INSTRUMENTO A PLAN DE TRABAJO DEL EQUIPO DOCENTE

Transcripción

1 AÑO: 2015 UNIVERSIDAD NACIONAL 1- Datos de la asignatura Nombre Algebra lineal II- Algebra II Código 107- F04 Tipo (Marque con una X) Nivel (Marque con una X) Obligatoria X Grado X Optativa Post-Grado Área curricular a la que pertenece Algebra Departamento Matemática Carrera/s Profesorado y Licenciatura en Matemática- Profesorado y Licenciatura en Física. Ciclo o año de ubicación en la carrera/s Segundo año de las carreras de Matemática y en Primer año en las carreras de Física, respectivamente. Carga horaria asignada en el Plan de Estudios: Total 160 hs. Semanal 10 hs. Distribución de la carga horaria (semanal) presencial de los alumnos: Teóricas Prácticas Teórico - prácticas Relación docente - alumnos: Cantidad estimada de alumnos inscriptos Cantidad de docentes Cantidad de comisiones 40 Profesores Auxiliares Teóricas Prácticas Teórico-Práçticas

2 2- Composición del equipo docente ( Ver instructivo): Nº Nombre y Apellido Título/s 1. María Inés Peña Licenciada en Cs. Matemática y Magíster en Matemática 2. Alfredo González Chaio Licenciado en Cs. Matemáticas y Doctor en Matemática Nº Cargo Dedicación Carácter Cantidad de horas semanales dedicadas a: (*) T As Adj JTP A1 A2 Ad Bec E P S Reg. Int. Otros Docencia Investig. Ext. Gest. Frente a alumnos Totales 1. X X X X X X (*) la suma de las horas Totale + Investig. + Ext. + Gest. no puede superar la asignación horaria del cargo docente. 2

3 3- Plan de trabajo del equipo docente 1. Objetivos de la asignatura. El objetivo esencial de este curso es que el alumno de primer año de las carreras de Profesorado y Licenciatura en Matemática, como así también, del Profesorado y Licenciatura en Física, maneje correctamente la estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales y sobre el cuerpo de los números complejos. Comprenda los conceptos básicos y pueda aplicar los conceptos teóricos para resolver problemas del álgebra lineal. Introducir el concepto de espacio métrico y diagonalización de endomorfismos en dichos espacios. Que el alumno logre familiarizarse con ejemplos concretos de los distintos conceptos teóricos que se desarrollan a lo largo de la asignatura, para afianzar dichos conceptos y obtener contraejemplos donde ciertas propiedades no se cumplen. La finalidad del curso es que el alumno obtenga una buena formación básica del álgebra lineal, herramienta esencial en el estudio de la matemática, por su aplicación inmediata en el estudio de otros tópicos dentro del álgebra como así también por la amplia gama de aplicaciones en otras áreas del conocimiento matemático, esencial para las asignaturas de las respectivas carreras. 2. Enunciación de la totalidad de los contenidos a desarrollar en la asignatura. UNIDAD 1: ESPACIOS VECTORIALES Espacios Vectoriales sobre un cuerpo k. Definición y ejemplos: espacios de las n-uplas k ; espacios de las matrices; espacios de los polinomios k[x], espacios de las aplicaciones de un conjunto X, no vacío.subespacios: definición, ejemplos, caracterizaciones. Generadores de un subespacio. Cápsula lineal. Operaciones en familias de subespacios: intersección y suma. Suma directa. UNIDAD 2: DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL Definición y ejemplos. Conjuntos linealmente dependientes y conjuntos linealmente independientes. Métodos de triangulación para analizar dependencia e independencia lineal de vectores. Bases de un espacio vectorial, existencia de bases en espacios vectoriales finitamente generados. Dimensión. Relación entre la dimensión de un espacio vectorial y el cardinal de los conjuntos linealmente independientes y el cardinal de un conjunto de generadores. Dimensión de subespacios. Existencia de los subespacios y la dimensión de los mismos. UNIDAD 3: TRANSFORMACIONES LINEALES 3

4 Definición. Ejemplos. Imagen y preimagen de un subespacio por una transformación lineal. Subespacios núcleo e imagen. Composición de transformaciones lineales. Monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo, endomorfismo, automorfismo. Inversas a izquierda, inversas a derecha. Inversa de un isomorfismo. UNIDAD 4: BASES Y TRANSFORMACIONES LINEALES Extensión de una aplicación definida en una base, a una transformación lineal del espacio. Caracterización de los monomorfismos, epimorfismos, isomorfismos. Teorema de la dimensión del núcleo e imagen de una transformación lineal entre espacios finitamente generados. Aplicaciones al estudio de la dimensión del subespacio de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo. Producto directo de k-espacios vectoriales. Proyecciones. Álgebra de matrices; matrices elementales, matrices inversibles. Operaciones elementales de fila y columna en una matriz. Inversa de una matríz elemental. Matrices equivalentes por filas y por columnas. Matrices reducidas por filas y por columnas; matrices escalón reducidas por filas y escalón reducidas por columnas. Equivalencia por filas de una matríz a un escalón reducida por filas (Análogo por columnas). Aplicación al cálculo de inversa de una matríz y al cálculo del conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Combinación lineal de un sistema; sistemas equivalentes. Rango de filas y rango de columnas de una matríz. Rango de una matríz. Compatibilidad de sistemas de ecuaciones lineales no homogéneos. UNIDAD 5: TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES Álgebra de las transformaciones lineales entre dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo. Isomorfismo con el espacio de matrices. Bases Ordenadas. Matriz de las coordenadas de un vector respecto de una base ordenada. Matriz, cambio de base. Matriz asociada a una transformación lineal de dos bases dadas. Relación entre la composición de transformaciones lineales y el producto de matrices. Matriz asociada a un isomorfismo. Relación entre la dimensión de la imagen de una transformación lineal y el rango de la matríz asociada. El Grupo General lineal. Matrices equivalentes y semejantes. Aplicación a proyecciones. UNIDAD 6: DIAGONALIZACIÓN Definición de espacio dual. Dimensión del dual de un espacio vectorial de dimensión finita: base dual; isomorfismo canónico con su doble dual. Hiperespacios. Álgebra sobre un cuerpo: definición, ejemplos. Álgebra de polinomios, álgebra de matrices, álgebra de endomorfismos de un espacio vectorial. Especialización de x por un endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita: polinomio minimal de un endomorfismo: existencia y unicidad. Polinomio minimal de una matríz cuadrada. Vectores y valores propios de endomorfismos y de matrices cuadradas. Polinomio característico de un endomorfismo y de una matríz: matríz característica. Relación entre valores propios de un endomorfismo y las raíces de sus polinomios minimal y característico. Endomorfismos diagonales. Subespacios invariantes respecto de un endomorfismo. Potencias de una matriz diagonalizable. 4

5 UNIDAD 7: FORMAS CANÓNICAS ELEMENTALES Operadores nilpotentes. Existencia de la forma canónica de Jordan para operadores sobre un cuerpo algebraicamente cerrado. Métodos de cálculo de la Forma de Jordan. UNIDAD 8: ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO Productos internos. Definición, ejemplos. Identidades de polarización. Espacios producto interno. Desigualdad de Cauchy-Schwarz. Ortogonalidad y ortonormalidad. Proceso de Ortogonalización de Gram-Schimdt. Proyección ortogonal. La mejor aproximación. Desigualdad de Bessel. UNIDAD 9: OPERADORES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO Operadores en espacios con producto interno. Adjunto de un operador. Operadores autoadjuntos. Operadores unitarios. Operadores normales. Teorema Espectral. 3. Bibliografía (básica y complementaria). Álgebra Lineal, Hoffman-Kunze - Pretince-Hall. Álgebra Linear. Elon L. Lima. Projeto Euclides. IMPA. Brasil. Um curso de Álgebra Linear, Flavio Ulhoa Coelho, Mary Lilian Lourenco. Edusp. Brasil. Álgebra Linear Avanzada, José Antonio de la Peña. México. Álgebra Lineal y Geometría, Angel Larrotonda. Eudeba. Lineal Álgebra, Werner Greub - Springer-Verlag. Espacios Vectoriales, Enzo Gentile. Fundamental Structure of Álgebra - Mostow - Sampson - Meyer ; McGraw Hill Finite Dimensional Vector spaces - Van Nostrand 5

6 4. Descripción de Actividades de aprendizaje. - Todos los temas se expondrán en las clases teóricas y se desarrollarán luego en las clases prácticas con abundantes ejercicios destinados a fijar, relacionar y desarrollar los conceptos adquiridos en la teoría. - Exposición de resultados teóricos con sus correspondientes demostraciones, ilustrando con ejemplos y discutiendo sus aplicaciones. - Resolución de las guías de trabajos prácticos en las clases prácticas, cuya modalidad es de tipo taller, con consultas por parte de los alumnos. Orientando a los alumnos en la resolución de los ejercicios planteados. - Manejo de bibliografía adecuada. 5. Cronograma de contenidos, actividades y evaluaciones. Se dictarán 10hs. de clase por semana, 4 hs.teóricas y 4 hs.prácticas y 2 hs. de consultas teórico-prácticas, en un total de 16 semanas (un cuatrimestre). Se tomarán 3 exámenes parciales con sus respectivos recuperatorios. En el primer parcial se evaluarán los temas desarrollados en las tres primeras guías prácticas, que corresponden a las cinco primeras unidades del programa. En el segundo parcial se evaluarán las guías 4 y 5, correspondientes a las unidades seis y siete. En el tercer parcial se examinarán los temas de las dos últimas unidades de la asignatura, desarrollados en las guías 6 y 7 respectivamente. Antes de cada evaluación se brindarán clases de consultas. Después de cada evaluación se desarrollará en clase la correcta resolución de la misma, para remarcar los errores que hayan cometido. Para aprobar la asignatura deben rendir satisfactoriamente un examen final en las fechas establecidas por el calendario lectivo. 6. Procesos de intervención pedagógica. Clases Teóricas: Clase magistral Clases Prácticas y Teórico Prácticas: Planteo de problemas generales, interactuando los docentes con los alumnos. Discusiones sobre la resolución de los ejercicios planteados en las guías de trabajos prácticos. 6

7 7. Evaluación La cursada se aprobará con tres parciales con sus respectivos recuperatorios. Para aprobar la asignatura se rendirá, después de haber aprobado la cursada, un examen final en el que se evaluará el manejo de los conceptos teóricos aplicados a la resolución de problemas teóricos y prácticos. Se considerarán la correcta resolución de los ejercicios evaluados, la originalidad de lo desarrollado por el estudiante, la gravedad de los errores cometidos, los desarrollos planteados aun cuando no pueda concluir con el ejercicio pedido. Resolución de situaciones problemáticas que involucren los temas a evaluar, integrando conceptos teóricos y prácticos. 8. Asignación y distribución de tareas de cada uno de los integrantes del equipo docente. Docente a cargo de las clases teóricas: Mg. María Inés Peña. Trabajos prácticos: docente responsable : Dr. Alfredo Ganzález Chaio. Todos los integrantes del equipo docente emplearán las modalidades de acción pedagógica mencionadas en el ítem 6. 7

8 Instructivo 1