INSTRUCTIVO PARA TUTORÍAS

Transcripción

1 INSTRUCTIVO PARA TUTORÍAS Las tutorías corresponden a los espacios académicos en los que el estudiante del Politécnico Los Alpes puede profundizar y reforzar sus conocimientos en diferentes temas de cara al examen de admisión de la Universidad Nacional y/o Examen de Estado ICFES Saber 11. Las tutorías tienen un límite estricto de cupos y para la asistencia a este espacio es indispensable la INSCRIPCIÓN PREVIA, además se deben tener en cuenta los siguientes aspectos: 1. Asistir puntualmente a la tutoría. Después de 10 minutos, bajo ningún argumento el docente permitirá el ingreso del estudiante. 2. Leer la siguiente tabla y cumplir con los prerrequisitos establecidos que en ella se dispongan. Asignatura: MATEMÁTICAS Nombre de la Tutoría: OPERACIONES BÁSICAS Y PROPORCIONALIDAD Tema: PROPORCIONALIDAD Conceptos que el estudiante debe manejar: OPERACIONES BÁSICA (SUMA, RESTA MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN) DE DIFERENTES CLASES DE NÚMEROS Documento Base: Instrucciones: Realice los siguientes problemas 3 de la pág de la pág de la pág. 21 Escriba el procedimiento y su resultado en el siguiente espacio, y entregue este formato al iniciar la tutoría (si no alcanza, utilice la parte de atrás de la hoja).

2 CAPITULO 1: Operaciones Básicas Suma La suma es una operación que se deriva de la operación de contar. Si tenemos 17 sillas y compramos 3 sillas más cuántas sillas tenemos? Una forma de saberlo sería volver a contar todas las sillas, y el resultado sería 20. Sin embargo, otra forma es comenzar de 17 y sumarle las 3 sillas compradas, es decir, es igual a 20. Los términos de la suma se llaman sumandos. Propiedades de la suma: Conmutatividad: Esta propiedad señala que el orden de los sumandos no altera el resultado. Por ejemplo, en la suma, a + b = b + a, donde a y b representan a cualquier número. Asociatividad: Esta propiedad señala que si tenemos que sumar varios números podemos hacerlo en cualquier orden. Por ejemplo, si tenemos que sumar a, b, c y d, podemos sumar primero a + b, después c + d y después sumar los dos resultados anteriores, o podemos sumar a + c, después b + d y después sumar los dos resultados anteriores o podemos sumar a + b y al resultado sumarle c y al resultado sumarle d. En fin, podemos sumar los números en cualquier orden. Elemento Neutro: La suma tiene elemento neutro. El cero es el elemento neutro de la suma porque siempre se cumple que a + 0 = a. Elemento Opuesto (o simétrico): La suma tiene elemento opuesto (o simétrico). El elemento opuesto o simétrico de un número es otro que sumado al anterior da el elemento neutro. Por ejemplo, el elemento opuesto o simétrico de a es a, porque a + ( a) = 0. Derechos de autor Acción Emprendedora 2/28

3 Resta La resta corresponde a la operación aritmética que indica que a una cantidad se le resta o quita otra. También sirve para calcular la diferencia entre dos números. Por ejemplo: 15 4 = 11 se lee quince menos 4 es igual a 11 y se traduce en que si a 15 elementos le resto 4, quedan 11. Minuendo 15 Sustraendo 4 Resta o diferencia 11 Propiedades de la resta A diferencia de la suma, la resta no es conmutativa. Por ejemplo, 2 3 = -1 no es lo mismo que 3 2 = 1. Es decir, el orden de los elementos altera el resultado. Asociatividad: (a b) c = a ( b c). Multiplicación Si se tiene una adición (suma) donde todos los sumandos son iguales, el resultado puede obtenerse en forma rápida a través de una operación llamada multiplicación. 5 Multiplicado por 3 = 15 Primer factor (multiplicando) Segundo factor (multiplicador) Producto Ejemplo: = 15 5 veces 3 = 15 5x3 = 15 Entonces se puede señalar que la multiplicación es una suma abreviada en donde un número (primer factor o multiplicando) se repite varias veces (tantas como indique el segundo factor o multiplicador). Derechos de autor Acción Emprendedora 3/28

4 Si analizamos los siguientes ejemplos: = 15 5 x 3 = = 16 4 x 4 = = 4 2 x 2 = = 21 3 x 7 = 21 Multiplicar es realizar una suma en forma más corta y más rápida. Para esto hay que memorizar una tabla que recibe el nombre de Tabla Pitagórica. La Tabla Pitagórica: Hemos visto que la mejor forma para obtener un producto es la multiplicación. Al respecto, y para facilitar la multiplicación, existe una tabla muy útil y fácil de construir: la Tabla Pitagórica. La Tabla Pitagórica es un importante instrumento para solucionar problemas de multiplicación. Al igual que la adición, una propiedad importante de la multiplicación es la conmutatividad, es decir, el orden de los factores no altera el resultado, como se muestra en el siguiente ejemplo. 6 x 7 = 42 7 x 6 = 42 Usando este criterio, se puede encontrar el resultado de la(s) multiplicaciones que deseen resolver en la Tabla Pitagórica. En este ejemplo, se puede observar que no importa en qué número se inicia la multiplicación. Si se observa cómo se realizaría la operación en la Tabla Pitagórica ya sea partiendo del 6 o del 7, se puede comprobar que el resultado es el mismo. En otras palabras, si se parte del 7 se debe bajar desde este número hasta la línea que se inicia con el 6, el número que se halla en la intersección es el resultado de la multiplicación en este caso, 42. Derechos de autor Acción Emprendedora 4/28

5 Tabla Pitagórica Multiplicación de números de más de un dígito Cuando hay más de un número en el factor, se puede observar en el siguiente ejemplo que: C* D* U* x Derechos de autor Acción Emprendedora 5/28

6 * C:Centenas (es la agrupación de 100 caracteres, objetos o cosas, por lo tanto se refiere a 100 unidades es decir "100 veces 1" expresado como = 100. En otras palabras corresponden a los números que van desde el 100 al 999) D:Decenas (es la agrupación de 10 caracteres, objetos o cosas, por lo tanto se refiere a 10 unidades es decir 10 veces 1 expresado como 10 x 1 = 10. En otras palabras corresponden a los números que van desde el 10 al 99) U:Unidades(que corresponde a los números que van desde el 1 al 9) Primero se debe comenzar multiplicando las unidades por el número que se tiene. En este caso debo multiplicar 2531 por 2 (resultado es 5062). Luego se debe seguir multiplicando el número por las decenas, en el ejemplo:2531 x 1 (resultado es 2531), para terminar en este caso multiplicando por las centenas (2531 x 5, resultado es 12655). Además, a partir de la segunda línea que se obtiene al multiplicar las decenas, se debe correr el número un espacio hacia la izquierda. Terminadas las multiplicaciones se suman los resultados. Por lo tanto, el resultado final es División La división corresponde a la operación aritmética que indica el reparto en varios grupos de cierto número de elementos. Por ejemplo 70 : 10 = 7 se lee 70 dividido en 10 es igual a 7 o bien 70 entre 10 es igual a 7. El sobrante o residuo, en este caso, es igual a : 10 = 7 Dividendo Divisor Resultado El siguiente ejemplo muestra cómo se dividen cantidades más grandes. Se desea resolver 4220:4 Paso 1: Derechos de autor Acción Emprendedora 6/28

7 : 4 = 1 0 Primero, se considera la parte del dividendo que es múltiplo* del divisor, en este caso 4, y se realiza la división. Abajo del dividendo se anota el residuo de la reciente división realizada, en este caso es 0. * Un número es múltiplo de otro cuando lo contiene un número exacto de veces. Ejemplo: 8 es múltiplo de 4 por lo contiene exactamente 2 veces. Paso 2: : 4 = Luego se toma el siguiente número del dividendo, que no fue considerado en la división anterior, y se procede con la siguiente división. En este caso el 2 es menor que el divisor que es 4, por lo tanto se coloca un 0 en el resultado. Paso 3: : 4 = Como en la división anterior el resultado es cero, ahora el siguiente número del dividendo se coloca al lado del residuo anterior. En este caso se debe dividir 22 en 4, por lo que el resultado es 5 y el residuo es 2. Derechos de autor Acción Emprendedora 7/28

8 Paso 4: : 4 = Finalmente se procede igual que en los pasos anteriores, por lo que ahora se considera el último número del dividendo (en este caso 0) y se procede a realizar la siguiente división. En este caso 20 dividido en 4 es 5 y como residuo queda el 0. Por lo tanto, el resultado final de la división 4220:4 es Una manera sencilla de comprobar si el resultado es el correcto es multiplicar el resultado con el divisor. Si está correcto, debe dar como producto el dividendo. O sea: 1055 x 4 = 4220, por lo que se comprueba que la división se realizó de manera correcta. Derechos de autor Acción Emprendedora 8/28

9 Capitulo 2: Razones y Proporciones Razón entre dos números: La razón entre dos números se refiere al resultado de dividirlos entre ellos, lo que en matemáticas se conoce como cociente. Por ejemplo, 1) La razón entre los números a y b es la división entre a y b, es decir: 2) La razón entre los números 10 y 2 es 5, ya que: 5 Proporciones: Las proporciones indican el comportamiento que existe entre dos razones, en otras palabras indican la igualdad de dos razones. Por ejemplo, 1) Los números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma que entre c y d. Esto se lee: a es a b como c es a d. Además a y d se llaman extremos, c y b se llaman medios. 2) Los números 3, 5 y 6, 10 forman una proporción, ya que la razón entre 3 y 5 es la misma que la razón entre 6 y 10. Por lo tanto: Derechos de autor Acción Emprendedora 9/28

10 La propiedad fundamental de las proporciones es que en toda proporción, el producto de los extremos es igual al de los medios. En el ejemplo anterior, Como ya sabemos que las proporciones son relaciones entre números o magnitudes, ahora veremos que esta relación puede ocurrir en dos sentidos. Proporciones Directas: Hablamos de proporciones directas cuando las dos magnitudes que se comparan o relacionan, pueden aumentar o disminuir en la misma cantidad. En otras palabras, si dos magnitudes son tales que a doble, triple, etc., la cantidad de la primera corresponde al doble, triple, etc. cantidad de la segunda. Proporciones inversas: Hablamos de Proporciones inversas cuando una magnitud sube la otra baja en igual cantidad. Ejemplos: 1) Un saco de papas pesa 20 kg., Cuánto pesan 2 sacos de papas? Respuesta: Número de sacos Peso en Kg Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20 Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20 Derechos de autor Acción Emprendedora 10/28

11 Se observa que: Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente proporcionales. La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a kg es 20. Esta manera de funcionar de las proporciones nos permite adentrarnos en lo que llamaremos regla de tres y que nos servirá para resolver una gran cantidad de problemas matemáticos. La regla de tres permite resolver problemas matemáticos en los cuales se conocen tres datos y se busca un cuarto dato, denominado generalmente incógnita. Por ejemplo, se establece una proporción entre los valores A y B y conociendo un tercer calor que llamaremos C, se puede calcular el valor de D. A B C D El valor de D se calcula: D= En este el caso de la pregunta, para encontrar cuánto pesan dos sacos de papas, la respuesta aplicando la regla de tres: 1 saco --> 20 kg 2 sacos --> X kg X= Es decir, 2 sacos pesan 40 kg. Derechos de autor Acción Emprendedora 11/28

12 Capitulo 3: Porcentajes El porcentaje o tanto por ciento (%), es una de las aplicaciones más usadas de las razones y proporciones. El porcentaje es una forma de comparar cantidades, en donde la magnitud (cifra o cantidad) se relaciona con el todo que le corresponde (todo siempre corresponde al 100%), considerando como unidad la centésima parte del todo. Ejemplos: 1 centésimo = 5 centésimos = 50 centésimos = Es muy importante que las fracciones siempre deben estar expresadas en la forma más pequeña posible, es decir deben ser fracciones irreductibles. Ejemplos: 1) La fracción corresponde a se convierte en fracción irreductible al dividila por 3, que 2) Qué significa 50%? Significa que de una cantidad que se ha dividido en 100 partes, se han tomado 50 de ellas, o sea, la mitad. 3) Qué significa 25%? Significa que de un total de 100 partes, se han tomado 25, o sea ( al simplificar por 5, se reduce a ). Derechos de autor Acción Emprendedora 12/28

13 Cálculo de Porcentajes El porcentaje se calcula a partir de variables directamente proporcionales (lo que significa que si una variable aumenta, la otra también aumenta y viceversa).en el cálculo intervienen cuatro componentes: Cantidad Total 100 % Cantidad Parcial porcentaje parcial Por ejemplo, al querer resolver el problema: Si hoy han faltado a clase por enfermedad el 20% de los 30 alumnos/as, cuántos alumnos han faltado a clases? 30 alumnos 100% X alumnos 20% X = = 6 alumnos Derechos de autor Acción Emprendedora 13/28

14 Capitulo 4: Fracciones Concepto de fracción: Una fracción corresponde a la idea de dividir una totalidad en partes iguales, como cuando hablemos por ejemplo de llenar medio estanque de gasolina o de la cuarta parte de un pastel. Por ejemplo, si hablamos de tres cuartos de hora, se refiere dividir una hora en 4 partes y luego tomar tres partes de ésta. Una fracción se representa por números que están escritos uno sobre el otro, separados por una línea fraccionaria. Las fracciones están compuestas por dos partes: El numerador y el denominador. El numerador es el número que está sobre la línea fraccionaria y el denominador es el número que está bajo ella., a es el numerados y b el denominador de la fracción. El Numerador indica el número de partes iguales que se han tomado o considerado de un entero. El Denominador indica el número de partes iguales en que se ha dividido un entero. Ejemplos, 1) La fracción (se lee dos quintos), tiene como numerados al 2 y como denominador al 5. Significa que se han considerado 2 partes de un total de 5 partes en que se dividió en entero o el total. 2) En el dibujo, hay 8 partes de las cuales se han pintado 5. La fracción que representa este dibujo es (se lee cinco octavos). Derechos de autor Acción Emprendedora 14/28

15 Números Decimales Los números decimales pueden escribirse de dos maneras: como fracción o número decimal. Fracción Notación decimal* 3/10 = 0.3 *Nota: En español se utiliza coma (,) para denotar los decimales. Sin embargo, en inglés, y por lo tanto en USA, se utiliza punto (.) para denotar los decimales. Aquí utilizaremos la notación de USA. Como cualquier tipo de número, los números decimales puedes sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse. Adición y Sustracción: Para sumar o restar números decimales escritos con notación decimal se siguen los siguientes pasos: 1. Se anotan los números hacia abajo, de modo que los puntos queden en la misma columna. Siempre se debe colocar el número mayor arriba. Ejemplo: Si los números que se ordenaron no tienen la misma cantidad de cifras decimales, se agregan a la derecha todos los ceros necesarios para que tengan igual cantidad Derechos de autor Acción Emprendedora 15/28

16 3. Se suma o resta en forma normal, luego se baja el punto (bajo su columna) y se agrega al resultado Multiplicación de un número decimal* por un número natural* * Número Decimal: Es la expresión lineal de una fracción ordinaria o decimal que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador. Por ejemplo: 1) = 0.5 que es el resultado de dividir 1 : 2 2) = que es el resultado de dividir 1 : 3 Número Natural: Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto. Por ejemplo: 1, 2, 3, 4, etc. 1. Se resuelve la multiplicación sin considerar el punto. Ejemplo: x Una vez que se hizo la multiplicación, se cuentan cuantos espacios después del punto (hacia la derecha) están ocupados, y a partir del último número del resultado se cuentan hacia la izquierda los mismos espacios, y se coloca el punto x Derechos de autor Acción Emprendedora 16/28

17 Los espacios decimales ocupados son tres (los espacios decimales son los números que están detrás del punto). En el resultado, se cuentan tres espacios desde el 4 al 1 y se coloca el punto. División: Los pasos son: 1. Se resuelve la división de la forma acostumbrada. 19 : 5 = Como el resto es 4 (debe ser un número distinto de cero), se puede continuar dividiendo. Para esto se agrega un punto en el dividendo y un cero en el divisor. 19 : 5 = Se continúa dividiendo y agregando un cero al resto todas las veces que se quiere; de esto depende el número de decimales que se quiera obtener. 19 : 5 = Notación de mayor a menor: Derechos de autor Acción Emprendedora 17/28

18 Si dos o más números decimales tienen un entero del mismo valor, será mayor aquel que tenga el primer número mayor después del punto; y si este es igual, será mayor aquel que tenga el siguiente número más grande. Ejemplos (ordenado de mayor a menor): Derechos de autor Acción Emprendedora 18/28

19 Ejercicios Razones y Proporciones 1)Calcule el valor de X en las siguientes proporciones: 5 : 2 = x : 4 8 : 6 = X : 3 2) Un ganadero tiene alimento suficiente para 220 vacas durante 45 días. Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de comida a 450 vacas? 3) 15 obreros trabajando 6 horas diarias, tardan 30 días en realizar un trabajo. Cuántos días tardarán en hacer el mismo trabajo 10 obreros, empleando 8 horas diarias? 4) En una receta de un postre para 6 personas se necesitan 200 gramos de azúcar. Si se desea preparar dicho postre para 10 personas, cuántos gramos de azúcar se necesitan? 5)Tres metros de cuerda valen $ 800. Cuánto valen ocho metros de la misma cuerda? 6) Determine si las siguientes parejas de razones forman una proporción. 8:3 con 2:5 2:4 con 10:20 7:3 con 21:9 7) La razón entre dos números es 8:3 y su diferencia es 55. Hallar los números. 8) Las edades de un padre y su hijo están en la razón 10:3. Si entre ambos tienen 78 años, cuántos años más tiene el padre que el hijo? 9) Cinco secretarias escriben 100 cartas al día. Cuántas cartas escriben 8 secretarias? Derechos de autor Acción Emprendedora 19/28

20 10) Una modista cose 6 camisas en 8 horas. Cuántas horas tardarán 4 modistas en coser 12 camisas? Porcentajes 1)Si el 20 % de una cierta cantidad total es 120 Cuál es el total? 2) En una tienda se decide subir todos los precios en 15 %. Por cuál número se deben multiplicar los precios antiguos para obtener el nuevo precio? 3)La señora María compró 3 kg de manzanas y 2 kg de peras al mismo precio el kilogramo. Una semana después realizó la misma compra. Si las peras habían subido 10 por ciento, en qué porcentaje habían bajado las manzanas si en ambas ocasiones la señora María pagó lo mismo? 4) Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8,800 dólares, nos hacen un descuento del 7.5%. Cuánto hay que pagar por el vehículo? 5) Una moto cuyo precio era de dólares, cuesta en la actualidad 250 dólares más. Cuál es el porcentaje de aumento? 6)De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje? 7)Al comprar un monitor que cuesta 450 dólares nos hacen un descuento del 8%. Cuánto tenemos que pagar? 8)Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se ha comprado en 80 dólares. Halla el precio de venta. 9) Qué precio de venta hemos de poner a un artículo comparado a 280 dólares, para perder el 12% sobre el precio de venta? 10) Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de 150 dólares. Derechos de autor Acción Emprendedora 20/28

21 Fracciones 1) Ordenar las siguientes fracciones de menor a mayor: 2) Ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones: 3)En un corral, 5 gallinas son blancas, las que corresponden a la quinta parte del total 25 de gallinas. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Las gallinas que no son blancas son II) El 20% de las gallinas son blancas. III) El número total de gallinas que no son blancas es cuatro veces el número de gallinas blancas. 4) Resolver 5) Resolver 6)Un depósito contiene 150 l de agua. Se consumen los 2/5 de su contenido. Cuántos litros de agua quedan? 7)De una pieza de tela de 48 m se cortan 3/4. Cuántos metros mide el trozo restante? Derechos de autor Acción Emprendedora 21/28

22 8)Un cable de 72 m de longitud se corta en dos trozos. Uno tiene las 5/6 partes del cable. Cuántos metros mide cada trozo? 9)Una caja contiene 60 bombones. Eva se comió 1/5 de los bombones y Ana 1/2. Cuántos bombones se comieron Eva, y Ana? 10)Ana ha recorrido 600 m, que son los 3/4 del camino de su casa al instituto. Qué distancia hay de su casa al instituto? Números Decimales 1)Tres atletas corrieron los 100 metros planos, Javier cronometró 11.3 segundos; Arturo, segundos, y Marcelo, 11.2 segundos. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Javier llegó después que Marcelo. II) Entre Arturo y Marcelo hay 18 centésimas de segundo de diferencia al llegar a la meta. III) Arturo llegó primero. 2) En una tienda se decide bajar el precio de un tipo de producto en un 20%. Por cuál número se deben multiplicar los precios antiguos para obtener el nuevo precio? 3)Convertir a fracción el decimal 3.5 4) Convertir la fracción a número decimal Derechos de autor Acción Emprendedora 22/28

23 5)Antonio compró una carpeta que le costó 2 dólares y 50 centavos. Si entregó un billete de 5 dólares, cuánto dinero le devolvieron? 6)Un carro mide aproximadamente 3,85 metros. Cuál es la distancia mínima que ocuparían 5 carros iguales puesto uno junto a otro? 7) Si el aceite está a 1.15 dólares el litro, Cuánto cuesta una botella de aceite de 0.75 litros? 8)Una jarra vacía pesa 0.64 kg, y llena de agua kg. Cuánto pesa el agua? 9)Un ciclista ha recorrido km en una etapa, km en otra etapa y km en una tercera etapa. Cuántos kilómetros le quedan por recorrer si la carrera es de 1000 km? 10)De un depósito con agua se sacan l y después l, finalmente se sacan 84.5 l. Al final quedan en el depósito 160 l. Qué cantidad de agua había el depósito? Derechos de autor Acción Emprendedora 23/28

24 Respuestas de Ejercicios Razones y Proporciones 1) 10 y 4 2) 22 días 3) días 4) gramos 5) 2, ) la primera pareja de razones no forman una proporción. La segunda y tercera pareja de razones si forman una proporción. 7) 88 y 33 8) 42 años de diferencia 9)160 cartas 10) 4 horas Porcentajes 1) 120 es el 20 % de un total de 600 2) Se deben multiplicar por )Las manzanas bajaron en un 6.6% 4) Se debe pagar 8,140 dólares 5)El porcentaje de aumento es de un 5% 6) Un 75% de los alumnos ha asistido al viaje 7) Tenemos que pagar 414 dólares Derechos de autor Acción Emprendedora 24/28

25 8)El precio de venta es de 92 dólares 9) El precio de venta debe ser de dólares 10) El precio de venta es de 120 dólares Fracciones 1) 2) 3)Todas las opciones son verdaderas 4) 5) 6) Quedan 90 l de agua 7) 12 metros 8) 60 y 12 m 9) Eva comió 12 bombones y Ana 30 bombones 10) 800 m Números Decimales 1) Las tres opciones son correctas. 2) se debe multiplicar por )Corresponde a la fracción Derechos de autor Acción Emprendedora 25/28