Transformaciones Inyectivas y Sobreyectivas

Transcripción

1 Profesores Hernán Giraldo y Omar Saldarriaga Instituto de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia 2014

2 Definición (Transformación lineal inyectiva) Si una transformación lineal es una función inyectiva, decimos que es una transformación lineal inyectiva.

3 Definición (Núcleo de una transformación) Sean V y W espacios vectoriales y sea T : V W una transformación lineal, definimos el núcleo o kernel de T como el conjunto Ker(T ) = {x V T (x) = 0}. Lema Sea T : R n R m una transformación lineal y A = E T E la matriz de la transformación, entonces Ker(T ) = Nul(A).

4 Definición (Núcleo de una transformación) Sean V y W espacios vectoriales y sea T : V W una transformación lineal, definimos el núcleo o kernel de T como el conjunto Ker(T ) = {x V T (x) = 0}. Lema Sea T : R n R m una transformación lineal y A = E T E la matriz de la transformación, entonces Ker(T ) = Nul(A).

5 Ejemplo Calculemos el kernel de[ la transformación ] lineal S cuya matriz de transformación es A = Teorema Sea T : V W una transformación lineal, entonces T es inyectiva si y sólo si Ker(T ) = {0}.

6 Ejemplo Calculemos el kernel de[ la transformación ] lineal S cuya matriz de transformación es A = Teorema Sea T : V W una transformación lineal, entonces T es inyectiva si y sólo si Ker(T ) = {0}.

7 Teorema Sea T : R n R m una transformación lineal y A = E T E la matriz de la transformación. Entonces T es inyectiva si y solo si rango(a) = n = número de columnas de A. Ejemplo Usar el ejemplo anterior para determinar si la transformación lineal x [ ] T : R 3 R 2 definida por T y x + 2y = es inyectiva. y 3z z

8 Teorema Sea T : R n R m una transformación lineal y A = E T E la matriz de la transformación. Entonces T es inyectiva si y solo si rango(a) = n = número de columnas de A. Ejemplo Usar el ejemplo anterior para determinar si la transformación lineal x [ ] T : R 3 R 2 definida por T y x + 2y = es inyectiva. y 3z z

9 Definición (Transformación lineal sobreyectiva) Sean V y W espacios vectoriales y T : V W una transformación lineal, 1. Definimos la imagen de T, denotada por Im(T ), como el conjunto Im(T ) = {T (v) v V } = {w W existe v V tal que w = T (v)}. 2. Decimos que T es una trasformación lineal sobreyectiva si Im(T ) = W.

10 Teorema Sean T : R n R m una transformación lineal y A = E T E la matriz de T, entonces Im(T ) = Col(A).

11 Ejemplo 1 0 Sea A = 1 2 y T : R 2 R 3 la transformación lineal definida por 3 0 T (x) = Ax, calcular la imagen de T. Teorema ea T : R n R m una transformación lineal y A la matriz de T, entonces T es sobreyectiva si y solo si rango(a) = m = número de filas de A.

12 Ejemplo 1 0 Sea A = 1 2 y T : R 2 R 3 la transformación lineal definida por 3 0 T (x) = Ax, calcular la imagen de T. Teorema ea T : R n R m una transformación lineal y A la matriz de T, entonces T es sobreyectiva si y solo si rango(a) = m = número de filas de A.

13 Ejemplo Sea T la transformación del ejemplo anterior, determine si T es una transformación lineal sobreyectiva.