MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS APLICADOS A LA SOLUCIÓN DEPROBLEMASDELAINGENIERÍAESTRUCTURAL. Gelacio Juárez

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1 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS APLICADOS A LA SOLUCIÓN DEPROBLEMASDELAINGENIERÍAESTRUCTURAL Gelacio Juárez Abril 2012

2 Índice general 1. Introducción Introducción AplicacióndelMEFenIngeniería ComentarioshistóricosdelMEF Procedimiento del análisis estructural con el MEF Softwarecomercialdisponible Objetivosdelcurso ModelosMatemáticos Simulación Métodosdediscretización Problemasdevaloresenlafrontera Sólido Barras Vigas Solucionesexactas MétodosdeaproximacióndeED Residuospesados Construccióndefuncionales Funcional de una barra con fuerza de cuerpo constante Funcional de una barra con fuerza de cuerpo cuadrática FuncionaldevigasdeBernoulli FuncionalesdeSólidos Funcionalesdevigas PrincipiosVariacionales Ejemplo Método de Rayleigh-Ritz para la aproximación de funcionales Introducciónalcálculovariacional Variacióndeunfuncional Funcional ( ) Funcional ( ) c GJL, UAM 1

3 ÍNDICE GENERAL ExtensionesaotrosFuncionales Ejemplos Formulación de elementos clase C Metodología para la formulación de elementos finitos Elementounidimensionallineal Aproximacióndelcampodedesplazamientos Aproximación de las ecuaciones cinemáticas Aproximacióndelasecuacionesconstitutivas Extremizacióndelfuncional Elementounidimensionalcuadrático Aproximacióndelcampodedesplazamientos Aproximación de las ecuaciones cinemáticas Aproximacióndelasecuacionesconstitutivas Extremizacióndelfuncional Ejemplo Funciones de forma con el método de interpolación de Lagrange Elemento1Dlineal Elemento1Dcuadrático Elementounidimensionalisoparamétrico Aproximacióndelcampodedesplazamientos Aproximación de las ecuaciones cinemáticas Aproximacióndelasecuacionesconstitutivas Elemento1Dcuadráticoisoparamétrico Aproximacióndelcampodedesplazamientos Aproximación de las ecuaciones cinemáticas Aproximacióndelasecuacionesconstitutivas Matrices de rigideces y vectores de fuerzas Elementotriangularlineal Aproximacióndelcampodedesplazamientos Aproximación de las ecuaciones cinemáticas Aproximacióndelasecuacionesconstitutivas Cálculodelamatrizderigideces Elementotriangularcuadrático Aproximacióndelcampodedesplazamientos Aproximación de las ecuaciones cinemáticas Aproximacióndelasecuacionesconstitutivas Cálculodelamatrizderigideces Elementorectangularlineal c GJL, UAM 2

4 ÍNDICE GENERAL Aproximacióndelcampodedesplazamientos Aproximación de las ecuaciones cinemáticas Aproximacióndelasecuacionesconstitutivas Cálculodelamatrizderigideces Integraciónnumérica CuadraturadeGauss Ejemplo Elementocuadriláterolinealisoparamétrico Aproximacióndelcampodedesplazamientos Aproximación de las ecuaciones cinemáticas Aproximacióndelasecuacionesconstitutivas Cálculodelamatrizderigideces ElementosAxisimétricos Aproximacióndelcampodedesplazamientos Aproximación de las ecuaciones cinemáticas Aproximacióndelasecuacionesconstitutivas Cálculodelamatrizderigideces Formulación de elemento clase C ElementoVigadeBernoulli Aproximación del campo de desplazamientos y rotaciones Aproximación de las ecuaciones cinemáticas Aproximacióndelasecuacionesconstitutivas Extremizacióndelfuncional Ejemplo ElementoVigadeTimoshenko Aproximación del campo de desplazamientos y rotaciones Aproximación de las ecuaciones cinemáticas Aproximacióndelasecuacionesconstitutivas Extremizacióndelfuncional Placas PVF Funcionalesdeenergía Elemento placas de Kirchhoff Aproximación del campo de desplazamientos y rotaciones Aproximación de las ecuaciones cinemáticas Aproximacióndelasecuacionesconstitutivas Extremizacióndelfuncional ElementoplacasdeReissner-Mindlin c GJL, UAM 3

5 ÍNDICE GENERAL Aproximación del campo de desplazamientos y rotaciones Aproximación de las ecuaciones cinemáticas Aproximacióndelasecuacionesconstitutivas Extremizacióndelfuncional Vibración y Dinámica Estructural EcuacionesBásicas Aproximación de problemas dinámicos con el MEF Análisisdinámicos VibraciónLibre VibraciónForzada(AnálisisModal) Análisis de Frecuencia (Análisis de respuesta armónica) Análisisderespuestatransitoria Amortiguamiento AmortiguamientodeRayleigh Matrizdemasas Elemento1Dlineal Elemento1Dcuadrático VigadeBernoulli Triángulolinealplano Rectangularlinealplano Análisis por Temperatura PVF Análisisdeesfuerzosportemperatura Elementos finitosmixtos Aproximación Formulación de Elementos Sólidos en 3D Teoríadelaelasticidaden3-D FormulacióndeElementosFinitos ElementosSólidos3-D Referencias Apendice 130 c GJL, UAM 4

6 Capítulo 1 Introducción 1.1. Introducción El método de los elementos finitos (MEF) se basa en la idea de dividir un objeto con geometría complicada mediante elementos pequeños con geometrías básicas. El MEF es un método numérico para aproximar la solución de ecuaciones diferenciales definidas en un dominio Aplicación del MEF en Ingeniería Civil, Mecánica, Aeroespacial, Automotriz Análisis estructural: estático, dinámico, lineal, nolineal Geotecnia Flujo: Térmico, fluidos Electromagnéticos Biomecánica Comentarios históricos del MEF Algunos sucesos históricos relevantes se describen a continuación [1]: 1943 Courant (Métodos Variacionales) 1956 Turner, Clough, Martin y Topp (Rigideces) 1960 Clough (Problemas planos) 1967 Zienkiewicz y Chang (Popularización del MEF ) 1970 Irons (Implementación numérica) c GJL, UAM 5

7 1.1 Introducción 1970s Aplicación de computadoras 1980s Microcomputadoras, pre y postprocesadores 1990s Análisis de sistemas estructurales amplios Procedimiento del análisis estructural con el MEF División de la estructura en piezas (elementos con nodos). Descripción de las propiedades mecánicas de cada elemento. Ensamble de los elementos en los nodos para formas sistemas de ecuaciones aproximados de toda la estructura. Solución del sistema de ecuaciones que involucra las cantidades nodales desconocidas como los desplazamientos. Cálculo de cantidades requeridas como: deformaciones, esfuerzos en elementos deseados Software comercial disponible ABAQUS (Análisis nolineales y dinámicos) ALGOR ANSYS (Propósito general) COSMOS (Propósito general) Dyna-3D (Análisis de choques/impactos) GID (Pre/Post Procesador) NASTRAN (Pre/Post Procesador) PATRAN (Pre/Post Procesador) Objetivos del curso Entender las ideas fundamentales del MEF para la solución de los problemas de ingeniería estructural fundamentados en la mecánica. Entender el comportamiento y utilidad de cada tipo de elementos a cubrir en este curso. Ser capaz de preparar modelos de EF adecuados para problemas estructurales. Poder interpretar y evaluar la calidad de los resultados (saber la física de los problemas). c GJL, UAM 6

8 1.2 Modelos Matemáticos Estar consciente de las limitaciones del MEF (no abusar MEF - como una herramienta numérica). Preparar un artículo para el Congreso Nacional de Ingeniería Estructural. Tarea Leer el artículo por Oden J.T. (1987). "Historical comments on Finite elements". History of Scientific and Numeric Computation. Proceedings of the ACM conference on History of scientific and numeric computation. Princeton, New Jersey, EUA, pp Modelos Matemáticos La representación de un fenómeno físico, llamado también modelado matemático, se puede formular de tres maneras: fuerte, débil y variacional. En su forma fuerte (FF), el modelo se presenta como un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales en espacio y/o tiempo, complementado con sus condiciones de frontera. En ocasiones el modelo en su forma fuerte se presenta como un sistema de ecuaciones algebraicas. En su forma débil (FD), se presenta como una ecuación integral multiplicada por una función de peso, la cual relaja la forma fuerte al promediar la función sobre un dominio. En su forma variacional (FV) el modelo se presenta como un funcional cuyas condiciones estacionarias generan la forma fuerte y débil del modelo Simulación El proceso de simulación, objetivo principal de la mecánica computacional, los cuales se muestran en la fig. 1.1, consta de tres pasos: 1) idealización, 2) discretización y 3) solución. Puesto que los modelos matemáticos de problemas complejos tiene un número infinito de grados de libertad, en general una solución analítica es difícil y hasta imposible de obtener, por lo que comúnmente se realiza una discretización del fenómeno físico, con la finalidad de tener un número finito de grados de libertad, obteniendo como resultado un sistema de ecuaciones algebraicas que pueden ser resueltas en un tiempo y con un esfuerzo computacional razonables Métodos de discretización Cada forma de formulación del modelo físico: FF, FD y FV tiene una forma natural de discretización (fig. 1.2). Generalmente no es posible encontrar soluciones exactas a problemas de la mecánica con geometrías complejas y con comportamientos no lineales, por lo que se recurre a procedimientos numéricos aproximados, los cuales generalmente discretizan el dominio del continuo. Lo anterior ha dado lugar al desarrollo de los siguientes métodos: c GJL, UAM 7

9 Figura 1.1: Proceso de simulación. Diferencias Finitas (MDF) Elementos Finitos (MEF) Volumen Finito (MVF) Elementos Espectrales (MEE) Elementos de Frontera (BEM) Libres de Malla (MLM) Descomposición de Dominios Estos métodos proporciona soluciones numéricas aproximadas a las ecuaciones diferenciales que gobiernan los problemas de valores en la frontera de la mecánica del medio continuo que son: conservación de masa, equilibrio interno y externo, compatibilidad constitutiva y cinemática y las condiciones en la frontera. La implantación de estos métodos de discretización ha dado lugar a herramientas de software útiles en la mecánica estructural, la mayoría de ellas con base en formulaciones de desplazamientos que satisfacen en equilibrio en forma débil Problemas de valores en la frontera Para la simulación o representación de un proceso o un fenómeno físico, una de las partes fundamentales es su planteamiento matemático, que en su forma fuerte se le conoce como un problema de valores en la frontera (PVF), el cual generalmente se representa por un sistema de ecuaciones c GJL, UAM 8

10 Figura 1.2: Formulaciones fuerte, débil y variacional, y métodos de aproximación numérica. diferenciales parciales u ordinarias definidas sobre una región o intervalo, y de un conjunto de condiciones de frontera, que especifican los valores de las variables involucradas y de sus derivadas de la frontera del intervalo o región. La forma fuerte se refiere a que la solución del PVF debe satisfacer cada punto del dominio donde se define el problema Sólido Considere de medio continuo se tiene un cuerpo tridimensional, cuyo comportamiento del material es elástico lineal con deformaciones pequeñas, con un dominio Ω R 3, puntos materiales x y frontera Γ con vector normal n (figura 1.3), el cual se somete a las acciones del vector de fuerzas de cuerpo b en el interior del continuo, a las tracciones prescritas t en Γ y los desplazamientos prescritos u en Γ.LafronteraΓ del continuo está constituida por dos superficies Γ y Γ ; Γ corresponde a la región con desplazamientos prescritos (conocidos) y Γ corresponde al resto de la frontera que incluye aquellas porciones donde se aplican las cargas prescritas, de tal forma que Γ Γ = Γ y Γ Γ =. Figura 1.3: Continuo con dominio Ω. c GJL, UAM 9

11 El PVF del problema elástico lineal se define en forma fuerte por las siguientes ecuaciones y condiciones de frontera: ) ε u (x) ε(x) =0 en Ω Compatibilidad cinemática ) σ (x) σ(x) =0 en Ω Compatibilidad constitutiva ) σ(x)+b(x) =0 en Ω Equilibrio interno ) σ(x) n = t (x) en Γ Equilibrio externo σ(x) n = t(x) en Γ Condiciones naturales ) u(x) =u (x) en Γ Condición esencial (1.1) La compatibilidad cinemática, ec. (1.1), corresponde la compatibilidad entre deformaciones infinitesimales ε u y desplazamientos u queparauncuerpoelásticolinealson: ε u (x) = u(x) = 1 (u + u) (1.2) 2 = 1 µ + {1 2 3} 2 desarrollando la ec. (1.2) se tiene: ε = = ³ ³ ³ ³ + (1.3) La ec. 1.3 se puede escribir en notación de Voigt como: o en forma compacta como: = ε = Bu (1.4) donde ε es el vector de deformaciones y u el de desplazamientos, respectivamente: c GJL, UAM 10

12 ε = ; u = (1.5) siendo, y las componentes de desplazamiento en las respectivas direcciones, y. Enla ec. 1.4, B es el operador diferencial matricial dado por: B = (1.6) La compatibilidad constitutiva, ec. (1.1), corresponde a la relación entre los esfuerzos σ y las deformaciones ε. Éstasedesarrollaapartirdeláreabajolacurvaσ(ε) mostrada en la figura 1.4, llamada densidad de energía libre Ψ(ε), lacualsedeterminacomo: Ψ(ε) = Z 0 σ(ε)ε (1.7) Figura 1.4: Energía libre en un material con comportamiento: a) elástico lineal, b) elástico nolineal, c) plástico y d) daño. el estado de esfuerzos se calcula a partir de la energía libre: c GJL, UAM 11

13 σ(ε) = Ψ(ε) (1.8) ε Para un sólido elástico lineal, la energía libre de la ec. (1.7) corresponde a la densidad de energía de deformación: (ε) =Ψ(ε) = 1 2 ε : C : ε (1.9) Sustituyendo la energía (ε), la ec. (1.9) definida en, en la ec. (1.8) el esfuerzo se define como: σ(ε) = (ε) = C : ε (1.10) ε La compatibilidad entre los esfuerzos y las deformaciones para un material elástico lineal isotrópico,conocidacomolaleydehook,es: σ (x) = (ε) 1 +2ε (1.11) = +2 {1 2 3} donde y son las constantes de Lamé que se definen, en función del módulo elástico ydela relación de Poisson, como: La ec. (1.11) se desarrolla como: = = (1+)(1 2) 2(1+) (1.12) = (1 + )(1 2) (1.13) El equilibrio interno, ec. (1.1), corresponde a la ecuación de Cauchy: σ(x)+b(x) = ρ 2 u(x) 2 (1.14) 2 + = 2 {1 2 3} en este caso se considera un comportamiento cuasiestático, por consiguiente, la aceleración es nula. c GJL, UAM 12

14 + + + = = 0 (1.15) = 0 El equilibrio externo, ec.(1.1), indica que la proyección de los esfuerzos, σ n, sobrela frontera Γ debe satisfacer a las tracciones prescritas, t : = σ n = Las condiciones esencial de frontera, ec.(1.1), indica que el vector de desplazamientos u debe ser igual a los prescritos,u,enlafronteraγ. = Las ecs. (1.1 ) constituyen un sistema de 15 ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. El sistema está constituido por 15 ecuaciones diferenciales con 15 incógnitas en,,.el problema queda bien condicionado cuando se le agregan las condiciones de frontera adecuadas, ecs. (1.1 ) Barras Sea una barra de la fig. 1.5 con dominio Ω R 3, modelado por su eje longitudinal medio =[0] R. El sistema local de coordenadas se denota por [0] alolargodesueje,su desplazamiento infinitesimal se describe por los desplazamientos de los puntos a lo largo de su eje : R. ) = 0 Compatibilidad cinemática ) = ; = 0 Compatibilidad constitutiva ) + () =0; + () =0 0 Equilibrio interno ) = ; = en Γ Equilibrio externo (Condiciones naturales ) = en Γ Condiciones esenciales (1.16) c GJL, UAM 13

15 Figura 1.5: Barra Vigas Lasvigassonlostiposdeelementosmáscomunesen estructuras, particularmente en ingeniería Civil y Mecánica. Una viga es un elemento estructural cuyas función primaria es la de soportar cargas transversales y transmitirlas a los soportes. A pesar de que una viga es un elemento en 3D, ésta se modela como un elemento en 1D debido a que una de sus dimensiones en considerablemente mayor a las otras dos. A esta dimensión se le llama eje longitudinal o eje de la viga. La intersección de los planos normales a la dimensión longitudinal de la viga se le llama sección transversal. Un plano longitudinal es aquel que pasa a través del eje de la viga ( Fig. 1.6). Una viga resiste cargas transversales principalmente mediante la flexión. Esta flexión produce esfuerzos a compresión de un lado de la vida y esfuerzos a compresión en el otro lado. Las dos regiones se separan por una superficie neutra de esfuerzo cero. La combinación de los esfuerzos a tensión y compresión produce un momento a flexión interno. Este momento es el mecanismo primario que transporta las cargas a los apoyos. Figura 1.6: Elemento viga. Vigas de Bernoulli-Euler La teoría clásica (Bernoulli-Euler) de vigas se basa en las siguientes suposiciones (Felippa, 2004): c GJL, UAM 14

16 1. Simetría plana. El eje longitudinal es recto y la sección transversal de la viga tiene un plano longitudinal de simetría. Las cargas transversales resultantes que actúan en cada sección yacen en ese plano. 2. Variación de la sección transversal. La sección transversal es constante o varía suavemente. 3. Normal. Las secciones planas originalmente normales al eje de la viga permanecen planas y normales al eje longitudinal deformado después de la flexión, figura (1.7). 4. Energía de deformación. Los elementos toman solamente en cuenta la energía de deformación interna debida a flexión. Otros efectos como la deformación transversal y la fuerza axial se ignoran. 5. Linearización. Las deflexiones transversales, rotaciones y deformaciones se consideran pequeñas tal que las suposiciones de deformaciones infinitesimales sean aplicables. 6. Comportamiento elástico. Se asume que el comportamiento del material es elástico e isotrópico. Vigas heterogéneas fabricadas con diferentes materiales, como el concreto reforzado, no se excluyen. Figura 1.7: Elemento viga de Bernoulli-Euler. El campo de ecuaciones que definen el PVF en 0 de la teoría de vigas de Bernoulli-Euler son: c GJL, UAM 15

17 ) = ; = 2 en 0 Compatibilidad cinemática ) = ; = 2 2 en 0 Compatibilidad constitutiva ) 2 2 =0; = ; =0 en 0 Equilibrio interno ) 3 = Equilibrio externo 3 en Γ 2 = (Condiciones naturales 2 ) = = en Γ Condiciones esenciales de frontera (1.17) donde, Γ, representa los extremos de la viga El PVF definido en (1.17) contiene las siguientes relaciones generalmente empleadas en teoría de vigas. Vigas de Timoshenko = = 2 2 = 3 3 = 4 4 La teoría de vigas de Timoshenko introduce los efectos de primer orden por cortante (i.e. se consideran las deformaciones transversales por cortante transversal), mediante el supuesto que las secciones se mantiene planas, pero no necesariamente normales al eje neutro deformado, Fig Figura 1.8: Elemento viga de Timoshenko. c GJL, UAM 16

18 La descripción del comportamiento de la viga involucra dos variables independientes en cada punto del eje neutro, la deflexión transversal,, y la rotación de la sección transversal,, porlo que la deformación por cortante en cada punto a lo largo del eje de la viga está dado en la ec. (1.18) por la diferencia entre la rotación de la sección transversal y la pendiente del eje neutro = (1.18) El campo de ecuaciones que define el PVF en 0 de la teoría de las vigas de Timoshenko son: a) b) c) d) e) = = en 0 Compatibilidad cinemática = = en 0 Compatibilidad constitutiva =0 =0 en 0 Equilibrio interno = en Γ Equilibrio externo = = en Γ Condiciones esenciales de frontera (1.19) La rotación, de la sección transversal y la curvatura,, del eje longitudinal deformado son: = = (1.20) La compatibilidad constitutiva en la ec. (1.19b) está dada por las relaciones momento-curvatura y las relaciones cortante-deformación: = y = (1.21) donde es la fuerza cortante transversal, el promedio de las deformaciones por cortante en la sección transversal, es el módulo de rigidez a cortante y = es el área efectiva de cortante. El factor considera en promedio la corrección de distribución por cortante hecha para distribución de las deformaciones por cortante sobre el espesor de la sección transversal, e.g., para las vigas de sección transversal rectangular el valor de es usualmente 56. Las ecuaciones de equilibrio interno, Eq. (1.19c), se definen por las siguiente relaciones: = = 2 =0 (1.22) 2 c GJL, UAM 17

19 Soluciones exactas Barra sección constante Determine la función, (), que satisface el PVF del elemento barra de definido en la ec. (1.16). Se considerando que la fuerza de cuerpo () es constante y que las ecs. (1.16 y ) se satisfacen apriori. En este problema se busca que la función (), satisfaga el equilibrio interno de la ec. (1.16) () + () =0 (1.23) Considerando un elemento diferencial de volumen Ω =, fig. 1.5, e integrando dos veces sucesivas la ec. (1.23): () =0 (1.24) () =0 (1.25) Despejando 1 y 2 de las ecs. (1.25) y (1.25), Considerando las siguientes condiciones naturales y esenciales: 1 = () + (1.26) 2 = () (1.27) Condiciones Naturales Esenciales () = = (0) = 0 los valores de 1 en la ec. (1.26) y 2 en la ec. (1.16): (1.28) 1 = (1.29) 2 = 0 Por lo que de la ec. (1.25) se tiene el valor de la función, () = + µ 2 2 (1.30) c GJL, UAM 18

20 Viga simplemente apoyada Determine la función, (), que satisface el PVF de una viga simplemente apoyada definido en la ec. (1.17). Se considera que las ecs. (1.17 ) se satisfacen a priori, y se impone la condiciones esenciales =0en =0y =, definida en la ec. (1.17). En este problema se busca que la función, satisfaga el equilibrio interno de la ec. (1.17) =0 (1.31) 2 Considerando un elemento diferencial de volumen Ω =, fig. 1.5, e integrando cuatro veces sucesivas la ec. (1.31) se tiene: () = 3 () 3 = + 1 (1.32) () = 2 () 2 = (1.33) () = () = (1.34) () = (1.35) Considerando las siguientes condiciones naturales y esenciales: Condiciones Naturales Esenciales (0) = =0 (0) = 0 (0) = 0 (1.36) Se obtienen los valores de las constantes de las ecs. (1.32) a (1.35) 1 = 1 2 (1.37) 2 = 0 3 = = 0 Sustituyendo el valor de las constantes de la ec. (1.37) en la ec. (1.35) se tiene el valor de la función (), () = (1.38) 24 c GJL, UAM 19

21 Tarea 1. Un poste de concreto mostrado en la Fig. (1.9a) soporta unos cables que le inducen una carga = 5000 N. El poste tiene una de sección circular con diámetro =30 cm,el concreto tiene un modulo elástico = MPa y un peso específico = () = N m 3. De la ec. (1.30) Determine y grafique el desplazamiento, la deformación y el esfuerzo en el eje axial del poste considerando la acción de: a) La carga b) Peso específico c) La carga yelpesoespecífico. 2. La barra mostrada en la fig. Fig. (1.9b) está sujeta a la acción de una fuerza de cuerpo que varia cuadráticamente () = 2. a) Determine la función () que satisface la siguiente ecuación de equilibrio: Considere las siguientes condiciones naturales y esenciales: () + () =0 (1.39) (0) Naturales Condiciones Esenciales = = 3 12 (0) = 0 (1.40) b) Determine y grafique el desplazamiento, la deformación y el esfuerzo en el eje axial del poste con las siguientes propiedades =200cm, = kgf cm 2 y = kgf cm 5. Figura 1.9: a) Poste de concreto y b) barra restringida en los extremos. c GJL, UAM 20