El Teorema de Stone-Weierstrass

Transcripción

1 La Gaceta de la RSME, Vol. 13 (2010), Núm. 4, Págs El Teorema de Stone-Weierstrass por Julio Bernués Cuando entran en contacto argumentos de varias disciplinas matemáticas se suelen producir resultados de una singular potencia y elegancia. Tal es el caso del conocido Teorema de Stone-Weierstrass. En 1885, K. Weierstrass [3] demostró la densidad de los polinomios en el espacio de las funciones reales continuas en un intervalo compacto, C([a, b]). Más adelante, M. H. Stone [2] lo generalizó, observando que la razón de dicha densidad está en las propiedades algebraicas de los polinomios, en las propiedades analíticas de las funciones continuas, y en la propiedad topológica de la compacidad de [a, b]. El Teorema de Stone-Weierstrass es un viejo conocido de los cursos avanzados de Análisis Matemático o de Análisis Funcional. Su enunciado es el siguiente: Teorema de Stone-Weierstrass. Sea K un compacto en un espacio topológico cualquiera y C(K) el espacio de las funciones reales continuas definidas sobre K. Si A es una subálgebra 1 de C(K) tal que (i) A no se anula, lo que significa que para todo x K existe g A tal que g(x) 0, (ii) A separa puntos, es decir que para todo x y K existe g A tal que g(x) g(y), entonces A es densa en C(K). Para ilustrar su potencia basta recordar las demostraciones inusualmente simples de algunas de sus más conocidas aplicaciones: tan sólo hay que comprobar las condiciones (i) y (ii). Por ejemplo: El álgebra de los polinomios (reales) en n variables sobre un compacto K R n es densa en C(K) (pues la función g 1 cumple (i) y las funciones coordenadas g(x) = x i, i = 1,..., n, hacen que se cumpla (ii)). Si (K, d) es un espacio métrico compacto, entonces C(K) es separable, es decir, C(K) contiene un subconjunto numerable denso. (Si {x n } es denso en K, el álgebra generada por las funciones g n (x) = d(x, x n ) C(K) es densa pues las g n permiten comprobar (i) sin dificultad, y de la densidad de {x n } se deduce (ii) por reducción al absurdo. Las combinaciones racionales de sumas y productos de g n demuestran el resultado.) 1 En nuestro contexto, un álgebra (real) es un espacio vectorial (real) X con una operación producto : X X X que es asociativa, conmutativa y que encaja bien con las operaciones existentes, es decir, que es una aplicación bilineal. Una subálgebra es un subconjunto A X que tiene estructura de álgebra (con las mismas operaciones de X).

2 706 El Teorema de Stone-Weierstrass A la izquierda, Karl Weierstrass ( ), y a la derecha, Marshall Harvey Stone ( ). El álgebra generada por sen x y cos x es densa en C([0, π]) (g = 1 verifica (i) y g(x) = cos x cumple (ii)). De aquí se deduce que los polinomios trigonométricos son densos en C([0, π]) con valores complejos. El hecho es clave en la demostración de que { 1 π einx ; n Z} es base ortonormal del espacio de Hilbert L 2 ([0, π]). En este artículo presentamos una prueba completa que dividimos en Álgebra, Análisis y Topología. Esta separación facilita la comprensión del papel de cada argumento. Pero la principal ventaja del planteamiento está en el uso de los argumentos algebraicos. Nos permitirán ver claramente la razón de las condiciones (i) y (ii) (Proposición 1.2) así como presentar el resto de la demostración de Stone-Weierstrass, por otra parte clásica, de forma natural. Por otro lado, en la literatura es habitual encontrar enunciados del Teorema de Stone-Weierstrass en los que (i) es sustituido por la condición más exigente de que A contenga a las funciones constantes. Como veremos, la razón se encuentra en los argumentos analíticos. Observación. La existencia de A verificando la condición (ii) implica que K debe ser un compacto de Hausdorff, es decir, que todo par de puntos se puede separar por entornos disjuntos. En particular, si K está formado por un número finito de puntos entonces está equipado con la topología discreta y cualquier función sobre K es continua. Si K es Hausdorff, el recíproco es cierto, es decir toda subálgebra densa verifica (i) y (ii). C(K) con la suma y producto habituales es un álgebra. Su topología viene dada por la convergencia uniforme. Así, A es densa en C(K) si para todo f C(K) existe una sucesión g n A tal que sup x K g n (x) f(x) 0 cuando n. Nuestro punto de partida es muy sencillo: el caso particular K = {a, b} formado por dos puntos (con la topología discreta). Todas las funciones sobre K son continuas

3 La Gaceta Artículos 707 de forma que la aplicación f (f(a), f(b)) identifica las álgebras C(K) y R R. Éste es el ejemplo fundamental que ilustrará el significado de (i) y (ii). 1. Álgebra El espacio R R tiene una estructura de álgebra con las operaciones (x, y) + (x, y ) = (x + x, y + y ), λ(x, y) = (λx, λy), (x, y) (x, y ) = (xx, yy ), donde x, y, x, y, λ R. La cuestión es, cuáles son las subálgebras de R R? Proposición 1.1. Las únicas subálgebras de R R son {(0, 0)}, {0} R, R {0}, {(t, t); t R}, R R. Demostración. Una subálgebra A de R R es en particular un espacio vectorial. Atendiendo a su dimensión, dos casos son triviales: si su dimensión es 0, corresponde a A = {(0, 0)}, y si tiene dimensión 2, entonces A = R R. Si la dimensión de A es 1, denotemos por (x, y) un generador. Los casos x = 0 e y = 0 corresponden a {0} R y R {0} respectivamente. Ahora, por ser subálgebra, (x, y) (x, y) = (x 2, y 2 ) A; y, por ser espacio vectorial, debe existir λ R tal que (x 2, y 2 ) = (λx, λy). Si x, y 0, igualando y simplificando se tiene x = λ = y, que corresponde al caso {(t, t); t R}. De igual manera, R R = R n con la suma y producto coordenada a coordenada es un álgebra, y el mismo argumento nos permite saber cómo son todas sus subálgebras. Por ejemplo, las subálgebras de R R R son de dimensión 0: {(0, 0, 0)}; de dimensión 1: las generadas por los vectores (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1); de dimensión 2: R R {0}, R {0} R, {0} R R y las generadas por (1, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 1), (1, 1, 0) ; de dimensión 3: R R R. Proposición 1.2 (algebraica de Stone-Weierstrass). Sea K = {a 1,..., a n } (con la topología discreta). La única subálgebra de C(K) que no se anula y separa puntos es C(K). Demostración. La aplicación f (f(a 1 ),..., f(a n )) identifica las álgebras C(K) y R R = R n, y hemos calculado todas sus subálgebras. La única que separa puntos y no se anula es el total R n. Es en el paso de un número finito de puntos a un conjunto compacto cuando la topología y el análisis harán su aparición, y no necesitaremos introducir más hipótesis que las exigidas por el álgebra.

4 708 El Teorema de Stone-Weierstrass 2. Análisis El espacio C(K) cumple que si f, g C(K) entonces máx{f, g}, mín{f, g} C(K), o, equivalentemente, que f, g C(K) (esta propiedad se llama de retículo y es compartida por otros espacios de funciones, por ejemplo, las integrables). La demostración clásica pasa por probar que toda subálgebra cerrada de C(K) cumple también dicha propiedad. La razón analítica, base de todo el argumento, es el hecho elemental de que la función t se puede aproximar por polinomios uniformemente en [ 1, 1]. Una vez visto esto, la definición de álgebra hará el resto. Existe una gran variedad formas de aproximar uniformemente la función t. En [1] un artículo que presenta una interesante visión histórica del Teorema de Stone-Weiestrass se pueden consultar algunas de ellas. Por su sencillez e ingenio utilizaremos una demostración debida a Bourbaki (y que es una de las mostradas en [1]). Lema 2.1. Sea K compacto y A una subálgebra de C(K). Entonces su clausura A también es subálgebra. Demostración. Si f, g A, existen sucesiones en A tales que f n f, g n g uniformemente. Es fácil demostrar que f n + g n f + g, f n g n f g y λf n λf, λ R, por tanto f + g, f g, λf A. Proposición 2.2. Sea K compacto y A una subálgebra de C(K). En estas circunstancias, (i) Si f A entonces f A. (ii) Si f, g A entonces máx{f, g}, mín{f, g} A. (iii) Si f 1,..., f m A entonces máx{f 1,... f m }, mín{f 1,... f m } A. Demostración. Las identidades máx{f, g} = 1 2 (f + g + f g ) y mín{f, g} = 1 2 (f + g f g ) y el ser A espacio vectorial (por el lema anterior) demuestran «(i) (ii)». Por otra parte, (iii) sigue de (ii) por inducción y el lema. Para demostrar (i), probamos primero que la función t, t [ 1, 1], se aproxima uniformemente por polinomios. Como t = t 2, basta con aproximar t en [0, 1]. Lo haremos en tres pasos, escogiendo una sucesión definida por recurrencia con límite t. Paso 1. La sucesión de polinomios en [0, 1] definida recursivamente mediante p 1 (t) := 0; p n+1 (t) := p n (t) (t p2 n(t)), t [0, 1], verifica p n (t) t, t [0, 1], cuando n. En efecto, por inducción es inmediato comprobar que p n (t) t, t [0, 1] y n N, de donde se deduce que que (p n (t)) n N es no decreciente; en consecuencia, p n (t) converge y lo hace precisamente a la función t, t [0, 1]. Paso 2. p n (t) t uniformemente en [0, 1] cuando n.

5 La Gaceta Artículos 709 Para demostrarlo, sea ε > 0. Para cada t [0, 1], por el Paso 1 existe n t N tal que 0 t p nt (t) < ε. Ahora, por continuidad existe un entorno U t de t en [0, 1] tal que 0 s p nt (s) 2ε, s U t. Por la monotonía de la sucesión p n (t) se tiene 0 s p n (s) 2ε, s U t y n n t. Por la compacidad de [0, 1] existen t 1,..., t m de forma que la unión de U ti, i = 1,..., m, cubren [0, 1]. Por tanto, tomando n 0 = máx{n t1,..., n tm } se tiene que, para todo n n 0, 0 s p n (s) 2ε, s [0, 1], lo que demuestra el Paso 2. Obsérvese que el mismo argumento demuestra el siguiente resultado más general debido a Dini: Sea f n : K R una sucesión monótona de funciones continuas sobre un compacto K. Si (f n ) converge puntualmente a una función continua f, entonces lo hace uniformemente (en K). Paso 3. Finalmente, f A. Sea M := máx{ f(x) ; x K} (dicho máximo existe por ser f continua sobre un compacto). La función g(x) := f(x) M A y por tanto g2 A, tomando ésta valores en [0, 1]. Como p n (0) = 0, el Paso 2 implica que la función p n (g 2 (x)) A y p n (g 2 (x)) g2 (x) = f(x) M uniformemente en K. Así, la función g, y por tanto también f, están en A. Observación. Los polinomios p n que aproximan no tienen término independiente (p n (0) = 0) por lo que, por la definición de álgebra, p n (g 2 ) A. Muchas demostraciones en la literatura permiten el uso de polinomios con término independiente no nulo, lo que obliga a que la hipótesis de que A contenga las constantes se incorpore al enunciado de Stone-Weierstrass. En realidad, ello no es necesario: si q n es una sucesión de polinomios que aproxima t uniformemente, entonces q n (t) q n (0) sigue aproximando uniformemente t. 3. Topología Un popular aforismo matemático expresa la compacidad de la siguiente forma: «Una ciudad es compacta si puede ser vigilada por un número finito de policías arbitrariamente miopes». No debe por tanto resultar extraño que propiedades relativas a funciones continuas se mantengan al pasar de un número finito de puntos a un compacto. Tal es el caso por ejemplo de la afirmación «si f C(K) entonces f(k) es cerrado y acotado en R»: lo es trivialmente en el caso de un conjunto finito de puntos, y, en general, de la definición de compacidad se deduce que f(k) también es cerrado y acotado cuando K es compacto. Si a continuación usamos el axioma del supremo en R, acabamos de demostrar el Teorema de Weierstrass de existencia de máximo y mínimo para funciones reales continuas sobre compactos. De las Proposiciones algebraicas 1.1 y 1.2 se desprende un hecho que será clave en la última parte de la demostración del Teorema de Stone-Weierstrass:

6 710 El Teorema de Stone-Weierstrass Fijados x 1,..., x n K, el conjunto {(g(x 1 ),..., g(x n )); g A} es una subálgebra de R R. Si A cumple (i) y (ii), por la Proposición 1.2 necesariamente tiene que ser {(g(x 1 ),..., g(x n )); g A} = R R; así pues, dados y 1,... y n R, existe g A que interpola, esto es, g(x i ) = y i, i = 1,..., n. En particular, Propiedad Fundamental. En las condiciones del Teorema de Stone-Weierstrass, para toda f C(K) y todo par de puntos x y K, existe g A tal que f(x) = g(x) y f(y) = g(y). Demostración del Teorema de Stone-Weierstrass. La última parte de la demostración es clásica. Sea f C(K) y ε > 0. Sean x, y K. Por la Propiedad Fundamental existe g xy A tal que f(x) = g xy (x) y f(y) = g xy (y). Fijemos x K. Para cada y K, por continuidad existe un entorno de y, U y K, tal que f(z) ε < g xy (z) < f(z) + ε, z U y. La unión de los U y, y K, es, trivialmente, un recubrimiento de K, y por compacidad existen U y1,..., U ym (un número finito de entornos) que cubren K. Por tanto la función definida mediante h x (z) := mín{g xy1 (z),..., g xym (z)} cumple h x A por la Proposición 2.2, h x (x) = f(x) por definición de h x y de g xy, h x (z) < f(z) + ε, z K, pues cada z K pertenecerá a algún U yj por ser éstos un recubrimiento de K. A continuación repetimos el argumento con h x para cada x K. Por continuidad existe un entorno de x, V x K, tal que f(z) ε < h x (z) < f(z) + ε, z V x. La unión de los V x, x K, es un recubrimiento de K, y por compacidad existen V x1,..., V yn (un número finito de entornos) que cubren K. Por tanto la función definida mediante d(z) := máx{h x1 (z),..., h xn (z)} cumple d A = A por la Proposición 2.2, d(z) < f(z) + ε, z K, pues cada h xj lo cumple, f(z) ε < d(z), z K, pues cada z K pertenecerá a algún U xj por ser éstos un recubrimiento de K. Por tanto, f(z) ε < d(z) < f(z) + ε, z K. Como ε > 0 es arbitrario, se tiene que f A. Una última ventaja de la motivación algebraica es que la siguiente generalización del Teorema de Stone-Weierstrass al cálculo de clausuras de subálgebras se presenta de nuevo de manera natural:

7 La Gaceta Artículos 711 Teorema 3.1. Sea K un compacto. Sea A una subálgebra de C(K) y f C(K). Entonces f A si y sólo si (i) para todo x K tal que f(x) 0, existe g A tal que g(x) 0, (ii) para todo x y K tal que f(x) f(y) existe g A tal que g(x) g(y). Demostración. La implicación se sigue por definición de clausura. Para, como {(g(x), g(y)); g A} es una subálgebra de R R y sabemos cuáles son (Proposición 1.1), se deduce inmediatamente, analizando cada una de ellas, que para todo par de puntos x y K, existe g A tal que f(x) = g(x) y f(y) = g(y). Una vez contamos de nuevo con la Propiedad Fundamental, se repite el argumento de la demostración clásica. Referencias [1] A. Pinkus, Weierstrass and approximation theory, J. Approx. Theory 107 (2000), [2] M. H. Stone, Applications of the theory of Boolean rings to general topology, Trans. Amer. Math. Soc. 41 (1937), [3] K. Weierstrass, Uber die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkrlicher Functionen einer reellen Vernderlichen, Sitzungsberichte der Kniglich Preuischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, J. Bernués, Departamento de Matemáticas, Universidad de Zaragoza, Zaragoza Correo electrónico: bernues@unizar.es