A) CONTENIDOS OBJETIVOS DE MATEMÁTICAS I Y II MATEMÁTICAS I

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1 NOMETRÍA ARITMÉTICA GEOMETRÍA Y NÚMEROS Y ÁLGEBRA BACHILLERATO COMPLEJOS CIENTÍFICO Y TECNOLÓGICO DE MATEMÁTICAS I Y II Matemáticas I A) Contenidos B) Criterios de evaluación C) Programaciones D) Temporalización y secuenciación Matemáticas II A) Contenidos B) Criterios de evaluación C) Programaciones D) Temporalización y secuenciación DE MATEMÁTICAS I Y II La enseñanza de las Matemáticas en este Bachillerato tendrá como finalidad, de acuerdo a lo establecido en el citado Real Decreto 1467/2007, el desarrollo de las siguientes capacidades: 1. Comprender y aplicar los conceptos y procedimientos matemáticos a situaciones diversas que permitan avanzar en el estudio de las propias matemáticas y de otras ciencias, así como en la resolución razonada de problemas procedentes de actividades cotidianas y diferentes ámbitos del saber. 2. Considerar las argumentaciones razonadas y la existencia de demostraciones rigurosas sobre las que se basa el avance de la ciencia y la tecnología, mostrando una actitud flexible, abierta y crítica ante otros juicios y razonamientos. 3. Utilizar las estrategias características de la investigación científica y las destrezas propias de las matemáticas (planteamiento de problemas, planificación y ensayo, experimentación, aplicación de la inducción y deducción, formulación y aceptación o rechazo de las conjeturas, comprobación de los resultados obtenidos) para realizar investigaciones y en general explorar situaciones y fenómenos nuevos. 4. Apreciar el desarrollo de las matemáticas como un proceso cambiante y dinámico, con abundantes conexiones internas e íntimamente relacionado con el de otras áreas del saber. 5. Emplear los recursos aportados por las tecnologías actuales para obtener y procesar información, facilitar la comprensión de fenómenos dinámicos, ahorrar tiempo en los cálculos y servir como herramienta en la resolución de problemas. 6. Utilizar el discurso racional para plantear acertadamente los problemas, justificar procedimientos, encadenar coherentemente los argumentos, comunicarse con eficacia y precisión, detectar incorrecciones lógicas y cuestionar aseveraciones carentes de rigor científico. 7. Mostrar actitudes asociadas al trabajo científico y a la investigación matemática, tales como la visión crítica, la necesidad de verificación, la valoración de la precisión, el interés por el trabajo cooperativo y los distintos tipos de razonamiento, el cuestionamiento de las apreciaciones intuitivas y la apertura a nuevas ideas. 8. Expresarse verbalmente y por escrito en situaciones susceptibles de ser tratadas matemáticamente, comprendiendo y manejando términos, notaciones y representaciones matemáticas MATEMÁTICAS I A) 1. Aritmética y álgebra Números reales. Valor absoluto. Desigualdades. Distancias entre la recta real. Intervalos y entornos. Resolución e interpretación gráfica de ecuaciones e inecuaciones. Utilización de las herramientas algebraicas en la resolución de problemas. Matemáticas I 1

2 2. Geometría Medida de un ángulo en radianes. Razones trigonométricas de un ángulo. Uso de fórmulas y transformaciones trigonométricas en la resolución de triángulos y problemas geométricos diversos. Vectores libres en el plano. Operaciones. Producto escalar. Módulo de un vector. Ecuaciones de la recta. Posiciones relativas de rectas. Distancias y ángulos. Resolución de problemas. Idea de lugar geométrico en el plano. Cónicas. 3. Análisis Funciones reales de variable real: clasificación y características básicas de las funciones polinómicas, racionales sencillas, valor absoluto, parte entera, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Dominio, recorrido y extremos de una función. Operaciones y composición de funciones. Aproximación al concepto de límite de una función, tendencia y continuidad. Aproximación al concepto de derivada. Extremos relativos en un intervalo. Interpretación y análisis de funciones sencillas, expresadas de manera analítica o gráfica, que describan situaciones reales. 4. Estadística y Probabilidad Distribuciones bidimensionales. Relaciones entre dos variables estadísticas. Regresión lineal. Estudio de la probabilidad compuesta, condicionada, total y a posteriori. Distribuciones binomial y normal como herramienta para asignar probabilidades a sucesos. B) DE MATEMÁTICAS I LOS, QUE A CONTINUACIÓN SE RELACIONAN, DEBERÁN SERVIR COMO INDICADORES DE LA EVOLUCIÓN DE LOS APRENDIZAJES DE LOS ALUMNOS, COMO ELEMENTOS QUE AYUDEN A VALORAR LOS DESAJUSTES Y NECESIDADES DETECTADAS Y COMO REFERENTES PARA ESTIMAR LA ADECUACIÓN DE LAS ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA PUESTAS EN JUEGO. 1. Utilizar correctamente los números reales y sus operaciones para presentar e intercambiar información; estimar los efectos de las operaciones sobre los números reales y sus representaciones gráfica y algebraica y resolver problemas extraídos de la realidad social y de la naturaleza que impliquen la utilización de ecuaciones e inecuaciones, así como interpretar los resultados obtenidos. Se pretende comprobar con este criterio la adquisición de las destrezas necesarias para la utilización de los números reales, incluyendo la elección de la notación, las aproximaciones y las cotas de error acordes con la situación. Asimismo, se pretende evaluar la comprensión de las propiedades de los números, del efecto de las operaciones y del valor absoluto y su posible aplicación. También se debe valorar la capacidad para traducir algebraicamente una situación y llegar a su resolución, haciendo una interpretación de los resultados obtenidos. 2. Transferir una situación real a una esquematización geométrica y aplicar las diferentes técnicas de resolución de triángulos para enunciar conclusiones, valorándolas e interpretándolas en su contexto real; así como, identificar las formas correspondientes a algunos lugares geométricos del plano, analizar sus propiedades métricas y construirlos a partir de ellas. Se pretende evaluar la capacidad para representar geométricamente una situación planteada, eligiendo y aplicando adecuadamente las definiciones y transformaciones geométricas que Matemáticas I 2

3 permitan interpretar las soluciones encontradas; en especial, la capacidad para incorporar al esquema geométrico las representaciones simbólicas o gráficas auxiliares como paso previo al cálculo. Asimismo, se pretende comprobar la adquisición de las capacidades necesarias en la utilización de técnicas propias de la geometría analítica para aplicarlas al estudio de las ecuaciones reducidas de las cónicas y de otros lugares geométricos sencillos. 3. Transcribir situaciones de la geometría a un lenguaje vectorial en dos dimensiones y utilizar las operaciones con vectores para resolver los problemas extraídos de ellas, dando una interpretación de las soluciones. La finalidad de este criterio es evaluar la capacidad para utilizar el lenguaje vectorial y las técnicas apropiadas en cada caso, como instrumento para la interpretación de fenómenos diversos. Se pretende valorar especialmente la capacidad para realizar transformaciones sucesivas con objetos geométricos en el plano. 4. Identificar las funciones habituales dadas a través de enunciados, tablas o gráficas, y aplicar sus características al estudio de fenómenos naturales y tecnológicos. Este criterio pretende evaluar la capacidad para interpretar y aplicar a situaciones del mundo natural, geométrico y tecnológico, la información suministrada por el estudio de las funciones. Particularmente, se pretende comprobar la capacidad de traducir los resultados del análisis al contexto del fenómeno, estático o dinámico, y extraer conclusiones sobre su comportamiento local o global. 5. Utilizar los conceptos, propiedades y procedimientos adecuados para encontrar e interpretar características destacadas de funciones expresadas analítica y gráficamente. Se pretende comprobar con este criterio la capacidad de utilizar adecuadamente la terminología y los conceptos básicos del análisis para estudiar las características generales de las funciones y aplicarlas a la construcción de la gráfica de una función concreta. En especial, la capacidad para identificar regularidades, tendencias y tasas de variación, locales y globales, en el comportamiento de la función, reconocer las características propias de la familia y las particulares de la función, y estimar los cambios gráficos que se producen al modificar una constante en la expresión algebraica. 6. Asignar probabilidades a sucesos correspondientes a fenómenos aleatorios simples y compuestos y utilizar técnicas estadísticas elementales para tomar decisiones ante situaciones que se ajusten a una distribución de probabilidad binomial o normal. En este criterio se pretende medir la capacidad para determinar la probabilidad de un suceso, utilizando diferentes técnicas, analizar una situación y decidir la opción más conveniente. También se pretende comprobar la capacidad para estimar y asociar los parámetros relacionados con la correlación y la regresión con las situaciones y relaciones que miden. 7. Realizar investigaciones en las que haya que organizar y codificar informaciones, seleccionar, comparar y valorar estrategias para enfrentarse a situaciones nuevas con eficacia, eligiendo las herramientas matemáticas adecuadas en cada caso. Se pretende evaluar la madurez del alumnado para enfrentarse con situaciones nuevas procediendo a su observación, modelado, reflexión y argumentación adecuada, usando las destrezas matemáticas adquiridas. Tales situaciones no tienen por qué estar directamente relacionadas con contenidos concretos; de hecho, se pretende evaluar la capacidad para combinar diferentes herramientas y estrategias, independientemente del contexto en que se hayan adquirido. C) PROGRAMACIÓN DE LAS UNIDADES DE MATEMÁTICAS I En este apartado se desarrollan todos los aspectos que integran el currículo: objetivos, contenidos (conceptos, procedimientos y actitudes), contenidos transversales y criterios de evaluación de cada una de las 15 unidades que componen el curso: Bloque I. Aritmética y álgebra Unidad 1. Números reales Matemáticas I 3

4 Unidad 2. Ecuaciones y sistemas Bloque II. Trigonometría y números complejos Unidad 3. Trigonometría I Unidad 4. Trigonometría II Unidad 5. Números complejos Bloque III. Geometría Unidad 6. Geometría analítica en el plano Unidad 7. Lugares geométricos y cónicas Bloque IV. Análisis Unidad 8. Funciones Unidad 9. Límite y continuidad Unidad 10. Funciones exponencial, logarítmica y trigonométricas Unidad 11. Derivadas Bloque V. Estadística y probabilidad Unidad 12. Estadística Unidad 13. Combinatoria Unidad 14. Probabilidad Unidad 15. Distribuciones de probabilidad Unidad 16. Resolución de problemas UNIDAD 1: NÚMEROS REALES 1. Distinguir los diferentes tipos de números reales, especialmente, racionales e irracionales. 2. Representar los números reales en la recta real. 3. Comprender los conceptos de intervalo y entorno en la recta real. 4. Adquirir destreza en el manejo de las operaciones con potencias y radicales. 5. Utilizar correctamente la calculadora en operaciones con números de cualquier tipo. 6. Comprender los conceptos de error absoluto y relativo en las aproximaciones de números racionales. 7. Saber aproximar mediante redondeo un número real con una cierta precisión y saber determinar su cota de error. 8. Entender la diferencia entre las cifras exactas de una aproximación y las cifras significativas del resultado de un cálculo con medidas. 9. Estimar el resultado de un cálculo con relación a su enunciado. 10. Trabajar con números en notación científica. Números reales. Clasificación. Recta real. Conjuntos en la recta real. Orden y desigualdad en el conjunto de los números reales. Valor absoluto de un número real. Potencias de exponente racional. Números radicales. Aproximaciones decimales. Redondeo. Errores absoluto y relativo. Notación científica. Clasificación de números reales. Representación gráfica de números reales en la recta real. Aplicación del teorema de Pitágoras para representar radicales. Matemáticas I 4

5 Representación gráfica de intervalos en la recta real. Identificación de valor absoluto y entorno. Identificación de desigualdad e intervalo. Aplicación al cálculo de las propiedades de las operaciones con potencias y radicales. Aproximación de números reales: redondeo. Cálculo del error absoluto y de la cota de error (incertidumbre) de una aproximación. Determinación de las cifras exactas de una aproximación. Estimación de la acumulación de los errores en los cálculos con aproximaciones. Utilización de la calculadora de forma rigurosa como herramienta para el cálculo con números reales. Utilización de la notación científica. Valoración de la visión crítica y de la necesidad de verificación. Valoración de la necesidad de estimar la precisión en el cálculo con números reales. Sensibilidad por presentar los resultados de cálculos de números reales en función del tipo de situación que plantea el enunciado de un problema. Interés y respeto por los procedimientos y soluciones a problemas numéricos distintos de los propios. Curiosidad por hechos relevantes de la historia de las matemáticas. TRANSVERSALES Educación para la paz El estudio de las aproximaciones decimales y los errores permite fomentar la capacidad autocrítica y la flexibilidad la necesidad de verificación, la valoración de la precisión, el cuestionamiento de ideas intuitivas y la apertura a nuevas ideas, que son imprescindibles para desarrollar el espíritu de tolerancia. 1. Utilizar los números reales para resolver problemas de la vida cotidiana y del ámbito científicotecnológico. 2. Operar correctamente con cualquier expresión de números reales. 3. Utilizar convenientemente aproximaciones de números reales, determinando el error absoluto o relativo que se comete y acotándolo cuando sea preciso. 4. Estimar convenientemente las aproximaciones que resultan en problemas de medida. 5. Resolver problemas que requieran la utilización de los procedimientos detallados en los criterios anteriores. 6. Interpretar los resultados de los valores obtenidos rechazando aquellos que son absurdos. UNIDAD 2: ECUACIONES Y SISTEMAS 1. Comprender el concepto de polinomio y de fracción algebraica. 2. Enunciar correctamente el teorema del resto. 3. Comprender el significado de raíz de un polinomio. 4. Comprender el concepto de polinomio irreducible. 5. Distinguir entre igualdad, identidad y ecuación. 6. Diferenciar y resolver los distintos tipos de ecuaciones: polinómicas de primer grado, de segundo grado, de grado superior, racionales e irracionales. 7. Diferenciar distintos tipos de sistemas: en función del número de ecuaciones, del número de incógnitas y de la potencia con que estas aparecen. 8. Resolver sistemas de ecuaciones lineales sabiendo utilizar el método apropiado, en especial el de Gauss. Matemáticas I 5

6 9. Diferenciar y resolver diferentes tipos de inecuaciones. 10. Resolver gráficamente sistemas de inecuaciones lineales y no lineales. Polinomios. Raíces de un polinomio. Teorema del resto. Fracciones algebraicas. Igualdad, identidad y ecuación. Ecuaciones polinómicas de primer grado, de segundo y de grado superior. Ecuaciones racionales e irracionales. Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. Método de Gauss. Inecuaciones. Sistemas de inecuaciones. Reconocimiento de un polinomio y cálculo de sus raíces. División entre el binomio x _ a utilizando la regla de Ruffini. Aplicación del teorema del resto. Realización de operaciones y simplificación de fracciones algebraicas. Revisión de procedimientos de resolución de ecuaciones de primer grado. Resolución de ecuaciones de segundo grado. Resolución de ecuaciones bicuadradas. Descomposición factorial para resolver ecuaciones polinómicas. Resolución de ecuaciones racionales reduciéndolas a polinómicas, comprobando, posteriormente, las soluciones obtenidas. Resolución de ecuaciones irracionales elevando oportunamente los dos miembros de la ecuación a la potencia adecuada, comprobando posteriormente las soluciones obtenidas. Resolución analítica de inecuaciones con una incógnita. Resolución gráfica de inecuaciones con dos incógnitas. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Interpretación geométrica. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con varias incógnitas. Método de Gauss. Resolución de sistemas de ecuaciones no lineales. Resolución gráfica de sistemas de inecuaciones lineales y no lineales. Gusto por la presentación clara y ordenada de los procedimientos seguidos en la resolución de ecuaciones, inecuaciones y sistemas de cualquier tipo. Valoración de la relación entre las raíces del polinomio p(x) y las soluciones de la ecuación p(x) = 0. Valoración de la utilidad de la representación gráfica para la resolución de sistemas de inecuaciones. Interés por la discusión de sistemas y por la interpretación geométrica de sus soluciones. TRANSVERSALES Educación moral y cívica El trabajo algebraico precisa del rigor y de la capacidad de abstracción. El desarrollo de estas capacidades facilita el enfoque adecuado de los problemas éticos. El orden y la constancia en la resolución de los problemas algebraicos contribuye al desarrollo de estas facetas de modo general. Matemáticas I 6

7 1. Hallar las raíces de un polinomio. Aplicar el teorema del resto y la regla de Ruffini. 2. Operar y simplificar fracciones algebraicas. 3. Resolver ecuaciones polinómicas, racionales e irracionales, discutiendo las soluciones de las mismas. 4. Resolver inecuaciones de una y dos incógnitas. 5. Resolver sistemas lineales de ecuaciones. Aplicar el método de Gauss. Discutir las soluciones del sistema. 6. Resolver sistemas de ecuaciones no lineales. 7. Resolver gráficamente sistemas de inecuaciones lineales y no lineales. UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA (I) 1. Comprender y utilizar correctamente el concepto de razón trigonométrica. 2. Aplicar las razones trigonométricas en problemas relacionados con la resolución de triángulos rectángulos. 3. Aplicar el concepto de razón trigonométrica en situaciones diversas. Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. Relaciones entre las razones trigonométricas de un mismo ángulo. Cálculo de las razones trigonométricas de los ángulos agudos en un triángulo rectángulo. Representación de las razones trigonométricas de cualquier ángulo sobre la circunferencia goniométrica. Relación de las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera con las de un ángulo del primer cuadrante. Cálculo de un ángulo a partir de una de sus razones trigonométricas. Resolución de triángulos rectángulos. Disposición a la revisión y mejora de los procedimientos adquiridos en estadios anteriores del proceso de aprendizaje. Interés por la aplicación de los contenidos del área en contextos no exclusivos de la materia y atención al contexto histórico, científico, tecnológico o cultural en que se manifiestan los principales bloques de contenidos de la materia. Observación de las normas de precisión y sistemáticas que regulan los procedimientos matemáticos, especialmente, los que hacen referencia al cálculo aritmético en sus diferentes formas. TRANSVERSALES Educación moral y cívica Los conceptos de trigonometría facilitan el desarrollo del razonamiento ordenado y de la abstracción. Los problemas éticos habituales precisan de dichas capacidades. 1. Transcribir una situación problemática a una esquematización geométrica y aplicar las diferentes técnicas de medida de ángulos y longitudes. 2. Aplicar las definiciones de las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Matemáticas I 7

8 3. Calcular todas las razones trigonométricas de un ángulo en función de una cualquiera de ellas, interpretando adecuadamente su signo en función del cuadrante en el que se encuentra el ángulo. 4. Calcular las razones trigonométricas de un ángulo de cualquier cuadrante en función de las de un ángulo del primer cuadrante. 5. Resolver triángulos rectángulos valorando e interpretando las soluciones, cuando sea posible, en su contexto real. UNIDAD 4: TRIGONOMETRÍA (II) 1. Comprender y saber deducir los principales teoremas de adición de ángulos en trigonometría. 2. Deducir las razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad a partir de los teoremas anteriores. 3. Deducir los teoremas del seno y del coseno utilizando la descomposición de un triángulo cualquiera en triángulos rectángulos. 4. Aplicar los conceptos inherentes a los teoremas del seno y del coseno en situaciones diversas, especialmente en problemas relacionados con la resolución de triángulos no rectángulos. 5. Globalizar los contenidos trigonométricos adquiridos en las dos unidades de trigonometría aplicándolos a problemas relacionados con el entorno. Teoremas de adición. Razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad. Teoremas del seno y del coseno. Representación geométrica de situaciones reales y utilización de las razones trigonométricas para la medida indirecta de longitudes y ángulos. Resolución de triángulos. Aplicación de las fórmulas trigonométricas estudiadas durante la unidad para resolver problemas de diversa índole. Valoración de la utilidad de la trigonometría para resolver diferentes situaciones y flexibilidad para enfrentarse a situaciones geométricas desde puntos de vista distintos. Interés por la aplicación de los contenidos del área en contextos no exclusivos de la materia. Observación de las normas de precisión y sistemáticas que regulan los procedimientos matemáticos, especialmente, los que hacen referencia al cálculo aritmético en sus diferentes formas y a la obtención de medidas por métodos indirectos. Valoración de la complementariedad de las distintas partes de las matemáticas. TRANSVERSALES Educación moral y cívica De la misma manera que en la primera unidad de trigonometría, se puede fomentar en esta el razonamiento ordenado que facilita el desarrollo de las capacidades de reflexión y de abstracción necesarias para enfocar los diversos problemas. 1. Aplicar, cuando la situación lo requiera, los teoremas de adición y las fórmulas trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad para la resolución de situaciones geométricas. 2. Resolver triángulos cualesquiera, aplicando los teoremas del seno y del coseno y apoyándose en su construcción gráfica. 3. Esquematizar situaciones físicas y geométricas de la vida cotidiana mediante la utilización de triángulos cualesquiera y resolverlas, valorando e interpretando las soluciones. UNIDAD 5: NÚMEROS COMPLEJOS Matemáticas I 8

9 1. Comprender la necesidad de ampliar el conjunto de los números reales. 2. Definir la unidad imaginaria. 3. Conocer los números complejos conjugado, opuesto e inverso a uno dado. 4. Conocer las formas binómica, polar y trigonométrica de los números complejos. 5. Operar con números complejos eligiendo la expresión más adecuada para cada operación. 6. Conocer la fórmula de De Moivre. 7. Comprobar la multiplicidad de las raíces n-ésimas de un número. 8. Interpretar geométricamente las operaciones con números complejos. Número complejo: formas binómica, polar y trigonométrica. Operaciones con números complejos. Transformación de números dados en forma binómica a polar y trigonométrica, y viceversa. Operaciones con números complejos, expresándolos previamente de la forma más adecuada: adición, producto, cociente, potenciación y radicación. Aplicación de la fórmula de De Moivre. Interpretación de las operaciones con números complejos como transformaciones geométricas en el plano. Valoración de la utilidad de los números complejos, tanto para la resolución de ecuaciones como por sus aplicaciones geométricas. Interés por el desarrollo histórico del concepto de número complejo. TRANSVERSALES Educación ambiental Conviene establecer una distinción entre los modelos matemáticos abstractos que permiten cuantificar aspectos de la naturaleza y de la técnica, así como de la propia realidad. Es interesante mostrar el aspecto instrumental de las matemáticas mediante ejemplos concretos relacionados con su aplicación a las ciencias del medio ambiente. 1. Representar geométricamente un número complejo, su conjugado y su opuesto. 2. Expresar un número complejo de todas las formas posibles. 3. Operar con números complejos. 4. Aplicar la fórmula de De Moivre. 5. Utilizar los números complejos para resolver problemas geométricos. UNIDAD 6: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO 1. Comprender y diferenciar los conceptos de vector fijo y vector libre. 2. Relacionar vectores proporcionales con vectores paralelos. 3. Entender el concepto de recta y comprender cuáles son los elementos mínimos necesarios que la determinan. Comprender el concepto de vector director de una recta. 4. Determinar y relacionar las diferentes ecuaciones de la recta. Matemáticas I 9

10 5. Definir correctamente la pendiente de una recta y saber hallarla a partir de un vector director de la recta. 6. Entender y saber determinar posiciones relativas entre rectas. 7. Conocer la definición de producto escalar de dos vectores y su expresión analítica. 8. Determinar el ángulo que forman dos vectores o dos rectas. 9. Definir distancia entre elementos del plano y saber hallarla. Vectores fijos en el plano. Vectores libres en el plano. Dependencia e independencia lineal. Vectores paralelos. Ecuaciones de la recta en el plano. Elementos analíticos y geométricos de la recta. Posición relativa de dos rectas. Producto escalar y sus aplicaciones métricas. Ángulo entre dos rectas: rectas perpendiculares. Distancias entre elementos del plano. Representación geométrica de puntos y rectas en el plano. Operaciones con vectores. Determinación de la ecuación de una recta en sus diferentes formas. Determinación de la posición relativa entre rectas. Determinación de rectas perpendiculares a otra dada. Aplicación del producto escalar al cálculo de ángulos. Cálculo de distancias entre elementos del plano. Determinación de puntos notables y elementos característicos de un triángulo. Determinación de simetrías en el plano. Gusto por la descripción numérica de elementos de naturaleza intuitiva. Curiosidad ante la expresión de formas geométricas mediante descripciones algebraicas. Confianza en la propia capacidad para percibir el plano y resolver problemas geométricos. Perseverancia en la búsqueda de soluciones a problemas geométricos. Curiosidad e interés por conocer la historia de la geometría. TRANSVERSALES Educación moral y cívica El estudio de la geometría facilita el desarrollo del razonamiento ordenado y de la abstracción. Estas capacidades resultan necesarias para solucionar de manera adecuada los diversos problemas éticos que se plantean cotidianamente. 1. Saber operar con vectores. 2. Determinar el paralelismo entre vectores del plano. 3. Determinar las ecuaciones de una recta a partir de unas condiciones suficientes. 4. A partir de una de las ecuaciones de la recta, determinar: puntos, si un punto dado pertenece a ella, pendiente, vectores directores, puntos de corte con los ejes, posición relativa respecto de otra recta, ángulo que forma con otra recta dada y distancia a un punto o a otra recta paralela. 5. Determinar elementos característicos y puntos notables de un triángulo. 6. Representar gráficamente problemas geométricos. UNIDAD 7: LUGARES GEOMÉTRICOS Y CÓNICAS Matemáticas I 10

11 1. Definir y comprender el concepto de lugar geométrico. 2. Definir las cónicas como lugares geométricos. 3. Conocer y comprender el concepto de excentricidad. 4. Comprender el concepto de eje radical de dos circunferencias y de centro radical de tres circunferencias. 5. Expresar las ecuaciones de las cónicas y conocer el significado de sus coeficientes. 6. Conocer las características de la hipérbola equilátera. 7. Determinar las posiciones relativas entre una cónica y una recta, y entre diversas cónicas. Lugar geométrico. Las cónicas como lugares geométricos: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola. Eje y centro radical de circunferencias. Excentricidad. Determinación de las ecuaciones de lugares geométricos sencillos. Cálculo de las ecuaciones de las cónicas. Utilización de la excentricidad, la distancia focal, el parámetro y los ejes para determinar las ecuaciones de las cónicas correspondientes. Determinación, a partir de sus ecuaciones, de la excentricidad, el parámetro, los ejes, los vértices y los focos de las distintas cónicas. Determinación de las posiciones relativas entre distintas cónicas y entre cónicas y rectas. Cálculo de las ecuaciones de las rectas tangentes a cónicas trazadas por puntos pertenecientes a las mismas y por puntos exteriores. Valoración de la importancia de la excentricidad como elemento clave para caracterizar una cónica. Interés por la relación entre la hipérbola equilátera y los problemas en los que rige una relación de proporcionalidad inversa. Valoración de las cónicas como curvas extraordinariamente importantes en su aplicación a otras ciencias. 1. Determinar la ecuación de lugares geométricos sencillos. 2. Escribir la ecuación de una cónica cualquiera, de la que se conocen las características que la definen. 3. Determinar las características (excentricidad, parámetro, vértices, focos...) de una cónica cualquiera conociendo su ecuación. 4. Determinar la posición relativa de dos cónicas y la de una cónica y una recta. 5. Calcular la ecuación de la recta tangente a una cónica trazada por un punto determinado. UNIDAD 8: FUNCIONES 1. Entender lo que es una variable y el papel que desempeña en una relación entre magnitudes. Matemáticas I 11

12 2. Conectar el estudio de las relaciones funcionales con la realidad. 3. Determinar relaciones funcionales sencillas. 4. Interpretar adecuadamente una expresión funcional de cualquier tipo: tabular, gráfica o analítica. 5. Determinar, gráfica y analíticamente, el dominio de una función, y saber hallar su recorrido de forma gráfica y, en casos sencillos, también analítica. 6. Caracterizar una función: signo, monotonía, acotación, simetrías y periodicidad. 7. Realizar operaciones básicas con funciones y comprender el concepto de dominio de la función resultado de una operación. 8. Comprender la composición de funciones. 9. Determinar cuándo una función tiene inversa respecto de la composición. Definición de función. Imágenes y antiimágenes. Representación gráfica de funciones. Dominio y recorrido de una función. Signo de una función. Monotonía de una función en un intervalo abierto, crecimiento y decrecimiento. Función acotada. Función par. Función impar. Relación con la simetría de una función. Función periódica. Operaciones con funciones. Dominio de la función que se obtiene. Composición de funciones. Dominio de la composición de funciones. Tipos de funciones: inyectivas, suprayectivas y biyectivas. Función inversa respecto de la composición. Cálculo de imágenes y antiimágenes, gráfica y analíticamente, en funciones sencillas. Representación gráfica de tablas que muestren relaciones funcionales entre dos variables. Construcción de una tabla de valores a partir de expresiones funcionales sencillas. Determinación del dominio de funciones polinómicas, racionales e irracionales sencillas, analíticamente. Determinación del dominio de una función representada gráficamente. Determinación del recorrido de una función representada gráficamente. Construcción de gráficas de funciones sencillas, de criterio simple o definidas a trozos. Caracterización de una función a partir de su representación gráfica: signo, crecimiento, acotación, simetría y periodicidad. Estudio y determinación de los intervalos de signo constante de una función polinómica, racional e irracional, en casos sencillos, conocida su expresión analítica. Determinación de la simetría de una función y = f(x). Utilización de gráficas como instrumento para el estudio de situaciones relacionadas con fenómenos reales. Operaciones con funciones y determinación del dominio de la función resultado de la operación a partir de los dominios de las funciones iniciales. Composición de funciones sencillas. Determinación del dominio de la función compuesta, en casos muy sencillos. Determinación y caracterización gráfica de funciones inyectivas. Cálculo de la función inversa de una función inyectiva respecto de la composición. Interpretación de situaciones reales presentadas, tanto en forma de gráficas como a través de funciones polinómicas o racionales sencillas. Curiosidad e interés por la caracterización de relaciones funcionales. Matemáticas I 12

13 Reconocimiento y valoración de las funciones como herramienta imprescindible para el estudio de la realidad y del entorno en que vive inmerso el estudiante: economía, ciencias sociales, ciencias experimentales, tecnología, ciencias relacionadas con la salud, etcétera. Disposición favorable a aceptar estrategias alternativas diferentes de las propias. Espíritu crítico ante el resultado de cualquier ejercicio o problema. TRANSVERSALES Educación moral y cívica Pueden aprovecharse muchas actividades de esta unidad para realizar trabajos en pequeños grupos y fomentar la colaboración y el compañerismo. 1. Expresar gráficamente relaciones funcionales presentadas mediante tablas. 2. Hallar relaciones funcionales sencillas. 3. Determinar dominios de funciones polinómicas, racionales e irracionales sencillas. 4. Leer el recorrido de una función a partir de su representación gráfica. 5. Representar gráficamente funciones sencillas, en particular, funciones polinómicas de primer y segundo grado, y funciones de proporcionalidad inversa. 6. Determinar el signo y la simetría de una función, dada su expresión analítica. 7. Caracterizar una función mediante su representación gráfica. 8. Reconocer las funciones polinómicas y racionales sencillas como funciones frecuentes en fenómenos económicos y sociales, sabiendo interpretar sus gráficas o expresiones algebraicas en las situaciones en que se presenten. 9. Interpretar una situación presentada mediante una relación funcional, ya sea en forma de gráfica, tabla o analíticamente, analizando, en el contexto, el crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos, etcétera. UNIDAD 9: LÍMITE Y CONTINUIDAD 1. Comprender el concepto de sucesión. 2. Distinguir entre las sucesiones que admiten una expresión del término general y las que no. 3. Comprender el concepto de límite de una sucesión. 4. Distinguir entre sucesiones convergentes, divergentes y oscilantes. 5. Comprender el significado de las indeterminaciones. 6. Comprender la importancia y el significado del número e. 7. Ampliar el concepto de límite de una sucesión al límite de funciones en el infinito. 8. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 9. Saber establecer cuándo una función es continua en un punto y clasificar discontinuidades. Sucesión. Término general. Límite de una sucesión. Sucesiones convergentes, divergentes y oscilantes. Número e. Límite de una función en el infinito. Asíntotas horizontales de una función. Límite de una función en un punto. Asíntotas verticales de una función. Función continua en un punto. Tipos de discontinuidades. Matemáticas I 13

14 Cálculo de términos de una sucesión conociendo su término general. Cálculo del término general de una sucesión conociendo algunos de sus términos. Cálculo del límite de sucesiones polinómicas, racionales, irracionales y de potencias de sucesiones. Resolución de las indeterminaciones, /, 0 en el cálculo de límites de sucesiones. Resolución de límites de sucesiones en los que aparece la indeterminación 1 utilizando el número e. Aplicación del cálculo de límites de sucesiones al cálculo de límites de funciones en + y. Cálculo de límites laterales de una función en un punto, gráfica y analíticamente. Cálculo de límites de funciones en un punto. Resolución de indeterminaciones en el cálculo de límites de funciones:, /, 0, 0/0 y 1 Determinación del dominio de continuidad de una función. Clasificación de discontinuidades. Valoración de las sucesiones como un caso particular de las funciones reales de variable real. Valoración de la utilidad de los procedimientos del cálculo de límites para la resolución de indeterminaciones. Curiosidad e interés por la aparición del número e. Interés y respeto por los procedimientos y soluciones distintos de los propios. Mostrar espíritu crítico con los resultados obtenidos. TRANSVERSALES Educación para la paz Se puede aprovechar el estudio y trabajo con límites para fomentar la capacidad autocrítica necesaria para el desarrollo del espíritu de tolerancia hacia las opiniones de los demás. 1. Expresar el término general de una sucesión conociendo algunos de sus términos. 2. Resolver límites de sucesiones polinómicas, racionales, irracionales y de potencias de sucesiones. 3. Reconocer y resolver las indeterminaciones estudiadas. 4. Calcular límites de sucesiones en las que aparece la indeterminación 1 5. Saber calcular límites de funciones en el infinito y en un punto, tanto gráfica como analíticamente. 6. Saber reconocer y averiguar asíntotas verticales y horizontales de una función, tanto gráfica como analíticamente. 7. Saber resolver las indeterminaciones, /, 0, 0/0, y 1 en el cálculo de límites de funciones. 8. Ser capaces de hallar las discontinuidades que presenta una función y saber clasificarlas. 9. Ser capaces de trasladar a una gráfica las características más relevantes que se pueden deducir del cálculo de límites. UNIDAD 10: FUNCIONES EXPONENCIAL, LOGARÍTMICA Y TRIGONOMÉTRICAS 1. Definir la función exponencial y la función logarítmica como funciones inversas. 2. Conocer las gráficas y las propiedades de las funciones exponencial y logarítmica. 3. Entender la función exponencial como un modelo matemático para la descripción de fenómenos naturales y sociales. Matemáticas I 14

15 4. Saber manejar funciones exponenciales sencillas de crecimiento y de decrecimiento, conectadas con la realidad. 5. Conocer la definición de logaritmo. 6. Definir las funciones seno, coseno y tangente. 7. Reconocer las gráficas de las funciones seno, coseno y tangente. 8. Construir las funciones arcoseno, arcocoseno y arcotangente. 9. Resolver ecuaciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Potencia de exponente irracional. Definición de función exponencial. Características: dominio, recorrido, monotonía. Inversa de la función exponencial: función logarítmica. Definición de logaritmo de un número. Características de la función logarítmica: dominio, recorrido, monotonía. Definición de las funciones seno, coseno, tangente y cotangente. Características de dichas funciones. Restricción del dominio de las funciones trigonométricas para que admitan inversa. Funciones trigonométricas inversas: arcoseno, arcocoseno y arcotangente. Características. Obtención de potencias de exponente real mediante la calculadora con una determinada precisión. Representación gráfica, mediante tablas de valores, de funciones exponenciales. Identificación y caracterización de una ley de crecimiento exponencial. Resolución de ecuaciones exponenciales sencillas, relacionadas con fenómenos de crecimiento y de decrecimiento exponencial. Representación gráfica de funciones logarítmicas sencillas, a partir de la construcción de una tabla de valores. Resolución de ecuaciones exponenciales relacionadas con leyes de crecimiento exponencial para las que es necesario aplicar el cálculo con logaritmos. Resolución de ecuaciones logarítmicas sencillas, mediante la aplicación de las propiedades de las operaciones con logaritmos, en actividades relacionadas con las ciencias experimentales, sociales o con aspectos de la vida cotidiana. Representación gráfica de funciones trigonométricas sencillas a partir de las funciones seno, coseno y tangente. Reconocimiento de funciones periódicas y obtención de su período. Cálculo del dominio de funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas sencillas. Resolución de ecuaciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Valoración de la importancia de la función exponencial en fenómenos relacionados con la naturaleza y en fenómenos que se derivan de la realidad social. Valoración de la importancia histórica del cálculo logarítmico e interés por su génesis. Curiosidad por hechos relevantes de la historia de las matemáticas. Interés y respeto por los procedimientos y soluciones distintos de los propios. TRANSVERSALES Educación para la paz El trabajo con los problemas matemáticos puede ser un buen pretexto para fomentar el interés y respeto por los procedimientos de resolución distintos de los propios. 1. Representar correctamente mediante tablas de valores, funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas sencillas. 2. Aplicar correctamente la definición de logaritmo. Matemáticas I 15

16 3. Usar de manera precisa la calculadora. 4. Calcular dominios de funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. 5. Reconocer las funciones exponenciales y logarítmicas como funciones frecuentes en los fenómenos naturales, económicos y sociales. 6. Resolver ecuaciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, relacionadas con problemas de índole práctica. UNIDAD 11: DERIVADAS 1. Comprender los conceptos de tasa de variación media e instantánea. 2. Comprender el concepto de derivada de una función en un punto y su interpretación geométrica. 3. Calcular la función derivada de una función en un punto, aplicando la definición. 4. Calcular derivadas de funciones sencillas. 5. Utilizar las propiedades de la derivada de la suma de funciones y del producto por un número real. 6. Utilizar las propiedades de la derivada de un producto y de un cociente de funciones. 7. Intuir la relación entre continuidad y derivabilidad. 8. Calcular la ecuación de la recta tangente a una función en un punto. 9. Determinar los intervalos de monotonía de una función. 10. Representar funciones polinómicas y racionales sencillas. Tasa de variación media e instantánea. Pendiente de la recta tangente a una función en un punto. Derivada de una función en un punto. Función derivada. Derivada de las funciones constante y potencial, logarítmica, exponencial y trigonométrica. Derivada de la adición de dos funciones. Derivada del producto de una función por una constante. Derivada del producto de dos funciones. Derivada del cociente de dos funciones. Intervalos de monotonía. Cálculo de la tasa de variación media de una función. Relación entre la tasa de variación media de una función y la pendiente de la recta secante. Relación entre la tasa de variación instantánea de una función en un punto y la pendiente de la recta tangente a esa función en ese punto. Cálculo de la derivada de una función en un punto aplicando la definición. Cálculo de la función derivada de las funciones potencial, exponencial, logarítmica y trigonométrica de la suma de funciones y del producto de una función por un número real. Cálculo de la función derivada del producto y del cociente de dos funciones. Cálculo de la ecuación de la recta tangente a una función en un punto. Cálculo de los intervalos de monotonía de una función. Representación gráfica de funciones polinómicas y racionales sencillas. Valoración de la necesidad del concepto de derivada para resolver problemas de la vida cotidiana (velocidad instantánea). TRANSVERSALES Educación ambiental Matemáticas I 16

17 Conviene mostrar el aspecto instrumental de las matemáticas mediante ejemplos concretos relacionados con el estudio de las características del medio ambiente y con las aplicaciones técnicas. 1. Calcular derivadas sencillas en un punto aplicando la definición. 2. Calcular la función derivada de funciones sencillas. 3. Aplicar las propiedades de la derivada de la suma de dos funciones y del producto de una función por un número real. 4. Aplicar las propiedades de la derivada del producto y de la derivada del cociente de dos funciones. 5. Calcular la ecuación de la recta tangente a una función en un punto. 6. Determinar los intervalos de monotonía de una función. 7. Representar gráficamente funciones polinómicas y racionales sencillas. UNIDAD 12: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 1. Conocer los parámetros estadísticos de centralización de una distribución estadística unidimensional: moda, mediana, media y cuantiles. 2. Conocer los parámetros estadísticos de dispersión de una variable estadística unidimensional: varianza y desviación típica. 3. Distinguir la diferencia entre dependencia funcional y relación estadística entre dos variables. 4. Comprender el concepto de variable estadística bidimensional, diagrama de dispersión, correlación y regresión. 5. Entender que el grado de correlación informa sobre la influencia de una variable en otra. 6. Comprender la existencia de dos rectas de regresión. 7. Efectuar predicciones y determinar la fiabilidad de las mismas. Variable estadística unidimensional. Medidas de centralización y de dispersión. Variable estadística bidimensional. Diagrama de dispersión. Dependencia y correlación. Correlación lineal. Coeficiente de Pearson. Rectas de regresión. Cálculo de los parámetros de centralización de una distribución estadística unidimensional, tanto si sus valores vienen dados por números como si están agrupados en intervalos de clase. Cálculo de los parámetros estadísticos de dispersión de una distribución estadística unidimensional, tanto si sus valores vienen dados por números como si están agrupados en intervalos de clase. Dibujo del diagrama de dispersión de una distribución estadística bidimensional. Interpretación, a partir de la nube de puntos, de la posible relación entre dos variables estadísticas y de la intensidad de la misma. Cálculo de la covarianza, el coeficiente de correlación y las rectas de regresión, utilizando la calculadora y por métodos algorítmicos. Valoración de la importancia de la estadística en las ciencias experimentales, las ciencias sociales y la economía. Interés por determinar la relación estadística entre diversas variables. Matemáticas I 17

18 Sentido crítico hacia los estudios estadísticos que aparecen en los diversos medios de comunicación. TRANSVERSALES Educación del consumidor Contribuyen a fomentar esta faceta de la educación: las actividades de cálculo y de estimación de medidas, la valoración crítica de datos que ofrecen los medios de comunicación, las actividades que impliquen el uso adecuado y responsable de recursos materiales, etcétera. 1. Calcular los parámetros de centralización y de dispersión de una distribución estadística unidimensional, sea cual sea la forma en la que estén presentados. 2. Realizar el estudio exhaustivo de una variable estadística bidimensional: Determinando los parámetros de centralización y dispersión de las distribuciones marginales, el valor de la covarianza y del coeficiente de correlación lineal, interpretando sus signos. Calculando las rectas de regresión y representándolas sobre la nube de puntos, y comprobando la corrección del ajuste. Haciendo predicciones mediante la utilización de la recta adecuada en función de la variable conocida. Determinando la fiabilidad de la predicción. UNIDAD 13: COMBINATORIA 1. Adquirir técnicas de recuento mediante diversas estrategias. 2. Valorar el análisis combinatorio como método para contar de forma ordenada. 3. Distinguir qué estrategia debe aplicarse en función del tipo de recuento. 4. Traducir correctamente una situación de recuento al lenguaje algebraico, realizando el correspondiente proceso de abstracción. 5. Proporcionar la base necesaria para estudiar la teoría de la probabilidad. 6. Conocer y aplicar las propiedades de los números combinatorios. 7. Desarrollar una potencia de un binomio. Muestra. Distinción entre muestra ordenada y muestra no ordenada. Principio multiplicativo. Variaciones con repetición. Variaciones sin repetición. Números factoriales. Permutaciones. Permutaciones con repetición. Combinaciones. Números combinatorios. Propiedades. Potencia de un binomio. Fórmula del binomio de Newton. Construcción de esquemas de diagrama en árbol a partir de un enunciado para realizar recuentos de opciones. Aplicación del principio multiplicativo en aquellas situaciones que lo permitan. Determinación del tipo de muestra que se deriva de un determinado ejercicio de recuento. Resolución de ejercicios y problemas mediante el cálculo combinatorio, aplicando las fórmulas que dan el número de variaciones y permutaciones con o sin repetición y el número de combinaciones. Matemáticas I 18

19 Cálculo de números factoriales y combinatorios con calculadora. Resolución de ejercicios y ecuaciones con números factoriales y combinatorios. Desarrollo de la fórmula del binomio de Newton y cálculo de cualquier término de la potencia de un binomio. Curiosidad e interés por la planificación en la realización de un recuento. Disposición para investigar procedimientos combinatorios y observar relaciones entre los diferentes tipos de agrupaciones de los elementos de un conjunto. Reconocimiento y valoración de la combinatoria como herramienta imprescindible en el cálculo de posibilidades. Disposición favorable a aceptar estrategias alternativas diferentes de las propias. Espíritu crítico ante el resultado de cualquier ejercicio o problema. TRANSVERSALES Educación moral y cívica El estudio de la combinatoria y su aplicación a actividades prácticas fomentan el desarrollo de capacidades como la abstracción, la reflexión crítica, el razonamiento ordenado y riguroso, etc., que favorecen el desarrollo del criterio personal en el ejercicio de las opciones éticas y de los derechos y deberes como ciudadano. 1. Distinguir en qué situaciones de recuento se puede aplicar el principio de multiplicación. 2. Distinguir cuándo se deben calcular variaciones o permutaciones, con o sin repetición, y combinaciones, en función del enunciado y del tipo de muestra. 3. Plantear un problema elaborando una estrategia adecuada y resolviendo correctamente el cálculo necesario, mediante el uso de factoriales o de números combinatorios. 4. Utilizar correctamente la fórmula del binomio de Newton. UNIDAD 14: PROBABILIDAD 1. Expresar los resultados de fenómenos y experimentos aleatorios. 2. Distinguir los tipos de sucesos: elemental, compuesto, seguro, nulo, contrario, sucesos compatibles y sucesos incompatibles. 3. Operar con sucesos: unión e intersección. 4. Comprender la probabilidad a posteriori: ley de los grandes números. 5. Utilizar técnicas de recuento para asignar probabilidades y aplicar la ley de Laplace. 6. Calcular probabilidades de sucesos compuestos. 7. Diferenciar sucesos dependientes e independientes. 8. Calcular probabilidades condicionadas, ayudándose, si es preciso, de diagramas en árbol. 9. Comprender la idea de probabilidad total. Experimento aleatorio. Suceso. Espacio de sucesos de un experimento aleatorio. Frecuencia relativa: ley de los grandes números. Probabilidad. Propiedades de la probabilidad. Regla de Laplace. Probabilidad condicionada por un suceso. Probabilidad compuesta. Independencia de sucesos. Representación del espacio de sucesos asociado a un experimento aleatorio. Matemáticas I 19