1 Razones trigonométricas de la suma

Transcripción

1 1 Raznes trignmétricas de la suma Ejercici 1 Utilizand las siguientes fórmulas ( + ) = cs + cs ( ) = cs cs cs( + ) = cs cs cs( + ) = cs cs + tan( + ) = tan + tan 1 tan tan calcula 15 ; cs 15 ; tan ; cs 75 ; tan ; cs 105 ; tan ; cs 165 ; tan ; cs 195 ; tan ; cs 55 ; tan ; cs 85 ; tan 85 5 ; cs 5 ; tan 5 tan( ) = tan tan 1 + tan tan Ejercici Demuestra que = cs y que cs = Ayuda: = 1 y cs = 0 Ejercici Demuestra que + = cs y que cs + = Ayuda: = 1 y cs = 0 Ejercici Demuestra que ( ) = y que cs ( ) = cs Ayuda: = 0 y cs = 1 Ejercici 5 Demuestra que ( + ) = y que cs ( + ) = cs Ayuda: = 0 y cs = 1 1

2 Ejercici 6 Demuestra que = cs y que cs = Ayuda: = 1 y cs = 0 Ejercici 7 Demuestra que + = cs y que cs + = Ayuda: = 1 y cs = 0 Ejercici 8 Demuestra que ( ) = y que cs ( ) = cs Ayuda: = 0 y cs = 1 Ejercici 9 Sabiend que cs = 8 17, y = 5, y que ls ánguls e y ertenecen al y 1 cuadrante resectivamente calcula ( + y); cs( + y). En qué cuadrante estará el ángul + y ( y); cs( y). En qué cuadrante estará el ángul y Ejercici 10 Sabiend que tan = 5, ct y = 5, y que ls ánguls e y ertenecen ambs al cuadrante calcula ; cs ; y; cs y; ( + y); tan( + y). En qué cuadrante estará el ángul + y (y ); tan(y ). En qué cuadrante estará el ángul y Ejercici 11 Si sabems que cs 78 = 0:079 y 7 = 0:6018:Calcula 1 ; cs 1 ; tan 1 Ejercici 1 Cn ls dats del rblema anterir calcula 115 ; cs 115 ; tan 115 Ejercici 1 Si = 5 y < < Calcula ( + ); cs( + ). En qué cuadrante estará +? Ejercici 1 Si cs = y < < Calcula ( ); cs( ). En qué cuadrante estará?

3 Raznes trignmétricas del ángul dble Utilizand lás fórmulas del ángul dble 8 < 1 a) = cs cs = cs = : cs 1 b) tan = tan 1 tan Ejercici 15 De las erees a) y b) deduce las relacines que ns ermitan eresar el, cs, tan en función del cs Ejercici 16 Si sabems que = 1 1 y que ertenece al cuadrante; calcula:, cs y tan Cuadrante de? Ejercici 17 Si sabems que tan = 5 1 y que ertenece al 1 cuadrante; calcula:, cs, tan, Cuadrante de? Ejercici 18 Si sabems que sec = 17 8 y que ertenece al cuadrante; calcula:, cs y tan Cuadrante de? Ejercici 19 Utilizand las relacines btenidas en el ejercici 15, calcula 15 ; cs 15 ; tan 15 :Desués cmáralas cn las btenidas en el ejercici 1. Ayuda: cs 0 = 8 >< (Ocinal) Demuestra que s 1 s 1 + v u t >: = = 6 = 6+ Ejercici 0 Utilizand las relacines btenidas en el ejercici 15, calcula 75 ; cs 75 ; tan 75 :Desués cmáralas cn las btenidas en el ejercici 1. Ayuda: cs 150 = Ejercici 1 Dadas las siguientes erees cs ; + cs ; ; + ; ; + ; cs ; + cs ; 8 cs ; 8 + cs ; 8 ; 8 +

4 + ; ; + cs ; + cs factrízalas en frma de rduct Ejercici Dadas las siguientes erees cs cs ; cs + cs ; cs ; cs + ; cs ; cs + ; cs cs ; cs + cs ; cs 8 cs ; cs 8 + cs ; cs 8 ; cs 8 + ; cs + ; cs ; cs + cs ; cs + cs erésalas en función de una misma razón trignmétrica (misma razón y mism ángul) 8 < = cs cs Ejercici Demuestra que : cs = 8 cs 8 cs + 1 Ejercici Demuestra que cs cs = Ejercici 5 Demuestra que tan 50 tan 0 = tan 10 Ejercici 6 Demuestra las siguientes identidades cs + -cs cs cs + = tan tan = + cs cs - cs + cs = ct = cs tan cs = 1 tan 1 + tan cs = 1 ct 1 + ct ct = 1 + cs 1 + cs = ct tan = 1 cs 1 cs = tan cs = cs cs () = + cs = cs cs = 8 1 cs cs 1 tan A 1 A cs A = 1 + tan A 1 + tan A 1 + A cs A = 1 tan A z cs z z cs z = z+cs z z+cs z 1 = 1 Ayuda ara las ds últimas: A B A B = A + AB + B y A +B A+B = A AB + B

5 Fórmulas del ángul mitad Sabems r el ejercici 15 que: = 1 cs 8 cs 1 + cs = (1 cs ) (1 cs ) = (1 + cs ) (1 cs ) 1 cs = (1 cs ) tan = 1 cs >< 1 + cs = (1 cs ) (1 + cs ) >: (1 + cs ) = 1 cs (1 + cs ) = (1 + cs ) De l cual se uede inferir fácilmente que: 8 = r 1 cs cs = r 1 + cs tan r 1 cs >< = 1 + cs = >: Ejercici 7 Utilizand las fórmulas del ejercici 15 las anterires eresa el ; cs y tan en función del cs 6 Ejercici 8 Utilizand las fórmulas anterires eresa el ; cs y tan en función del cs Ejercici 9 Utilizand las fórmulas anterires eresa el ; y tan en función del cs Ejercici 0 Calcula el 7:5 ; cs 7:5 y tan 7:5 utilizand que cs 15 = y que 15 = Ejercici 1 Calcula el :5 ; cs :5 y tan :5 utilizand cs 5 = 6 Calcula el 7:5 ; cs 7:5 y tan 7:5 utilizand cs 75 = Ejercici Calcula el 5:5 ; cs 5:5 y tan 5:5 utilizand cs 105 = 6 + Ejercici Calcula el 67:5 ; cs 67:5 y tan 67:5 utilizand cs 15 = Ejercici Calcula el 8:5 ; cs 8:5 y tan 8:5 utilizand cs 165 = 6 Ejercici 5 Calcula el 97:5 ; cs 97:5 y tan 97:5 utilizand cs 195 = 6 (1 cs ) (1 + cs ) 5

6 Ejercici 6 Calcula el 11:5 ; cs 11:5 y tan 11:5 utilizand cs 5 = Ejercici 7 Calcula el 17:5 ; cs 17:5 y tan 17:5 utilizand cs 55 = 6+ Ejercici 8 Eresa ; cs y tan en función del cs y del cs Ejercici 9 Eresa ; cs y tan en función del cs 6 y del cs 1 Ejercici 0 Eresa ; cs y tan en función del cs y del cs Ejercici 1 Eresar tan + cs 1 en función del cs Ejercici Eresar ct + cs 1 en función del cs Ejercici Eresar sec + cs 1 en función del cs Ejercici 5 Eresar csc + cs 1 en función del cs Ejercici 6 Eresa ; cs y tan en función del cs y del cs 8 Ejercici 7 Eresa ; cs y tan en función del cs y del cs 8 Ejercici 8 (Ocinal) Calcula el 1:5 ; cs 1:5 y tan 1:5 utilizand cs 85 = 6 Ejercici 9 Calcula el 157:5 ; cs 157:5 y tan 157:5 utilizand cs 15 = Ejercici 50 (Ocinal) Calcula el 17:5 ; cs 17:5 y tan 17:5 utilizand cs 5 = 6+ Ejercici 51 Calcula el 0:5 ; cs 0:5 y tan 0:5 utilizand cs 05 = cs 5 = Ejercici 5 (Ocinal) Calcula el 17:5 ; cs 17:5 y tan 17:5 utilizand cs 5 = cs 75 = 6 Ejercici 5 Si cs = 1 1 y ertenece al r cuadrante, calcula y tan ; cs 6

7 Transfrmación de rducts en sumas 1. ( + ) = cs + cs. ( ) = cs cs Sumand 1 y tendrems ( + ) + ( ) = cs Suma de sens Si aislams cs tendrems cs = 1 [( + ) + ( )] Calculand la diferencia entre 1 y tendrems ( + ) ( ) = cs Resta de sens Si aislams cs tendrems cs = 1 [( + ) ( )]. cs( + ) = cs cs. cs( + ) = cs cs + Sumand y tendrems cs( + ) + cs( ) = cs cs Suma de csens Si aislams cs cs tendrems cs cs = 1 [cs( + ) + cs( )] Calculand la diferencia entre 1 y tendrems cs( + ) cs( ) = Resta de csens Si aislams tendrems = 1 [cs( + ) cs( )] Si utilizams tra nmenclatura ara ls ánguls (así n ns líams) tendrems las siguientes cuatr relacines: C cs D = 1 [(C + D) + (C D)] cs C D = 1 [(C + D) (C D)] cs C cs D = 1 [cs(c + D) + cs(c D)] C D = 1 [cs(c + D) cs(c + D)] 7

8 5 Transfrmación de sumas de sens y csens en rducts Pr la suma y diferencia de sens de la ágina anterir; sabems que: ( + ) + ( ) = cs suma de sens ( + ) ( ) = cs resta de sens Pr la suma y diferencia de csens de la ágina anterir; sabems que: cs( + ) + cs( ) = cs cs suma de csens cs( + ) cs( ) = resta de csens Si realizams la siguiente elección ara ls ánguls que aarecen + = A = B Es evidente que; drems eresar y en función de A y de B:En cncret; btendrems = A + B = A B Cn l que las cuatr erees anterires, se cnvertirán en: A + B = A+B cs A B suma de sens A B = cs A+B A B resta de sens cs A + cs B = cs A+B cs A B suma de csens cs A cs B = A+B A B resta de csens N ta1 N hems deducid ninguna relación ara calcular H +cs J er; teniend resente que H = cs(90 H) entnces; H + cs J = cs(90 H) + cs J Pr la fórmula de suma de csens; btendrems que 90 cs(90 H + J 90 H J H) + cs J = cs cs = = cs J 1 H cs 5 1 J 1 H 8

9 Nta Vams a transfrmar H + cs J :Teniend resente que cs J = (90 J) entnces; H + cs J = H + (90 J) Pr la fórmula de suma de sens; btendrems que H + 90 H + (90 J H (90 J) J) = = = H 1 1 J H J Es sencill cmrbar que ambas erees sn iguales; ya que: cs J 1 H = 90 (5 + 1 J 1 H) = H 1 J 1 H J cs 90 1 H J = cs 5 1 J 1 H Ejercici 55 Transfrmar en rduct las siguientes erees: + ; ; cs + cs ;cs cs ; + cs ; cs ; cs + ; cs Ejercici 56 Simli car Ejercici 57 Simli car cs 5 + cs 5 + cs 7 7 cs Ejercici 58 Factrizar la siguiente eresión Ejercici 59 Factrizar la siguiente eresión + 5 Ejercici 60 Factrizar la siguiente eresión cs + cs + cs 5 Ejercici 61 Factrizar la siguiente eresión cs cs + cs 5 Ejercici 6 Eresa en frma de rduct

10 Ejercici 6 Transfrma en suma ls siguientes rducts a) cs b) cs c) cs cs d) e) 8 cs f) cs 8 g) cs 8 cs h) 8 Ejercici 6 Factrizar la siguiente eresión Ejercici 65 Factrizar la siguiente eresión 5 + ain7 Ejercici 66 Factrizar la siguiente eresión cs + cs + cs 6 Ejercici 67 Factrizar la siguiente eresión cs cs + cs 6 Ejercici 68 Eresa en frma de rduct cs + cs + cs 5 + cs 7 Ejercici 69 Transfrma en suma ls siguientes rducts a) 5 cs b) cs 5 c) cs 7 cs d) 7 e) 9 cs 5 f) cs 9 5 g) cs 1 cs h) 1 10