Fundamentos de Contingencias de Vida

Transcripción

1 Fundamentos de Contingencias de Vida Luis Barboza Escuela de Matemática Universidad de Costa Rica de julio del 2014 L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

2 Contenidos 1 Distribuciones de Sobrevivencia y tablas de vida. 2 Seguros de Vida 3 Anualidades de Vida 4 Cálculo de primas L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

3 Contenidos 1 Distribuciones de Sobrevivencia y tablas de vida. 2 Seguros de Vida 3 Anualidades de Vida 4 Cálculo de primas L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

4 Edad de muerte Supongamos que la edad de muerte de un recién nacido es una variable continua X > 0. Sea F X (x) la función de distribución de X: F X (x) = P [X < x], x 0. La función de sobrevivencia es: s(x) := 1 F X (x) = P [X > x], x 0. Note que P [x < X y] = s(x) s(y). L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

5 Tiempo hasta la muerte Sea T (x) el tiempo hasta la muerte (en años) hasta que se muera una persona de edad x. La notación probabilística sobre T (x) fue definida por el Congreso Internacional de Actuariado en La función de distribución de T (x) es: Y la función de sobrevivencia: tq x := P [T (x) t], t 0 tp x = 1 t q x = P [T (x) > t], t 0 L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

6 Tiempo hasta la muerte Note que X = T (0). Por lo tanto: F X (x) = x q 0 s(x) = x p 0. Los casos en donde t = 1 admiten la simplificación q x := 1 q x y p x := 1 p x. La probabilidad de que una persona de edad x muera entre la edad x + t y x + t + u es: t uq x := P [t < T (x) < t + u] = t+u q x t q x L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

7 Tiempo hasta la muerte Si u = 1 entonces t q x := t u q x. Además se puede calcular: s(x + t) tp x = P [X > x + t X > x] = s(x) s(x + t) tq x = 1 s(x) s(x + t) s(x + t + u) t uq x = P (x + t < X < x + t + u X > x) = s(x) [ ] [ ] s(x + t) s(x + t) s(x + t + u) = s(x) s(x + t) = t p x uq x+t. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

8 Tiempo Entero de muerte Defina K(x) := T (x) (parte entera de T (s)). Lo llamamos tiempo entero de muerte. Note que: Además: P [K(x) = k] = P [k T (x) < k + 1] = k+1 q x k q x = k p x k+1 p x = k p x q x+k = k q x F K(x) (y) = k h q x = k+1 q x. h=0 L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

9 Fuerza de mortalidad Suponga que x > 0 (pequeño) y queremos calcular: donde µ(x) := P [x < X x + x X > x] = F X(x + x) F X (x) 1 F X (x) f X(x) x 1 F X (x) = µ(x) x f X(x) 1 F X (x) es la Fuerza de mortalidad. Interpretación: tasa de muerte una vez que alguien ha sobrevivido a la edad x. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

10 Fuerza de mortalidad Note que: Resolviendo lo anterior: µ(x) = s (x) s(x) tp x = exp [ = d log(s(x)) dx x+t x ] µ(y)dy L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

11 Evolución de una población Considere una población inicial l 0 de recién nacidos. Cada recién nacido tiene función de sobrevivencia s(x). Sea L(x) el número de sobrevivientes a edad x. Note que: donde I j = L(x) = l 0 j=1 I j, { 1 si la vida j-esima ha sobrevivido a la edad x, 0 caso contrario. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

12 Evolución de una población Note que E[I j ] = s(x). Número esperado de sobrevivientes:. l x := E[L(x)] = l 0 s(x) Sea n D x el número de muertes entre edad x y x + n. Su valor esperado sería: nd x = E[ n D x ] = l 0 [s(x) s(x + n)] = l x l x+n. Al igual que en casos anteriores d x = 1 d x y D x = 1 D x. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

13 Momentos de T (x) Recuerden que F T (x) (t) = t q x, por lo tanto: f T (x) (t) = d dt t q x = s(x + t) s(x) Valor esperado de T (x) (usando partes): e x = E[T (x)] = = [ ] s (x + t) s(x + t) = t p x µ(x + t), t t tp x µ(x + t)dt t d( t p x ) = 0 tp x dt. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

14 Momentos de T (x) Segundo orden: E[T 2 (x)] = = 2 Varianza de T (x): Var[T (x)] = t 2 tp x µ(x + t)dt t tp x dt. t tp x dt [ e x ] 2 A e x se le llama esperanza de vida completa de una persona de edad x. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

15 Otros componentes Número esperado de años vividos por personas entre edad x y x + 1 por sobrevivientes del grupo inicial l 0 : L x = = t l x+t µ(x + t)dt + l x+1 l x+t dt. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

16 Otros componentes Tasa central de muerte: promedio ponderado de muertes en personas con edad x. m x = 1 0 l x+tµ(x + t)dt 1 0 l = l x l x+1 x+tdt L x Lo anterior puede ser extendido a: nm x = n 0 l x+tµ(x + t)dt n 0 l = l x l x+n x+tdt nl x L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

17 Otros componentes Número total de años vividos más allá de la edad x para la población l 0. Note que: T x = 0 t l x+t µ(x + t)dt = 0 l x+t dt. T x l x+t = dt = e x. l x 0 l x L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

18 Tabla de vida L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

19 Supuestos para edades no enteras Interpolación lineal: Distribución uniforme de muertes en el transcurso del año. t p x es lineal. s(x + t) = (1 t)s(x) + ts(x + 1). Interpolación exponencial: Fuerza constante de mortalidad en el año. log s(x + t) = (1 t) log s(x) + t log s(x + 1). En este caso t p x es exponencial. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

20 Supuestos para edades no enteras Interpolación Armónica. En este caso t p x es una curva hiperbólica. 1 s(x + t) = 1 t s(x) + t s(x + 1) lineal log. hiper L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES t / 89

21 Algunas Leyes Analíticas de sobrevivencia De Moivre (1729): s(x) = 1 x ω, µ(x) = (ω x) 1. donde 0 x < ω. Gompertz (1825): s(x) = exp[ m(c x 1)], µ(x) = Bc x donde B > 0, c > 1 y x 0. (m = B log c ) L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

22 Algunas Leyes Analíticas de sobrevivencia Makeham (1860): s(x) = exp[ Ax m(c x 1)], µ(x) = A + Bc x donde B > 0, A B, c > 1 y x 0. (m = B log c ) L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

23 Ejercicio 1 Tome ω = 115 y dibuje s(x) con una Ley de De Moivre. Tome B = 0,0003 y c = 1,07 y dibuje s(x) con una Ley de Gompertz. Tome A = 0,0001, B = 0,00035 y c = 1,075 y dibuje s(x) con una Ley de Makeham. Calcule 3 p 30 en los tres casos. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

24 Ejercicio 1 smoivre Moivre Gomp. Make x L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

25 Contenidos 1 Distribuciones de Sobrevivencia y tablas de vida. 2 Seguros de Vida 3 Anualidades de Vida 4 Cálculo de primas L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

26 Algunos fundamentos Sea i una tasa de interés compuesta anual. Es decir: S = 1 + i es el valor acumulado de 1 unidad de dinero en un año. Sucesivamente (1 + i) n es el valor acumulado de 1 unidad en n años. Se define el factor de descuento: v = i es el valor presente de una unidad de dinero en el transcurso de 1 año. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

27 Algunos fundamentos La fuerza de interés es la tasa de crecimiento continuo del interés compuesto, es decir: e δ = 1 + i, δ = log(1 + i). Tasa nominal de interés (i (p) ): (p entero positivo) ( ) p 1 + i = 1 + i(p) p L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

28 Algunos fundamentos La tasa efectiva de descuento anual (d) se define como: 1 d = v, d = 1 v = 1 e δ Y la tasa nominal de descuento (d (p) ) es: ( v = 1 d(p) p ) p L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

29 Seguros de Vida Definición: Pago único que se le hace a una persona cuando fallece. Tipos que vamos a considerar: Seguros de vida completos. Seguros de vida con plazo. Monto dotal puro. Seguros dotales. Seguros diferidos. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

30 Seguros de vida completos Suponga que se paga 1 unidad de dinero cuando una persona de edad x muere. El pago se hace inmediato. El valor presente del beneficio es una variable aleatoria: Z = v T (x) δ T (x) = e Estamos interesados en el valor actuarial del pago, es decir, el valor presente esperado de Z. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

31 Seguros de vida completos Valor Actuarial: Ā x = E[e δ T (x) ] = 0 e δ t tp x µ(x + t)dt Tiempo 0 s muerte s + s Edad spx x + s x + s + s ω µ(x + s) e δs L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

32 Momento de orden dos Segundo momento de Z: E[Z 2 ] = E[e 2δT (x) ] = = 2 Ā x 0 e 2δ t tp x µ(x + t)dt donde 2 simboliza que el seguro está calculado con fuerza de interés 2δ. Varianza de Z: Var[Z] = 2 Ā x [Āx] 2 L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

33 Probabilidades Note que podemos calcular probabilidades específicas para Z: donde u = log(10) δ. P [Z 0,1] = P [e δt (x) 0,1] = P [δt (x) log(0,1)] [ = P T (x) log(10) ] = u p x δ L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

34 Seguro de vida completo (anual) Suponga que el pago de 1 unidad se hace al final del año de muerte para la persona de edad x. En este caso el valor presente del beneficio es: Z = v K(x)+1 donde K(x) es el tiempo entero de muerte. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

35 Seguro de vida completo (anual) Valor Actuarial: A x = E[v K(x)+1 ] = = k=0 v k+1 kp x q x+k k=0 v k+1 k q x L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

36 Seguro de vida completo (anual) Segundo momento: E[Z 2 ] = E[v 2(K(x)+1) ] = = 2 A x (v 2 ) k+1 k q x k=0 donde 2 significa que el factor de descuento es calculado con la tasa i 2 = (1 + i) 2 1. Varianza: Var[Z] = 2 A x [A x ] 2. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

37 Seguro de vida completo (frecuencia= 1 m ) Defina la duración de vida de una persona de edad x, redondeada al menor 1/m del año como: K (m) (x) = 1 mt (x) m Los valores más comunes son m = 2, 3, 4. Ejemplo: Si T (x) = 4,78 entonces K(x) = 4, K (2) (x) = 4,5, K (3) (x) = , K(4) (x) = 4,75. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

38 Seguro de vida completo (frecuencia= 1 m ) Función de densidad: P [K (m) (x) = k] = P [ k T (x) < k + 1 ] m = k+ 1 q x k q x = m k 1 q x. m Beneficio: Tiempo 0 1/m 2/m 3/m... Monto Descuento Probabilidad v 1 m v 2 m v 3 m 1 q 1 x m m 1 q 2 x m m 1 q x m L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

39 Seguro de vida completo (frecuencia= 1 m ) Valor presente del beneficio: Z = v K(m) (x)+ 1 m Valor Actuarial: A (m) x = E[Z] = k=0 v k+1 m k m 1 m q x. La varianza tiene la misma fórmula: 2 A (m) x [A (m) x ] 2. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

40 Relación Recursiva Supuesto: todas las vidas mueren a una edad ω (fin de tabla). Entonces: K(ω 1) = 0. Por lo tanto A ω 1 = E[v K(ω 1)+1 ] = v. Entonces: A x = ω x 1 k=0 ω x 1 v k+1 kp x q x+k = vq x + k=1 ω x 2 = vq x + vp x v k+1 kp x q x+1+k k=0 = vq x + vp x A x+1 v k+1 kp x q x+k L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

41 Relación Recursiva También aplica para: A x (m) = v 1/m 1 q x + v 1/m 1 p x A (m). m m x+ 1 m Ejercicio 2: Asuma el modelo de Makeham con A = 0,00022, B = 2, y c = 1,124. Además considere i = 5 % y ω = 130. Calcule A x para x = 20,..., 100. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

42 Ejercicio 2 x s(x) p x q x A x L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

43 Seguro de vida con plazo (continuo) En un seguro de vida con plazo el beneficio es pagado solamente si el beneficiario muere en el transcurso de n años. Supongamos que el beneficio se paga inmediatamente: { v T (x) = e δt (x) si T (x) n Z = 0 si T (x) > n. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

44 Seguro de vida con plazo (continuo) Valor actuarial: Āx:n 1 = E[Z] = Y su segundo momento: 2 Ā 1 x:n = n 0 n 0 e δt tp x µ(x + t)dt e 2δt tp x µ(x + t)dt. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

45 Seguro de vida con plazo (anual) Seguro de vida con plazo n pagadero al final del año de muerte. Beneficio: Z = Valor presente actuarial: { v K(x)+1 si K(x) n 1 0 si K(x) n. n 1 Ax:n 1 = k=0 v k+1 k q x L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

46 Seguro de vida con plazo (frecuencia: 1 m ) Seguro de vida con plazo n pagadero al final de la fracción 1/m del año de muerte. Beneficio: Valor presente actuarial: { v K(m) (x)+ 1 m si K (m) (x) n 1 Z = m 0 si K(x) n. A (m)1 x:n = mn 1 k=0 v k+1 m k m 1 m q x L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

47 Monto Dotal Puro Monto de 1 unidad que se paga sólo si la persona ha sobrevivido al tiempo n. Valor presente del Beneficio: { 0 si T (x) < n Z = v n si T (x) n Valor presente actuarial: ne x = A 1 x:n = v n np x L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

48 Seguro dotal Combinación de un seguro con plazo y un monto dotal. El seguro es pagable si la persona muere antes de un periodo n pero si no sucede ese evento de cualquier forma se le paga en el momento n. Beneficio en valor presente: { v T (x) = e δt (x) si Z = v n = e δ mín(t (x),n). T (x) < n si T (x) n L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

49 Seguro dotal Valor presente actuarial: Ā x:n = E[Z] = = n 0 n 0 e δt tp x µ(x + t)dt + e δt tp x µ(x + t)dt + e δn np x = Ā1 x:n + A 1 x:n. n e δn tp x µ(x + t)dt L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

50 Seguro dotal (frecuencia= 1 m ) Beneficio de 1 pagado al final del periodo m-ésimo del año. Beneficio en valor presente: { v K(m) (x)+ 1 m Z = v n = v mín(k(m) (x)+ 1 m,n). si K (m) (x) n 1 m si K (m) (x) n L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

51 Seguro dotal (frecuencia= 1 m ) Valor presente actuarial: mn 1 x:n = E[Z] = v k+1 m k m 1 q x + v n P [K (m) (x) n] m A (m) k=0 = A (m)1 x:n + A 1 x:n. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

52 Seguro diferido El seguro temporal no cubre antes de un periodo establecido u. Beneficio en valor presente: { 0 si T (x) < u o T (x) > u + n Z = e δt (x) si u T (x) u + n Valor presente actuarial: u Ā1 x:n = u+n u e δt tp x µ(x + t)dt. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

53 Seguro diferido Haciendo un cambio de variables (s = t u) uno puede probar: u Ā1 x:n = u E x Ā 1 x+u:n. Además también se puede verificar que: A x = A 1 x:n + n A x por lo tanto se puede obtener una fórmula recursiva para el seguro temporal: A 1 x:n = A x v n np x A x+n. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

54 Continuación de Ejercicio 2 Calcule A x:10 para x = 0,..., 100. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

55 Contenidos 1 Distribuciones de Sobrevivencia y tablas de vida. 2 Seguros de Vida 3 Anualidades de Vida 4 Cálculo de primas L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

56 Fundamentos de anualidades ciertas Una anualidad es una serie de pagos periódicos traídos a valor presente con una cierta tasa de interés. Por ejemplo, el valor presente de una serie de n pagos anuales, pagaderos al principio de cada año es: ä n = 1 + v + v 2 + v v n 1 = 1 vn 1 v = 1 vn. d Los pagos se pueden realizar al final de cada año: a n = v + v v n = ä n 1 + v n. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

57 Fundamentos de anualidades ciertas O se pueden realizar de forma continua: (con una tasa de 1 pago por año) ā n = n 0 v t dt = 1 vn δ O se pueden hacer cada 1/m fracción del año: De manera análoga: ä (m) n = 1 m (1 + v 1 m + v 2 m + + v n 1 m ) = 1 vn d (m). a (m) n = ä (m) n 1 m (1 vn ). L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

58 Anualidades de vida Una anualidad de vida es pagada por mientras la persona está viva. (aunque suene redundante... :) Vamos a analizar varios tipos de anualidad de vida: Anualidades completas. Anualidades con plazo. Anualidades diferidas. Anualidades con garantía de pago. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

59 Anualidad completa adelantada Considere una anualidad con pagos de 1, realizados de forma adelantada al principio de cada año, siempre y cuando el individuo esté vivo. Tiempo Monto Descuento Probabilidad v v 2 v 3 p x 2 p x 3 p x L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

60 Anualidad completa adelantada El valor presente de la anualidad sería: Y = ä K(x)+1 = 1 vk(x)+1 d Entonces el valor actuarial de la anualidad es: Con varianza: ä x = E[Y ] = 1 E[vK(x)+1 ] d = 1 A x d Var[Y ] = 2 A x A 2 x d 2. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

61 Anualidad completa adelantada Otra forma de escribir Y es: Y = v k I(T (x) > k) k=0 donde I(A): indicadora que A es cierto (como evento en un espacio de probabilidad). Note que E[I(T (x) > k)] = k p x, entonces: ä x = v k kp x. k=0 L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

62 Anualidad completa atrasada Ahora asuma que los pagos se realizan al final de cada año (anualidad atrasada). Beneficio en valor presente: Y = Valor presente actuarial: v k I(T (x) > k) = Y 1 k=1 a x = E[Y ] = v k kp x = ä x 1. k=1 Note que sus varianzas son iguales. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

63 Anualidad completa continua La anualidad es pagada de manera continua con una tasa de 1 unidad por año por mientras la persona está viva. Valor presente de pagos: Valor presente actuarial: Y = ā T (x) = 1 vt (x). δ ā x = E[Y ] = 1 Āx. δ L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

64 Anualidad completa continua Manera alternativa: Y = ā T (x) = Valor presente actuarial: 0 e δt I(T (x) > t)dt. Note que si δ = 0: ā x = E[Y ] = 0 ā x = e x e δt tp x dt. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

65 Anualidad completa con frecuencia= 1 m Anualidades con pagos cada 1 m adelantada. Caso adelantada : de año. Puede ser atrasada o Y = ä (m) = 1 vk(m) (x)+ 1 m K (m) (x)+ 1 m d (m) 1 = m v r m I (K(x) > r ) m r=0 Valor actuarial: ä (m) x = E[Y ] = 1 A(m) x = r=0 d (m) 1 m v r m r p x. m L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

66 Anualidad completa con frecuencia= 1 m Caso atrasada : a (m) x = ä (m) x 1 m. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

67 Anualidad temporal adelantada Esta anualidad es pagadera por año de manera adelantada por un máximo de n años. Tiempo n-1 n Monto Descuento Probabilidad v v 2 v 3 p x 2 p x 3 p x v n 1 n 1p x L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

68 Anualidad temporal adelantada Valor presente: {äk(x)+1 si K(x) = 0, 1,..., n 1 Y = Valor actuarial: ä n si K(x) n ä x:n = E[Y ] = 1 E[vmín(K(x)+1,n) ] d = 1 A x:n d L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

69 Anualidad temporal adelantada Valor presente: n 1 Y = v k I(K(x) > k) k=0 Valor actuarial: n 1 ä x:n = E[Y ] = v k kp x k=0 L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

70 Anualidad temporal atrasada Valor presente: { ak(x)+1 si K(x) = 0, 1,..., n 1 Y = si K(x) n a n Valor actuarial: n a x:n = E[Y ] = v t tp x t=1 = ä x:n 1 + v n np x L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

71 Anualidad temporal atrasada Valor presente: Y = a mín(k(x),n) = Valor presente actuarial: a x:n = Relación entre las anualidades: n v k I(K(x) > k) k=1 n v k kp x k=1 a x:n = ä x:n 1 + v n np x L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

72 Anualidad temporal continua Valor presente: 1 vmín(t (x),n) Y = ā mín(t (x),n) = δ = n Valor presente actuarial: 0 e δt I(T (x) > t)dt. ā x:n = 1 Āx:n δ = n 0 e δt tp x dt L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

73 Anualidad temporal con frecuencia= 1 m Valor presente (adelantada): Y = ä (m) mín(k (m) (x)+ 1 m d (m),n) = 1 vmín(k(m)(x)+ = nm 1 r=0 1 m,n) 1 m v r m I (K(x) > r m ) Tiempo 0 1 m 2 m 3 m n 1 m n Monto Descuento Probabilidad v 1 m v 2 m v 3 m 1 m p x 2 m p x 3 m p x v n 1 m n 1 m p x L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

74 Anualidad temporal con frecuencia= 1 m Valor presente actuarial (adelantada): x:n = 1 A(m) x:n d (m) = ä (m) Relación con anualidad atrasada: Qué pasa si m? nm 1 r=0 1 m vr/m r m p x. a (m) x:n = ä(m) x:n 1 m (1 vn np x ) L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

75 Anualidad diferida EL primer pago de la anualidad ocurre en algún momento u. Al igual que en el caso de un seguro diferido: ä x = ä x:u + u ä x Y además: u ä x = E[Y ] = E[v u I(K(x) > u) + v u+1 I(K(x) > u + 1) + ] = v u up x (1 + vp x+u + v 2 2p x+u + ) = u E x ä x+u. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

76 Anualidad diferida Por lo tanto: ä x:n = ä x v n np x ä x+n En el caso de frecuencias más altas: ä (m) x:n = ä(m) x v n np x ä (m) x+n L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

77 Anualidades con garantía de pago Suponga que una anualidad es garantizada por un mínimo de n años. Si alguien sobrevive a los n años se le paga hasta el momento de muerte. Valor presente: Y = {än si K(x) n 1 = ä n + ä K(x)+1 = ä n + Y 1 si K(x) n { 0 si K(x) n 1 ä K(x)+1 ä n si K(x) n donde Y 1 es el valor presente de una anualidad anticipada diferida n años. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

78 Anualidades con garantía de pago Por lo tanto su valor esperado es: ä x:n = E[Y ] = ä n + n E x ä x+n. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

79 Aspectos computacionales Relaciones de recursión: Fórmula de Woolhouse: ä x = 1 + vp x ä x+1 ä (m) x = 1 m + v 1 m 1 p x ä (m) m x+ 1 m ä (m) x ä x m 1 2m m2 1 (δ + µ(x)) 12m2 L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

80 Ejercicio 3 Calcule la media y la varianza del valor presente de: Una anualidad anticipada completa para x = 65 con pagos anuales de 1. Una anualidad anticipada completa para x = 65 con pagos anuales de 1 si se garantiza pagos por 10 años. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

81 Contenidos 1 Distribuciones de Sobrevivencia y tablas de vida. 2 Seguros de Vida 3 Anualidades de Vida 4 Cálculo de primas L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

82 Preliminares Un contrato de seguros es un acuerdo entre dos partes en donde: La empresa acuerda pagar beneficios cuando ocurre algún riesgo (en nuestro caso muerte) a cambio de: Un pago periódico de primas por parte del beneficiario. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

83 Tipos de primas Prima neta: prima que es calculada sin considerar gastos de aseguramiento (administrativos y otros). Prima bruta: prima calculada considerando todos los posibles gastos. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

84 Pérdidas Para llevar un control de los niveles de beneficios vs ingresos por primas, se suele trabajar con la variable aleatoria de pérdida: Pérdida futura neta: L n 0 = VP de beneficios futuros VP de ingresos futuros por primas Pérdida futura bruta: L g 0 = VP de beneficios futuros + VP de gastos VP de ingresos futuros por primas L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

85 Ejercicio 4 Una persona de edad 60 compra un seguro total donde se le da al fallecido un monto S que se paga inmediatamente al ocurrir la muerte. Las primas se pagan por adelantado, y terminan de pagarse al momento de muerte o a la edad 80 (lo que ocurra primero). Escriba la pérdida futura neta. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

86 Principio de equivalencia La prima bajo el principio de equivalencia es aquella que cumple: E[L n 0 ] = 0 o bien E[L g 0 ] = 0 L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

87 Ejercicio 5 Considere un seguro dotal con un periodo de n años con beneficio S para una persona de edad x. Las primas son pagables anualmente a lo largo de la vida del asegurado. Calcule la pérdida esperada neta y la prima por equivalencia del seguro. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

88 Ejercicio 6 Una aseguradora emite un contrato para recibir una anualidad de por año de manera adelantada desde la edad x + n (x: edad del beneficiario) hasta su muerte. Las primas se pagarían mensualmente durante los primeros n años o hasta el momento de la muerte. Escriba la pérdida esperada neta. Calcule la prima neta mensual usando equivalencia. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89

89 Ejercicio 7 Calcule la prima neta de un seguro completo de vida para una persona de edad 40. El monto asegurado es $ en el caso de muerte durante los primeros 20 años y en caso de que no haya muerte en ese periodo el monto asegurado es de $20000 y ambos son pagados al final del año de muerte. Las primas son pagadas por adelantado por un máximo de 20 años. L. Barboza (CIMPA) I CREM-UES / 89