Habilidad Cuantitativa y Conocimientos de Matemática. 1.- Sea S el valor de la expresión Entonces S es igual a:

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1 PROBLEMAS del MODELO DE EXAMEN DE ADMISIÓN 007 UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR Resuelto por los Profesores del Instituto ALBERT EINSTEIN Habilidad Cuantitativa y Conocimientos de Matemática 1.- Sea S el valor de la expresión Entonces S es igual a: A) 1001 B) 1000 C) 1000 D) 1001 E) Un hombre encierra su jardín, que tiene forma de un cuadrado, con una cerca de alambre. Al terminar observa que cada lado tiene 8 postes distribuidos uniformemente. Cuántos postes ha en total alrededor del jardín? A) 3 B) 30 C) 8 D) 6 E) En cuánto tiempo podrán copiar un informe dos mecanógrafas que se distribuyen el trabajo para tenerlo en el plazo más breve? Se sabe que una de ellas, podría hacerlo sola y demoraría horas y la otra que es mas lenta demoraría 3 horas. A) 5 horas B) horas y media C) 7 minutos D) 1 hora E) 0 minutos 4.- A cierta hora del día, un asta de bandera de 3 m de altura da una sombra de 80 cm como lo indica la figura. En ese mismo instante un árbol cercano da una sombra de 1,0 m Qué altura tendrá el árbol? A) 7,5 m B) 6 m C) 4,5 m D) 3,6 m 80 cm 1, m E) m

2 En un triángulo equilátero ABC, D es un punto del lado BC y AD es perpendicular al lado BC, entonces la medida del ángulo CAD es: A) 30º B) 40º C) 45º D) 50º E) 60º 6.- En una progresión geométrica la razón es 1 /, la suma de todos los términos es 15 y el último término es 1. Cuál es el tercer término? A) B) 3 C) 4 D) 8 E) En una hacienda hay tres obreros A, B, C que trabajan bajo las mismas condiciones. Se sabe que A y B pueden limpiar un potrero en 10 días, A y C lo pueden hacer en 1 días, B y C en 15 días. En cuantos días se puede limpiar si sólo trabaja C? A) 17 días B) 4 días C) 37 días D) 40 días E) 48 días Si en el triángulo ABC se tiene a = b =10 y cos γ =, entonces c es igual a: 8 A) 1 B) 4 C) 5 D) 15 E) Nueve rectas paralelas a la base de un triángulo dividen a los otros lados en 10 segmentos iguales y el área total en 10 partes diferentes. Si el área de la parte mayor es 38cm, entonces el área del triángulo original es: A) 180 cm B) 190 cm C) 00 cm D) 10 cm E) 40 cm

3 cos x senx + 1+ senx cos x 10.- Para que valores de x se cumple la igualdad 0 A) x = ± + k B) x = k 6 + C) x = ± + k D) x = k E) x = = SOLUCIONES 1.- Nótese que la suma algebraica es así : Se suman los impares y se restan los pares De 1 a 001 hay 1001 números impares. De a 000 hay 1000 números pares. Nótese la relación con los primeros 10 números. ( 1 ) + ( 3-4 ) + ( 5 6 ) + ( 7 8 ) + ( 9 10 ) = = 5 Pero esto se repite 00 veces al ir de 1 a 000! Entonces: = 5 x 00 = 1000 Ahora = Respuesta.- Lo que nos piden es determinar la cantidad de postes que hay en el PERÍMETRO del jardín, que es un CUADRADO. Si cada lado del cuadrado tiene 8 postes, entonces, quitando los 4 postes de los vértices (extremos) del cuadrado, el perímetro debe tener 6 x 4 = 4 postes. Sumándole los 4 postes de los vértices: = 8 postes... Respuesta 3.- A = Mecanógrafa N 1 y A tarda horas entonces, en 1 hora tipeará 1 / de su trabajo B = Mecanógrafa N y B tarda 3 horas entonces, en 1 hora tipeará 1 / 3 de su trabajo Juntas, en una hora realizarían + = = trabajo Siendo T todo el trabajo a mecanografiar, razonamos: Si juntas, en 1 hora, hacen 1 / 6 del trabajo, todo el trabajo lo efectuarán en x horas. Planteando la regla de tres: 5 6 Si en 1 hora T De donde x = horas = 7 minutos.respuesta 6 5 X T

4 Esto se resuelve por una regla de tres directa : 3 m 80 cm X 10 cm X = 3 m. 10 cm = 36 m X = 4,5 m 80 cm 8.. Respuesta 5.- Dibujamos el triángulo equilátero ( lados iguales ) A AD BC A Como AD BC D es el punto medio del lado BC. Pues para que AD sea perpendicular al D lado opuesto del vértice A entonces eso sólo ocurre en el punto medio ( por definición ) Entonces es altura del triángulo.? Por lo tanto CAD = 30 %.. Respuesta C 6.- Analicemos: * Como la razón es 1 /, la progresión es decreciente. * Como el último término es 1,entonces el anterior debió ser, el anterior 4, el anterior 8 y hasta ahí llega la serie si queremos que la suma de los números que la conforman sea 15. Entonces, organizando tenemos: 8, 4,, 1 Estos serían los términos Luego, la sucesión tiene como tercer término al número 8. Respuesta 7.- Por la definición de rendimiento se tiene: w r = donde r = el rendimiento, w = trabajo realizado y t = tiempo realizado. Si los trabajos son iguales se tiene lo siguiente por t lo dado en el enunciado: + = Ecuación 1 ; + = Ecuación ; + = Ecuación 3. t a t b 10 t a t c 1 t b t c 15 Al resolver la Ecuación 1 y se obtiene una ecuación que al resolverla con la ecuación 3 se obtiene el valor del trabajo realizado por c, tc. Por lo tanto t c = 40días. Respuesta 8.- Aplicando teorema del coseno se tiene: c = a + b a b cosγ al sustituir valores se obtiene: 7 c = resolviendo c = = 5 = 5 Respuesta 8

5 Lo descrito anteriormente lo podemos ver en el siguiente dibujo: l H B 10 Cada porción tiene como lado. Por relación de triángulos se puede decir que = = 10 h b de aquí se puede despejar H y se obtiene H = h, análogamente se puede hacer con B y también se obtiene B = b. Por 9 9 otro lado se tiene como dato del problema que el área de la parte mayor tiene 38cm, esto se puede utilizar de la siguiente manera: B H b h = 38cm h b 9 9 b h = 38cm b h 81 = 38 = B H = 16 cm + 38 cm = 00 cm al sustituir B y H por las expresiones halladas se tiene resolviendo la expresión algebraica se llega a B H b h el área total del triángulo es = + 38cm al sustituir valores Respuesta cosx senx 10.- Despejando la ecuación dada se tiene + = 1+ senx cosx cos x + sen x + senx sacando mcm = por la identidad trigonométrica fundamental cos x + sen x = 1 se sustituye esta ecuación (1+ senx) cos x 1 + senx = cos x 1+ senx para que esta igualdad sea valida se ve rápidamente que en la última expresión y despejando ( ) cos x =1 y esto se cumple para los valores de x = ± k.respuesta 3