim = lim = 5 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

89 Es decir, cuando las se hacen cada vez más grandes, las imágenes correspondientes tienden a aproimarse cada vez más a +, pero sin llegar a alcanzar jamás el valor. Se dice entonces que f() presenta una asíntota horizontal de ecuación y=. (Por cierto que, por las razones eplicadas en el anterior apartado, también presenta una A.V. en =5). Definición de asíntota horizontal: lim f() = L y = L ( o ) A.H. Observaciones: º La gráfica puede cortar a la A.H. para valores finitos de º En cambio, la gráfica de una función nunca puede cortar a una A.V. º En el próimo tema veremos un tercer tipo: las asíntotas oblicuas Ejercicios final tema: 6 y 7 IV) lim f() =. RAMAS INFINITAS Ejemplo 7: Obtener lim ( + ) mediante la siguiente tabla de valores: f() = + + = lim ( ) Es decir, cuando las se hacen cada vez más grandes, las imágenes correspondientes tienden a hacerse tan grandes como queramos, como queda reflejado en la gráfica adjunta. En la práctica, y como ya hemos comentado en el apartado anterior, cuando (o - ) nos quedaremos con el término de mayor grado del polinomio (lo que se conoce como término dominante), y despreciaremos términos de menor grado: y= + lim ( + ) lim = = De nuevo, adviértase que esta forma de proceder sólo tiene sentido cuando (o - ), no cuando tiende a un número finito. En el ejemplo anterior, se dice además que f() presenta una rama infinita o parábolica. Regla práctica: lim P() = (o ) (o ) lim (tº de mayor grado) Ejercicio final tema: 8 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

90 V) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES º) «El límite -en caso de eistir- es único» [ ] g() º) lim f() ± g() = lim f() ± lim es decir, «El límite de la suma (diferencia) es la suma (diferencia) de los límites». [ ] g() º) lim f() g() = lim f() lim es decir, «El límite del producto es el producto de los límites». f() lim f() 4º) lim = (siempre y cuando lim g() 0) g() lim g() 5º) lim k = k es decir, «El límite de una constante es igual a dicha constante» [ ] f() 6º) lim k f() = k lim es decir, «Las constantes multiplicativas pueden salir (o entrar) en el límite». g() lim g() 7º) Límite de una potencia: lim [f()] = [lim f()] Ejemplo: lim e = e = 8º) Límite de una raíz: n n lim f() = lim f() 9º) Límite de un logaritmo: lim log f() = log lim f() VI) LÍMITES INFINITOS E INDETERMINACIONES SUMA Y RESTA: + = +k= - =INDTDO. - - =- Nótese que no podemos concluir que - sea siempre igual a 0, puesto que ambos pueden ser, en general, de distinto orden ; por lo tanto, el resultado de - tendrá valores distintos dependiendo de cada ejemplo concreto, y se dice entonces que su resultado es indeterminado, o bien que se trata de una indeterminación. La mayor parte de las indeterminaciones se deshacen operando. Veamos un sencillo ejemplo justificativo: + + lim INDTDO. lim lim lim = = = = = = Es decir, en este caso concreto - ha resultado ser igual a, pero veremos muchos más ejemplos en los que puede resultar otro número (incluido, por supuesto 0), o, o -, o incluso no eistir. Todas estas propiedades son válidas independientemente de que o a un valor finito. Pueden consultarse las demostraciones de estas propiedades en Internet o en cualquier libro de teto. En el caso de una incógnita, sí es cierto que a-a, o -, etc. es obviamente igual a cero; ahora bien, adviértase que en el caso de - estamos hablando de límites, es decir, ambos no tienen por qué ser eactamente iguales, sino que pueden ser de distinto orden. Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

91 PRODUCTO: = (- )=- - (- )= si k > 0 k = INDTDO. si k 0 si k < 0 Veamos un ejemplo justificativo de la indeterminación anterior: lim = 0 = INDTDO. = lim lim = lim = COCIENTE: si k > 0 = operar y/o hacer lim laterales si k 0 k si k < = IND TDO. k = hacer lim laterales 0 k = 0 ± = ± IN D T D O. Veamos ejemplos prácticos de algunos de los casos anteriores: a) lim + = 0 = lim [( + ) ] = lim ( + ) lim = = b) lim + = = INDTDO lim = lim = c) 0 ( + )( - ) lim = = INDTDO = lim = lim ( + ) = - 0 d) + lim = + 4 lim 4 = = 0 = lim = = / lim (o bien, + lim = ± ) e) lim + ( ) lim 4 = = 0 lim + ( ) ( 0 ) + = = + ( ) ( 0 ) 4 = = + 0 = lim = + ( ) = Como conclusión, hemos visto una serie de indeterminaciones que podemos resumir en cuatro 4 : 0, ±, 0 (± ), - 0 ± Ejercicio final tema: 9 4 El próimo curso veremos las indeterminaciones de tipo eponencial: ±, (± ) 0, 0 0 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

92 VII) CÁLCULO DE LÍMITES INDETERMINADOS º) Límites de polinomios: lim P() = (o ) lim (tº de mayor (o ) grado) Un ejemplo sería el ejercicio 8 del final del tema, ya realizado. º) Límites de cocientes de polinomios: a) P() 0 «Se resuelve factorizando numerador y denominador (habitualmente por Ruffini, lim = a Q() 0 identidades notables, etraer factor común ) y eliminando a continuación el factor problemático -a que figura repetido en ambos términos de la fracción» Ejemplo: ( )( + 4) lim = = INDTDO = lim = lim = = 0 ( )( + ) + Ejercicio final tema: 0 b) P() lim = «Se resuelve recurriendo en numerador y denominador a los términos de mayor Q() grado de cada polinomio 5» Ejemplos: Hay tres posibilidades, atendiendo a los grados de ambos polinomios: a) gradp()=gradq(): INDTDO 4 lim = = lim = lim = + b) gradp()>gradq(): c) gradp()<gradq(): + + lim = = INDTDO lim lim = + + INDTDO lim = = lim = lim = = Ejercicios final tema: a 5 VIII) CONTINUIDAD Intuitivamente, una función es continua cuando se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. Más formalmente, se define función continua en un punto de la siguiente forma: f() continua en = a lim f() = f(a) a Es decir: Una función es continua en un punto si el límite coincide con la imagen en dicho punto. A efectos prácticos, para estudiar si una función es continua en un punto, hay que comprobar: ) que eista imagen ) que eista límite ) y que ambos coincidan (En caso de no ser continua en un punto, se dice que es discontinua). 5 Eiste otra forma alternativa, en general más laboriosa, que consiste en dividir numerador y denominador por la mayor potencia de que aparezca en ambos polinomios. Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

93 Por etensión, diremos que una función es continua en un intervalo cuando lo es en todos los puntos de dicho intervalo. Vamos a recordar de nuevo el esquema-resumen visto en el apartado I del tema, e investigar en cada uno de los cuatro casos si la función es continua en =a, para lo cual aplicaremos los tres requisitos de la continuidad arriba mencionados; observamos que la función es continua en =a sólo en el primer supuesto: f(a) f() L f() a a lim f() = f(a) a f() CONTINUA en =a f(a) lim f() = L a f() DISCONTINUA en =a f(a) L f() f(a) f() lim f() = L f(a) a a f() DISCONTINUA en =a / lim f() f() DISCONTINUA en =a a a Nótese que en el último caso la función es discontinua, independientemente de que eista o no imagen. 4 Ejemplo 8: Dada f() =, estudiar su continuidad en = Aplicando los tres requisitos de la continuidad, vemos que falla el º, ya que = f() continua R-{} f() f() es discontinua en (Nótese que ello es independiente de que eista límite, como de hecho ocurre: 0 / 0 4 ( + )( ) lim = lim = lim ( + ) = 4 IN D T D O. Gráficamente, la situación es la siguiente: 4 f() = Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

94 es decir, la función 4 f() = prácticamente se comporta como la recta + (salvo en =) Por lo tanto, se trata de una discontinuidad evitable, es decir, bastaría redefinir la función de la siguiente forma: para que pasara a ser continua en = 4 f() = 4 = Ejercicio : Representar las siguientes funciones, y estudiar su continuidad. si si a) f() = (Soluc: f() continua R-{0}) b) + f() = ln si si 0 > 0 (Soluc: f() continua R-{0}) c) f() = Ejercicios final tema: 6 y ss. Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

95 lim + ln lim 4 lim + f lim lim lim + 5 EJERCICIOS de LÍMITES DE FUNCIONES y CONTINUIDAD. Calcular los siguientes límites no indeterminados : lim lim a) 4 + b) + c) 4 f) e lim log g) 0, h) lim + 4 d) lim i) e) lim j) 4 lim. Dada la gráfica de la figura, indicar si eiste lim f() en los siguientes casos: a) Cuando b) Cuando c) Cuando 4 d) Cuando 5. Representar la función si < 4 si < si = Obtener a continuación analíticamente lim f() cuando,, 5,, -, y comprobar en la gráfica. 4. Dados los siguientes límites, se pide: i) Calcularlos. ii) En caso de deducirse de ellos la eistencia de A.V., indicar su ecuación. iii) Eplicar gráficamente el comportamiento a ambos lados de la hipotética asíntota: a) 4 lim lim b) c) lim d) 4 e) ( )( 4) ( )( 5) + lim f) g) ( )( ) lim k) l) lim h) 0+ lim m) lim i) lim + j) lim (Soluc: a) ; b)- ; c)± ; d)± ; e)± ; f) 0; g)± ; h) ; i)± ; j)± ; k)± ; l) 0; m)± ) b 5. a) Si la gráfica de una función f() es la de la figura, averiguar lim f() cuando 0,,, 0, b) Qué rectas son asíntotas? 0 Es decir, se pueden hacer por sustitución directa, ya que límite e imagen coinciden. Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

96 lim lim lim DPTO. DE MATEMÁTICAS 6. Dados los siguientes límites, se pide: i) Calcularlos. ii) En caso de deducirse de ellos la eistencia de A.H., indicar su ecuación. iii) Eplicar gráficamente el comportamiento de la función en las proimidades de la hipotética asíntota: + + lim lim a) y - e) + lim y 5 lim b) lim y lim - c) lim + y lim - + d) lim y lim - 7. f() g() a) Dadas las funciones cuyas gráficas aparecen en las figuras, calcular sus límites cuando 0,,, 4,, - h() b) Cuáles son las asíntotas en cada gráfica? Calcular los siguientes límites de funciones polinómicas: + + a) b) + + e) f) 5 i) lim lim lim j) lim c) g) k) lim lim lim (Soluc: a) 7; b) ; c) 0; d) ; e) ; f) - ; g) ; h) - ; i) 0; j) ; k) ) d) h) lim 7 9. Calcular los siguientes límites por sustitución directa y, en algunos casos, operando: lim + lim lim ) ) ) 5 lim 4) 5 lim 5) lim lim lim lim lim 6) 7) 8) 9) 0) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

97 +. DPTO. DE MATEMÁTICAS 9 + lim lim ) ) 0 ) lim 4) lim 0,5 lim 0,5 5) lim + e 6) ( lim + e lim lim lim log ) 7) ( ) 8) e 9) e 0) lim ln lim lim ln ) 0+ ) ) + lim lim ln 4) + log 5) log + lim 6) log + lim 7) + + lim e 8) ln lim lim + 9) log 0) + + lim ) ln lim 0+ ) 0 + log + ) lim 4) lim lim 5) ( ) lim 6) ( ) 7) + lim 8) lim 9) + lim 4 (Soluc: ) ; ) 0; ) 4; 4) 5; 5) 0; 6) ; 7) 0; 8) 0; 9) 0; 0) 5; ) ; ) ; ) 0; 4) 0; 5) ; 6) ; 7) ; 8) 0; 9) ; 0) ; ) - ; ) ; ) 0; 4) 0; 5) - ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) 0; 0) - ; ) - ; ) - ; ) ; 4) 0; 5) - ; 6) ; 7) ; 8) - ; 9) ) Resolución de indeterminaciones: 0. Calcular los siguientes límites de funciones racionales (nótese que en el º miembro de la igualdad se indica la solución): 8 lim a) = 4 + lim b) = lim c) = 4 + lim = d) lim e) = 4 + lim f) = ± a a lim g) = a a a + 4 lim h) = ± lim i) = ± / j) lim = 0 k) lim b b b b + 5b b = 0b l) m) lim n) o) p) q) r) s) lim + = ± + 5 = a lim = ± a a + lim = lim = lim = 4 lim + 4 = ± + + lim + 0 = + NOTA: Cuando señalamos que el resultado de un límite es ±, no estamos indicando que haya dos límites (recordar que el límite, caso de eistir, es único), sino que, a ambos lados de un valor finito, la función diverge a o -. Calcular los siguientes límites infinitos (en algunos casos figura la solución): a) 8 lim 4 b) + lim Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

98 . DPTO. DE MATEMÁTICAS c) lim 4 + d) lim e) 4 + lim a a f) lim = a a g) + lim lim h) i) lim j) + a lim = a k) b b lim = 0 b + 5b b l) + 5 lim m) + lim + 5 n) + 4 lim o) lim + p) + + lim + = + q) lim + r) s) t) lim + lim + 4 lim + 4. En una empresa se ha comprobado que el número de unidades diarias producidas depende de los días trabajados, de acuerdo con la siguiente función: N(t) 0t = t + 4 (donde t viene epresado en días) a) Cuántas unidades se producen el primer día? Y el décimo? b) Representar la función N(t). Qué ocurre si el período de producción se hace muy grande? +. Siendo f() =, g() = y h() =, hallar: + + a) lim g() = ± b) lim h() 0 e) lim [ f() g() ] 0 = ± f) 0 lim g() = c) lim [ f() g() ] = d) 0 = g) [ ] lim f() g() = 0 lim h() = 4. Hallar una función f() que cumpla a la vez lim f() = y lim f() = 4 5. Calcular los siguientes límites, aplicando el procedimiento apropiado en cada caso (en el º miembro de la igualdad se indica la solución): a) + 6 lim = b) lim = c) + lim = d) lim 0 = + + g) lim = + e) h) lim lim f) i) + lim = lim = + Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

99 . DPTO. DE MATEMÁTICAS j) lim = + 4 k) lim = + Continuidad: RECORDAR: f() continua en = a lim f() = f(a) a Es decir: Una función es continua en un punto si el límite coincide con la imagen en dicho punto. A efectos prácticos, para estudiar si una función es continua en un punto, hay que comprobar: ) que eista imagen ) que eista límite ) y que coincidan 6. Indicar en qué puntos son discontinuas las funciones cuyas gráficas se muestran en los ejercicios gráficos, 5 y 7, razonando el porqué. 7. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones. En los dos primeros apartados, y con la información obtenida, esbozar la gráfica: a) + f() = b) f() = c) f() = d) f() = sen e) f() = f) f() = 6 g) i) f()=log (+) j) f()=ln( -4) k) f()=ln( +4) f() = + 4 h) f()=tg (Sol: a) discontinua. en =; b) discontinua. en = y =; c) continua R; d) discontinua. en =n π rad donde n Z; e) continua en [, ); f) continua en (-,-] [, ); g) continua R; h) discontinua. en =(n+) π/; i) continua en (-, ) ; j) continua en (-,-)U(, ); k) continua R) 8. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones y representarlas gráficamente: a) + si 0 f() = si < 0 b) si < 0 f() = si = 0 si > 0 c) + si (,) f() = si (, ) d) si f() = 6 si > e) f() = si (,) + si [, ) + si < f) f() = si < 4 0 si 4 si g) f()= si < si > h) si (,) f() = Ln si [, ) i) f() = e si 0 + si > 0 j) e si < 0 si 5 f() = + + si 0 < Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

100 . DPTO. DE MATEMÁTICAS (Soluc: a) discontinua en =0; b) discontinua en =0; c) discontinua en =; d) continua R; e) discontinua en =0 y =; f) discontinua. en = y =4; g) discontinua en =; h) continua R; i) discontinua. en =0; j) discontinua. en =; discontinua en =5) 9. TEORÍA: a) Se puede calcular el límite de una función en un punto en el que la función no está definida? Puede ser la función continua en ese punto? Razonar la respuesta con ejemplos. b) Puede tener una función dos asíntotas verticales? En caso afirmativo, poner algún ejemplo. c) El denominador de una determinada función se anula en =a Presenta necesariamente una asíntota vertical en =a? Poner ejemplos. d) Puede tener una función más de dos asíntotas horizontales? Por qué? e) Si lim f() = 5, podemos afirmar que f() es continua en =? 0. Probar que la función f()= +7 8 no es continua en = (Soluc: no es continua pues / f()). Considerar la siguiente función: f()= a) Es discontinua en algún punto? Por qué? b) En = la función no está definida. Ampliar esta función de modo que sea continua R. (Soluc: discontinua en = pues / f(); basta hacer f()=) + ++a. La función f()= no está definida en =. Hallar el valor de a para que sea posible definir el valor de f(), resultando así una función continua. (Soluc: a=-; f()=6). Hallar el valor de k para que la función sea continua R. (Soluc: k=6) 9 si f()= k si = 4. Estudiar la continuidad de la siguiente función: (Soluc: discontinua en =) f + si / 5 / si = / = 5 + Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

101 f f. DPTO. DE MATEMÁTICAS 5. Calcular cuánto debe valer a para que la siguiente función sea continua R: (Soluc: a=0) f + si a = si > 6. Se considera la función = Ln si 0 < < a + b si < Determinar los valores de a y b para que f() sea continua y f()= (Soluc: a= y b=-) 7. Dada la función + si < 0 si = a + b si0 < hallar a y b para que la función sea continua y dibujar la gráfica de la función. (Soluc: a= y b=-) 8. Dada la función + si f() = m + n si < + 0 si > hallar los valores de m y n para que f() sea continua (puede ser útil dibujar la gráfica). (Soluc: m=, n=) 9. Ídem: (Soluc: a=-/, b=-) + si f() = a + si + b si 0. Ídem: (Soluc: a=-, b=) + < ln( b) si a si f() = 4 si <. Ídem: (Soluc: a=-5, b=54, c=) a + si < f() = c si < 5 0 si 5 b si < Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

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103 DERIVADAS Isaac Newton (64-77) Gottfried Leibniz (646-76) MATEMÁTICAS CCSS I º Bachillerato Alfonso González IES Fernando de Mena Dpto. de Matemáticas

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105 I) DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO En este tema vamos a conocer y emplear un operador matemático muy útil, llamado derivada de una función, que opera sobre una función y da como resultado otra función (habitualmente más simple). Su utilidad radica en que, como veremos el próimo curso, el signo de la derivada de una función en un punto nos dirá si la función es creciente o decreciente en dicho punto; ello nos permitirá deducir, por tanto, los máimos y mínimos de la función, algo muy importante en infinidad de funciones etraídas de situaciones reales: pensemos en una función que represente los beneficios de una empresa, o el coste de fabricación de un determinado producto, etc. Concepto previo: pendiente de una recta Para entender qué es la derivada necesitamos repasar previamente en qué consistía la pendiente de una recta (tema ): La pendiente de una recta, que suele llamarse m, mide la inclinación de ésta, y se define (ver figura) como el cociente incremental siguiente: y m = = tg α () α α y Derivada de una función en un punto f (a): f(a+h) f(a) P α r Q α 0 f() Consideremos una función f() y un punto P de su gráfica (ver figura), de abscisa =a. Supongamos que damos a la variable independiente un pequeño incremento h (en el dibujo lo hemos eagerado, para que se pueda ver la situación ); por lo tanto, nos desplazaremos a un nuevo punto Q de la curva próimo. Consideremos la tangente del ángulo que forma el segmento PQ con la horizontal: a h a+h f(a + h) f(a) tgα = () h Si h 0, el segmento PQ tenderá a confundirse con la recta r tangente a la curva f() en =a, es decir, los ángulos α y α 0 tenderán a ser iguales: f(a + h) f(a) tg α 0 = lim tg α = lim = f'(a) h 0 h 0 h () por () por definición Debido a (), la fórmula anterior -que en el fondo es un cociente incremental- nos da por tanto la pendiente de la recta tangente a la curva en =a. Esta fórmula se conoce como derivada de la función f() en el punto =a, y se designa como f (a); por lo tanto: «La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto», y se calcula mediante el límite dado por () Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

106 Observaciones: º) La derivada de una función en un punto puede resultar un número positivo, negativo o cero. Como veremos el próimo curso, su signo indicará el crecimiento de la función. º) Veamos una epresión alternativa para calcular la derivada: Supongamos que hacemos el cambio de variable a+h= si h 0, entonces a, con lo cual () queda como: f() f(a) f '(a) = lim (4) a -a Esta fórmula es, sin duda, más cómoda que (), y es la que más usaremos. Ejercicios final tema:, y II) FUNCIÓN DERIVADA f () Supongamos que nos piden la derivada de una función en, por ejemplo, diez puntos distintos. Haremos diez límites? Es evidente que no; para evitar tanto trabajo, vamos a definir la función derivada, que se designa como f (), y es la derivada en un punto genérico (y sustituiríamos a continuación en ella cada uno de los diez puntos); por lo tanto, se obtendrá reemplazando en () a por : f( + h) f() f '() = lim (5) h 0 h Observaciones: º) La función derivada, es decir, el límite anterior, da como resultado una función. Habitualmente abreviaremos diciendo simplemente derivada en vez de función derivada. º) La notación que nosotros seguiremos será la siguiente: Si la función a derivar se llama f(), entonces su derivada la denotaremos como f () y, y Utilizaremos indistintamente ambas notaciones. Ejercicios final tema: 4, 5 y 6 III) DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES (Tabla de derivadas) III.) Función constante: y = K y ' = 0 Es decir, «La derivada de una constante es siempre cero» NOTA: Esta derivada, y todas las de este apartado, pueden ser demostradas, pero ello ecede los límites de este curso. Todas estas reglas de derivación están recogidas en la tabla de derivadas que se adjunta al final del cuaderno. Ejercicio : Hallar la derivada de las siguientes funciones constantes: a) y = b) y = - Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

107 c) y = d) y = 0 f) y = π g) y=0,5 e) y = III.) Función identidad: y = y' = III.) Función de proporcionalidad directa: y = K y ' = k Ejercicio : Hallar la derivada de las siguientes funciones de proporcionalidad directa: a) y = b) f() = -5 c) y = 0,0 d) y = e) y = f) f() = g) y = - 5 h) y = i) f(t) = 7t III.4) Derivada de una potencia: n n y = y' = n (donde n R) Ejercicio : Hallar la derivada de las siguientes potencias: a) y= b) f()= d) f(t)=t 5 e) y= 00 c) y= 4 Este caso nos permite, dado que el eponente puede ser cualquier número real, abordar otros tipos de derivadas: Ejercicio 4: Demostrar la fórmula de la derivada de: a) y = b) y = a) b) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

108 Ejercicio 5: Hallar la derivada simplificada de las siguientes funciones, pasándolas previamente a forma de potencia: a) ( ) y = Sol : y ' = b) c) y = f() = 4 5 ( Sol : y ' = ) 4 4 ( Sol : y ' = ) 5 5 d) y = 5 ( Sol : y ' = ) e) f() = Sol : y ' = ( ) 5 f) y = Sol : y ' = 4 ( ) 7 III.5) y = K u y ' = k u ' donde u es función, es decir, «Las constantes multiplicativas pueden salir de la derivada» Ejercicio 6: Hallar la derivada de las siguientes funciones compuestas: a) y = b) y = 4 c) f() = - 4 d) y = e) y = f) y = t g) y = - h) 4 y = ( Sol : y ' = 4 ) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

109 i) f() = 4 ( Sol : y ' = ) 4 8 j) 4 y = k) f(t) = -t 7 l) f() = m) 5 y = 5 ( Sol : y ' = ) 5 III.6) Derivada de la suma (resta): y = u ± v y' = u' ± v' donde u y v son funciones Es decir: «La derivada de la suma (resta) es la suma (resta) de las derivadas» NOTA: Esta regla, lógicamente, se puede generalizar a más de dos sumandos. Esta regla, combinada con las anteriores, es muy útil para derivar polinomios, como puede verse en el siguiente ejemplo: Ejercicio 7: Hallar la derivada simplificada de las siguientes funciones: a) f() = + b) y = c) y = d) y = e) f(t) = t 5 f) y = 4 g) y = 4 h) s(t) = t 4 t + i) y = j) y = k) f() = Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

110 l) y = ( + ) 4 m) y = + 5 (Sol: +5) n) y = + 5 (Sol: -+/5) o) y = ( ) p) 4 5 f() = q) y = 4 + (Sol: +) r) y = + s) f() = 0,05 0,00 + 0, 0,0 t) y = (Sol: ) III.7) Generalización de la derivada de una potencia a una función compuesta (Regla de la cadena): En el apdo. III.IV vimos que n n y = y' = n. Ahora vamos a generalizar esa fórmula para el caso en que la base no sea simplemente sino una función más general, que llamaremos u: n n y = u y ' = n u u' (donde n R) Esto se conoce como Regla de la cadena. Ejercicio 8: Hallar, utilizando la regla de la cadena, la derivada simplificada de las siguientes funciones: a) y = ( + ) y = 5 b) ( ) 4 y = 4 + c) ( ) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

111 d) y = ( 7) 5 y = + + e) ( ) f) y = ( ) III.8) Derivada del producto: y = u v y' = u'v + u v' Esta regla se puede generalizar a tres o más funciones: y = u v w y' = u'v w + u v' w + u v w' NOTA: Para derivar un producto, una alternativa, a veces, es operar previamente hasta transformar en un polinomio, y luego derivar. Ejercicio 9: Hallar, utilizando la fórmula más adecuada en cada caso, la derivada simplificada de las siguientes funciones: a) y = (+)(-) [de formas, y comparar] b) y = (-)(+) (Sol: +5) (Sol: +) c) f() = (+)(-5) d) f() = ( +)(-) e) y = ( -5)(-)+7 (Sol: 4-7) (Sol: 9 -+6) (Sol: 9 --5) f) y = (-) [de formas] (Sol: 8-) g) f() = (+) h) y = (,-0,00 ) i) y = ( -) (Sol: (+) ) (Sol: -0,00 +,) (Sol: 6-4) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

112 j) f(t) = 00t(-t) k) f() = (-4 -) l) y =( t +t+) m) y = (-)(-)(+5) (Sol: t) (Sol: ) (Sol: (t +t+) (t+)) (Sol: ) n) f() = (-) 00 (Sol: 00(-) 99 ) o) f() = ( + ) ( -) III.9) Derivada del cociente: u u'v u v' y= y' = v v Ejercicio 0: Demostrar, utilizando la derivada del producto, la fórmula anterior (Ayuda: poner u/v como u v - ) Ejercicio : Hallar la derivada simplificada de las siguientes funciones: a) b) c) d) - y = + = y f() = = + y y '= ( + ( ) ) 0 y'= ( ( ) ) 4 ( ( ) 6 y '= ) ) + y'= ( ( ) e) y = + + ( y '= ) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

113 f) g) f() = + y = ( ( ) (y'=) 4 + y '= ) Ejercicios final tema: 7 a NOTA: Lo que hemos calculado hasta ahora es la función derivada de una función dada, o más comúnmente llamada derivada de una función. Por lo tanto, por tratarse de una función, podemos también evaluar la derivada en un punto dado, obteniendo como resultado un número. Es lo que se conoce como derivada de una función en un punto, ya visto en el apartado I. Veamos, a continuación, un ejemplo: Ejercicio : Para cada una de las funciones que figuran a continuación, hallar el valor de su derivada en el punto indicado: a) f()= en = b) f()=-5 en = c) y= en =- d) f()= ++ en =0 e) y= - en =- Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

114 EJERCICIOS de DERIVADAS Derivada de una función en un punto [f (a)]: Fórmulas: f(a + h) f(a) f (a) = lim () h 0 h = f() f(a) f (a) lim a a (). Para cada una de las funciones que figuran a continuación, hallar el valor de su derivada en el punto indicado, utilizando la fórmula que se señala: a) f()= en = mediante () b) f()= - en =- mediante () c) f()=-5 en = mediante () d) f()= en = mediante () e) f() = en =4 mediante () f) f()=/ en =- mediante () g) f()= ++ en =0 mediante () (Soluc: a) 4; b) -; c) ; d) ; e) /4; f) -; g) ). Volver a hacer el ejercicio anterior por la fórmula alternativa en cada caso, y comprobar que se obtiene idéntico resultado.. Hallar la derivada de f()= - en =. Dibujar la función y trazar la recta tangente en dicho punto. Hallar el ángulo que dicha tangente forma con OX + e interpretar el resultado. Función derivada f (): Fórmula: f( + h) f() f () = lim () h 0 h 4. Hallar la derivada de las funciones del ejercicio y sustituir el punto indicado en cada caso, para comprobar que se obtiene el mismo resultado. 5. Hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones, y a partir de ella obtener f (), f (-) y f (0): a) f()=- b) f()= -5+6 c) f()= + d) f() = + e) f() = + 6. Hallar la derivada de f()= - en = mediante la definición de derivada (es decir, mediante un límite) (Sol: -) Reglas de derivación. Tabla de derivadas: 7. Utilizando la derivada de la función potencial, y= n y =n n- ( n R), hallar la derivada, simplificada, de las siguientes funciones: Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

115 MATEMÁTICAS aplicadas a las CCSS I a) y= b) y= c) y= 4 d) y=- 5 e) 4 y = f) 4 y = g) y = h) y = i) y = j) y = 4 k) y = l) y = m) y = n) y=- 6 8 o) y = 4 p) y = q) 5 y = r) y = (Soluc: a) y =; b) y = ; c) y = ; d) y =-0 4 ; e) y =6 y ; f) y =/; g) ' = y y ; h) ' = ; i) ' = ; y y j) 4 ' = ; k) ' = y' y ; l) = ; m) ' = ; n) y =- 5 ; o) y = 7 y ; p) ' = ; - y y q) 5 5 ' = ; r) ) ' = 8. Utilizando la fórmula de la derivada de la suma de funciones, hallar la derivada simplificada de las siguientes funciones: a) y= ++ b) y= c) 4 y = + d) y = 5 + (Soluc: a) y =+; b) y =6 y y -6+5; c) 5 ' = ; d) ' = 44 + ) 9. Utilizando en cada caso la fórmula más apropiada de la tabla de derivadas, hallar la derivada simplificada de las siguientes funciones compuestas: a) y = b) y = c) y = + d) y = ( ) e) y = + f) y = ( + + ) g) y = h) 0 4 y = i) y = ( + ) j) y = ( ) + 4 k) y = ( (Sol: a) + ) y' = y' g) = y ; b) + y ' = ; c) + ' = ; d) y =4 -; e) + = + ; h) y' 4 6 y' ; f) y =(+)( ++) ; = 4 y ' = ) + ; i) y =60(+)9; j) y =48(-); k) 4 0. Ídem: a) y = b) y ( )( = 5) c) 4 y = d) y = ( ) e) y = ( + )( ) f) y = + 5 y' (Soluc: a) = ; b) y =6-6-0; c) y'= f) + + ) y ' = y' ; d) = 4 4 ; e) y = ; Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

116 5 y' MATEMÁTICAS aplicadas a las CCSS I. Utilizando la fórmula para el cociente de funciones, hallar la derivada simplificada de las siguientes funciones: a) 5 y = b) y = c) + + y = d) y (Sol: a) + + y' y ' = ; b) = ; c) ' = ; d) y = e) y = ( + ) = 8 + y' = ; e) ) + +. Derivar las siguientes funciones, utilizando en cada caso el procedimiento más apropiado, y simplificar: + + a) y = b) y = c) y = + 5 g) y = + + f) ( ) 5 y'= (Sol: a) ; b) g) y' = y' = ) ( ) ; c) y' = ( ) + y = d) y' ; d) = ; e) y = e) y = y'= 6 ; f) ( ) 4 y'= u u v. Hallar la fórmula para la derivada de y = e y =, siendo u, v y w funciones. v w w Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

117 ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL MATEMÁTICAS CCSS I º Bachillerato Alfonso González IES Fernando de Mena Dpto. de Matemáticas

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119 I) INTRODUCCIÓN. DEFINICIONES La Estadística es la rama de las Matemáticas que utiliza conjuntos de datos numéricos para obtener inferencias basadas en el cálculo de probabilidades. Es una ciencia relativamente reciente, pues sus orígenes se remontan al siglo XVIII. Pero su implantación hoy en día es muy acusada: Se diseñan encuestas para recopilar información previa al día de elecciones y así predecir el resultado de las mismas. Se seleccionan al azar consumidores para obtener información con el fin de predecir la preferencia con respecto a ciertos productos y/o servicios. Los economistas consideran varios índices de la situación económica durante cierto periodo y utilizan la información para predecir la situación económica futura. Su utilidad es evidente también para los asesores financieros que han de evaluar las oportunidades de inversión a través de las bolsas de valores. Los portales de apuestas deportivas online recurren a la Estadística para, de acuerdo con todos los datos hasta la fecha, determinar el nivel de confianza de cada una de los posibles resultados. La Estadística se divide en dos grandes ramas: La Estadística Descriptiva se dedica a recolectar, ordenar, analizar y representar un conjunto de datos, con el fin de describir apropiadamente las características de éstos. Utiliza para ello las llamadas «medidas de centralización», que veremos en el apartado IV. Esta es la que estudiaremos este curso. La Estadística Inductiva o Inferencial tiene como objeto obtener conocimientos sobre un colectivo, utilizando para ello las observaciones de una muestra, para sí poder inferir resultados. En este proceso se utiliza el cálculo de probabilidades. Todo esto lo veremos el próimo curso. Para todo lo anterior, la Estadística trabaja con una serie de aspectos, cualidades o propiedades de los individuos de la población, llamados caracteres; los valores que recorre un determinado carácter se llaman variables estadísticas. Pueden ser de varios tipos: variables cuantitativas: son medibles, es decir, se describen mediante números discretas: sólo toman valores puntuales (p. ej. número de hijos, talla de ropa, etc.) continuas: puede tomar cualquier valor entre dos cualesquiera (p. ej. estatura, peso, edad, etc.) cualitativas: no son medibles, por lo que se describen mediante modalidades (p. ej. color del pelo, seo, estado civil, etc.). También se llaman atributos. Población es el conjunto de elementos que se investigan, muestra es una parte representativa de la población, e individuo es cada uno de los elementos que forman la población. Ejemplo : Una población puede ser los 90 individuos de los tres grupos de º de Bachillerato de un centro. Para estudiarla con mayor comodidad, podemos tomar una muestra formada por los 5 primeros Es decir, pretende tomar como generales propiedades que sólo se han verificado para casos particulares. Las preguntas típicas que se hace la Estadística Inferencial son: Cómo se elige la muestra? Qué grado de confianza tiene el resultado obtenido? Por el contrario, la Estadística Descriptiva no intenta etraer conclusiones para un grupo mayor. Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

120 de la lista de cada grupo. Ejemplos de variables que podemos analizar son su nivel de inglés (variable cualitativa), número de hermanos (cuantitativa discreta) y edad (cuantitativa continua). Ejercicios final tema: y II) FRECUENCIAS y TABLAS Ejemplo : En un instituto hay una clase de º de Bachillerato cuyos 0 alumnos presentan las siguientes edades: La variable que vamos a estudiar en esta distribución es la edad (variable cuantitativa), que llamaremos i. Para ello, vamos a construir la siguiente tabla : Edad (años) f i F i h i H i 6 0,65 0, ,5 0, ,5 0, ,05 Σ=0 Σ= La ª columna recoge la frecuencia absoluta, f i, que es el número de veces que aparece cada valor de la variable. La ª columna refleja la frecuencia absoluta acumulada, F i, que se obtiene sumando la frecuencia absoluta de cada fila con las anteriores (es decir, F i =f + f + + f i ). Por ejemplo, el dato 6 de la ª fila significa que hay 6 alumnos que tienen 7 años o menos. Más adelante veremos (apdo. IV.) que sirve para calcular la mediana. En la 4ª columna tenemos la frecuencia relativa, h i, que es la frecuencia absoluta dividida por el nº de datos, N: h f i i = () N Obviamente, la suma de las frecuencias absolutas es N, y la de las relativas es : n i= f i = N n hi = () i= Esto último es muy útil a la hora de detectar posibles errores en los datos de una tabla. Las h i pueden verse como un tanto por uno. Por ejemplo, el dato 0,5 de la ª fila nos dice que el 5% de la clase tiene 8 años. Finalmente, la última columna recoge la frecuencia relativa acumulada, H i, que se obtiene sumando la frecuencia relativa de cada fila con las anteriores. Por ejemplo, el dato 0,95 de la ª fila significa que el 95% de los alumnos tienen 8 años o menos. La idea de utilizar una tabla es que así un gran número de datos se pueden visualizar más cómodamente. Por tanto, cuando la distribución esté formada por pocos datos, no tiene sentido hacer una tabla, sino que basta con presentarlos ordenados. Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

121 Ejemplo : En la misma clase del ejemplo anterior los 0 alumnos presentan las siguientes estaturas (en cm): Nótese que hemos indicado los valores mínimo y máimo subrayados. La variable que vamos a estudiar ahora es la estatura (variable cuantitativa). Para confeccionar la tabla utilizaremos intervalos de amplitud 0 llamados intervalos de clase, comenzando por 55: Estatura (cm) f i F i h i H i [55-65) 6 6 0,0 0,0 [65-75) 0 6 0,50 0,80 [75-85) 9 0,5 0,95 [85-95] 0 0,05 Σ=0 Σ= Adviértase que en cada intervalo de clase se incluye el etremo inferior pero no el superior, salvo en el último. El punto medio de cada intervalo se llama marca de clase, y lo denotaremos por i. Cuándo utilizar un tipo de tabla u otro?: º) Tablas con los valores de la variable individualizados (como en el ejemplo ): cuando, ya sean pocos o muchos datos, la variable toma pocos valores diferentes (es decir, los valores se repiten mucho). º) Tablas con los valores de la variable agrupados en intervalos de clases (como en el ejemplo ): cuando el número de datos y de valores diferentes que toma la variable son grandes. Con ello perderemos algo de información pero ganaremos en claridad En este último caso, cuántos intervalos de clase utilizar? Eiste un criterio orientativo según el cual el nº de clases debe ser aproimadamente igual a la del número de datos: nº clases = N () En el ejemplo anterior sería 0 4,47, es decir, 4 intervalos vendrían bien. A continuación, se determina la amplitud de los intervalos teniendo en cuenta los valores mínimo (57 cm) y máimo (94 cm) de la distribución: 94cm 57cm 7cm = 9,5cm / int ervalo (4) 4int ervalos 4int ervalos de modo que 0 cm por intervalo es lo apropiado. A la hora de decidir dónde comienza el primer intervalo se recomienda que, finalmente, los etremos de los intervalos no coincidan con ninguno de los datos. Nótese que en la práctica el elegir un tipo de tabla u otro puede ser relativo: qué se entiende por pocos datos? Veremos que una misma distribución se puede estudiar con dos tablas no necesariamente iguales, y las dos pueden ser perfectamente válidas. También, téngase en cuenta que en ciertos casos los intervalos no tienen por qué ser necesariamente de igual amplitud (véase el ejemplo 4) Ejercicios final tema: y 4 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

122 III) REPRESENTACIONES GRÁFICAS III.) Diagrama de barras/histograma Consideremos la distribución del ejemplo. En unos ejes cartesianos situamos en el eje horizontal las edades y en el vertical la frecuencia absoluta f i. Levantamos, a continuación, barras cuya altura es la frecuencia. Obtendremos así un diagrama de barras : f i Edad (años) f i DIAGRAMA DE BARRAS DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS Σ=0 Si hacemos lo propio con el ejemplo pero, esta vez, dando a las barras el ancho de los intervalos, obtendremos un histograma: f i Edad Estatura (cm) f i [55-65) 6 [65-75) 0 [75-85) [85-95] HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS Σ= Estatura (cm) Cuál es la diferencia entre el diagrama de barras y el histograma? El diagrama de barras visualiza las frecuencias como alturas, y se utiliza para variables discretas (y también para cualitativas) En el histograma el área de cada rectángulo representa la frecuencia correspondiente, y se utiliza para datos agrupados en intervalos. Obviamente, la idea de representar gráficamente los datos de la distribución es poder visualizar mejor ésta. Por tanto, si se trata de pocos datos, no tiene sentido ni tabularlos ni hacer una gráfica: basta con presentarlos ordenados. Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

123 En el histograma anterior, y puesto que los intervalos tenían la misma amplitud, los rectángulos tienen la altura correspondiente a la f i. Ahora bien, si son de distinta amplitud, entonces habrá que ajustar la altura a i de cada rectángulo mediante la siguiente fórmula: f área = f = amplitud a a = amplitud i i (5) i i Veámoslo en el siguiente ejemplo: Ejemplo 4: Las calificaciones de una evaluación de los 0 alumnos de º Bachillerato A son: Confeccionar la correspondiente tabla agrupando los datos en intervalos de suspensos (0 a 5), aprobados (5 a 7), notables (7 a 9) y sobresalientes (9 a 0). Construir el histograma de frecuencias absolutas. Calificación f i F i a i=f i/amplitud h i H i [0-5) /5=0,4 0,0 0,0 [5-7) 5 7 5/=,5 0,5 0,5 [7-9) 8 /=5,5 0,55 0,90 [9-0] 0 /= 0,0 Σ=0 Σ= Adviértase que en la 4ª columna se ha tenido que ajustar la altura a i de cada rectángulo, de acuerdo con la fórmula (5), de forma que su área sea igual a su f i. De esta forma, el histograma quedaría de la siguiente forma: a i HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS Calificaciones III.) Polígono de frecuencias Uniendo los etremos superiores de las barras de un diagrama de barras, o los puntos medios del lado superior de cada rectángulo de un histograma 4, obtenemos el llamado polígono de frecuencias. Veámoslo para los ejemplos anteriores: 4 En el caso del polígono de frecuencias acumuladas en datos agrupados en intervalos, y como veremos en el apartado IV, para poder obtener gráficamente la mediana no se unen los puntos medios, sino los etremos derechos Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

124 f i DIAGRAMA de BARRAS y POLÍGONO de FRECUENCIAS ABSOLUTAS f i HISTOGRAMA y POLÍGONO de FRECUENCIAS ABSOLUTAS a i HISTOGRAMA y POLÍGONO de FRECUENCIAS ABSOLUTAS Edad Estatura (cm) Calificaciones Observaciones: º) En los ejemplos anteriores lo que se representaba era la frecuencia absoluta. Pero, evidentemente, también eisten diagramas de barras o histogramas de frecuencias relativas, de frecuencias acumuladas, polígonos de frecuencias absolutas o relativas acumuladas, etc. Por ejemplo, en el caso del ejemplo : F i Edad DIAGRAMA de BARRAS y POLÍGONO de FRECUENCIAS ABSOLUTAS ACUMULADAS º) En el caso de datos agrupados en intervalos, más adelante eplicaremos cómo obtener el polígono de frecuencias (absolutas o relativas) acumuladas, el cual se utiliza para hallar gráficamente la mediana. º) Obviamente, si la variable es cualitativa, no tienen sentido los gráficos acumulativos. III.) Gráfico de sectores Si dividimos un círculo en sectores circulares de área 5 proporcional a cada frecuencia absoluta f i, obtendremos un gráfico de sectores. Vamos a obtener, mediante regla de tres, la fórmula que nos indique cuántos grados α i corresponden a cada sector: 5 Lógicamente, si el área del sector circular es proporcional a fi, también lo será su amplitud. Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

125 f i N α i 60º N f i α i = = i αi fi N 60º h 60º (6) Vamos a aplicarla al caso concreto del ejemplo 4: Calificación f i h i α i=h i 60º [9-0] 0% [0-5) 0% [0-5) 0,0 6º [5-7) 5 0,5 90º [7-9) 0,55 98º [9-0] 0,0 6º Σ=0 Σ= Σ=60º [7-9) 55% [5-7) 5% Nótese que, si la tabla está bien confeccionada, obviamente todos los α i sumarán 60º. Además, se suele indicar el % que corresponde a cada sector. Por último, conviene indicar que, en el caso de variables cualitativas, eisten otros tipos alternativos de representaciones gráficas (si bien, las dos primeras obedecen más a fines de tipo publicitario que a consideraciones de tipo matemático ): pictograma: en lugar de una barra se utiliza una figura alusiva de altura o tamaño proporcional a la frecuencia. P. ej. para indicar la producción de automóviles de distintos países. Tiene el inconveniente de ser poco preciso. cartograma: es un mapa coloreado en distintos tonos y colores con una leyenda al margen que indica su significado. diagramas de columnas apiladas: p. ej. la misma columna se divide en porcentaje de hombres y mujeres. pirámide de población: es un tipo de gráfico muy conocido pues se utiliza mucho en Ciencias Sociales para cuestiones demográficas. CUADRO-RESUMEN: variable cuantitativa: discreta: diagrama de barras polígono de frecuencias diagrama de sectores continua: histograma polígono de frecuencias diagrama de sectores cualitativa: diagrama de barras ( nunca frecuencias acumuladas!) polígono de frecuencias diagrama de sectores pictogramas, cartogramas, pirámides de población Ejercicios final tema: 5 y 6 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

126 IV) MEDIDAS de TENDENCIA CENTRAL (media, mediana, moda) IV.) Media aritmética Se define como la suma de todos los valores i dividida por el número de valores, N. Se designa como : _ = _n i i= N n fi i i= N Σ=0 Σ=90 Esta es la típica fórmula que se utiliza, por ejemplo, para calcular la nota media de una serie de eámenes. Ahora bien, en general, cada valor i se repetirá con una frecuencia f i. En ese caso, la fórmula sería: Observaciones: _ = º) En el caso de valores agrupados en intervalos, i indica la marca de clase, es decir, el punto intermedio de cada intervalo. º) Obviamente, no eiste la media si los datos son cualitativos. Ni tampoco si los datos están agrupados y alguna clase está abierta (p. ej. si en una encuesta el último grupo fuera mayores de 60 años ) º) La media es el centro de gravedad de la distribución; es decir, si las barras tuvieran peso representaría el punto donde habría que sostener la base del diagrama para que no se venciera. Vamos a ver cómo se calcula la media en los ejemplos y : Edad ( i) f i f i i Σ=0 Σ= Estatura (cm) i f i f i i [55-65) [65-75) [75-85) [85-95] (7) (8) _ n f N 0 i i i= = = = 6,6 años _ n f 90 N 0 i i i= = = = 69,5 cm Obsérvese que es fundamental no olvidarse de indicar las unidades. IV.) Mediana Es un valor tal que la mitad de los valores son menores o iguales que él, y la otra mitad mayores o iguales. Se representa como Me. Para calcularla, cabe distinguir tres posibles situaciones: º) Distribuciones con pocos valores, es decir, series estadísticas: Se ordenan crecientemente dichos valores, y la mediana será el valor central (si el número de datos es par, se toma la semisuma de los dos centrales). Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

127 Ejemplo 5: Los sueldos mensuales (en ) de 7 trabajadores de una empresa son los siguientes: Si calculamos la media (06,4 ) observamos que no es muy representativa de los datos de esta distribución, ya que éstos se encuentran muy dispersos. Obtengamos la mediana: El valor obtenido, 85, sí es representativo de la mayoría de los datos. º) Variable discreta (como en el ejemplo ): construimos la tabla de frecuencias absolutas acumuladas, F i, calculamos N/ y buscamos los valores de F i que verifiquen: F N < < i F (9) i La mediana será entonces el valor i de la variable correspondiente a F i, es decir, el primer valor de la variable cuya F i ecede a N/. N NOTA: Si coincide F = i Fi <, se toma i i Me = + (0) Ejemplo : M e Edad (años) f i F i Σ=0 N 0 = Me=6 años º) Variable agrupada en intervalos (como en el ejemplo ): como en el caso anterior, construimos la tabla de frecuencias absolutas acumuladas, F i, calculamos N/ y buscamos los valores de F i que verifiquen: N F < i Fi < El intervalo mediano es decir, en el que está la mediana será entonces aquel correspondiente a F i. N NOTA: Si coincide F = i Fi <, se toma, como antes, i i Me = + Ejemplo : Estatura (cm) f i F i Intervalo mediano [55-65) 6 6 [65-75) 0 6 [75-85) 9 [85-95] 0 Σ=0 N 0 = Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

128 Ahora bien, Cómo saber el valor eacto de la mediana? El método más sencillo es el gráfico, que consiste en dibujar el polígono de frecuencias absolutas acumuladas en papel milimetrado. Para ello, supondremos que la frecuencia se distribuye de manera uniforme a lo largo de cada intervalo (algo lógico), de modo que asignaremos los sucesivos valores de cada frecuencia acumulada al etremo superior del intervalo correspondiente (en negrita en la tabla inferior): F i Estatura (cm) F i 55 0 [55-65) 65 6 [65-75) 75 6 [75-85) 85 9 N 0 = [85-95] 95 0 Me=69 cm Estatura (cm) Seguidamente, trazamos una línea horizontal a la altura de N/=0, la cual corta al polígono de frecuencias en el punto de abscisa 69 cm, que es precisamente la mediana. Ello se puede obtener también analíticamente 6, recordando la interpolación lineal vista en el tema : 6 (75,6) Obtenemos, en primer lugar, la recta que pasa por los puntos (65,6) y (75,6): 0 6 (65,6) y = m + n (65,6) 6 = 65m + n 6 = 65m n + (75,6) 6 = 75m + n 6 = 75m + n 0 = 0m m = n = M e Por tanto, el tramo de polígono de frecuencias correspondiente al intervalo mediano tiene la ecuación y=-59. Finalmente, sustituyendo y=0 se obtiene =69 cm NOTA: Eiste una fórmula general para calcular la mediana en estos casos, cuya obtención, procediendo como acabamos de eplicar, se escapa de las pretensiones de este curso: 6 Y eiste otra tercera forma, aplicando semejanza de triángulos en la figura. Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital