CONSTRUCCION ALGEBRAICA DEL ANILLO Z DE LOS NUMEROS ENTEROS

Transcripción

1 CONSTRUCCION ALGEBRAICA DEL ANILLO Z DE LOS NUMEROS ENTEROS Por el Profesor J. R. Poscual Ibarro 1. EL CONJUNTO N DE LOS NUMEROS NATURALES Se supone conocido el conjunto N de los números naturales (comprendido el cero) y definidas en él las operaciones de adición y multiplicación. Se han estudiado también las propiedades de estas operaciones : 1. Connzutativa: a-}-b=b fia 2. Asoci^t^iuu: (a-{--b)-} c-=a-}-(b-±-^? 3. Elementos neutros: a-', u==o-;-a=-n. a b=b a (a b) c=a (b c) a 1 =1 a= a 4. Distributiva de la mziltiplicación sobre la adición: Las ecuaciones: (a-{-bj c=a c+-b c. a-^-x=b y a x=b no tíenen siempre solución en N. Para que exista un xen, la. primera exige que b^ a, y la segunda que a I b. Tratamos ahora de construir un conjunto Z, en el cual la ecuación x-} x== 8 tenga solución, cualesquiera que sean xez y(iez. 2. CONJUNTO N Recordemos que se llama producto cartesiano, A X B, de dos conjuntos A y B, al conjunto Tormado por todos los páres ordsnados (a, b), aea y beb. En particular, el conjunto N X N es el conjunto de todos los pares ordenados de nízineros naturales.

2 J. R. PASCUAL IBARRA 3. REPRESENTACION GRAFICA DE N X N El conjunto N puede representarse por puntos equidistantes sobre una temirrecta : 0 i Z 3 ^F ^... Si consideramos dos semírrectas de origen común O, podemos representar el conjunto N X N por los puntos vértices de un retículo: : I,y i,^i ^,4 3. ^f ^^4, 3!,3 z,3 3, 3 ^i, 3 ^;2!,2 z,2 3,z ^f,2 ^,^ ^,! 2,! 3,1 ^f,! D,o!,Q z,0 3,0 ^io. 4. RELACION E DE EQUIVALENCIA En el conjunto producto N X N definiremos la relación binaria E, anotada H : E: (a,b)^(a` b')^a-^b'=b-^-a'. Se trata dé una relación de equivalencia, pues, en efecto: I. Es reflexiva: a-}-b=b^-a^(a, b)^(a, b).

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5 CONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DEL ANILLO Z 3^1 g. REPRESENTACION GRAFICA DE Z Si ahora damos un giro a la semirrecta Oy hasta colocarla en la prolongación de la semirrecta Ox, tendremos representado el conjunto Z sobre puntos de la recta Y^. Y -_-,^ ^-3 ^ ^. ^C o +i +2 ^^ ;^ 10. ADICION DE NUMEROS ENTEROS DEFINICIÓN : a) Propiedad uniforme: ( a. b ) -i- ( c, d ) _ ( a -f- c, b -I- d ). (a, U) (a', b') ^ a-{- b' _= b-}- a' ^ a -}- b' f- c--^ d' = ( c, d ) _ ( c ^, d' ) ^ c -^- d' _= d -^- c' ^ = b -f - a' - ^ d ^- c' ^ ( a -{ c ) -^ ( b' -^- d' ) ^- ( b + d ) ^- ( a' ^+ c' ) -^ ( a -L c, b -{- d ) (a^ I- ^^, b^ + d^) _,^ (a, b^ + ( c, d) _ (a', b') + (c', d'^. La adición que hemos definido en N^ N es, pues, estable frente a la relación E, o sea, es una operación definida en Z: x -{- ;3 es independ.iente de los elementos elegidos en cada clase. Utilizando, por tanto, los elementos canónicos: ^ Podemos, por tanto, utilizar los elem^ntos canónicos. Se presentan los siguientes casos: I. o sea, (nz, o) ^ (n, o) -_ (nz ^- n, c), ^ (^-- m) + (-{- n) _ + (nz + n) ( II. a) Si m>n: (rn, o) -{- (o, n) (m, n) ^= ( ryn - n, o). es decir: ^ (-{ ^ Tia) -I^ (- n) - (m - n) ^ s b) Si na C n: (nt, o) - ^ (o, n) = (^^a, n) = ( o, n - ^^a)

6 362 J. R. PASCUAL IBARRA esto es: I (-}- m) -f- (- n) _ - (n - m) I c) Sim=n: o lo que es lo mismo : III. que se puede escribir: (m, o) -}- (o, n) _ (m, n) _ (o, o) (-^ m) -^ (- m) = o (o, m) -}- (o, n) _ (o, m + n) I (- m) -I- ( n) _ - (m -{- n) I que constituyen la conocida regla de los signos de ]a adición de núm.eros enteros. Son inmediatas las propiedades: b) Conmutativa: I x^-^=^-^x I c) Asociativa: d) Elemento neutro: I (x-i-^s)^y-x-i-((^+y) I ( x--{- O = 0-{- x= x I e) Elementos opuestos: Cualquiera que sea xez, se le puede asociar un x'ez, tal que: En efecto, si ^ x+x'-o I x = _j- m,_a x, _ - ^n x=-nr.,,x'=-{ n x=ok, x'=0 Por verificarse a), c), d) y e) el conjunto Z es un yrupo aditivo, y por verificarse b) es además conmutativo.

7 CONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DEL ANILLO Z ISOMORFISMO ENTRE N y Z+ Podemos establecer la siguiente correspondencia biunívoca entre el conjunto N de los números naturales y el subconjunto Zy de los enteros posttivos: `dn: nen,,,, (-}- n)ez+. Esta correspondencia es compatible con las operacion^ s de adicidn definidas en ambos conjuntos. Es decír, cualesquiera que sean a y b, naturales : a,^ -^- a b,^ -}- b a ^-- b,^ (-}- a) ^- ( + b) _ + (a + b). Por tanto, el semigrupo aditivo N es tsomorfo al semigrupo adítivo Z+. Identificando ambos conjuntos, se tiene: N=Z+cZ. 12. RESOLUCION DE LA ECUACION a-{- x= b 1 Si b>a, x=b-a, xen. 2 " Si b = a,, x = o, xen. 3 Si b< a, operaremos en el conjunto Z sustituyendo a y b por sus correspondientes en el isomorfismo N,^ Z+: (-F a) -f- x = -^b ^ (- a) + ( + a) ^- x = ( + b) + (--- a) ^ ^ x = (-{- b) -}- (- a) _ - (a-b), xez MULTIPLICACION DE NUMEROS ENTEROS DEFINICIÓN : a) Propiedad uni for^ne: (a b) X(c, d) _(ac -f- bd, ad -{- bc). ac -^ b'c = bc -{- a'c (a, b) _(a', b') ^ a-{- b' = b-}- a' bd -}- a'd = ad -+- b'd ^ ( c, d) _( c', d' )^ c-}- d' = d-}- c' a'c -^- a'd' = a'd -^- a'c' b'd -^ b'c' = b'c -f- b'd'

8 36^9 J. R. PASCUAL IBARRA _> ac + bd -}- a'd' -^- d'c' = bc + ad + a'c' -}- b'd' ^ ^ (ac -}- bd, ad -} bc) -_ (a'c' -F- b'd', a'd' + b'c') ^ ^(a, b) X(c, d) _(a', b") X( c' d'). Por tanto, la multiplicación, inicialmente d.efinida en el conjunto N X N, es estable frente a la relación de equivalencia E, o sea, es una operación definida en Z. El producto x (i es independiente de los elementos elegidos en cada clase. Operando con los elementos canónicos se obtiene : ( ^ m) (--^- n) _^ -^- ^na n ( -{- m) (- n) = - m n (-- m) (-} n) _- na n (- m) (- n) _ -}- m n igual.d.ades que constituyen la conocida "regla de los signas" de la m.ultiplicación de números enteros., Son inmediatas, ahora, las propiedades: b) Conmutativa: c) Asociativa: d) Elemento neutro: xx(i=(i^x. (x í^ (i) i^ Y - z x((j i^ '!) x.(_{ ^)_-(_}!) x x. 14. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA La multiplicación d.e números enteros es distrib2ctiva sobre la adición: (x^íj)''(_=x'y+^j'y 15. ANILLO 7 DE LOS NUMEROS ENTEROS Un conjunto C ^^ dice que tiene estructura de canillo, o que es un anilla cuando en él están definidas dos operacion^s internas, adición y m.ultiplicación, tales que por la primera es un grupo aditivo con mutativo, y la segunda es asociativa y distributiva sobre la pritnera. Cuan.do la segtmda es, además, conmutativa, el anillo se ll;^ma conmutativo. Si la ^rultiplicación posee elemento neutro (unidad), es un

9 CONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DEL ANILLO Z Ŝ 65 anillo unitario. Diremos, por tanto, que el conjunto Z es ur. anillo conm.utativo y unitario. Se trata además de un dominio de integridad, por ser unitario y no tener divisores de cero, o sea, x f^ - 0 implica que x- 0 0(3 = ISOMORFISMO La correspondencia N,^, Z^ es también compatible con la multiplicación. Por tanto, ambos semigrupos son también isomorfos, como en el caso de la adición, respecto a la operación de multiplicar: N Z+ a R_, -{-- a b R, --(- b a br^( I_a) (-}-b)_ -{-(a b). 17. OBSERVACION Dado un número entero x$ I, no existe un elemento x-'ez, tal que: x x'--{-1. Por tanto, la ecuación : a x- b, tampoco tiene solución en Z cuando a no divide a b. La solución de esta ecuación, en el caso general, éxige, pues, una ampliación del conjunto Z, o sea, la construcción del cuerpo Q de los números racionales. ti LA ENSENANZA DE LAS LENCUAS CLASICAS (Ed. de la Universidad de Cambridge. Traducción de Victor José Herrero y José María Belinchón) Ptas. 146 (ei tela) PEDIDOS,4: REVISTA "ENSEÑANZA MEDIA"