APLICACIÓN DEL ALGORITMO MATEMÁTICO MIXTO PARA OPTIMIZAR TIEMPO Y COSTO DE PROYECTOS, EN LA CONSTRUCTORA TRIADA LIMITADA

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1 APLICACIÓN DEL ALGORITMO MATEMÁTICO MIXTO PARA OPTIMIZAR TIEMPO Y COSTO DE PROYECTOS, EN LA CONSTRUCTORA TRIADA LIMITADA ARTURO HERNÁNDEZ CARVAJAL JOSE DAVID ROJAS ROMERO UNIVERSIDAD DE LA SALLE FACULTAD DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS BOGOTÁ D.C. 2007

2 APLICACIÓN DEL ALGORITMO MATEMÁTICO MIXTO PARA OPTIMIZAR TIEMPO Y COSTO DE PROYECTOS, EN LA CONSTRUCTORA TRIADA LIMITADA ARTURO HERNÁNDEZ CARVAJAL JOSE DAVID ROJAS ROMERO Trabajo de grado para optar por el titulo de Administrador de Empresas Director JOSÉ GREGORIO MEDINA CEPEDA Ingeniero Industrial, Especialista en Ingeniería de la Producción UNIVERSIDAD DE LA SALLE FACULTAD DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS BOGOTÁ D.C. 2007

3 Nota de aceptación Firma del presidente del jurado Firma del jurado Firma del jurado Ciudad y fecha (día, mes, año)

4 Aquel que tiene un por qué para vivir se puede enfrentar a todos los "cómos". Friedrich Nietzsche A mis padres y hermano por todo su apoyo y colaboración, así como a Ángela Marcela por ser parte importante en mi vida. Arturo Hernández Carvajal A todos; mil gracias de todo corazón, que Dios los bendiga por que han sido un gran bendición en mi vida. José David Rojas Romero Daría todo lo que sé, por la mitad de lo que ignoro. Albert Einstein

5 AGRADECIMIENTOS Los autores expresan sus agradecimientos por el valioso apoyo prestado a las siguientes personas y entidades; sin las cuales no hubiera sido posible el desarrollo de este trabajo de grado: José Gregorio Medina Cepeda, Ingeniero Industrial y profesor de la Facultad de Administración de empresas en la Universidad de la Salle, por permitirnos ser parte de su investigación para aplicar el algoritmo de optimización de tiempo y costo; motivo de este trabajo. Jaime Alberto Correa, Coordinador de presupuestos y programación de la constructora TRIADA LTDA., por su apoyo, orientación y guía en el desarrollo del trabajo de campo. Constructora TRIADA LTDA, por abrirnos las puertas y acceder a realizar la aplicación del algoritmo de optimización de tiempo y costo. Universidad de la Salle y todo el cuerpo docente de la facultad de Administración de Empresas, por sus valiosas enseñanzas y orientación permanente.

6 CONTENIDO INTRODUCCIÓN PROBLEMA ANTECEDENTES PLANTEAMIENTO FORMULACIÓN DEL PROBLEMA OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL OBJETIVOS ESPECÍFICOS JUSTIFICACIÓN HIPÓTESIS HIPÓTESIS DE TERCER GRADO HIPÓTESIS DE SEGUNDO GRADO HIPÓTESIS DE PRIMER GRADO DISEÑO METODOLÓGICO TIPO DE INVESTIGACIÓN: EXPLORATORIA POBLACIÓN Y MUESTRA MÉTODO DE INVESTIGACIÓN FUENTES Y TÉCNICAS DE RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN PRIMARIAS SECUNDARIAS MARCO TEÓRICO MARCO CONCEPTUAL MARCO REFERENCIAL ADMINISTRACION DE PROYECTOS MÉTODOS DE PLANIFICACIÓN DE RED / (PERT CPM) MANEJO DE LA INCERTIDUMBRE EN LAS DURACIONES DE LAS ACTIVIDADES CON EL ENFOQUE PERT MANEJO DE TIEMPOS CON EL ENFOQUE CPM LA RUTA CRÍTICA HOLGURAS... 30

7 Ejemplo de estimaciones de tiempo CPM MÉTODO CPM DE TRUEQUES ENTRE TIEMPO Y COSTO RESUMEN DE LAS TECNICAS PERT CPM CONCLUSIONES CPM Y PERT ARBOL DE DECISIÓN ALGORITMO MATEMATICO MIXTO PARA OPTIMIZAR TIEMPO Y COSTO DE PROYECTOS Aspectos Básicos Algoritmo de Solución CARACTERIZACIÓN SECTOR CONSTRUCCIÓN EN COLOMBIA PIB DE CONSTRUCCIÓN PIB DE OBRAS CIVILES Y DE EDIFICACIONES LICENCIAS DE CONSTRUCCIÓN Comportamiento licencias de construcción en Colombia y Bogotá D.C Licencias de construcción y área a construir en metros cuadrados VIVIENDA DE INTERES SOCIAL Y DE NO INTERES SOCIAL Vivienda de interés social (VIS) Vivienda de no interés social (No VIS) Comparación del comportamiento unidades aprobadas para construcción de vivienda tipo VIS y no VIS en Colombia EMPLEO URBANO EN EL SECTOR CONSTRUCCIÓN APLICACIÓN DEL ALGORITMO PARA OPTIMIZAR TIEMPO Y COSTO DE PROYECTOS CARACTERIZACIÓN DE TRIADA LIMITADA CONSTRUCTORA DE BOGOTA D.C. Y DE SU PROYECTO URBANIZACION SABANA DE TIERRA BUENA CONSTRUCTORA TRIADA LIMITADA CARACTERIZACIÓN DEL PROYECTO ANALIZADO ACTIVIDADES PLANEADAS PARA EL DESARROLLO DEL PROYECTO SABANA DE TIERRA BUENA Descripción de actividades APLICACIÓN DEL ALGORITMO PARA OPTIMIZAR TIEMPO Y COSTO DE PROYECTOS ACERCA DE LA POSPOSICIÓN Y ADELANTO DE ACTIVIDADES EN EL PROYECTO SABANA DE TIERRA BUENA... 83

8 8.7. APLICACIÓN DEL ALGORITMO DE OPTIMIZACIÓN MODULO A APLICACIÓN DEL ALGORITMO DE OPTIMIZACIÓN MODULO B APLICACIÓN DEL ALGORITMO DE OPTIMIZACIÓN MODULO N APLICACIÓN DEL ALGORITMO DE OPTIMIZACIÓN MODULO L APLICACIÓN DEL ALGORITMO DE OPTIMIZACIÓN URBANIZACIÓN SABANA DE TIERRA BUENA RESUMEN DE RESULTADOS OBTENIDOS EN LA APLICACIÓN ANÁLISIS DE RESULTADOS OBTENIDOS LUEGO DE APLICAR EL ALGORITMO PARA OPTIMIZAR TIEMPO Y COSTO ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA ANEXOS

9 LISTA DE TABLAS Tabla 1. Resumen de ecuaciones para obtener las cuatro estimaciones de tiempo desde el enfoque CPM...29 Tabla 2. (PERT) Matriz de resumen...37 Tabla 3. (CPM) Matriz de resumen...39 Tabla 4. Estructura de tiempo...46 Tabla 5. Criterio de ejecución para el método PERT...48 Tabla 6. Total de licencias y total de licencias residenciales en Colombia y bogota III trimestre...56 Tabla 7. Área total y residencial a construir en metros cuadrados en Colombia y Bogotá D.C Tabla 8. Número de unidades aprobadas para vivienda VIS y no VIS / total de casas y apartamentos construidos en Colombia Tabla 9. Empleo urbano total discriminado en porcentajes de participación según las diferentes ramas económicas en Colombia...68 Tabla 10. Algunas obras civiles (públicas) realizadas por TRIADA LTDA Tabla 11. Algunas obras de vivienda realizadas por TRIADA LTDA...72 Tabla 12. Sabana de Tierra Buena: módulos, número de casas y días totales utilizados para construirlas...74 Tabla 13. Actividades planeadas para el proyecto Sabana de Tierra Buena...75 Tabla 14. Tiempo de ejecución para cada módulo de la urbanización Sabana de Tierra Buena con y sin posposición...82 Tabla 15. Módulos tipo y sus semejantes en el proyecto Sabana de Tierra Buena...82 Tabla 16. Sabana de Tierra Buena Duración total del proyecto con posposición de actividades...85 Tabla 17. Modulo A: Estructura de tiempo...88 Tabla 18. Modulo A: Estructura de costos PERT y CPM...89 Tabla 19. Modulo A: Estructura de Tiempo/Costo: Criterio Optimista...90 Tabla 20. Modulo A: Criterio Optimista Tiempo Normal...91 Tabla 21. Modulo A: Criterio Optimista Tiempo Limite...91

10 Tabla 22. Modulo A: Estructura De Tiempo/Costo: Criterio Neutral...92 Tabla 23. Modulo A: Criterio Neutral Tiempo Normal y Límite...93 Tabla 24. Modulo A: Estructura De Tiempo/Costo: Criterio Pesimista...94 Tabla 25. Modulo A: Criterio Pesimista Tiempo Normal...95 Tabla 26. Modulo A: Criterio Pesimista Tiempo Limite...96 Tabla 27. Modulo A: Resultados de tiempo y costo obtenidos en cada criterio...96 Tabla 28. Modulo A: Rutas Críticas y Variabilidad del Proyecto...97 Tabla 29. Modulo A: Solución con base en el método CPM...99 Tabla 30. Modulo B: Estructura de Tiempo Tabla 31. Modulo B: Estructura de Costos PERT Y CPM Tabla 32. Modulo B: Estructura de Tiempo/Costo: Criterio Optimista Tabla 33. Modulo B: Criterio Optimista Tiempo Normal Tabla 34. Modulo B: Criterio Optimista Tiempo Limite Tabla 35. Modulo B: Estructura de Tiempo/Costo: Criterio Neutral Tabla 36. Modulo B: Criterio Neutral Tiempo Normal y Límite Tabla 37. Modulo B: Estructura de Tiempo/Costo: Criterio Pesimista Tabla 38. Modulo B: Criterio Pesimista Tiempo Normal Tabla 39. Modulo B: Criterio Pesimista Tiempo Limite Tabla 40. Modulo B: Resultados de tiempo y costo obtenidos en cada criterio Tabla 41. Modulo B: Rutas Críticas y Variabilidad del Proyecto Tabla 42. Modulo B: Solución con base en el método CPM Tabla 43. Modulo N: Estructura de Tiempo Tabla 44. Modulo N: Estructura de Costos PERT y CPM Tabla 45. Modulo N: Estructura de Tiempo y Costo: Criterio Optimista Tabla 46. Modulo N: Criterio Optimista Tiempo Normal Tabla 47. Modulo N: Criterio Optimista Tiempo Limite Tabla 48. Modulo N: Estructura de Tiempo y Costo: Criterio Neutral Tabla 49. Modulo N: Criterio Neutral Tiempo Normal y Tiempo Límite Tabla 50. Modulo N: Estructura de Tiempo y Costo: Criterio Pesimista Tabla 51. Modulo N: Criterio Pesimista Tiempo Normal Tabla 52. Modulo N: Criterio Pesimista Tiempo Limite

11 Tabla 53. Modulo N: Resultados de tiempo y costo obtenidos en cada criterio Tabla 54. Modulo N: Rutas Críticas y Variabilidad del Proyecto Tabla 55. Modulo N: Solución con base en el método CPM Tabla 56. Modulo L: Estructura de Tiempo Tabla 57. Modulo L: Estructura de Costos PERT Y CPM Tabla 58. Modulo L: Estructura de Tiempo y Costo: Criterio Optimista Tabla 59. Modulo L: Criterio Optimista Tiempo Normal Tabla 60. Modulo L: Criterio Optimista Tiempo Limite Tabla 61. Modulo L: Estructura de Tiempo y Costo: Criterio Neutral Tabla 62. Modulo L: Criterio Neutral Tiempo Normal y Límite Tabla 63. Modulo L: Estructura De Tiempo y Costo: Criterio Pesimista Tabla 64. Modulo L: Criterio Pesimista Tiempo Normal Tabla 65. Modulo L: Criterio Pesimista Tiempo Limite Tabla 66. Modulo L: Resultados de tiempo y costo obtenidos en cada criterio Tabla 67. Modulo L: Rutas Críticas y Variabilidad del Proyecto Tabla 68. Modulo L: Solución con base en el método CPM Tabla 69. Sabana De Tierra Buena: Estructura De tiempo y costo: Criterio Optimista. 139 Tabla 70. Sabana de Tierra Buena: Criterio Optimista - Tiempo Normal Tabla 71. Sabana de Tierra Buena: Criterio Optimista - Tiempo Limite Tabla 72. Sabana De Tierra Buena: Estructura De tiempo y costo: Criterio Neutral Tabla 73. Sabana de Tierra Buena: Criterio Neutral - Tiempo Normal y Límite Tabla 74. Sabana De Tierra Buena: Estructura tiempo y costo: Criterio Pesimista Tabla 75. Sabana De Tierra Buena: Criterio Pesimista Tiempo Normal Tabla 76. Sabana De Tierra Buena: Criterio Pesimista Tiempo Limite Tabla 77. Sabana de Tierra Buena: Resultados de tiempo y costo obtenidos en cada criterio Tabla 78. Sabana de Tierra Buena: Rutas Críticas y Variabilidad del Proyecto Tabla 79. Sabana de Tierra Buena: Solución con base en el método CPM Tabla 80. Resumen de resultados luego de aplicar el algoritmo para optimizar tiempo y costo Tabla 81. Módulos tipo y sus semejantes en el proyecto Sabana de Tierra Buena

12 LISTA DE GRÁFICOS Gráfico 1. Distribución de Probabilidad Beta...27 Gráfico 2. Ejemplo de Red de proyecto con las cuatro estimaciones de tiempo CPM...32 Gráfico 3. Modelo de Árbol de decisión...43 Grafico 4. Estructura General de un árbol de decisión para el algoritmo de optimización Gráfico 5. Variación porcentual PIB total vs. PIB construcción III trimestre.52 Gráfico 6. Comparación de crecimientos del PIB de edificaciones y PIB de obras civiles 53 Gráfico 7. PIB de edificaciones y PIB de obras civiles comparados con el crecimiento del PIB de construcción...54 Gráfico 8. Total de licencias y total de licencias residenciales otorgadas en Colombia y Bogotá D.C...57 Grafico 9. Variación porcentual total de licencias para construcción y licencias para vivienda en Colombia y Bogotá...58 Gráfico 10. Comparación de la variación porcentual del número de unidades aprobadas tipo VIS (casas y apartamentos) en Colombia...62 Gráfico 11. Comparación de la variación porcentual del número de unidades aprobadas tipo no VIS (casas y apartamentos) en Colombia...64 Gráfico 12. Unidades aprobadas para vivienda (casas y apartamentos) en Colombia Gráfico 13. Unidades aprobadas para vivienda (VIS y no VIS) en Colombia Gráfico 14. Logo de Triada Limitada y Urbanización Sabana de tierra buena...73 Gráfico 15. Diagrama Gantt: Estructura Proyecto Sabana de Tierra Buena...85 Gráfico 16. Sabana de Tierra Buena Red general del proyecto teniendo en cuenta posposición de actividades...86 Gráfico 17. Modulo A: Análisis CPM Tiempo/Costo Gráfico 18. Modulo B: Análisis CPM Tiempo/Costo Gráfico 19. Modulo N: Análisis CPM Tiempo/Costo Gráfico 20. Modulo L: Análisis CPM Tiempo/Costo

13 Gráfico 21. Red General del Proyecto Sabana de Tierra Buena, vista desde el criterio optimista en tiempo normal Gráfico 22. Sabana de Tierra Buena: Análisis CPM Tiempo/Costo

14 ANEXOS Anexo 1. Carta de aceptación por parte de TRIADA LIMITADA, para realizar la aplicación del modelo Anexo 2. Producto Interno Bruto total y del sector construcción Años III Trimestre Anexo 3. Licencias de construcción y área a construir en metros cuadrados (Colombia y Bogotá) III Trimestre Anexo 4. Colombia: Número de licencias aprobadas para vivienda en 77 Municipios Anexo 5. Colombia: comportamiento de la actividad edificadora según licencias / 77 Municipios (m2)

15 INTRODUCCIÓN En la actualidad se puede apreciar un notable crecimiento empresarial, generando procesos más complejos que conllevan a una mayor dificultad en la toma de decisiones, a esto se suman cambios constantes en el entorno los cuales tienen que ser asimilados rápidamente para poder subsistir en un ambiente cada vez más competitivo. Esto genera la necesidad de poseer herramientas para tomar decisiones de forma eficientes y eficaces, ya que el hecho de posponer alguna acción o errar ante una decisión; puede llegar a convertirse en una desventaja para la empresa o simplemente en un factor de destrucción de la misma. Teniendo en cuenta lo anterior, el profesor José Gregorio Medina; se plantea un problema de investigación relacionado con la planeación y toma de decisiones, obteniendo como resultado a su pregunta un algoritmo matemático para optimizar tiempo y costo de proyectos. Dicho algoritmo busca ser una herramienta que ayude a las empresas y/o personas a optimizar el proceso administrativo (planear, organizar, dirigir y controlar) así como la toma de decisiones. El algoritmo para optimizar tiempo y costo hace uso de los modelos clásicos de redes como PERT y CPM, el primero orientado hacia los modelos probabilísticos y el segundo hacia los determinísticos. Por su parte el algoritmo matemático para optimizar proyectos propone integrar estos dos tipos de actividades (determinísticas y probabilísticas) permitiendo evaluar el tiempo y costo de un proyecto bajo tres criterios o escenarios de ejecución (optimista neutral pesimista) Al desarrollar este trabajo de grado, el objetivo principal se enfoca hacia la aplicación del algoritmo de optimización de tiempo y costo en un proyecto real, con

16 el fin de observar su comportamiento, ventajas, dificultades y falencias contribuyendo así al proceso de construcción del mismo. Para tal objetivo se ha decidido visualizar su comportamiento en el sector de la construcción ya que las empresas que desarrollan proyectos como urbanizaciones u obras civiles manejan proyectos complejos compuestos por múltiples actividades que pueden ser clasificadas como probabilísticas o determinísticas. Sin embargo antes de realizar la aplicación se ha decidido caracterizar el sector de construcción en Colombia para observar su coyuntura económica en los últimos seis años, y así comprender su importancia en la economía Nacional y los retos a los cuales han tenido que enfrentarse los empresarios para salir adelante durante estos años. De esta forma se habla de variables como el Producto Interno Bruto (PIB), licencias de construcción, viviendas tipo VIS y no VIS y generación de empleo. Luego de tener claridad acerca de la importancia del sector construcción en el país, se da el primer paso para aplicar el algoritmo de optimización de tiempo y costo. En este momento se inicia el trabajo de campo en una constructora de la ciudad de Bogotá Colombia y con un proyecto histórico desarrollado por la misma. La información y colaboración es proporcionada por la constructora TRIADA LIMITADA, la cual gentilmente proporciono su obra Sabana de Tierra Buena; proyecto de vivienda de interés social, desarrollado en Bogotá durante el año Al iniciar la aplicación se realiza un análisis de las diferentes actividades que componen el proyecto, se determinan sus tiempos de ejecución dependiendo del tipo de actividad y se asignan costos de ejecución. Durante la misma se habla de la posposición, variable importante en este tipo de proyectos. Para aplicar el 2

17 algoritmo de optimización de tiempo y costo de tiempo y costo de proyectos se sigue paso a paso el algoritmo diseñado por José Gregorio Medina. Finalmente se hace un resumen de los resultados obtenidos durante la aplicación y se presentan conclusiones con el objetivo de ayudar a construir y mejorar el algoritmo para optimizar tiempo y costo. El alcance de este trabajo de grado en el corto plazo es principalmente académico porque contribuirá al mejoramiento del algoritmo matemático que se encuentra en periodo de prueba y fortalecimiento. Sin embargo en el largo plazo pretende ser guía para las empresas y/o personas que consideren la implementación del algoritmo en la planeación de sus proyectos empresariales. 3

18 1. PROBLEMA 1.1. ANTECEDENTES La posibilidad de aplicar el Algoritmo matemático que optimiza tiempo y costo de ejecución de proyectos en una constructora de la ciudad de Bogotá D.C., se da en el momento en el que se dialoga con el profesor José Gregorio Medina Cepeda; investigador y profesor de la facultad de Administración de Empresas de la Universidad de la Salle, quien desarrolló el Algoritmo Matemático para Optimizar Tiempo y Costo de Proyectos. Los autores, con el conocimiento general de las herramientas utilizadas en el algoritmo y con la participación activa en el sector de la construcción de los familiares de uno de los investigadores, plantean la posibilidad de aplicar dicho algoritmo en una constructora con el fin de poder visualizar los resultados obtenidos dentro de un proyecto real, el cual puede ser histórico o que este en ejecución. El algoritmo generado por el Profesor e investigador se basa en los modelos de optimización de redes PERT y CPM así como en los árboles de decisión. Mediante este se pretende disminuir la incertidumbre para conseguir un mejor desempeño de diferentes proyectos en el ámbito organizacional PLANTEAMIENTO Con el desarrollo del trabajo de grado se pretende evaluar tres variables, el atraso en la entrega de las obras (TIEMPO), la desviación de los presupuestos (COSTOS) y la insatisfacción del cliente generada por el aumento tiempos y costos de entrega, síntomas que pueden presentarse no solo en los proyectos del sector de la construcción, sino en cualquier proyecto que no se planee adecuadamente. 4

19 En la actualidad las constructoras evalúan y determinan el tiempo de ejecución de sus proyectos por medio de métodos probabilísticos o determinísticos, lo cual hace que tengan una aproximación relativamente acertada en el momento de la entrega de los mismos, sin embargo es claro que no es del todo confiable trabajar estos métodos por aparte; ya que los proyectos por lo general se retrasan en su entrega o tienen una desviación considerable en los costos. Quizá esto radica en la falta de planeación adecuada, entrega inoportuna de materias primas por parte de los proveedores o demás variables exógenas que puedan afectar al proyecto particular. Al finalizar con la aplicación del algoritmo de optimización de tiempo y costo de proyectos en una situación real se podrá observar su comportamiento para así generar conclusiones y recomendaciones que permitan mejorar y fortalecer el algoritmo planteado FORMULACIÓN DEL PROBLEMA CÓMO APLICAR UN ALGORITMO MATEMÁTICO MIXTO QUE OPTIMIZA TIEMPO Y COSTO DE EJECUCIÓN DE PROYECTOS EN TRIADA LTDA CONSTRUCTORA DE LA CIUDAD DE BOGOTÁ? 5

20 2. OBJETIVOS 2.1. OBJETIVO GENERAL Aplicar el algoritmo matemático mixto para optimizar tiempo y costo de ejecución de proyectos en la constructora TRIADA LTDA., ubicada en la ciudad de Bogotá D.C OBJETIVOS ESPECÍFICOS Describir el sector de la construcción en Colombia en el periodo , con el fin de observar su comportamiento general. Aplicar el algoritmo matemático para optimizar proyectos en la constructora TRIADA LTDA, para observar el desempeño de este en una situación real. Analizar y presentar los resultados obtenidos de la aplicación del modelo para verificar su comportamiento en una situación real. 6

21 3. JUSTIFICACIÓN TEÓRICA ADMINISTRATIVA El trabajo propuesto busca que mediante el uso de herramientas de Investigación de Operaciones, interrelacionadas con los conocimientos de Gerencia de la Producción, administración de empresas y economía se aplique el algoritmo matemático de optimización de tiempo y costo a una situación real (proyecto histórico o en ejecución) lo que permitirá que los autores de este trabajo den conclusiones y recomendaciones para mejorar y evaluar el algoritmo de optimización de tiempo y costo. PRÁCTICA Según los objetivos planteados se pretende aportar en la generación de un nuevo algoritmo que ayude en la toma de decisiones empresariales a la hora de planear y/o ejecutar un proyecto. Además se pretende colaborar en la estructuración de un nuevo conocimiento como lo es el Algoritmo Matemático Mixto para optimizar proyectos. METODOLÓGICA Para la aplicación del algoritmo matemático que optimiza tiempo y costo de proyectos, se recurrirá al algoritmo generado por José Gregorio Medina Cepeda en su investigación. Junto con la anterior se aplicaran técnicas tales como los modelos de PERT y CPM; de igual manera se tendrán en cuenta las graficas Gantt y los conceptos generales utilizados en al planeación y gerencia de proyectos. 7

22 4. HIPÓTESIS 4.1. HIPÓTESIS DE TERCER GRADO Aplicar el algoritmo matemático de optimización de tiempo y costo a un proyecto de construcción histórico o en ejecución, permitirá determinar la efectividad del algoritmo HIPÓTESIS DE SEGUNDO GRADO El algoritmo matemático de optimización mejorará la competitividad de la empresa, reflejando unos menores costos del proyecto. El algoritmo matemático de optimización mejorará la competitividad de la empresa, reflejando un tiempo menor en la entrega de los proyectos. La planeación óptima genera la realización de un proyecto exitoso HIPÓTESIS DE PRIMER GRADO Las actividades que componen un proyecto deben tener definido un tiempo de inicio y de finalización. El gerente de proyectos debe controlar tiempo y costo de ejecución. Los proyectos son flexibles respecto a la reasignación de los recursos. 8

23 5. DISEÑO METODOLÓGICO 5.1. TIPO DE INVESTIGACIÓN: EXPLORATORIA Para Carlos Eduardo Méndez 1 los estudios exploratorios son aquellas investigaciones que buscan construir un marco teórico de referencia o las orientadas al análisis de modelos teóricos. También define los estudios exploratorios como aquellos en los cuales los investigadores tienen conocimientos previos sobre el problema planteado, los trabajos realizados por otros investigadores, la información no escrita que poseen personas que por su relato pueden ayudar a reunir y sintetizar sus experiencias. Según lo anterior la investigación tiene carácter exploratorio. En primera instancia porque los autores del trabajo de grado tienen conocimientos previos necesarios para la aplicación del algoritmo y demás objetivos planteados como la caracterización del sector construcción. Además el objetivo principal de este trabajo de grado es el análisis de un modelo teórico mediante la aplicación en una situación real. Así mismo se pretende recopilar datos al hablar con el gerente de proyectos de la constructora y de igual forma se utilizará el algoritmo generado por José Gregorio Medina Cepeda. Finalmente se culmina con el análisis de resultados obtenidos durante la aplicación del modelo teórico de optimización y se generan conclusiones y / o recomendaciones que permitan hacer mejoras al mismo. 1 MENDEZ ALVAREZ, Carlos. Metodología, diseño y desarrollo del proceso de investigación. 3 ed. Bogotá D.C.: Mc Graw Hill, p 133 9

24 5.2. POBLACIÓN Y MUESTRA Este punto no aplica al trabajo de grado, ya que no es necesario obtener una muestra representativa de alguna población para aplicar el algoritmo matemático para optimizar tiempo y costo de proyectos MÉTODO DE INVESTIGACIÓN El método de investigación que se ha de realizar en el presente proyecto se identifica como la observación; puesto que este método de investigación según Carlos Eduardo Méndez, puede entenderse como un proceso que da la posibilidad de conocer la realidad y permite definir previamente los datos más importantes que deben recogerse por tener relación directa con el problema de investigación 2. La observación que se aplicará es la de tipo no participante ya que según el autor ya mencionado; los investigadores no son participes del sector o de las organizaciones a observar entonces solo se harán presentes con el motivo de recolectar información FUENTES Y TÉCNICAS DE RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN Se necesitará acudir a fuentes secundarias y primarias, con el fin de obtener y recolectar la información necesaria que apoye el desarrollo del proyecto PRIMARIAS 2 Ibid. p

25 Se considera como fuente primaria toda la información que los investigadores deben recoger de forma directa 3 o también conocida como la información de primara mano, las cuales son extraídas de las organizaciones, el ambiente natural, etc. 4 Según lo anterior las fuentes primarias de información serán: - Información pertinente al proyecto seleccionado como lo son presupuestos (costos reales por actividad), programación (PERT CPM GANTT) de actividades. - Entrevistas con el gerente de proyectos de la empresa en la cual se va a aplicar el algoritmo matemático mixto; con el fin de obtener información pertinente al proyecto como los tiempos (determinísticos y probabilísticos) así como costos de ejecución SECUNDARIAS Ya que la gran mayoría de las investigaciones necesitan información escrita que ha sido recopilada y transcrita por personas que han tenido un contacto directo con el tema a investigar 5 y que ofrecen información, pero que no son la fuente original de los hechos o situaciones 6 ; este tipo de información se denomina fuentes secundarias y para el desarrollo del proyecto se han de tener en cuenta tales como: - Documentos expedidos por el Departamento Nacional de Estadística (DANE) e informes del Banco de la República, entre otros. 3 Ibid. p BERNAL, Cesar Augusto. Metodología de la investigación. Bogotá: Prentice Hall pág Méndez Carlos E., Op. Cit., p Bernal Cesar A., Op. Cit., p

26 - Periódicos y revistas como el tiempo, portafolio y Dinero entre otros, que muestren hablen de actualidad del país y especialmente del sector construcción. 12

27 6. MARCO TEÓRICO Para dar solución al problema planteado se ha estructurado el marco teórico mediante la construcción de un marco conceptual y un marco referencial. El marco conceptual contiene el léxico pertinente a todos los temas desarrollados en la investigación. Este agrupa términos relacionados con investigación de operaciones, macroeconomía y administración de empresas. El marco referencial, que es base para el desarrollo del problema, lo que conlleva a profundizar en temas como: PERT y CPM, administración de proyectos y el algoritmo para optimizar tiempo y costo de proyectos MARCO CONCEPTUAL 7 El marco conceptual para el desarrollo de la investigación comprende temas básicos de la investigación de operaciones, macroeconomía, análisis sectorial y administración. Entre los principales conceptos a manejar se pueden resaltar: ACTIVIDAD: Es la unidad más pequeña de esfuerzo de trabajo que consume tiempo y recursos; los cuales tienen que ser programados y controlados. ALGORTIMO: Un algoritmo es un conjunto ordenado y finito de operaciones que permite hallar la solución de un problema. Es decir, que un algoritmo es un método para encontrar la solución a algún problema. 7 Para la construcción del marco conceptual se utilizaron entre otros: GIDO, Jack. Administración Exitosa de Proyectos. México: Thomson Editores p KRAJEWSKY, Lee. Administración de operaciones, Estrategias y Análisis. Ed. 5. México: Prentice Hall p. PLANETA. Gran Enciclopedia Larousse. Tomos 3, 7 y 8. 13

28 Características de los algoritmos El científico de computación Donald Knuth ofreció una lista de cinco propiedades, que son ampliamente aceptadas como requisitos para un algoritmo: Carácter finito. "Un algoritmo siempre debe terminar después de un número finito de pasos". Precisión. "Cada paso de un algoritmo debe estar precisamente definido; las operaciones a llevar a cabo deben ser especificadas de manera rigurosa y no ambigua para cada caso". Entrada. "Un algoritmo tiene cero o más entradas: cantidades que le son dadas antes de que el algoritmo comience, o dinámicamente mientras el algoritmo corre. Estas entradas son tomadas de conjuntos específicos de objetos". Salida. "Un algoritmo tiene una o más salidas: cantidades que tienen una relación específica con las entradas". Eficacia. "También se espera que un algoritmo sea eficaz, en el sentido de que todas las operaciones a realizar en un algoritmo deben ser suficientemente básicas como para que en principio puedan ser hechas de manera exacta y en un tiempo finito por un hombre usando lápiz y papel". ALGORITMO MATEMÁTICO MIXTO: Para el caso de esta investigación es el modelo diseñado por José Gregorio Medina Cepeda, el cual reúne componentes de tipo probabilístico y de tipo determinístico para determinar el tiempo y costo respectivo a la actividad. CPM: El método de la ruta crítica fue inventado por la corporación DuPont y es comúnmente abreviado como CPM por las siglas en inglés de Critical Path Method. En administración y gestión de proyectos, una ruta crítica es la secuencia de los elementos terminales de la red de proyectos con la 14

29 mayor duración entre ellos, determinando el tiempo más corto para completar el proyecto. La duración de la ruta crítica determina la duración del proyecto entero. Cualquier retraso en un elemento de la ruta crítica afecta la fecha de término planeada del proyecto, y se dice que no hay holgura en la ruta crítica. DETERMINISTICO: Principio científico según el cual todo hecho tiene una causa y, en igualdad de condiciones, las mismas causas producen siempre los mismos efectos, de lo que resulta que los hechos están sometidos a leyes necesarias y universales. DIAGRAMA DE RED: Presenta de manera clara las relaciones de procedencia entre las actividades del proyecto, de igual modo permite desarrollar un algoritmo de programación que facilita la reprogramación del proyecto. EVENTO: Es el punto en el cual una o varias actividades deberán completarse y otra actividad o actividades deberán comenzar. HITO: Es una tarea de duración cero que simboliza el haber conseguido un logro importante en el proyecto. Los hitos son una forma de conocer el avance del proyecto sin estar familiarizado con el proyecto y constituyen un trabajo de duración cero porque simbolizan un logro, un punto, un momento en el proyecto. PERT: La Técnica de Revisión y Evaluación de Programas (en Inglés Program Evaluating and Review Technique), comúnmente abreviada como PERT, es un modelo para la administración y gestión de proyectos inventado en 1958 por la Oficina de Proyectos Especiales de la Marina de 15

30 Guerra del Departamento de Defensa de los EE.UU. PERT es básicamente un método para analizar las tareas involucradas en completar un proyecto dado, especialmente el tiempo para completar cada tarea, e identificar el tiempo mínimo necesario para completar el proyecto total. Una malla PERT permite planificar y controlar el desarrollo de un proyecto. A diferencia de las redes CPM, las redes PERT trabajan con tiempos probabilísticos. TIEMPO DE POSPOSICIÓN ENTRE ACTIVIDADES: En todo tipo de proyectos y en especial en proyectos complejos se presenta este fenómeno que consiste en mostrar el retraso entre tareas que tienen una dependencia. Este retraso puede darse porque hay que esperar un tiempo para poder llevar a cabo la siguiente actividad, lo que hace que el tiempo total del proyecto aumente. Puede ser manejado en herramientas como Microsoft Project. La siguiente imagen muestra la existencia de dependencia entre actividades pero hay un lapso de tiempo luego de terminar la primera actividad. TIEMPO DE ADELANTO ENTRE ACTIVIDADES: Este tiempo al contrario que el tiempo de posposición busca establecer una superposición entre actividades que tienen dependencia. Este adelanto se da porque no es necesario esperar a que termine la actividad predecesora para iniciar con la siguiente, lo que hace que el tiempo total del proyecto disminuya. Puede ser manejado en herramientas como Microsoft Project. La siguiente imagen muestra la dependencia entre actividades pero con un adelanto significativo de la segunda actividad, sin haber terminado la primera. 16

31 PROBABILIDAD: Relación entre el número de casos favorables y el número de casos posibles para un acontecimiento cualquiera, suponiendo que todos lo casos son posibles. PRODUCTO INTERNO BRUTO: Es el valor total de la producción corriente de bienes y servicios finales dentro del territorio nacional durante un período de tiempo determinado, que generalmente es un trimestre o un año. PROYECTO: Conjunto de actividades relacionadas entre si, que tienen puntos definidos de inicio y final; y cuyo resultado final es un producto o servicio específico. Los proyectos también son actividades temporales en las cuales el personal, los materiales y los recursos se combinan entre si para alcanzar una meta, dentro del marco del tiempo especificado. SECTOR ECONÓMICO: Cada una de las partes en que, para su estudio y según criterios diversos, se divide la economía. TIEMPO DETERMINISTICO DE UNA ACTIVIDAD: Tiempo manejado por las actividades CPM. Es aquel tiempo que se puede predecir sin ningún riesgo de error conociendo el estado actual del proyecto, las variables del entorno y el comportamiento del proyecto o actividad ante los cambios del ambiente. Los tiempos determinísticos se pueden obtener teniendo en cuenta los siguientes criterios: o Experiencia de quien realiza el proyecto. o Conversación con los profesionales que desarrollan las Actividades o tareas del proyecto. 17

32 o Observando datos históricos en cuanto a cambios importantes respecto al tiempo y costo de ejecución de las actividades. o Retroalimentación con los clientes. TIEMPO PROBABILISTICO: Tiempo manejado por las actividades PERT. Una actividad probabilística es aquella a la cual no se le puede establecer con facilidad su tiempo de ejecución, para ello es sistema PERT trabaja con tres tiempos (optimista - más probable pesimista), además para lograr una mayor confiabilidad al establecer el tiempo se ha de tener en cuenta la distribución de probabilidad Beta. VIVIENDA DE INTERES SOCIAL (VIS): La Vivienda de Interés Social (VIS) es aquella vivienda dirigida a las personas menos favorecidas de nuestro país y las cuales devengan menos de cuatro (4) salarios mínimos mensuales legales vigentes, cuenta con un subsidio de vivienda otorgado por: LAS CAJAS DE COMPENSACION FAMILIAR Y EL GOBIERNO NACIONAL; este se puede recibir en dinero o especie. El valor máximo de la vivienda de interés social (VIS) será de 135 SMLMV, es decir, $ con base en el SMLMV de De igual forma, y con el propósito de incorporar principios que incentiven mayor competencia y flexibilización en el mercado VIS, no se definirán tipos de vivienda 8. VIVIENDA DE NO INTERES SOCIAL (NO VIS): Es la clasificación utilizada por el DANE Departamento Administrativo Nacional de Estadística para diferenciar las viviendas que no hacen parte de la Vivienda de Interés Social. 8 FONDO NACIONAL DE AHORRO; Pregunta: Qué es una vivienda de interés social? Disponible en Internet <URL: 18

33 6.2. MARCO REFERENCIAL Aplicar el algoritmo de optimización de tiempo y costo, conlleva a tratar temas que parten desde la Investigación de Operaciones, continuando con los modelos matemáticos y finalizando con la administración de proyectos. Igualmente se debe tener en cuenta todo lo referente al sector de la construcción, sector que ha sido escogido para aplicar el algoritmo; sin embargo durante el desarrollo del marco referencial no se tendrá en cuenta, ya que este se analizará con mayor detenimiento durante el desarrollo del análisis sectorial, proceso que se incluye en las bases de solución administrativas ADMINISTRACION DE PROYECTOS Para comprender lo referente a la administración de proyectos, es necesario empezar por abarcar todos los factores que integran un proyecto. Para ello se deben tener en cuenta las consideraciones que menciona Jack Gido: Un proyecto tiene un objetivo bien definido un resultado o un producto esperado. Un proyecto se lleva acabo mediante una serie de tareas interdependientes. Los proyectos utilizan varios recursos para realizar las tareas. Esos recursos pueden incluir diferentes personas, organizaciones, equipos, materiales e instalaciones. Tienen un tiempo específico, o tiempo limitado. Un proyecto tiene un cliente. El cliente es la entidad que proporciona los fondos necesarios para el logro del proyecto; puede ser una persona, una organización o un grupo de dos o más personas u organizaciones. 19

34 Todo proyecto incluye un grado de incertidumbre. Un proyecto se basa en un grupo único de tareas y estimados de qué duración debe tener cada tarea, de los recursos y supuestos sobre la disponibilidad y capacidad de esos recursos y estimados de sus costos. Esta combinación de suposiciones y estimados ocasionan un grado de incertidumbre con relación a si el objetivo del proyecto será alcanzado por completo. 9 Aplicando lo anterior a la investigación realizada se ha de comprender que los proyectos que se han de analizar tienen como objetivo la construcción de una urbanización o un edificio para vivienda. Igualmente también hay un cliente el cual se verá satisfecho si los costos de construcción y el tiempo de entrega de la obra son los que se han estimado. La administración de un proyecto se inicia desde la planeación del mismo y terminando en su ejecución. La planeación del proyecto según Jack Gido incluye los siguientes pasos: 1. Definir con claridad el objetivo del proyecto 2. Dividir y subdividir el alcance del proyecto en piezas importantes o paquetes de trabajo. Por lo general la estructura de división del trabajo identifica a la organización o a la persona que tiene la responsabilidad de cada paquete de trabajo. 3. Definir las actividades específicas que son necesarias de realizar para cada paquete de trabajo con el fin de lograr el objetivo del proyecto. 4. Presentar gráficamente las actividades bajo la forma de un diagrama de red. 9 GIDO, Jack. Administración Exitosa de Proyectos. México: Thomson Editores p

35 5. Hacer un estimado de tiempo de la duración que tendrá que completar cada actividad. También es necesario determinar que tipos de recursos y cuanto de cada recurso se necesita para terminar cada actividad dentro de la duración estimada. 6. Hacer un estimado de costos para cada actividad. El costo se basa en los tipos y cantidades de recursos necesarios para cada actividad. 7. Calcular el programa y el presupuesto de un proyecto, para determinar si el mismo se puede determinar dentro del tiempo requerido, con los fondos asignados y con los recursos disponibles. Si no es así se tienen que hacer ajustes al alcance del proyecto, a los tiempos estimados de las actividades o a la asignación de recursos hasta que se pueda establecer un plan alcanzable y realista. 10 El éxito de la administración de proyectos depende del grado de coordinación existente entre las tareas, las personas, las organizaciones y los recursos. Todo proyecto para tener éxito debe contar como mínimo con tres elementos: el Gerente del proyecto, el equipo de proyecto y el sistema de administración del proyecto. Lee Krajewsky define estos tres elementos así: - Gerente del proyecto: tiene la responsabilidad de integrar los esfuerzos de personas pertenecientes a diversas áreas funcionales con la finalidad de alcanzar las metas específicas del proyecto. - Equipo del proyecto: es un grupo de personas que con frecuencia representan diferentes áreas funcionales u organizaciones, dirigidas por el 10 Ibid., p

36 gerente del proyecto. Dicho equipo se desintegrará cuando el proyecto llegue a su término. - Sistema de administración de proyecto: se compone de una estructura organizacional y un sistema de información. La alta gerencia determina las características específicas de la estructura organizacional y define las relaciones entre los miembros del equipo del proyecto y del gerente del mismo. 11 De lo dicho anteriormente se puede inferir que el éxito de un proyecto se comienza a forjar desde el principio de su ciclo de vida. Además la organización 12 dentro de la compañía(s) que ejecuta(n) el proyecto es de gran importancia en la consecución del objetivo. Por tal razón se deben disminuir en mayor medida los niveles jerárquicos y optimizar los procesos de comunicación desde la parte operativa hasta la parte estratégica de la empresa. Para una organización el mayor beneficio de implantar una buena administración de proyectos es la satisfacción del cliente; alcanzar el objetivo final con calidad, a tiempo y dentro del presupuesto proporciona una gran sensación de satisfacción 13 Sin embargo se ha de tener en cuenta que cuando un proyecto se finaliza con éxito todos los participantes ganan. 11 KRAJEWSKY, Lee. Administración de operaciones, Estrategias y Análisis. Ed. 5. México: Prentice Hall p Nota de los autores: Aquí se ha de entender organización como el proceso administrativo que habla acerca de departamentalización y jerarquización. 13 GIDO, Op. Cit., p

37 MÉTODOS DE PLANIFICACIÓN DE RED / (PERT CPM) La mejor forma de vigilar y controlar el desarrollo del proyecto es mediante los métodos de planificación en red. Según Krajewsky estos métodos consideran el proyecto como un conjunto de actividades relacionadas entre sí, que pueden representarse visualmente por medio de un diagrama de red, el cual esta formado por nodos (círculos) y arcos (flechas) que describen las relaciones entre las actividades. 14 Los dos métodos mas utilizados en la planificación de redes son PERT (del inglés program evaluation and review technique) técnica de evaluación y revisión de programas y CPM (del inglés critical path method) método de la ruta crítica. En un principio las dos técnicas eran diferentes, pero en la actualidad se usan conjuntamente por lo cual hoy en día se habla del método PERT/CPM. Entre las ventajas que ofrece este método se encuentran las siguientes: - Cuando consideran los proyectos como redes, los gerentes se obligan a identificar los datos requeridos, organizarlos e identificar las relaciones reciprocas entre las actividades. - Se pueden estimar los tiempos de terminación de los proyectos, lo cual resulta útil para planear otros eventos y realizar negociaciones contractuales con clientes y proveedores. - Los informes ponen de relieve las actividades clave para completar el proyecto de acuerdo a lo programado. En ellos se subrayan también aquellas actividades que es posible retrasar un poco sin afectar la fecha de 14 KRAJEWSKY, Lee. Administración de operaciones, Estrategias y Análisis. Ed. 5. México: Prentice Hall p

38 terminación del proyecto, lo cual permite liberar algunos recursos para asignarlos a otras actividades. - Por medio de los métodos de red, los gerentes pueden analizar las consecuencias de los trueques de unos recursos por otros sobre los tiempos y costos. 15 expresar Para la elaboración de un diagrama de red se ha de tener en cuenta que existen dos enfoques. El primero de ellos es el de Red de Actividades en Arcos, (AOA del inglés, activity on arc) y la Red de Actividad en Nodos (AON del inglés, activity on node). Al usar AOA los arcos representan las actividades y los nodos representan los eventos. Los eventos no consumen tiempo ni recursos. Este enfoque es orientado a los eventos En el segundo enfoque, AON los nodos representan las actividades y los arcos indican las relaciones de precedencia entre ellas. Este enfoque es orientado a las actividades. 16 Se ha de aclarar el tamaño de los arcos o flechas no determina el tiempo de la duración de la actividad. Las versiones originales del PERT y CPM usaban redes de proyecto AOA. Sin embargo las redes AON tienen algunas ventajas frente a las redes AOA. Ventajas de AON sobre AOA: Es mucho más sencillo construir las redes de proyecto AON que las redes AOA. Es más fácil entender las redes de proyecto AON que las redes de AOA. 15 Ibid., p Ibid., p

39 Es más sencillo revisar las redes proyecto AON que las AOA cuando se hacen cambios en el proyecto MANEJO DE LA INCERTIDUMBRE EN LAS DURACIONES DE LAS ACTIVIDADES CON EL ENFOQUE PERT Cuando una empresa o una persona que realiza un proyecto tiene incertidumbre sobre el tiempo de duración de una o varias actividades se habla de que las actividades tienen carácter probabilístico que es el enfoque que da PERT al manejo de tiempos de una actividad. En la práctica, la duración de cada actividad es una variable aleatoria que tiene alguna distribución de probabilidad. La versión original de PERT tomó en cuenta esta incertidumbre con el cálculo de tres tipos de estimaciones para la duración de una actividad a fin de obtener información básica acerca de su distribución de probabilidad. Las tres estimaciones que se obtienes para cada actividad son: - Estimación más probable (m): estimación del valor más probable de la duración. - Estimación Optimista (o): estimación de la duración en las condiciones más favorables. - Estimación Pesimista (p): estimación de la duración en las condiciones más desfavorables HILLIER, Frederick. Introducción a la investigación de operaciones. 6. Ed. México: McGraw Hill Pág

40 En la planeación en red, cuando se usan tres tiempos estimados para cada actividad, se supone que los tres siguen una distribución de probabilidades Beta. Con base en esta suposición es posible calcular una duración esperada, t e (también conocida como media o promedio), para cada actividad a partir de los tres estimados de tiempo. La duración esperada se calcula usando la formula siguiente: t e t = o + 4( tm ) + t p 6 La duración estimada t e divide el área total bajo la curva de probabilidad Beta en dos partes iguales. En otras palabras el 50% del área bajo cualquier curva de probabilidad Beta estará a la izquierda de t e y el 50% estará a la derecha. Dicho de otra forma hay una probabilidad de 0.5 de que una actividad necesite mas tiempo que t e y una probabilidad de 0.5 que requiere menos tiempo que t e. Se supone que, según progresa un proyecto, algunas actividades requerirán menos tiempo que su duración esperada y algunas actividades necesitaran más. Así mismo se supone que cuando todo el proyecto este terminado, la diferencia neta total entre las duraciones esperadas y todas las duraciones reales será mínima. 19 La varianza se calcula mediante la fórmula: t e t = p t o HILLIER, Frederick. Introducción a la investigación de operaciones. 6. Ed. México: McGraw Hill Pág GIDO, Jack. Administración Exitosa de Proyectos. México: Thomson Editores p

41 Gráfico 1. Distribución de Probabilidad Beta MANEJO DE TIEMPOS CON EL ENFOQUE CPM Con el fin de realizar un análisis más profundo de las actividades; CPM permite estimar cuatro tiempos. Hillier Frederick en su libro Introducción a la Investigación de Operaciones utiliza la siguiente nomenclatura y ecuaciones 21 - Tiempo de inicio más cercano = IC - Tiempo de inicio más lejano = IL - Tiempo de terminación más cercano = TC - Tiempo de terminación mas lejano = TL Los tiempos de inicio y terminación de cada actividad sino ocurren retrasos en el proyecto se llaman tiempo de inicio mas cercano (IC) y tiempo de terminación más cercano (TC). TC = IC + duración de la Actividad; teniendo en cuanta que: 20 Ibid. Pág Ibid., Pág

42 - Primera Regla para obtener el IC: Si una actividad tiene un sólo predecesor inmediato, entonces: IC para una actividad = TC para el predecesor inmediato. - Segunda regla para obtener el IC: si una actividad tiene más de un predecesor, el tiempo de inicio más cercano de una actividad es igual al mayor de los tiempos de terminación mas cercanos de sus predecesores inmediatos, entonces: IC = TC mayor de los predecesores inmediatos Este proceso debe hacerse con todos los nodos hasta llegar al final del proyecto, al calculo estos valores se da le nombre de Pasada hacia delante por la red. La siguiente parte del procedimiento consiste en determinar cuanto tiempo más tarde puede iniciar o terminar una actividad sin retrasar la terminación del proyecto (pasada hacia atrás). El tiempo de inicio más lejano (IL) para una actividad es el mas lejano posible para comenzar sin retrasar la terminación del proyecto (de modo que todavía se llegue al nodo FINAL en su tiempo de terminación más cercano), suponiendo que no hay retrasos subsecuentes. Para encontrar el tiempo de terminación más lejano (TL) se cuenta con la siguiente regla: - El tiempo de terminación más lejano de una actividad es igual al menor de los tiempos de inicio más lejanos de sus sucesores inmediatos TL = IL menor de los sucesores inmediatos. 28