ENSAYO PRUEBA DE SELECCIÓN UNIVERSITARIA 4º MEDIO MATEMÁTICA

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1 Código: Experiencia PSU MA0-4M-17 C u r s o : Matemática ENSAYO PRUEBA DE SELECCIÓN UNIVERSITARIA 4º MEDIO MATEMÁTICA

2 PSU MATEMÁTICA INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS 1. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios.. Las figuras que aparecen en el modelo son solo indicativas.. Los gráficos que se presentan en este modelo están dibujados en un sistema de ejes perpendiculares. 4. Se entenderá por dado común, a aquel que posee 6 caras, donde al lanzarlo las caras son equiprobables de salir. 5. En esta prueba, las dos opciones de una moneda son equiprobables de salir, a menos que se indique lo contrario. 6. (f o g)(x) = f(g(x)) 7. Los números complejos i y -i son las soluciones de la ecuación x + 1 = Si z es un número complejo, entonces z es su conjugado y z es su módulo. 9. Si Z es una variable aleatoria continua, tal que Z N(0, 1) y donde la parte sombreada de la figura representa a P(Z z), entonces se verifica que: z P(Z z) 0,67 0,749 0,99 0,89 1,00 0,841 1,15 0,875 1,8 0,900 1,64 0,950 1,96 0,975,00 0,977,17 0,985, 0,990,58 0,995 0 z Z

3 INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS DE SUFICIENCIA DE DATOS En las preguntas de Suficiencia de Datos no se pide la solución al problema, sino que se decida si con los datos proporcionados tanto en el enunciado como en las afirmaciones (1) y () se pueda llegar a la solución del problema. Es así, que se deberá marcar la opción: A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación () por sí sola no lo es, () por sí sola, si la afirmación () por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es, Ambas juntas, (1) y (), si ambas afirmaciones (1) y () juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente, Cada una por sí sola, (1) ó (), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución. SÍMBOLOS MATEMÁTICOS es menor que es congruente con es mayor que es semejante con es menor o igual a es perpendicular a es mayor o igual a es distinto de ángulo recto es paralelo a ángulo AB trazo AB log logaritmo en base 10 pertenece a conjunto vacío x valor absoluto de x ln logaritmo base e x! factorial de x ln unión de conjuntos intersección de conjuntos A C complemento del conjunto A u vector u

4 1. Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) un número real? I) ( i) II) (5 i)( i + 5) III) 7 ( -) A) Solo I Solo II Solo III Solo I y III Solo II y III. 0, ,0 = A) 0,6 60 0, ,90 0,6 +,4 = A) 1,16 1,4 1,6 1,8 1,96 4. Si 7,646, decimal infinito no periódico. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I),65 corresponde a un redondeo a la centésima de 7. II) 7 redondeado a la décima es 5,4. III) Un truncamiento a la centésima de 7 sería,6. A) Solo I Solo II Solo I y II Solo I y III I, II y III 4

5 5. La mejor aproximación del número 7,767 por exceso a la centésima se obtiene A) 7,8 7, ,4 6. El resultado de = A) Si la séptima parte de los dos tercios de a equivalen a la tercera parte de b. Qué fracción es b de a? A) Si x, y lr +, se puede determinar que fracción de x es y, si: (1) y = x () 1 = xy A) (1) por sí sola () por sí sola Ambas juntas, (1) y () Cada una por sí sola, (1) ó () Se requiere información adicional 5

6 9. En la recta numérica A, B, C y D son números racionales. Cuál de las siguientes alternativas representa siempre el mayor valor? A) A + B A C A + D B C C A - A -1 B 0 C 1 D 10. El orden en forma decreciente los números p = 6000, q = 7 00 y r = 4000 es A) p, r, q q, p, r q, r, p r, p, q r, q, p 11. El máximo común divisor entre 48,7 y 84 es A) Si z 1 = + 4i y z = z 1, entonces el valor de z 1 - z + z es A) 5-8i i 11 Otro valor 1. Sean z 1 = (1 + i) y z = ( i). Cuál es el valor de Im(z 1 ) + Re(z )? A) i - 4i 6

7 14. Sean a = -x ; b = -x ; c = -x 4 ; d = (-x) 5 y e = (-x) 6. Si x toma el valor -, cuál es el valor de a b c d e? A) - (-) (-) (-) 10 () a a a a A) a 6 a a = 6 5 a 6 4 a a 16. El recíproco de 1 1 es A) Si a = 0,1, con a y b Z +. Se puede conocer el valor de a y b respectivamente, si: b (1) b = 180a () a es un número primo. A) (1) por sí sola () por sí sola Ambas juntas, (1) y () Cada una por sí sola, (1) ó () Se requiere información adicional 7

8 18. Si log 5 = m y log 7 = n. Entonces, log 9 5 es A) m + n m n m n m + n m n 19. Si a + b = 50 y (a b) = 0, entonces (a + b) = A) Al factorizar la expresión x 4 x 7x + 5x + 50 en el producto de cuatro binomios, la suma de los coeficientes libres de cada factor es A) Si tuviera $ 110 más de lo que tengo podría comprar exactamente lápices de $ 10 cada uno. Cuánto dinero me falta, si quiero comprar 5 lápices que valen $ 10 cada uno? A) $ $ 10 $ 10 $ $

9 . El doble de un número x más el doble de otro número y es igual a la mitad de 16, y la diferencia de x sobre y es igual a 4. Cuál es la razón entre la suma de x e y y la diferencia positiva entre ambos números? A) ,5. Inicialmente, al comprar dos pantalones (m) y tres poleras (n) iguales, dichos productos tenían un valor total de $ En una liquidación de fin de temporada, a cada pantalón se le aplica un 15% de descuento y a cada polera un % de descuento, de modo que la misma compra de pantalones más poleras, tienen un costo de $ Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones permiten determinar el valor inicial de cada polera y cada pantalón? A) m + n = $ ,7m +,4n = $ m + n = $ ,15m + 0,n = $ m + n = $ ,m + 0,6n = $ m + n = $ m 0,15 + n 0, = $ m + n = $ ,85m + 0,80n = $ Cuál es el valor de y x, dado el sistema de ecuaciones 1 = x y? = x y A)

10 5. Según el sistema de inecuaciones x + 4 6, la solución es x + 1 < 4 A) [1,[ [1,] ]1,[ ]1,] ]-,1]],+[ 6. Si f(x) = ln(9 x ), entonces cuál es el dominio de f? A) ]-, -[ ]-, +[ ]-, [ [-,] ]-, -] [, +[ 7. Sea bx + cx + a = 0 una ecuación de segundo grado en x, con a, b, c lr y b 0. Se puede conocer que las raíces son números reales, si: (1) a, b y c tienen igual signo. () a y b tienen signos opuestos. A) (1) por sí sola () por sí sola Ambas juntas, (1) y () Cada una por sí sola, (1) ó () Se requiere información adicional 8. Dada la ecuación de segundo grado en x, px + 6x 5 = 0, si sus soluciones son reales e iguales, entonces p debe cumplir que A) p > p < p = p = 9 10 p >

11 9. El salario de los vendedores de una empresa corresponde a $ como sueldo base, más una comisión de $ por cada artículo vendido. Si uno de ellos vende x artículos en un mes, cuál de las siguientes funciones representa el sueldo S(x), que le paga la empresa, en pesos? A) S(x) = x S(x) = 5.000x S(x) = x S(x) = x S(x) = 5.000x Cuál es la función cuadrática que corresponde a la gráfica de la figura adjunta, si + = 4, donde y son los ceros de la función y (,k) es el vértice de la parábola asociada a la función f(x)? y A) f(x) = x + 6x + f(x) = x 6x + f(x) = x + 6x + f(x) = x 1x + f(x) = x + 1x + k f(x) x 1. Sea f una función en los números reales, definida por f(x) = px + 6 y se sabe que f(-5) = 1. Cuál es el valor de p? 11 A) Sea f(x) = 1 + x. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)? I) f(-1) + f(1) = - II) f( ) = III) f(f(0)) = 0 A) Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III 11

12 . Siendo f(x) = x +, g(x) = 5 y h(x) = x 1, es correcto afirmar que x + 1 A) Solo I Solo II Solo I y II Solo I y III I, II y III I) (f o g)(1) = (g o f)(1) II) (h o g)(x) = III) (f o h)(1) = (f o g)(1) 4. Si f: lr lr +, tal que f(x) = -x. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) La función es inyectiva. II) La función es epiyectiva. III) Su función inversa es f -1 (x) = log 1 x. A) Solo I Solo II Solo I y II Solo II y III I, II y III 5. Cuál de las siguientes tablas de datos muestra datos que podrían corresponder a la función inversa de la función f(x) mostrada en la figura adjunta? A) x f -1 (x) x f -1 (x) y f(x) x f -1 (x) x x f -1 (x) x f -1 (x)

13 6. Dada la función de segundo grado f(x) = x bx, con b un número real, se puede determinar la abscisa de su vértice, si: (1) f() = 0 () Los ceros de f(x) son números reales diferentes. A) (1) por sí sola () por sí sola Ambas juntas, (1) y () Cada una por sí sola, (1) ó () Se requiere información adicional 7. De acuerdo a los datos del trapecio de la figura adjunta de base AB y CD. El área es A) (1 + )6 cm 80 cm 6(6 + + ) cm 80 cm Falta información C 10 cm D 1 cm 45 0 A B 8. Un triángulo ABC tienen coordenadas A(,); B(5,) y C(0,8), entonces el área del ABC es A) 1 u 4 u 18 u 9 u No se puede determinar. 9. Un triángulo de coordenadas A(,1); B(-,) y C(1,5). Se le aplica una rotación en 90 antihorario con respecto al vértice B, obteniéndose el triángulo A B C. Cuáles son las coordenadas del vértice C? A) (,) (-,) (-5,1) (1,5) (-4,6) 1

14 40. Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) correcta(s)? I) La circunferencia tiene centro de simetría. II) El triángulo y el cuadrado tienen centro de simetría. III) Todos los paralelogramos tienen eje y centro de simetría. A) Solo I Solo I y II Solo II y III I, II y III Ninguna de las anteriores 41. Si a un cuadrilátero de vértices A(5,); B(-,1); C(-7,-) y D(8,-4), se aplica una traslación de modo que el punto trasladado de C fue C (-8,4) Cuál fue el vector de traslación aplicado? A) (-15,1) (-1,7) (1,-7) (15,-1) Ninguna de las anteriores 4. En el triángulo PQR de la figura adjunta, PQ = SR, entonces = Q A) 1º 11 10º 9º 8º P S 6 7 R 4. En un parque nacional se necesita conectar los refugios, P, Q y R con los senderos rectos PQ, QR y RP como indica la figura, donde PS < SR. Si QS =,4 km y PR = 5 km, cuál es el kilometraje total de sendero a realizar? A) 8 km 1 km (5 + 5 ) km ( + ) km Falta información Q P S R 14

15 44. En un triángulo ABC escaleno acutángulo de medidas AB = 4 y BC = 6, se traza DE paralelo a BC, con D AB y E AC, tal que BE es bisectriz del ángulo en B. El valor de segmento BD es A),0,,4,6,8 45. En la figura adjunta se muestra una circunferencia donde AB y CD son cuerdas. BD y AC son cuerdas que se intersectan en E. Se puede afirmar correctamente que A) 1 EB = DE AC CE 1 EC = AE BD DE 1 AE = CD AB DE 1 DC = AB AE CE 1 AE = CE AB CD A D E B C 46. Si las áreas de dos círculos son 5 y 81, entonces en qué razón están sus respectivos radios? A) 5 : 81 5 : 81 5 : 9 5 : 9 5 : 47. Para que una homotecia de una figura plana, esté bien definida, se debe conocer: (1) El centro de homotecia. () La razón de homotecia. A) (1) por sí sola () por sí sola Ambas juntas, (1) y () Cada una por sí sola, (1) ó () Se requiere información adicional 15

16 48. En el segmento AB el punto P lo divide en razón áurea de modo que AP > PB. Si AB = 16 cm y PB = x, cuál es la ecuación que permite conocer el valor de PB? A) x x + 56 = 0 x 48x + 56 = 0 x 16x + 56 = 0 x + 48x + 56 = 0 x + 16x + 56 = En la figura adjunta, el valor de x y x + y es A) No se puede determinar 16 y y x x 50. En la figura adjunta se representa un cubo. Cuál de las opciones da como resultado el vector opuesto de HB? A) DB + FD FH + DB DH + DB HF + DF BD + DH E A D H B F G C 51. En la figura adjunta se muestra un triángulo ABC rectángulo en B, tal que el cateto AB es tangente en D a la circunferencia de centro O contenido en la hipotenusa AC. Si el ángulo ACD mide, cuánto mide el ángulo DCB? A) E O C A D B

17 5. En la circunferencia de la figura adjunta, PA es tangente y PB es secante. Cuál es el valor de? A A) B C P 5. La figura adjunta muestra la recta L que intersecta al eje x en (-,0) y determina un ángulo de 0 con el mismo. Cuáles de las siguientes igualdades representa una ecuación para la recta L? I) II) x y + = 1 - x y = + III) x y + = 0 A) Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III Ninguna de las anteriores - 0 y L x 54. Sean G y H los puntos de intersección con el eje de las ordenadas y el eje de las abscisas respectivamente de la recta y = x 1. Cuál es la diferencia entre la componente x de H y la componente y de G? A) La distancia entre el punto A(,6,-1) y el punto B(-5,,8) es A) Ninguna de las anteriores 17

18 56. Cuál de los siguientes gráficos podría corresponder a la representación de una recta paralela a x y = 1? y y A) 8 6 y x 6 x 8 x y y 6 4 x 1 x 57. Cuál es el volumen del cuerpo generado por la rotación indefinida de un rombo de perímetro 40 cm con respecto a su diagonal mayor de 16 cm de longitud? A) 4 cm 48 cm 96 cm 19 cm 84 cm 58. Se puede determinar la ecuación de una recta en el espacio, si se conocen: (1) Las coordenadas de tres puntos distintos del espacio. () Las coordenadas de intersección de la recta con el eje y con el eje z, donde la recta no pasa por (0,0,0). A) (1) por sí sola () por sí sola Ambas juntas, (1) y () Cada una por sí sola, (1) ó () Se requiere información adicional 18

19 59. Se lanza un dado y se anotan los números obtenidos, los que se distribuyen en la siguiente tabla. Número f Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) FALSA(S)? I) La moda es 1. II) La mediana es 4. III) El total de lanzamientos es 40. A) Solo I Solo I y II Solo II y III I, II y III Ninguna de las anteriores 60. Las edades de un grupo de amigos son Las diferencia entre la media y la moda es, respectivamente A) Si se considera el conjunto {7, 11, 1, 17} como todos los datos de una población. Al determinar todas las muestras de tamaño, cuál es el valor del promedio de medias muestrales? A) Falta información 19

20 6. El gráfico de la figura representa el número de computadores vendidos de las diversas marcas en el mes de diciembre en una determinada tienda. De acuerdo a la información es correcto afirmar que I) se vendieron más computadores de la marca D. II) la mayor diferencia se encuentra entre la marca D y B. III) en promedio se vendieron computadores durante el mes. A) Solo I Solo II Solo I y II Solo II y III I, II y III N computadores A B C D E Marca 6. El cuarto medio del colegio Libertad realiza su primer ensayo PSU, los resultados obtenidos se representan en el siguiente gráfico de caja Es correcto afirmar que A) la media es de 580 puntos. el 5% de los estudiantes obtuvo más de 580 puntos. el 5% de los estudiantes no superó los 670 puntos. el rango es de puntos. la mediana es de 580 puntos. 64. La varianza del conjunto de datos {,,4,5,6} es A) 4 1 1,5

21 65. Una bolsa contiene 4 fichas azules y rojas, todas de igual tamaño, el experimento consiste en sacar de la bolsa dos fichas una tras otra sin reposición. Si se define la variable aleatoria X: Número de fichas azules obtenidas. El recorrido de la variable aleatoria es A) {1,} {0,1,} {1,,} {0,1,,} {0,1,,,4} 66. Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad está dada por f(x) = kx, con k > 0 y 0 x 1. Cuál es la probabilidad que x está comprendida entre 0,6 y 1? A) 0,7 0,18 0,6 0, Sea Z N(0,1), a lr + y b lr +, tales que a < b. Si P(Z > -b) = 0,9 y P(Z < a) = 0,7, cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I) P(-b < Z < a) = 0,6 II) P(0 < Z < b) = 0,4 III) P(-a < Z < 0) = 0, A) Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III Ninguna de las anteriores 68. El intervalo de confianza para una media poblacional es [6,66 ; 8,4] con un 95% de nivel de confianza. Cuál fue el tamaño de la muestra que se consideró para el intervalo, si la desviación estándar poblacional es de unidades? A)

22 69. Se puede determinar la esperanza de M, si: 1 (1) M es variable aleatoria tal que M B 640, 8. () M es una variable aleatoria que sigue una distribución normal de media 80. A) (1) por sí sola () por sí sola Ambas juntas, (1) y () Cada una por sí sola, (1) ó () Se requiere información adicional 70. De un grupo de 15 alumnos, cuántos equipos de trabajo de 5 alumnos se pueden formar sin considerar el orden? A) 15 C 5 15 V 5 5! Con los dígitos 1,,, 4 y 5, cuántos números de cuatro cifras distintas se pueden formar tal que éste sea par y divisible por? A) Al lanzar dos dados comunes no cargados, cuál es la probabilidad de obtener una suma mayor que 11? A)

23 7. En una caja hay pares de calcetines blancos, pares de calcetines negros y 1 par de calcetines azules. Se extraen de la caja calcetines y se observa que son todos de diferente color. Si no se vuelven a introducir los calcetines sacados inicialmente, cuál es la probabilidad de que al sacar un cuarto calcetín, éste no sea negro ni blanco? A) En un curso de 0 estudiantes, las tres quintas partes son hombres y hay 5 mujeres rubias. Si se escoge un alumno al azar, cuál es la probabilidad de que sea una mujer no rubia? A) A un concierto asistieron exactamente personas. Cada una de ellas al momento de ingresar al estadio lanzó una moneda cargada tal que la probabilidad que salga sello es 1,5 veces la probabilidad que salga cara. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Salieron caras. II) En teoría salieron sellos. III) Aproximadamente la diferencia entre el número de sellos y el número de caras fue A) Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III

24 76. Un jugador de basquetbol tiene una probabilidad de 0,65 de acertar un tiro de campo. Si en un partido lanza 4 tiros de campo, cuál es la probabilidad que acierte tiros? A) C C C C C En el experimento aleatorio del lanzamiento de monedas comunes, la variable aleatoria X toma el valor si salen exactamente caras, toma el valor 4 si todas salen iguales y para el resto de los casos X toma el valor 6, entonces la probabilidad que X tome el valor 6 es A) P(X = ) = P(X = 6) P(X = 6) < P(X = 4) 78. La función de densidad de probabilidad para una variable aleatoria continua X es f(x) = mx, si 0 x 1 1, si 1 < x 1,5 0, en otro caso Entonces, P(X 1,5) = A) 0 0, 1 9 No se puede determinar 4

25 79. Se define una variable aleatoria X como la cantidad de números 5 obtenidos al lanzar un dado no cargado 90 veces. Sea W su aproximación a distribución normal, se puede afirmar que I) 5 W ~ N 15; II) P(W > 45) = 0,5 III) P(W 15) = 0,5 A) Solo I Solo II Solo III Solo I y II Solo I y III 80. Sea X una variable de distribución normal. Se puede conocer cuántos elementos están en el intervalo del promedio menos dos desviación estándar y el promedio más dos desviación estándar, si se conoce: (1) Un 95,45% de la muestra se encuentra en ese intervalo. () La cantidad de elementos de la muestra. A) (1) por sí sola () por sí sola Ambas juntas, (1) y () Cada una por sí sola, (1) ó () Se requiere información adicional 5