R-IV. Números Aleatorios. Método de Monte- Carlo. Números Aleatorios. Números Aleatorios 8 -

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1 R-IV Método de Monte- Carlo Elemento Central en la Simulación digital. Definición formal controvertida. Elemento esencial en muchas áreas del conocimiento Ingeniería, Economía, Física, Estadística, etc. Definición intuitiva: Una sucesión de números aleatorios puros, se caracteriza por que no existe ninguna regla o plan que nos permita conocer sus valores. Los números aleatorios obtenidos a través de algoritmos recursivos se llaman pseudo-aleatorios. Simulación/2005 Héctor Allende 1 Simulación/2005 Héctor Allende 2 Disponer de un buen generador de números aleatorios es clave en: Computación Aleatorizada Computación Evolutiva Algoritmos Aleatorizados Verificación de Algoritmos Validación de Algoritmos Criptografía etc. " #$% &'( ( )' +(('&' (,) ( ( -./0 Simulación/2005 Héctor Allende 3 Simulación/2005 Héctor Allende 4, & ( 0 ( &, 1 + (,& &, & &' / 6)# +4 7 &(1 ) 8 - +(( 4& (1 + 51'9:;$::%$<9;<>9 2($%<?(9 / 9;?$9 9;?$; ( ( ' # ( ) Simulación/2005 Héctor Allende 5 Simulación/2005 Héctor Allende 6

2 + A2 ( ) " B<'$C +2 0&, D 2 ( 2 2( 0 Simulación/2005 Héctor Allende 7 5 2" ) ( ' 4&&' (/ 2" " & & &( +2' 4 1 & / & 4 Simulación/2005 Héctor Allende A ( 42 & 4 & ( 1 ( 4 0( 4 () 2 3' 5 & ( ' ' ( 2 & ( Simulación/2005 Héctor Allende 9 Simulación/2005 Héctor Allende 10 +A8 La gran disponibilidad de generadores de números aleatorios en muchos entornos y compiladores puede llevarnos a pensar que para un usuario de la simulación no sería necesario estudiar estas cuestiones. Una lección del pasado reciente nos obliga a sacar lecciones y actuar con mucho cuidado con dichos generadores (RANDU - IBM). El Uso progresivo de modelos de simulación cada vez más detallados exige una mayor calidad de los generadores de números aleatorios. ( +A8?< EF. & ( + +& Simulación/2005 Héctor Allende 11 Simulación/2005 Héctor Allende 12

3 +A8 +A8 ( ( ' $<<<) &)'9-A Simulación/2005 Héctor Allende 13 Simulación/2005 Héctor Allende 14 &;-A # +A8 # +A8 &;-A # ( ) $G Simulación/2005 Héctor Allende 15 Simulación/2005 Héctor Allende 16 DEF 1: Kolmogorov (1987) [Complejidad Algorítmica] Una sucesión de números es aleatoria sino puede producirse eficientemente de una manera más corta que la propia serie. DEF 2: L Ecuyer (1990) [Impredicibilidad] Una sucesión de números es aleatoria si nadie que utilice recursos computacionales razonables puede distinguir entre la serie y una sucesión de números verdaderamente aleatoria de una forma mejor que tirando una moneda legal para decidir cuál es cuál. Esta definición conduce a los denominados generadores PT-perfectos usados en Criptografía. Simulación/2005 Héctor Allende 17 DEF 3: Un Número aleatorio es una realización de una variable aleatoria que tiene asociada una ley de probabilidades F, en un espacio o modelo de Probabilidades ΩR. Obs: Una particular Ley de Probabilidad base para la generación de números pseudo-aleatorios es: u 1, u 2,..., u n : es la uniforme (0 ; 1) u i ~ U(0,1). DEF 4: Una sucesión de números aleatorios {u 1, u 2,..., u n } es una sucesión de números U(0;1), si tiene las mismas propiedades estadísticas relevantes que dicha sucesión de números aleatorios. Simulación/2005 Héctor Allende 18

4 DEF 5: Una sucesión de números aleatorios {u i } es aleatorio si h-úplas de números sucesivos no superpuestos se distribuyen aproximadamente. como una [0,1] h, con h1,2,..,n, para n suficientemente grande. Obs: h2 tenemos (u i,u i+1 ), i1,2,..n, se distribuye como una ley uniforme en [0,1] 2. Existe una gran de métodos para generar {u i } U(0,1) : -Uniformente distribuidas - Independientes - E[U] ½ ; V[U] 1/12 - Período largo A las propiedades estadísticas anteriores se deben agregar otras relativas a la eficiencia computacional: Velocidad de respuesta Consumo de memoria Portabilidad Parsimonia Reproducibilidad Mutabilidad Período Simulación/2005 Héctor Allende 19 Simulación/2005 Héctor Allende 20 Métodos de Generación de 1.- Método de los cuadrados medios 2.- Métodos Congruenciales 3.- Método de registros desfasados [Semilla - Algoritmo - Validación] P 1 : Obtener semilla (valores iniciales) P 2 : Aplicación de Algoritmos recursivos P 3 : Validación del conjunto de datos generados (Test de Aleatoriedad) Métodos de los cuadrados Medios Consiste en que cada número de una sucesión es producido tomando los dígitos medios de un número obtenido mediante la elevación al cuadrado. P 1 : Obtener semilla (valores iniciales 445) P 2 : Aplicación de Algoritmos recursivos (elevar al cuadrado) P 3 : Validación del conjunto de datos generados Simulación/2005 Héctor Allende 21 Simulación/2005 Héctor Allende 22 Métodos de los Cuadrados Medios Ejemplo: Consideremos la semilla 445 n+1 (a n + b) mod m ; X X 2 N Aleatorio , , , Los parámetros del algoritmo se llaman - a multiplicador - b sesgo - m módulo - o semilla (valor inicial) Simulación/2005 Héctor Allende 23 Simulación/2005 Héctor Allende 24

5 Obs: 1.- Cuando b0 el generador se denomina Generador congruencial multiplicativo. 2.- Cuando b 0 el generador se denomina Generador congruencial mixto. 3.- A pesar de la simplicidad una adecuada elección de los parámetros de a, b y m, permite obtener de manera eficiente una larga e impredecible sucesión de números como para considerarse aleatoria. Caso Parámetros a b m xo Caso Salidas Simulación/2005 Héctor Allende 25 Simulación/2005 Héctor Allende 26 Algunas observaciones de las salidas de los generadores congruenciales: i) Un generador congruencial tiene ciclos ii) La longitud del ciclo depende de la selección de los parámetros (ver caso 1) y 3) ) iii) Dentro de selecciones de parámetros que conducen a la misma longitud, algunas salidas parecen más aleatorias que otras. iv) La representación de pares ( i, i+1 ) sugiere que estos se disponen en un número finito de hiperplanos. Los resultados teóricos que veremos a continuación facilitan la elección de los parámetros de a y b su demostración puede verse en el texto clásico D. Knuth (1981): The Art of Computer Programming. Ed. A. Wesley Vol N 2 Simulación/2005 Héctor Allende 27 Simulación/2005 Héctor Allende 28 Proposición 2.1 Un generador congruencial tiene su período máximo si y sólo si: i) m.c.d (b, m) 1 (primos relativos) ii) a 1 mod p ; para cada factor primo p de m. iii) a 1 mod 4 ; si 4 divide a m. Puesto que b esta asociado en la práctica con el efecto de traslación, inicialmente asumiremos ( b0), es decir partiremos estudiando los generador congruencial multiplicativos. Simulación/2005 Héctor Allende 29 Dem: Donald Knuth Vol 2 (1981) Obs: 1) Lo anterior sugiere elegir m lo más grande posible, para asegurarnos un período largo (posibles elecciones de m son; m2 31-1, m ) 2) Sea p el período de la secuencia de números aleatorios, si pm el generador se llama de período completo. 3) Si m es un número primo entonces el máximo período se obtiene ssi a 1 Simulación/2005 Héctor Allende 30

6 Proposición 2.2 Sea un generador multiplicativo (b0) [X n+1 a X n mod m] tiene período p(m-1), sólo si p es primo. El periodo divide a (m-1) y es (m-1) si y sólo si a es una raíz primitiva de m-1, es decir a (m-1)/p 1 mod m, para todos los factores primos p de (m-1). Proposición 2.3 Si a es un raíz primitiva de m, a k mod m, lo es siempre que k y m-1 sean primos relativos. Equivalentemente Si a es una raíz primitiva de m, a k mod m lo es siempre que ; mcd(k,m-1)1 Simulación/2005 Héctor Allende 31 Dem: B. Ripley (1987) Stochastic Simulation Ed. John Wiley. pp 47 Obs: 1) En general los generadores congruenciales son de la forma n+1 g ( n, n-1,..., n-k,...) mod m g (x) a n g (x) a n + b g (x) a n2 + b n + c Usando g (x) (a 1 n-1 + a 2 n a r n-r ), se obtiene un generador de Fibonacci retardado. La teoría de estos generadores se puede ver en Marsaglia (1985)] Simulación/2005 Héctor Allende 32 2) Una buena elección de m, permite obtener un generador eficiente (ciclo máximo). Pero aún se debe estudiar con más detalle la elección de a y b, pues se tienen muchos grados de libertad. 3) Un buen generador congruencial debe ser: i) De máximo período ii) Su salida debe parecer aleatoria iii) Poder implementar de forma eficiente en aritmética de 32 bits. Un algoritmo de muy fácil implementación del tipo congruencial es m a 7 5 (raíz primitiva de m) X n 7 5 X n-1 mod (2 31-1) u n Dicho generador se encuentra en las bibliotecas IMSL y NAG Simulación/2005 Héctor Allende 33 Simulación/2005 Héctor Allende 34 La rutina RANDU, que IBM proporcionaba para sus equipos consideraba un modelo congruencial multiplicativo con m 2 31 ; a ; b 0 X n X n-1 mod (2 31 ) u n Este generador proporciona tripletas consecutivas de números que caen en 15 planos Lo que sugiere cierta previsiblidad en su salida (Mal Generador) Simulación/2005 Héctor Allende 35 Barsaglia (1968) demostró que sucesiones consecutivas no superpuestas de n números aleatorios obtenidos de generadores multiplicativos caen en, a lo sumo [n m] 1/n hiperplanos paralelos. Algunas cotas de casos representativos n3 n5 n7 n9 n10 m m Es decir, en un computador con palabras de 32 bits, menos de 41 hiperplanos contendrán las 10-úplas Simulación/2005 Héctor Allende 36

7 En teoría puede conseguirse que un buen generador con m 2 32 produzca puntos independientes en un cubo de dimensión 3, siendo el mínimo número de hiperplanos que contiene estos puntos 10 8, en contraste con los Para la famosa rutina RANDU de IBM, X n X n mod (2 31 ) las tripletas consecutivas de números caen en 15 planos. Simulación/2005 Héctor Allende 37 Generadores de Registros Desfasados Se basa en Generadores lineales recursivos múltiples El estudio de este generador se asocia al Polinomio característico. sobre un álgebra finita F m, con m elementos. [Niederreiter 1992] Simulación/2005 Héctor Allende 38 Generadores de Registros Desfasados Generadores de Registros Desfasados [Niederreiter 1992] Cuando el polinomio es primitivo el período es (m k -1). Debido a la complejidad del análisis para m grande, habitualmente se elige un m pequeño, generalmente 2 obteniendo generadores de bits de la forma donde a k 1 ^ a i {0, 1} Simulación/2005 Héctor Allende 39 La adición módulo 2 es equivalente al XOR (ó exclusivo) 0 XOR XOR XOR XOR 0 1 Esto nos permite implementar registros de desplazamiento Un generador propuesto Tausworthe (1985) ( + ) < Simulación/2005 Héctor Allende 40 Generadores de Registros Desfasados Conversión del Generador Binario En este caso los primeros q bits deben ser especificados, esto es análogo a la semilla de los generadores congruenciales. Este tipo de generador depende del largo de la palabra Ejemplo: h 3 ; q 5 ; b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 1 b 6 (b 3 + b 1 ) mod 2 2 mod 2 0 b 7 (b 4 + b 2 ) mod 2 2 mod 2 0 b 8 (b 5 + b 3 ) mod 2 2 mod 2 0 b 9 (b 6 + b 4 ) mod 2 1 mod 2 1 b 10 (b 7 + b 5 ) mod 2 1 mod b 42 (b 39 + b 37 ) mod 2 2 mod 2 0 Simulación/2005 Héctor Allende 41 Transformar la sucesión {b i } en un número aleatorio (0,1) Consideremos {b i } b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 b 8 b 9 b 10 b 11 b b 41 b Simulación/2005 Héctor Allende 42

8 { } Conversión del Generador Binario Generadores no Lineales Consideremos 4 y 1 b b b b u 1 y 2 b b b b u 2 y 3 b b b b u 3... y así sucesivamente { } Simulación/2005 Héctor Allende 43 Dada la estructura reticular de los generadores lineales, algunos autores sugirieron utilizar generadores no lineales. (Ver Niederreiter (1992)) Usar un generador con función de transición lineal, produciendo una transformación no lineal del estado en su salida. Usar un generador con función de transición no lineal. Simulación/2005 Héctor Allende 44 Una forma de incrementar el periodo e intentar evitar regularidades que muestren los generadores lineales es combinar (mezclar) diferentes generadores para obtener generadores híbridos de mejor calidad que los generadores originales. Muchas de las combinaciones propuestas son heurísticas y algunas con resultados bastantes pobres. { } Por ejemplo sean e dos sucesiones aleatorias, una sucesión combinada sería : donde Combinación de Generadores i i i es alguna operación binaria Simulación/2005 Héctor Allende 45 Generadores Paralelos de números aleatorios. Sincronización; reproductibilidad; gasto transición ] Generadores de Fibonacci retardados [ Sincronización; reproductibilidad; gasto transición ] Generadores Comerciales: IMSL Generador congruencial multiplicativo m a 16807; ; Otros Generadores Simulación/2005 Héctor Allende 46 Validación de Generadores Congruenciales Finalmente la fase de validación se basa en ciertas propiedades estadísticas que deben cumplirse a la salida de los generadores de n aleatorios. Los Test empíricos que veremos a continuación son genéricos y pueden usarse en la evaluación de generadores de n aleatorios, en generadores de variables aleatorias y en la modelación de entradas de modelos de simulación. La mayoría de los Test se encuentran disponibles en paquetes estadísticos comerciales. SAS, Statistica, etc. 1) Test Validación de N os Aleatorios χ Este es un test de Bondad de Ajuste. Es poco potente, por lo que permite justificar el rechazo de una hipótesis, pero proporciona escaso apoyo en la aceptación. Dada una muestra 1, 2,..., n de una F x () desconocida. Se desea contrastar. H o : F x () F o () v/s H 1 : F x () F o () Simulación/2005 Héctor Allende 47 Simulación/2005 Héctor Allende 48

9 Validación de N os Aleatorios Validación de N os Aleatorios Efectuando una partición del soporte de X en k subconjuntos 1, 2,..., k : φ ( ) χ asint χ ~ f i : frecuencia absoluta del subconjunto i-ésimo ( i ) e i : número de observaciones esperadas en i bajo H o Obs: 1) Este Test considera aleatoridad de F o U(0,1) 2) Este Test también permite contrastar la uniformidad S-dimensional de 1 (u 1, u 2,..., u s ); 2 (u s+1, u s+2,..., u 2s );... n (u (n-1)s+1,..., u ns ) en F o [0,1] s [Distribución uniforme en el hipercubo] Simulación/2005 Héctor Allende 49 Simulación/2005 Héctor Allende 50 Validación de N os Aleatorios 2) Test de Kolmogorov - Smirnov (Test K-S) Sea F o una función de distribución continua y sea F n la función de distribución empírica de la muestra. Bajo H o : F x (x) F o (x) se espera que F n se aproxime a F o D n Sup F n (x) - F o (x) x R La distribución exacta de D n está tabulada para valores n 40 y distintos niveles de significación α. Para muestras grandes se utiliza la distribución asintótica de D n dada por Simulación/2005 Héctor Allende 51 Test de Kolmogorov - Smirnov Obs: En el caso particular de aleatoridad se considera X (1) < X (2) <... < X (n) estadísticos de orden F o (X (i) ) X (i) ^ F n (X (i) ) / D n Simulación/2005 Héctor Allende 52 ) 8<'$") ( & ( 1' H & ( +1'3 (,# 0& 6 8<'$ I 4 ( Simulación/2005 Héctor Allende 53 Simulación/2005 Héctor Allende 54

10 Validación de N os Aleatorios Otros Test son: Test de Rachas Test Serial Test de Permutaciones Test de Poker Test de Dependencia Test de longitud de rachas etc./../&' ' & 8 / 04& / 4& / AJA5() &2'.' ' Simulación/2005 Héctor Allende 55 Simulación/2005 Héctor Allende 56.#- 5 1& $A3&(& 9 ;E %. G#() &(? 0 :J& >#'.#-# K &&, 2 A5 K ) K & & // K / & 4 / && &. 54& 4&(( /. 4 Simulación/2005 Héctor Allende 57 Simulación/2005 Héctor Allende 58 Idea : Es la aproximación a la solución de un problema por medio del muestreo de un proceso al azar. Esto no ayuda mucho lo que es el pero podemos familiarizarnos por la vía de ejemplos: Caso 1 π { R + } Simulación/2005 Héctor Allende 59 y x Caso 2: Sea g(x) una función y supongamos que deseamos conocer Sea u ~ (0,1) Entonces siendo θ E[g(u)] Problema determinista y sea x u ( ) Simulación/2005 Héctor Allende 60

11 Luego E[g(u)] θ Entonces transformamos la estimación de θ por el cálculo E[g(u)] por la vía de la ley de los grandes números. θ " θ " > ε Simulación/2005 Héctor Allende 61 Es decir podemos resolver un problema determinístico por medio del cálculo del valor esperado de una muestra grande. Algoritmo Valores iniciales, S 1 0 ; S Generar u i ((0,1)) 2.- Calcular g(u i ) S 1 S 1 + g(u i ) 3.- Calcular S 2 S 2 + [g(u i )] Repetir el cálculo k-veces 5.- Calcular θ ; 6.- Calcular el θ θ ± Simulación/2005 Héctor Allende 62 θ Caso 3 : Para θ Sea θ + Entonces donde + Luego podemos estimar mediante el cálculo de E[h(y)] Simulación/2005 Héctor Allende 63 Caso 4 : θ θ puede ser calculado mediante θ donde 1, 2,..., n sucesiones v.a.i.i.d. (0,1) θ Simulación/2005 Héctor Allende 64 Caso 5 : Para θ Sea Entonces + + θ #$%&$ 1.- Construir RGN, tipo congruencial Mixto y un RGN, regristro defasado. Verificar a lo menos 3 test de Aleatoriedad 2.- Derive un método aproximado para resolver este problema de integración, vía Simulación de Monte Carlo y proponga un Algoritmo θ Luego θ siendo Simulación/2005 Héctor Allende 65 Simulación/2005 Héctor Allende 66