El estudio de los sistemas de ecuaciones será el hilo conductor de la unidad, los alumnos van a repasar lo aprendido en

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1 1 SISTEMAS DE ECUACIONES El estudio de los sistemas de ecuaciones será el hilo conductor de la unidad, los alumnos van a repasar lo aprendido en cursos anteriores sobre ellos y comprobarán su aplicación en la vida cotidiana. Al inicio de esta unidad se presentan los sistemas de ecuaciones lineales y su resolución, para llegar a discutir sistemas de ecuaciones sin y con parámetros al final de la unidad. Se trabaja también la interpretación geométrica de sistemas de ecuaciones lineales, así como la resolución de sistemas aplicando herramientas tecnológicas. La metodología se ha diseñado incluyendo actividades de aprendizaje integradas que permitirán al alumnado avanzar hacia los resultados de aprendizaje de más de una competencia al mismo tiempo. Se desarrolla la competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología a lo largo de toda la unidad. A través del conocimiento de los sistemas de ecuaciones, se desarrolla en el alumno la capacidad de aplicar el razonamiento lógico-matemático y sus herramientas para describir e interpretar distintas situaciones. La competencia digital se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos. Especial interés tienen las actividades propuestas con herramientas tecnológicas a lo largo de los epígrafes, así como las actividades interactivas del test de autoevaluación que se encuentra al final de la unidad. A través de la incorporación del lenguaje matemático a la expresión habitual de los alumnos, se fomenta la competencia en comunicación lingüística. En esta unidad se presentan numerosos conceptos matemáticos que los alumnos han de utilizar correctamente a la hora de resolver actividades y problemas. La competencia aprender a aprender se fomenta a través de la autonomía de los alumnos a la hora de resolver problemas. Es fundamental que el profesor incida en las destrezas necesarias para comunicar con eficacia los resultados de la resolución de cualquier actividad, reto o problema. Las competencias sociales y cívicas se desarrollan en el área de Matemáticas mediante la aceptación de otros puntos de vista en la resolución de algunos problemas. Es importante que el docente trabaje situaciones que se pueden resolver de diferentes formas, aplicando el método de Gauss, la resolución gráfica, etcétera; para trabajar con los alumnos que distintas soluciones pueden ser igualmente válidas. El reconocimiento y valoración de las aportaciones ajenas enriquece el aprendizaje. Temporalización El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos. Objetivos Los objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son: Identificar sistemas de ecuaciones lineales. Reconocer sistemas equivalentes. Resolver sistemas de ecuaciones aplicando el método de Gauss. Discutir sistemas de ecuaciones sin y con parámetros. Interpretar geométricamente sistemas de ecuaciones. 1. Sistemas de ecuaciones 3

2 Atención a la diversidad Con el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno. PROGRAMACIÓN DE LA UNIDAD Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables Competencias clave Sistemas de ecuaciones lineales Ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas equivalentes Resolución de sistemas Método de Gauss Discusión de sistemas Sistemas con parámetros 1. Realizar demostraciones sencillas de propiedades relacionadas con contenidos algebraicos. 2. Estudiar y clasificar sistemas de ecuaciones lineales. 3. Analizar, representar y resolver problemas planteados en contextos reales, utilizando sistemas de ecuaciones e interpretando críticamente los resultados. 4. Discutir sistemas de ecuaciones lineales sin y con parámetros Reconoce y comprueba si dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes Maneja sistemas de ecuaciones Formula algebraicamente las restricciones indicadas en una situación de la vida cotidiana, estudia y clasifica sistemas de ecuaciones lineales según el número de soluciones que tengan Reconoce sistemas homogéneos Interpreta geométricamente sistemas de ecuaciones lineales Resuelve sistemas de ecuaciones lineales Formula algebraicamente las restricciones indicadas en una situación de la vida cotidiana, plantea sistemas de ecuaciones lineales, los resuelve, mediante el método de Gauss o con el apoyo de medios tecnológicos adecuados, en los casos que sea posible, y lo aplica para resolver problemas Resuelve problemas en los que se precise el planteamiento y resolución de sistemas de ecuaciones, e interpreta los resultados en el contexto del problema Expresa verbalmente, de forma razonada, el proceso seguido en la resolución de un problema, con el rigor y la precisión adecuados Discute sistemas de ecuaciones lineales sin parámetros, utilizando medios tecnológicos adecuados, si es posible Discute sistemas de ecuaciones lineales con parámetros, utilizando medios tecnológicos adecuados, si es posible. CMCT CL CAA CSC CMCT CD CL CAA CMCT CD CL CAA 4 Álgebra y Programación lineal

3 PARA EL PROFESOR MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD PARA EL ALUMNO Presentación de la unidad Repasa lo que sabes 1. Sistemas de ecuaciones lineales Ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas equivalentes Actividades de refuerzo Actividades de ampliación 2. Resolución de sistemas Método de Gauss Vídeo. Sistema de ecuaciones lineales 3. Discusión de sistemas Sistemas con parámetros Vídeo. Sistema homogéneo Vídeo. Sistema con parámetros Prueba de evaluación EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS EVALUACIÓN Actividades interactivas. Test de autoevaluación 1. Sistemas de ecuaciones 5

4 Repasa lo que sabes (página 5) 1. Escribe algebraicamente las siguientes expresiones. Un número impar menos el quíntuplo de la suma de ese número más 3. b) El cuadrado de la diferencia de dos números. c) El producto de tres números consecutivos. d) Múltiplo de siete más el cuadrado de otro número. (2k 1) 5 (2k 4) b) (x y) 2 c) x (x 1) (x 2) d) 7x y 2 2. De las siguientes ecuaciones, di cuáles son lineales y cuáles no. 3x 2y 4z 10 b) 3x 2 2x 3 0 c) 2x 3 3x 5 10 d) 2x 5xy z 3 Solo es lineal la, la b) es cuadrática, la c) cúbica y la d) es de grado Indica si estas ecuaciones son equivalentes. 2x y 3 0 4x 2y 6 Sí lo son, ya que la primera es el doble de la segunda: 2 (2x y 3) 2 0 4x 2y 6 4. Dada la ecuación lineal con dos incógnitas x y 4, establece otra ecuación que forme con esta: Un sistema compatible determinado. b) Un sistema compatible indeterminado. c) Un sistema incompatible. Respuesta abierta. Por ejemplo: x y 4 b) 3x 3y 12 c) 2x 2y 3 5. Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución. y 9 6x y 2 x y 2 Sustituimos en la otra ecuación y despejamos: 6(y 2) y 9 y 3/7 x 11/7 6. Resuelve este sistema por el método de reducción. Sumamos ambas ecuaciones y resolvemos: x 21/17, y 14/17 5x 6y 7 15x 3y 21 2x 3y 0 62x 3y 0 6 Álgebra y Programación lineal

5 SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES DEL LIBRO DEL ALUMNO Sugerencias didácticas. Recursos TIC Sistema de ecuaciones lineales (página 10) En el vídeo se muestra la resolución del sistema de cuatro ecuaciones lineales con cuatro incógnitas del segundo ejercicio resuelto. Se utiliza el método de Gauss para reducir las ecuaciones y hallar las soluciones siguiendo un procedimiento alternativo al del libro de texto. Puede utilizarse para mostrar en la pizarra digital un ejemplo del método paso a paso, para comprobar que el resultado no depende de las incógnitas que se reducen en cada ecuación o para que los alumnos puedan repasar el procedimiento más tarde. También se muestra cómo hallar las soluciones del sistema utilizando solo una calculadora científica que resuelve ecuaciones. Sistema homogéneo (página 13) En el vídeo se muestra la resolución de un sistema homogéneo, que resulta ser compatible indeterminado, y se indica cómo expresar las infinitas soluciones que tiene. Puede utilizarse para mostrar en la pizarra digital un ejemplo de este tipo de ejercicio o para que los alumnos puedan repasarlo más tarde. También se muestra cómo devuelve la información sobre este tipo de sistemas una calculadora científica que resuelve ecuaciones. Sistema con parámetros (página 16) En el vídeo se muestra el estudio y la discusión de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas en función de un parámetro a. Puede utilizarse para mostrar en la pizarra digital un ejemplo de este tipo de ejercicios o para que los alumnos puedan repasar el procedimiento a seguir cuando se pide la discusión de un sistema. Actividades (páginas 11/16) 1 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de Gauss. b) c) d) e) f) 3x y z t 0 2x y z 2t 2 3x y z t 6 2x 2y 2z 3t 9 4x 2y 2 x y 2 6x 4y 6 2x 3y z t 12 x y 2z 3t 1 3x y 2z 2t 3 3x 2y 5z 7t 7 3x 2y 4z 3 5x 3y z 6 4x 4y z 2 3x 2y z 6 2x 5y 6z 1 5x 7y 7z 4 x y z 3 2x 4y z 5 5x 2y 3z 6 g) h) i) j) k) l) 2x 3y z 4 x y z 3 3x 2y 4z 13 3x 2y z 2 x y z 5 4x 3y 2z 9 x y z 2 2x y z 1 3x 2y 4z 1 x 2y z 8 2x 3y 2z 10 5x 5y 4z 27 3x 2y 5z 1 3x y 2z 5 2x 3y z 12 x y z 0 x y z 1 x y z 0 y 3x z t 0 y 2x z 2t 2 y 3x z t 6 2y 2x 2z 3t 9 y 3x 2z 2t 0 y 5x 2z 3t 2 y 6x 2z 3t 6 y 8x 2z 3t 9 x 1, t 1, z 2, y 0 b) 4x 2y 2 x y 2 x 2y 2 x y 2 4x 2y 2 x 2y 6 6x 4y 6 6x 4y 6 x 2y 6 y 3, x 1 c) x y 2z 3t 1 x y 2z 3t 1 2x 3y z t 12 xy 3z 5t 10 3x y 2z 2t 3 x 4y 8z 7t 6 3x 2y 5z 7t 7 x 4y 11z 2t 10 xy2z3t1 x y 2z 3t 1 xy3z5t10 x y 3z 5t 10 x20z 27t 34 x y 2z t 0 xy 2z t 0 x y 2z 17t 34 t 2, z 1, y 3, x 2 d) 3x 2y 4z 3 2y 14z 3 5x 3y z 6 y 17z 33 4x 4y z 2 3x y29z 50 z 5 0, y , 9 x e) 3x 2y z 6 2y 16z 6 2x 5y 6z 1 3x 11y 16z 9 5x 7y 7z 4 3x 11y 10z 9 El sistema es incompatible. f) 2x y z 3 x 6y 27z 3 2x 4y 3z 5 x 6y 23z 11 5x 2y 3z 6 x 6y 27z 23 z 2 3, y 6 1, x g) 2x 3y z 4 3y 3z 4 x y z 3 y 3z 10 3x 2y 4z 13 2x y 3z 6 z 3, y 1, x 1 h) 3x 2y z 2 3x 2y 2z 2 x y z 5 3x 2y 2z 13 4x 3y 2z 9 3x 2y 0z 2 El sistema es incompatible. i) x y z 2 x y 2z 2 2x y z 1 x y 3z 3 3x 2y 4z 1 x y 3z 1 z 1, y 0, x 1 j) x 2y z 8 x 2y 22z 8 2x 3y 2z 10 x 7y 24z 26 5x 5y 4z 27 x 7y 13z 39 z 3, y 2, x 1 k) x 2y 5z 1 x 2y 5z 1 3x y 2z 5 x 7y 13z 2 2x 3y z 12 x 7y 2z 8 z 4, y 54/7, x 25/7 l) x y z 0 x y 2z 0 x y z 1 x y 2z 0 x y z 0 x y2z 1 z 1/2, y 1/2, x 0 1. Sistemas de ecuaciones 7

6 2 3 4 Indica qué ecuaciones dependen de las demás en estos sistemas. 3x 2y z 1 x 2y 2z 0 6x 4y 2z 2 x y z 2 2x y z 5 x 2y 2z 5 2x 3y 3z 7 b) x y z 1 2x y z 4 4x y z 2 x y z 2 x 3y 3z 2 2x y z 5 x 3y 3z 1 x 2y 2z 5 x 3y 2z 10 2x 3y 3z 7 x 3y 0z 0 Sistema compatible determinado: z 5, y 2, x 1 b) x y z 1 x y 3z 1 2x y z 4 x y 3z 2 4x y z 2 x y 0z 0 Sistema compatible indeterminado: z, y 2, x 1 c) x y z 1 x 3y 3z 1 2x y z 8 x 3y 3z 10 4x y 3z 7 x 3y 0z 1 Sistema incompatible d) x y z 2 x 3y 3z 2 x y z 8 x 2y 3z 4 x y z 6 x 3y 2z 10 Sistema compatible determinado: z 5, y 2, x 1 Discute los siguientes sistemas en función del valor del parámetro a. b) c) d) x y 2 3x 4y 7 2x 3y 5 La tercera ecuación es la primera ecuación por 2. b) La tercera ecuación es la segunda ecuación menos la primera ecuación. Discute los siguientes sistemas. x y z 1 2x y z 8 4x y 3z 7 x y z 2 x y z 8 x y z 6 5 c) 3x y z 3 3x 4y 34z 3 4x 3y z 5 3x 4y 35z 4a6 2x y az 3 3x 4y 37z 30 52a 6x 2y 3z 4a 0 52a 2 14a236 Para que el sistema sea compatible, debe ser: 52a 2 14a a 2 o a 59/26 Halla los valores de k para que el siguiente sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial: Para que el sistema sea compatible indeterminado: x y z 0 x y (k 1)z 0 x 2y 2z 0 x y (k 1)z 0 x y kz 0 x y (k 1)z 0 Al aplicar Gauss deben quedar solo dos ecuaciones independientes, es decir, deber ser k 1, en cuyo caso las soluciones son: y z, x 0. Ejercicios y problemas (páginas 21/24) Sistemas de ecuaciones lineales 1 x y z 0 x 2y 2z 0 x y kz 0 Indica tres ecuaciones equivalentes a cada una de las siguientes ecuaciones. 4x 1 2x 2 10x 3 2 b) 2x 1 3x 2 2 c) 2x 4y z 0 d) 3x 3y 12 RESPUESTA LIBRE. Basta con multiplicar las ecuaciones por cualquier número real distinto de cero. Por ejemplo: 2x 1 x 2 5x 3 1; 8x 1 4x 2 20x 3 4; 12x 1 6x 2 30x 3 6 b) 2x 1 3x 2 2; 4x 1 6x 2 4; 4x 1 6x 2 4 c) x 2y 2 z 0; 4x 8y 2z 0; 2x 4y z 0 b) x ay 1 3x y 2 x 5y 0 x 2y z 2 2x y z 2 x y az 3 x ay 1 x ay 1 x (1 3y 1 3x y 2 x 0y 4 2a x 5y 0 1 3a Para que el sistema tenga solución, 4 2a 0 a 2. En ese caso x 5/7 e y 1/7. Si a 2 el sistema es incompatible. b) x 2y z 2 x 2y (2/3 z 2 2x y z 2 x 3y (2/3 z 2 x y az 3 x 3y (2/3 z 5/3 Para que el sistema sea compatible debe ser a 2/3. 5 En ese caso, z, y 3 2a, x 3 2a. 2 3a 2 3a 2 3a Si a 2/3, el sistema es incompatible. c) 3x y z 3 4x 3y z 5 2x y az 3 6x 2y 3z 4a 2 3 d) x y 4; x y 4; 6x 6y 24 Indica cuáles de las siguientes transformaciones son válidas entre las ecuaciones de un sistema para obtener otro que sea equivalente. Sustituir dos ecuaciones del sistema por su suma. b) Multiplicar los primeros términos de todas las ecuaciones por un número real, k. c) Sumar a una ecuación otra ecuación del sistema. d) Multiplicar o dividir una ecuación cualquiera del sistema por un número real. No, se puede sustituir una, pero no las dos. b) No, las ecuaciones que se obtienen no son equivalentes a las iniciales, puesto que se rompe la proporcionalidad. c) Sí. d) Sí, siempre que el número real sea distinto de cero. Comprueba si son equivalentes estos sistemas. 2x 3y 2z 4 x y z 0 3x y 5z 0 2x 3y 2z 4 x y z 0 4x 2y 4z 0 8 Álgebra y Programación lineal

7 b) c) d) x 4y z 2 3x 2y z 10 5x 3y 2z 15 3x y z 2 2x y 2z 5 3x 3y 5z 1 x 4y z 2 3x 2y z 1 6x 4y 2z 2 Son equivalentes, dado que la tercera ecuación del segundo sistema es combinación lineal de la segunda y de la tercera del primer sistema. b) Los dos sistemas no son equivalentes, pues aunque la segunda ecuación del segundo sistema es combinación lineal de la segunda y de la tercera ecuaciones del primer sistema, se ha perdido la información referente a la tercera ecuación. c) No son equivalentes, ya que no tienen el mismo número de incógnitas. d) Son equivalentes, ya que las dos últimas ecuaciones del primer sistema son equivalentes. Resolución de sistemas 4 Resuelve los siguientes sistemas por el método de Gauss. b) c) d) e) f) g) h) i) 3x 2y z 1 x 2y 3z 2 x y z 1 x y z 6 2x 3y z 9 3x 2y 5z 1 2x y z 1 x 2y z 0 3x 5y 3z 2 x 2y 2z t 4 x y z t 5 x y z t 6 x y z t 6 x 2y z 4 2x 3y 4z 6 x 5y 3z 3 3x 2y z 4 x 3y z 5 3x y z 3 3x 2y z 4 2x 3y z 5 x 5y 2z 9 3x 2y 5 x y 5/2 2x 3y 5/2 5x 2y 11 7x 4y 16 x y z 0 2x 2y z 1 x y z 2 El sistema es incompatible. Veámoslo: 3x 2y z 1 3x 2y z 1 x 2y 3z 2 x 2y 2z 1 x 2y 2z 1 x 4y z 2 8x y 3z 25 5x z 7 3x 5z 1 x 4y z 2 3x 2y z 1 j) k) x y z 1 2x y z 7 3x y 2z 6 2x 3y z 3 x y 5z 10 3x 3y 4z 8 l) 2x y 3z t 6 3x y z t 3 5x y 2z t 8 4x 3y z t 5 m) 2x 3y z t 1 x y z t 0 n) 3x y 2z 1 x y z 1 9x y 11z 4 ñ) 2x y z 1 x 2y z 0 5x y z 2 3x y z 1 o) x 2y z t 1 x y z t 2 2x y z t 0 p) x y z 1 x 4y 3z 2 x 2y 3z 1 x 3y 2z 1 q) 3x 2y 5z 0 2x 3y 2z 0 x y 3z 0 x 4y 8z 5 b) El sistema es compatible determinado: x 1, y 3, z 2 Lo comprobamos escalonando por Gauss: x y z 6 x y z 6 x 5y 3z 21 x 5y 3z 21 x 4y 5z 2 x y 37z 74 c) El sistema es compatible determinado y su solución es: 5 x, y , z d) El sistema es compatible indeterminado y sus soluciones son: x y z 2 t 5 2 e) El sistema es incompatible, luego no admite solución. f) El sistema es compatible determinado y su solución es: x 0, y 1, z 2 g) El sistema es compatible indeterminado y sus soluciones son: x 2 13 y z h) El sistema es compatible determinado y su solución es: x 2, y 1 2 i) El sistema es compatible determinado y su solución es: x 1, y 0, z 1 j) El sistema es compatible determinado y su solución es: x 2, y 2, z 1 k) El sistema es compatible determinado y su solución es: x 5, y 5, z 2 l) El sistema es compatible determinado y su solución es: x 1, y 0, z 1, t 1 m) El sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad y sus soluciones son: x 1 24 y 13 n) El sistema es incompatible, por tanto, no admite solución. ñ) Reorganizando las ecuaciones y aplicando Gauss: z t x 2y z 0 2x y z 1 5x 2y z 2 3x y z 1, x 2y z 0 x 3y 3z 1 x 10y 4z 2 x 7y 3z 1 La tercera ecuación es la suma de la segunda y la cuarta, así pues podemos prescindir de ella y resolver el sistema: x 2y z 0 z 2, y 1, x 0 x 3y 3z 1 x 4y 2z 4 o) Es un sistema de tres ecuaciones con 4 incógnitas. Escalonamos por Gauss: x 2y z t 1 x 2y 2z 2t 1 x y z t 2 2x y z t 0 x 2y 2z 2t 1 x 4y 2z 2t 3 1. Sistemas de ecuaciones 9

8 5 6 7 Debemos tomar una de las incógnitas como parámetro, por ejemplo, x, con lo que la solución del sistema es: x p) x 4y 4z 1 x 4y 3z 1 x 4y 3z 2 x 4y 3z 2 x 2y 3z 1 x 4y 5z 2 x 3y 2z 1 x 4y 0z 0 z 2 5 ; y 4 5 ; x 3 5 q) La tercera ecuación es la suma de las dos primeras, por lo que el sistema es compatible indeterminado, con un grado de libertad. Tomando z como parámetro la solución es: Calcula las soluciones del primer sistema y el valor de a para que estos dos sistemas sean equivalentes: 3x 4y z 4 3x 4y z 4 2x 2y 2z 3 x 3y az 7 x y z 3 x y z 3 La solución es: x 1 9, y 2 3 9, z Los sistemas son equivalentes si a 3. Halla tres números sabiendo que el primero menos el segundo es igual a un quinto del tercero, que si al doble del tercero le restamos dos resulta la suma del segundo y el tercero, además, el triple del segundo menos el doble del tercero es igual al primero menos ocho. Sean los números x, y y z. Planteamos el sistema: 2x 2y 2z y 1 5 z 2z 2y 2z y z 2x 3y 2z x 8 y z 1 2 t x 11/5 y 4/5 z 5x 5y z 0 2z y 2 x 3y 2z 8 x 22, y 18, z 20 De tres números, x, y y z, sabemos que el primero más el segundo suman 0, que el primero más el tercero suman 1, que la suma de los tres es 0, y para finalizar, que el primero multiplicado por un número k más el doble de la suma del segundo y el tercero dan 1. Qué se puede decir del valor de k? b) Cuánto valen los tres números? Con los datos aportados podemos plantear el siguiente sistema: kx 2(y z) 0 kx 2(y z) 1 kx 2(y z) 0 kx 2(y z) 1 Con las tres primeras ecuaciones tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, x y z 0, x y z 1 x y z 0 lo solucionamos por Gauss y se obtiene x 1, y 1 y z 0. Sustituyendo en la cuarta ecuación, se obtiene: k 3 Discusión de sistemas Escribe un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que sea compatible determinado. Justifica la respuesta. Interpreta geométricamente este sistema. RESPUESTA LIBRE. En cualquier caso, el sistema será con las ecuaciones de dos rectas que no sean paralelas ni coincidentes. Escribe un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas que sea incompatible. Justifica la respuesta. RESPUESTA LIBRE. Por ejemplo, el sistema: 4x 2y z 10 8x 4y 2z 20 3x y z 2 es incompatible, porque al restar a la segunda ecuación la primera multiplicada por 2, se obtiene Indica, razonando tu respuesta y poniendo un ejemplo en caso afirmativo, si existe un sistema lineal homogéneo de dos ecuaciones con dos incógnitas que sea: Compatible determinado. b) Compatible indeterminado. c) Incompatible. Sí es posible. Por ejemplo, el sistema: es compatible determinado; su única solución es: x0, y0 b) Sí es posible. Por ejemplo: Las dos ecuaciones son equivalentes; por tanto, el sistema es compatible indeterminado, y sus soluciones son: c) No es posible, pues cualquier sistema homogéneo tiene como mínimo la solución trivial: x 0, y 0 Escribe un sistema incompatible de cuatro ecuaciones con tres incógnitas. El siguiente sistema es incompatible, ya que la tercera y la cuarta ecuaciones son incompatibles entre sí: 3x 3y 2z 10 2x 2y 5z 0 3x 2y 2z 2 3x 2y 2z 3 Sin resolver este sistema, di si puede ser incompatible: 2x 3y 3z 0 2x 3y 3z 0 3x 3y 5z 0 No, puesto que todos los sistemas homogéneos admiten, como mínimo, la solución trivial. Determina el valor que ha de tener m para que el siguiente sistema admita una solución distinta de la trivial: El sistema equivalente que se obtiene es: x y z 0 y z 0 (m 1)z 0 2x 2y 0 2x y 0 2x 2y 0 x y 0 x y 2x y mz 0 2x y mz 0 3x y mz 0 10 Álgebra y Programación lineal

9 14 15 Si m 1, el sistema únicamente admite la solución trivial. Si m 1, el sistema es compatible indeterminado y sus soluciones son: Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función del valor del parámetro m: El sistema equivalente que se obtiene es: 2x 3y 2z 0 5x 2y 2z 0 4x 2y mz 0 x 0 y z x 3y 2z 0 13y 9z 0 (m 1)1z 0 Si m 1, el sistema únicamente admite la solución trivial. Si m 1, el sistema es compatible indeterminado y sus soluciones son: b) x 1 3 y 9 13 z Discute estos sistemas en función del parámetro a. c) x (a 2y 1 x (a 2y a x (a 1)y a x 2y 1 2x y 1 3x y a 2x 2y z a 2x 2y 2z 4 2x 2y z 7 x 2y z 2a El sistema equivalente que se obtiene es: d) 2x y z 5 5x y z 11 3x y az 2 Si a 2, el sistema es compatible determinado y su solución es: x 3 5, y 1 5 x 2y 1 x 5y 1 x 0 a 2 Si a 2, el sistema es incompatible. b) Se obtiene el sistema equivalente: x z 2 2y z a 3z 14 a 0 4a 20 Si a 5, el sistema es compatible determinado y su solución es: x 5, y 4, z 3 Si a 5, el sistema es incompatible. c) Se obtiene el siguiente sistema equivalente: x y 1 y 1 a ay 1 a No se puede multiplicar la segunda ecuación por a y restarla a la tercera, ya que a podría valer 0. Sustituimos el valor de y de la segunda ecuación en la tercera: (1 a 1 a a 2 1 a 1 Si a 1, el sistema es compatible determinado y su solución es: x 3, y Si a 1, el sistema es compatible determinado y su solución es: x 1, y 0 Si a 1 y a 1, el sistema es incompatible. Si se considera adecuado, podría sugerir la posibilidad de resolver el sistema buscando, en primer lugar, las soluciones de las dos primeras ecuaciones: x y 1 x a 2, y a 1 x y 1 a Sustituyendo estas soluciones en la tercera ecuación se obtiene a 1. Después, se concluye del mismo modo. d) x y z 5 x 4y (a 3)z 5 5x y z 11 x 4y (a )6z 14 3x y az 2 x 4y (a 3)z 13 x 4y (a 3)z 5 x 4y (a )6z 14 x 4y (a 3)z 1 Si a 1, sistema incompatible. Si a 1, sistema compatible determinado. Determina el valor de a para que el siguiente sistema sea compatible: El sistema equivalente obtenido es: Despejando y de la segunda ecuación, y sustituyendo en la tercera, resulta: (a 12) (1 2 3a 7 de donde se obtiene la ecuación de segundo grado: a 2 a 6 0 a 3 o a 2 a 3 x 1, y 1 a 2 x 2 7, y 3 7 ax (a 1)y 1 Dado el siguiente sistema: ax (a )2y 2 Discútelo en función del valor del parámetro a. b) Resuélvelo para el valor de a que lo hace indeterminado. Discutimos el sistema por Gauss: ax (a 1)y 1 x ( (a 1)y 1 ax (a )2y 2 x (2 a 2 y 2a x (a 2)(a 1)y 1 x (a 1)(a 2)y a 2 Si a 1, el sistema es incompatible. Si a 2, la última fila es toda nula y el sistema es compatible indeterminado. b) Lo resolvemos para a 2: x x 2x y 1 3x ay 0 x 4y a 4y a 7y 1 2a (a 12)y 3a 2x 2y 1 x 1 2x 2y 2 y Discute en función del parámetro m el sistema de x y mz 1 ecuaciones siguiente: x y mz 2 Cuando sea posible, da también la solución. 1. Sistemas de ecuaciones 11

10 Resolvemos el sistema: x y mz 1 x y ( 1)mz 1 x y mz 2 x y (m 1)z 1 Si m 1, sistema incompatible. Si m 1, sistema compatible indeterminado con un grado de libertad y cuya solución es: 1 z 1 Dado el sistema siguiente de ecuaciones: Añade una ecuación lineal de manera que el sistema resultante sea incompatible. b) Añade una ecuación lineal de manera que el sistema resultante sea compatible indeterminado. Para que sea incompatible basta añadir una ecuación que tenga los mismos coeficientes a, b y c que una cualquiera de las dos, y cuyo término independiente sea distinto, por ejemplo: 3x 2y z 0 b) Para que sea compatible indeterminado, basta con añadir una ecuación que sea combinación lineal de una de las dos dadas o de las dos, su suma por ejemplo: 4x y 3 Se sabe que el sistema de ecuaciones: tiene más de una solución. Determina el valor del parámetro a que hace esto posible. Ordenando las ecuaciones de manera conveniente y aplicando Gauss, obtenemos: x 2y 10z 5 x 2y ( 10z 5 2x 2y 8z 1 x 3y ( 12z 9 x 2y az 2 3x y (10 z 3 x 2y 10z 5 x 3y 12z 9 3x (18 3z 0 Si el sistema debe tener más de una solución, debe ser compatible indeterminado, por lo que a 6, y el sistema se reduce a dos ecuaciones independientes con tres incógnitas, es decir tiene un grado de libertad. Discute el siguiente sistema según el valor del parámetro m y encuentra la solución para un valor de m que lo haga compatible determinado. m y x 1 2m 1 m 3x 2y z 1 3x 2y z 2 4x 4y az 2 2x 4y 8z 1 x 2y 10z 5 3x y 2z 2 3x 2y 3z 2 2x my 5z 4 Se reorganiza el sistema para mayor comodidad y se aplica Gauss: 3x 2z 2y 2 x 2z (m 2)y 2 3x 3z 2y 2 x 9z (m )5y 4 2x 5z my 4 x 9z (m 2)y 8 22 x 2z (m 3)y 2 x 9z (m )5y 4 x 9z (m 3)y 4 Si m 3 0y 4, el sistema es incompatible. Si m 3, el sistema es compatible determinado, y sus soluciones son: x 1 0m 26 9m 27 4 y m m 3 z 4 m 32 9m 27 Discute el siguiente sistema en función del valor de los parámetros a y b: 3x 3y 3z 2 t 1 2x 3y 3z 2t 0 3x 3y 2z 2t a 3x 3y 3z 2t b El sistema equivalente que se obtiene es: x y z 0t 1 x 2y 2z 0t 1 x 2y 2z 0t a 1 x 2y 2z 0t b 1 Si b 1 y a 1, el sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad. Sus soluciones son: t z y 2 1 2, x Si b 1 o a 1, el sistema es incompatible. Problemas de aplicación 23 La suma de las tres cifras de un número es 15. Si se intercambian la primera y la segunda cifra, el número aumenta 180 unidades, y si se intercambian la segunda y la tercera, aumenta 18 unidades. Calcula el número. Se debe resolver el sistema: x y z 15 (100y 10x z) (100x 10y z) 180 (100x 10z y) (100x 10y z) 18 x y z 15 x y z 15 90x 90y 180 x y 2 9y 9z 18 y z 2 La solución del sistema es: x 3, y 5, z 7 Luego el número buscado es Un financiero invirtió en bolsa en acciones de tres empresas, A, B y C, y obtuvo un beneficio de 900. Invirtió en A tanto como en B y C juntas y los beneficios de las empresas fueron de un 5 % en A, un 3% en B y un 10 % en C, cuánto invirtió en cada una? El sistema que se plantea es: 0,05A 0,03B 0,1C ,05A 0,03B 0,1C B C 0,05A 0,03B 0,1C 900 La solución del sistema es: A 9 000, B 6 428,58, C 2 571,42 12 Álgebra y Programación lineal

11 25 Una cooperativa farmacéutica distribuye un producto en tres formatos: A, B y C. Las cajas del tipo A tienen un Sean x la edad del padre, y la de la madre y z la del hijo. Se plantea el sistema: peso de 250 g y un precio de 1, las B pesan 500 g y cuestan 1,80,mientras que las del tipo C pesan 1 kg y valen x y 5) (z 5) 80 (x y 5) (z 5) 3z 3,30. A una farmacia se le ha suministrado un lote de cinco x (y 5) (z 5) (x 5) 5 cajas, con un peso total de 2,5 kg, por un importe de 8,90. Cuántos envases de cada tipo ha comprado la farmacia? El sistema que se plantea es: 30 Se obtiene que el padre tiene 40 años, la madre 30 y el hijo 10. Calcula los valores de a, b y c para que la parábola de ecuación y ax 2 bx c pase por los puntos A(1, 8), x y 3,3z 5 B(1, 2) y C(2, 10). 0,25x 0,5y 3,3z 2,5 Se deberá resolver el siguiente sistema: x 1,8y 3,3z 8,90 8 4a 2b c donde: x n.º de cajas del tipo A 2 4a 2b c 10 4a 2b c y n.º de cajas del tipo B z n.º de cajas del tipo C La solución del sistema es: x 2, y 2, z 1 Se han suministrado 2 cajas del tipo A,2 del tipo B y 1 del tipo C. 31 La solución del sistema es: a 1, b 5, c 4 Un automóvil sube las cuestas a una velocidad de 54 km/h y las baja a 90 km/h; en llano marcha a 80 km/h. Para ir de A a B, dos puntos que distan entre sí 192 km, tarda 2 h y 30 min, y para volver de B a A, 2 h y 38 min. Calcula la longitud del camino llano entre A y B. 26 Si un millón de votantes de la izquierda hubieran votado a la derecha, las dos coaliciones hubieran obtenido el mismo número de votos. Pero si, por el contrario, un millón de votantes de la derecha hubieran votado a la izquierda, esta hubiera obtenido el triple de votos que aquella. Cuántos votos ha obtenido cada una de las coaliciones? Designamos con x el número de votos de la derecha y con y el número de votos de la izquierda. El sistema que se plantea es: y x y (x ) La solución del sistema es: x , y Una empresa fabrica tres tipos de coches: A, B y C. El modelo A pasa 20 h en la unidad de montaje; el B, 30 h, y el C, 10 h. Los vehículos son enviados después a la unidad de acabado, donde el modelo A tiene que estar 10 h; el B, 20 h, y el C, 30 h. Si para fabricar 14 coches la unidad de montaje ha trabajado 370 h, y la de acabado, 290 h, cuántos vehículos de cada tipo se han producido? Se debe resolver el sistema: 20x 20y 20z 14 20x 30y 10z x 20y 30z 290 La solución del sistema es: x 1, y 11, z 2 Por tanto, se han producido 1 coche del modelo A, 11 del modelo B, y 2 del modelo C. Si la altura de Carlos aumentase el triple de la diferencia entre las alturas de Toni y Juan, Carlos sería igual de alto que Juan. Las estaturas de los tres suman 515 cm. Ocho veces la altura de Toni es igual a nueve veces la de Carlos. Cuánto mide cada uno? Sean x la altura de Carlos, y la de Toni y z la de Juan. Se deberá resolver el sistema: x 3(y z) z x 3(y z) 515 x (8y z) 9x Por tanto, Carlos mide 160 cm; Toni, 180 cm, y Juan, 175 cm. La edad de una madre es, en la actualidad, el triple que la de su hijo. La suma de las edades del padre, la madre y el hijo es de 80 años, y dentro de 5 años la suma de las edades de la madre y del hijo superará en 5 años la edad del padre. Cuántos años tienen los tres en la actualidad? Se deberá resolver el sistema: x y z 192 x y z 2,5 80 x y z 2, La solución es: x 26,875, y 44,415, z 120,72 Por tanto, el camino llano mide 120,72 km. Un trayecto de 200 km se debe realizar combinando taxi, ferrocarril y autobús. El coste del taxi es de 5 /km; el del ferrocarril, de 2 /km, y el de autobús, de 3 /km. El recorrido nos ha costado 500, por haber hecho el doble de kilómetros en ferrocarril que en taxi y autobús juntos. Determina las distancias recorridas en cada uno de los medios de transporte. Planteamos el sistema y lo resolvemos por Gauss: x y z 200 x 3y 3z 200 5x 2y 3z 500 x 3y 2z 500 2x y 2z 0 x 3y 2z 400 y 400/3; z 50, x 50/3 En taxi recorre 16,67 km, en tren 133,33 km y en autobús 50 km. Una compañía aérea realiza vuelos desde Girona a tres ciudades A, B y C. Calcula el precio de los billetes a cada ciudad si sabes que si vende 10 billetes a la ciudad A, 15 a B y ninguno a C, ingresa 925. Si vende 12 billetes para A, 8 para B y ninguno para C, ingresa 760. Si vende 6 billetes para A, 5 para B y 8 para C, ingresa A 15B 8C 925 Planteamos el 12A 8B 8C 760 sistema: 6A 5B 8C 855 De las dos primeras ecuaciones se obtiene: A40 y B 35 y sustituyendo en la tercera C 55. Cuando en el año 1800 Beethoven escribe su primera sinfonía, su edad es 10 veces mayor que la del jovencito Franz Schubert. Pasa el tiempo y es Schubert quien compone su Sinfonía inacabada. Así, la suma de las edades de ambos músicos es 77 años. Cinco años después muere Beethoven Schubert tiene los mismos años que Beethoven tenía al componer su primera sinfonía. Halla el año de nacimiento de cada uno. 1. Sistemas de ecuaciones 13

12 35 36 x edad de Beethoven en 1800 y edad de Schubert en 1800 De modo que: x t y t 5 10y 10y 2t y 77 x t y t y 2t 5 10y x t y t 5 x y 3, t 22, x 30 Beethoven nació en 1770 y Schubert en Tres entidades financieras A, B y C ofrecen respectivamente, para depósitos superiores a 2 000, un interés anual del 2 %, el 3 % y el k % (que no conocemos). Juana, Manuel y Daniel deciden invertir sus ahorros en estas entidades durante un año. Sabemos que si todos lo hicieran en la entidad A obtendrían unos beneficios totales de 164 ; pero si Juana optase por A, Manuel por C y Daniel por B, obtendrían 192 ; finalmente, si Juana y Manuel se decidiesen por B y Daniel por C, obtendrían 218. Describe la situación con un sistema de ecuaciones. b) Sin resolver el sistema, determinar la cantidad total de dinero invertida por las tres personas. c) Halla, si existe, un valor de k para el que existan infinitas soluciones. Resuelve el sistema para este valor de k y da tres soluciones diferentes. El sistema que describe la situación es el siguiente: z)164 ky 2xky3z (0,02xy)0,03z xky3z kz 3x3ykz ,03(xy) 0,03z ,02(xy b) De la primera ecuación se deduce que la cantidad total invertida por los tres es de c) Resolvemos el sistema: 2x ky 2 z x ky z x ky 3z (k 2)y z x 3y kz x (k 3)z 2800 Si k 3, el sistema es incompatible. Si k 2, resulta: x y z x x y z y x y z 2800 z De modo que para k 2 existen infinitas soluciones. Tres soluciones diferentes son, por ejemplo: x 2 400, y 3 000, z x 2 900, y 2 500, z x 3 400, y 2 000, z Una persona va a la vinatería y compra tres tipos de vino: A, B y C, que cuestan 3, 7 y 8 respectivamente. En total compra 20 botellas y se gasta 100. Halla el número de botellas de cada clase que ha comprado sabiendo que como mínimo ha comprado una de cada clase. Llamamos respectivamente x, y y z al número de botellas del tipo A, B y C que ha comprado: x y z 20 3x 7y 8z 100 Obtenemos: x y z 20 x 4y 5z 40 x 10 4 y z Dado que x, y y z han de ser enteros y mayores que 1, ha de ser, como mínimo 4: x 11, y 5 y z 4. El valor 8 no es válido puesto que obtendríamos y 0 en contra de la hipótesis del problema. Una marca comercial utiliza tres ingredientes: A, B y C, en la elaboración de tres tipos de pizzas: P1, P2 y P3. La pizza P1 se elabora con 1 unidad de A, 2 de B y 2 de C; la P2 se elabora con 2 unidades de A, 1 de B y 1 de C, y la P3 se elabora con 2 unidades de A, 1 de B y 2 de C. El precio de venta al público es de 4,80 para P1, 4,10 para P2 y 4,90 para P3. Sabiendo que el beneficio es de 1,60 en cada una, halla cuánto cuesta cada ingrediente. Planteamos y resolvemos el sistema: 2x 2y 2z 3,20 x 2y 2z 3,20 2x 2y 2z 2,50 x 3y 3z 3,90 2x 2y 2z 3,30 x 3y 2z 3,10 x 2y 2z 3,20 x 3y 3z 3,90 x 3y 3z 0,80 C 0,80 ; B 0,50 ; A 0,60 Las edades (en años) de un niño, su padre y su abuelo verifican las siguientes condiciones: la edad del padre es veces la edad del hijo. El doble de la edad del abuelo más la edad del niño y más la del padre es de 182 años. El doble de la edad del niño más la del abuelo es 100. Establece las edades de los tres suponiendo 2. b) Para 3, qué ocurre con el problema planteado? c) Siguiendo con 3, qué ocurre si en la segunda condición la suma es 200 en vez de 182? x edad del abuelo y edad del padre z edad del hijo y 2z z Así el sistema y 2z 182 es:2x y 2z 100 b) c) 2x y 2z 3z 2x 4z 182 2x y 2z 182 x 2z x y 2z 100 No tiene solución. 2x y 2z 2z 2x y 2z 182 z 18, x 64, y 36 2x y 2z 100 2x y 2z 3z 2x y 2z 200 2x y 2z 100 2x 4z 200 2x 2z 100 El sistema tiene infinitas soluciones, muchas sin sentido real: z, x 100 2, y 3. Tres familias van a una pizzería. La primera familia pide 1 pizza grande, 2 medianas y 4 pequeñas, la segunda 1 grande y 1 pequeña, y la tercera, 1 mediana y 2 pequeñas. Si han pagado, respectivamente, 51,50, 15,90 y 21. Calcula el precio de cada una de las pizzas. Sea x el precio de la pizza grande, y el precio de la pizza mediana y z el precio de la pizza pequeña. Entonces: x 2y 4z 51,5 x 2y 4z 51,5 x 2y 4z 15,90 x 2y 2z 21 x 2y 2z 21 x 2y 3z 35,60 14 Álgebra y Programación lineal

13 x 2y 4z 51,5 x 2y 3z 35,60 x 2y 4z 6,40 La pizza pequeña vale 6,40, la mediana 8,20 y la grande 9,50. Javier, Pedro y Eva corren en un circuito. Por cada kilómetro que recorre Javier, Pedro recorre 2 kilómetros y Eva recorre tres cuartas partes de lo que recorre Pedro. Al finalizar, la suma de las distancias recorridas por los tres fue de 45 km. Cuántos kilómetros recorrió cada uno? x: km que recorre Javier y: km que recorre Pedro z: km que recorre Eva Carmen y Mercedes tenían cada una para invertir. Cada una de ellas distribuye su dinero de la misma forma en tres partes P, Q y R y las ingresan en una entidad financiera. Al cabo de un año, a Carmen le han dado un 4 % de interés por la parte P, un 5 % por la parte Q y un 4 % por la parte R y a Mercedes le han dado un 5 % por la parte P, un 6 % por la parte Q y un 4 % por la parte R. Carmen ha recibido un total de 850 de intereses y Mercedes ha recibido 950. De qué cantidad de euros constaba cada parte P, Q y R? x y z 45 x y z 2x x 10, y 20, z 15 x y z 3y/4 0,04P0,05Q0,04R ,04P0,05Q0,04R850 0,05P0,06Q0,04R950 4P4Q4R P5Q4R P6Q4R P 5 000, Q 5 000, R Tres trabajadores A, B y C, al concluir un determinado mes, presentan a su empresa la siguiente plantilla de producción: Trabajo (h) Dietas ( ) Desplazamiento (km) A B C Sabiendo que la empresa paga a los tres trabajadores la misma retribución: x euros por hora trabajada, y euros por cada dieta y z euros por km de desplazamiento y que paga ese mes un total de 924 euros al trabajador A, euros al B y 646 euros al C, calcula x, y y z. Planteamos y resolvemos el sistema: 40x 10y 150z x 5y 75z x 15y 250z x 3y 50z x 6y 100z x 3y 50z x 5y 75z x 5y 75z 45 x y 75z 462 y 30, z 0, y 50z 323 Arturo decide invertir una cantidad de en bolsa comprando acciones de tres empresas distintas: A, B y C. Invierte en A el doble que en B y C juntas. Transcurrido un año, las acciones de la empresa A se han revalorizado un 4%,las de B un 5 % y las de C han perdido un 2 % de su valor original. Como resultado de todo ello, Arturo ha obtenido un beneficio de 432,50. Determina cuánto invirtió Arturo en cada una de las empresas. Planteamos el sistema y lo resolvemos: x 8 000, y 2 750, z Arturo invirtió en la empresa A, en la empresa B y en la empresa C. Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 euros por 24 litros de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 litros de aceite de oliva. Plantea y resuelve un sistema de ecuaciones para calcular el precio unitario de cada artículo, sabiendo que 1 litro de aceite cuesta el triple que un litro de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 litros de aceite más 4 litros de leche. x: precio litro de leche y: precio kg jamón z: precio litro de aceite 0,04x 0,05y 0,05z ,04x 0,05z 0,02z 2(y z) 0,04x 0,05z 0,02z 432,5 24x 6y 12z x 6y 12z 3x 24x24(x z)12z156 24x 6y 12z 4(x z) 24x 24x 72x 36x x 156 El litro de leche vale 1,el de aceite 3 y el kg de jamón 16. Una empresa cinematográfica dispone de tres salas, A, B y C. Los precios de entrada a estas salas son de 3, 4 y 5 euros, respectivamente. Un día la recaudación conjunta de las tres salas fue de 720 euros y el número total de espectadores fue de 200. Si los espectadores de la sala A hubieran asistido a la sala B y los de la sala B a la sala A, se habría obtenido una recaudación de 20 euros más. Calcula el número de espectadores que acudió a cada sala. x: espectadores sala A y: espectadores sala B z: espectadores sala C 3x 4y 5z 720 x y z 200 3x 3y 3z 200 3x 4y 5z 720 4x 3y 5z 740 4x 3y 5z 740 x y z y 2z 120 z 20, y 80, x y z 60 A la sala A acudieron 100 espectadores, a la sala B fueron 80 y a la C, 20 espectadores. Se quiere confeccionar una dieta con tres clases de alimentos, A, B y C. El alimento A tiene 10 calorías por cada 100 g, el B, 30 calorías por cada 100 g, y el C, 40 calorías por cada 100 g. Si la dieta, que tiene G gramos de alimento al día, está restringida a calorías y la cantidad de alimento A ha de ser el doble, en peso, que la de C. Determina en función de G, las cantidades de cada alimento. b) Determina los valores entre los que está comprendido G para que las condiciones de la dieta se puedan cumplir. Teniendo en cuenta las calorías por gramo de alimento, y siendo a, b y c los gramos de los alimentos A, B y C, respectivamente, se puede plantear: ,1a 0,3b 0,4c G 0,1a 0,1b 0,1c a 0,1a 0,3b 0,2c a 3b 0,4c 840Ga 3b 0,4c 840a a 3b 0,2c Resolviendo se obtiene: a 2G b G c G b) a, b y c, no pueden ser números negativos ni nulos, por lo que G está comprendido entre y gramos. 1. Sistemas de ecuaciones 15

14 Actividades tipo test Escoge y razona la respuesta correcta en cada caso: 47 Sabemos que el precio del kilo de tomates es la mitad que el del kilo de carne. Además, el precio del kilo de gambas es el doble que el de carne. Si pagamos 18 por 3 kilos de tomates, 1 kilo de carne y 250 gramos de gambas, cuánto pagaríamos por 2 kilos de carne, 1 kg de tomates y 500 gramos de gambas? 21 euros b) 20,50 euros c) 31 euros La respuesta correcta es la. Veámoslo: x: precio kilogramo de tomates y: precio kilogramo de carne z: precio kilogramo de gambas 3x y 0,25z 18 3x 2x x 18 3x y 0,25z 4x 3x y 0,25z 2x x 3, y 6, z 12 De modo que 1 kg de tomates vale 3 euros, 2 kg de carne vale 12 euros y medio kilo de gambas vale 6 euros. Sumando tenemos que pagamos 21 euros. 48 El cajero de un banco sólo dispone de billetes de 10, 20 y 50 euros. Hemos sacado 290 euros y el cajero nos ha entregado exactamente 8 billetes. Nos ha dado el doble de billetes de 10 euros que de 20 euros. Cuántos billetes de cada tipo nos ha entregado el cajero? Dos de 10, uno de 20 y 5 de 50. b) Dos de 20 y 5 de 50. c) Tres de 10, tres de 20 y 4 de 50. La respuesta correcta es la. Veámoslo: x: billetes de 10 y: billetes de 20 z: billetes de x 20y 50z y 10z 8 10y 10z 8 02y 10z 0 10x 10y 10z 2y 10x 20y 50z y 10z 8 0y 110z 8 13y 10z 8 0x 3y 110z 8 0x 10y 40z 210 0x 0y 110z 550 z 5, y 1, x 2 En un examen de Matemáticas que constaba de tres problemas, un alumno obtuvo una calificación total de 7,2. La puntuación del primer problema fue un 40 % más que la del segundo, y la del tercero fue el doble de la suma de las puntuaciones del primero y el segundo. Cuál fue la puntuación de cada problema? 1. er problema: 1,8 puntos, 2. : 1 puntos y 3. : 4,4 puntos. b) 1. er problema: 1,4 puntos, 2. : 1 puntos y 3. : 4,8 puntos. c) 1. er problema: 1,8 puntos, 2. : 1,4 puntos y 3. : 4 puntos. La respuesta correcta es la. Veámoslo: x: primer problema y: segundo problema z: tercer problema x y z 7,2 2x 1,4y z 7,2 x y z 1,4y 2x 1,4y z 0 x y z 2(x y) 2x 1,2y z 0 2x 2,4y 2z 8 0x 2,4y 2z 7,2 z 4,8, y 1, x 1,4 0x 2,0y 3z 14,4 16 Álgebra y Programación lineal

15 Evaluación (página 25) 1. Comprueba si los siguientes sistemas son equivalentes. 3x 3y 1 3x y 1 2x 3y 2 5x z 3 3x 3y 3 Sí son equivalentes. La segunda fila del segundo sistema, es igual a la suma de las dos primeras filas del primer sistema, y también es igual a 3 veces la segunda fila menos la tercera. Ambos sistemas tienen por solución x 3/5, y 4/5. 2. Responde razonadamente a las siguientes preguntas. Cuántos grados de libertad tiene un sistema de 2 ecuaciones independientes con 3 incógnitas? b) Dado un sistema de r ecuaciones independientes con n incógnitas, cuántos grados de libertad tiene el sistema? 3 2 1, luego un grado de libertad. b) n r grados de libertad 3. Resuelve por el método de Gauss este sistema y compruébalo con ayuda de la calculadora o el ordenador. 0x 1y 3z 3 2y 3z 1 2x 3y 3z 4 b) 3x 2y 3z 4 2y 3z 5 2x 2y 4z 1 3x 2y 3z 3 3x 2y z 3 3x 2y 3z 1 3x 2y z 2 2x 3y 3z 4 2x 3y z 8 Solución: x 5, y 6, z 8 b) 3x 2y 2z 4 x y 13z 5 3x 2y 3z 5 x y 10z 11 2x 2y 4z 1 x y 10z 9 De donde se concluye 9 11, indicando que es un sistema incompatible sin solución. 4. Discute el sistema dependiendo del valor de m y resuelve cuando sea posible. 0x 3y 2z 0 5x 2y 3 z 0 4x 3y mz 0 b) my mz 1 mx my mz 1 3x 2y 3z 0 x 2y 3z 0 3x 2y 3 z 0 7y 10z 0 5x 2y mz 0 (7m 5)z 0 Al ser un sistema homogéneo siempre tendrá la solución trivial x y z 0. Esta será única en el caso m 5 7.Si m 5 7 entonces será un sistema compatible indeterminado con un grado de libertad, con solución x 41, y 10, z, 7 7 b) mx my mz 1, el sistema será compatible indeterminado en todo caso. mx my mz 1 Si m 1 entonces ambas ecuaciones son la misma y la solución tendrá dos grados de libertad: x 1, y, z,, Si m 1 entonces solo habrá un grado de libertad en la solución: x 1/m, y 0, z, 1. Sistemas de ecuaciones 17

16 5. El gasto mensual en salarios de una empresa de 36 trabajadores es de Hay tres categorías de trabajadores: A, B y C cuyos salarios mensuales son 900, y 3 000, respectivamente. Sin despedir a nadie, la empresa quiere reducir el gasto salarial en un 5 %. Para hacerlo ha reducido un 5 % el salario de categoría A, un 4 % el de categoría B y un 7 % el de categoría C. Averigua cuántos trabajadores hay en cada categoría. Planteamos el sistema: a b c 36 a b c a 1 500b 3 000c b 10c 183 0,05 900a 0, b 0, c 0, a 4b 14c 915 Resolvemos el sistema por Gauss: 3x 3y 33 z 36 x 3y 33 z 36 3x 5y 10z 183 x 5y 11z 75 3x 4y 14z 183 x 2y 17z 75 x 3y 33 z 36 x 5y 11z 75 x 2y 15z 75 Luego z 5, y 20, x 11, esto es, 11 trabajadores de categoría A, 20 de la categoría B y 5 de categoría C. 18 Álgebra y Programación lineal