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1 Contenido Agradecimientos... Prólogo XIII XV PARTE I MATRICES, SISTEMAS Y DETERMINANTES CAPÍTULO 1 Matrices y sistemas lineales Matrices Definicionesyejemplos Operaciones con matrices Matrices especiales Propiedades de las operaciones Matrices con númeroscomplejos Sistemaslineales Definiciones, soluciones y forma matricial de sistemas lineales Matrices escalonadas y sistemas escalonados Operaciones de renglón para matrices, equivalencia por filas y soluciones desistemasescalonados MétododeGauss Método de Gauss-Jordan y sistemas con solución única Sistemas homogéneos Estructura de las soluciones Sistemas lineales con númeroscomplejos Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos CAPÍTULO 2 Matrices invertibles y determinantes Matricesinvertiblesysusinversas Definiciónypropiedades Matrices invertibles y sistemas lineales MétododeGauss-Jordanparahallarlainversadeunamatriz Matrices elementales Inversas de matrices con componentes complejas Determinantes Desarrollo por cofactores Propiedades Métododelaadjuntaparahallarlainversa Regla de Cramer Determinantes de matrices con componentes complejas Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos VII Page (PS/TeX): 7 / 7, COMPOSITE

2 VIII CONTENIDO PARTE II ESPACIOS VECTORIALES, PRODUCTO INTERIOR, NORMAS, VALORES Y VECTORES PROPIOS CAPÍTULO 3 Espacios vectoriales Geometría de los espacios R n El plano cartesiano R Interpretación geométricadeldeterminante El espacio vectorial R n,geometríaypropiedadesalgebraicas La desigualdad de Schwarz, ángulos entre vectores y ortogonalidad Espaciosvectoriales Definicionesyejemplos Propiedades elementales de los espacios vectoriales Subespacios vectoriales Combinaciones lineales y subespacios generados Dependenciaeindependencialineal Criterios de independencia lineal en R n Bases y dimensión Definicionesyejemplos Dimensión, extracción de bases y compleción de un conjunto L.I. a una base Rango de una matriz Espacios vectoriales sobre los númeroscomplejos Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos CAPÍTULO 4 Espacios con producto interior y espacios normados Espacios con producto interior Definiciones,ejemplosypropiedades Ortogonalidad y norma inducida por el producto interior Desigualdad de Schwarz y ángulo entre vectores Proyecciones, proceso de ortogonalización, factorización QR Aproximación óptima de un vector por elementos de un subespacio Espaciosvectorialesnormados Definicionesyejemplos Distancia en espacios vectoriales normados Normas que provienen de productos interiores Normas equivalentes Construcción de normas en espacios de dimensión finita a partir de normas en R n Aproximaciones óptimasenespaciosnormados Qué norma utilizar? Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales, valores y vectores propios Transformacioneslineales Definición,ejemplosypropiedades Núcleo e imagen de una transformaciónlineal Representacionesmatricialesdetransformacioneslineales Vectores de coordenadas, cambio de bases Representaciones matriciales de un operador lineal Representaciones matriciales de transformaciones lineales Isomorfismos Page (PS/TeX): 8 / 8, COMPOSITE

3 CONTENIDO IX Valores y vectores propios, diagonalización Valores y vectores propios Diagonalización Valores propios complejos y diagonalización sobre C Operadores autoadjuntos y matrices simétricas Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos PARTE III APLICACIONES, USO DE TECNOLOGÍA, MÉTODOS NUMÉRICOS CAPÍTULO 6 Aplicaciones Matrices de incidencia y teoríadegrafos Redes de conducción y principios de conservación Flujo vehicular Circuitos eléctricos Balance químico Análisis insumo-producto Modelo para economíaabierta Modelo para economíacerrada Singularidad de la matriz de Leontief para el modelo de economía cerrada Inversa de la matriz de Leontief para el modelo de economía abiertaymétodo de aproximación Programaciónlineal Enfoque geométrico Método simplex para el problema estándar de programaciónlineal Restricciones generales y métodosimplexdedosfases Dualidad Teoríadejuegos Juegos estrictamente determinados y puntos silla Estrategias y pagos esperados Estrategias óptimas y valor esperado para juegos matriciales con matriz de pagos Estrategias óptimas y valor esperado con programación lineal para juegos matriciales con matriz de pagos m n Filas y columnas recesivas o dominantes CadenasdeMarkov Sistemaslinealesdeecuacionesdiferenciales Optimizacióndefuncionales Problemas físicos Cálculodiferencialenespaciosvectoriales Cálculo diferencial para funcionales en R n Extremos locales de funcionales Extremos locales y valores propios de la matriz hessiana Condiciones necesarias para que cierto tipo de funcionales en espacios de dimensión infinitaalcancenvaloresextremos Dinámica de un monopolista Epílogo Ejercicios propuestos Page (PS/TeX): 9 / 9, COMPOSITE

4 X CONTENIDO CAPÍTULO 7 Uso de tecnología La calculadora HP 50g y álgebralineal Teclado y sus funciones La pantalla y comandos de decisión Modos de operación Cálculo simbólico vs numérico y almacenamiento de objetos algebraicos Escritura de vectores y matrices en la Hp 50g Operaciones con vectores Operaciones con matrices Factorización QR y ortogonalización, factorización LU Forma escalonada y forma escalonada reducida con la HP 50g, sistemas lineales Métodos de Gauss y Gauss-Jordan paso a paso en forma automática con la HP50g Inversa de una matriz paso a paso de manera automática con la calculadora HP50g Métodos de Gauss y Gauss-Jordan con operaciones de renglón ejecutadas por el usuario Inversa de una matriz por el método de Gauss-Jordan con operaciones de renglón ejecutadasporelusuario Transformaciones lineales, núcleoeimagen Valores y vectores propios NúmeroscomplejosconlaHP50g MATLAB y álgebralineal Interacción con MATLAB y almacenamiento de información Escritura de matrices y operaciones básicas Formatos y modo simbólico Matrices especiales, información básica y edicióndematrices Operaciones de renglón con MATLAB Funciones programadas por el usuario, programación en MATLAB y operaciones de renglón Traza, determinante, rango, inversa y transpuesta Forma escalonada reducida, solucióndesistemas Valores y vectores propios, polinomio característico Factorización QR y factorización LU Excel, la herramienta Solver y programaciónlineal Activación de Solver enexcel La función SUMAPRODUCTO deexcel Resolución de problemas de programación lineal con Solver Ejercicios propuestos CAPÍTULO 8 Álgebra lineal numérica Aritmética de la computadora y errores de redondeo Métodos directos para resolver sistemas lineales Método de Gauss para sistemas lineales de orden n con sustitución regresiva MétododeGaussparahallarlainversadeunamatriz Factorización LU Estrategias para pivotar Métodos iterativos La teoría de punto fijoynormasmatricialesnaturales MétodoiterativodeJacobi Planteamiento general para un métodoiterativo Page (PS/TeX): 10 / 10, COMPOSITE

5 CONTENIDO XI MétodoiterativodeRichardson MétodoiterativodeGauss-Seidel Series de Neumann y método iterativo para aproximar la inversa de una matriz TransformacionesdeHouseholder Definiciones y transformaciones básicas FactorizaciónQRdeHouseholderysistemaslineales ReduccióndeHouseholder-Hessenberg Rotaciones y reflexiones Aproximacióndevaloresyvectorespropios Métododelapotencia Deflación Iteracióninversa MétodoQR Método QR con reducción de Hessenberg y desplazamientos Método de Jacobi para aproximar valores y vectores propios de matrices simétricas Ejercicios propuestos A Conjuntos, demostraciones e inducción matemática A A.1 Conjuntos A.1.1 Conjuntos, elementos y subconjuntos A.1.2 Operaciones con conjuntos A.1.3 Reuniones e intersecciones de familias de conjuntos A A.2 Demostraciones A.2.1 El métododeductivo A.2.2 Métodos de demostración A.2.3 Bicondicional y definiciones,lemasycorolarios A A.3 Inducción matemática B Números complejos, campos y espacios vectoriales B B.1 Númeroscomplejos B B.2 Campos B B.3 Polinomiossobrecampos B.3.1 Propiedades B.3.2 Raíces y teorema fundamental del álgebra B B.4 Espaciosvectorialessobreotroscampos B B.5 Aplicación a la teoría de detección y corrección de errores en códigos C Demostraciones que fueron diferidas D Formas canónicas de Jordan E Respuestas a ejercicios seleccionados Lista de símbolos Alfabeto griego Lista de aplicaciones adicionales Lista de programas Bibliografía Índice analítico Page (PS/TeX): 11 / 11, COMPOSITE