Vectores en el espacio 4

Transcripción

1 Vectres en el espaci 4 ACTIVIDADES. Página 86 a) d) b) e) c) f). Página 86 - =- = v v Op ( v) ( ( )) Op ( ) ( ) Op Op u = - u =- - u = u. Página 87 N necesariamente. Si sn independientes ds a ds tienen distintas direccines, per la cmbinación lineal de ds de ells puede dar cm resultad el tercer de md que cnsiderads ls tres a la vez sean dependientes. Pr ejempl: (,, 0), (, 0, 0) y (0,, 0). 4. Página 87 Buscams ds valres l y l tales que w =l u+lv w = ( 0,, 4) =l(, 0, - ) +l(,, -). Reslvems el sistema de ecuacines resultante: 0=l + l ü ü l =- l =l ý =l ýl =-4, l = w =- 4u+ v 4=-l-l l =--l þ þ 7

2 Vectres en el espaci 5. Página 88 a) A = (, -,) ü ý AB =- ( 4,6,5) B =- (,5,6) þ b) A =- (,7,9) ü ý AB = (, -, - ) B =- (,5,8) þ Las crdenadas del vectr AB sn (- 4,6,5). Las crdenadas de AB sn (, -,- ). ( ) AB = = 77. ( ) AB = +- + = 9 = El módul del vectr AB es 77. El módul del vectr AB es. Z B Z B A A X Y X Y 6. Página 88 Escribims la definición de módul del vectr y la cndición dada. ( ) u = + m +- = 5+ m ü ý 5 + m = 9 m = 4 m = 4 = u= (,-,- ), u = (,, -) u = = 9 þ Z Y X 7. Página 89 a) u+ v =- (,,) + ( 0,,) =- (,4,4) b) v- w = ( 0,,) -- (,5, - ) = (, -,5) c) -u- w =-( -,, ) -(-, 5, - ) = ( 4, -7, ) d) u+ v =- ( 6, 4, ) + ( 0, 6, 9) =- ( 6, 0, ) e) v- w = ( 0, 6, 9) -- (, 5, - ) = (,, ) f) 4u- w =- (, 8, 4) -- (, 5, - 6) =- ( 9, -7, 0) 8

3 4 8. Página 89 Calculams ls vectres que necesitams a partir de las crdenadas de ls punts. AB = (-,,-) BC = ( 5, -,-) a) AB- BC = (-,, -)-( 0, -6,- 6) = (-,7,4) AC = (, -,-5) b) AB-AC - CB =- ( 6,, -4)-(, -,-5)-- ( 5,9,9) = ( 7, -5,-8) c) BC - AC = ( 0, -6,-6)-( 6, -6,- 5) = ( 4,0,9) d) -AC -( CB + BA) =-(, -,-5)-(,, 7) = (-,,-) CB = (-5,,) BA = (, -, ) 9. Página a) M = æ -, - +, + ö = æ-,, ö =- (,, ) è ç ø çè ø b) M = æ - +, - +, - ö æ-,, - ö ç = =- (,, -) è ø çè ø 0. Página b= ü ì b= 5 æ b b 0 b ö a),, = (,, -) - + b = 4 b = 6 B( 5, 6, - ç ý í ) è ø 0+ b =- þ îb =- a+ = 6 ü ì a= 5 æa a 0 a ö æ ö b) + + +,,,, a 0 ç = - + = ý ía = A( 5,, -5) è ø çè ø a+ =- þ îa =-5. Página 9 æ ö - 5 =- 57 ¹ 0 Rang 5 - = 0 - èç 0 -ø Ls vectres sn independientes.. Página 9 AB = (-,,-) æ- -ö æ--ö AC = ( 4, -,) Rang Rang = = ç è - ø çè ø Cm el rang n cincide cn el númer de vectres, ls vectres sn linealmente dependientes y ls punts están alineads.. Página 9 a) uv = u v csauv = (, -, )( -4,, - ) = ( ) =- b) uv = u v csauv = (-,,)(,, - ) = 7 0 = 0 9

4 Vectres en el espaci 4. Página 9 u v = u v csaü a) ý u v cs a= u Pry v Pry v Pry v u = u u = u v = u Pry v þ u u v = u v csaü b) ý u v cs a= v Pry u Pry u Pry u v = v v = u v = v Pry u þ v 5. Página 9 a) uv =- (,, -)( 0,, - ) = 4 b) uw =- (,, -)( -,, - 5) = c) -v w = ( 0, -,)( -,,- 5) =-6 d) v w = ( 0,, -)( -,6,- 0) = e) u v =- ( 6,, -)( 0,6, - 6) = 4 - = -,-,4 0,4, - 4 =-4 f) ( u w) v ( )( ) 6. Página 9 uv =- (,, )(, -, m+ ) = m+ ü 5 a) - ý m + = 5 m = = uv = 5 þ uv =- (,, )(, -, m+ ) = m+ ü b) - ý m + = m = = uv = þ v u= (, -, m+ )( -,, ) = m+ ü c) - ý m + = m = = v u= þ uv =- (,, )(, -, m+ ) = m+ ü d) - ý m + = m = =- uv = þ uv =- (,, )(, -, m+ ) = m+ ü 0 e) - ý m + = 0 m = =- uv = 0 þ f) u ^ v si el prduct escalar uv = 0 m =- 7. Página 94 uv (, -,)( -,, 4) æ ö a) csa= arccs = =- a= - = 9,77 u v èç ø uv ( 4, -,)(, -,-) 74 æ 74 ö b) csa= arccs = = a= = 46,977 u v çè 58 ø 8. Página 94 uv = ( 0, -,)( m, - m+,6) = m+ 6ü a) ý m + 6 = 0 m =- uv = 0 þ uv (,,)(,, ) b) =- m - m + = m + ü ým 0 m uv = 0 + = =- þ 0

5 4 9. Página 95 uv ( 4, -, )( -, 0,) Pry v = u = ( 4, -, ) =- ( 4, -, u ) u 0. Página 95 a) Escribims la cndición de perpendicularidad para un vectr genéric ( v, v, v ). u^( v, v, v ) u v = 0 ( 0,, -) ( v, v, v ) = v - v = 0 Reslvems la ecuación despejand una incógnita en función de la tra. v - v = 0 v = v v =l, v = l, v =m ( v, v, v ) =m (, ll=, ) ( 0, ll+m, ) (,0,0) =l ( 0,,) +m (,0,0) Pr ejempl: (,0,0 ) y ( 0,,) sn vectres perpendiculares a u = ( 0,, -).. Página 96 0 u v = u v sena= 5 sen 0= 0 =. Página 96 Si ds vectres sn perpendiculares frman un ángul de 90 u v = u v sen90 = u v = u v. El prduct vectrial de ds vectres perpendiculares es igual al prduct de ls móduls de ls vectres.. Página 96 Sean u (u, u, u ), v (v, v, v ) y w (w, w, w ). a) u v= u u u = ( uv -vu, uv -vu, uv -vu ) v v v - v u=- v v v =-( vu-uv, vu-uv, vu - uv ) = u v u u u b) ( ku) v = ku ku ku = ( kuv -kvu, kuv-kvu, kuv -kvu) v v v k( u v) = k u u u = k( uv-vu, uv-vu, uv - vu) = ( ku) v v v v

6 Vectres en el espaci c) u ( kv) = u u u = ( kuv -kvu, kuv-kvu, kuv -kvu) kv kv kv k( u v) = k u u u = k( uv-vu, uv-vu, uv - vu) = u ( kv) v v v d) u ( v w) = u v v v = u ( vw -wv, vw -wv, vw - wv ) = w w w = ( uvw -uwv - uv w + uw v, uv w -uw v - uvw + uwv, uv w -uw v - uv w + uw v ) ( u v) w= u u u w= ( uv -vu, uv -vu, uv - vu ) w= v v v = ( uvw -v uw - w uv + w vu, wuv -wvu - w uv + w v u, w uv -w v u - wuv + wv u) 4. Página 97 a) u v = ( 0,, - ) (-,, - 5) = 0 - =- 4i + j + k = (-4,,) - -5 b) u w = ( 0,, - ) ( 0, -,) = 0 - =- i + 0 j + 0k = (-,0,0) 0 - c) - v w = (, -,5) ( 0, -,) = - 5 = 7i - j - k = ( 7, -, -) 0 - d) v w =- (,, - 5) ( 0, - 4,) =- - 5 =- 4i + j + 4k =- ( 4,,4) 0-4 e) u v = ( 0,4, - 4) (-,9,- 5) = =- 4i + j + k = (-4,, ) f) ( u- w) v = ( 0,4, - ) (-,6,- 0) = =- i + 6 j + 8k = (-,6,8) - 6-0

7 4 5. Página a) u v ( 5,, ) æ,,4 ö 5 i 9 j k æ, 9, ö = u v æ, 9, ö ç = - - =- - + =- - =- - è ø çè ø èç ø - 4 Para cmprbar que u v v u v se anulan. ( ) es perpendicular a u y a v tenems que ver que ls prducts escalares u ( u v ) y u - æ, 9, ( 5,, ), 9, ç - = = = 0 è ø èç ø v - æ, 9,,,4, 9, ç - =- - - = = 0 è ø çè øè ç ø b) u v 0,,,, 0,, = = - =- - - = u v = æ -,-,- èç ø çè ø 6 èç 6 ø çè 6 ø - - u u v v u v Cmprbams que ls prducts escalares ( ) y ( ) u - æ,, ö æ 0,, ö æ,, ö 0 æ ö ( ) æ ö æ ö + - ç - - = = = = 0 è 6 ø çè ø çè 6 ø çè ø çè 6ø çè ø 6 æ 8 ö æ öæ 8 ö æ öæ 8ö æ ö æ ö v -,,,,,, ( ) ç - - = = = = 0 è 6 ø çè øè ç 6 ø èç øè ç ø èç 6ø èç ø 6 6. Página 98 a) w = u v = (, 0,) ( 0, -, 0) = 0 = i + 0 j - k = (, 0, -) 0-0 æ b), ö, ( 0,, ) w = u v = ç = - =- i + 4j - k = (-,4,-) çè ø Página 98 a) Obtenems v haciend el prduct vectrial de u cn un vectr n prprcinal a él, pr ejempl ( 0,, 0 ). v = (-,0,0) ( 0,,0) = = 0i + 0j - k = ( 0,0, -) v = 0 0 Calculams w = u v = (-, 0, 0) ( 0, 0, - ) =- 0 0 = 0 i - j + 0k = ( 0, -, 0) w = b= {(-,0,0),( 0,0, -),( 0, -,0) } es base rtgnal y ls vectres que la frman tienen módul ; pr tant, es base rtnrmal..

8 Vectres en el espaci æ ö b) v,0, æ ö ( 0,,0 ) 0 i 0 j k,0, = - = - = + + = v = ç è ø çè ø 0 0 æ ö æ ö Calculams w u v,0,,0, = = - = 0 - = 0i - j + 0k = ( 0, -,0 ) w = ç è ø çè ø 0 ì æ öæ ö ü b= í,0,-,,0,,( 0, -,0 ) ý ç ç es base rtgnal y ls vectres que la frman tienen módul ; pr îè øè ø þ tant, es base rtnrmal. 8. Página 99 Calculams el área: A = u v. u v = ( 4, -,0) - (,, - ) = 4-0 = i + 4j + 6k = (,4,6) A= u v = (,4,6) = 7,48u - - Sabems que el perímetr es ds veces la suma de ls lads. Calculams el perímetr: P= ( u + v ) u = ( 4, -,0) = 5ü ý P = ( u + v ) =,85 u v = (-,, - ) = 6 þ 9. Página 99 AB = (, -,-) ü ý AB AC = - - =- i + 9 j - 6k = ( -,9, - 6) AC =- (, -,-) þ AB AC 4 AB AC = (- ) ( 6) = 6 = 4 Área = = u Cmprbams que el resultad es independiente de ls vectres elegids. Calculams el área del triángul de lads BA =-,, ( ) y BC =- ( 4, -,-). BA BC 4 BA BC =- = i - 9 j + 6k = (, -9,6) BA BC = 6 = 4 Área = = u Calculams el área del triángul de lads CA = (,,) y CB = ( 4,,). CA CB 4 CA CB = =- i + 9 j - 6k = (-,9,-6) CA CB = 6 = 4 Área = = u 4 El área es la misma en ls tres cass psibles. 4

9 4 0. Página 99 AB AC a) Calculams el área: A =. AB =- (, -,) ü ý AB AC =- - = i - j - k = (, -, - ) AC =- (, 0, -) þ b) c) d) AB AC AB AC = +- ( ) +- ( ) = 6 Área= =, u AB = (,0, -) ü ý AB AC = 0 - = 6 i - j + 9k = ( 6, -, 9) AC = (,, -) þ - AB AC ( ) AB AC = = 8 Área= = 5,4 u AB = (,, -) ü ý AB AC = - =- 8i + j - 6k = ( - 8,, - 6) AC = ( 5, -,-6) þ AB AC AB AC = (- 8) + +- ( 6) = 589 Área= =, u AB =- (, -,-) ü ý AB AC =- - - = 0i - j + k = ( 0, -,) AC = (, -,-) þ - - AB AC AB AC = 0 +- ( ) + = 8 Área= =, u. Página 00 a) - 0 é êuvw,, ù= 5-9 = 0 ë úû 4-8 c) 5-9 é êvwu,, ù= ú 4-8 = 0-0 b) 5-9 é êvuw,, ù=- ú 0 = d) 4-8 é êwvu,, ù= ú 5-9 = 0-0. Página é êuvw,, ù= 0 - =-56 ë úû

10 Vectres en el espaci. Página 00 Sean u= ( u, u, u ) y v = ( v, v, v ) u u u éuvu,, vù ê + = v v v = 0 ë úû u + v u + v u + v La tercera fila es cmbinación lineal de las ds primeras. 4. Página 0 El vlumen del paralelepíped es igual al valr abslut del prduct mixt de ls vectres que l definen. - é êuvw,, ù= 0-0 = 48 ë úû -7 - El vlumen es éuvw,, ù êë úû = 48 u. 5. Página 0 AB = ( 0,0,) ü 0 0 AC = ( 0,,0 ) ý é AB, AC, AD ù ê ú= 0 0 =-6 AD = (,0,0) 0 0 þ éab, AC, ADù ê ú 6 V = = = u 6 6 SABER HACER 6. Página 0 æ- -öü v =,0, ç è ø æ ö æ 5 5ö u= ( 0,6, -) ý - v+ u- w =,0, ( 0,6, ) ( 8,, 4 ),8, = - ç ç è ø è ø w = ( 8, -,-4) þ 7. Página 0 Si C( x, y, z) CB = ( -x,6-y,9-z) y CA = ( -x,-y,-- z) ü x = - x =- + xü æ ö CB =-CA( -x,6-y,9- z) =-( -x,-y,--z) 6- y =- 6+ y ý y = ý C,, çè ø 9- z= + z þ z = þ 6

11 4 8. Página 0 Sea Dxy (,, z ). Si ABCD es un paralelgram, sus diagnales se crtan en sus punts medis. M es el punt medi de M es el punt medi de ( ) ( ) 0 AC M æ,, ö æ ö = 0,, ç è ø çè ø BD M æ - + x, + y, + zö æ x-, y, z+ ö ç = è ø çè ø x - ü 0= x = æ ö æ x y z 4 ö - + y 0,,,, y ç = = = ý D(,, -) è ø è ç ø z + 4 = z =- þ 9. Página 0 = -l + l - l ü x =l u+l v +lw (, 0,) =l( -,,) +l(, -,) +l( -, 0, -) 0 = l-l ý =l +l - l þ ü l = l l = 0 l = l- ü l = l ýl = ll = ý x = (, 0,) = u+ v+ 0w l = l- þ 0= l-l = þ 40. Página 0 Tres vectres n sn base de cuand sn linealmente dependientes. Buscams el valr de k para el cual el rang de la matriz frmada pr las crdenadas de ls vectres es menr que. æ 4 ö Rang - < - = 7k+ 9 = 0 k =- 7 ç è k+ k+ ø k+ k+ 4. Página 0 Aplicams las prpiedades y la definición del prduct escalar. u = uu = u = 9 v = 5 v v = v = 5 5 u + v = ( u + v ) ( u + v ) = u ( u + v ) + v ( u + v ) = u u + ( u v ) + v v 49 = 9 + ( u v ) + 5 u v = 5 u v = u v csa = 5 csacsa= a= 60 7

12 Vectres en el espaci 4. Página 04 Impnems la cndición de perpendicularidad u ^v uv = 0. uv =- ( k,,0)(, - k +, k + ) = 4-4kü ý 4-4k = 0 k = uv = 0 þ 4. Página 04 El prduct vectrial de ds vectres es un vectr perpendicular a ambs. u v = (-,,0) (, -,) =- 0 = i + j - k = (,, -) - u v æ ö Para que sea unitari, dividims pr el módul del vectr: w = = (,, - ) = ç,,- u v çè ø 44. Página 04 Pr la primera cndición: u=l v =l(, -, ). Pr la segunda cndición: A= u w = 5. u w = ( l, - l,l ) (-,4,- ) = l -l l = (-0l) i + (-5l) j + 0k = (-0 l, -5 l,0) A= u v = (-0 l, -5 l,0) = (-0l) + (-5l) = 5 5l ü ý 5 5 l= 5 l= 5 A = 5 þ El vectr u=l v = ( 5, - 5, 5). 45. Página 05 ü u v=- (,0, ) ( ab,,) =- 0 =- ( b,a+, -b) ý - ( b,a +, - b) =- (,5, - ) a =, b = a b u v = w =- (,5, - ) þ 46. Página 05 Calculams el ángul que frman ls vectres aplicand las prpiedades del prduct escalar. u= 6 uu = u = 6 v = 8 v v = v = 64 ( ) ( ) ( ) ( ) u+ v = u+ v u+ v = u u+ v + v u+ v = u u+ ( u v) + v v 00 = 6 + ( u v) + 64 ( u v) = 0 Aplicams la definición de prduct escalar y calculams el prduct mixt. ( u v ) = u v csa 0 = 6 8 csacsa= 0 a= 90 é ( )( ) ( ) ( ) u, v, u vù= éu v, u, vù= u v u v = u v u v cs 0 = u v = u v sena = ( 6 8 sen( 90 )) ëê ûú ëê ûú = 04 8

13 4 ACTIVIDADES FINALES 47. Página 06 Z Z Z Y Z Y X Y Y X X X 48. Página 06 a) d) b) e) c) 49. Página 06 a) u+ v = (, -,) + ( 4,, - ) = ( 6, -,0) b) u- v = (, -,)-( 8,4, - ) =- ( 6, -7,) c) u+ v = ( 6, - 9,) + ( 8,4, - ) = ( 4, -5,) d) -u- v =- ( 4,6, -)-( 4,, - ) =- ( 8,4, -) e) ( u+ v) - v = (, -,0)-( 4,, - ) = ( 8, -4,) f) u-( v- u) = 7u- v = ( 4, -,7 )-(,6, - ) = (, -7,0) 50. Página 06 Sean u = ( u, u, u ) y v = ( v, v, v ), y reescribims las cndicines. u + v = ( u + v, u + v, u + v ) =- (,,) Reslvems ls sistemas de ecuacines: u + v =- ü u, v 5 = =- u + v = ü u = 0, v = u - v = ( u -v, u -v,u - v ) = ( 5, -,) ý ý u- v = þ u- v =- þ u v Ls vectres sn u = (,0,) y v =-,, ( ). u + v = ü ýu =, v = - = þ 9

14 Vectres en el espaci 5. Página 06 Aplicams la definición de módul de un vectr v = +- ( 4) + m = 5 + m. Impnems la cndición v = 5 + m = 5 + m = 69 m= 44 =. 5. Página 06 Sea u el vectr buscad, pr la segunda cndición: u=-l v = (- l, -5 l, l) cn l> 0. 0 Impnems la cndición del módul u = (- l, -5 l, l ) = 0l = 9 0l = 8l=+. 0 æ ö El vectr que buscams es u= -l v =,, ç - -. çè 5 0 ø 5. Página 06 m- n= ü m(,0, - 4) + n( -,,- ) = (,5, -) 0m+ n= 5 ý - 4m - n =- þ Reslvems el sistema frmad pr las ds primeras ecuacines. 6m- n= ü ý 6m = 48 m =, n =- 5 0m+ n= 5 þ Cmprbams que se verifica la tercera ecuación. -4 -(- 5) =- La slución es m = y n = Página 06 u - v + w ( 6, -,6)-( 6,0-8) +- ( 6,,4) u- v = t -w t = = = (,0,4) t = (,0,4) 55. Página 06 Buscams ds valres l y l tales que x =l u +lv x = ( 6, -7,- 8) =l(, -,- ) +l( 0,, ). ü 6= l - 7=-l +lý - 8 = -l + l þ Reslvems el sistema de ecuacines frmad pr las ds primeras ecuacines. 6= l ü l= ü ý ýl =, l =- - 7=-l +l þ l =- 7+ l þ Cmprbams que se verifica la tercera ecuación. -l + l =- + ( - ) =- 8 La slución es x = u -v. 40

15 4 56. Página 06 Buscams valres l, l y l tales que x =l u +l v +lw. x = ( 7, -,0) =l (,, - ) +l (,0, ) +l (-,5,0) Reslvems el sistema de ecuacines resultante. ü 7=l +l-l 7=l +l-l ü +l l +l æ ö 4 - =l + 5l ýl =- ý 7 =l + + =l l =, l =, l =- 5 5 çè 5 ø 5 0=-l + l þ l l = þ La slución es x = u + v -w. 57. Página 06 Ls vectres sn linealmente dependientes si el rang de la matriz de sus ceficientes es menr que. - 0 æ 0 ö = 0 Rang < ç è ø uv, y w sn linealmente dependientes. 58. Página 06 Ls vectres sn linealmente independientes si el rang de la matriz de sus ceficientes es. - æ ö - 0 = 4¹ 0 Rang 0 = 4-5 èç 4-5 ø uv, y w sn linealmente independientes. 59. Página 06 Si ls vectres sn linealmente independientes: æ ö = + - = - - ¹ ¹ ç è- m-ø - m- Rang m 4 m 4 m 4m 0 0 m 6 uv, y w sn linealmente independientes para m ¹ + 6 y m ¹ Página 06 Si ls vectres sn linealmente dependientes: æ m mö - m -m Rang 6 m 0 - < 6 m- 0 =-6- m= 0 m=- ç è6 m ø 6 m uv, y w sn linealmente dependientes para m =-. 4

16 Vectres en el espaci 6. Página 06 æ m 0 ö - m- 0 - < - =- - = =- = - ç è- m- ø - m- Rang m 0 m m N se puede calcular la raíz de un númer negativ; pr tant, n existe ningún valr de m para que uv, y w sean linealmente dependientes. 6. Página 06 a) =- 4¹ 0 4 Frman base prque sn linealmente independientes. b) = N frman base prque sn linealmente dependientes. c) =- ¹ Frman base prque sn linealmente independientes. d) - 0 = ¹ 0 4 Frman base prque sn linealmente independientes. 6. Página 06 a) Tres vectres frman base si sn linealmente independientes. æ ö Rang = ç è -a ø =- a¹ 0 a¹ 0 -a uv, y w sn base para a ¹ 0. b) Buscams valres l, l y l tales que: x =l u +l v +l w x = (-, 5, 0) =l (,, ) +l (,, ) +l (, -,) Reslvems el sistema de ecuacines resultante. ü - =l + l +l 5 =l +l -l ý l =, l = 0, l =- 0 = l + l +l þ La slución es x = u -w. 4

17 4 64. Página 06 Sean u = ( u, u, u), v = ( v, v, v) y w = ( w, w, w), u+ v, u-vy u+ v-wsn independientes si la matriz de las crdenadas de ls vectres tiene rang. æ u+ v u+ v u+ v ö æu+ v u+ v u+ v ö æ u u u ö Rang u v u v u v Rang v v v = = Rang v ç v v ç èu v w u v w u v w ø è w w w ø ç çèw w w ø F= F-F F= F+ F F = F-F ç æ ö F =- F çè ø F =- ( ) F Cm u, v y w sn linealmente independientes: æ u v u v u v ö æ u u u ö Rang u-v u-v u- v = Rang v v v = ç èu + v - w u + v - w u + v -w ø çèw w w ø Pr tant, ls vectres u + v, u - v y u+ v-w también sn linealmente independientes. 65. Página 06 Sean Mm (, m, m) y Nn (, n, n ), se tienen que cumplir las cndicines: m + 6 = ü AM = AB ( m+, m-, m + ) = (, -6,) m- 9 =-6ý m + = þ 5 m=, m =, m =- n + 6 = ü AN = AB ( n+, n-, n + ) = (, -6,) n- 9 =-ý n + = þ 6 n=, n =-, n =- La slución es 5 Mç æ,,- ö çè ø y 6 N æ ç,-,- ö çè. ø 66. Página 06 Sea Mm (, m, m ), llamams MB = AB-AM. Reescribims la cndición: s MB æ ö æ ö = = MB = AM AB- AM = AM AB = 4 AM,, - 8 = 4 m-, m+, m-4 r AM èç4 ø çè 4 ø Reslvems el sistema resultante: ü = 4m - 4 = 4m+ ý m=, m =-, m = m 6 - = - þ La slución es M æ ç,-, ö çè6 4 ø. 4

18 Vectres en el espaci 67. Página 06 Frmams ds vectres, AB y AC, cn rigen un punt y extrems ls trs ds. AB =- (, -4,4) AC = (,, a-) Si ls punts están alineads, ls vectres AB y AC sn linealmente dependientes y el rang de la matriz de sus crdenadas debe ser menr que. æ--4 4 ö - 4 Rang < =-a- = 0 a=- ç a è - ø a- La slución es a = Página 06 Frmams ds vectres, PQ y PR, cn rigen un punt y extrems ls trs ds. PQ = (,,6-a) PR = ( b-, -4,9 -a) Si ls punts están alineads, ls vectres PQ y PR sn linealmente dependientes y el rang de la matriz de sus crdenadas debe ser menr que. ü =-8- b= 0 b=-4 æ 6-aö b- -4 Rang < ý çb 49 a è ø 6-a = 4-6a = 0 a = a þ 6-a - = = 0 b- 9-a - 6 La slución es a = 7 y b = Página 06 Frmams ds vectres, PQ y PR, cn rigen un punt y extrems ls trs ds. PQ = (, a-5, 4) PR = ( b-, -, c + 7) Si ls punts están alineads, ls vectres PQ y PR sn linealmente dependientes y el rang de la matriz de sus crdenadas debe ser menr que. a-5 ü = 0 b- - æ a 5 4 ö 4 Rang - < 0 b c 7 = ý è ç ø b- c+ 7 a-5 4 = 0 - c + 7 þ 5l-7 a=, b=l, c= 4 l- 9 l- La slución es 5b-7 a = y c= 4b- 9. b - 44

19 4 70. Página 06 N existen valres de a y b para ls que ests tres vectres sean paralels. Para que sean paralels, el rang de la matriz frmada pr sus crdenadas debe ser, per al mens es ya que v y w sn linealmente independientes. 5 æ a 5 ö =- 8 ¹ 0 Rang = - ç b è - ø 7. Página 06 Ds vectres sn paralels si sn linealmente dependientes, es decir, cuand sus crdenadas sn prprcinales. + m ü = m + m= 0 { m=-, m= 0} + m æ+ m ö + m Rang 4m m m 4 < =- - =- ý è ç + - ø -4 =-m-6 m=- + m -4 þ Ls vectres sn linealmente dependientes para m =- prque es el únic valr que verifica tdas las ecuacines del sistema. 7. Página 07 = -,, 0,, - = a) u v ( ) ( ) æ b) uv ö ç ( ) = ç -,,,,- =- çè ø c) u v ( ) ( ) =,, -5,-, - = Página 07 ( ) ( ) uv - a),, 0,, - æ ö u v = u v csacsa= = = a= arccsç = 8,95 u v çè 598 ø ( ) æ,, ö -,, - uv çè ø - æ 4 ö b) csa= = = a= arccs ç - =,4 u v 5 0 çè 0 ø 4 ( ) ( ) uv c),, - 4 5, -, - 0 csa= = = = 0 a= arccs( 0) = 90 u v Página 07 Calculams el prduct escalar utilizand su definición. 5 u v = u v csa= 5 = 45

20 Vectres en el espaci 75. Página 07 a) uv = (-,-,-)( 0,,) =- uv - æ ö b) csa= = a= arccs ç - = 40,77 u v 5 çè 5 ø 76. Página 07 a) u = 4 y v = uv = (,, -)( 0,,0) = uv æ ö csa= = a= arc cs ç = 74,5 u v 4 çè 4 ø b) u = 8 y v = uv =- (, 5, )(,, - ) = 0 uv 0 csa= = a= arc cs( 0) = 90 u v Página 07 uv = (, m,)( 0,, - 5) = m-5 uv m-5 csa= cs( 0 ) =- = u v m Operams: 0-4m= 9m + 90 m + 40m- 60 = 0 m=- 78. Página 07 a) u = ( ) p = 7 p = p= 6 =6 b) v = ( ) p + 6 = 7 p = p= - N hay slución. c) w = ( ) p = 7 p = p= Pdems tener ds slucines, una ninguna. 79. Página 07 u = +- ( ) +- ( ) = 6 Para que sean paralels a u = (, -,-) deben ser de la frma l u = ( l-l-,, l). Ls vectres unitaris tienen módul. Tmams v æ,, ö l= = - -, w = æ -,, ö 6 ç è 6 6 6ø çè 6 6 6ø sn vectres unitaris paralels a u. 46

21 4 80. Página 07 Sea ( ) ( ) ( ) ( ) MN = 5,0, - -,,- 4 =, -, MN = +- + = Ls vectres en la dirección de MN sn de la frma l MN = ( l, - l,l). Ls vectres unitaris tienen módul. æ ö Tmams l= v = ç,-, çè ø 8. Página 07 u+ v =- (,, 4) + (, -,- ) =- (,,) u+ v = u = (-,,4) = 9 ü ý u + v = v = (, -, - ) = 4 þ es vectr unitari en la dirección MN. u+ v = ¹ = u + v En este cas: u+ v ¹ u + v. 8. Página 07 Elevams al cuadrad y tenems la cndición equivalente ( ) Aplicams las prpiedades y la definición del prduct escalar. u v = u v csau u = u u cs0 = u u + v = u + v = u + u v + v u + v = u + v u + v = u u + u v + v v = u + u v + v = u + u v csa + v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u + v = u + v u + v = u + v = u + u v + v. Querems que se cumpla ( ) Est curre cuand ( ) u + u v csa + v = u + u v + v csa= a= 0. Es decir, cuand ls vectres sn prprcinales y frman un ángul de Página 07 Si u= ( u, u, u ) y v = ( v, v, v ) u+ v= ( u + v, u + v, u + v ) y u- v= ( u -v, u -v, u -v ) + - = = ( u v)( u v) ( u v, u v, u v)( u,, v u v u v) = ( u + v )( u - v ) + ( u + v )( u - v ) + ( u + v )( u - v ) = u - v + u - v + u - v = = u + u + u - v + v + v = u -v ( ) ( ) Si ls vectres u y v tienen el mism módul u = v u = v u - v = 0.. Entnces, el prduct escalar ( u+ v)( u- v) = u - v = 0 ( u+ v) ^( u-v) 47

22 Vectres en el espaci 84. Página 07 a) Tres vectres sn base del espaci tridimensinal si sn linealmente independientes. Ls vectres sn linealmente independientes si el rang de la matriz de sus ceficientes es. - æ ö = ¹ 0 Rang 0 0 = - 0 ç è- 0 ø uv, y w frman una base. Para que la base sea rtgnal, ls vectres deben ser perpendiculares ds a ds. (,, -)( 0,, 0) = ü (,, -)( -,0,) =-ý ( 0,,0 )( -,0,) = 0 þ uv, y w n frman una base rtgnal. Para que la base sea rtnrmal, ls vectres deben frmar una base rtgnal y ser unitaris. uv, y w n frman una base rtnrmal. b) - æ ö - 0 = 0 ¹ 0 Rang 0 = - -5 ç è- -5 ø uv, y w frman una base. (-,, )(,,0) = 0 ü (-,,)( -,, - 5) = 0ý (,,0)( -,, - 5) = 0 þ uv, y w frman una base rtgnal. Para que la base sea rtnrmal, ls vectres deben frmar una base rtgnal y ser unitaris. (-,,) = 6 ¹ ü (,, 0) = 5 ¹ ý uv, y w n frman una base rtnrmal. (-,, - 5) = 0 ¹ þ c) æ ö = ¹ 0 Rang 0 0 = 0-0 ç - è ø uv, y w frman una base. æ ö ü 0,, (,0,0) 0 = ç è ø æ öæ ö 0,, 0,, 0 - = ý ç è øè ç ø æ ö (,0,0) 0,, 0 ç - = çè ø þ uv, y w frman una base rtgnal. Para que la base sea rtnrmal, ls vectres deben frmar una base rtgnal y ser unitaris. æ ö ü 0,, = ç è ø (,0,0) = ý uv, y w frman una base rtnrmal. æ ö 0,,- = çè ø þ 48

23 4 85. Página 07 u + v = u + v u + v = u + u v + v ( ) ( ) u - v = u -v u - v = u - u v + v ( ) ( ) Las diagnales sn iguales si se cumple: u + uv + v = u - uv + v uv =- uv 4 uv = 0uv = 0 Es decir, si ls vectres sn perpendiculares. 86. Página 07 Si llamams a, b y c a ls lads del triángul: a= u -v b= u c= v u- v = u-v u- v = u - u v + v a = b -bc csa+ c Cm ( ) ( ) Que es la expresión que cncems cm terema del csen. 87. Página 07 Ds vectres sn perpendiculares si su prduct escalar es nul. uv = 0 ( m, -, -m)( m,4, - ) = m+ m- 4 = 0 { m=- 4, m= } Ls valres de m para ls que u y v sn perpendiculares sn m =- 4 y m =. 88. Página 07 Ds vectres sn perpendiculares si su prduct escalar es nul. uv = 0 (, t,5)(, - 7, t) = 6 - t= 0 t= El valr de t para el que u y v sn perpendiculares es t =. Ds vectres sn paralels si sn prprcinales. = l ü u=lv (, t,5) = ( l, -7 l, tl) t=-7lý 5 = t l þ Se resuelve el sistema frmad pr las ds primeras ecuacines. = l ü ý l=, t =- t =-7l þ Se verifica si se cumple la tercera ecuación. æ ö 6 tl= ç - =- ¹ 5 çè ø 4 N se verifica. Pr tant, el sistema n tiene slución y n existe ningún valr de t para el que u y v sean paralels. 49

24 Vectres en el espaci 89. Página 07 a) Si ds vectres sn perpendiculares, su prduct escalar es cer. AB = ( m +, -,) ü -9 ý ( m +, -,)(, - m -, 4) = 4m + 9 = 0 m = AC = (, -m-,4) 4 þ AB AC æ ö b) AB AC = AB AC csacsa= = a= arccs ç = 4,469 AB AC 6 4 çè 04 ø 90. Página 07 Ds vectres sn perpendiculares si su prduct escalar es nul. u v = 0 -m,-mm, m, m, =- m + m= 0 m=-, m= 0, m= ( )( ) { } Ls valres de m para ls que u y v sn perpendiculares sn m = 0, m = y m =-. 9. Página 07 Si ds vectres sn perpendiculares, su prduct escalar es nul u v = ( m,-, m -) (, -,- m) = m + m+ = 0 m= - - = - -. N tiene slución. Ls vectres u y v n sn perpendiculares para ningún valr de m. 9. Página 07 Ls vectres BA = (, m +, ) y BC = (,6,0) deben ser perpendiculares. BA BC = (, m +,) (,6,0) = 6+ 6m + 6= 0 m =- 9. Página 07 a) El perímetr es igual a la suma de ls lads. AB + BC + CA = (-, 5, ) + (-, -, - 4) + (, - 4, ) = = 4,8 u b) Utilizams la definición del prduct escalar para calcular la amplitud de ls ánguls. æ ö AB AC AB AC AB AC cs arc cs = aa= ç AB AC çè ø AB = (-, 5,) AB = 7 ü æ ö AB AC 9 arc cs æ ö arc cs ý a= = = 47, AC (,4, ) AC 9 AB AC çè 7 9 = - - = ç ø þ çè ø a= 47, es el ángul en el vértice A. BC = (-,-,-4) BC = 8 ü æ ö BC BA 8 arc cs æ arc cs ö ý b= = = 68,7 BA (, 5, ) BA 7 BC BA çè 8 7 = - - = ç ø þ çè ø b= 68,7 es el ángul en el vértice B. Calculams el ángul en el vértice C: d= 80 -a-b= 80-47, - 68,7 = 64,05. 50

25 4 94. Página 07 uv (, -,)( 4,, -) 4 Pry v = u = (, -, ) = (, -, u ) u Página 07 Aplicams la definición de prduct escalar: v = = 5 u v u v cs ü = a Pry v - u 5 ý u v cs a= u Pry v cs u a= = =- u v = u Pry v v 5 5 þ u 96. Página 08 a) Sea Dxy (,, z ): Si ABCD es un paralelgram, sus diagnales se crtan en sus punts medis. M es el punt medi de M es el punt medi de AC M æ +, - -, + ö æ 0,, ö ç = - è ø çè ø 0 BD M æ - + x, + y, + zö æ x-, y+, z ö ç = è ø çè ø x - ü 0= x = æ ö æ x - y + z ö y + 0,,,, y 6 ç - = - = =- ý D(, -6, ) è ø çè ø z = z = þ b) Calculams el perímetr cm suma de la lngitud de ls lads. AB = (-,4,-) AB = ü ý AB + BC + CD + DA = ( AB + BC ) = 9,6 u BC = (, -5, 0) BC = 6 þ c) Calculams la lngitud de las diagnales. AC = ( 0, -,- ) =,u BD = (, - 9,) = 9,4 u d) Utilizams la definición del prduct escalar para calcular la amplitud de ls ánguls. æ ö AB AD AB AD AB AD cs arc cs = aa= ç AB AD çè ø AB = (-,4,-) AB = ü æ ö AB AD arc cs æ - arc cs ö ý a= = = 5,98 AD (, 5, 0) AC 6 AB AD çè 6 = - = ç ø þ çè ø a= 5,98 es el ángul en el vértice A y, pr las prpiedades del paralelgram, también en el vértice C. Calculams el ángul en ls vértices B y D teniend en cuenta que la suma de ls ánguls de un paralelgram es a b= = 80-5,98 = 6,0 5

26 Vectres en el espaci 97. Página 08 Si el ángul en B es rect, el prduct escalar BC BA = 0. BC = (, 4, - m + ) ü ý BC BA = ( m - ) ( - m + ) =- m + 8 BA = ( m-,,) þ BC BA = 0- m + 8= 0 m = 4 Para m = 4, la lngitud de ls lads es: AB = (-,-, - ) = = 7 = 4, u AC = (-,, - 9) = = 86 = 9,7 u BC = (,4, - 7) = = 69 = 8, u Para m = 4, la amplitud del ángul en B es b= 90 pr ser ángul rect. La amplitud del ángul en A es el ángul a frmad pr AB y AC. æ ö AB AC æ 7 ö AB AC = AB AC csaa= arc cs = arc cs = 6,6 AB AC çè 7 86 ç ø çè ø Calculams la amplitud del ángul d en C cn la prpiedad de la suma de ánguls de un triángul: d= 80 -a-b= ,6 = 6,4 98. Página 08 Un triángul isósceles es el que tiene ds lads iguales. Calculams la lngitud de ls lads. AB = (-4,,- ) = = 6 = 5,09 u AC = ( 0,0, - ) = = u BC = ( 4, -,- ) = = 6 = 5,09 u Cm ds de ls lads sn iguales, el triángul es isósceles. 99. Página 08 u v = (,,0) (,6, - ) = 0 =- 4i + 6 j + k = (-4,6,) 6 - v u= (,6, - ) (,,0) = 6 - = 4i -6 j - k = ( 4, -6,-) 0 u v y v u tienen el mism módul, la misma dirección y sentids puests. 5

27 4 00. Página 08 a) u v = - =- 4i + j - 8k = (-4,, -8) -5 7 æ 7 ö b) u v = - 4 =-7i - j - 5k = ç -7,-,- 5 çè ø - c) u v = 6 0 =- i + 6j + k = (-, 6, ) - 0. Página 08 u v = u v sena= 5 sen( 45 ) = 5 = 5 0. Página 08 Cnsiderams ls vectres u = ( u, u, u ), v = ( v, v, v ) y w = ( w, w, w ) ( ) u v + w = u u u = u u u + u u u = u v + u w v + w v + w v + w v v v w w w. 0. Página 08 a) ( u+ v) w = (-,0, ) - (, -,4) =- 0 = 6i - j + k = ( 6, -,) b) u ( v- w) = ( 0,,0 ) (,, - ) = 0 0 =-i - k = (-,0,-) - c) v ( u- w) =- (, -, ) (, 5, - 4) =- - =- 6 i + j - k =- ( 6,, -) 5-4 d) ( v- u) w =- (, -,) - ( 6, - 6,8) =- - =-4i -4 j - 6k =- ( 4, -4,-6)

28 Vectres en el espaci ü u v = 0 0 = (,0,) - - e) ý u v v w = 0 = i + j - 4k =,, v w =- - = (, -,0) þ f) u ( w v) u ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = 0,,0-6,6,0 = 0 0 = (0,0,) Página 08 u v = =-9i - j + k = (-9,-,) - u v = 59 u = = 5 v = = 4 =- = 69 ( uv) ( uv) u v - uv = - = - ( ) Cm 59 ¹ N se verifica la igualdad. 05. Página 08 u - v u + v = u u + u v - v u - v v ( ) ( ) u u= v v = 0ü ý - + = v u=- u v þ Sabems que: ( u v) ( u v) ( u v) 06. Página 08 u v = - m 0 = mi + j + m k = m,, m -m 0 Querems que ( m m ) ( ) m =l ü æ ö l,, =l, -,- =- ý èç ø m =-l þ Reslvems el sistema frmad pr las ds primeras ecuacines. m =l ü l= m =- =- lý þ m 4 Verificams si se cumple la tercera ecuación: = ü ý m =- l. -l= 4 þ 54

29 4 07. Página 08 Calculams un vectr perpendicular a u y v. u v = 0 - =-i -0 j - 6k = (-,-0,-6) 6 - u v = = 45 Ls vectres perpendiculares a u y v de módul 5 sn: 5 æ ö w = (-,-0,- 6 ) =,, 45 ç çè ø 5 æ ö w =- (-,-0,- 6 ) =,, 45 ç çè ø 08. Página 08 Calculams un vectr perpendicular a u y v. u v = - 4 =-i - j - 6k = (-,-,-6) - 0 u v = = 09 u v æ 6 ö Tmams w = = (-,-,- 6 ) =- ç,-,-. u v 09 çè ø 09. Página 08 Calculams un vectr perpendicular a u y v. u v = = 9i - j + k = ( 9, -, ) Cualquier vectr w =l ( u v) es rtgnal a u y v. æ 9,,, 7, ö l= =l = - = ç çè 9 ø Tmams w ( u v) ( ) 0. Página 08 b c = 0-4 =- 4i + 0 j - k = (-4,0,-) - - æ0 ö a- u= b c u= ( a- b c) u= é (, 5, ) -(-4, 0, - ) ù = ç, 0, çè ø 55

30 Vectres en el espaci. Página 08 u v = - 4 =-i - j + 4k = (-,-,4) uv =- ( 4,, )( -, -,- 5) = 0 u ^v { uvw} B =,, es base del espaci tridimensinal, y es rtgnal prque u y v sn perpendiculares. Para que sea rtnrmal ls vectres deben ser unitaris. u = (- 4,,) = = v = (-,-,- 5) = = 8 w = (-,-,4) = = 6 9 ì æ öæ öæ öü B =,,,,,,,, í ý es base rtnrmal. çè øèç øè ç ø î þ. Página 08 El triángul está definid pr ls vectres AB = (,, -) y AC = (,6, -). AB AC Calculams el área A =. AB = (,, -) ü ý AB AC = - = 4i + j + 4k = ( 4,,4) AC = (,6, -) þ 6 - AB AC = = A = = 7, u. Página 08 b h A Utilizams la fórmula del área del triángul: A= h= b El triángul está definid pr ls vectres AB =- (,4, -5) y AC = (,, -4). AB AC Calculams el área A =. AB =- (,4, -5) ü ý AB AC = =- 6i - j - 4k = ( - 6, -, - 4) AC = (,, -4) þ AB AC = = 76 A = =,7 u Cm se pide la altura crrespndiente al vértice B, la base será AC = = 6. Entnces A,7 h = = = 5,46 u. b 6 56

31 4 4. Página 08 Ls lads del triángul están definids pr ls vectres AB = (, -,-), BC = (,,) y CA =- (,,0). AB = (, -,-) AB = 4 ü BC = (,,) BC = ý AC = (,-,0) AC = þ Es un triángul escalen prque n tiene ds lads iguales. a) El perímetr es igual a la suma de la lngitud de ls lads. AB + BC + AC = 9,07 u b) Utilizams la definición de prduct escalar para calcular la amplitud de ls ánguls. æ ö uv u v = u v csaa= arccs ç u v è ø æ ö AB AC æ ö El ángul en el vértice A será a= arc cs arc cs = = 7,9 AB AC çè 4. ç ø çè ø El ángul en B será æ ö BC BA æ (,, )( -,,) ö æ ö b= arc cs arc cs arc cs = = = 7,0 BC BA çè 4 ø çè 4. ø ç çè ø Pr las prpiedades del triángul, el ángul en C será d= 80 -a-b= 80-7,8-7,0 = 80,8. AB AC c) Calculams el área: A = AB AC = - - =-i - j + 5k = (-,-,5) AB AC = = 8 A = =,08 u 5. Página 08 a) Sea Dxy (,, z ): Si ABCD es un paralelgram, sus diagnales se crtan en sus punts medis. M es el punt medi de M es el punt medi de AC M æ +, +, + ö æ 0,, ö ç = è ø çè ø 0 0 BD M æ + x, + y, + zö æx+, y, zö ç = è ø çè ø x + ü 0= x =- æ ö æ x + y z ö y 0,,,, y ç = = = ý D( -,,4) è ø çè ø z = z = 4 þ 57

32 Vectres en el espaci b) El perímetr es igual a la suma de la lngitud de ls lads. AB = (, -, 0) AB = 5 ü ý AB + BC + CD + DA = ( AB + BC ) =,95 u BC = (-,, 4) BC = þ El área viene dada pr el módul del prduct escalar de ls lads frmads pr ls vectres cn rigen en un mism punt. AB = (, -, 0) ü ý AB AC = - 0 =- 8i - 4 j - k = ( - 8, - 4, - ) Área = AB AC = 9 u AC = ( 0, -, 4) þ Página 08 u v = (, m, - ) (, -,5 ) = m - = ( 0m-) i - 8 j+ (-6m- ) k = ( 0m-, -8,-6m-) - 5 Área = u v = ( 0m- ) ( 6m- ) = 6m - 8m+ 66 Para que la superficie del paralelgram sea Es decir: 6m - 8m= 0 m= 0, m= 7 66 u m - m+ = Obtenems ds valres para m prque existen ds paralelgrams simétrics respect de v que cumplen esa cndición. 7. Página 08 AB AC Sabems que el área es. AB = ( 0,, 0) ü ý AB AC = 0 0 = ( m - ) i + 0j + 0k = ( m -,0,0) AC = ( 0,6, m-) þ 0 6 m - ( m-) AB AC = ( m-) Área= = u ( m- ) = { m = 0, m = } Las slucines sn m = 0 y m =. 8. Página 08 a) Si el triángul tiene un ángul rect en A AB ^ AC AB AC = 0. AB =- (, 4, -4) ü ý AB AC = + 4 ( - m) - 4 = - 4m AC =- (, - m +,) þ AB AC = 0-4m = 0 m = 58

33 4 b h A b) Utilizams la fórmula del área del triángul: A= h= b AB AC Calculams el área: AB =- (, 4, -4) ü 5 æ 5 ö æ ö ý AB AC =- 4-4 = 6i + 9 j + k = 6,9, AC,, èç ø =- ç è ø þ - / AB AC = = Área= = 6,58 u 4 4 Cm se pide la altura crrespndiente al vértice A, la base será el lad BC. æ - 7 ö 7 BC = ç -,,5 = = 6,8 u çè ø Entnces, A 6,58 h = = =, u. b 6,8 9. Página 09 a) Si están alineads, el ángul a frmad pr AB y AC será cer. Utilizams la definición de prduct escalar para cmprbarl. æ ö AB AC AB AC = AB AC csaa= arc cs ç AB AC çè ø AB = ( 5,0,45) ü æ 00 ö ý a= arc cs = arc cs() = 0 AC ( 0,0,0) çè = ø þ b) Ls extrems serán ls punts que estén a mayr distancia. AB = 5 4 ü AC = 0 4ý Ls extrems serán ls punts A y B. Pr tant, C se encuentra entre ells. BC = 5 4 þ c) Sea la fórmula del área del triángul: b h A = La altura será la distancia del punt D, la llamams h. AB h 5 4 h Para el triángul DAB A = = u AC h 0 4 h Para el triángul DAC A = = u BC h 5 4 h Para el triángul DBC A = = u El triángul DAB tiene mayr superficie. 59

34 Vectres en el espaci 0. Página 09 a) b) c) 0 4 é êuvw,, ù= - 7 =-4 ë úû é êë uvw,, ù= úû 5 - = é êvwu,, ù=- ú 5 - = Página 09 El prduct mixt de ls tres vectres definids cm cmbinación lineal de a, b y c es: = Est curre prque ls tres vectres sn linealmente dependientes y están en el mism plan. Pr tant, n se frma ningún paralelepíped y el vlumen es cer.. Página 09 Sea b= ( b, b, b ) -5 é ab,,a b ù ê - = b b b = 0 ë ú û 6 -b -0 -b 4 -b Para cualquier vectr b que elijams, a - b es cmbinación lineal de ls vectres a y b. Cm el prduct mixt de vectres linealmente dependientes es cer: é ab,,a- b ù ê ú = 0.. Página 09 u v = (, - 4,5) (-,,) = =-9i - j+ k = (-9,-,) - u v = 59 u = (, - 4,5) = 50 = 5 v = (-,,) = 4 = = - = ( uv) ( uv) ( ) 69 u v - uv = - = - ( ) Cm 59 ¹ N se verifica la igualdad. 60

35 4 4. Página 09 u- v u+ v = u u+ u v- u v- v v ( ) ( ) Sabems que: u u= v v = 0ü ý u - v u + v = u v u v =- u v þ ( ) ( ) ( ) 5. Página 09 b c= 0-4 =- 4i + 0 j- k = (-4,0,-) - - æ0 ö æ0 ö a- u= b c u= ( a- b c) = é( 6,0,) -(-4,0,- ) ù=,0, u=,0, çè ø çè ø 6. Página 09-0 é êuvw,, ù= ú = Vlumen = éuvw,, ù êë úû =- 6 = 6u 7. Página 09 éuvw,, ù ê ú Vlumen = é êuvw,, ù= ú = Vlumen = = 7u 6 8. Página 09 AB =- ( 4, -,5) ü -4-5 AC ( 0, 6,0 ) = - ý éab, AC, ADù ê ú= = 6 AD =- (, -0,9) þ éab, AC, ADù ê ú 6 Vlumen = = = u 6 6 6

36 Vectres en el espaci 9. Página 09 Ls punts pdrán ser vértices de un paralelepíped cuand n están en el mism plan y, pr tant, ls vectres que determinan tampc sn cplanaris. Es decir, cuand éab, AC, ADù ê ú ¹ 0. AB =- ( 4, -,-6) ü a) AC ( 0,,6 ) = ý éab, AC, ADù ê ú= 0 6 =-60 AD =- (,,6) - 6 þ Pueden ser vértices de un paralelepíped. AB = (,, -) ü - b) AC (,, ) = ý éab, AC, ADù ê ú= = 0 AD =- (, -,) - - þ N pueden ser vértices de un paralelepíped. 0. Página 09 Ls punts pdrán ser vértices de un tetraedr cuand n están en el mism plan y, pr tant, ls vectres que determinan tampc sn cplanaris. Es decir, cuand éab, AC, ADù ê ú ¹ 0. AB = ( 6, -,4) ü 6-4 AC ( 5, 4, ) = - ý éab, AC, ADù ê ú= 5-4 =-4 AD =- (,0,0) þ Pueden ser vértices de un tetraedr.. Página 09 m- - éuvw,, ù êë úû = 5 0 = 4-4m m Vlumen = éuvw,, ù ê ú = 4-4m = 6 u ì 4-4m= 6 ì m= í í î 4-4m=- 6 î m= 5. Página 09 AB =- (, 0, -) ü AC (,, 6 ) = ý éab, AC, ADù ê ú= = 0 AD = (, -,) - þ éab, AC, ADù ê ú 0 Vlumen = = = 0u 6 6 Ls cuatr punts n determinan un paralelepíped. Ls punts sn cplanaris. 6

37 4. Página 09 El vlumen del paralelepíped está definid cm el prduct del área de la base pr la altura. Calculams dich vlumen. - 9 é êë uvw,, ù= úû 5 - = V= éuvw,, ù ê ú = u u v = - 9 =-9i -j - 4k = (-9, -, -4) 5 - El área de la base: A = u v = = 98 u b V La altura viene dada pr V = Ab h h= = u. A 98 b 4. Página 09 Tmams el paralelepíped generad pr ls vectres AB, AC y AD. 0 éab, AC, ADù ê ú = 5 =- 8 0 Vlumen del paralelepíped: V é P = AB, AC, ADù ê ú = 8u = 6VT Calculams la superficie de dich paralelepíped cm suma de las áreas de las caras. AB AC = 0 =- 7i + j - k = (-7,,-) AB AC = = 6 5 AB AD = 0 = i + j - k = (,, -) AB AD = = 6 0 AC AD = 5 = 5i + j - 5k = ( 5,, -5) AC AD = = 6 0 Superficie: S é A = AB AC + AB AD + AD AC ù ê ú = 4 6=4,4 u ë û a) Necesitams tres vectres para generar un paralelepíped. Dependiend de ls vectres elegids, pdems btener diferentes paralelepípeds. 6

38 Vectres en el espaci b) Calculams la superficie del paralelepíped generad pr ls vectres DA, DB y DC. DA DB =- 0 - = i + j - k = (,, -) DA DB = 6 - DA DC =- 0 - = 5i + j - 5k = ( 5,, -5) DA DC = DB DC = - =- i + j - 5k = (-,,-5) DB DC = Superficie: S é B = DA DB + DA DC + DB DC ù = é ù ê ú ê ú=,9 u ë û ë û S B ¹ S Ls diferentes paralelepípeds cn vértices en A, B, C y D pueden tener distinta superficie. A Elijams ls vectres que elijams para generar nuestr paralelepíped, deben ser aristas del tetraedr cn vértices en A, B, C y D. Calculams el vlumen de dich tetraedr. éab, AC, ADù ê ú Vlumen del tetraedr: VT = =, u 6 Vlumen del paralelepíped: V é P = AB, AC, ADù ê ú = 8u = 6VT Pr un lad, esta relación entre vlúmenes se cumple en tds ls cass. Pr tr lad, el vlumen del tetraedr es el mism independientemente de ls vectres que usems para calcularl. Pr tant, el vlumen del paralelepíped será siempre 6V = 8u. T 5. Página 09 - éuvw,, ù=- 4 0 = m+ ëê ûú m - ì m+ = 0 m= 9 V= éuvw,, ù m 0 êë úû = + = í î m+ =-0 m=- 6. Página 09 0 m m é êuvw,, ù= ú m- m+ 4 0 =-m -m m 4 -m ì- m - m= 9 { m=-, m=-} V= éuvw,, ù m m 9 ê =- - = ë úû í -m - m=-9 m=-- 7, m=- + 7 î { } 64

39 4 7. Página 09 AB =- (, -5,-8) ü AC ( 4, 6, ) = - - ý éab, AC, ADù ê ú= =-m-79 AD = ( m-, -, -) m- - - þ éuvw,, ù ì 07 ê ú -m-79 -m- 79 = 64 m=- V = = = 07 í 6 6 î m - 79 =- 64 m = 8. Página 09 AB =- ( -6,0) ü AC ( 4,, ) = - ý éab, AC, ADù ê ú=- 4 = AD = ( 5,4, -) þ éab, AC, ADù ê ú Vlumen = = = u 6 6 Efectivamente, ls cuatr vértices frman un tetraedr. æx+ x+ x+ x4 y+ y+ y+ y4 z+ z+ z+ z ö 4 Se calcula el centr de gravedad: CG = ç,, çè ø C G æ ö æ7 ö =,,,,5 ç = è ø çè4 ø MATEMÁTICAS EN TU VIDA. Página 0 Sí, puede haber más de un punt. Pdems elegir, pr ejempl, ds pls puests de la esfera. En el cas del pel, l vems claramente en las persnas que se peinan cn raya.. Página 0 El módul sería la lngitud del pel, la dirección vendría definida pr la psición del mism y el sentid sería desde la raíz hasta la punta.. Página 0 Un círcul sí l pdrems cubrir cmpletamente prque es una superficie plana. 4. Página 0 Tmams la superficie terrestre que pdems cnsiderar similar a una esfera. Ls vectres sn la dirección que lleva el vient en cada punt de dicha superficie en un mment determinad y esta cambia según spla el vient. Según el terema, siempre habrá un punt dnde n hay vient, llamad j del huracán, y siempre hay un huracán en algún punt de la Tierra. 5. Página 0 Ls trnads y la frmación de nubes. 65