LA CUADRATURA DEL CÍRCULO (1)

Transcripción

1 LA CUADRATURA DEL CÍRCULO (1) La Voz del Colegiado (Colegio Ingenieros de Caminos), Instituto de la Ingeniería, Balance y Perspectiva, Diario de Burgos El reciente congreso matemático de Madrid ha desvelado el enigma de Poincaré que había permanecido inaccesible al mundo matemático durante un siglo. En 1995 le tocó la suerte al teorema de Fermat, que llevaba oculto tres siglos al mundo de la matemática, cuando ya se había perdido la esperanza de encontrar una solución. Ambos problemas han constituido hitos importantes en el mundo del saber y ambos han acaparado la atención de los matemáticos de todos los tiempos, como no podía ser de otra manera, ya que se trataba de dos problemas muy importantes y muy difíciles. Pero habiendo sido importantes y difíciles me voy a referir yo ahora a otros dos problemas igualmente importantes pero aparentemente más sencillos, que acapararon la atención de los matemáticos en el pasado pero que parecen haberla perdido en el presente. Uno de ellos es todavía una conjetura. El otro es ya un problema resuelto. El primero es la conjetura de Goldbach que se enuncia diciendo que todo número par mayor que 2 se puede descomponer en la suma de dos primos, lo que, aparentemente, es verdad pues el 4 se descompone en 1 y 3; el 6, en 1 y 5; el 8 en 1 y 7 y en 3 y 5 y así sucesivamente hasta todos los números que podamos imaginar, que son muchos, pues con la ayuda de los ordenadores hemos llegado hasta el número billones (2 x ) comprobando que hasta ese número todos los pares se pueden descomponer en la suma de dos primos. Qué quiere decir esto? Qué la conjetura es una certeza y que por lo tanto se puede afirmar que es válida para todos los números? Pues no. Para los que tenemos mentalidad matemática eso no vale. Pensamos como todo el mundo que tiene toda la apariencia de ser una certeza, pero necesitamos demostrarlo para todos los números. No nos podemos quedar en el porque la lista de los números es mucho más larga. Es infinita. El segundo problema ya no es una conjetura. Es un problema resuelto. Me refiero a la cuadratura del círculo, pero no me queda mucho espacio para enunciarlo. Sólo diré, entonces que para los no matemáticos el problema es también diferente que para los matemáticos, pues los primeros se extrañan de que no se pueda rodear una circunferencia con un hilo y luego dividir su longitud en cuatro partes iguales, pero para los matemáticos el problema es diferente porque lo enuncian (lo enunciamos) de la misma manera que lo enunciaron los griegos de la antigüedad, es decir tratando de construir un cuadrado con la misma longitud que una circunferencia, pero utilizando los mismos instrumentos que utilizaron ellos, esto es, la regla y el

2 compás. Sólo la regla y el compás. Pues bien, este problema dejó de ser una conjetura y se convirtió en un problema resuelto en 1882 (en realidad, hace muy poco tiempo), cuando Lindemann demostró que π era un número trascendente y que, por tanto, no podría ser nunca la solución de ninguna ecuación algébrica, por lo que la idea de construir ese número con regla y compás debería abandonarse para siempre. Ya antes que él, Lambert, en 1761 había hecho otra aproximación importante cuando demostró que π era irracional y que habría que abandonar la idea de encontrar alguna fracción igual a él. Con Lindemann el problema quedó resuelto definitivamente y la solución de la cuadratura dejó de ser una conjetura porque ya tenía solución, pero la solución era que no tenía solución. Que no se empeñara nadie en resolverlo porque no tenía solución. (Más información en mbronchalo@telefonica.net ) LA CUADRATURA DEL CÍRCULO (2) Me han pedido algunos amigos que continúe un poco más con la cuadratura del círculo, y lo voy a hacer porque creo que esta aparente paradoja nos da pie a pensar que las únicas certezas existentes en este mundo son las matemáticas, y que todo lo demás está sujeto a las interpretaciones de los hombres. Empezaré diciendo, aún a riesgo de repetirme, que el problema está resuelto desde 1882 cuando Lindemann demostró que π era un número trascendente, por lo que no se podría expresar nunca como la combinación de ningún número finito de fracciones, ni de raíces, ni de cifras, ni se podría construir, por supuesto, mediante construcciones geométricas de regla y compás. Se trata, por tanto, de un problema resuelto sobre el que los no matemáticos y los matemáticos tienen ambos razón al decir que el problema está resuelto, porque en realidad lo está, pero, sin embargo ambos discrepan acerca de la solución, pues los primeros piensan que rodeando la circunferencia con un hilo y dividiendo su longitud en cuatro partes ya no hay que hacer nada más, mientras que los matemáticos pensamos que la solución la dio Lindemann en 1882 demostrando que no tenía solución. Que no se empeñara nadie en construir ese cuadrado porque nadie lo podría hacer, y que la sospecha de insolubilidad que existía desde tiempos de Arquímedes era la certeza absoluta de su imposibilidad. La discrepancia entre los matemáticos y los no matemáticos es en realidad de otro cariz, porque los primeros lo entendemos en el sentido de Arquímedes, esto es, en el de construir un cuadrado con el mismo perímetro que una circunferencia, pero con los dos únicos instrumentos de la regla y el compás, mientras que los

3 segundos lo entienden haciendo la construcción con un hilo. Son discrepancias aparentemente pequeñas, pero en realidad muy importantes, porque se trata de dos problemas distintos. Los matemáticos sabemos que el número π no se puede construir con regla y compás porque es un número trascendente que tiene infinitas cifras y que además no se puede expresar mediante ningún número finito de fracciones ni de raíces, pero no nos extrañamos de ello porque conocemos números más sencillos, como por ejemplo 2 que aunque si se puede construir con regla y compás tiene también infinitas y tampoco se puede expresar mediante ningún número finito de fracciones, porque es irracional. Termino estas reflexiones recordando aquella sentencia que define a π con palabras cuyo número de letras son las cifras de π. Que j aime á faire apprendre un nombre utile aux sages. Immortel Archimède artiste ingénieur... Que =... 3 J aime = Á =... 1 Faire =... 5 Apprendre =....9 Un =....2 Nombre = LA CUADRATURA DEL CÍRCULO (3) Concluyo el tema de la cuadratura del círculo con unas reflexiones personales. Comenzaré por decir que el primer gran filósofo de los números fue Pitágoras, que creyó ver en ellos el origen de todas las cosas. Hasta entonces las explicaciones de los acontecimientos desconocidos se atribuían a la intervención de los dioses, los cuales, situados por encima de los mortales, actuaban a voluntad, pudiendo quebrantar las leyes del Universo. Los mortales, entonces, se abstenían de entrar en esos terrenos, y no se cuestionaban las preguntas inexplicables, admitiendo que la solución era privativa de los dioses, ante los que se doblegaban. Hemos de tener en cuenta que la civilización griega estaba entonces en sus primeros albores y disponía de muy pocos recursos para explicar los acontecimientos. Todo era nuevo para ellos: el Sol, la Luna, el firmamento entero, las estaciones, los eclipses... Y, claro, en aquellas circunstancias la mayoría de los acontecimientos resultaban inexplicables y sólo podían tener cabida en la mente de los dioses. Por eso aquellos hombres aceptaron los mitos

4 como única explicación, del mismo modo que también aceptaron las leyendas o los oráculos, y del mismo modo que, siglos más tarde otras civilizaciones con mayores recursos aceptaron también la predestinación, la superstición o los horóscopos. Digo, pues, que Pitágoras inició sus investigaciones sobre los números, pero no en un sentido estrictamente científico, sino más bien contemplativo o místico. Para él los dioses eran los seres superiores que regían el Universo y el Universo resultaba inaccesible a los conocimientos de entonces. Se trataba, pues, de romper el cerco por algún lado, para intentar descubrir cuál era ese capricho divino. Tenía que encontrar cualidades intrínsecas en los números, que era el campo que él dominaba, para deducir de ellas verdades generales e identificarlas luego con los designios universales de la divinidad. En ese sentido fue en el que estudió Pitágoras los números: investigando sus propiedades y extrayendo conclusiones que satisficieran sus deseos de explicar el principio de todas las cosas. Cada número lo identificaba a algún atributo divino o humano. Así, ha llegado hasta nosotros que el número 1 era la razón; el 2, la opinión; el 3, la ocasión adecuada; el 4 (primer cuadrado perfecto), la justicia; el 5 (suma del primer par y del primer impar), el matrimonio,... Luego, siguió investigando otros números que él consideró perfectos (iguales a la suma de sus divisores), como el 6, el 28 o el 496. Esta era su línea de investigación: la búsqueda de la belleza como clave para encontrar el secreto del Universo. Digo, pues, que aquello fue el origen y la semilla de los primeros pensamientos matemáticos. Sin embargo, aquellas ideas que habían nacido pretendiendo encontrar la armonía del Universo tendrían que someterse a revisión para dar cabida a otros pensamientos nuevos. No se podía admitir la idea única de sacralizar la belleza de los números, porque en todo caso esa percepción podía ser sólo subjetiva: era precisamente esa subjetividad la que había que superar, y la que dio lugar a los pensamientos subsiguientes que quiero analizar. Se iniciaba, pues, un camino muy diferente del anterior, que buscaba la verdad por la línea del razonamiento y la deducción, abandonando de una vez por todas las ideas contemplativas. En la mente de Euclides ya no importó que los dioses estuvieran o no de acuerdo con sus deducciones, o que la armonía del Universo cuadrara o no con las mismas. Aquello era así y no cabía más discusión, pluguiera o no pluguiera a los dioses. Nadie podría refutar a partir de entonces que los ángulos de un triángulo deberían sumar inexorablemente dos rectos, o que sus alturas se deberían encontrar siempre en un punto, por referir un par de ejemplos. La matemática había iniciado su propio camino, con unas creaciones que no eran arbitrarias ni producidas por la mente: se

5 trataba de verdades eternas que pertenecían al mundo de las ideas, lo cual no tenía nada que ver con los designios de la divinidad. Y no sólo fue eso. Fue también que desde aquel salto en adelante la matemática aprendió a andar sola sin buscar la complacencia divina, y así, cuando más adelante se encontró con problemas como el de la cuadratura del círculo ya supo que ese problema era un imposible absoluto, y que su resolución no sólo estaba vedada a aquellos dioses sino también al Dios único creador del Universo, que cuando realizó su diseño lo hizo estableciendo incluso para sí mismo algunas limitaciones absolutas que sólo la matemática era capaz de desvelar. Ese fue el descubrimiento de la imposibilidad de la cuadratura del círculo: que desde aquel momento en adelante quedó sentado que ningún hombre ni tampoco ningún dios podría realizar nunca esa construcción. Esa fue la solución del problema: la demostración de que no tenía solución. (Termino aquí y remito al lector a mi blog para más comentarios)