UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD OPCIÓN A

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1 SELECTIVIDAD MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES Bachillerato de Ciencias Humanas y Sociales Modelos de exámenes Distrito único de Andalucía

2 UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Puede usar una calculadora no programable y no gráfica. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas. OPCIÓN A EJERCICIO 1 0 a b Sean las matrices A = y B = a) (1.5 puntos) Calcule los valores de a y b para que A B = B A. b) (1.5 puntos) Para a = 1 y b = 0, resuelva la ecuación matricial X B A = I. EJERCICIO x si x < x 1 Sea la función definida de la forma f ( x) =. x 10x si x a) (0.5 puntos) Halle el dominio de f. b) (1.5 puntos) Estudie la derivabilidad de f en x =. c) (1.5 puntos) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0. EJERCICIO 3 Parte I a) (1 punto) Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. Sabiendo que P(A)=0.5, que P(B)=0.4 y que P ( A B) = 0.8, determine P( A / B). b) (1 punto) Sean C y D dos sucesos de un mismo espacio muestral. Sabiendo que P( C) = 0.3, que P( D) = 0.8 y que C y D son independientes, determine P( C D). Parte II El número de días de permanencia de los enfermos en un hospital sigue una ley Normal de media μ días y desviación típica 3 días. a) (1 punto) Determine un intervalo de confianza para estimar μ, a un nivel del 97 %, con una muestra aleatoria de 100 enfermos cuya media es 8.1 días. b) (1 punto) Qué tamaño mínimo debe tener una muestra aleatoria para poder estimar μ con un error máximo de 1 día y un nivel de confianza del 9%?

3 UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Puede usar una calculadora no programable y no gráfica. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas. OPCIÓN B EJERCICIO 1 a) ( puntos) Represente gráficamente la región determinada por las siguientes restricciones: x + y 6; 4x + y 10; x + y 3; x 0; y 0 y determine sus vértices. b) (1 punto) Calcule el máximo de la función f ( x, y) = 4x + y 3 en el recinto anterior e indique dónde se alcanza. EJERCICIO x + ax + b si x < 1 Sea la función f definida mediante f ( x) =. L( x) si x 1 a) (1.5 puntos) Determine a y b sabiendo que f es continua y tiene un mínimo en x = 1. b) (1.5 puntos) Para a = 1 y b = 1, estudie la derivabilidad de f en x = 1 y en x = 1. EJERCICIO 3 Parte I Se sabe que el 30% de los individuos de una población tiene estudios superiores; también se sabe que, de ellos, el 95% tiene empleo. Además, de la parte de la población que no tiene estudios superiores, el 60% tiene empleo. a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que un individuo, elegido al azar, tenga empleo. b) (1 punto) Se ha elegido un individuo aleatoriamente y tiene empleo; calcule la probabilidad de que tenga estudios superiores. Parte II Sea la población {1,,3,4}. a) (1 punto) Construya todas las muestras posibles de tamaño, mediante muestreo aleatorio simple. b) (1 punto) Calcule la varianza de las medias muestrales.

4 UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Puede usar una calculadora no programable y no gráfica. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas. OPCIÓN A EJERCICIO 1 a) (1.5 puntos) Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones dado por: 1+ 3x 3 5 =. x 1 y b) (1.5 puntos) Calcule la matriz inversa de EJERCICIO a) (1.5 puntos) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 3 f ( x) = en el punto de abscisa x = 1. x b b) (1.5 puntos) Halle los valores de a y b para que la función g ( x) = ax + tenga un x extremo relativo en el punto (1, ). EJERCICIO 3 Parte I El examen de Matemáticas de un alumno consta de dos ejercicios. La probabilidad de que resuelva el primero es del 30%, la de que resuelva ambos es del 10%, y la de que no resuelva ninguno es del 35%. Calcule las probabilidades de los siguientes sucesos: a) (1 punto) Que el alumno resuelva el segundo ejercicio. b) (1 punto) Que resuelva el segundo ejercicio, sabiendo que no ha resuelto el primero. Parte II La longitud de los cables de los auriculares que fabrica una empresa es una variable aleatoria que sigue una ley Normal con desviación típica 4.5 cm. Para estimar la longitud media se han medido los cables de una muestra aleatoria de 9 auriculares y se han obtenido las siguientes longitudes, en cm: 05, 198, 0, 04, 197, 195, 196, 01, 0. a) (1 punto) Halle un intervalo de confianza, al 97%, para la longitud media de los cables. b) (1 punto) Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra de estos auriculares para que el error de estimación de la longitud media sea inferior a 1 cm, con el mismo nivel de confianza del apartado anterior.

5 UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Puede usar una calculadora no programable y no gráfica. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas. OPCIÓN B EJERCICIO 1 (3 puntos) Un nutricionista informa a un individuo que, en cualquier tratamiento que siga, no debe ingerir diariamente más de 40 mg de hierro ni más de 00 mg de vitamina B. Para ello están disponibles píldoras de dos marcas, P y Q. Cada píldora de la marca P contiene 40 mg de hierro y 10 mg de vitamina B, y cuesta 6 céntimos de euro; cada píldora de la marca Q contiene 10 mg de hierro y 0 mg de vitamina B, y cuesta 8 céntimos de euro. Entre los distintos tratamientos, cuál sería el de máximo coste diario? EJERCICIO 3 Dada la función f ( x) = 4 3x + x, determine: a) (1.5 puntos) La monotonía y la curvatura de f. b) (0.5 puntos) Los puntos donde la función alcanza sus extremos relativos. c) (1 punto) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1. EJERCICIO 3 Parte I Se consideran los sucesos A y B. a) (0.75 puntos) Exprese, utilizando las operaciones con sucesos, los siguientes sucesos: 1. Que no ocurra ninguno de los dos.. Que ocurra al menos uno de los dos. 3. Que ocurra B, pero que no ocurra A. b) (1.5 puntos) Sabiendo que P( A) = 0.5, P( B) = 0. 5 y P( A / B) = 0.3, halle P( A B). Parte II ( puntos) Se ha aplicado un medicamento a una muestra de 00 enfermos y se ha observado una respuesta positiva en 140 de ellos. Estímese, mediante un intervalo de confianza del 99%, la proporción de enfermos que responderían positivamente si este medicamento se aplicase a la población de la que se ha extraído la muestra.

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10 UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas. OPCIÓN A EJERCICIO 1 Sea el recinto definido por las inecuaciones siguientes: x + y 15; x y; 0 y 6; x 0 a) (1 punto) Represente gráficamente dicho recinto. b) (1 punto) Calcule sus vértices. c) (0.5 puntos) Determine el máximo valor de la función F( x, y) = 8x + 5y en el recinto anterior y dónde se alcanza. EJERCICIO 1 3 Sea la función f ( x) = x x. Calcule: 3 a) (1 punto) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) (1 punto) Las coordenadas de sus extremos relativos. c) (0.5 puntos) El punto de la gráfica en el que la pendiente de la recta tangente a dicha gráfica es 4. EJERCICIO 3 Un alumno va a la Facultad en autobús el 80% de los días y el resto en su coche. Cuando va en autobús llega tarde el 0% de las veces y cuando va en coche llega a tiempo sólo el 10% de las veces. Elegido un día cualquiera al azar, determine: a) (0.75 puntos) La probabilidad de que llegue a tiempo a clase y haya ido en autobús. b) (0.75 puntos) La probabilidad de que llegue tarde a clase. c) (1 punto) Si ha llegado a tiempo a clase, cuál es la probabilidad de que no haya ido en autobús? EJERCICIO 4 Una empresa consultora quiere estudiar algunos aspectos de la vida laboral de los trabajadores de una ciudad. Para ello selecciona una muestra aleatoria de 500 trabajadores, de los que 118 afirman residir en otra ciudad. Con un nivel de confianza del 93%, a) (1.75 puntos) Calcule un intervalo de confianza para la proporción de trabajadores que residen fuera. b) (0.75 puntos) Calcule el error cometido en el intervalo anterior.

11 UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas. OPCIÓN B EJERCICIO Sean las matrices A = y B = t t a) (1 punto) Calcule A B A B. b) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial AX + BA = B. EJERCICIO Calcule las derivadas de las siguientes funciones: 3x e a) (0.8 puntos) f ( x) =. 1+ x b) (0.8 puntos) g ( x) = ln{ x(1 + 3x )}. c) (0.9 puntos) 5 x 1 + h( x) =. x EJERCICIO 3 De las 180 personas que asisten a un congreso médico, 100 son mujeres. Observando las especialidades de los congresistas, vemos que de las 60 personas que son pediatras 0 son mujeres. Se elige al azar una persona asistente al congreso. a) (0.75 puntos) Cuál es la probabilidad de que sea mujer y pediatra? b) (0.75 puntos) Cuál es la probabilidad de que no sea hombre ni sea pediatra? c) (1 punto) Cuál es la probabilidad de que sea pediatra? EJERCICIO 4 Un agricultor piensa que la producción media por naranjo, en su finca, es de 88 kg o más. Para confirmar su creencia selecciona, al azar, 10 de sus naranjos, pesa su producción y obtiene como resultado, en kg, para cada uno de ellos: 80, 83, 87, 95, 86, 9, 85, 83, 84, 95. Se acepta que la producción de un naranjo sigue una distribución Normal con desviación típica 5 kg. a) (1.5 puntos) Plantee el contraste de hipótesis unilateral que responda a las condiciones del problema y determine la región crítica para un nivel de significación α = b) (1 punto) Con los datos de esta muestra, qué conclusión debe obtener el agricultor sobre la producción media por naranjo de su finca, utilizando ese mismo nivel de significación?

12 UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas. OPCIÓN A EJERCICIO 1 Sea el recinto del plano definido por el siguiente sistema de inecuaciones: 3x + y 4; x + y 6; 0 y 5. a) (1 punto) Represéntelo gráficamente. b) (1 punto) Calcule los vértices de dicho recinto. c) (0.5 puntos) En el recinto anterior, halle los valores máximo y mínimo de la función F ( x, y) = 5x + 3y. En qué puntos se alcanzan dichos valores? EJERCICIO Un consultorio médico abre a las 5 de la tarde y cierra cuando no hay pacientes. La expresión que representa el número medio de pacientes en función del tiempo en horas, t, que lleva abierto el consultorio es N( t) = 4t t a) (1 punto) A qué hora el número medio de pacientes es máximo? Cuál es ese máximo? b) (1 punto) Sabiendo que el consultorio cierra cuando no hay pacientes, a qué hora cerrará? c) (0.5 puntos) Represente gráficamente N( t) = 4t t, con N ( t) 0. EJERCICIO 3 En una capital se editan dos periódicos, CIUDAD y LA MAÑANA. Se sabe que el 85% de la población lee alguno de ellos, que el 18% lee los dos y que el 70% lee CIUDAD. Si elegimos al azar un habitante de esa capital, halle la probabilidad de que: a) (0.75 puntos) No lea ninguno de los dos. b) (0.75 puntos) Lea sólo LA MAÑANA. c) (1 punto) Lea CIUDAD, sabiendo que no lee LA MAÑANA. EJERCICIO 4 (.5 puntos) En una determinada especie animal el porcentaje de mortalidad debida a una enfermedad vírica es de al menos un 40%. Se está realizando un estudio para probar la eficacia de un fármaco que permite tratar esa enfermedad y, consecuentemente, reducir el porcentaje de mortalidad en esa especie. Para ello, se suministró el fármaco a 50 sujetos enfermos, elegidos al azar, de los que murieron 14. A la vista de estos datos, y tomando como nivel de significación 0.015, se puede afirmar que existe evidencia estadística suficiente para rechazar la hipótesis H : p 0.4, donde p es la proporción, y por lo tanto aceptar la eficacia del fármaco? 0

13 UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas. OPCIÓN B EJERCICIO 1 Sean las matrices: c d 6 P =, Q = y R =. a b a) (1 punto) Calcule, si es posible, P Q y Q P, razonando la respuesta. b) (1.5 puntos) Cuánto deben valer las constantes a, b, c y d para que P Q = R? EJERCICIO x ax + 3 si x 1 Sea la función f ( x) =. ax 6x + 5 si x > 1 a) (0.5 puntos) Calcule el valor de a para que f sea continua en x = 1. b) ( puntos) Para a = 1, represente su gráfica y, a la vista de ella, indique su monotonía y las coordenadas de sus extremos locales. EJERCICIO 3 Un dado tiene seis caras, tres de ellas marcadas con un 1, dos marcadas con una X y la otra marcada con un. Se lanza tres veces ese dado. a) (0.5 puntos) Cuál es la probabilidad de obtener tres veces el 1? b) (1 punto) Cuál es la probabilidad de obtener dos X y un en cualquier orden? c) (1 punto) Cuál es la probabilidad de obtener tres resultados diferentes? EJERCICIO 4 a) (1.5 puntos) La altura de los alumnos de una Universidad sigue una distribución Normal de media desconocida y desviación típica 11 cm. Calcule el tamaño mínimo que ha de tener una muestra aleatoria de esos alumnos para que el error cometido al estimar la altura media sea inferior a 1cm, con un nivel de confianza del 98%. b) (1.5 puntos) Dada la población { 10, 1, 17 }, escriba todas las muestras de tamaño mediante muestreo aleatorio simple y calcule la media y la desviación típica de las medias muestrales.

14 Resolución del examen de Selectividad de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Andalucía Junio de 008 Antonio Francisco Roldán López de Hierro * 19 de junio de 008 Ejercicio 1 Sean las matrices A = Opción A! y B = a b 6 1!. a) ( 1 5 puntos) Calcule los valores de a y b para que A B = B A. b) ( 1 5 puntos) Para a = 1 y b = 0, resuelva la ecuación matricial X B A = I. Solución : Calculemos los productos A B y B A:! A B = 0 a b B A = a b 6 1! 0 3 0!! = 1 3a 3b = 3b a 3 1!! ; : Para que estas dos matrices sean iguales, deben coincidir elemento a elemento, y ello ocurrirá únicamente si 3a = 3 y 3b = 1, de donde concluimos que A y B conmutan si, y sólo si, a = 1 y b = 4. Por otro lado, si a = 1 y b = 0, la matriz B es B = * Profesor del I.E.S. Acci de Guadix (Granada) - : 1

15 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 008 De esta forma, el determinante de la matriz B es distinto de cero (de hecho, det B = 1), lo que signi ca que es una matriz regular, y precisamente su matriz inversa es:!! B 1 = 1 det B B et = = : Así, la ecuación matricial se resuelve despejando la matrix X: La matriz X = X B A = I, X B = A + I, X = (A + I ) B 1,, X = " 0 3 0! ! # B 1 = 1 3 1! 1 0! 11 = : 3 1! 11 es la única solución de la ecuación matricial dada x >< ; si x < ; x 1 Ejercicio Sea la función de nida de la forma f (x) = >: x 10x; si x ;! = a) ( 0 5 puntos) Halle el dominio de f. b) ( 1 5 puntos) Estudie la derivabilidad de f en x =. c) ( 1 5 puntos) Halle la ecuación de la recta tangente a la grá ca de f en el punto de abscisa x = 0. Solución : En el intervalo [; +1[, la función f está de nida de una forma polinómica, por lo que podemos asegurar que está bien de nida y además es continua en el subintervalo abierto ]; +1[ (en el extremo inferior x = aún no sabemos si es o no continua porque no hemos estudiado el límite puntual por la izquierda). Por otro lado, si x <, la función pretende estar de nida de manera racional, pero el denominador se anula en el punto x = 1, por lo que debemos excluir este punto del dominio de f. En consecuencia, podemos a rmar que el mayor dominio posible en el que se puede considerar la función f correctamente de nida es: dom f = R f1g : Para estudiar la derivabilidad de f en x =, hemos de estudiar primeramente si es continua en dicho punto. En primer lugar, observamos que el punto está en el dominio, es decir, x = Andalucía Curso 007/08 Antonio Roldán

16 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 008 dom f y su imagen por f es f () = 8 0 = 1. Veamos ahora si f posee límite en x = estudiando sus límites laterales en dicho punto: f = lm x! f (x) = lm x! x x 1 = 4 1 = 4; f + = lm f (x) = lm x! + x! x 10x = 8 0 = 1: + Como los límites laterales de f en x = existen pero son distintos, podemos a rmar que la función f no es continua en x = y, por consiguiente, tampoco es derivable en x = (si fuese derivable, entonces sería continua en dicho punto, lo cual no ocurre). Finalmente, la ecuación de la recta tangente a f en el punto de abscisa x = 0, si existe, es: y f (0) = f 0 (0) (x 0) : Por un lado, es sencillo calcular f (0) = 0= ( 1) = 0. Por otro lado, debemos calcular f 0 (0), si existe. Dado el carácter local de la derivación, para derivar f en x = 0 basta con derivar la expresión x= (x 1), pues coincide con f en el intervalo abierto ] 1; [, que contiene al punto x = 0. De esta forma: x < ; x x 1 0 = (x 1) x (x 1) = Así, f 0 (0) = = ( 1) =, y la ecuación de la recta buscada es: (x 1) : y f (0) = f 0 (0) (x 0), y 0 = (x 0), y = x: Concluimos entonces que la recta tangente a la grá ca de f en el punto de abscisa x = 0 es la recta de ecuación y = x. Ejercicio 3 a) ( 1 punto) Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. Sabiendo que p (A) = 0 0 5, que p (B) = y que p (A [ B) = 0 0 8, determine p (A=B). b) ( 1 punto) Sean C y D dos sucesos de un mismo espacio muestral. Sabiendo que p (C) = 0 0 3, que p (D) = y que C y D son independientes, determine p (C [ D). Solución : Esencialmente, la fórmula que se utiliza en este ejercicio es la relación: p (A [ B) = p (A) + p (B) p (A \ B) ; válida para cualesquiera sucesos A y B de un mismo espacio de probabilidad. Esta igualdad nos permite despejar: p (A \ B) = p (A) + p (B) p (A [ B) = = 0 0 1; Andalucía Curso 007/08 3 Antonio Roldán

17 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 008 y de aquí, la probabilidad condicionada p (A=B) es: p (A=B) = p (A \ B) p (B) = = 1 4 : De la misma forma, sabemos que una de las posibles caracterizaciones de la independencia de sucesos es: C y D son independientes, p (C \ D) = p (C) p (D) : Utilizando este hecho, podemos deducir la siguiente probabilidad: p (C [ D) = p (C) + p (D) p (C \ D) = p (C) + p (D) p (C) p (D) = = = = : Esto acaba el ejercicio. Ejercicio 4 El número de días de permanencia de los enfermos en un hospital sigue una ley Normal de media días y de desviación típica 3 días. a) ( 1 punto) Determine un intervalo de con anza para estimar, a un nivel del 97 %, con una muestra aleatoria de 100 enfermos cuya media es de 8 1 días. b) ( 1 punto) Qué tamaño mínimo debe tener una muestra aleatoria para poder estimar con un error máximo de 1 día y un nivel de con anza del 9 %? Solución : Sea X la variable aleatoria que mide el tiempo (en días) de permanencia en el hospital de un enfermo tomado al azar. Según indica el problema, de esta variable sabemos que X,! N (; = 3), siendo la media desconocida. Se elige una muestra aleatoria de tamaño n = 100, que arroja una media muestral de x = días. Como la población de partida es Normal, el intervalo de con anza solicitado es: I:C: = x z = pn : Para aplicar esta fórmula, es necesario calcular el valor crítico z = al nivel de con anza del 97 % (o lo que es lo mismo, a un nivel de signi cación = 3 % = ). Para ello, recordamos que el número z = es el único número real que cumple que p Z > z = = = = , siendo Z una variable con distribución Normal estándar. Como disponemos de una tabla de colas a la izquierda, traducimos esta condición con el suceso opuesto, es decir, p Z z = = = Buscamos este valor en la tabla de la distribución Normal estándar, encontrando el valor crítico Andalucía Curso 007/08 4 Antonio Roldán

18 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 008 z = = z = 0 17, como se aprecia en el siguiente grá co. y 0'97 0'015 0'015 _ z 0'015 z 0'015 Z,! N (0; 1) x De esta forma, el intervalo de con anza es: I:C: = x z = pn = p 100 = = ; : Esto signi ca que el tiempo medio de permanencia en el hospital,, al 97 % de con anza, varía entre 7 45 y 8 75 días, aproximadamente. Por otro lado, supongamos que queremos determinar un intervalo de con anza para la media con un error máximo de E = 1 día al 9 % de con anza. Entonces debemos tomar una muestra aleatoria de un tamaño n que veri que z= n ; E donde z = es el valor crítico correspondiente a un nivel de con anza p = 1 = 9 % (o lo que es lo mismo, a un nivel de signi cación = ). Razonando como antes, sabemos que p Z > z = = = = , lo que se traduce en que p Z z = = = Buscamos este valor en la tabla de colas a la izquierda de la distribución Normal estándar, y encontramos el valor crítico z = = Con estos datos, el tamaño mínimo n que debemos tomar en una muestra es: z= n = = : E 1 Por consiguiente, para que el error cometido por el correspondiente intervalo de con anza para sea inferior a un día, al 9 % de con anza, el menor número de personas que debemos tomar en una muestra aleatoria es de 8 individuos. Andalucía Curso 007/08 5 Antonio Roldán

19 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 008 Opción B Ejercicio 1 a) ( puntos) Represente grá camente la región determinada por las siguientes restricciones: x + y 6 ; 4x + y 10 ; x + y 3 ; x 0 ; y 0: b) ( 1 punto) Calcule el máximo de la función f (x; y) = 4x + y 3 en el recinto anterior e indique dónde se alcanza. Solución : Llamemos R al recinto buscado. Una forma de dibujar sus bordes consiste en hacer igualdades las desigualdades y calcular los puntos en los que estas rectas cortan a los ejes de coordenadas. 8 < (3; 0) x + y 6! : (0; 6) 8 < ( 0 5; 0) 4x + y 10! : (0; 10) Con estos puntos, ya podemos dibujar los bordes del recinto. y x 8 < ( 3; 0) x + y 3! : (0; 3) El primer cuadrante (delimitado por las inecuaciones x 0 e y 0) queda así dividido en siete recintos, cinco de ellos acotados y dos no acotados. Comprobando cuál de ellos veri ca, a la vez, las cinco inecuaciones del sistema, determinamos que el recinto R que buscamos es el único recinto del primer cuadrante que posee al punto A (0; 0) como vértice. Otros dos de sus vértices son B (0; 3) y E ( 0 5; 0). Calculamos sus otros dos vértices encontrando dónde se cortan las rectas distintas de los ejes coordenados: 8 < : x + y = 6 4x + y = 10 8 < : x + y = 6 x + y = 3 x = ; y = x = 1; y = 4 y B C R D A E Andalucía Curso 007/08 6 Antonio Roldán x

20 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 008 De esta forma, podemos a rmar que los vértices de la región R determinada por las restricciones dadas son: A (0; 0) ; B (0; 3) ; C (1; 4) ; D (; ) ; E 0 5; 0 : El Teorema Fundamental de la Programación Lineal a rma que la función f (x; y) = 4x + y 3 alcanza máximo y mínimo absolutos en la región acotada R, y que estos extremos deben estar situados en sendos vértices del recinto, por lo que evaluamos F en los puntos anteriores: f (0; 0) = 3; f (0; 3) = 6 3 = 3; f (1; 4) = = 9; f (; ) = = 9; f 0 5; 0 = 10 3 = 7: Observamos entonces que el valor máximo de f en el recinto R es 9 (no se nos pide el valor mínimo). No obstante, este valor extremo no se alcanza en un único vértice, sino que observamos que hay dos vértices consecutivos del recinto en los que se alcanza dicho valor máximo. Entonces sabemos la función f toma el mismo valor en todos los puntos del segmento cerrado que une vértices consecutivos al mismo nivel. Esto nos permite concluir que la función f alcanza su valor máximo (que es 9) en el recinto R en todos los puntos del segmento cerrado de extremos C (1; 4) y D (; ). 8 < x + ax + b; si x < 1; Ejercicio Sea la función f de nida mediante f (x) = : L (x) ; si x 1: a) ( 1 5 puntos) Determine a y b sabiendo que f es continua y tiene un mínimo en x = 1. b) ( 1 5 puntos) Para a = 1 y b = 1, estudie la derivabilidad de f en x = 1 y en x = 1. Solución : La función f está de nida en el intervalo abierto ] 1; 1[ como una función polinómica, y en el intervalo abierto ]1; +1[ como la función logaritmo neperiano. Por tanto, dado el carácter local de la continuidad y de la derivabilidad, de entrada, podemos a rmar que f es continua y derivable en R f1g. El único punto en el que puede fallar la continuidad es en el punto x = 1. Estudiemos qué relación deben veri car los coe cientes a y b para que f sea continua en x = 1. Para ello, calculamos los límites laterales de f en x = 1 y establecemos que sean iguales. f 1 = lm x!1 f (x) = lm x!1 x + ax + b = 1 + a + b; f 1 + = lm f (x) = lm L (x) = L (1) = 0: x!1 + x!1 + Para que f sea continua en x = 1, es necesario (y su ciente) que 1+a+b = 0, es decir, a+b = 1. Por otro lado, si f alcanza un mínimo en x = 1, entonces debe cumplirse que f 0 ( 1) = 0, ya que se ha comentado que f es derivable en dicho punto. Dado que si x < 1 se tiene que: f 0 (x) = x + ax + b 0 = x + a; Andalucía Curso 007/08 7 Antonio Roldán

21 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 008 entonces: f 0 ( 1) = 0, + a = 0, a = : Sabiendo ahora que f es continua en x = 1, podemos despejar: a + b = 1 ) b = a 1 = 1 = 3: Por consiguiente, concluimos que los valores que hacen que f sea continua y, a la vez, tenga un mínimo en x = 1, son a = y b = 3. Supongamos ahora que a = 1 y b = 1. Entonces podemos a rmar lo siguiente. La función f es derivable en x = 1, pues ya se ha expuesto antes que, sean cuales sean los valores de a y de b, la función f es derivable en R f1g. La función f no es derivable en x = 1 ya que en dicho punto no es continua. Para ser continua en x = 1, hemos visto que los valores a y b deben veri car la relación a + b = 1, y los valores a = 1 y b = 1 no la cumplen. Así, f no es continua en x = 1 y, en consecuencia, no puede ser derivable en dicho punto. Esto acaba el ejercicio. Ejercicio 3 Se sabe que el 30 % de los individuos de una población tiene estudios superiores; también se sabe que, de ellos, el 95 % tiene empleo. Además, de la parte de la población que no tiene estudios superiores, el 60 % tiene empleo. a) ( 1 punto) Calcule la probabilidad de que un individuo, elegido al azar, tenga empleo. b) ( 1 punto) Se ha elegido un individuo aleatoriamente y tiene empleo; calcule la probabilidad de que tenga estudios superiores. Solución : Llamemos S al suceso elegido un individuo al azar en la población, éste tiene estudios superiores, y llamemos E al suceso elegido un individuo al azar en la población, éste tiene empleo. Como hay un 30 % de personas con estudios superiores, sabemos que p (S) = 0 0 3, y sin estudios superiores habrá un 70 %, es decir, p S C = 1 p (S) = Entre los que tienen estudios superiores, hay un 95 % de personas con empleo, lo que nos indica la probabilidad condicionada p (E=S) = Igualmente, entre las personas que no tienen estudios superiores, hay un 60 % que tienen empleo, y así p E=S C = Con estas verosimilitudes y probabilidades Andalucía Curso 007/08 8 Antonio Roldán

22 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 008 a priori, podemos completar el siguiente diagrama en árbol E S E 6 S C E C 0 4 E C Aplicando entonces el Teorema de la Probabilidad Total, deducimos que la probabilidad de que un individuo, seleccionado al azar, tenga empleo es: p (E) = p (S) p ( ) E + p ( S C) ( ) E p S S C = = = Por otro lado, aplicando el Teorema de Bayes (o bien directamente la definición de probabilidad condicionada), seleccionado un individuo al azar que tiene empleo, la probabilidad de que tenga estudios superiores es: ( ) S p (S E) p = = E p (E) p (S) p ( E S = = = p (S) p ( ) E S ) + p (S C ) p ( ) = E S C Aproximadamente, esta probabilidad es del %. { } Ejercicio 4 Sea la población 1,, 3, = a) ( 1 punto) Construya todas las muestras posibles de tamaño, mediante muestreo aleatorio simple. b) ( 1 punto) Calcule la varianza de las medias muestrales. Solución : Llamemos X a la variable aleatoria que mide la media muestral de los dos números obtenidos mediante muestreo aleatorio simple en la población indicada. Salvo que se indique lo contrario, el muestreo aleatorio simple se entiende con reemplazamiento. Por consiguiente, todas las muestras posibles de tamaño dos son: (1, 1), (1, ), (1, 3), (1, 4), (, 1), (, ), (, 3), (, 4) (3, 1), (3, ), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, ), (4, 3), (4, 4) El elemento (1, 1) significa que en la primera extracción sacamos un 1 y en la segunda extracción, después de devolver a la población el número encontrado, volvemos a sacar un 1. Igualmente, el elemento (3, ) indica que primero sacamos un 3 y, después de devolverlo a la población, Andalucía Curso 007/08 9 Antonio Roldán.

23 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 008 sacamos un. Haciendo la media de los dos números obtenidos en cada una de las posibilidades anteriores, tenemos la siguiente tabla de frecuencias, con la que podemos determinar la varianza de las medias muestrales: x i n i x i n i x i n i >< >: X = X = P i x i n i N P i x i n i N = = 5 ; X = = 5 8 : Esto concluye que la varianza de las medias muestrales de tamaño es 5=8. Nota 1 Hay una segunda forma de resolver el ejercicio anterior que es especialmente sencilla. Basta con calcular la media y la varianza de la población f1; ; 3; 4g con las fórmulas usuales: = = 10 4 = 5 = 0 5; = (1 0 5) + ( 0 5) + (3 0 5) + (4 0 5) 4 = Recordemos que el Teorema Central del Límite establece lo siguiente: Dada una población de media y desviación típica (no necesariamente Normal), la distribución de las medias muestrales X n de tamaño n veri ca: Xn = ; Xn = n ; y, a medida que n crece, dicha distribución se aproxima a una distribución Normal (es casi Normal cuando n 30). No obstante, hay ocasiones en que los parámetros muestrales siguen cumpliendo las relaciones anteriores aun cuando la población de partida ni es Normal ni se toma una muestra su cientemente grande. Es el caso de la población que aquí manejamos, que cumple: X = = 5 ; X = n = 5=4 = 5 8 : Este segundo procedimiento también nos lleva a demostrar que la varianza de las medias muestrales de tamaño es 5=8. = 5 4 : Andalucía Curso 007/08 10 Antonio Roldán

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35 Resolución del examen de Selectividad de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Andalucía Junio de 009 Antonio Francisco Roldán López de Hierro * 18 de junio de 009 Opción A Ejercicio 1 Sea la igualdad A X + B = A, donde A, X y B son matrices cuadradas de la misma dimensión. (a) (1 punto) Despeje la matriz X en la igualdad anterior, sabiendo que A tiene inversa. (b) ( puntos) Obtenga la matriz X en la igualdad anterior, siendo! A = y B = 1 3 1! : Solución : Apartado (a). Primero se despeja A X (pasando B restando al segundo miembro) y luego se multiplica por la inversa de A por la izquierda: A X + B = A, A X = A B, A 1 A X = A 1 (A B),, I X = A 1 A A 1 B, X = I A 1 B; donde I es la matriz identidad de la misma dimensión que A. También hubiese valido X = A 1 (A B). X = A 1 (A B) = I A 1 B Apartado (b). Teniendo en cuenta que el determinante de A es 1, su matriz inversa es:!! A 1 = 1 det A adj AT = = : 1 1 * Profesor del I.E.S. Acci de Guadix (Granada) - 1

36 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 009 De esta forma, podemos calcular la matriz X utilizando el apartado anterior:!!! X = I A 1 B = = !!! = = : Concluimos que la matriz X solicitada es: X = ! : 8 < x + x; si x < 0; Ejercicio Sea la función f (x) = : x ; si x 0: x + 1 (a) ( puntos) Analice la continuidad y la derivabilidad de la función f en su dominio. (b) (0 5 puntos) Determine la asíntota horizontal, si la tiene. (c) (0 5 puntos) Determine la asíntota vertical, si la tiene. Solución : Apartado (a). En el intervalo abierto R = ] 1; 0[, la función f está de nida de forma polinómica (un trozo de parábola), por lo que es continua y derivable en este intervalo. De la misma forma, En el intervalo abierto R + = ]0; +1[, la función f está de nida de forma racional (un trozo de hipérbola), de manera que el denominador no se anula en todo este intervalo (sólo lo hace en x = 1). Por tanto, en este otro intervalo, f también es continua y derivable. Hemos deducido, pues, que f es continua y derivable en Rf0g, y queda por estudiar qué ocurre en x = 0. f (0) = = 0; 8 >< >: f (0 ) = lm x!0 f (x) = lm x!0 x + x = 0 f (0 + x ) = lm f (x) = lm x!0 + x!0 + x + 1 = = 0 f (0) = 0 = lm x!0 f (x) : 9 >= >; ) lm x!0 f (x) = 0; De las tres propiedades anteriores deducimos que f es continua en x = 0 y, por tanto, es continua en R. Estudiamos a continuación su derivabilidad en x = 0. En puntos distintos de Andalucía Curso 008/09 Antonio Roldán

37 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 009 cero su primera derivada se obtiene derivando cada trozo: 8 >< x + 1; si x < 0; x 6= 0; f 0 (x) = 1 >: (x + 1) si x > 0: Estudiamos si existen los límites laterales de la función primera derivada en x = 0: f 0 0 = lm f 0 (x) = lm x!0 x!0 (x + 1) = = 1; f = lm x!0 + f 0 (x) = lm x!0 + 1 (x + 1) = 1 (0 + 1) = 1: Como f es continua en R, derivable alrededor de x = 0 y en este punto existen los límites laterales de la función derivada y son iguales, concluimos que f es derivable en x = 0 y su derivada en este punto coincide con los límites laterales de la derivada en dicho punto. La función f es continua y derivable en R. Apartado (b). A la izquierda (en 1), f no posee ninguna asíntota horizontal, pues coincide con una función parabólica (es todo caso, se dice que posee una rama parabólica). Se comprueba de una manera sencilla que: lm f (x) = lm x! 1 x! 1 x + x = lm ( x) + ( x) = lm x!+1 x!+1 x x = +1: Sin embargo, a la derecha (en +1), f coincide con una función hiperbólica, que posee una asíntota horizontal. Es sencillo calcular: lm f (x) = x!+1 lm x!+1 x x + 1 = 1: Por consiguiente, la recta y = 1 es asíntota horizontal de f (a la derecha). La recta y = 1 es asíntota horizontal de la función f (a la derecha). Apartado (c). La función f no posee ninguna asíntota vertical pues es continua en todo R. Dibujamos la función f para comprobar algunos de los datos del ejercicio anterior. y x Andalucía Curso 008/09 3 Antonio Roldán

38 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 009 Ejercicio 3 Un turista que realiza un crucero tiene un 50 % de probabilidad de visitar Cádiz, un 40 % de visitar Sevilla y un 30 % de visitar ambas ciudades. Calcule la probabilidad de que: (a) (0 5 puntos) Visite al menos una de las dos ciudades. (b) (0 5 puntos) Visite únicamente una de las dos ciudades. (c) (0 5 puntos) Visite Cádiz pero no visite Sevilla. (d) (0 5 puntos) Visite Sevilla, sabiendo que ha visitado Cádiz. Solución : Llamemos C y S a los sucesos elegido/a un/a turista al azar, éste/a visita Cádiz o Sevilla, respectivamente. Según los datos del enunciado, p (C) = 0 0 5, p (S) = y p (C \ S) = Con estos datos, podemos realizar el siguiente diagrama de Venn: C S 0' 0'3 0'1 De esta forma, todos los apartados son inmediatos. No obstante, utilizamos algunas fórmulas para justi carlos: (a) p (C [ S) = p (C) + p (S) p (C \ S) = = 0 0 6: (b) p ( una sóla ciudad ) = p (CS) + p (SC) = (p (C) p (C \ S)) + (p (S) p (C \ S)) = = = = 0 0 3: (c) p (CS) = p (C) p (C \ S) = = 0 0 : S p (C \ S) (d) p = = 00 3 C p (C) = 3 5 = 00 6: (a) p (C [ S) = 0 0 6: (b) p ( una sóla ciudad ) = 0 0 3: (c) p (CS) = 0 0 : (d) S p = 0 0 6: C Ejercicio 4 El tiempo (en horas) que permanecen los coches en un determinado taller de reparación es una variable aleatoria con distribución Normal de desviación típica 4 horas. Andalucía Curso 008/09 4 Antonio Roldán

39 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 009 (a) (1 punto) Se eligieron, al azar, 16 coches del taller y se comprobó que, entre todos, estuvieron 136 horas en reparación. Determine un intervalo de con anza, al 98.5 %, para la media del tiempo que permanecen los coches en ese taller. (b) (1 punto) Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra que permita estimar la media del tiempo que permanecen en reparación los coches en ese taller con un error en la estimación no superior a una hora y media y con el mismo nivel de con anza del apartado anterior. Solución : Llamemos X a la variable aleatoria que mide el tiempo (en horas) que permanece un coche, elegido al azar, en ese taller de reparación. De esta variable sabemos que X,! N (; = 4), donde la media es desconocida. Apartado (a). Si se eligieron 16 coches al azar y, entre todos, estuvieron 136 horas en el taller, podemos decir que la media del tiempo que estuvieron estos coches en el taller es de x = 136=16 = horas. Como X sigue una distribución Normal, el intervalo de con anza para la media del tiempo que permanecen los coches en ese taller es: I:C: = x z = pn : Para aplicar esta fórmula, es necesario calcular el valor crítico z = al nivel de con anza del 98 5 % (o lo que es lo mismo, a un nivel de signi cación = % = ). Para ello, recordamos que el número z = es el único número real que cumple que p Z > z = = = = , siendo Z una variable con distribución Normal estándar. Como disponemos de una tabla de colas a la izquierda, traducimos esta condición con el suceso opuesto, es decir, p Z z = = = Buscamos este valor en la tabla de la distribución Normal estándar, encontrando el valor crítico z = = z = 0 43, como se aprecia en el siguiente grá co. y 0'985 0'0075 0'0075 _ z 0'0075 z 0'0075 Z,! N (0; 1) x Andalucía Curso 008/09 5 Antonio Roldán

40 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 009 De esta forma, el intervalo de con anza es: i h I:C: = x z = pn = i I:C: = ; p 16 = ] [ = ] ; [ : Esto signi ca que el tiempo medio,, de permanencia de los coches en ese taller está entre 6 07 y horas, al 98 5 % de con anza. Apartado (b). Por otro lado, supongamos que queremos determinar un intervalo de con- anza para la media con un error máximo de E = horas al 98 5 % de con anza. Entonces debemos tomar una muestra aleatoria de un tamaño n que veri que: z= n ; E donde z = es el mismo valor crítico que en el apartado anterior. Con estos datos, el tamaño mínimo n que debemos tomar en una muestra veri ca: z= n = E 1 0 = = : 5 Por consiguiente, para que el error cometido por el correspondiente intervalo de con anza para sea inferior a una hora y media, al 98 5 % de con anza, el menor número de coches que debemos tomar en una muestra aleatoria es de 4 de ellos. 4 coches. h : Opción B Ejercicio 1 (a) (1 5 puntos) Dibuje el recinto de nido por las siguientes restricciones: x + y ; x y 0; y 4; x 0: (b) (1 punto) Determine el máximo y el mínimo de la función F (x; y) = x+y en el recinto anterior y los puntos donde se alcanzan. (c) (0 5 puntos) Pertenece el punto 1 3 ; 4 3 al recinto anterior? Justi que la respuesta. Solución : Apartado (a). Llamemos R al recinto determinado por las desigualdades anteriores. Para dibujar el recinto R, determinamos un par de puntos de cada recta (por ejemplo, donde Andalucía Curso 008/09 6 Antonio Roldán

41 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 009 corta a los ejes de coordenadas) que delimita el recinto, la cual se consigue estableciendo la iguadad en cada desigualdad. 8 8 < (; 0) ; < (0; 0) ; x + y =! x y = 0! : (0; ) ; : (1; 1) : Con estos puntos, ya podemos dibujar los bordes del recinto. 8 < (0; 4) ; y = 4! : (1; 4) : 8 < (0; 0) ; x = 0! : (0; 1) : y x Buscamos cuál de estos recintos veri ca todas las condiciones dadas, resultando el recinto en el que está el punto (1; 3) (marcado en el dibujo anterior). De esta forma, el recinto R es el siguiente: y A B C R 1 D Los vértices de la región R determinada por las restricciones dadas son: A (0; ) ; B (0; 4) ; C (4; 4) ; D (1; 1) : x Apartado (b). Consideremos la función F (x; y) = x + y. El Teorema Fundamental de la Programación Lineal a rma que la función F alcanza máximo y mínimo absolutos en la región acotada R, y que estos extremos deben estar situados en ciertos vértices del recinto, por lo que evaluamos F en los puntos anteriores: F (0; ) = ; F (0; 4) = 4; F (4; 4) = 8; F (1; 1) = : Andalucía Curso 008/09 7 Antonio Roldán

42 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 009 Esto signi ca lo siguiente. El valor máximo de F en la región R es 8 y se alcanza en el punto (4; 4). Igualmente, el valor mínimo de la función F en el recinto R es y se alcanza en todos los puntos del segmento cerrado de extremos (0; ) y (1; 1). Apartado (c). El punto 1 3 ; 4 3 no cumple la inecuación x+y, ya que = 5 3 = 10 b6 <. Por tanto, no pertenece al recinto R. El punto 1 3 ; 4 3 no pertenece al recinto dado. Ejercicio Un estudio acerca de la presencia de gases contaminantes en la atmósfera de una ciudad indica que el nivel de contaminación viene dado por la función: C (t) = 0 0 t + 4t + 5; 0 t 5 (t = años transcurridos desde el año 000). (a) (1 punto) En qué año se alcanzará un máximo en el nivel de contaminación? (b) (1 punto) En qué año se alcanzará el nivel de contaminación cero? (c) (1 punto) Calcule la pendiente de la recta tangente a la grá ca de la función C(t) en t = 8. Interprete el resultado anterior relacionándolo con el crecimiento o decrecimiento. Solución : Como la función C es claramente un trozo de parábola cóncava, no nos cuesta ningún trabajo dibujarla. Su vértice está situado en: t v = b a = = 10: Con tres puntos de una tabla de valores (los extremos del intervalo de de nición y el vértice de la parábola) podemos dibujar la función C: t C (t) y x Andalucía Curso 008/09 8 Antonio Roldán

43 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 009 Apartado (a). El máximo de la función C está en t = 10, pues es su vértice. Por tanto, como partimos del año 000, el año de máxima contaminación será el año 010. Apartado (b). La función anterior únicamente vale cero (corta al eje de abscisas) cuando t = 5, por lo que deducimos que: el año de contaminación cero será el año 05. Apartado (c). La pendiente de la recta tangente a la grá ca de la función C = C(t) en t = 8 es la derivada C 0 (8). Como C 0 (t) = 0 0 4t + 4, resulta que C 0 (8) = = > 0. Por consiguiente, la pendiente de la recta tangente a la grá ca de la función C = C(t) en t = 8 es C 0 (8) = Que esta pendiente sea positiva signi ca que la función C = C(t) es estrictamente creciente en t = 8, es decir, el nivel de contaminación crece en 008. Ejercicio 3 En un centro escolar, los alumnos de o de Bachillerato pueden cursar, como asignaturas optativas, Estadística o Diseño Asistido por Ordenador (DAO). El 70 % de los alumnos estudia Estadística y el resto DAO. Además, el 60 % de los alumnos que estudia Estadística son mujeres y, de los alumnos que estudian DAO son hombres el 70 %. (a) (1 punto) Elegido un alumno al azar, cuál es la probabilidad de que sea hombre? (b) (1 punto) Sabiendo que se ha seleccionado una mujer, cuál es la probabilidad de que estudie Estadística? Solución : Llamemos E y DAO a los sucesos elegido/a un/a alumno/a al azar, éste/a estudia Estadística o Diseño Asistido por Ordenador, respectivamente. De la misma forma, llamemos H y M a los sucesos elegido/a un/a alumno/a al azar, éste/a resulta ser hombre o mujer, respectivamente. El enunciado nos dice que p (E) = 0 0 7, por lo que p (DAO) = ya que hay que elegir obligatoriamente alguna de las dos asignaturas. También sabemos que p (M=E) = 0 0 6, Andalucía Curso 008/09 9 Antonio Roldán

44 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 009 de donde p (H/E) = 0 4, y además p (H/DAO) = 0 7, de donde p (M/DAO) = 0 3. Con todas estas probabilidades construimos el siguiente diagrama en árbol: 0 4 H E M H 7 DAO 0 3 M Apartado (a). Aplicando el Teorema de la Probabilidad Total, deducimos que la probabilidad de que una persona, seleccionada al azar, sea un hombre es: p(h) = p (E) p ( ) ( ) H H + p (DAO) p = E DAO = = Apartado (b). Como hay un 49 % de hombres, debe haber un 51 % de mujeres, por lo que p (M) = Aplicando la definición de probabilidad condicionada: ( ) E p (E M) p = = p (E) p ( ) M E = M p (M) p (M) 0 = = ( ) E (a) p (H) = (b) p = 4 M Ejercicio 4 En un estudio de mercado del automóvil en una ciudad se ha tomado una muestra aleatoria de 300 turismos, y se ha encontrado que 75 de ellos tienen motor diésel. Para un nivel de confianza del 94 %: (a) (1 5 puntos) Determine un intervalo de confianza de la proporción de turismos que tienen motor diésel en esa ciudad. (b) (0 5 puntos) Cuál es el error máximo de la estimación de la proporción? Solución : Apartado (a). Como hay 75 coches con motor diésel en una muestra de tamaño n = 300, la proporción muestral de coches con motor diésel es ˆp = 75/300 = 0 5. Dado que n 30, n ˆp = = 75 5 y n (1 ˆp) = = 5 5, podemos utilizar la aproximación de De Moivre para obtener la fórmula de intervalo del confianza para la proporción poblacional de coches en esa ciudad con motor diésel, que es: ] [ ˆp (1 ˆp) I.C. = ˆp ± z α/. n Andalucía Curso 008/09 10 Antonio Roldán

45 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 009 Para aplicar esta fórmula, es necesario calcular el valor crítico z = al nivel de con anza del 94 % (o lo que es lo mismo, a un nivel de signi cación = 6 % = ). Para ello, recordamos que el número z = es el único número real que cumple que p Z > z = = = = , siendo Z una variable con distribución Normal estándar. Como disponemos de una tabla de colas a la izquierda, traducimos esta condición con el suceso opuesto, es decir, p Z z = = = Buscamos este valor en la tabla de la distribución Normal estándar, encontrando el valor crítico z = = (realmente no es el valor exacto, pero es mejor aproximación que 1 89). y 0'94 0'03 0'03 _ z 0'03 z 0'03 x Z,! N (0; 1) De esta forma, el intervalo de con anza es: # r " # r ^p (1 ^p) 0 I:C: = ^p z = = n 300 " = = ; : Esto signi ca que, al 94 % de con anza, la proporción de coches con motor diésel en esa ciudad está en el intervalo: es decir, entre el 0 3 % y el 9 7 %. i I:C: = ; Apartado (b). Si el intervalo de con anza es el anterior, el error máximo que puede cometer este intervalo (determinado al 94 % de con anza) es: h ; r ^p (1 E = z = n ^p) = r = = %: El error máximo de la estimación de la proporción es del 4 7 %. Andalucía Curso 008/09 11 Antonio Roldán