Una aplicación del Análisis Funcional en Ecuaciones de la Física Matemática

Transcripción

1 Una aplicación del Análisis Funcional en Ecuaciones de la Física Matemática Webinar para la Semana de las Matemáticas e Ingeniería Ponente: Ever Rojas Huamán Universidad Privada del Norte

2 ÍNDICE Introducción. Preliminares. 2.1 Problema de Cauchy Dirichlet Problema con frontera libre. 2.3 Ejemplos de problemas con frontera libre... Motivación Conceptos matemáticos básicos. 4.1 Espacios L P Espacio de Sóbolev W 1 Ω 4.3 Espacio de Sóbolev W 0 Ω

3 ÍNDICE Teoremas fundamentales Teorema de Riesz. 5.2 Teorema de Lax Miligram Planteamiento del problema. Teorema de existencia y unicidad 7.1 Existencia Unicidad.... Aplicación del teorema demostrado Discusión. Conclusiones... Bibliografía

4 1. INTRODUCCIÓN Los inicios de la aplicación del Análisis Funcional en la Física Matemática, expresada en diferentes trabajos, data desde hace más de 70 años en la literatura científica. Conceptos como los de derivada generalizada, solución generalizada de una ecuación diferencial, teoremas de encajamiento, teoría de las distribuciones, etc., sirvieron como punto de partida para una variedad de investigaciones en la teoría de ecuaciones diferenciales, teoría de espacios funcionales y en muchos otros campos del análisis. L. Shwarz ( )

5 1. INTRODUCCIÓN La teoría de modelos matemáticos de fenómenos físicos representa el objeto de estudio de la Física Matemática. La Física Matemática se desarrolló desde los tiempos de Newton en forma paralela al desarrollo de la Física y de la Matemática. Sir Isaac Newton ( )

6 1. INTRODUCCIÓN Entre los problemas de la Física Matemática se resalta una clase importante de: problemas definidos correctamente, es decir, problemas para los cuales la solución existe, es única y depende continuamente de los datos del problema. Problemas bien definidos.

7 2. PRELIMINARES 2.1 Problema de Cauchy - Dirichlet. Animación N 1: Conducción del calor.

8 2. PRELIMINARES 2.1 Problema de Cauchy - Dirichlet. Sea Ω R n un dominio en donde sucede un proceso de difusión y Ω su contorno. Como dominio de definición de la ecuación de difusión siguiente: ρ u t = div p grad u qu + F x, t (1) Vamos a considerar el cilindro Q T = Ω 0, T, de altura T y base Ω. Figura Nº 1

9 2. PRELIMINARES 2.1 Problema de Cauchy - Dirichlet. Para la ecuación de difusión (1), el problema de Cauchy Dirichlet, se plantea del siguiente modo: Encontrar la función u x, t de clase C 2 Q T C Q T, grad x u C Q T, que satisface a la ecuación 1 en Q T, a la condición inicial: u t=0 = u 0 x (2) y a la condición de contorno: u Ω 0,T = v (3) J. Dirichlet ( )

10 2. PRELIMINARES 2.2 Problemas con frontera libre. Animación N 2: Derretimiento de hielo marino del Ártico. Verano de 2012.

11 2. PRELIMINARES 2.2 Problemas con frontera libre. En la teoría de Conducción del Calor frecuentemente se encuentran problemas cuyos dominios contienen contornos laterales móviles, es decir, cambiantes en el tiempo. Tales problemas se encuentran por ejemplo en fusiones y congelaciones. Animación Nº 3: Dominio con contornos móviles.

12 2. PRELIMINARES 2.3 Ejemplos de problemas con frontera libre. Un ejemplo típico es el problema de Stefan o problema de cambio de fase, que estudia la temperatura en el espacio ocupado por dos fases de un cuerpo, generalmente una fase sólida y otra líquida. Figura Nº 2

13 2. PRELIMINARES 2.3 Ejemplos de problemas con frontera libre. Problemas de Hidráulica: Por ejemplo el del Dique Poroso, donde una superficie desconocida separa la zona seca de la húmeda. Figura Nº 3

14 3. MOTIVACIÓN Veamos en el plano x, t la curva Γ con ecuación x 2 = 2t ln t. La solución u de la ecuación de conducción del calor: u t u xx = 0 (4) con condiciones de contorno Dirichlet homogéneas: u Γ = 0 (5) es idénticamente nula. Animación Nº 4

15 3. MOTIVACIÓN Sin embargo en el espacio L 2 Q, existe una solución no trivial de este problema. En efecto, la función u x, t = t 1 2e x2 4t 1 es en Q solución del problema 4 5 y pertenece a L 2 Q, ya que: 1 t e Q x 2 2tdxdt = dt t 0 2t ln t e x2 2t dx = = dt t 0 ln t 2 e 2x2 dx < (6)

16 4. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS 4.1 Espacios L p. Definición 1. Sea p R, 1 p <. Se denomina espacio L p G, al espacio de funciones f x medibles sobre G, para las cuales la función f x según Lebesgue sobre G. El número p es integrable f Lp G = f x p dx G 1 p (7) se denomina norma del elemento f L p G.

17 4. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS 4.2 Espacio de Sóbolev W 2 1 Ω. Definición 2. Se denomina espacio de Sóbolev W 2 1 Ω, con norma dada por la expresión: u W2 1 Ω = u x i Ω n i=1 2 + u 2 x dx 1 2 (8) al conjunto de funciones u x, para las cuales se cumplen las condiciones: 1) u x L 2 Ω ; 2) i = 1,2,, n. u x i en el sentido de Sóbolev, además u x i L 2 Ω,i = 1,2,, n.

18 4. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS 4.3 Espacio de Sóbolev W 2 1 Ω. Definición 3. Se denomina espacio de Sóbolev W 2 1 Ω, a la clausura del conjunto C Ω, en la norma de W 2 1 Ω. S. L. Sóbolev ( )

19 5. TEOREMAS FUNDAMENTALES 5.1 Teorema de Riesz. Cualquier funcional lineal y acotado F en un espacio de Hilbert H, puede ser representado en la siguiente forma: Fu = u, v (9) en donde v es cierto elemento de H, determinado de manera única por el funcional F. Además, v = F. F. Riesz ( )

20 5. TEOREMAS FUNDAMENTALES 5.2 Teorema de Lax - Milgram. Sea H un espacio de Hilbert con producto interno v, u. Además, sea B v, u una forma bilineal, definida para v H, u H, y tal que existen las constantes K > 0 y α > 0, independientes de v y de u, tales que para todos los v, u H, se cumplen las relaciones : B v, u K v u (10) y B v, v α v 2 (11) Peter Lax ( Hoy)

21 5. TEOREMAS FUNDAMENTALES 5.2 Teorema de Lax - Milgram. Entonces cada funcional lineal F, acotado en H se puede expresar en la forma: Fv = B v, z, v H (12) en donde z es un elemento del espacio H, determinado de manera única por el funcional F, cumpliéndose además la desigualdad: z α 1 F (13) en donde F - norma del funcional F.

22 6. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA La pregunta sobre la solución única del problema que se plantea, está relacionado directamente con la estructura del contorno Γ en las cercanías de aquellos puntos con tangentes horizontales. Animación Nº 5

23 6. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Desde el punto de vista matemático, el problema que generan los puntos de contorno con tangente horizontal, para problemas parabólicos, está estrechamente relacionado con el concepto de variedad característica (t = κ). Desde el punto de vista físico, el problema que generan los puntos de contorno con tangente horizontal, para problemas parabólicos, está relacionado con la imposición de una condición complementaria sobre la frontera libre x = s t ; es decir, la imposición del cumplimiento de la ley de conservación de la energía, dada por la fórmula: ds t dt = ku x s t, t (14)

24 6. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Sea Q un dominio en el plano x, t, acotado superior e inferiormente por las rectas t = 0 y t = T para cierto T > 0 ; y por los costados, con las curvas Γ 1 : x = φ 1 t y Γ 2 : x = φ 2 t, en donde las funciones φ 1 y φ 2 son continuas en el segmento 0, T, y φ 1 t φ 2 t para todos los tε 0, T. Denotemos con Γ 0 el segmento φ 1 0, φ 2 0 del eje Ox intersecado por las curvas Γ 1 y Γ 2 sobre la recta t = 0. Figura Nº 4

25 6. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Examinemos en Q la ecuación lineal parabólica de orden 2m: L u u t + 1 m m x m a x, t m u x m = f x, t (15) en donde: a x, t a 0 > 0 con x, t Q

26 6. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Nos interesa la obtención de la solución única del problema de Cauchy Dirichlet sobre Q, para la ecuación 15 ; es decir, la pregunta sobre la existencia y unicidad de la solución u x, t de la ecuación 15, que satisface para t = 0 y sobre las curvas Γ i, i = 1,2, las siguientes condiciones homogéneas: u Γ0 = 0 (16) i u x i = i u x i = 0 i = 0,, m 1. (17) Γ 1 Γ 2

27 6. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Es conocido que la existencia y unicidad de la solución del problema 15 17, exige que se impongan sobre las curvas de contorno Γ 1 y Γ 2, otras condiciones, además de la continuidad. Por ese motivo, se ha supuesto que las funciones φ i, i = 1,2, son funciones suficientemente suaves en 0, T, con excepción, posiblemente de ciertos puntos t i 1,, t i N i ε 0, T, i = 1,2. Las curvas φ i en alguna vecindad de los puntos t s i, s = 1,, N i, i = 1,2 deben ser tales que: t s i +ε dt φ i t φ i t i 2m = (18) t i s s t s i t s i ε dt φ i t φ i t s i 2m = (19)

28 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. El objetivo principal de la presente ponencia, es mostrar la demostración de la existencia y unicidad, con cualquier miembro derecho f x, t L 2 Q, de cierta solución débil del problema de contorno 15 17, si el contorno Γ satisface la condición formulada 18 y/o 19. Para definir la solución débil del problema 15 17, precisamos los siguientes espacios de Sóbolev W 0,m t,x Q y W 1,m t,x Q que serán utilizados.

29 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. 0,m Por W t,x Q, denotamos al espacio de funciones, obtenido por medio de la clausura del conjunto C 0 Q de funciones infinitamente diferenciables en Q, nulas en cierta vecindad del contorno del dominio Q; con norma inducida por el producto interno: u, v = m Q i=0 i u x i i v x i dxdt (20)

30 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. Por W 1,m t,x Q, denotamos al espacio de funciones, obtenido por medio de la clausura del conjunto de funciones infinitamente diferenciables en Q, nulas en todo lugar del contorno de Q excepto en el segmento Γ 0, con norma inducida por el producto interno: u, v = u, v + u v dxdt Q t t (21)

31 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. Definición 4 La función u x, t ε W 0,m t,x Q se denomina solución débil del problema 1,m 15 17, si para cualquier función v x, t ε W t,x Q C Q, tiene lugar la siguiente igualdad: Q u v + a x, t m u m v t x m x m dxdt = Q fv dxdt (22)

32 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. Denotemos con B u, v, a la forma bilineal que se encuentra en el 0,m miembro izquierdo de la ecuación 22 con u x, t ε W t,x Q y v x, t ε W 1,m t,x Q, es decir: B u, v = u v + a x, t m u Q t m v x m x m dxdt (23)

33 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. exposición: Ahora es posible formular el resultado principal de la presente 7.1 Teorema de existencia. Si el contorno Γ del dominio cumple con las condiciones expresadas en 18 y/o 19, entonces para cualquier función f x, t L 2 Q existe en W 0,m t,x Q solución única del problema

34 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. Prueba. Ya que la forma bilineal B u, v 23, es acotada para cualesquier v x, t ε W 1,m t,x Q y u x, t ε W 0,m t,x Q, entonces de acuerdo con el teorema de 1,m Lax Miligram existe en W t,x Q un operador A lineal y acotado tal que: B u, v = u, Av (24) en donde, los corchetes denotan el producto interno en W 0,m t,x Q.

35 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. Prueba. El operador A en el espacio W 0,m t,x Q es no acotado, pero su dominio 1,m de definición W t,x 0,m Q es denso en W t,x Q. Ya que f x, t L2 Q, entonces el funcional fvdxdt también es acotado en W 0,m t,x Q ; por ello, de acuerdo con el mismo teorema de Lax Miligram existe un elemento único F W 0,m t,x Q, tal que: fv dxdt = F, v Q (25) Para cualesquier v W 1,m t,x Q.

36 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. Prueba. De las expresiones 23, 24 y 25, sigue que la solución débil u x, t de nuestro problema, debe satisfacer la identidad: u, Av = F, v (26) Para cualesquier v W 1,m t,x Q.

37 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. Prueba. Establezcamos ante todo que el operador A, definido de W 1,m t,x Q en W 0,m t,x Q tiene inverso acotado A 1, definido de W 0,m t,x Q en W 1,m t,x Q. 1,m Para esto, veamos, con cualquier v W t,x Q, la forma cuadrática: v, Av = Q v v t + a x, t m v x m 2 dxdt = = 1 2 Γ 0 v 2 dx + Q a x, t m v x m 2 dxdt a 0 v, v (27) donde a 0 = inf a x, t.

38 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. Prueba. De 27 sigue que A 1 a 0 1. Así, el operador A tiene dominio de definición denso en todo lugar en 0,m W t,x Q, y tiene inverso acotado. Entonces, tiene además operador conjugado A 0,m, cuyo campo de valores coincide con todo el espacio W t,x Q. Esto significa que en el dominio de definición W 0,m t,x Q del operador A, se encuentra por lo menos un elemento u, para el cual A u = F. Es claro que este elemento constituye la solución de la ecuación 26, y además, la solución débil del problema planteado.

39 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. Lema. Sea A un operador lineal que actúa sobre el espacio de Hilbert H. Si el campo de su definición Ω A es denso en H y el operador A tiene operador inverso A 1 acotado, entonces el campo de valores R A de su operador conjugado A coincide con todo H.

40 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. 7.2 Unicidad. planteado. A continuación probaremos la unicidad de la solución del problema 0,m Sea la función u x, t ε W t,x Q solución débil de la ecuación: u t + 1 m m x m a x, t m u x m = 0 (28) es necesario demostrar que u x, t 0 en Q.

41 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. 7.2 Unicidad. Sean t 1,, t N - ordenadas de los puntos singulares del contorno, dispuestos en orden no decreciente: 0 t 1 t 2 t N T, y sea, para empezar, t 1 = 0, t 2 > 0, φ 1 0 φ 2 0 y el punto singular correspondiente a la ordenada t = t 1 = 0, se encuentra en el origen de coordenadas, en la parte derecha del contorno: Γ 2 : x = φ 2 t, φ 2 0 = 0. Además, supongamos que para pequeños t > 0, la curva Γ 2 va del origen de coordenadas hacia la derecha, al primer cuadrante. Sea ε > 0 tal número ε < t 2, que para t 0, ε la derivada, φ 2, t 0 y φ 1 t no cambia de signo.

42 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. 7.2 Unicidad. Figura Nº 5

43 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. 7.2 Unicidad. Veamos el trapecio curvilíneo R = Q 0 < t < ε. Figura Nº 6

44 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. 7.2 Unicidad. Figura Nº 7

45 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. 7.2 Unicidad. Si el punto x, t R μ, entonces: u 2 x, t = 0 t t u2 dt = 2 uu t dt = 0 t = 2 1 m+1 u m x m a x, t m x m 0 t dt (29) si x φ 1 0, y

46 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. 7.2 Unicidad. u 2 x, t = t ψ 1 x t u2 dt = 2 1 m+1 t ψ 1 x u m x m a x, t m u x m dt (30) si x φ 1 0.

47 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. 7.2 Unicidad. Integrando respecto a x φ 1 t, μ, cada una de las fórmulas obtenidas, con t = ε, obtenemos luego de la integración por partes: μ φ 1 ε u 2 x, ε dx = 2 1 m+1 u m x m a x, t m u R x m dxdt = μ = 2 1 2m+1 a x, t R μ m u x m 2 dxdt m+i+1 i u m i 1 x i 0 ε m 1 i=0 x m i 1 a x, t m u x m dt x= μ (31)

48 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. 7.2 Unicidad. Denotemos con F t, la función: m 1 i=0 1 m+i+1 i u x i m i 1 x m i 1 a x, t m u x m (32) para x = 0. Antes de continuar con nuestro razonamiento, presentemos el siguiente lema:

49 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. Lema. La función F t es continua para tε 0, ε, y F t L 1 0,ε.

50 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. 7.2 Unicidad. Con ayuda de este lema se puede tender al límite en la igualdad 29 con μ 0: 0 φ 1 ε u 2 x, ε dx = 2 R 0 a x, t m u x m 2 dxdt + 2 ε F t dt 0 (33) en la igualdad 33 con R 0 se ha denotado al conjunto R x < 0.

51 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. 7.2 Unicidad. Figura Nº 8

52 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. 7.2 Unicidad. Sea ahora x, t R x > 0 R 1, Figura Nº 9

53 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. 7.2 Unicidad. Denotemos con ζ t a la función definida del siguiente modo: ζ t = 0, t 0 exp t ε 2 dτ φ 2 τ 2, 0 t ε 2 1, t ε 2 (34) La función ζ t así definida, es continua, su derivada es absolutamente integrable, ya que para t < 0 y t > ε 2, ζ 0,

54 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. 7.2 Unicidad. y para t 0, ε 2 : ζ t = 1 φ 2 t 2m exp dτ φ 2 τ t ε 2 2m 0 0 ε 2 ε 2 ζ t dt = ζ t dt = ζ ε 2 ζ 0 = 1 0 (35)

55 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. 7.2 Unicidad. Junto con la función ζ t para cualquier δ 0, ε 2, veamos también la función ζ δ t = ζ t δ. Es claro que ζ δ t 0 para t δ, ζ δ t 1 para t ε 2 + δ. Multipliquemos ahora la identidad 28, para x, t R 1, por u x, t ζ δ t s con cierto sε 0, 1 e integremos la igualdad obtenida según el dominio R 1 : Figura Nº 10

56 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. 7.2 Unicidad. 0 = u ζ δ s u t + 1 R 1 t>δ m m x m a x, t m u xm dxdt = = s 2 R 1 t>δ u 2 ζ δ ε ζ s 1 δ dxdt + F t ζ δ s dt φ 2 ε u 2 x, ε ζ δ s dx + ζ δ s a x, t R 1 t>δ m u x m 2 dxdt (36)

57 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. 7.2 Unicidad. Tomando límite en la última igualdad con δ 0, obtenemos: 0 = s 2 u 2 ζ ζ s 1 dxdt + ε F t ζ s dt + R ζ s a x, t R 1 m u x m 2 dxdt φ 2 ε ζ s u 2 x, ε dx (37)

58 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. 7.2 Unicidad. Acotemos ahora: u 2 ζ ζ s 1 dxdt. R 1 Para x, t εr 1, de acuerdo con las condiciones de contorno 17, tenemos: u x, t = x φ 2 t u ξ, t ξ dξ (38) de donde, por la desigualdad de Cauchy-Shwarz: u 2 x, t φ 2 t 0 φ 2 t u ξ 2 dξ (39)

59 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. 7.2 Unicidad. Integrando esta última desigualdad respecto a x 0, φ 2 t, obtenemos la desigualdad: 0 φ 2 t u 2 x, t dx φ 2 t 2 0 φ 2 t u x 2 dx (40) de manera similar obtenemos la acotación: 0 φ 2 t u x 2 dx φ 2 t 2 0 φ 2 t 2 u x 2 2 dx (41)

60 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. 7.2 Unicidad. y así sucesivamente, la acotación: 0 φ 2 t m 1 u x m 1 2 dx φ 2 t 2 0 φ 2 t m u x m 2 dx (42)

61 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. 7.2 Unicidad. reemplazando la desigualdad 42 en la que la derivada del miembro izquierdo es de orden m 1, en una desigualdad previa con derivada de orden m 2, y así sucesivamente hasta llegar a 40, obtenemos finalmente: 0 φ 2 t u 2 x, t dx φ 2 t 2m 0 φ 2 t m u x m 2 dx (43) para todo t 0, ε.

62 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. 7.2 Unicidad. Multiplicamos ahora la expresión 43 por la función no negativa ζ s 1 ζ, e integramos la desigualdad obtenida respecto a t 0, ε : R 1 u 2 ζ s 1 ζ dxdt φ 2 t 2m ζ s 1 ζ dt 0 ε 0 φ 2 t m u x m 2 dx = = ζ s m u x m 0 ε 0 φ 2 t 2 dxdt = ζ s m u x m R 1 2 dxdt (44)

63 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. 7.2 Unicidad. por ello, uniformemente para s 0, 1, tenermos: 0 u 2 ζ s 1 ζ dxdt R 1 R 1 m u x m 2 dxdt = const (45)

64 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. 7.2 Unicidad. De la desigualdad s 45, sigue que lim s +0 2 R 1 ζ s 1 ζ u 2 dxdt = 0, por ello en la igualdad 40 se puede tender al límite con s +0. Con lo cual obtenemos: 2 a x, t R 1 m u x m 2 dxdt + u 2 x, ε dx = 2 F t dt 0 φ 2 ε 0 ε (46)

65 7. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. 7.2 Unicidad. sumando esta última igualdad con la igualdad finalmente: 31, obtenemos 2 a x, t R m u x m 2 dxdt + u 2 x, ε dx = 0 R t=ε (47) de donde sigue que u 0 en R.

66 8. APLICACIÓN DEL TEOREMA DEMOSTRADO. Para el caso del problema presentado en el Capítulo 3 Motivación, el contorno del dominio es homeomorfo a la circunferencia, y pasa por los puntos H = 0,0 y B = 0,1 simétricamente al eje Ot. Esta curva presenta dos puntos, H y B, con tangentes horizontales. El orden de contacto de la tangente con la curva Γ en los puntos H y B es tal que: ε dt 2t ln t = 0 y 1υ 1 ε dt 2t ln t = ε > 0.

67 8. APLICACIÓN DEL TEOREMA DEMOSTRADO. De este modo, el dominio Q limitado por la curva Γ, satisface todas las condiciones del teorema demostrado; por ello, la solución en el espacio 1,2 W t,x Q de la ecuación de difusión: u t u xx = 0 (48) con condiciones de contorno Dirichlet homogéneas: u Γ = 0 (49) es idénticamente nula.

68 9. DISCUSIÓN. En lo referente a la prueba de la existencia de la solución de W 0,m t,x Q, en ninguna parte se utilizaron las condiciones 18, 19 impuestas complementariamente a la continuidad de las funciones φ i,i = 1,2, que definen los contornos Γ 1,Γ 2 del dominio Q. De este modo, el teorema de existencia de la 0,m solución débil de W t,x Q del problema de contorno tratado, tiene lugar sólo con la proposición de continuidad de las funciones φ 1 y φ 2 en el segmento 0, T.

69 9. DISCUSIÓN. Para el caso de la prueba de la unicidad, ésta ha sido tratada para el trapecio R, cuya definición ha sido dada en el inicio de la prueba. Ahora, si el punto singular nuevamente se encuentra sobre la curva Γ 2 y la curva Γ 2 ingresa al segundo cuadrante; es decir, para números t suficientemente pequeños (con φ 2 t 0); entonces, la prueba respectiva de que u 0 en R, sigue utilizando el mismo método desarrollado en la demostración.

70 9. DISCUSIÓN. El caso cuando el punto singular se encuentra en el lado izquierdo del contorno Γ 1 (con t = 0 ), así como el caso de presencia de dos puntos singulares sobre Γ 1 y Γ 2 (con t = 0), se examina también de manera similar.

71 10. CONCLUSIONES. Podemos mencionar las siguientes conclusiones: Para la existencia de la solución del problema de Cauchy-Dirichlet de tipo parabólico, en un dominio con frontera libre y puntos singulares, de un espacio de Sóbolev predefinido, es suficiente la continuidad de las funciones que representan al contorno móvil del dominio.

72 10. CONCLUSIONES. Las condiciones de Lipschitz constituyen condiciones suficientes, que deberán cumplir las curvas del contorno móvil del dominio en las vecindades de los puntos singulares, para garantizar la unicidad de la solución débil del problema de Cauchy-Dirichlet para problema parabólicos definidos en un dominio con frontera libre y puntos singulares, en un espacio de Sóbolev predefinido.

73 10. CONCLUSIONES. Para garantizar la unicidad de la solución del problema de Cauchy-Dirichlet de tipo parabólico en un dominio con frontera libre y puntos singulares, en el espacio de Hilbert L 2 Q, las condiciones de Lipschitz impuestas en las vecindades de los puntos singulares, no son suficientes. Fin

74 11. BIBLIOGRAFÍA. [1] [2] [3] [4] [5] [6] Besov O., Ilyin B. P., Nikolsky C. M. (1996). Representación Integral de Funciones y Teoremas de Inmersión. Edit. Nauka. Moscú. Bladimirov B. C. (1988). Ecuaciones de la Física Matemática. Edit. Nauka. Moscú. Egorov Yu. (1984). Ecuaciones Diferenciales Lineales de Tipo Principal, Edit. Nauka. Moscú. Embergenovich O. (1978). Sobre problemas de contorno de conducción del calor en dominios degenerados y la subsiguiente generación de clases de ecuaciones integrales singulares tipo Volterra. Edit. AH Kaz CCP, Alma Ata. Friedman A. (1964). Partial diferential equations of parabolic type. Prentice-Hall, INC. Englewood Cliffs, N. J. Kamuinin L. (1961). Sobre la dependencia de la solución del problema mixto para la ecuación parabólica, del contorno. Edit. Manuscrito de la Academia de Ciencias URSS. Tomo 140. No 6.

75 11. BIBLIOGRAFÍA. [7] [8] [9] [10] [11] [12] Maslennikova B. N. (1988). Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Edit. Universidad de la Amistad de los Pueblos. Moscú. Mijailov B. (1961). Sobre el problema de Dirichlet y el primer problema mixto para la ecuación parabólica. DAN CCCP, T. 140, No 2, Mijailov B. (1967). Problemas de contorno para ecuaciones diferenciales. DAN CCCP, T. 61, No 91, Petrowsky I. (1935). Zurersten Randwertaufgabe der Warmeleitungsgleichung. Compositio math., 1 Moskau. Projorov A. y otros. (1988). Diccionario enciclopédico matemático. Moscú. Enciclopedia soviética. Rektoris K. (1980). Variational Methods in Mathematics, Science and Engineering. Boston - USA. Dr. Reidel Publishing Company. SNTL - Publishers of Technical Literature.

76 11. BIBLIOGRAFÍA. [13] [14] Sóbolev C. L. (1992). Ecuaciones de la Física Matemática. Edit. Nauka. Moscú. Tijonov A. Samarsky A. (1983). Ecuaciones de la Física Matemática. Editorial Mir Moscú.

77 12. CONTACTO. Ever Rojas Huamán Docente UPN - C Laureate International Universities Av. Via de evitamiento norte Cdra. 15 s/n Cajamarca - Perú T. +51 (076) anexo: erh@upnorte.edu.pe