Object-Oriented Finite Elements and Domain Decomposition

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Cristina Morales Lozano
hace 8 años
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1 Object-Oriented Finite Elements and Domain Decomposition

2 Método del Element Finito Lu = f x Ω u = 0 en Ω Lu = a u+ ( bu) + cu Ω ( ) ua w ub w+ cuwdx= fwdx Ω

3 Ω Método del Element Finito wa u ub w+ cwudx= fwdx ( ) 1 Awu (, ) = f( w) Base ϕ,..., ϕ, ux ( ) = uϕ ( x) N Ω N j j j= 1 N j= 1 Au = f A = A( ϕ, ϕ ) f = f( ϕ ) ij j i ij i j i i Au = f

4 Discretización del Dominio malla β Ω α α R Hipercubo α Ω Rectángulo

5 Variantes Forma Bilinear y su cálculo Condiciones de Frontera Geometría Tipo de Elemento (Triángulo, Rectángulo, etc.) Espacio de Funciones en el Elemento Procedimiento de Solución

6 Forma Bilinear Geometría Código Ideal Condiciones de Frontera PROGRAMA de CÁLCULO Elemento Finito Solución Matricial

7 Código Usual ElementoFinito Condiciones Forma de Frontera Bilinear Geometría Solución Matricial Programa de Cálculo

8 OBJETIVO Desarrollar Sistema de Cómputo para Elemento Finito con Módulos Intercambiables

9 Programación Orientada a Objetos OOP Simula -67 OSLO Dahl y Nygaard Smalltalk (1970s) Xerox Park Alan Kay C++ (1980s) Stroustrup Eiffel / Clos / Self / Beta Java 1990s SUN C# Microsoft

10 VCR como Objeto Play Rewind Fast Forward On/Off Eject Stop/Pause

11 Clases y Objetos Datos Metodos class Vcr { String model; String type; boolean on; boolean tape; float dist; void insert(tape c); void eject(); void play(); void rewind(float t);\ void fastforward(float t); void stop(); void onoff(); void volume(float v); } Vcr vcr = new Vcr( Sony, vhs ); Tape tape = new Tape(); vcr.onoff(); vcr.insert(tape); vcr.play(); vcr.stop(); vcr.eject(); If (vcr.on && vcr.tape()) { vcr.eject(); vcr.onoff(); }

stop(); void onoff(); void volume(float v); } Vcr vcr = new Vcr( Sony, vhs ); Tape tape = new Tape(); vcr.

12 Herencia y SubClases Class Coche Class VW Class Jaguar Class Cirrus

13 Caracteristicas Sobresalientes de OOP Constructor: Type t = new T( ); Invocación: x = t.method( ); Herencia: Class A { } Class A1 extends A { } Código Reutilizable

14 Clases para Elemento Finito Node, Elem FiniteElement (RectLinFem, TriQuadFem, ) Geometry CalcFem -> LocalCalc LinearOp -> BilinearForm GlobalCalc LinearSolve (SolveLU, SolveCGM,..) EllipProblem

15 Colaboración entre Clases Geometry geom = Geometry.factory(2, ); FiniteElement finelem = FiniteElement.factory(2, ); EllipProblem prob = new EllipProblem(numProb); LinearSolve linsolve = LinearSolve.solveLU(); LocalCalc = new LocalCalc(geom, finelem); GlobalCalc calcfem = new GlobalCalc(2, fem, geom); Solver sol = new Solver(geom, finelem, prob, calcfem, localcalc, linsolve); Solver.solve();

factory(2, ); EllipProblem prob = new EllipProblem(numProb); LinearSolve linsolve = LinearSolve.

16 Geometría Lista de Elementos (nodos/vértices) Lista de Nodos (coordinadas) Lista de Elementos/Nodo Elementos/Caras de frontera Objeto de localización: (x1,,xn)->elemento

17 Elemento Finito (general) Forma estandard (rectangulo, simplejo) Número y llamadas a sus funciones y derivadas // mapeo a la forma estandard // Caras y normales Integración numerica Interpolación

18 λ 2 (0,1) (0,0) (1,0) λ 1 Elemento Finito Transformación Afina T ( x0, y0) ( x2, y2) (, xy) x λ1 x0 λ1 = T = + M y λ2 y0 λ2 λ x x x = T = M λ2 y y y0 (, xy 1 1)

19 Elemento Finito (Específico) Definición de polinomios y derivadas en el espacio estandard Elemento Finito General Rectangulo Lineales Triangulo Lineales Triangulo Cúbicos

20 Cálculo Local Evalúa Forma Bilineal/Elemento i, j = 1,..., ne ( ) A ( φφ, ) = φ a φ φb φ+ cφφ dx e i j i j j i i j = Ω Ω F() φ fφdx e i i e e i global( i)

21 fem.initelem(elem); nf=fem.numfunciones(); ng=fem.numgauss(); for i=1,,nf for j=1,,nf for g=1,,ng x=fem.getgausscoord(g); wi=fem.eval(i, 0, x); wj=fem.eval(j, 0, x); w1i=fem.eval(i, 1, x); w1j=fem.eval(j, 1, x); aij[g] = forma.eval(x, wi, w1i, wj, w1j) end g; ar[i][j]=fem.integrate(aij); end j; end i;

22 Cálculo Global Numeración de Funciones Crear mapeo local --> LocalCalc Asignación de Incógnitas Valores o Vector de Frontera Formación del Lado Derecho Invocación Cálculo Local

23 Cálculo Global Numeración

24 Método de Solución Resuelve Ax = b Métodos Directos Factorización LU Métodos Krylov Gradiente Conjugado Descomposición de Dominio Schwarz/Schur/FETI

25 y = a x i ij j j = 1 for i = 1,..., n y 0 for e = 1,..., ne for p = 1,..., nf i elem ( e). eqm ap( p) if ( i < 0) continue for q = 1,..., nf j elem ( e). eqm ap( q) if ( j < 0) continue n i y = y + elem ( e). ar( p, q) * x i j j

26 Descomposición de Dominio Σ Ω Ω j i Ω i

27 Descomposición de Dominio Partition Define partición como {pe1,, pem} Solución Global en términos de soluciones de problemas intermedios de manera iterativa PartitionElement (pei) Solución Local en una región intermedia

28 Fábricas Geometry geom = PDEGeomFactory.newPDEGeom( ); FiniteElement fem = FiniteElementFactory.newFiniteElement( ); EllipProblem = EllipFactory.newEllipProblem( ); LinearSolve = SolveFactory.newLinSolve( );

29 Conclusiones Metodología Exitosa Alta Eficiencia en Desarrollo Recomendaciones Entender el Modelo Establecer Proyecto en Geofísica y/o Ingenieria para Uso Común

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