Qué característica tienen? Plan de clase (1/3) Escuela: Fecha: Profr. (a):

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1 Qué característica tienen? Plan de clase (1/3) Escuela: Fecha: Profr. (a): Curso: Matemáticas 2 Secundaria Eje temático: FEyM Contenido: Análisis y explicitación de las características de los polígonos que permiten cubrir el plano. Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen y exploren las características de los polígonos regulares con los que se puede cubrir un plano. Consigna: Trabajen en equipos. Se desea cubrir un piso con mosaicos usando un solo tipo de polígono regular. a) Cuáles de los siguientes polígonos regulares creen que sirve para fabricar esos mosaicos? b) Comprueben su respuesta anterior recortando de su material los polígonos, pegándolos en cartulina y usándolos como moldes para marcar el contorno y tratar de simular cómo cubren el piso. c) Cuáles fueron los polígonos regulares con los que sí pudieron cubrir el plano?

2 d) A qué creen que se deba que unos polígonos regulares sí permiten cubrir el plano sin encimarse y sin dejar huecos y otros no? Consideraciones previas: Para trabajar este desafío se requiere que los estudiantes tengan sus instrumentos geométricos y tijeras. En este desafío se pretende que los alumnos descubran dos cuestiones geométricas: Cuáles son los tres polígonos regulares que, usando un solo tipo de ellos, permiten cubrir el plano sin dejar huecos y sin encimarlos. Cuál es la característica que tienen estos tres polígonos regulares para que sea posible lo anterior. Se espera que los alumnos traten de hacer sus cubrimientos del plano usando los polígonos y se den cuenta que sólo el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono permiten lograr el propósito planteado. Algunos autores llaman a estos arreglos teselados uniformes, porque sólo se ocupa un tipo de figura. Es conveniente mencionar que estos arreglos se llaman teselados uniformes. No es posible hacer teselados uniformes con otros polígonos regulares. Por ejemplo, no hay manera de acomodar los pentágonos para que no dejen huecos entre sí. Esto se puede observar en la siguiente figura, pero será necesario que los alumnos lleguen a esta conclusión tratando de cubrir el plano con este polígono:

3 Si se nota que a los alumnos se les dificulta dar respuesta al inciso d), se sugiere invitarlos a analizar cuánto suman los ángulos que quedan alrededor de un vértice del teselado. Para que noten que en los casos en que sí se puede es porque el valor del ángulo interior es un divisor de 360º. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

4 Teselados uniformados Plan de clase (2/3) Escuela: Fecha: Profr. (a): Curso: Matemáticas 2. Secundaria Eje temático: FEyM Contenido: Análisis y explicitación de las características de los polígonos que permiten cubrir el plano. Intenciones didácticas: Que los alumnos formen teselados uniformes con polígonos irregulares. Consigna: Trabajen en equipos. Con todos los siguientes polígonos irregulares es posible cubrir el plano sin dejar huecos y sin que se encimen. Recorten de su material los polígonos, péguenlos en cartulina y úsenlos como moldes para marcar el contorno y formar teselados. Consideraciones previas:

5 Para trabajar este desafío se requiere que los estudiantes tengan sus instrumentos geométricos y tijeras. Es conveniente invitar a los alumnos a que exploren la manera en que pueden colocar las figuras para formar teselados uniformes, es decir, para cubrir el plano con un solo tipo de figuras sin dejar huecos y sin encimar las figuras. Podrán formar teselados como los siguientes: También hay que motivarlos a que, en los casos en que se puedan, exploren diferentes maneras de formar teselados con la misma figura. Por ejemplo, con el rectángulo: El trabajo con teselados tiene una gran riqueza didáctica:

6 Permite manipular las figuras y colocarlas en diferentes posiciones, esto subsanará el error de presentar siempre en la misma posición una figura y, por consiguiente, la imagen mental que el alumno tenga del polígono se enriquecerá. Desarrolla la creatividad y el sentido artístico del alumno. Implícitamente se trabajan relaciones geométricas: medidas de lados y de ángulos. De manera intuitiva se trabajan transformaciones en el plano: reflexión, traslación y rotación. Si el tiempo lo permite, se puede plantear a los alumnos las siguientes preguntas: Es posible cubrir el plano usando el mismo tipo de figura sin dejar huecos y sin encimarse usando a) Cualquier triángulo?, argumenta tu respuesta. b) Cualquier cuadrilátero?, argumenta tu respuesta. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

7 Teselados sin uniforme Plan de clase (3/3) Escuela: Fecha: Profr. (a): Curso: Matemáticas 2 Secundaria Eje temático: FEyM Contenido: Análisis y explicitación de las características de los polígonos que permiten cubrir el plano. Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen y construyan teselados no uniformes. Consigna: En equipo, resuelvan los siguientes problemas: 1. Analicen el siguiente teselado y respondan las preguntas. a) Cuánto mide un ángulo interior de un cuadrado? b) Cuánto mide un ángulo interior de un octágono regular? c) Cómo se combinan estas medidas para obtener 360º? d) Tiene que ver la combinación que hallaste en el inciso c) con la manera en que se unen los octágonos y cuadrados en el teselado? e) Argumenten su respuesta.

8 2: Calculen el valor de los ángulos de los rombos azules que se emplearon en el siguiente teselado. 3. Construyan un teselado no uniforme. Utilicen figuras con papel de colores pegados en un cuarto de cartulina. Consideraciones previas: Para trabajar este desafío se requiere que los estudiantes tengan sus instrumentos geométricos y tijeras. Los teselados no uniformes son aquellos que están formados por diferentes tipos de figuras, sean o no polígonos regulares. Para el problema 1, se espera que los alumnos se den cuenta de que las medidas de los ángulos interiores de las figuras es lo que determina que un teselado se pueda formar. La suma de los ángulos que concurren en un vértice debe ser 360º, en este caso, se tiene que alrededor de un vértice concurren dos octágonos y un cuadrado, la suma de los ángulos es: 135º + 135º + 90º = 360º

9 El uso de este hecho permitirá resolver el problema 2. Es probable que los alumnos se den cuenta de que en un vértice concurren tres ángulos del pentágono y el ángulo menor del rombo, si los tres deben sumar 360º, se tiene que: El valor del ángulo menor del rombo es: 36º. 108º + 108º + 108º + = 360º Mientras que en otros vértices concurren dos ángulos del pentágono y el ángulo mayor del rombo, entonces, este ángulo mide 144º. Se puede cuestionar a los alumnos: usando los valores que encontraron, se cumple que la suma de los cuatro ángulos del rombo es 360º? Hay que tener en cuenta que en ambos problemas hay un fuerte trabajo sobre los ángulos, en particular sobre el valor del ángulo interno de los polígonos regulares, saber lo que miden o saber cómo calcularlos será importante para resolver los dos problemas. Con los trabajos del problema 3 se puede realizar una exposición de los trabajos realizados e, incluso, usar algunos de ellos como elementos decorativos del salón de clases. También se sugiere pedir a los alumnos que investiguen acerca de los teselados elaborados por Escher, o bien, presentar algunos de sus trabajos.

10 Se puede complementar el trabajo de este desafío con los siguientes materiales: Recubrimiento del plano con polígonos regulares, en Geometría dinámica. EMAT, México, SEP, 2000, pp La ficha Geometría y azulejos que se encuentra en las páginas 76 y 77 del Fichero de Actividades Didácticas El tema Recubrimiento del plano por polígonos regulares del Libro del Maestro, páginas 284 y 285. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

11 MATERIAL RECORTABLE

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