Con las letras se hace lo mismo Plan de clase (1/4) Escuela: Fecha: Profr(a).

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1 Con las letras se hace lo mismo Plan de clase (1/4) Escuela: Fecha: Profr(a). Curso: Matemáticas 2 secundaria Eje temático: SN y PA Contenido: Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de polinomios. Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen sumar y restar polinomios. Consigna: Organizados en parejas, resuelvan los siguientes problemas: 1) Calcula y anota el perímetro de las siguientes figuras. m + 1 m - 3 x + 2 3a 3a m - 3 m + 1 y y + 5 a + b 2 c + 8 a + b P = P = P = 2. Calcula el valor del lado que falta en cada caso.

2 x + y a - 1 a + 4 5m + 2n x 2z + x P = 3a + 5 P = 12m + 6m P = 4x + 3y + 2z 3. Expresen de manera general y simplificada, cada una de las siguientes situaciones: a) La suma de tres números consecutivos b) La suma de cuatro números consecutivos c) La suma de cinco números consecutivos Consideraciones previas: En álgebra, las literales tienen diferentes usos: como números generales, como incógnitas en una ecuación o como variables en una relación funcional. Cuando se le plantean a los alumnos actividades como las del problema 1 se trabaja a la literal como número general con los que es posible operar, en este caso se toma como contexto el cálculo de perímetros para que los alumnos trasfieran lo que hacían con números (sumar la medida de los lados) a sumar literales. Si nota que a los alumnos se les dificulta o no saben qué hacer puede preguntarles: Si en lugar de m + 1 y de m 3 los lados del rectángulo midieran 6 y 9, cómo calcularían el perímetro? Bueno, pues hagan lo mismo con estas expresiones. Cada figura involucra una dificultad más con respecto a la anterior. En el caso del rectángulo las cuatro literales involucradas son m. Mientras que en la segunda figura ya aparecen dos literales diferentes y en la tercera, además de manipular literales diferentes, algunas tienen coeficiente diferente de 1. En el problema 2 podrá notarse que también cada figura agrega un aspecto que la hace más compleja con respecto de la anterior. En este caso los alumnos utilizarán sumas y restas de polinomios para determinar el valor del lado que falta. Un error muy común es, por ejemplo, sumar 3a + 2x y obtener 5ax. Si algunos alumnos hacen esto puede hacerlos reflexionar de la siguiente manera:

3 Qué significa 3a?, se espera que los alumnos respondan: a + a + a Qué significa 2x?, también se espera que sepan que es x + x Entonces 3a + 2x es: a + a + a + x + x Qué significa 5ax? Como respuesta se espera ax + ax + ax + ax + ax Es lo mismo a + a + a + x + x que ax + ax + ax + ax + ax?, Otra manera de que se den cuenta de este error es invitándolos a que den valores para a y para x y vean si en ambas expresiones se obtiene lo mismo, por ejemplo: Si a = 1, x = 2, entonces 3a + 2x = 3(1) + 2(2) = 7 En cambio 5ax = 5(1)(2) = 10 Por lo tanto 3a + 2x no es igual a 5ax. Para el problema 3, si los alumnos no recuerdan cuáles son los números consecutivos puede poner algunos ejemplos: 7, 8 y 9 o bien 56, 57 y 58. Y preguntar: Si x es un número, cómo escribirían su consecutivo? Si x + 1 es un número, cómo escribirían su consecutivo? En este problema se inicia el manejo de la modelización de problemas usando el lenguaje algebraico. Existen diferentes resultados para este problema. Lo más probable es que representen tres números consecutivos como: Pero también es correcto: Y también: (x) + (x + 1) + (x + 2) = 3x + 3 (x 1) + (x) + (x + 1) = 3x (x 2) + (x 1) + (x ) = 3x 3 Dependiendo cuál de los números se considere x y de ahí calcula los otros. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?

4 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

5 Por qué cambia? Plan de clase (2/4) Escuela: Fecha: Profr(a). Curso: Matemáticas 8 secundaria Eje temático: SN y PA Contenido: Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de polinomios. Intenciones didácticas: Que los alumnos descubran que al suprimir un paréntesis precedido con un signo menos deben cambiar el signo de los monomios que están dentro del paréntesis. Consigna 1: Organizados en parejas resuelvan la siguiente operación: ( ) ( ) Comprueben que la expresión que encontraron es el resultado de la sustracción. Recuerden que pueden hacerlo de la siguiente manera: Sumen su resultado con y les debe dar. Si no les da esa expresión, corrijan lo que sea necesario. Consigna 2: Organizados en parejas resuelvan las siguientes operaciones. En cada caso comprueben el resultado. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = Consideraciones previas: Lo que se trabaja en este desafío no es una cuestión sencilla para los alumnos. Lo importante es que recuerden lo que trabajaron al resolver sustracciones con números con signo. Restar un número con signo equivale a sumar su simétrico. Esto se aplica por igual al trabajar con expresiones algebraicas:

6 Restar equivale a sumar Recordar este hecho es la razón de que en la consigna 1 se les pida que comprueben la sustracción, observe que en esta comprobación está otra idea importante: La diferencia más el minuendo es igual al sustraendo. Hay que observar el trabajo de los alumnos y apoyarlos recordando lo que se hace al restar un número con signo y la propiedad de la sustracción que entra en juego al comprobarla. El propósito de la consigna 2 es desarrollar el manejo de la técnica para restar un polinomio de otro. Para hacerlo, los alumnos tienen que: Saber restar números con signo. Tener un manejo aceptable de los números enteros, las fracciones y los decimales. Saber identificar términos semejantes. Un error común es que los alumnos sólo cambian el signo del primer término que está dentro del paréntesis y olvidan hacerlo para los demás, comente esto con los estudiantes para que al trabajar tengan cuidado de no hacerlo así. Para reafirmar la técnica se sugiere hacer más ejercicios de este tipo. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

7 Más fácil Plan de clase (3/4) Escuela: Fecha: Profr(a). Curso: Matemáticas 8 secundaria Eje temático: SN y PA Contenido: Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de polinomios. Intenciones didácticas: Que los alumnos interpreten, simbolicen y manipulen las literales en problemas que impliquen la sustracción de expresiones algebraicas. Consigna: Organizados en parejas, resuelvan los siguientes problemas: 1. Pedro compró 8 cuadernos a n + 2 pesos cada uno, si por una promoción especial le descontaron 2n + 3 pesos Cuánto pagó? 2. Rosa y Tere fueron al supermercado, Rosa compró 3 kilogramos de manzanas y Tere compró 2 kilogramos de manzanas y 3 de uvas. Cada una pagó con un billete de $ Si el kilogramo de manzanas cuesta x pesos, y el de uvas 2x pesos, Cuánto recibió de cambio a Rosa?, y Tere? 3. Qué expresión sumada a 7x + 2y da como resultado x 0.5y? Consideraciones previas: Es probable que la principal dificultad que pueden tener en el problema 1 es calcular el precio de los 8 cuadernos pues quizás quieran multiplicar 8 por n 2, no obstante que aún no han aprendido a resolver 8(n 2), lo que sí saben es sumar 8 veces n 2. Aproveche esta situación para introducir la manera en que se resuelve esta multiplicación pidiendo el resultado a quienes hayan sumado 8 veces n 2. En el problema 2 también hay implícitas algunas multiplicaciones que los alumnos pueden resolver con suma de sumando iguales. Por ejemplo, los tres kilogramos de uvas a 2x pesos, puede expresarse como: 3 veces 2x es 6x 2x + 2x + 2x = 6x 3(2x) = 6x Algo que los alumnos notarán es que no podrán decir el cambio con exactitud, como están acostumbrados en los problemas aritméticos. En este caso, el resultado es una expresión algebraica, por ejemplo, a Tere le darán de cambio:

8 100 (2x + 6x) 100 2x 6x 100 8x El problema 3 se modeliza con la sustracción: ( ) x 0.5 y Es probable que aún algunos alumnos se desconcierten porque el resultado de la suma es menor que el primer sumando. Quienes han adquirido mayor dominio en el manejo de los números con signo se darán cuenta que el resultado involucra números negativos: La expresión que sumada a 7x da como resultado x, es -6x. Esta expresión puede hallarse con la sustracción: (x 0.5y) (7x + 2y) = Si no surge entre los alumnos se puede plantear al grupo y recordar cómo se resuelve, en particular recordar que al suprimir el paréntesis hay que cambiar por el simétrico de la expresión que está dentro. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

9 Plan de clase (4/4) Escuela: Fecha: Profr(a). Curso: Matemáticas 8 secundaria Eje temático: SN y PA Contenido: Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de polinomios. Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen adiciones y sustracciones de polinomios. Consigna: Organizados en equipos, realicen lo que se indica a continuación. En el siguiente cuadrado mágico la suma de las líneas horizontales, verticales y diagonales, debe ser la misma. Averigua cuál es esa suma y completa las casillas vacías. 2a 3b 10a 15b 12a 18b 4a 6b 2a + 3b Consideraciones previas: Completar cuadrados mágicos permite a los alumnos comprobar si las respuestas que obtienen son correctas porque al final las sumas verticales, horizontales e inclinadas deben tener el mismo resultado. Se espera que la primera columna es la que dará la pauta para saber cuál es la suma: 12a 18b y de ahí podrán completar las casillas. Al resolverlo los alumnos manipularán los binomios que están en juego. Dado que los números involucrados son sencillos, es probable que calculen mentalmente las expresiones que van en las casillas que deben completar. Por ejemplo, para la casilla del centro de la primera fila se podrán dar cuenta que lo deben completar con un cero pues con las expresiones de los enteros completan 12a 18 b.

10 Puede enriquecer el trabajo y practicar la notación pidiendo en la puesta en común que escriban las operaciones que hicieron, ya sea que lo hagan de manera vertical u horizontal. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre 14/15