Programación y Métodos Numéricos Errores de de redondeo en en la la representación de de números reales: NOTACIÓN CIENTÍFICA EN BASE 10

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1 Programación y Métodos Numéricos Errores de de redondeo en en la la representación de de números reales: NOTACIÓN CIENTÍFICA EN BASE 0 Alfredo Lópe L Benito Carlos Conde LáaroL Arturo Hidalgo LópeL pe Febrero,

2 Error absoluto y error relativo Sea: el valor exacto de un número * el valor aproximado de x. Error absoluto: Δ = * Error relativo: E * = 0 25

3 Notación científica en en base 0 Consiste en expresar los números no nulos en la forma: ± 0. dd...d... 2 s e 0 mantisa exponente con: d 0, d { 7,8,9} i 0,,2,3,4,5,6, y e El número 0 se expresa con todos los dígitos de la mantisa nulos y con cualquier valor del exponente 26

4 Ejemplos: Notación científica en en base i0 Mantisa: Exponente: i0 Mantisa: Exponente: i0 Mantisa: Exponente: 0 π i Mantisa: Exponente: 27

5 Sistemas de de números (en base 0) en en coma flotante normaliada Expresan los números en notación científica pero: º) Limitando el valor de los exponentes entre m y M. 2º) Utiliando mantisas con s dígitos decimales La condición ª implica que sólo se puedan representar números no nulos cuyo valor absoluto esté comprendido entre ciertas cotas. La condición 2ª, junto a la ª, implica que: * Sólo existe un número finito de números. * Las mantisas de los números reales con más dígitos decimales deben ser aproximadas por otras con s dígitos. 28

6 Números máquina (en base 0) El conjunto de todos los números con mantisas formadas por s dígitos decimales y exponentes comprendidos entre m y M se representa por: F(s+, m, M, 0) Inicial de Float s dígitos decimales en la mantisa Base de numeración utiliada Menor exponente permitido Mayor exponente permitido A estos números se les llamará NÚMEROS MÁQUINAM 29

7 Números máquina (en base 0) Ejemplo: F(2, -,, 0) 0, ± 0. i0, ± 0. 2i0, ± 0. 3i0, ± 0. 4 i0, ± 0. 5i0, { ± 0. 6i0, ± 0. 7i0, ± 0. 8i0, ± 0. 9 i0, ± 0. i0, ± 0. 2i0, ± 0. 3 i0, ± 0. 4i0, ± 0. 5i0, ± 0. 6i0, ± 0. 7i0, ± 0. 8i0, ± 0. 9i0, ± 0. i0, ± 0. 2i0, ± 0. 3 i0, ± 0. 4i0, ± 0. 5i0, ± 0. 6i0, ± 0. 7i0, ± 0. 8i0, ± 0. 9i0 } Sólo hay N = 55 números. El mayor de ellos es C = 9. El positivo menor no nulo es c =0.0. No todos los números consecutivos distan lo mismo. 30

8 Números máquina (en base 0) Distribución de los números positivos de F(2, -,, 0) Los de mayor valor absoluto son más distantes entre sí 3

9 Propiedades de de los los números de de F(s+, m, m, M, M, 0) 0) *) Número de números máquina de F(s+, m, M, 0): N = 8 i( + ) + ( s ) M m 0 *) Mayor número máquina de F(s+, m, M, 0): C = i0 *) Menor número máquina positivo de F(s+, m, M, 0): M m c = i0 *) Siendo e el exponente de un número máquina de F(s+,m,M,0) la distancia entre él y el siguiente en valor absoluto es: e s d = 0 32

10 Aproximación de de números reales expresados en en base 0 0 en en coma flotante normaliada Técnicas de aproximación de mantisas de la forma: por mantisas de s dígitos ± 0. d d...d d... 2 s s+ Truncado: ± 0. dd 2...dsd s+... ± 0. dd2...ds Redondeo: ± 0. dd 2...ds si ds+ < 5 ± 0. dd 2...dsd s+... ± ( 0. dd 2...ds + si ds ) 33

11 Aproximación de de números reales expresados en en base 0 0 en en coma flotante normaliada Ejemplos: 20 x = = Truncando a mantisas de 5 decimales: x* = x Redondeando a mantisas de 5 decimales: = = Truncando a mantisas de 5 decimales: x* = x* = Redondeando a mantisas de 5 decimales: x* =

12 Propiedades de de la la aproximación por por truncado Sean: e = ± 0. d d...d d... i 0 (número que se aproxima) 2 s s+ * 0. 0 e = ± dd 2...dsi (número máquina de F(s+, m, M, 0) obtenido aproximando por truncado) Se verifica: Δ = E e * 0 s * s =

13 Propiedades de de la la aproximación por por redondeo Sean: 0. 0 e = dd 2...dsd s+... i (número que se aproxima) * 0. 0 e = d' d' 2...d' si (número máquina de F(s+, m, M, 0) obtenido aproximando por redondeo) Se verifica: e s Δ = * i0 2 * s 0 E = i

14 De las propiedades anteriores se tiene que: 0: E La La unidad de de redondeo de de F(s+, m, m, M, M, 0) 0) * = u= i 2 s 0 aproximando por truncado s 0 aproximando por redo UNIDAD DE REDONDEO DE F(s+, m, M, 0) Propiedad. * 0 sea δ = * = ( + δ) i Se verifica que: δ u ndeo 37

15 Overflow y underflow de de F(s+, m, m, M, M, 0) 0) NO pueden aproximarse por un número máquina no nulo del sistema F(s+ +, m, M,, 0) : * Los números reales con valor absoluto superior o igual a: M i0 (truncando) NOVERFLOW = M i0 (redondeando) Dígito decimal (s+) * Los números reales no nulos con valor absoluto inferior a: n UNDERFLOW i = i m (truncando) m (redondeando) Dígito decimal (s+) 38

16 Sólo pueden aproximarse por números máquina no nulos del sistema F(s+, m, M, 0) aquellos números reales para los que se verifique: Overflow y underflow de de F(s+, m, m, M, M, 0) 0) nunderflow < N OVERFLOW Si N OVERFLOW ERROR DE OVERFLOW Si < n UNDERFLOW ERROR DE UNDERFLOW ASIMILACIÓN A 0. 39

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