1 NÚMEROS NATURALES. DIVISIBILIDAD

Transcripción

1 1 NÚMEROS NATURALES. DIVISIBILIDAD EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1 Copia en tu cuaderno las siguientes expresiones y escribe los números que faltan. a) M C D U c) 5 M 7 C 9 D U b) 5 M 1 C 0 D 4 U d) 4 8 M C D 0 U a) M C D 7 U c) 795 M 7 C 9 D 5 U b) M 1 C 0 D 4 U d) M C 8 D 0 U 1. Escribe, en cada caso, el número que corresponda. a) 7 centenas, unidades. b) 48 millares, 5 centenas, 16 unidades. Escribe como se nombran los números anteriores. a) 7 centenas, unidades tres mil setecientos dos b) 48 millares, 5 centenas, 16 unidades cuarenta y ocho mil quinientos dieciséis 1. Observa el mapa de los códigos postales y señala de qué provincias son los siguientes. a) 7004 b) 506 c) 1460 d) a) Lugo b) Zaragoza c) Córdoba d) Segovia 1.4 Busca en una guía de teléfonos a qué provincias pertenecen los siguientes números. a) b) c) d) a) Almería b) Burgos c) Cáceres d) Sevilla 1.5 Copia en tu cuaderno, sustituye por el número que corresponda y explica la propiedad que aplicas en cada caso. a) b) (7 4) 7 a) Propiedad conmutativa b) (7 4) 7 (4 ). Propiedad asociativa 1.6 Copia en tu cuaderno, sustituye por el número que falta y explica la propiedad que consideras en cada caso. a) b) (6 ) 18 a) Propiedad de la resta b) (6 9) Propiedad distributiva 1.7 Halla tres múltiplos de 11 comprendidos entre 7 y 90., 44, 55, 66, 77, Comprueba si 556 es múltiplo de , resto Comprueba si 1 es divisor de , resto 0. Luego 1 es divisor de Cuál de estos números es divisor de 91? a) b) 7 c) 11 d) 1 a) 91 0, resto 1; como la división no es exacta, no es divisor de 91. b) , resto 0; como la división es exacta, 7 es divisor de 91. c) , resto ; como la división no es exacta, 11 no es divisor de 91. d) , resto 0; como la división es exacta, 1 es divisor de 91. 4

2 1.11 Encuentra todos los divisores de los siguientes números. a) 4 b) 7 c) 48 d) 5 e) 7 f) 56 a) 1,,, 4, 6, 8, 1, 4 c) 1,,, 4, 6, 8, 1, 16, 4, 48 e) 1, 7 b) 1,, 9, 7 d) 1, 5, 5 f) 1,, 4, 7, 8, 14, 8, Señala cuáles de estos números tienen, exactamente, tres divisores. a) 4 b) 5 c) 15 d) 49 a) 1,, 4. Sí b) 1, 5, 5. Sí c) 1,, 5, 15. No d) 1, 7, 49. Sí 1.1 Aplica los criterios de divisibilidad para rellenar la siguiente tabla. Divisible por Divisible por X X X 990 X X X X X X X X X X 1 00 X X X X X X X X X X X 1.14 Encuentra dos números de cinco cifras que sean divisibles por y por 5 a la vez, y no lo sean por 100. Son divisibles por y 5 si terminan en 0, y no lo son por 100 si no terminan en 00. Por ejemplo: y Escribe dos números de cinco cifras que sean múltiplos de los siguientes. a) De y de 11, pero no de 9. b) De 9 y de 11. Lo son de? a) La forma más sencilla es formar un número tal que la suma de sus cifras pares sea, así como la de sus cifras impares: 0 01 y b) La forma más sencilla es formar un número tal que la suma de sus cifras pares sea 9, así como la de sus cifras impares: 6 61 y Calcula los divisores de cada uno de estos números e indica cuál es primo. a) 8 b) 101 c) 57 d) 49 a) 1,, 4 y 8 b) 1, 101. Sí es primo. c) 1,, 19 y 57 d) 1, 7 y Puede haber algún número primo par? Razona la respuesta. El único número primo que es par es el dos, porque cualquier otro tiene por lo menos tres divisores: el 1, el propio número y el Halla tres números primos entre 500 y , 50, Haz la descomposición en factores primos de los siguientes números. a) 108 c) 4 e) 100 b) 99 d) 7 f) 840 a) 108 c) 4 7 e) b) d) f) Copia y completa estas descomposiciones en factores primos. a) 60 5 b) 00 5 a) 60 5 b)

3 1.1 Indica los divisores de los siguientes números y calcula su máximo común divisor. a) y 16 b) y 5 c) 9, 1 y 18 d) 7, 6 y 6 a) Divisores de : 1, Divisores de 16: 1,, 4, 8, 16 m.c.d.(, 16) b) Divisores de : 1, Divisores de 5: 1, 5, 5 m.c.d.(, 5) 1 c) Divisores de 9: 1,, 9 Divisores de 1: 1,, 4, 6 Divisores de 18: 1,,, 6, 9, 18 m.c.d.(9, 1, 18) d) Divisores de 7: 1,, 9, 7 Divisores de 6: 1,,, 4, 6, 9, 1, 18, 6 Divisores de 6: 1,, 7, 9, 1, 6 m.c.d.(9, 1, 18) 1. Averigua el máximo común divisor de los siguientes números. a) 4, 6, 18 y b), 4, 1, 6 y 48 a) m. c. d.(4, 6, 18, ) b) m. c. d.(, 4, 1, 6, 48) 1 1. Calcula el mínimo común múltiplo de los siguientes números. a) 9, 1 y 18 b) 7, 6 y 6 a) m.c.m.(9, 1, 18) 6 b) m.c.m.(7, 6, 6) Halla el mínimo común múltiplo de estos números. Qué conclusión sacas? a), 4, 8 y 16 b), 4, 6 y 1 a) m.c.m.(, 4, 8, 16) 4 16 b) m.c.m.(, 4, 6, 1) 1 Cuando en un conjunto de números uno de ellos es múltiplo de todos, ese es el m.c.m RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Daniel, Patricia y Gonzalo son tres amigos que deciden juntar su dinero para invitar a golosinas a otros amigos. Daniel tiene 4 euros; Patricia, euros más, y Gonzalo, lo mismo que Daniel y Patricia juntos. Cuánto dinero han reunido? Daniel tiene: 4 euros Patricia tiene: 4 6 euros Gonzalo tiene: euros TOTAL: euros Han reunido 0 euros. Una bolsa de naranjas cuesta 6 euros. Otra bolsa con dos kilogramos más de naranjas cuesta 10 euros. Cuántos kilogramos tiene cada bolsa? Los kg de más de la segunda bolsa cuestan la diferencia de precio entre ambas bolsas, euros, luego cada kilogramo de naranjas cuesta euros. La primera bolsa tiene kilogramos, y la segunda, 5. Jorge ha ido al súper y ha comprado una caja de 6 litros de leche que vale 4 euros, kilogramos de manzanas a euros cada kilogramo, y 6 cajas de galletas que cuestan euros cada caja, pero que están en oferta de lleve y pague. Si entrega a la cajera un billete de 50 euros, cuánto le devuelve? Jorge gastó: 4 euros por la leche 6 euros por las manzanas 4 1 euros por las galletas (pagó 4 cajas aunque se llevó 6) TOTAL: euros Si pagó con un billete de 50 euros, le devolvieron 50 8 euros. Una empresa fabrica 5 bombillas cada minuto. Si se trabajan 8 horas diarias, cuántos días se tardan en fabricar bombillas? 8 horas diarias suponen minutos al día. Como cada minuto se fabrican 5 bombillas, en total se fabrican bombillas diarias. Para fabricar bombillas se necesitan días. 6

4 CÁLCULO MENTAL Observa el ejemplo y expresa cada número como cociente de otros dos, de dos maneras diferentes. a) b) 8 c) 15 d) b) c) d) Descompón en factores primos los números siguientes. a) 9 c) 4 e) 50 b) 1 d) 6 f) 75 a) 9 c) 4 e) 50 5 b) 1 d) 6 f) Calcula el m.c.d. de estos pares de números. a) 5 y 10 b) y 4 c) 6, 8 y 1 d) 5, 5 y 15 a) m.c.d.(5, 10) 5 b) m.c.d.(, 4) 1 c) m.c.d.(6, 8, 1) d) m.c.d.(, 5, 15) 5 1. Halla el m.c.m. de los siguientes grupos de números. a) 4 y 6 b) 8 y 1 c) 4, 6 y 1 d), 9 y 7 a) m.c.m.(4, 6) 1 b) m.c.m.(8, 1) 4 c) m.c.m.(4, 6, 1) = 1 d) m.c.m.(, 9, 7) 7 EJERCICIOS PARA ENTRENARSE El sistema de numeración decimal 1. Copia y completa la siguiente tabla. Número M C D U Número M C D U Dados los números: 45, 61, a) Cuántas decenas hay en cada uno? b) Cuántas unidades habrá que quitar a cada uno para que tengan exactamente una decena menos? a) 45 4 decenas 61 6 decenas decenas b) 10 unidades 1.5 Escribe de forma numérica estos números expresados con letras. a) Nueve mil quinientos dos. c) Mil quinientos sesenta y seis. b) Ocho millones cuatrocientos trece. d) Setenta mil setenta. a) 9 50 b) c) d) Escribe el nombre de los siguientes números. a) 0 01 b) c) 840 a) Veinte mil doce. b) Doscientos treinta y cuatro millones doscientos treinta y cuatro mil. c) Treinta y tres mil ochocientos cuarenta. Los números naturales como códigos 1.7 Alejandro ha escrito su fecha de nacimiento: 0/1/000. a) Qué día celebrará su cumpleaños? b) Cuántos años tiene hoy? a) El día tres de diciembre. b) La solución dependerá del año en curso. 7

5 1.8 Asocia cada dirección con su código postal. a) b) c) d) C/ Dr. Marañón n.º 1 CÓRDOBA C/ Los Ángeles n.º 1 VALENCIA C/ Paseo del Pinar n.º 5 MADRID C/ Santurce n.º 19 SEGOVIA a) 14004, Córdoba b) 46810, Valencia c) 80, Madrid d) 40001, Segovia 1.9 Busca códigos numéricos en tu entorno. a) En el supermercado. b) En tu casa. a) Códigos de barras, códigos de la fruta. b) DNI, código del teléfono, pin del móvil. Operaciones con números naturales. Propiedades 1.40 Copia en tu cuaderno las siguientes operaciones y escribe los números que faltan, e indica en cada caso la propiedad que aplicas. a) c) 0 (15 ) 15 0 b) d) 5 (10 ) a) c) 0 (15 ) b) d) 5 (10 4) Propiedad de la resta: a y b Propiedad distributiva: c y d 1.41 Completa en tu cuaderno la tabla sin hacer las divisiones, y explica la propiedad que estás teniendo en cuenta. Dividendo Divisor Cociente Resto Dividendo Divisor Cociente Resto Propiedad de la división. Múltiplos y divisores de un número Averigua los cinco primeros múltiplos de estos números. a) 10 c) 8 e) b) 5 d) 11 f) 4 a) 10, 0, 0, 40, 50 c) 8, 16, 4,, 40 e), 444, 666, 888, b) 5, 50, 75, 100, 15 d) 11,,, 44, 55 f) 4, 86, 19, 17, 15 Escribe todos los divisores de los números indicados. a) 54 b) 77 c) 8 d) 60 a) 1,,, 6, 9, 18, 7, 54 c) 1,, 4, 8 b) 1, 7, 11, 77 d) 1,,, 4, 5, 6, 10, 1, 15, 0, 0, 60 Copia esta tabla en tu cuaderno y sustituye el símbolo por el número que corresponda. Multiplicación Divisiones asociadas Múltiplos Divisores : 5 6 0, múltiplo 5 y 6, divisores 0 : 6 5 de 5 y 6 de : 4, múltiplo y, divisores 8 : 7 de 4 y 7 de 8 56 : 8 56 múltiplo 56 : 8 de y y, divisores de 56 Multiplicación Divisiones asociadas Múltiplos Divisores : 5 6 0, múltiplo 5 y 6, divisores 0 : 6 5 de 5 y 6 de : 7 4 8, múltiplo 4 y 7, divisores 8 : 4 7 de 4 y 7 de : múltiplo 7 y 8, divisores 56 : 7 8 de 7 y 8 de 56 8

6 1.45 Escribe todos los múltiplos de 7 que estén entre 100 y 150. El primer múltiplo que se encuentra es 105; a partir de ahí vamos sumando 7, obteniendo: 105, 11, 119, 16, 1, 140 y 147. Divisibilidad 1.46 Indica, sin hacer las divisiones, cuáles de los siguientes números son múltiplos de. a) b) 5 c) 4 90 d) 170 a) Sí b) No c) Sí d) Sí 1.47 Señala, sin dividir, cuáles de los siguientes números son múltiplos de y de 5 a la vez. a) 55 b) 970 c) 55 d) b y d son múltiplos de y 5 a la vez por acabar en Determina, aplicando los criterios explicados en la unidad, si los números 0, , 1 07 y 90 son múltiplos de los siguientes. a) b) 9 c) y 9 a) Los múltiplos de tres son: 0, y 90. b) Los múltiplos de 9: 0 y 90. c) Múltiplos de tres y de nueve: 0 y Averigua, sin hacer la división, si los números: 144, 900, 4 55 y son múltiplos de estos otros números. a) 4 b) 5 c) 4 y 5 a) Múltiplos de 4: 144 y 900 b) Múltiplos de 5: 900 y c) Múltiplos de ambos: Aplica el criterio de divisibilidad por 11, para averiguar cuáles de los siguientes números son divisibles por 11. a) 1 b) 99 c) 78 d) e) f) Son divisibles por 11: 99, 78, 5 500, 58 76, Indica cuáles de estos números son primos, calculando previamente todos sus divisores. a) 1 c) 49 e) 11 b) 100 d) 1 f) 65 a) Divisores de 1: 1, 1, primo d) Divisores de 1: 1 b) Divisores de 100: 1,, 4, 5, 10, 0, 50, 100 e) Divisores de 11: 1, 11, 11 c) Divisores de 49: 1, 7, 49 f) Divisores de 65: 1, 5, 1, Cuáles de los números siguientes tienen exactamente cuatro divisores? Calcúlalos. a) 77 c) 1 e) 1 g) 7 b) 6 d) 8 f) 0 h) 15 a) Divisores de 77: 1, 7, 11, 77 d) Divisores de 8: 1,, 4, 8 g) Divisores de 7: 1,, 9, 7 b) Divisores de 6: 1,,, 6 e) Divisores de 1: 1,, 7, 1 h) Divisores de 15: 1, 5, 5, Busca un número de tres cifras que sea múltiplo, a la vez, de, y 5, pero no lo sea ni de 9 ni de 11. Lo más fácil es hacer que la suma de las cifras sea múltiplo de, pero no de 9; por ejemplo, ó 6. 00, 501, 105, 510, 0, 10 Además, para que sea múltiplo de y de 5 tiene que terminar en 0. 00, 510, 10 Y por último, que la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan el lugar par y la suma de las cifras que ocupan el lugar impar no sea 0 ni múltiplo de , 10, 510 9

7 1.54 Si un número es múltiplo de y de al mismo tiempo, lo es también de 6? Razona la respuesta. Sí, ya que el múltiplo más pequeño común de y es 6. Máximo común divisor. Mínimo común múltiplo 1.55 Calcula el máximo común divisor de los siguientes grupos de números. a) 7 y 64 d) 11 y 77 g) 10, 15 y 50 j), 77 y 11 b) 44 y 5 e) 0, 15 y 0 h) 9, 1 y 4 c) 5 y 40 f) 18, 0 y 6 i) 10, 100 y 50 a) m.c.d.(7, 64) 1 b) m.c.d.(44, 5) 1 c) m.c.d.(5, 40) 5 d) m.c.d.(11, 7) 11 e) m.c.d.(0, 15, 0) 5 f) m.c.d.(18, 0, 6) 6 g) m.c.d.(10, 15, 50) 5 h) m.c.d.(9, 1, 4) i) m.c.d.(10, 100, 50) 10 j) m.c.d (, 77, 11) Haya el mínimo común múltiplo de estos grupos de números. a) 4 y 9 d), 4 y 6 g) 10, 100 y 00 j), 77 y 11 b) 6 y 7 e) 15, 5 y 5 h) 7, 8 y 9 c) y 16 f) 9, 6 y 1 i) 11, y 0 a) 4 9 m.c.m.(4, 9) 6 b) m.c.m.(6, 7) 4 c) m.c.m.(16, ) 5 d) m.c.m.(, 4, 6) 1 e) m.c.m.(5, 15, 5) f) m.c.m.(6, 9, 1) 6 g) m.c.m.(10, 100, 00) 00 h) m.c.m.(7, 8, 9) i) m.c.m.(11, 0, ) j) m.c.m.(, 77, 11) PROBLEMAS PARA APLICAR 1.57 Escribe 56 como diferencia de dos números mayores que Respuesta abierta. Un ejemplo puede ser: Las distancias entre las ciudades A, B y C son: entre A y B, 5 kilómetros; entre A y C, 49 kilómetros, y entre B y C, 14 kilómetros. Calcula los kilómetros que recorre Silvia en estos casos. a) Va de A a C pasando por B. b) Va de B a A visitando antes a su prima en C. a) km b) km Está previsto que asistan 10 personas a una fiesta. De cuántos comensales pueden ser las mesas si todas han de ser iguales y estar completas? Los divisores de 10 son: 1,,, 4, 5, 6, 8, 10, 1, 15, 0, 4, 0, 40, 60 y 10; por tanto, las mesas pueden ser de cualquiera de esos números de comensales Para obtener un número de cuatro cifras divisible por, qué cifras puedes añadir a la derecha de 57? Se puede añadir cualquiera de entre: 0,, 4, 6 y 8. 10

8 1.61 Estudia qué cifras tendrías que añadir a la izquierda de 451 para obtener un número de cuatro cifras múltiplo de. Como , podría añadir:, 5 y 8, ya que así las cifras sumarían 1, 15 y 18, que son todos múltiplos de. 1.6 Sustituye la letra a por una cifra para que el número 70a sea: a) Divisible por, pero no por 5. b) Divisible por 5, pero no por. c) Divisible por 11. a) , luego puedo añadir u 8. b) Puedo añadir sólo el 0. c) Suma de las cifras de lugar par: La suma de las cifras de lugar impar a, luego para que sumen 7, a Indica cuáles de estas expresiones no se corresponden con una descomposición en factores primos, y en esos casos corrígelas. a) b) c) 5 15 d) a) 90 5 c) 5 5 d) Busca un número capicúa de 4 cifras con las siguientes características y, después, descomponlo en factores primos. El valor posicional de 5 es 500. La cifra de las unidades es igual a. Si 5 tiene el valor de posición 500, entonces ocupa el lugar de las centenas. Como la cifra de las unidades es, el número será de la forma: 5. Como el número es capicúa, será: Nuria lleva los papeles al contenedor de reciclaje cada 5 días, y Pedro lo hace cada. El día 0 de mayo se encontraron allí. Cuándo volverán a coincidir? Tenemos que calcular el m.c.m.(, 5) Tienen que pasar 15 días. Vuelven a coincidir el 4 de junio. En un terreno rectangular de 40 por 60 metros, se proyecta colocar placas cuadradas del mayor tamaño posible, para recoger energía solar. Qué longitud tienen que tener los lados de las placas? Se calcula el m.c.d.(40, 60) 5 10 m de lado deben tener las placas. Tres autobuses de tres líneas distintas salen de una estación: el primero cada 10 minutos, el segundo cada 1 minutos y el tercero cada 15 minutos. Si a las 8 de la mañana salió un autobús de cada línea, a qué hora volverán a salir los tres a la vez? Se calcula el m.c.m.(10, 1, 15) Los tres vuelven a coincidir a las nueve. Pedro, al colocar sus fotos en un álbum, se ha dado cuenta de que si coloca 4 en cada página, solo quedan para la última página. Lo mismo ocurre si coloca 5 ó 6 fotos en cada página. a) Cuántas fotos tiene Pedro? b) Cuántas debe colocar en cada página para que todas tengan el mismo número y no sobre ninguna? a) Calculamos el m.c.m.(4, 5, 6) Ahora, sumando unidades, 60, hallamos el menor número posible de fotos que tiene Pedro. b) Los divisores de 6 son: 1,, 1, luego con cualquier número de fotos igual a sus divisores cumple la condición pedida. Marta tiene un número de libros comprendido entre 500 y Está colocándolos en una estantería. Si coloca 1 en cada estante, quedan 11 libros en el último; si pone 14 en cada estante, en el último coloca 1, y cuando los ordena de 15 en 15, en el último estante coloca 14. Cuántos libros tiene Marta? Si sumamos 1 al número de libros que tiene, el número obtenido es divisible por 1, por 14 y por 15. Por tanto, es divisible por el mínimo común múltiplo de 1, 14 y 15. m.c.m.(1, 14, 15) El único múltiplo de 40 mayor que 500 y menor que es Marta tiene 89 libros. 11

9 1.70 Un número dividido entre da de resto 1. Si se divide entre 4, el resto es ; al dividirlo entre 6, el resto es 5; al dividirlo entre 7, el resto es 6, y por último, cuando se divide entre 9, el resto que obtenemos es 8. a) Cuál es el menor número que cumple estas condiciones? b) Cuáles son los dos siguientes? a) Si al número se le suma 1, se obtiene otro número que es múltiplo de 4, de 6, de 7 y de 9. Por tanto, es múltiplo del m.c.m.(4, 6, 7, 9) 5. El menor número es: b) Los dos siguientes son: y Los números naturales 1.71 REFUERZO Contesta a las siguientes preguntas. a) Cuántas unidades tenemos con 45 decenas? b) Cuántas centenas enteras hay en 7 9 unidades? a) Tenemos unidades. b) Como 7 M 70 C; 70 7 centenas. 1.7 Escribe el valor posicional de la cifra 8 en cada uno de los siguientes números. a) 586 b) 8 10 c) 8 44 d) 18 a) Decenas b) Decenas de millar c) Unidades de millar d) Unidades Múltiplos y divisores. Divisibilidad 1.7 Escribe los cinco primeros múltiplos de 15, 19, 4 y 0. Múltiplos de 15: 15, 0, 45, 60, 75 Múltiplos de 4: 4, 48, 7, 96, 10 Múltiplos de 19: 19, 8, 57, 76, 95 Múltiplos de 0: 0, 60, 90, 10, Calcula todos los divisores de estos números. a) 6 b) 9 c) a) Divisores de 6: 1,,, 6 b) Divisores de 9: 1,, 1, 9 c) Divisores de 65: 1, 5, 1, 65 Utiliza los criterios de divisibilidad, para buscar todos los múltiplos de los siguientes números comprendidos entre 100 y 00. a) b) 4 c) 9 a) 10, 104, 106, 108, 110, 11, 114, 116, 118, 10,1, 14, 16, 18, 10, 1, 14, 16, 18, 140,14, 144, 146, 148, 150, 15, 154, 156, 158, 160,17, 174, 176, 178, 180, 18, 184, 186, 188, 190,19, 194, 196, 198, 00 b) 104, 108, 11, 116, 10, 14, 18, 1, 16, 140,144, 148, 15, 156, 160, 164, 168, 17, 176, 180, 184, 188, 19, 196, 00 c) 108, 117, 16, 15, 144, 15, 16, 171, 180, 189, Indica, sin hacer la división, cuáles de estos números son múltiplos de 6. a) 7 b) 4 c) 11 Los múltiplos de 6 son los que son múltiplos a la vez de y de ; por tanto, tenemos que 4 es el único que hay. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo 1.77 Determina a qué número corresponden los siguientes productos de factores primos. a) 7 b) a) 8 b) Realiza la descomposición en factores primos de estos números. a) 5 b) 75 c) 140 d) 144 a) 5 5 b) 75 5 c) d)

10 1.79 Halla el m.c.d. y el m.c.m. de estos números. a) 0 y 45 b) 8 y 48 c) 8 y 18 d) y 000 a) m.c.m.(0, 45) 5 90 m.c.d.(0, 45) 15 b) m.c.m.(8, 48) m.c.d.(8, 48) 4 c) m.c.m.(8, 18) 19 6 m.c.d.(8, 18) d) m.c.m.(1 000, 000) m.c.d.(1 000, 000) Calcula el m.c.d y el m.c.m de los siguientes números. a) 4 y 4 b) 108 y 504 c) 405 y 1 05 d) 10, 0 y 450 a) m.c.m.(4, 4) 168 m.c.d.(4, 4) = 6 b) m.c.m.(108, 504) m.c.d.(108, 504) = 6 c) m.c.m.(45, 1 05) m.c.d.(45, 1 05) = 45 d) m.c.m.(10, 0, 450) m.c.d.(10, 0, 450) x x 5 0 AMPLIACIÓN Para cualquier par de números naturales, a y b, se cumple que: a b m.c.d.(a, b) m.c.m.(a, b) Utilízalo para hallar un número a si se sabe que m.c.d.(a, 15) y m.c.m.(a, 15) 90 a a Los antiguos mesopotámicos tenían un sistema de numeración de base 60. Cuántas cifras utilizaban? Utilizaban 60 cifras. 1.8 Un número se llama perfecto si cumple la siguiente propiedad: El número es igual a la suma de todos sus divisores excluido él mismo. Comprueba que 6, 8 y 8 18 son números perfectos. Divisores de 6: 1,, 6 1 Divisores de 8: 1,, 4, 7, Divisores de 8 18: 1,, 4, 8, 16,, 64, 17, 54, 508, 1 016, 0, Cuáles son los dos números más pequeños que cumplen todas estas condiciones a la vez? Al dividirlo por, el resto es 1. Al dividirlo por 4, el resto es. Al dividirlo por 6, el resto es 5. Al dividirlo por 7, el resto es 6. Al dividirlo por 9, el resto es 8. Es múltiplo de Por cumplir las cinco primeras condiciones, si se suma 1 al número, es múltiplo común de, 4, 6, 7, 9. Por tanto, múltiplo del m.c.m.(, 4, 6, 7, 9) 5. Luego deberá ser múltiplo de 5 1 : 51, 50, 75, y además deberá ser múltiplo de 11. Los dos primeros números que cumplen las condiciones anteriores son: 761 y 5 5. Un estadio olímpico tiene capacidad para espectadores. En un determinado acontecimiento deportivo hubo un número de asistentes que cumplía las siguientes características: Ser divisible por. Ser divisible por 7. Ser divisible por 11. Ser un cuadrado perfecto. Calcula el número de espectadores. Al ser divisible por, por 7 y por 11, debe ser múltiplo común de, 7 y 11. Por tanto, múltiplo del m.c.m.(, 7, 11) 154. Como además es un cuadrado perfecto, debe ser múltiplo de Como el siguiente múltiplo es mayor que 0 000, el número de espectadores es igual a

11 PARA INTERPRETAR Y RESOLVER 1.86 El producto máximo y el producto mínimo Javier tiene cinco tarjetas con los números 1, 9,, 7 y 5, y las coloca formando un producto de dos números como se ve en el dibujo. a) Cómo deberá colocar las tarjetas para que el producto sea el mayor posible? b) Cómo deberá colocar las tarjetas para que el producto sea el menor posible? c) Explica el procedimiento que has utilizado para encontrar las respuestas. a) El máximo será: b) El mínimo será: c) Se deben escoger dos tarjetas para el número de dos cifras. Las otras formarán el de tres cifras. Las cifras deberán ir en orden decreciente para el máximo y creciente para el mínimo Engranajes Observa detenidamente el engranaje de la figura. a) Cuántas vueltas ha de dar la rueda menor para que vuelvan a coincidir las líneas roja y verde? En ese momento, cuántas vueltas ha dado la rueda mayor? b) Si la rueda menor va a 15 revoluciones por minuto, a cuánto va la rueda mayor? m.c.m.{1, 18} a) Cuando la rueda pequeña da vueltas completas se han desplazado 6 dientes. Por tanto, la rueda grande habrá dado 6 vueltas completas. 18 b) Cuando la rueda menor ha dado vueltas, la mayor ha dado. Cuando la rueda menor ha dado 1 vuelta, la mayor ha dado de vuelta. Cuando la rueda menor ha dado 15 vueltas, la mayor ha dado vueltas La rueda mayor irá a 10 revoluciones por minuto. AUTOEVALUACIÓN 1.A1 Escribe, para cada caso, el número que corresponda y cómo se lee. a) 15 centenas y 7 unidades. b) 88 millares, 67 decenas y 9 unidades. c) millares, 4 centenas y 4 decenas. a) 15 centenas unidades; ; mil quinientos siete. b) 88 millares unidades; 67 decenas 670 unidades; ; ochenta y ocho mil seiscientos noventa y nueve. c) millares 000 unidades; 4 centenas 400 unidades; 4 decenas 40 unidades; ; seis mil ochocientos veinte. 14

12 1.A Indica alguna propiedad de los números naturales que no se cumple cuando actúan como códigos. No se pueden realizar operaciones aritméticas con ellos. 1.A Copia en tu cuaderno y completa con el número que corresponda, y explica en cada caso la propiedad que aplicas. a) c) 1 = b) 5 (7 8) 5 d) 1 ( ) a) Propiedad conmutativa de la suma. b) 5 (7 8) Propiedad distributiva del producto respecto a la suma. c) Si al minuendo y al sustraendo se les suma o resta el mismo número, la diferencia no varía. d) 1 (5 17) Propiedad distributiva del producto respecto a la suma. 1.A4 Halla los múltiplos de 4 comprendidos entre 50 y 75. El primero es 5, y a partir de él, sumando cuatro consecutivamente, obtenemos que los números pedidos son: 5, 56, 60, 64, 68 y 7. 1.A5 Obtén todos los divisores de 140. Divisores de 140: 1,, 4, 5, 7, 10, 14, 0, 8, 5, 70, A6 Aplica los criterios de divisibilidad para indicar cuáles de los siguientes números: 4 158, 7 058, 1 800, 14 77, 1 50, son divisibles por estos otros números. a) b) c) 4 d) 5 e) 9 f) 11 a) 4 158, 7 058, 1 800, 1 50 c) e) 4 158, 1 800, 1 50 b) 4 158, 1 800, 14 77, 1 50 d) 1 800, 1 50 f) A7 Escribe dos números compuestos que sean primos entre sí. Por ejemplo, 4 y 9, 15 y 8 1.A8 De cuántas formas distintas pueden agruparse los 40 componentes de un club de montaña de manera que en todos los grupos haya el mismo número de miembros? Divisores de 40: 1,, 4, 5, 8, 10, 0, 40. Luego podrán agruparse en un número igual a cualquiera de los divisores de A9 Descompón en factores primos A10 Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de estos números. a) 8 y 7 b) 4, 16 y 0 a) m.c.m.(8, 7) m.c.d.(8, 7) 4 b) m.c.m.(4, 16, 0) m.c.d.(4, 16, 0) 4 MURAL DE MATEMÁTICAS Jugando con las matemáticas NUESTRO CÓDIGO Un club de lectura ha asignado a sus socios un código consistente en una columna de tres números. Cada miembro ha contestado a las preguntas del cuestionario con un 1 si la respuesta es afirmativa y con un 0 si es negativa. Cuál de los siguientes códigos corresponde a la persona del dibujo? El código que corresponde a la persona del dibujo es el 1,1,1. 15

13 NÚMEROS ENTEROS EJERCICIOS PROPUESTOS.1 Expresa con un número entero las siguientes informaciones. a) El avión está volando a metros de altura. b) La temperatura mínima de ayer fue de C bajo cero. c) El garaje está en el segundo sótano del edificio. d) El buceador está nadando a 0 metros de profundidad. e) Sergio debe 5 euros. a) b) c) d) 0 e) 5. Expresa cada enunciado con un número entero. a) La latitud del ecuador. b) Nuestra ciudad está al nivel del mar. a) 0 b) 0. Indica el significado de los números, 0 y 4 en las siguientes situaciones. a) En un ascensor. b) En una cuenta bancaria. c) En un termómetro. a) ; El ascensor está en el segundo sótano. 0; El ascensor está en la entrada. 4; El ascensor está en la cuarta planta. b) ; Debemos euros al banco. 0; No tenemos nada ahorrado. 4; He ahorrado 4 euros. c) ; Hace C bajo cero. 0; La temperatura es de 0 C. 4; La temperatura es de 4 C..4 Representa en una recta los siguientes números. a) 1 b) c) 7 d) Calcula el valor absoluto de estos números. a) 9 b) 5 c) d) 7 e) 0 f) 8 a) 9 9 b) 5 5 c) d) 7 7 e) 0 0 f) Qué números están marcados con un punto rojo en esta recta? Halla el número que tiene por valor absoluto 7 y está situado entre 8 y 6. Hay dos números con el valor absoluto igual a 7: 7 y 7. De los dos, el que está situado entre 8 y 6 es 7. 16

14 Copia en tu cuaderno y completa con el signo < o el signo > estas expresiones. a) 4 1 c) 0 e) 0 b) 1 6 d) 8 f) 5 9 a) 4 1 c) 0 e) 0 b) 1 6 d) 8 f) 5 9 Ordena de menor a mayor estos números enteros positivos Ordena de mayor a menor los siguientes números enteros negativos Ordena de menor a mayor estos números: 4, 7, 6,, 5. Represéntalos después en una recta, y comprueba así que los has ordenado correctamente El resultado es el mismo, puesto que en la recta los números más pequeños están más a la izquierda y van siendo mayores al avanzar hacia la derecha Efectúa estas operaciones. a) ( 9) ( ) c) ( 8) ( ) b) ( 10) ( 15) d) ( 1) ( 4) a) ( 9) ( ) 1 c) ( 8) ( ) 10 b) ( 10) ( 15) 5 d) ( 1) ( 4) Realiza las siguientes sumas. a) ( 10) ( 5) ( ) b) ( 9) ( ) ( 1) a) ( 10) ( 5) ( ) 15 ( ) 1 b) ( 9) ( ) ( 1) ( 9) ( 15) 6 Completa los números que faltan. a) ( 6) 9 c) ( ) b) ( 4) 1 d) ( ) 4 a) ( 6) ( ) 9 c) ( ) ( 1) b) ( 5) ( 4) 1 d) ( ) ( 7) 4 Halla el resultado de estas sumas. a) ( 1) ( 8) ( 7) ( 1) b) ( 6) ( 4) ( ) ( 8) a) ( 1) ( 8) ( 7) ( 1) [( 8) ( 7)] [( 1) ( 1)] ( 15) ( 14) 1 b) ( 6) ( 4) ( ) ( 8) [( 6) ( 8)] [( 4) ( )] ( 14) ( 7) 7 Halla el opuesto de cada uno de los siguientes números. a) 4 b) 8 c) 15 d) 01 a) op ( 4) 4 b) op ( 8) 8 c) op ( 15) 15 d) op ( 01) 01 Escribe el valor absoluto del opuesto de estos números. a) 4 b) 11 c) 00 d) a) 4 b) 11 c) 00 d) Obtén el opuesto del opuesto de 5. op [op ( 5)] op ( 5) 5. También se podría haber resuelto diciendo que el opuesto del opuesto es el mismo número. 17

15 .19 Comprueba si se cumplen estas igualdades. a) op [( 4) ( )] = op ( 4) op ( ) b) op [( 5) ( 8)] = op ( 5) op ( 8) c) op [( 7) ( 8)] = op ( 7) op ( 8) a) op [( 4) ( )] op ( 7) 7 op ( 4) op ( ) 4 ( ) 7 b) op [( 5) ( 8)] op ( 1) 1 op ( 5) op ( 8) c) op [( 7) ( 8)] op ( 1) 1 op ( 7) op ( 8) 7 ( 8) Halla el resultado de estas operaciones. a) ( ) ( 8) d) ( 10) ( 4) b) ( 6) ( 7) e) ( ) ( 9) c) ( 19) ( 0) f) ( 16) ( ) a) ( ) ( 8) ( ) ( 8) 10 d) ( 10) ( 4) ( 10) ( 4) 6 b) ( 6) ( 7) ( 6) ( 7) 1 e) ( ) ( 9) ( ) ( 9) 1 c) ( 19) ( 0) ( 19) ( 0) 1 f) ( 16) ( ) ( 16) ( ) 18 En una resta de dos números enteros, uno de ellos es 15, y la diferencia es. Cuál es el otro? Para que al restar a 15 un número entero dé un resultado negativo, ese número ha de ser positivo. Y para que la diferencia en valor absoluto sea, su valor absoluto debe ser dos unidades mayor que el valor absoluto de 15. Por tanto, el número es 17. Comprobación: 15 ( 17) Averigua los números que faltan en estas igualdades. a) ( 5) ( 6) ( 5) b) ( ) ( 8) ( ) c) ( 1) ( 1) ( 6) a) ( 5) ( 6) 5 ( 6) 1 b) ( ) ( 8) ( 8) 11 c) ( 1) ( 6) 1 ( 6) 6 Expresa la resta ( 4) ( 47) como suma de dos números. Cuál es su valor? ( 4) ( 47) 1 Calcula el resultado de estas multiplicaciones. a) 8) ( ) c) ( 5) ( 4) b) ( 9) ( ) d) ( 6) ( 7) a) ( 8) ( ) (8 ) 4 c) ( 5) ( 4) (5 4) 0 b) ( 9) ( ) (9 ) 18 d) ( 6) ( 7) (6 7) 4 Averigua los números que faltan. a) ( 4) 4 c) ( ) 6 b) ( 5) 0 d) ( 10) 90 a) ( 4) ( 6) 4 c) ( ) ( ) 6 b) ( 6) ( 5) 0 d) ( 10) ( 9) 90 Obtén el resultado de las siguientes divisiones. a) ( 7) ( ) c) ( 48) ( 8) b) ( 10) ( 5) d) ( 6) ( 9) a) ( 7) ( ) (7 ) 9 c) ( 48) ( 8) (48 8) 6 b) ( 10) ( 5) (10 5) d) ( 6) ( 9) (6 9) 7 En una división exacta, el dividendo es 1, y el cociente, 4. Cuál es el divisor? El divisor es un número tal que al dividir 1 entre él debe dar 4. Por tanto, debe ser un número negativo. El divisor es. Comprobación: ( 1) ( ) 4 18

16 .8 Averigua los números que faltan en estas igualdades. a) ( 49) ( 7) c) ( 5) 5 b) ( 0) 5 d) ( 8) 4 a) ( 49) ( 7) 7 c) ( 5) ( 7) 5 b) ( 0) ( 6) 5 d) ( ) ( 8) 4.9 Averigua los números que faltan en estas igualdades. a) ( 4) ( 6) c) ( 1) 1 e) ( ) 4 b) ( 0) d) ( 50) 5 f) ( 6) 1 a) ( 4) ( 6) 7 c) ( 1) ( 1) 1 e) ( 8) ( ) 4 b) ( 0) ( 10) d) ( 50) ( 10) 5 f) ( 6) ( 6) 1.0 Escribe cada uno de estos números como cociente de otros dos. a) 5 c) e) 100 b) 8 d) 9 f) 11 a) 5 ( 5) ( 5) c) ( 8) ( 4) e) 100 ( 700) ( 7) b) 8 ( 16) ( ) d) 9 ( 18) ( ) f) 11 ( 11) ( 11).1 Halla el resultado de dos formas distintas. a) ( ) [( 7) ( 10)] b) ( 5) [( 1) ( 4)] a) Aplicando la propiedad distributiva: ( ) [( 7) ( 10)] ( ) ( 7) ( ) ( 10) ( 1) ( 0) 51 Primero la suma y luego la multiplicación: ( ) [( 7) ( 10)] ( ) ( 17) 51 b) Aplicando la propiedad distributiva: ( 5) [( 1) ( 4)] ( 5) ( 1) ( 5) ( 4) ( 60) ( 0) 40 Primero la suma y luego la multiplicación: ( 5) [( 1) ( 4)] ( 5) ( 8) 40. Obtén el resultado utilizando la propiedad distributiva. a) ( 9) [8 ( 9)] c) 4 [( 5) 9 ( 6)] b) [( 10) ( )] d) [( 9) 7 ( )] ( 8) a) ( 9) [( 8) ( 9)] ( 9) ( 8) ( 9) ( 9) ( 7) ( 81) 15 b) [( 10) ( )] ( ) ( 10) ( ) ( ) ( 0) ( 6) 14 c) 4 [( 5) 9 ( 6)] 4 ( 5) 4 ( 9) 4 ( 6) ( 0) ( 6) ( 4) 8 d) [( 9) 7 ( )] ( 8) ( 9) ( 8) ( 7) ( 8) ( ) ( 8) ( 7) ( 56) ( 16). Copia en tu cuaderno y completa. a) ( 5) [9 ( 4)] ( 5) 5 c) (5 ) ( 7) b) [5 ( 7)] 10 d) [( 6) ] ( 9) a) ( 5) [9 ( 4)] ( 5) ( 5) 5 c) [5 ( )] ( 45) ( 7) 7 b) ( ) [5 ( 7)] 10 ( 14) 4 d) [( 6) ( 9)] ( 6) ( 9) 45.4 Escribe 8 como producto de 4 por una suma de dos sumandos. Respuesta abierta. Por ejemplo: ( 4) [9 ( )] ( 6) ( 8) 8.5 Escribe 64 como producto de 8 por una suma de tres sumandos. Respuesta abierta. Por ejemplo: ( 8) [( 4) ( ) ( 6)] ( 8) ( 4) ( 8) ( ) ( 8) ( 6) ( 16)

17 .6 Saca factor común en cada una de estas operaciones y obtén el resultado. a) ( 5) 7 ( 5) ( 1) d) ( 9) ( 1) ( 9) 1 b) ( ) 7 ( ) ( ) e) 7 7 1) c) ( 11) f) ( ) 7 ( ) ( ) a) ( 5) 7 ( 5) ( 1) ( 5) [7 ( 1)] ( 5) ( 5) 5 b) ( ) 7 ( ) ( ) ( ) [7 ( )] ( ) 4 8 c) ( 11) 5 [9 ( 11)] 5 ( ) 10 d) ( 9) ( 1) ( 9) 1 ( 9) [( 1) 1)] ( 9) ( 1) 9 e) 7 7 ( 1) 7 [ ( 1)] 7 ( 19) 1 f) ( ) 7 ( ) ( ) ( ) [7 ( )] ( ) Copia en tu cuaderno y completa las siguientes expresiones. Calcula el resultado. a) ( 5) 8 ( 5) ( 7) ( 5) ( ) b) ( 45) 5 ( 11) 5 11) c) 4 ( 7) [1 ( 7)] a) ( 5) 8 ( 5) ( 7) ( 5) [8 ( 7)] 5 b) ( 45) 5 ( 11) 5 [( 9) 11)] 10 c) 4 ( 7) [1 ( 7)] 10.8 Saca factor común y resuelve estas sumas. a) 5 ( ) ( 6) 4 ( ) ( 7) b) ( 5) ( ) 4 1 a) 5 ( ) ( 6) 4 ( ) ( 7) 5 ( ) ( ) 4 ( ) ( 7) ( ) [5 4 ( 7)] ( ) 6 18 b) ( 5) ( ) 4 1 ( 5) ( ) 1 [( 5) ( ) 1] 4.9 Realiza los siguientes cálculos. a) ( 1) 6 d) 7 ( ) ( 4) b) ( 8) 9 15 ( ) e) ( 18) 6 5 ( 10) c) ( 4) ( 7) a) ( 1) 6 ( ) 0 b) ( 8) 9 15 ( ) 7 ( 45) 7 ( 45) 7 c) ( 4) ( 7) 40 ( ) 0 ( ) d) 7 ( ) ( 4) ( 9) ( 4) e) ( 18) 6 5 ( 10) ( ) ( 50) 5.40 Obtén el resultado de estas operaciones. a) [( 15) 1 4] d) [(( 1) ( )) 8] 4 [(( ) ( 6)) ] b) ( 6) [4 ( )] [ 8 ( ) ] e) [( 4) ( )] 4 9 ( ) 6 c) ( 5) (5 ) ( 4) 9 (7 5) a) [( 15) 1 4] [ 45 48] b) ( 6) [4 ( )] [ 8 ( ) ] ( 6) (4 ) [ 8 ( 6)] 6 6 ( 14) 6 ( 14) 50 c) ( 5) (5 ) ( 4) 9 (7 5) ( 5) 7 ( 4) 9 [7 10] ( 5) 7 ( 4) 9 ( ) 5 ( 6) 41 8 d) [(( 1) ( )) 8] 4 [(( ) ( 6)) ] [( 9) 8] 4 [( 8) ] 7 4 ( 4) 7 ( 6) 78 e) [( 4) ( )] 4 9 ( ) 6 [( 1) ( )] 4 ( ) 6 ( ) 4 ( 18) ( 1) ( 18) 0 0

18 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.41 Un autobús comienza su viaje con 4 pasajeros; en la primera parada se bajan personas y suben 7; en la segunda parada se bajan 11; y en la tercera parada se suben 4 y baja solo 1 persona. a) Cuántos pasajeros quedan en el autobús? b) Cuántas personas se bajaron en total? a) Después de la primera parada hay en el autobús pasajeros. Después de la segunda, pasajeros. Después de la tercera, pasajeros. En el autobús quedan 9 pasajeros. b) En la primera parada se bajaron personas. En la segunda, 11. En la tercera solo se bajó 1 persona. En total se bajaron del autobús: personas..4 Alicia está jugando a un pasatiempo que consiste en responder preguntas. Por cada respuesta correcta obtiene 6 puntos, pero por cada una que responde mal pierde 4 puntos. Si el pasatiempo consta de 0 preguntas, y Alicia ha contestado bien a 14 preguntas, cuántos puntos ha obtenido? Por las preguntas bien contestadas obtiene puntos. Por las preguntas mal contestadas ( preguntas) le quitan puntos. En total obtiene puntos. CÁLCULO MENTAL.4 Indica los números que faltan en la tabla. Anterior Número Siguiente Anterior Número Siguiente Enumera todos los enteros comprendidos entre estos pares. a) 5 y 0 b) y a) 4,,, 1 b) 1, 0, 1.45 Anota todos los números enteros cuyo valor absoluto sea menor que cada uno de los siguientes. a) b) 5 c) 7 d) 1 a) 1, 0, 1 b) 4,,, 1, 0, 1,,, 4 c) 6, 5, 4,,, 1, 0, 1,,, 4, 5, 6 d) 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4,,, 1, 0, 1,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 1

19 .46 Halla el número que falta. a) ( 6) op ( ) 0 b) op ( ) 15 0 a) 6 op (6) 0 b) op ( 15) Obtén el resultado. a) 17 ( 15) c) ( 1) ( ) b) 5 ( 4) ( 6) d) ( 1) ( 8) a) 17 ( 15) c) 1 ( ) 4 b) 5 ( 4) ( 6) 15 d) ( 1) ( 8) 0.48 Halla los números que faltan. a) ( ) 8 c) ( 5) ( 9) b) ( 16) 48 d) 7 4 a) ( ) 8 4 c) ( 5) ( 9) 45 b) ( 16) ( ) 48 d) 7 ( 6) 4.49 Calcula. a) El triple del opuesto de 8. b) La mitad del opuesto de 44. c) El opuesto de 5 ( 8). a) op ( 8) 8 El triple del opuesto de 8 es 4. b) op (44) 44 La mitad del opuesto de 44 es. c) op [5 ( 8)] 40 El opuesto de 40 es 40. EJERCICIOS PARA ENTRENARSE Números enteros. Valor absoluto.50 Expresa con números enteros. a) La temperatura mínima es de 5 C bajo cero. b) El monte Aconcagua es de metros. c) Euclides nació en el año 00 antes de Cristo. d) La profundidad de la fosa de Tonga, en el océano Índico, es de metros. a) 5 b) c) 00 d) Qué números representan las letras en esta recta?.5 B D A E + F C A 4 B 8 C 1 D 6 E F 0 El valor absoluto de un número es igual a 8 y se representa en una recta a la izquierda del cero. Cuál es el número? Hay dos números enteros cuyo valor absoluto es 8: 8 y 8. De ellos, el que se representa a la izquierda del cero es el negativo. Por tanto, el número es 8..5 Halla el resultado de estas operaciones en valor absoluto. a) ( ) [( 7) 9] c) 6 ( 7) b) 1 ( ) 8 d) [( 9) ] 4 a) ( ) [( 7) 9] ( ) c) 6 ( 7) b) 1 ( ) 8 ( 4) d) [( 9) ] 4 ( 1) 4

20 Ordenación.54 Qué número entero cumple estas dos condiciones? Es mayor que y menor que 1. No coincide con su opuesto. Si es mayor que y menor que 1, puede ser 1 ó 0. Como 0 coincide con su opuesto, el número que cumple las dos condiciones es Escribe todos los números enteros que faltan. a) 4 <... < 4 c) 1 <... < 5 b) 10 <... < 0 d) 0 <... < 7 a) b) c) d) Ordena estos números de mayor a menor. a), 5,, 0, 4 c) 1,, 1, 6, 4, 7 b) 6, 0,, 1, 5, d), 6, 0,, 5, 9 a) c) b) d) Escribe los números que faltan. a) 7 ( 1) op ( ) b) op [op ( )] 0 a) 7 ( 1) op ( 6) b) op [op ( )] 0 Operaciones con números enteros.58 Realiza las siguientes sumas. a) 10 ( 4) ( ) c) ( ) 15 ( ) 5 b) ( 5) ( ) 10 d) ( 6) 8 ( 5) ( ) a) 10 ( 4) ( ) 10 ( 6) 4 b) ( 5) ( ) c) ( ) 15 ( ) 5 ( ) ( ) d) ( 6) 8 ( 5) ( ) 8 ( 6) ( 5) ( ) 8 ( 4) 6.59 Copia esta tabla en tu cuaderno y complétala. Resta En forma de suma Resultado 1 ( 8) ( 15) ( 4) ( ) Resta En forma de suma Resultado 1 ( 8) ( 15) ( 4) ( 9) 8 ( 7) Sin efectuar las multiplicaciones, averigua si el resultado de estos productos es un número positivo o negativo. a) ( 1) 18 ( 144) c) ( 75) 5 ( 1) b) ( 4) 18 d) 4 ( 6) 15 a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

21 .61 Calcula el resultado de estas operaciones. a) ( 8) 4 c) ( 11) ( 9) b) 1 ( 5) d) ( 7) ( ) a) ( 8) 4 c) ( 11) ( 9) 99 b) 1 ( 5) 60 d) ( 7) ( ) Realiza las siguientes divisiones. a) ( 1) ( 4) b) ( 8) 7 c) 45 ( ) d) ( 6) 6 a) 1 ( 4) c) 45 ( ) 15 b) ( 8) 7 4 d) ( 6) 6 1 Escribe cada uno de los siguientes números como diferencia de dos números enteros, de dos formas distintas. a) 1 b) 1 c) 14 d) 4 Respuesta abierta. Por ejemplo: a) 1 ( ) ( 1) 4 ( ) c) 14 0 ( 6) 18 ( 4) b) 1 11 ( 1) 10 ( ) d) 4 7 ( ) 0 ( 4).64 Expresa cada uno de estos números como producto de un número entero negativo por otro entero, de dos formas distintas. a) 14 b) 0 c) 48 d) 4 En algún caso hay más de una solución: a) 14 ( ) ( 7) ( ) ( 7) c) 48 ( 4) ( ) ( 4) ( 1) b) 0 ( ) ( 10) ( 4) ( 5) d) 4 ( ) ( 8) ( 6) ( 4) Averigua los números que faltan. a) ( 9) b) ( 10) 60 c) 9 1 d) 4 5 a) ( 9) 7 c) 9 ( ) 1 b) ( 6) ( 10) 60 d) 4 ( 1) 5 Cuál es el número que al sumarle 15 da como resultado 1? El número es el que se obtiene restando a 1 el sumando conocido, 15: Comprobación: 15 ( 7) 1 Propiedad distributiva y sacar factor común Calcula de dos formas distintas. a) ( 8) [6 ( 9)] b) 1 [( 4) ] a) Forma 1: Primero la suma y luego la multiplicación. ( 8) [6 ( 9)] ( 8) ( ) 4 Forma : Propiedad distributiva. ( 8) [6 ( 9)] ( 8) 6 ( 8) ( 9) b) Forma 1: Primero la suma y luego la multiplicación. 1 [( 4) ] 1 ( ) 4 Forma : Propiedad distributiva. 1 [( 4) ] 1 ( 4) Aplica la propiedad distributiva y calcula. a) 1 [( 1) 9] b) ( ) [( 8) 15 ( )] c) 7 [6 ( 4) ( )] a) 1 ( 1 9) 1 ( 1) b) ( ) [( 8) 15 ( )] ( ) ( 8) ( ) 15 ( ) ( ) 4 ( 45) 9 ( 45) 1 c) 7 [6 ( 4) ( )] ( 4) 7 ( ) 4 ( 8) ( 14) 4 ( 4) 0 4

22 .69 Calcula, sacando primero factor común. a) 4 ( 8) 4 4 ( ) c) 7 ( 9) 6 b) ( ) 5 ( ) ( 11) ( 7) d) 5 ( 4) ( 5) a) 4 ( 8) 4 4 ( ) 4 [( 8) ( )] 4 [( 10) ] 4 ( 7) 8 b) ( ) 5 ( ) ( 11) ( 7) ( ) 5 ( ) ( 11) ( ) 7 ( ) [5 ( 11) 7] ( ) (1) c) 7 ( 9) 6 7 ( 9) [7 ( 9) ] [9 ( 9)] 0 0 d) 5 ( 4) ( 5) ( 4) 5 ( 1) [( 4) ( 1) 8] 5 [ 5 8] Expresa estas operaciones como producto de dos números enteros, sacando factor común. a) 8 c) ( 15) 18 b) 6 ( 7) d) ( 10) 5 a) (1 4) 5 b) 6 ( 7) ( 9) [ ( 9)] ( 7) c) ( 15) 18 ( 5) 6 [( 5) 6] 1 d) ( 10) 5 5 ( ) 5 ( 5) 5 [( ) ( 5)] 5 ( 7) Operaciones combinadas.71.7 Realiza las siguientes operaciones. a) 9 ( ) 8 ( 5) 6 d) ( 4) ( 8) ( 6) b) ( 1) 4 ( ) 8 ( 5) e) 15 ( 40) ( 5) c) 65 ( 5) 8 ( 7) a) 9 ( ) 8 ( 5) 6 ( 40) b) ( 1) 4 ( ) 8 ( 5) ( 48) ( 4) ( 5) ( 48) 4 5 ( 48) 9 9 c) 65 ( 5) 8 ( 7) ( 1) ( 4) ( 6) ( 4) 0 d) ( 4) ( 8) ( 6) 4 4 ( 1) 1 e) 15 ( 40) ( 5) 15 ( 4) ( ) 15 4 ( 6) 19 ( 6) 1 Calcula el resultado de estas operaciones. a) [( 14) 18] ( ) 7 d) ( 18) (5 6) b) (18-4) ( 5) ( 6) e) ( 4) ( ) + 7 [(-1) ( 4)] c) ( 5) (7 + 6) 48 ( 8) a) [( 14) 18] ( ) 7 4 ( ) b) (18 4) ( 5) ( 6) 14 ( 5) ( 6) c) ( 5) (7 6) 48 ( 8) ( 5) 1 48 ( 8) ( 65) ( 6) ( 65) 6 59 d) ( 18) (5 6) ( 18) (10 6) ( 18) e) ( 4) ( ) 7 [ 1 ( 4)] ( 4) ( ) 7 [ 1 ( 1)] ( 4) ( ) 7 ( 1) 1 ( 91) 79.7 Los dos miembros de estas igualdades se diferencian en unos paréntesis. Indica cuáles son correctas y cuáles no. a) 1 (1 8) b) [( 1) 9] 5 ( 1) 9 5 c) (8 6) 10 ( 8) 6 10 a) No es correcta. 1 (1 8) y b) Es correcta. [( 1) 9] y c) No es correcta. (8 6) y PROBLEMAS PARA APLICAR.74 Ayer a las 0.00, el termómetro marcaba C. A las la temperatura descendió 5 grados. Qué temperatura marcaba el termómetro a las 00.00? ( 5) El termómetro marcaba C. 5

23 .75 Un avión vuela a 500 metros y un submarino está sumergido a 40 metros. Qué altura en metros los separa? 500 ( 40) m de altura los separan..76 Elisa gana 18 euros cada noche que se queda cuidando a los niños de una familia. Cuántos euros gana si se queda 4 noches? Cada noche gana Se queda 4 noches 4 En total gana: ( 18) ( 4) 7.77 Elisa ha estado ocupada preparando sus exámenes y no ha podido ir a cuidar a los niños. Dice que ha perdido 54 euros. Cuántas noches ha dejado de ir? Pierde 54 euros 54 Cada noche pierde 18 euros 18 En total ha dejado de ir: ( 54) ( 18) noches..78 Roma fue fundada en el año 75 a. C. y el final del Imperio romano en Occidente tuvo lugar en el año 476 d. C. Cuántos años transcurrieron desde la fundación de Roma hasta el final del Imperio? 75 antes de Cristo: después de Cristo: 476 Han transcurrido: 476 ( 75) años..79 Hace dos años una empresa obtuvo unos beneficios por valor de euros. El año pasado tuvo pérdidas de euros. Cuál ha sido el resultado global de la empresa en los dos últimos años? Beneficios: Pérdidas: Balance Beneficios Pérdidas ( 5 000) En los dos últimos años, la empresa ha obtenido un beneficio de euros..80 Un grupo de amigos, con un monitor, hicieron el fin de semana descenso de cañones por el siguiente itinerario. a) Expresa el recorrido con números enteros. b) Calcula cuántos metros descendieron en total. a) R-1: 5 R-: 6 R-: 6 R-4: 7 R-5: b) 5 ( 6) ( 6) ( 7) ( ) 7 metros. El descenso fue de 7 metros..81 La latitud de Madrid es de unos 40 N y la de Buenos Aires, de unos 58 S. Cuál es, en valor absoluto, la diferencia entre las latitudes de las dos ciudades? Expresando las latitudes con los enteros correspondientes resulta: Latitud de Madrid: 40 Latitud de Buenos Aires: 58 El valor absoluto de la diferencia es: 40 ( 58) Daniel ha ido al hospital a visitar a un amigo. Ha subido al ascensor y ha pulsado la planta en la que está su amigo, pero antes de llegar ha hecho el siguiente recorrido: 1.º Sube 5 pisos..º Baja 7 pisos..º Sube 10 pisos. 4.º Sube 4 pisos. 5.º Baja pisos. En qué planta se encuentra su amigo? Sustituyendo las paradas por los enteros correspondientes, resulta: 5, 7, 10, 4,. La suma de todos ellos es la planta en la que se encuentra su amigo: 5 ( 7) 10 4 ( ) 19 ( 10) 9 Su amigo está en la novena planta.

24 La temperatura en una mañana de invierno era de C. Al mediodía, la temperatura en grados era igual al opuesto del doble de la temperatura de la mañana. a) Cuál era la temperatura al mediodía? b) Calcula la diferencia entre la temperatura del mediodía y la de la mañana. a) El doble de la temperatura de la mañana es: ( ) 6. El opuesto del número anterior es 6. Entonces, la temperatura al mediodía era de 6 C. b) La diferencia entre la temperatura del mediodía y la de la mañana es: 6 ( ) 6 9 C. Iván y Paola gastan en el supermercado 57 euros. Compran tres cajas de leche y, además, un lote de productos de la pescadería por valor de 15 euros. Cuánto ha costado cada caja de leche? Las cajas de leche les han costado euros. Como han comprado cajas, cada una de ellas ha costado: 4 14 euros. El grifo de una fuente estaba estropeado y se perdían litros de agua cada hora. Lo arreglaron cuando se habían perdido 7 litros. Cuántas horas estuvo estropeado? Había perdido 7 litros 7 Perdía litros a la hora Estuvo estropeado: ( 7) ( ) 4 horas. El producto de un número entero negativo por otro número es igual a 48. El valor absoluto del primer número es mayor que 6. Cuáles son los números? Si el producto de los números es negativo y uno de ellos es negativo, el otro ha de ser positivo. Por tanto, hay que buscar dos parejas de números (uno positivo y otro negativo) cuyo producto sea 48. El valor absoluto del número negativo ha de ser mayor que 6 y dividir a 48: 8, 1, 16, 4 y 48. Entonces, el número negativo puede ser: 8, 1, 16, 4, 48. Los números que multiplicados por cada uno de los anteriores dan como resultado 48 son: 6, 4,,, 1. Entonces, los números pueden ser: 8 y 6, 1 y 4, 16 y, 4 y, 48 y 1. Escribe tres números enteros distintos, tales que el primero multiplicado por la suma de los otros dos sea igual al opuesto del primero. Para que al multiplicar un número por otro dé el opuesto del primero, el segundo número tiene que ser ( 1), es decir, la suma de los otros dos debe ser ( 1). Pueden ser: 5, y ( ) 5 [ ( )] 5 ( 1) 5 9, 7 y 6 9 [( 7) 6] 9 ( 1) 9 REFUERZO Operaciones con números enteros.88 Expresa estos datos con números enteros. a) El submarino está a 110 metros. b) María va a escalar 800 metros. c) El suelo del pozo de una mina está a 518 metros de profundidad. a) 110 b) 800 c) Representa en la recta todos los números enteros cuyo valor absoluto sea mayor que y menor que Ordena estos números de menor a mayor. a) 7, 5,, 4, 0 b) 8, 6,, 4, 9 a) b)

25 .91 Escribe el número que falta. a) ( 4) op ( ) 0 b) op [op ( )] a) 4 op ( 4) 0 b) op [op ( )].9 Realiza las siguientes operaciones. a) ( 7) 15 d) ( 1) ( ) b) ( 8) ( 10) e) ( ) ( 16) c) ( 4) ( ) 6 f) 55 ( 11) a) ( 7) 15 ( 7) d) ( 1) ( ) 6 b) ( 8) ( 10) ( 8) 10 e) ( ) ( 16) c) ( 4) ( ) f) 55 ( 11) 5 Propiedad distributiva y sacar factor común.9 Aplica la propiedad distributiva y calcula. a) ( 6) [( 8) ] b) 9 [( 6) 8] c) 5 [7 ( )] d) ( ) [4 ( 1)] a) ( 6) [( 8) ] ( 6) ( 8) ( 6) 48 ( 18) 0 b) 9 [( 6) 8] 9 ( 6) c) 5 [7 ( )] ( ) 5 ( 10) 5 d) ( ) [4 ( 1)] ( ) 4 ( ) ( 1) Saca factor común y halla el resultado. a) 6 ( ) 6 8 b) ( ) ( 5) ( ) 7 c) ( 4) 4 ( 1) a) 6 ( ) [( ) 8] b) ( ) ( 5) ( ) 7 ( ) [( 5) 7] ( ) 6 c) ( 4) 4 ( 1) 4 ( ) 4 ( 1) 4 [( ) ( 1)] 4 ( ) 1 Operaciones combinadas.95 Realiza estos cálculos. a) 8 ( 9) ( 16) ( 4) b) 1 ( 5) 7 8 ( ) c) ( 6) ( 9) 10 ( ) 0 a) 8 ( 9) ( 16) ( 4) b) 1 ( 5) 7 8 ( ) 1 ( 5) ( 14) 1 5 ( 14) 48 ( 14) 4 c) ( 6) ( 9) 10 ( ) 0 4 ( 0) ( 0) 4 ( 50) Efectúa estas operaciones. a) [5 (9 ) ( 7)] 6 b) 9 (5 ) 18 c) ( 4) 6] ( ) ( 5) ( ) a) [5 (9 ) ( 7)] 6 [5 11 ( 4)] 6 [( 6) ( 4)] 6 ( 10) b) 9 (5 ) c) [( 4) 6] ( ) ( 5) ( ) ( )

26 AMPLIACIÓN.97 Escribe cada uno de estos números como diferencia de dos números enteros. a) 77 b) 11 c) 17 d) 0 Respuesta abierta. Por ejemplo: a) ( 79) 77 b) 115 ( ) 11 c) 19 ( ) 17 d) 5 ( 5) 0.98 Expresa cada uno de los siguientes números como producto de un entero negativo por una diferencia de enteros. a) 16 b) 48 c) 0 Respuesta abierta. Por ejemplo: a) 16 4 [ ( 6)] b) 48 6 [ 9 ( 1)] c) 0 [ ( 1)].99 Transforma en productos estas sumas. a) 7 ( 14) 8 c) 10 ( 8) 1 b) ( 16) ( ) 4 d) ( 40) 5 ( 5) a) 7 ( 14) ( ) [1 ( ) 4] 7 [5 ( )] 7 b) ( 16) ( ) 4 4 ( 4) 4 ( 8) [( 4) ( 8) 1] 4 ( 1 1) 4 ( 11) c) 10 ( 8) 1 5 ( 4) 6 [5 ( 4) 6] (1 6) 7 d) ( 40) 5 ( 5) 5 ( 8) ( 7) 5 [ 8 1 ( 7)] 5 ( 15 1) 5 ( 14).100 Escribe cada número como suma de un entero y un producto de enteros (fíjate en el primer apartado). a) 18 ( 5) b) c) 4 d) 54 Respuesta abierta. Por ejemplo: b) 16 ( 4) 4 c) 4 ( 4) ( 10) d) ( ) ( 7).101 Efectúa estos cálculos. a) ( ) [5 ( )] 7 ( 4) d) [7 (4 9) ] 10 b) (50 9 6) [( 10 8) ( )] e) [16 ( 5)] (8 4) c) ( 7) ( 5) ( 1) ( 6 5) a) ( ) [5 ( )] 7 ( 4) ( ) (5 ) 7 ( 4) 8 7 ( 4) 4 ( 8) b) (50 9 6) [( 10 8) ( )] (50 54) [( ) ( )] c) ( 7) ( 5) ( 1) ( 6 5) 7 ( ) ( 11) 14 ( ) 1 d) [7 (4 9) ] 10 [7 ( 5) ] 10 [7 ( 10)] 10 (7 10) e) [16 ( 5)] (8 4) [16 ( 15)] (8 8) Expresa cada número como suma de un entero negativo y un cociente de enteros. a) 14 b) 16 c) 4 d) 54 Respuesta abierta. Por ejemplo: a) 14 1 ( 45) ( ) c) 4 ( 90) ( ) b) 16 1 ( 45) d) 54 1 ( 110) ( ).10 Pon paréntesis en el primer miembro de la igualdad para que esta sea cierta. a) ( 5) 7 45 c) b) ( 1) 9 d) ( ) 1 ( 4) 1 a) ( 5) (7 ) 45 c) 4 (5 ) 6 b) ( 1) (9 ) d) [( ) 1] [( 4) ] 1 9

27 PARA INTERPRETAR Y RESOLVER.104 Las dos excursiones La figura muestra el momento en que Ana y Eva parten de excursión. La tabla recoge el punto kilométrico en que se encuentra cada una a lo largo de la mañana. 11:00 11:0 1:00 1:0 1:00 Ana Eva a) Quién ha recorrido más distancia? b) Quién ha circulado más deprisa desde las 1:0 hasta el final del trayecto? c) Elabora una tabla que muestre la distancia que separa a Ana de Eva en cada momento. a) Ana ha recorrido km 5 km, mientras que Eva ha recorrido 1 75 km 47 km, por lo tanto, Eva ha recorrido más distancia. b) En la última media hora Ana ha recorrido 5 km y Eva 15 km, por lo que Eva ha ido más deprisa. c) 11:00 11:0 1:00 1:0 1:00 Ana Eva Distancia Frío y calor El gráfico muestra las temperaturas máximas y mínimas alcanzadas el 1 de enero en varias capitales mundiales. a) Indica las temperaturas más alta y más baja y en qué lugares se alcanzan. Halla la diferencia entre ambas. b) En qué ciudad hay más diferencia entre la temperatura máxima y la mínima? Calcula dicha diferencia. c) Ordena las ciudades en orden creciente de temperaturas mínimas. Temperatura (ºC) París Moscú Buenos Aires La Habana Nueva York Máxima Mínima El Cairo a) La temperatura máxima es C en La Habana y Buenos Aires, y la temperatura mínima es 15 C en Moscú. La diferencia es 47 C. b) En Buenos Aires hay 1 de diferencia al igual que en Moscú. c) Moscú, Nueva York, París, El Cairo, Buenos Aires, La Habana AUTOEVALUACIÓN.A1 Expresa las cantidades con números enteros. a) La altura del Everest es de metros. c) El coche está en el tercer sótano del aparcamiento. b) María debe 5 euros. d) Euclides nació en el año 00 a. C. a) b) 5 c) d) 00.A Sustituye las letras por los números que representan, e indica el valor absoluto de cada uno. A E 1 C D B A B C 0 0 D E 0

28 .A.A4.A5.A6.A7.A8.A9.A10 Calcula el resultado de estas sumas y restas. a) 18 5 b) c) 1 ( 10) 6 d) 5 ( 9) 9 a) ( ) ( 5) 18 ( 7) 9 b) ( 5) 10 ( 0) 0 c) 1 ( 10) d) 5 ( 9) El anterior de un número es 7. a) Cuál es su opuesto? b) Y su valor absoluto? El anterior de 7 es 8. a) El opuesto de 8 es 8. b) El valor absoluto de 8 es: 8 8. Halla el resultado de estas multiplicaciones. a) ( ) ( 5) 7 b) ( 8) ( ) ( 10) a) ( ) ( 5) b) ( 8) ( ) ( 10) 4 ( 10) 40 Obtén el resultado de estas divisiones. a) 10 ( 6) b) ( 05) ( 5) a) 10 ( 6) 17 b) ( 05) ( 5) 61 Aplica la propiedad distributiva y calcula estos productos. a) 7 ( 5 10) b) ( 4) [( ) 8] a) 7 ( 5 10) 7 ( 5) b) ( 4) [( ) 8] ( 4) ( ) ( 4) 8 1 ( ) 0 Saca factor común y opera. a) 9 9 b) ( 4) 6 6 c) 0 ( 15) d) ( 4) 14 a) (1 ) b) ( 4) 6 6 [( 4) 1] 6 ( ) 6 18 c) 0 ( 15) ( ) 5 [4 ( )] d) ( 4) 14 ( ) ( 7) [ ( 7)] ( 9) 18 Efectúa estas operaciones. a) 5 ( 8) ( 4) b) 18 ( 6) ( 4) 7 a) 5 ( 8) ( 4) b) 18 ( 6) ( 4) 7 ( 6) 6 Halla el resultado de estas operaciones. a) 5 (1 9) 4 ( ) b) ( 7) 44 ( 11) [ 5 ( 6)] a) 5 (1 9) 4 ( ) 5 4 ( ) 15 ( 8) 7 b) ( 7) 44 ( 11) [ 5 ( 6)] 7 44 ( 11) [ ( 0)] 7 44 ( 11) 7 ( 4) 11 1 MURAL DE MATEMÁTICAS Jugando con las matemáticas CUADRADO MÁGICO Coloca en el tablero los siguientes números enteros 6,,, 0, 1,, 4, 5, 8 de forma que al sumar los números de cada fila, cada columna y cada diagonal del cuadrado, obtengas el mismo resultado. Una pista: el resultado de la suma es

29 POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA EJERCICIOS PROPUESTOS.1 Indica la base y el exponente de las siguientes potencias y calcula su valor. a) 4 c) 4 e) 5 g) ( 10) 4 b) 4 d) 5 f) ( ) 5 h) (6 ) a) Base, exponente 4; 4 16 e) Base, exponente 5; 5 4 b) Base, exponente 4; 4 81 f) Base, exponente 5; ( ) 5 c) Base 4, exponente ; 4 64 g) Base 10, exponente 4; ( 10) d) Base 5, exponente ; 5 15 h) Base 6, exponente ; (6 ) 6. Copia en tu cuaderno y completa esta tabla. Potencia Base Exponente Valor ( 6) Potencia Base Exponente Valor ( 6) 6 16 ( ) ( 4) 4 16 ( 10) Calcula (4 7) como producto de potencias. (4 7) Efectúa esta división (1 ( 4)) 4 mediante un cociente de potencias. [1 ( 4)] ( 4) Realiza estas operaciones de dos maneras distintas. a) ( 8 5) 4 b) ( ( )) c) (6 ) 4 d) (( 15) ) a) ( 8 5) ( 8 5) b) ( ( )) ( ( )) ( ) 8 7 ( 7) 58 c) (6 ) (6 ) d) (( 15) ) ( 5) 15 (( 15) ) ( 15) Copia en tu cuaderno estas igualdades y completa los huecos con los números que correspondan en cada caso. a) ( ) c) ( ) ( ) b) (( ) ) ( ) 5 ( 8) d) (( 6) ) 4 ( 6) a) ( ) c) ( 6 ) ( ) 8 b) (( ) 5) ( ) 5 ( 8) d) (( 6) ) 4 ( 6) Escribe los siguientes productos en forma de potencia y determina su valor. a) b) 6 a) 6 79 b)

30 Copia estas igualdades en tu cuaderno y complétalas con los números que faltan. a) 7 c) ( ) ( ) ( ) b) ( 5) ( 5) ( 5) 5 d) a) c) ( ) ( ) ( ) 5 b) ( 5) ( 5) ( 5) 5 ( 5) 5 15 d) 6 79 Calcula el resultado de estas multiplicaciones. a) ( ) 4 ( ) b) ( ) 4 ( ) a) ( ) 4 ( ) ( ) 5 b) ( ) 4 ( ) ( ) 7 18 Expresa estas multiplicaciones en forma de producto de potencias de la misma base. a) 9 ( ) ( ) b) ( 5) 15 a) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 b) ( 5) 15 ( 5) Escribe el producto ( 4) 4 4 como potencia de 4 y de base. ( 4) ( 4) Escribe en forma de potencia los siguientes cocientes y determina su valor. a) 5 c) ( 5) 4 ( 5) 4 b) 6 d) ( 8) 7 ( 8) a) 5 7 c) ( 5) 4 ( 5) 4 ( 5) 0 1 b) d) ( 8) 7 ( 8) ( 8) En cada caso del ejercicio anterior, calcula el dividendo y el divisor, y halla luego el cociente. Comprueba que coinciden los resultados. a) c) ( 5) 4 ( 5) b) d) ( 8) 7 ( 8) ( ) Calcula el resultado de estas divisiones. a) b) ( ) 5 ( ) c) ( 15) 4 15 a) b) ( ) 5 ( ) ( ) 9 c) ( 15) Copia en tu cuaderno y completa estas igualdades con los números que correspondan. a) 5 c) ( ) 1 ( ) ( ) b) ( 5) ( 5) ( 5) d) a) 5 4 c) ( ) 1 ( ) 9 ( ) 7 b) ( 5) ( 5) ( 5) 1 5 d) Expresa cada división en forma de cociente de potencias de la misma base. a) b) ( 81) ( ) c) ( 4) ( 49) a) b) ( 81) ( ) ( ) 4 ( ) c) ( 4) ( 49) ( 7 ) [ (7 )] [ (7 )] [ (7 )] 7 7 Calcula las siguientes potencias de potencias. a) ( 4 ) c) ((( 1) ) 5 ) 7 b) (( ) ) d) ((( 10) ) ) a) ( 4 ) c) ((( 1) ) 5 ) 7 ( 1) 70 1 b) (( ) ) ( ) 6 79 d) ((( 10) ) ) ( 10)

31 .18 Copia estas expresiones en tu cuaderno y completa los espacios con los números que faltan. a) 1 ( 4 ) c) ( ) 8 (( ) ) 4 b) 5 4 (5 ) d) 1 ( 7 ) a) 1 ( 4 ) c) ( ) 8 (( ) ) 4 b) 5 4 (5 6 ) 4 (5 ) 8 (5 ) 1 (5 1 ) 4 d) 1 ( 7 ) 0.19 Copia en tu cuaderno y completa esta tabla. Potencia de Base Exponente Potencia Signo potencia (( 7) 4 ) 7 8 ( 7) 8 (( 1) 15 ) ( 5) 6 Potencia de Base Exponente Potencia Signo potencia (( 7) 4 ) 7 8 ( 7) 8 (( 1) 15 ) ( 1) 75 ((( 10) ) ) ( 10) 0 ((( 5) ) ) ( 5) Expresa las siguientes potencias como potencias de potencias. a) 4 c) 16 b) 9 d) ( 5) 4 a) 4 ( ) c) 16 (4 ) b) 9 ( ) d) ( 5) 4 [ (5) ] 4 Haz una tabla de cuadrados perfectos comprendidos entre 100 y 00. Números Cuadrados perfectos 100 Números Cuadrados perfectos Averigua si estos números son cuadrados perfectos y, en el caso de que lo sean, halla su raíz cuadrada exacta. a) 8 c) 56 e) 5 g) 0 b) 11 d) 400 f) 444 h) a) 5 5 y Luego 8 no es cuadrado perfecto. b) Luego 11 es cuadrado perfecto. c) Luego 56 es cuadrado perfecto. d) Luego 400 es cuadrado perfecto. e) Luego 5 es cuadrado perfecto. f) y Luego 444 no es cuadrado perfecto. g) y Luego 0 no es cuadrado perfecto. h) Luego es cuadrado perfecto.. Copia estos cálculos en tu cuaderno y complétalos con los números que correspondan. a) 11 < 10 < 1 b) < 75 < La raíz entera de 10 es. La raíz entera de 75 es. Resto: Resto: 75 a) b) La raíz entera de 10 es 11. La raíz entera de 75 es 19. Resto: Resto:

32 .4 Escribe cada número entre dos cuadrados consecutivos, e indica el valor de la raíz cuadrada entera y el resto de cada número. a) 18 b) 1 c) 75 d) 140 e) 150 f) 1 00 a) Resto: b) Resto: c) Resto: d) Resto: e) Resto: f) Resto: La raíz cuadrada entera de un número es igual a. Cuál es el mayor valor que puede tener el resto? El número está comprendido entre 1 04 y Luego el mayor valor que puede tener el resto es Averigua cuántas cifras tienen las raíces cuadradas de los siguientes números. a) 95 b) 190 c) 1 00 d) 8 69 a) Una cifra b) Dos cifras c) Dos cifras d) Tres cifras Calcula por aproximaciones la raíz cuadrada entera de estos números. a) 18 b) 110 c) 500 d) 4 4 a) La raíz cuadrada entera de 18 tiene una cifra La raíz cuadrada entera de 18 es 4. b) La raíz cuadrada entera de 110 tiene dos cifras La raíz cuadrada entera de 110 es 10. c) La raíz cuadrada de 500 tiene dos cifras La raíz cuadrada de 500 es 50. (Esta raíz es exacta.) d) La raíz cuadrada de 4 4 tiene dos cifras La raíz cuadrada entera de 4 4 es 65. Estima entre qué centenas se encuentra la raíz cuadrada de los siguientes números. a) b) c) a) La raíz cuadrada de se encuentra entre 1 centena y centenas. b) La raíz cuadrada de se encuentra entre centenas y centenas. c) La raíz cuadrada de se encuentra entre centenas y 4 centenas. 5

33 .9 Calcula la raíz cuadrada entera de estos números aplicando la regla explicada en el texto. a) 50 b) 6 1 c) a) b) c) RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.0.1 Ana cuenta una noticia a 5 personas. A la hora siguiente, cada una de ellas se la cuenta a otras 5, y así sucesivamente. Cuánto tardan en conocerla personas? Al cabo de 7 horas todavía no conocen la noticia personas. Pero al cabo de 8 horas la conocen: Un cierto tipo de bacterias se reproduce dividiéndose en dos cada 5 minutos. Calcula cuántas bacterias se han generado en dos horas y media. horas y media 10 minutos 0 minutos 150 minutos. Períodos de tiempo de 5 minutos: Número de bacterias generadas: bacterias CÁLCULO MENTAL. Copia estos números en tu cuaderno y completa con el signo igual a ( ) o distinto de ( ). a) 4 8 f) b) 9 g) 5 10 c) 8 h) 9 d) 4 64 i) 4 8 e) 9 18 j) a) 4 8 f) b) 9 g) 5 10 c) 8 h) 9 d) 4 64 i) 4 8 e) 9 18 j) Halla el valor de estas potencias. a) ( 4) c) ( ) 5 e) ( 1) 0 b) ( ) d) ( 10) f) ( 11) a) ( 4) 16 c) ( ) 5 e) ( 1) 0 1 b) ( ) 9 d) ( 10) 100 f) ( 11) 11.4 Calcula las siguientes operaciones. a) 1 c) e) b) 10 5 d) f) 5 a) 1 5 c) 4 e) b) d) f) 5 4 6

34 .5 Expresa estas operaciones como una sola potencia. a) 4 e) b) 6 f) c) g) ( 5) 5 ( 5) d) ( 4) ( 4) ( 4) 4 h) a) 4 6 e) b) 6 9 f) c) g) ( 5) 5 ( 5) ( 5) d) ( 4) ( 4) ( 4) 4 ( 4) 9 h) ( ) Calcula estas raíces cuadradas exactas. a) 5 c) 11 e) 400 g) 500 b) 100 d) 16 f) 49 h) a) 5 5 c) e) g) b) d) 16 4 f) 49 7 h) Averigua la raíz cuadrada entera de los siguientes números. a) 48 c) e) 115 g) 405 b) 7 d) 99 f) 170 h) a) 48 6 c) 4 b) 7 8 d) 99 9 e) f) g) h) EJERCICIOS PARA ENTRENARSE Potencias de exponente natural.8 Expresa estas multiplicaciones en forma de potencia. a) d) b) 8 8 e) c) f) a) d) 4 b) e) 5 c) f) Escribe las siguientes potencias en forma de producto y halla su valor. a) 4 d) ( 7) b) ( ) 5 e) 10 6 c) 8 1 f) ( 5) a) 4 16 d) ( 7) ( 7) ( 7) ( 7) 4 b) ( ) 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e) c) f) ( 5) ( 5) ( 5) Calcula el resultado de estas potencias. a) 4 d) 10 1 b) 5 e) 9 6 c) 5 f) 7 a) 4 81 d) b) 5 5 e) c) 5 f) 7 4 7

35 .41 Copia en tu cuaderno la tabla y complétala. Potencia Base Exponente Valor 9 ( 4) ( ) 7 0 ( 10) Potencia Base Exponente Valor 9 ( 4) ( ) ( 10) Calcula la base de estas potencias. a) 6 c) 5 e) 7 b) 8 d) 100 f) 5 a) 6 6 c) 5 e) 7 b) 8 d) f) ( ) 5.4 Determina el exponente. a) 9 c) e) 16 b) ( 5) 15 d) 4 64 f) ( 6) 16 a) 9 c) e) 4 16 b) ( 5) 15 d) 4 64 f) ( 6) 16 Operaciones con potencias.44 Escribe estas potencias como producto de potencias. a) ( 4) d) ( 5) 4 b) (7 6) 6 e) (( 5) ( ) 6) c) ( 5 8) f) (( ) ( 5) ( 8)) 6 a) ( 4) 4 d) ( 5) b) (7 6) e) [( 5) ( ) 6] ( 5) ( ) 6 c) ( 5 8) 5 8 f) [( ) ( 5) ( 8)] 6 ( ) 6 ( 5) 6 ( 8) 6.45 Expresa las siguientes potencias como cociente de potencias y halla su valor. a) ( 4) c) ( 1 ) 5 b) (8 ) 4 d) ( 48 6) a) ( 4) c) ( 1 ) 5 ( 1) b) (8 ) d) ( 48 6) ( 48) Escribe estos productos con una sola potencia y halla el resultado. a) b) ( ) ( ) ( ) 0 c) ( 7) ( 7) a) 6 79 b) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 5 c) ( 7) ( 7) ( 7)

36 Calcula el valor de estas potencias. a) (() ) d) (() ) 5 b) (( 1) ) e) ((( ) ) ) c) (( 1) ) 4 f) ((( 10) ) ) a) (() ) 4 81 d) (() ) b) (( 1) ) ( 1) 9 1 e) ((( ) ) ) ( ) 8 56 c) (( 1) ) 4 ( 1) 1 1 f) ((( 10) ) ) ( 10) Escribe estos productos como una sola potencia y obtén el resultado. a) 8 b) 7 c) 15 5 a) b) c) Cuadrados perfectos.49 Indica cuáles de los siguientes números son cuadrados perfectos. Razona la respuesta. a) 8 c) 10 e) b) 81 d) 600 f) 4 a) 8 no es cuadrado perfecto porque no existe un número entero cuyo cuadrado sea 8. b) 81 es cuadrado perfecto porque existe un número entero, el 9, cuyo cuadrado es 81. c) 10 no es cuadrado perfecto porque no existe un número entero cuyo cuadrado sea 10 d) 600 es cuadrado perfecto porque existe un número entero, el 60, cuyo cuadrado es 600. e) no es cuadrado perfecto porque no existe un número entero cuyo cuadrado sea f) 4 es un cuadrado perfecto porque existe un número entero, el 4, cuyo cuadrado es Sin hacer el cálculo, averigua la cifra de las unidades de estos cuadrados. Explícalo. a) 199 c) 17 6 b) 05 d) a) La cifra de las unidades de 199 es 1 porque b) La cifra de las unidades de 05 es 5 porque c) La cifra de las unidades de 17 6 es 9 porque 9. d) La cifra de las unidades de 690 es 0 porque La cifra de las unidades de un cuadrado perfecto es 1. Cuáles pueden ser las cifras de las unidades del número? La cifra de las unidades puede ser 1 y 9, porque y Te dicen que la cifra de las unidades de un cuadrado perfecto es. Estás seguro de que te dicen la verdad? No dicen la verdad porque no hay ningún número entero de una cifra que al elevarlo al cuadrado sea igual a..5 Eleva al cuadrado 0, 1,,,, 9. Analizando los resultados obtenidos, se puede afirmar cuál puede ser la cifra de las unidades de cualquier cuadrado perfecto? La cifra de las unidades de cualquier cuadrado perfecto puede ser: 0, 1, 4, 5, 6 y 9. Raíz cuadrada exacta.54 Copia en tu cuaderno la tabla y complétala. Cuadrados perfectos 16 5 Raíz cuadrada exacta Cuadrados perfectos Raíz cuadrada exacta

37 .55 Clara dice que está segura de que el número 61 tiene raíz cuadrada exacta. Cómo comprobamos que Clara está en lo cierto? La cifra de las unidades de 61 es 1, lo cual permite afirmar que puede ser un cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 61 tiene dos cifras. Como 0 400, la raíz cuadrada de 61 es menor que 0. Calculamos Comprobamos que 19 es la raíz cuadrada de 61. Clara está en lo cierto..56 Las fichas de la figura forman un cuadrado perfecto. a) Cuál es la raíz? b) Cuántas fichas hay que añadir al cuadrado para que la raíz cuadrada exacta sea una unidad mayor que la anterior? a) La raíz es 9. b) La raíz cuadrada exacta es una unidad mayor: 1 4; Las fichas que hay que añadir son: Raíz cuadrada entera Para calcular la raíz cuadrada entera de 4 se hacen estas aproximaciones < < < > > 4 a) Cuál es la raíz cuadrada entera de 4? b) Y cuál es el resto? a) La raíz cuadrada entera de 4 es 6 porque b) El resto es: Escribe el número 1 8 entre los cuadrados de dos números consecutivos. a) Cuál es la raíz cuadrada entera? b) Calcula el resto. El número 1 8 está comprendido entre y Hacemos estas aproximaciones: 1 961; 1 04; 1 089; ; 5 1 5; El número 1 8 está comprendido entre 5 y 6. a) La raíz cuadrada entera de 1 8 es 5. b) El resto es: Calcula estas raíces cuadradas. a) 4 b) 775 c) 154 d) 116 a) b) c) d) PROBLEMAS PARA APLICAR.60 Un teatro tiene 5 filas de butacas, y en cada fila hay 5 butacas. Cuántas butacas tiene el teatro? El teatro tiene 65 butacas..61 Un paquete tiene 1 cajas. Cada caja tiene 1 estuches. Cada estuche, 1 rotuladores. Escribe en forma de potencia el número de rotuladores y halla el resultado En cada paquete hay 1 78 rotuladores. 40

38 .6.6 Tenemos 5 cajas. Cada caja contiene 5 montones de 5 billetes de 5 euros. Escribe en forma de potencia el número de billetes y el número de euros que hay en las cinco cajas. Número de billetes: 5 15 Número de euros: En un contenedor cúbico de 1,5 metros de arista se introducen cubos de un decímetro de arista, hasta llenarlo completamente. Cuántos decímetros cúbicos hay en el contenedor? La arista del contenedor mide 1,5 m 15 dm. La arista de cada cubo mide 1 dm. Luego caben 15 cubos a lo largo, 15 a lo ancho y 15 a lo alto. En total: dm..64 Un campo cuadrangular tiene metros cuadrados de superficie. a) Cuánto mide su lado? b) Cuál es su perímetro? a) El lado mide 100 metros. b) El perímetro mide 400 metros. Se desea vallar un campo cuadrangular de 56 metros cuadrados de superficie. Cuántos metros de valla se necesitan? El lado del campo cuadrangular mide 16 metros. Luego se necesitan metros de valla. Los caramelos de un montón se han dispuesto en 7 filas y en 7 columnas, y sobran 15 caramelos. Cuántos había en el montón? El número de caramelos dispuestos en 7 filas y en 7 columnas es: El total de caramelos es: Con 50 monedas de 5 céntimos, se puede formar un cuadrado, colocándolas en filas y en columnas? Utilizando el total de las 50 monedas no se puede formar un cuadrado. Se podría formar un cuadrado de 7 monedas de lado, pero sobraría una moneda. Cuál es la raíz cuadrada entera del número de puntos representado en la figura? Cuál es el resto? Qué le falta para ser un cuadrado perfecto? Tenemos 76 puntos Luego la raíz cuadrada entera es 8. El resto es puntos. Habría que añadir 5 puntos ( )..69 Cuál es el número mínimo de cuadraditos que habrá que añadir a la figura para convertirla en un cuadrado? Tenemos 9 cuadraditos: , luego el cuadrado siguiente debe tener por lado 7 cuadraditos. La diferencia de cuadraditos es: Luego hacen falta 10 cuadraditos. 41

39 .70 Observa la figura de puntos, e indica cuál es la raíz cuadrada entera del número 8 y el resto El lado del mayor cuadrado completo que se puede formar tiene 5 puntos. Luego la raíz cuadrada entera de 8 es 5. El resto es: 8 5 (los tres puntos que no forman parte del cuadrado). En una panadería se han hecho 196 magdalenas. Se decide colocarlas en una bandeja formando un cuadrado lo más grande posible. a) Cuántas magdalenas tendría por lado? b) Cuántas se necesitarían para formar otro cuadrado con una magdalena más de lado? a) El número de magdalenas que debe tener el lado es: b) Para formar un cuadrado de una magdalena más de lado se necesitarían: 15 5 magdalenas. Luego habría que añadir: magdalenas. Un vivero planta semillas formando un cuadrado. Cuántas semillas tendrán que plantar por lado? Sobra alguna? El número de semillas que hay que plantar por lado es la raíz cuadrada de 1 444: No sobra ninguna semilla porque la raíz de es exacta. Un cuadrado de puntos tiene 1 puntos de lado. Cuántos puntos habrá que añadir a ese cuadrado, y en qué forma, para conseguir otro cuadrado de 14 puntos de lado? Hay que añadir 1 puntos en un lado y otros 1 puntos en el adyacente; además hay que añadir 1 punto en la esquina. En total, puntos. La raíz cuadrada exacta de un número es 17. Cuántas unidades habrá que sumar a dicho número para que la raíz cuadrada del resultado sea exacta y de una unidad mayor? Al número hay que sumarle 55 unidades..75 La cumbre más elevada de España es el Teide. Averigua su altitud con estos datos. Su raíz cuadrada entera es igual a 60. Si se le sumara, sería un cuadrado perfecto. La altura está comprendida entre y Como la segunda condición dice que si se suma sería cuadrado perfecto, el número es La altura del Teide es de 718 metros. Potencias de exponente natural REFUERZO.76 Escribe cada producto en forma de potencia y señala la base y el exponente. a) b) ( ) ( ) ( ) c) a) 4. Base, ; exponente, 4 b) ( ) ( ) ( ) ( ). Base, ; exponente, c) Base, 5; exponente, 5 4

40 .77 Copia en tu cuaderno esta tabla y complétala. Potencia Base Exponente Valor 5 ( ) Potencia Base Exponente Valor 5 ( ) Escribe el término que falta en cada caso. a) 49 c) 4 65 b) 10 1 d) 81 a) 7 49 c) b) d) 4 81 Operaciones con potencias Calcula multiplicando potencias. a) ( 5) b) ( 1) c) (( ) 4) d) (( 1) ( ) 1) 6 a) ( 5) b) ( 1) c) (( ) 4) ( ) d) (( 1) ( ) 1) 6 ( 1) 6 ( ) Opera dividiendo potencias. a) (48 4) b) (15 ( )) c) (( 4) ) 5 d) (( 6) ( )) 6 a) (48 4) c) (( 4) ) 5 ( 4) 5 5 ( 1 04) b) (15 ( )) 15 ( ) 75 ( 7) 15 d) (( 6) ( )) 6 ( 6) 6 ( ) Expresa estas operaciones de potencias como una sola potencia. a) 4 5 c) e) 7 6 b) 4 6 d) f) a) c) e) b) d) f) Escribe la base y el exponente de las siguientes expresiones. a) (5 ) b) ((( ) ) ) 5 c) ((( 1) ) 7 ) d) (( 10) 4 ) 5 a) (5 ) 56 b) ((( ) ) ) 5 ( ) 0 c) ((( 1) ) 7 ) ( 1) 8 d) (( 10) 4 ) 5 ( 10) 0.8 Expresa como una sola potencia. a) 5 4 c) 16 4 b) ( 7) ( ) d) ( 100) 5 a) ( ) b) ( 7) ( ) [( ) ] ( ) ( ) 9 ( ) ( ) 11 c) 16 4 (4 ) d) ( 100) 5 ( 4 5) 5 ( 4) 5 5 ( 4) 4 Raíces exactas y enteras.84 Escribe cuatro cuadrados perfectos menores que 100 y cinco cuadrados perfectos mayores que 00. Ejemplos de cuadrados perfectos menores que 100: 1 1; 9; 7 49; Ejemplos de cuadrados perfectos mayores que 00: 15 5; 17 89; 18 4; 0 400;

41 .85 La raíz cuadrada entera de un número es igual a 11, y su resto es igual a 14. Cuál es el número? El número está comprendido entre y Al ser el resto 14, el número es Calcula la raíz cuadrada de estos números. a) 75 c) 05 e) 1 55 b) 746 d) f) 066 a) c) e) b) d) f) AMPLIACIÓN.87 Copia estas igualdades en tu cuaderno y completa con los números que faltan Escribe la propiedad que se puede deducir y compruébala para dos casos más Propiedad: La suma de los números impares consecutivos, empezando por el 1, es igual al cuadrado del número de impares que se sumen. Comprobación: El doble de un número elevado al cuadrado es igual a 4. Cuál es dicho número? Como el doble del número elevado al cuadrado es igual a 4, el doble del número es: Si el doble del número es 18, el número es Se tienen dos cuadrados, tales que uno de ellos tiene por lado el doble que el otro. Cuántas veces mayor es la superficie de uno respecto a la del otro? Cuadrado lado menor: L Cuadrado lado mayor: L Superficie: L Superficie: ( L) 4 L Por tanto, la superficie del cuadrado con doble longitud de lado es 4 veces mayor. 44

42 .90 El largo de un terreno rectangular es el doble que el ancho. Su superficie es de 51 metros cuadrados. Cuál es el perímetro del terreno? La mitad del terreno es un cuadrado de metros cuadrados. El lado del cuadrado es: metros. El perímetro del terreno es: metros..91 La raíz cuadrada entera de un número es 15, y su resto es el menor posible. Cuál es el número? El resto menor posible es 1: El número es 6. Un cuadrado está formado por 81 puntos. Cuántos puntos habrá que añadir a dicho cuadrado para obtener otro cuadrado cuyo lado tenga unidades más que el primero? Si el cuadrado tiene 81 puntos, el lado del cuadrado está constituido por 81 9 puntos. El cuadrado que buscamos debe tener unidades más por lado que el primero, es decir: 9 11 puntos. Dicho cuadrado estará constituido por puntos. Luego el número de puntos que habrá que añadir es: PARA INTERPRETAR Y RESOLVER.9 La clave Marta ha ideado una clave para cifrar mensajes en la que cada letra es una fila de cuatro fichas rojas o verdes en un orden determinado. a) Cuántas letras distintas se pueden formar? Habrá suficientes filas para todas las letras del alfabeto? b) Marta ha tenido suficientes letras con las del tablero para escribir el nombre de su animal favorito. Averígualo. A E I O U V C N X L M B P R S T a) 4 16 No habría combinaciones suficientes para contar con todas las letras del alfabeto. b) Tiene que escribir el nombre de su animal favorito en cuatro lenguas: BOLBORETA (en gallego) TXIMELETA (en euskera) PAPALLONA (en valenciano) MARIPOSA (en castellano) 45

43 AUTOEVALUACIÓN.A1 Calcula las siguientes potencias. a) 7 b) ( ) 4 a) 7 4 b) ( ) 4 16.A Escribe el término que falta en cada igualdad. a) 4 16 b) ( 6) 6 a) 4 16 b) ( 6) 6.A Expresa estas potencias como producto o cociente de potencias, según corresponda. a) (5 ) b) (( ) 5 ( 1)) 7 c) (8 ) 5 d) (( 1) ) a) (5 ) 5 c) (8 ) b) (( ) 5 ( 1)) 7 ( ) ( 1) 7 d) (( 1) ) ( 1).A4.A5 Obtén como resultado una potencia y el valor correspondiente. a) c) 9 6 b) ( 5) ( 5) ( 5) 4 d) ( ) a) c) b) ( 5) ( 5) ( 5) 4 ( 5) d) ( ) [(6 ) ] ( ) (6 ) Halla la raíz cuadrada y el resto de los siguientes números. a) 9 b) c) 400 d) 80 a) 9 La raíz es, y el resto, 0. b) La raíz cuadrada entera es 4, y el resto: c) La raíz cuadrada es 0, y el resto, 0. d) La raíz cuadrada entera es 8, y el resto: A6 La raíz cuadrada de 14 está comprendida entre 15 y 0. Calcula, por aproximaciones, la raíz cuadrada del número 14 y el resto La raíz cuadrada entera es 17, y el resto: A7 Un campo cuadrangular tiene 500 metros cuadrados de superficie. Cuántos metros de valla son necesarios para vallarlo? El lado del campo rectangular es la raíz cuadrada de 500 metros cuadrados: Si el lado del campo mide 50 metros, serán necesarios metros de valla para cercarlo..a8 Se tiene un cuadrado de 11 centímetros cuadrados. Cuántos centímetros cuadrados más serán necesarios para obtener un cuadrado de centímetros más de lado? 11 cm El lado del cuadrado de 11 cm es: cm. El lado del cuadrado con dos centímetros más medirá 1 cm. El número de centímetros cuadrados de este cuadrado es Son necesarios cm más para obtener el cuadrado de centímetros más de lado. 46

44 .A9 El mayor valor que puede tomar el resto de una raíz es 54. a) Cuál es la raíz? b) Cuál es el número del que se obtiene esa raíz y ese resto? a) Consideramos un cuadrado de puntos. En un lado de este cuadrado colocamos 7 puntos, y en el adyacente, otros 7 puntos (solo faltaría un punto, el correspondiente a la esquina, para completar un cuadrado de 8 puntos de lado). Luego la raíz cuadrada entera es 7. b) El número es: A10 Aplica a estos números la regla explicada para obtener la raíz cuadrada y el resto. a) 081 b) 1 04 a) b) MURAL DE MATEMÁTICAS Jugando con las matemáticas CONTAR UN BILLÓN Como ya sabes, el número 100 se puede poner como una potencia de 10 ( ). Lo mismo le ocurre al ( ), al , al Un billón es la unidad seguida de doce ceros: Vamos a intentar un ejercicio: calcular el tiempo que tardaríamos en contar desde 1 a un billón. Así, a ojo, parece que tardaremos un rato largo. Pero muy largo? Si contamos cien números por minuto, en una hora contamos hasta el 6 000; en un día, hasta el ; en un año, hasta el Cuánto tardaríamos en llegar al billón? Si contamos 100 números por minuto, un billón lo contaremos en: minutos Si pasamos estos minutos a años obtenemos: años, lo que equivale a años, 10 meses y 19 días

45 4 FRACCIONES EJERCICIOS PROPUESTOS 4.1 Indica mediante una fracción la parte coloreada de cada figura. a) b) c) a) 6 b) 4 c) 8 4. Representa en un segmento la fracción Representa mediante un dibujo las siguientes fracciones. a) 1 b) c) 4 d) 1 a) 1 c) 4 b) d) Averigua qué parejas de fracciones son equivalentes. a) 1 y b) y c) 9 y 67 a) y 15 0, luego son equivalentes. b) y , luego son equivalentes. c) y 9 957, luego no son equivalentes. 4.5 Escribe tres fracciones equivalentes que expresen la parte coloreada de la figura. 4, 1 6 8,

46 Halla cuatro fracciones ampliadas de cada una de las siguientes. a) 1 4 c) 7 1 e) 5 15 b) 5 d) f) a) c) e) b) d) f) Escribe dos fracciones reducidas de cada una de las siguientes. 4 a) b) 1 c) d) e) a) b) c) d) e) Indica si son irreducibles estas fracciones. a) 5 5 b) 5 7 c) a) No es irreducible porque el numerador y el denominador tienen un divisor común distinto de 1: el 5. b) Sí es irreducible porque el numerador y el denominador no tienen divisores comunes distintos de 1. c) No es irreducible porque el numerador y el denominador tienen un divisor común distinto de 1. Es un número entero: el Calcula la fracción irreducible en cada caso. a) 4 6 c) 1 e) b) 0 d) 6 f) a) 4 6 c) e) b) d) 6 1 f) Simplifica lo más posible las siguientes fracciones. 4 a) c) e) 1 5 b) d) 5 f) a) c) e) b) d) f) Reduce a común denominador. a) 1 5 y 7 b) 9 y 1 6 c) 4 y 8 a) 1 5 y 7 denominador común , 5 7, b) 9 y 1 6 denominador común , , c) 4 y 8 denominador común 8 4 8, 4 4, 1 49

47 4.1 Reduce a común denominador. a) 5 8, 1 y 7 b) 5 1, 5, 1 4 y 9 0 a) 5 8, 1 y denominador ,, ,, b) 5, 5, 1 4 y 9 denominador ,,,,,, Reduce a mínimo común denominador. 1 a) y b) 7 7, y a) m.c.m.(16, 8) , b) m.c.m.(6, 40, 9) , , , Reduce a mínimo común denominador. a) 7 8, 1 y 9 b) 10 4, 5, 7 1 y 1 0 a) 7 8, 1, 9 m.c.m.(8,, 10) , , b) 4, 5, 7 1, 1 m.c.m.(4, 1,, 0) , , , Escribe una fracción menor que cada una de las siguientes, con igual denominador. a) 5 7 c) 7 4 e) 11 1 b) d) f) a) 4 7 c) 5 e) b) d) f) Escribe una fracción mayor que cada una de las siguientes, con el mismo numerador. a) 9 b) 5 c) 1 11 d) 1 e) a) 7 b) 5 9 c) 1 d) 1 e)

48 4.17 Indica cuál es la fracción mayor de cada par. a) 5 y 5 6 b) 1 y 7 c) 8 9 y a) m.c.m.(5, 6) y 5. Es mayor b) m.c.m.(, 7) 1 y. Es mayor c) m.c.m.(9, 1) 6,. Es mayor Realiza las siguientes sumas. a) b) c) a) m.c.m.(5, 11) b) m.c.m.(16, 8) c) m.c.m.(1, 5) Calcula el resultado de estas operaciones. a) b) c) a) m.c.m.(15, ) b) m.c.m.(6, 4, ) c) m.c.m.(11, 0, 9, 5) Realiza las siguientes sumas. a) b) 7 5 c) a) b) c) Calcula el resultado de estas operaciones. a) b) 7 c) a) b) c)

49 4. Para cada figura, escribe la fracción y, a continuación, el número mixto equivalente. a) b) a) b) Escribe cada fracción como un número entero y otra fracción. a) 7 4 c) 1 0 e) 5 9 b) 4 d) 1 f) a) c) e) b) d) 1 1 f) Realiza las siguientes multiplicaciones y expresa el resultado en forma de fracción irreducible. a) 4 9 c) 7 e) b) d) f) a) c) e) b) d) f) Haz un dibujo para cada multiplicación y, después, halla el resultado. a) 5 1 b) 4 5 c) 8 8 a) b) c) Escribe una multiplicación para cada frase y obtén el resultado. a) Un cuarto de dos metros. b) Dos quintos de medio metro. a) Resultado: medio metro b) Resultado: un quinto de un metro

50 4.7 Escribe las fracciones inversas de estas fracciones. a) c) 10 e) 1 7 b) 5 4 d) 1 f) 5 a) c) 1 0 e) b) d) 1 f) Representa la fracción 5 en una recta, y representa en la misma recta la fracción inversa. a) Compara ambas fracciones. b) Se puede afirmar, en general, que si una fracción es menor que la unidad, su inversa es mayor que la unidad? a) En la recta se observa que la fracción inversa de es mayor. 5 b) Sí se puede afirmar, porque la fracción inversa es mayor que la unidad por tener el numerador mayor que el denominador. 4.9 Realiza las siguientes divisiones. a) 7 1 b) c) 9 a) b) c) Calcula el resultado de estas divisiones y exprésalo como fracción irreducible. a) b) c) 1 7 a) b) c) RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 4.1 Un señor compra un electrodoméstico y lo paga en cuatro plazos. En el primer plazo, paga la sexta parte del precio. En el segundo, paga la mitad de lo que debe en ese momento. En el tercero, paga la quinta parte de la deuda pendiente. Y en el cuarto, lo que resta, que son 180 euros. Cuánto costaba el electrodoméstico? Primer plazo: 1 6 del precio Segundo plazo: la mitad de 5 6, es decir, 5. Lleva pagados del precio Tercer plazo: la quinta parte de lo que debe, es decir, 5 del precio En total lleva pagados del precio. 1. er plazo Lo que le falta es 1 del precio, que son 180 euros. El precio del electrodoméstico es: euros. Hacemos un esquema.. er plazo. o plazo 4. o plazo 5

51 4. La mitad de la tercera parte de un número es 7. De qué número se trata? La mitad de la tercera parte es 1 1 del número, luego el número buscado es: Un tercio del total Un medio de un tercio 4. Si Julio se come las dos quintas partes de una tarta y Ana la mitad de lo que queda, todavía queda un trozo que pesa 150 gramos. Cuál era el peso de la tarta? Si Julio come 5, quedan 5 de la tarta. Ana come: 5 10 En total han comido 5 7, y quedan, por tanto, de la tarta, que pesan 150 gramos. 1 0 El peso de la tarta era de 500 gramos. Julio Ana Trozo restante CÁLCULO MENTAL 4.4 Simplifica las siguientes fracciones. 5 a) b) c) d) a) b) 0 0 c) d) Expresa en octavos cada fracción. a) 1 b) c) 4 d) 5 40 a) b) c) d) Realiza los siguientes productos. a) b) c) 1 5 a) b) c) Calcula el resultado de estas divisiones. a) 5 5 b) 7 c) 4 5 a) b) c)

52 4.8 Calcula el denominador común para cada par de fracciones y reduce a él las fracciones. a) 1, 1 b) 1, 4 c) 5 6, 1 4 a) 1, 1 6, 6 b) 1, 4 4, 4 c) 5 6, , Suma las fracciones y expresa el resultado con una fracción irreducible. a) b) c) 5 6 a) b) c) Calcula el resultado de las siguientes restas. a) b) c) a) b) c) Realiza estas operaciones. a) 5 1 b) 1 c) 9 4 a) b) c) EJERCICIOS PARA ENTRENARSE Fracciones equivalentes 4.4 Escribe las fracciones correspondientes a las partes coloreadas y di si son equivalentes. 4 y 1 16 Estas fracciones son equivalentes porque representan la misma parte de un todo. Además, si se multiplican por 4 el numerador y el denominador de la primera fracción, se obtiene la segunda. También podemos comprobar que los productos cruzados son iguales. 4.4 Halla otra fracción equivalente a la dada, con términos más pequeños. a) 6 b) 4 8 c) d) a) 6 1 b) c) d)

53 4.44 Copia en tu cuaderno y escribe los números que faltan en estas igualdades. 5 a) 4 b) 15 0 c) a) b) 4 5 c) Simplifica las siguientes fracciones. 8 a) c) e) 6 4 g) 16 0 b) 0 55 d) f) h) a) c) e) g) b) 0 4 d) f) 1 5 h) Reducción a común denominador 4.46 Reduce a común denominador. a) 7 y 1 4 b) 5 y 1 c) 5 y a) y b) 1 0 y 6 c) 0 5 y Reduce a mínimo común denominador. a) 1 4 y 1 6 b) 7 y c) y 1 d) , 1 y 5 14 a) m.c.m.(4, 6) 1 c) m.c.m.(5, 10) , , b) m.c.m.(4, 16) 4 48 d) m.c.m.(7,, 14) Comparación de fracciones 4.48 Expresa como fracción la parte coloreada y compara las fracciones obtenidas. a) b) a) 4 5 y 8 Las dos fracciones son equivalentes. Representan la misma parte de un todo. Si se multiplican el numerador y el 10. denominador de la primera fracción por, se obtiene la segunda. b) 4 8, 4 8 y 5 Las dos primeras fracciones son iguales, y la tercera es mayor que las anteriores

54 Halla los y los del número 6, y de acuerdo con el resultado obtenido, indica cuál de las dos fracciones 6 9 es mayor. 5 6 de de De acuerdo con los resultados, Dibuja dos rectángulos iguales. Uno, divídelo en partes iguales y colorea. El otro, lo divides en 6 partes iguales y coloreas. Expresa la parte coloreada en fracciones y compáralas. En las figuras observamos que > Compara las fracciones de cada par. a) 4 7 y 6 7 b) 4 y 4 5 c) 5 y 5 8 a) b) m.c.m.(4, 5) y c) m.c.m.(5, 8) 40 4 y Ordena de menor a mayor estas fracciones. 9, y 55 9, , m.c.m.(11, 5, 55) , 4 4, < < Copia en tu cuaderno y completa con un número, de modo que se cumpla la relación. a) 5 7 > b) 9 < 6 9 c) 1 > 1 a) 5 7 b) c) Suma y resta 4.54 Realiza las siguientes sumas. a) 5 b) c) d) 5 a) 5 m.c.m.(, 5) 5 10 c) m.c.m.(5, 8) b) m.c.m.(, 4) 4 d)5 m.c.m.(1, )

55 4.55 Calcula el resultado de estas restas. a) 7 5 b) c) 5 1 a) 7 5 m.c.m.(7, 14) 14 b) m.c.m.(8, 11) c) 5 1 m.c.m.(, 1) Qué número hay que sumar a para obtener 1? El número que hay que sumar es la fracción Realiza las siguientes operaciones. a) 5 8 b) c) a) m.c.m.(1, 8) b) m.c.m.(4, 1) c) m.c.m.(1, 7) Fracciones con el numerador mayor que el denominador 4.58 Las siguientes fracciones tienen el numerador mayor que el denominador. Escribe el número entero y fracción equivalentes a cada una de ellas. a) 7 b) 4 c) 1 5 d) 1 e) a) 7 1 b) c) d) 1 1 e) Expresa estos números mediante una fracción. a) 1 b) 5 1 c) 1 1 d) 4 1 e) a) 1 0 b) 1 1 c) d) 6 5 e) Escribe la fracción correspondiente a la parte coloreada de la figura. a) b) a) b)

56 Multiplicación y división 4.61 Calcula el resultado de estos productos. a) 1 1 b) c) d) a) b) c) d) Realiza estos cocientes. a) b) 5 4 c) d) 4 7 a) b) c) d) El producto de una fracción por 5 da de resultado 1. Cuál es la fracción? Fracción 5 1. Esta expresión es equivalente a: Fracción La fracción es. 1 0 PROBLEMAS PARA APLICAR 4.64 En un centro escolar de educación secundaria están matriculados 750 alumnos. En 1.º de ESO hay matriculados 15 alumnos. Expresa mediante una fracción irreducible la parte que representan los alumnos de dicho curso Los alumnos de 1.º de ESO representan 1 6 de los alumnos del centro Un entrenador dispone de 11 jugadores titulares y 6 suplentes. Expresa mediante una fracción la parte de jugadores suplentes. El número total de jugadores es: El número de suplentes es: 6. 6 Luego la parte de jugadores suplentes es. 1 7 Observa el mosaico y calcula la fracción irreducible que expresa la parte de los baldosines de color respecto a todos los baldosines del mosaico. Número total de baldosines: 5 Número de baldosines de color: 10 Luego la parte de baldosines de color es:

57 A lo largo de una semana, una tienda de discos ha vendido 1 CD, de los cuales pop. Cuántos discos de esta música se han vendido? de eran de música 4.68 Se han vendido 165 CD de música pop. Se han sacado 50 litros de agua de un depósito que contenía litros. Qué fracción del contenido del depósito queda por consumir? Número de litros totales: Número de litros consumidos: 50 Litros que quedan por consumir: Fracción que queda por consumir: La fracción que queda por consumir es En dos tiendas de informática venden un modelo de ordenador al mismo precio. Pero en la primera hacen una rebaja de 9 de su valor, y en la segunda la rebaja es de del valor. 1 1 Dónde comprarías el ordenador? y y Luego ; por tanto, haría la compra en la segunda tienda porque hacen mayor descuento Carlos tiene una tableta de chocolate dividida en 1 trozos iguales. Invita a Ana con la mitad de los de la tableta. Cuántos trozos recibe Ana? Los dos tercios de la tableta son: trozos. La mitad de los dos tercios de la tableta es: 1 Ana recibe 4 trozos de chocolate. 8 4 trozos. También se puede resolver directamente así: Una familia gasta 1 4 de sus ingresos mensuales en consumo de agua, gas, electricidad y teléfono, y 5 en alimentación. Qué parte de los ingresos le queda disponible para ahorro y otros gastos? Parte de los ingresos consumidos: Parte de los ingresos no consumidos: La parte de ingresos disponible para ahorros y otros gastos viene dada por la fracción. 0 del tra- Jaime está realizando un trabajo. Cuando ya ha dedicado 4 horas, ha conseguido hacer los 4 bajo. Cuánto tiempo le llevará hacer todo el trabajo? 4 Total de tiempo 4 Total de tiempo horas Realizar todo el trabajo le llevará 5 horas y 0 minutos. 60

58 4.7 Un agente comercial tiene programadas en su agenda las 8 horas de trabajo de un determinado día. Si 1 de este tiempo lo dedica a visitar a sus clientes, qué fracción de todo el día dedica a visitar clientes? 4 Horas dedicadas a visitar clientes: 1 4 de horas 4 1 La fracción de todas las horas del día que dedica a visitar clientes es Dispones de 50 euros para comprar libros y material deportivo y para hacer fotocopias; lo que no gastas lo dedicas al ahorro. A lo largo de la primera quincena del mes te has gastado 1 lo largo de la segunda quincena, 5 mes? del dinero inicial, y a de lo que te quedaba. Cuánto dinero has podido ahorrar en este Dinero gastado en la primera quincena: 1 Dinero gastado en la segunda quincena: 5 En el mes has podido ahorrar 15 euros Te quedan 5 euros Te quedan euros En una clase se forman dos grupos de trabajo. El primer grupo representa 1 4 del total, y el segundo, los 5. Los 7 alumnos restantes optan por hacer trabajo individual. a) Cuántos alumnos tiene la clase? b) Y cuántos pertenecen a cada grupo? a) La fracción que representa a los dos grupos juntos es: La fracción que representa a los alumnos que optan por hacer trabajo individual es Si corresponde a 7 alumnos, corresponderá a 1 alumno, y el total corresponderá a 0 alumnos. 0 0 b) Al primer grupo pertenecen alumnos. 4 Al segundo grupo pertenecen alumnos. REFUERZO Fracciones equivalentes 4.76 Escribe la fracción que representa la parte coloreada de cada figura y di qué fracciones son equivalentes. a) b) c) a) 4 b) 8 c) Las dos primeras fracciones son equivalentes porque representan la misma parte de un todo. Además, los productos cruzados son iguales:

59 4.77 Averigua si los siguientes pares de fracciones son equivalentes. a) 4 y b) 1 5 y a) 4 y , son fracciones equivalentes. 4 b) 1 5 y y , no son fracciones equivalentes Escribe el número que falta para que las fracciones de cada par sean equivalentes. a) 1 b) a) 1 b) Simplifica estas fracciones. a) b) c) d) a) b) c) d) Calcula de 1, simplificando previamente la fracción Ordena de menor a mayor m.c.m.(4, 5, 7, 8, 9) , 1 440, 1 890, Operaciones con fracciones 4.8 Halla las fracciones inversas de estas. a) 1 7 b) 1 1 c) d) a) b) c) 1 d) Calcula las siguientes operaciones. a) 7 9 b) c) d) a) c) b) d)

60 4.84 Halla el resultado de estas operaciones. a) b) a) b) Calcula. a) La mitad de la sexta parte de 40. b) Los dos quintos de los tres cuartos de 60. a) 1 de 1 6 de b) 5 de 4 de En un colegio hay un total de 60 alumnos y alumnas; 1 del total practica el fútbol; 1, el baloncesto; 5 1 9, el ciclismo; 1, el tenis, y el resto, la natación. Cuántos practican cada deporte? 10 Número de alumnos y alumnas que practican el fútbol: Número de alumnos y alumnas que practican el baloncesto: Número de alumnos y alumnas que practican el ciclismo: Número de alumnos y alumnas que practican el tenis: Número de alumnos y alumnas que practican la natación: 60 ( ) Luis se ha propuesto regalar 0 libros. Si lo hace, habrá regalado 5 de todos los libros que tenía. Cuántos libros tiene Luis? 5 Total de libros 0 Total de libros Luis tiene 50 libros. AMPLIACIÓN En una finca se han plantado árboles frutales: 5 son cerezos; 1, manzanos, y 1, perales. Si entre 15 cerezos y manzanos hay 140 árboles, cuántos perales habrá? del total de árboles corresponden a 140 árboles del total de árboles corresponde a 10 árboles. Luego hay 10 perales. 1 5 (O también: 1 4 Total de árboles 140 Total de árboles Perales: ) Determina todos los números naturales que puedas poner en lugar de la letra a en esta expresión a 6 < 6 a. Los números naturales que se pueden poner en lugar de a son 1,,, 4 y 5, porque con estos números la primera fracción tiene el numerador menor que el denominador, con lo que su valor es menor que 1. En cambio, la segunda fracción tiene el numerador mayor que el denominador, con lo que su valor es mayor que 1. 6

61 Antonio regala de sus pegatinas a Carmen. Carmen regala a Jorge de las pegatinas que le regaló Antonio. Y Jorge regala a Rosa 1 de las pegatinas que le regaló Carmen. Si Rosa recibe 8 pegatinas, cuántas tenía Antonio? Rosa recibe 8 pegatinas. Jorge tenía el doble que Rosa: 16 pegatinas. Carmen tenía el doble que Jorge: pegatinas. Antonio tenía el doble que Carmen: 64 pegatinas. Antonio tenía 64 pegatinas Ángela ha aprobado la mitad de las asignaturas de la carrera en dos cursos. Se ha propuesto aprobar 1 de las asignaturas que le quedan en otro curso. Si lo consigue, le quedarían 1 para terminar la carrera. Cuántas asignaturas tiene la carrera que hace? Podemos aplicar la estrategia de hacer un esquema: 1.º Aprueba en dos cursos la mitad de las asignaturas: 1..º En otro curso se propone aprobar 1 de las que le quedan: 1 de º Asignaturas hechas: , luego le faltan para acabar 1 de las asignaturas. 4.º 1 Total de asignaturas 1 Total de asignaturas asignaturas La carrera tiene 6 asignaturas. 4.9 Un autobús hace el servicio entre dos ciudades A y B. Ha recorrido la cuarta parte del trayecto 5 kilómetros antes de hacer la primera parada, que está a 15 kilómetros del inicio del recorrido. Cuál es la distancia entre las dos ciudades? Al hacer la cuarta parte del trayecto 5 kilómetros antes de hacer la primera parada, que está a 15 kilómetros, la cuarta parte del recorrido es de 100 kilómetros. Si 1 4 del recorrido son 100 kilómetros, la distancia entre las dos ciudades es: kilómetros. 4.9 Se han consumido los 7 8 gasóleo en 5 del gasóleo del depósito de un vehículo. Se repostan 8 litros, y entonces hay partes del depósito. Calcula la capacidad del depósito. Después de consumir 7 8 del gasóleo, quedan en el depósito Se reposta hasta los 5 de la capacidad del depósito. Luego la fracción de gasóleo que se ha repostado es: Esta fracción corresponde a 8 litros: 1 9 capacidad del depósito 8, que equivale a: 40 Capacidad del depósito: La capacidad del depósito es de 80 litros. 64

62 PARA INTERPRETAR Y RESOLVER 4.94 Refresco de frutas Un refresco está compuesto por agua y por zumos de naranja, pera y manzana de forma que: el volumen total de los tres zumos es el doble que el de agua; el volumen de zumo de naranja es el doble que el de pera y el volumen de zumo de manzana es la mitad que el de agua. Qué fracción de cada componente hay en un volumen de refresco? Razona que gráficos representan esta composición. a) Agua, % es decir 1 Naranja, % es decir 1 Naranja Pera Manzana Agua b) Agua Naranja Pera 16,7 % es decir 1 6 Manzana 16,7 % es decir 1 6 Por tanto, son válidos los gráficos b y d. Manzana c) Agua d) Pera Naranja Pera Manzana 4.95 Naranja Pera Manzana Agua La huerta En una huerta de 400 metros cuadrados se han sembrado cuatro tipos de verduras: tomates, judías, pimientos y lechugas. Observando la figura, averigua el área dedicada al cultivo de cada verdura. Tomates: de m Lechugas: de m Pimientos: de m Judías: de m AUTOEVALUACIÓN 4.A1 Escribe la fracción que expresa la parte destacada de cada segmento. Cómo son las fracciones? a) b) c) a) 1 b) 6 c) 4 1 Las fracciones son equivalentes. 65

63 4.A Dada la fracción 6 50, encuentra la fracción equivalente que tiene: a) Numerador 18. b) Denominador 5. c) Denominador a) b) c) A Simplifica las siguientes fracciones hasta conseguir la fracción irreducible. 6 a) c) b) 5 8 d) a) c) b) d) A4 Ordena las fracciones de mayor a menor m.c.m.(5, 8, 4) , 5, A5 Haz las siguientes operaciones. a) b) a) b) A6 Realiza estas operaciones. a) 1 5 b) c) a) b) c) A7 Alicia ha escrito los 4 9 de un trabajo de 6 páginas. Cuántas páginas ha escrito? 4 9 de Alicia ha escrito 16 páginas. 9 66

64 4.A8 Una especialista en informática ha cobrado 40 euros por instalar una red de ordenadores. Ha dedicado 6 horas y un quinto de la siguiente. Cuál es el precio de su hora de trabajo? El precio de la hora de trabajo es de 65 euros. 4.A9 Una caja de tornillos pesa 4 de kilogramo. Si tenemos almacenados en total 4 kilogramos y medio de tornillos, cuántas cajas hay? Hay 6 cajas de tornillos. 6 4.A10 En clase de Lengua, nos recomiendan leer 8 de las páginas de un libro. Adrián ha leído ya la mitad de dichas páginas. Si el libro tiene 4 páginas, cuántas ha leído Adrián? 8 de Adrián ha leído la mitad de estas páginas: 84 4 páginas Adrián ha leído 4 páginas. MURAL DE MATEMÁTICAS Jugando con las matemáticas LIMONADA EMBOTELLADA María ha comprado las siguientes botellas de limonada para su fiesta de cumpleaños: 6 botellas de 1 litro 5 botellas de de litro 4 4 botellas de 1 de litro botellas de 1 de litro 4 Quiere colocar las botellas en dos mesas, de forma que en cada una de ellas haya la misma cantidad de limonada y la misma cantidad de botellas. Podrías ayudarle a hacer el reparto? Calculando el total de litros de limonada, , y el total de botellas, 18, deducimos que en cada mesa debe haber 5 1,5 litros de limonada en 9 botellas. Un posible reparto es: Primera mesa: 4 botellas de 1 litro Segunda mesa: botellas de 1 litro botellas de 4 de litro botellas de de litro 4 botellas de 1 4 de litro 4 botellas de 1 de litro 67

65 5 NÚMEROS DECIMALES EJERCICIOS PROPUESTOS 5.1 Expresa los siguientes números en los distintos órdenes de unidades. Número C D U d c m 5, ,6 5,04 110,04 Número C D U d c m 5, , , , Expresa en unidades. a) decenas c) 4,4 décimas b) 100 centésimas d) 5 centenas a) decenas 0 unidades c) 4,4 décimas 0,44 unidades b) 100 centésimas 1 unidad d) 5 centenas 500 unidades 5. Copia y completa estas igualdades. a) 7 d U 7 d,7 e) 450 C b) 5 d U 5 d f) 75 U c) 159 c g) 105 m d) 4 m h) c a) 7 d U 7 d,7 e) 450 C 4 DM 5 UM b) 5 d C U 5 d,5 f) 75 U 7 C 5 U 75 c) 159 c 1 U 5 d 9 c 1,59 g) 105 m 0 U 1 d 0 c 5 m 0,105 d) 4 m 0 U d 4 c m 0,4 h) c 7 D 8 U 5 d 6 c 78, Escribe los números decimales correspondientes. a) 7 decenas, 8 milésimas c) 9 centenas, 5 unidades, décimas b) 5 unidades, 6 centésimas d) 19 milésimas a) 7 decenas, 8 milésimas = 70,008 c) 9 centenas, 5 unidades, décimas 905, b) 5 unidades, 6 centésimas = 5,06 d) 19 milésimas 0, Representa 1 5, 8 y en una recta y determina el número decimal equivalente , 8 0,75 0, Indica el período de estos números decimales. a) 1,1111 c),555 b),5 d) 0,111 a) 1,1111 Período: 1 c),555 Período: 5 b),5 Exacto d) 0,111 Período: 1 68

66 Escribe en forma de fracción decimal los siguientes números decimales exactos. a) 6,78 e) 45,009 b) 1,7 f) 54,6 c) 0,0 g) 90,01 d) 8,057 h) 0,00 a) 6, e) 45, b) 1, f) 54, c) 0, g) 90, d) 8, h) 0, Ordena de menor a mayor estos números decimales. a) 1,1 1,09 1,11 b) 4,88 4,79 4,8 a) 1,1 1,09 1,11 1,09 1,1 1,11 b) 4,88 4,79 4,8 4,79 4,88 4, Ordena de menor a mayor los siguientes números, expresando las fracciones previamente en forma decimal. 1 0, , ,5 0, ,444 0,6 5 0, ,4 0,444 0,5 0,555 0,6 0, , Copia las siguientes sumas y averigua las cifras que faltan. a) 0,87 b), 96 0, 59,8 0,96 6,54,166 89,7 6 a) 0,87 b) 0,9 0,96,166,96 59,8 6,54 89, Copia las siguientes restas y averigua las cifras que faltan. a) 5,17 b) 6,45,6 8, 9 1,57 17,8 a) 5,17 b),6 1,57 6,45 8,59 17, Halla el resultado de estas multiplicaciones. a) 0,1 10 b) 0,05 10 c) 0, d) 0, a) 0, b) 0, ,5 c) 0, d) 0, ,6 69

67 5.1 Realiza las siguientes divisiones. a) 5,5 10 b) 0,5 10 c) 10,1 100 d) 10, a) 5,5 10 =,55 b) 0,5 10 = 0,05 c) 10,1 100 = 0,101 d) 10, = 0, Efectúa las siguientes multiplicaciones. a) 0,8 0,7 c) 0,5 0,16 e),005 b) 0,69 0,04 d),5 0, f) 1, a) 0,8 c) 0,16 e) 0,7 0,5 0,56 0,0680,005 6,010 b) 0,69 d),5 f) 0,04 0,076 0, ,10 1, , Copia y completa estas igualdades. a) 0,5 7 c) 0,06 0,1 b) 0,6 0,1 d) 0,5 0,01 a) 0,5 7,5 c) 0,06 0,1 0,006 b) 0,6 0,1 0,06 d) 0,5 0,01 0, Calcula mentalmente el número que falta. a),5 0,5 c) 0, 1,6 b) 1, 1, d) 0,05 1 a),5 0,1 0,5 c) 0, 8 1,6 b) 1, 0,1 1, d) 0, En un vaso caben 0,4 litros de agua. Cuántos litros de agua caben en 7 vasos? 0,4 7 1,68 L En 7 vasos caben 1,68 litros de agua. Cada bombón de una caja pesa 0,18 gramos. Cuánto pesa la caja si contiene 18 bombones? 0, ,4 g La caja de bombones pesa 6,4 gramos. Haz estas divisiones. a) 5,8 1, c) 4,7 17 b) 4,08,5 d) 4,76 0,8 a) 5,8 1, 58 1 c) 4, , , , b) 4,08,5 40,8 5 d) 4,76 0,8 47,6 8 40, , ,6 8 47,6 54,7 45,

68 5.0 Halla los cocientes de las siguientes divisiones, con una cifra decimal. a) 14,,1 c) 08 b) 11,8,5 d) 1,8 0,07 a) 14,, c) 170 6,8 10 0,8 0, , 1 0 b) 11,8,5 118, 5 d) 1, 1 7 1,8 0, , La pieza de tela de la figura se divide en trozos de 0,75 metros cada uno. Cuántos trozos se pueden obtener? 5,5 0, Se pueden obtener 7 trozos. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 5. Juan tiene que decir el resultado de la operación:,4 16,5 1,1 0,86, sabiendo que es uno de estos números: 0,076,876 1,676 19,476 Ayúdale sin utilizar lápiz y papel, ni calculadora. A simple vista, sumando las partes enteras de los números, vemos que el resultado es mayor que 0, con lo que se descarta el 19,476, y como las partes decimales también suman más que 1, podemos descartar el 0,076. A su vez, haciendo la suma por exceso, el resultado no llega a, con lo que se descarta el,876 y nos quedamos con el único resultado posible: 1, Hemos dividido dos números naturales con la calculadora y en la pantalla ha aparecido el resultado: 0, Si el dividendo es menor que 0, averigua de qué números se trata. Los números son 1 y 17. Procedemos así: el resultado de D d está próximo a 4 0,75. Las fracciones equivalentes a en las 4 que el numerador es menor que 0 son Como 0,7647 es algo mayor que, probamos a aumentar una unidad el numerador y el denominador: 4 entre 5, 7 entre 9, y llegamos a 1 entre 17, que da el resultado pedido. El numerador de la fracción buscada es 1, y el denominador,

69 CÁLCULO MENTAL 5.4 Cuántas unidades tienen los siguientes números? a) 1,0 c) 1,9 e) 100 b) 0,91 d) 0,99 f) 1,8 a) 1 c) 1 e) 100 b) 0 d) 0 f) Cuántas centésimas tienen estos números decimales? a) 0,01 c) e) 0,75 b) 0,10 d) 1,8 f) 1 a) 1 c) 00 e) 75 b) 10 d) 180 f) Averigua los números que faltan. a) 0,4 0,5 c) 1,8 1, e) 1,7 9 b) 1,1 1,9 d) 8, 5 f) 8 10 a) 0,4 0,5 0,9 c) 1,8 1, 0,5 e) 1,7 9 15, b) 1,1 1,9 d) 8, 5 1,64 f) Calcula estos productos. a) 0, 10 c) 0,05 10 e) 0, b) 0,9 10 d) 0,1 100 f) 0,9 10 a) 0, 10 c) 0, ,5 e) 0, b) 0,9 10 9, d) 0, f) 0, Copia y completa estas igualdades. a) 8, 0, d) 1,1 110 b),5 5 e) 0 c),5 7 f) 0 00 a) 8, 8 0, d) 1, b),5 5 e) 0 10 c),5 7 f) 0 0, Calcula los siguientes cocientes. a) 0,5 10 d) 0,9 100 b),4 10 e) 9,1 10 c) 0,4 10 f), a) 0,5 10 0,05 d) 0, ,009 b),4 10 0,4 e) 9,1 10 0,91 c) 0,4 10 0,04 f), = 0,08 7

70 Cifras decimales 5.0 EJERCICIOS PARA ENTRENARSE Descompón cada número en los distintos órdenes de unidades. a) 7, d) 4,5 b) 0,045 e) 4,05 c) 0,4 f) 0,008 a) 7, C D 7 U d d) 4,5 C D 4 U 5 d c b) 0,045 4 c 5 m e) 4,05 C D 4 U 0 d 5 c c) 0,4 d 4 c f) 0,008 8 m 5.1 Escribe el número decimal correspondiente en cada caso. a) 8 c d) D c b) 5 d e) 5 C 8 U c c) 500 c f) U 1 m a) 8 c 0,8 d) D c 0,0 b) 5 d,5 e) 5 C 8 U c 508,0 c) 500 c 5 f) U 1 m, Escribe el número decimal que se componga de: a) 4 milésimas y decenas b) centenas y 1 5 milésimas c) unidades y 6 centésimas a) 4 milésimas y decenas 0,4 0 0,4 b) centenas y 1 5 milésimas 00 1,5 01,5 c) unidades y 6 centésimas 0,06,06 Ordenación 5. Escribe el número que es una décima mayor que cada uno de estos números. a) 0,6 d) 0,16 b) 0,4 e) 0,9 c) 0,05 f) 0,016 a) 0,6 0,7 d) 0,16 0,6 b) 0,4 0,4 e) 0,9 1 c) 0,05 0,15 f) 0,016 0, Escribe el número que es menor en centésimas que los siguientes números. a) 0,87 d) 0,5 b) 1, e) 10, c), f) 10,0 c 0,0 a) 0,87 0,0 0,797 d) 0,5 0,0 0,49 b) 1, 0,0 1,17 e) 10, 0,0 10,17 c), 0,0,17 f) 10,0 0,0 9, Encuentra el número que es 1 décima y 5 centésimas menor que cada uno de los siguientes números. a),5 c) 0,001 b) 1,1 d) 1,9 1 d y 5 c 0,15 a),5 0,15,5 c) 0,001 0,15 0,149 b) 1,1 0,15 11,95 d) 1,9 0,15 1,75 7

71 5.6 Encuentra el número que es décimas y 5 milésimas menor que cada uno de estos números. a) 1,58 d),005 b),75 e) 0,05 c) 0, f) 9,00085 d y 5 m = 0,05 a) 1,58 0,05 1,05 d),005 0,05 1,7985 b),75 0,05,545 e) 0,05 0,05 0 c) 0, 0,05 0,095 f) 9, ,05 8, Ordena de mayor a menor los siguientes números. a),5,05,15 b) 0,56 1,005 0,4987 c) 0,08 0,048 0,0187 a),5,15,05 b) 1,005 0,56 0,4987 c) 0,048 0,08 0,0187 Fracciones y decimales 5.8 Expresa cada fracción como número decimal y di si es exacto o periódico. a) 1 b) 5 c) 1 16 a) 1 0,5 Exacto b) 5 0,4 Exacto c) 1 0,065 Exacto Indica el período de los números decimales correspondientes a estas fracciones. a) 1 c) 1 1 e) b) d) f) a) 1 0, Período: c) 1 1 1,8 Período: e) 1 4 1,555 Período: b) 1 6 0, Período: 54 d) 0, Período: 54 f) 1 1,91666 Período: Suma y resta de números decimales 5.40 Realiza las siguientes sumas. a) 1,9 0,1 c) 1,84 50,001 b),89 0,11 d),9 991,199 a) 1,9 0,1 c) 1,84 50,001 7,85 b),89 0,11 d),9 991, , Haz las siguientes restas. a),9 0,9 c) 1 4,89 1,11 b) 1,87 14,89 d) 1,999 11,09 a),9 0,9 c) 1 4,89 1,11 1,78 b) 1,87 14,89 117,98 d) 1,999 11,09 1,909 74

72 5.4 Realiza las siguientes operaciones. a) 1,08 1,8 0,1 b) 0,098 0,007,088 c),008 0,0 0,15 a) 1,08 1,8 0,1 110,508 b) 0,098 0,007,088,179 c),008 0,0 0,15 1,878 Multiplicación de números decimales 5.4 Halla estos productos. a) 8 0,7 c),08 0,5 e) 0,5 0,16 b) 0,69 0,7 d) 0,7 4 f) 1,05,8 a) 8 c),08 e) 0,7 0,5 5, ,500 0,16 0,5 0,0680 b) 0,69 d) 0,7 f) 1,05 0,7 4,8 0,48, , Realiza las siguientes multiplicaciones. a) 1,09 08,08 b) 8, ,09 c) 101,9007 1,001 d),1 0,08 e) 4,89 0,11 a) 1,09 b) 8,00087 c) 101, ,08 1,09 1, ,407 96, , d),1 0,08 0,496 0, e) 4,89 0,11 0,579 0,5 División de números decimales 5.45 En cada una de estas divisiones, coloca la coma en el lugar que corresponda. a) 56, 16 b) 15,61 7 c) 18, d) 49, , 5 1,611 56, ,0 515,01 a) 56, 16 b) 15,61 7 c) 18,6 9,04 d) 49,5, ,,5 1,611, 56, ,0 515,01 75

73 5.46 Haz las siguientes divisiones. a) 6,9 4,1 c) 47,7 0,09 e) 4,99 0,08 b) 5,6 0,67 d) 4,71 0,57 f),18 0,7 a) 6,9 4, c) 47,7 0, e) b) 5,6 0, d) 4,71 0,57 47,1 57 f) ,1 8, 47,00 4,99 0,08 499, , ,18 0,7 18, 7 4, 5,9 47,00 PROBLEMAS PARA APLICAR Una ONG recogió 10 cajas de 5,7 kilogramos de arroz, 100 bolsas de 40,5 kilogramos de patatas y bolsas de 1,75 kilogramos de azúcar. Cuántos kilogramos de alimentos recogieron? 5, kg 40,5 100 = 4 05 kg 1, = 1 75 kg kg Recogieron kilogramos de alimentos. En el depósito de un coche caben 48,5 litros de gasolina. En la gasolinera llenan el depósito con 4,7 litros. Cuántos litros de gasolina tenía el depósito antes de repostar? 48,5 4,7 5,8 L El depósito contenía 5,8 litros antes de repostar David tiene 1,9 euros ahorrados, y ha decidido regalar la cuarta parte a su hermana por su cumpleaños. a) Cuánto dinero regala David a su hermana? b) Cuánto dinero le queda? ,9 4 7,98. David le regala a su hermana 7,98 euros. 1,9 7,98,94. A David le quedan,94 euros. Una de las maravillas naturales del mundo son las cataratas de Iguazú, situadas entre Argentina, Brasil y Paraguay. Tienen 8 metros de altura y kilómetros de anchura. Expresa su altura en kilómetros y determina cuántas veces es mayor su anchura que su altura. Altura: 8 m 0,08 km 0,08 6,59 7 veces La anchura de las cataratas es 7 veces mayor que la altura El túnel ferroviario más largo del mundo es el Seikan, en Japón, que mide,4 millas. Calcula su longitud en kilómetros, sabiendo que una milla equivale a 1,609 kilómetros.,4 1,609 5,77 El túnel mide 5,77 kilómetros. 5.5 La anchura de una habitación es,15 metros. La longitud es 1,5 veces mayor que la anchura. Cuánto mide el rodapié de toda la habitación, si la anchura de la puerta es de 60 centímetros? Anchura:,15 m Longitud:,15 1,5 4,75 m Puerta: 60 cm 0,60 m Rodapié:,15 4,75 0,60 15,15 m El rodapié mide 15,15 metros. 76

74 5.5 Sonia sale de su casa con,55 euros. Compra un libro por 19,55 euros, y con la quinta parte de lo que le queda compra una barra de pan. Con cuánto dinero vuelve Sonia? Dinero que le queda:,55 19,55 La quinta parte de lo que le queda: 5 0,60 Vuelve con: 0,60,40 Sonia vuelve con,40 euros El principio activo de una cápsula de un analgésico pesa 575 miligramos. Cuántos gramos de principio activo son necesarios para fabricar una caja con 0 cápsulas? mg 11,500 g Para una caja de 0 cápsulas son necesarios 11,5 g de principio activo. El largo reglamentario de una pista de tenis es,77 metros. La anchura es 0,46 veces el largo, y el alto de la red, 0,078 veces el largo. Cuáles son las medidas reglamentarias de una pista de tenis? Largo:,77 m Ancho:,77 0,46 = 8, m Alto de la red:,77 0,078 = 0,90 m La anchura de la pista y el alto de la red miden 8, y 0,9 metros, respectivamente Tres amigos han decidido comprar un ordenador que cuesta 74,57 euros. Cuántos euros y céntimos tiene que pagar cada amigo si lo pagan a partes iguales? ,57 = 41,5 Cada amigo tiene que pagar 41 euros y 5 céntimos. En el trayecto de casa al trabajo, un coche consume 7,5 litros de gasolina sin plomo cada 100 kilómetros. El trayecto de casa al trabajo es de 18 kilómetros. Si el trabajador hace un viaje de ida y otro de vuelta diarios durante los días que trabaja al mes, cuál es el gasto mensual en gasolina si el litro de gasolina sin plomo cuesta 0,918 euros? Consumo por kilómetro: 7, ,075 L Consumo por día: 0,075 6,61 L Consumo a lo largo de los días:,61 57,4 L Gasto mensual: 57,4 0,918 5, cent El gasto mensual en gasolina es de 5 euros y 71 céntimos. De un listón de madera de,15 metros de longitud se recortan trozos iguales de 5 centímetros. Cuántos metros de madera se desperdician si se recortan 5 listones? Trozos de un listón:,15 0,5 8,6 8 trozos, y se desperdician 0,6 0,5 0,15 Desperdicio con 5 listones: 0,15 m 5 0,75 m En cinco listones se desperdician 0,75 metros. REFUERZO Números decimales y fracciones 5.59 Descompón los siguientes números en decenas, unidades, décimas, centésimas y milésimas. a),5 e),00 b),7 f) 0,1 c),08 g) 0,009 d) 0,91 h) 1,111 a),5 D U 5 d e),00 U m b),7 U 7 d f) 0,1 D d 1 c c),08 D U 0 d c 8 m g) 0,009 9 m d) 0,91 0 U 9 d 1 c h) 1,111 1 U 1 d 1 c 1 m 77

75 5.60 Expresa en milésimas estos números. a) 5 e) 0,05 b) 5,1 f) 0,0005 c) 5,1 g),845 d) 5,14 h) 1,0908 a) m e) 0,05 5 m b) 5, m f) 0,0005 0,5 m c) 5, m g), m d) 5, m h) 1, ,8 m 5.61 Expresa en décimas cada uno de los siguientes números. a) 1,011 d) 1,0 b) 11 e),99999 c) 0,114 f) 0,09898 a) 1,011 10,11 d d) 1,0 1,0 d b) d e), ,9999 d c) 0,114,114 d f) 0, ,9898 d 5.6 A partir de estas fracciones, obtén los números decimales correspondientes. Indica si son exactos o periódicos, y señala el período. a) 6 5 b) 1 8 c) d) 1 4 e) f) a) 6 5 1, Exacto d) 1 4 0,9 Periódico. Período: 15 b) 1,1666 Periódico. Período: 6 e) 1 1,4 Exacto c) 0,777 Periódico. Período: 7 f) 0,1666 Periódico. Período: Ordenación de números decimales 5.6 Ordena de mayor a menor los siguientes números. 0,78 0,70 0,79 0,4 0,4 0,79 0,78 0, Ordena estos números de menor a mayor. a) 1, 1,9 1,19 1,1 b) 0, 0,5 0, 1 a) 1,19 1, 1,1 1,9 b) 1 0, 0, 0, 0, 0, Qué número es mayor, 0,4444 ó 4? Explícalo. 9 Expresión decimal de 4 9 0,4 Si vamos comparando las cifras de los primeros cuatro órdenes, son iguales, pero las del 5.º orden son 0 y 4. Por tanto, , Operaciones con números decimales 5.66 Realiza las siguientes operaciones. a) 0,09 5, 8,05 b) 1,0 14,008,109 a) 0,09 b) 5, 8,05 6,415 1,0 14,008,109 8,509 78

76 5.67 Efectúa estas multiplicaciones. a) 0,45 5 c),8 7 e) 4,6 5 b),05 11 d) 1,09 9,1 f) 00,4,08 a) 0,45 c),8 e) 5 7,5,96 4, ,70 b),05 d) 1,09 f) 11 9, ,55 110,019 00,4, , Calcula el cociente de estas divisiones, con tres cifras decimales. a),, c) 0,857 1,54 b) 0,077 1, d) 0,0058 0,07 a),, c) , ,857 1,54 85, , b) 0,077 1, 0,77 1 d) , ,0058 0,07 5, , Con,75 litros de zumo, cuántos vasos de 0,7 litros se pueden llenar?,75 0,7 1, Se pueden llenar unos 14 vasos. AMPLIACIÓN 5.70 El perímetro de un rectángulo es 9,75 centímetros. La longitud del lado AB es veces menor que la del perímetro. Calcula la longitud de cada lado. Lado AB: 9,75 cm 9,9 cm Lado AB más su opuesto: 9,9 9,9 19,84 cm Perímetro menos la longitud de los dos lados opuestos: 9,75 19,84 9,91 cm Longitud del otro lado: 9,91 4,96 cm Un lado mide 9,9 centímetros, y el otro, 4, El ancho de un campo de fútbol es los tres cuartos del largo. Calcula cuántas vueltas hay que dar al perímetro del campo para recorrer 050 metros. Largo: 10 m Ancho: m Perímetro del campo: m Número de vueltas al campo: ,88095 Hay que dar 5 vueltas. 79

77 Ana y Marta han conseguido ahorrar 4,57 euros entre las dos. El ahorro de Ana es,5 veces mayor que el de Marta. Cuánto ha ahorrado cada una? El ahorro de Marta lo consideramos como una parte. El ahorro de Ana es,5 veces más que el de Marta, o sea,,5 partes. En total son,5 partes. Para averiguar lo que ahorra Marta, habrá que dividir el ahorro total por,5 partes: 4,57,5 1,16 Ahorro de Ana: 1,16,5 0,40 Ahorro de Marta: 4,57 0,4 1,17 Marta ha ahorrado 1,16 euros, y Ana, 0,40. Manuel propone este juego a Sofía: He pensado un número y, si lo adivinas, te regalo una entrada para el concierto de esta tarde. Te doy las siguientes pistas: Es uno de estos tres números: a),4 b) 9 centésimas c) décimas Está más cerca de que de. Está más próximo de décimas que de décimas. Sabes cuál es el número? Los tres números están más cerca de que de, así que el primer criterio no nos permite hacer ninguna elección. Está más próximo de décimas que de décimas. Para facilitar la comparación expresamos los tres números en décimas:,4 décimas,,9 décimas, décimas. El número más próximo a décimas es,4 décimas, luego el número pedido es,4. PARA RESOLVER E INTERPRETAR 5.74 Más aparcamiento En la calle Cantarranas se encuentran aparcados seis coches iguales y con la misma distancia entre ellos. Cuántos centímetros deben acercarse los coches entre sí para dejar espacio a otro igual de manera que siga habiendo la misma distancia entre dos coches consecutivos? La longitud total del tramo es de 6 0,5 5 14,5 metros. Si se quiere que haya siete coches aparcados, el espacio total entre ellos debería ser: 14,5 7 0,5 m Por tanto, el espacio entre cada dos coches consecutivos debería ser: 5 0 8, cm El tren de alta velocidad Un tren de alta velocidad recorre los 50 kilómetros que separan Villacero de Villafin, parando en tres estaciones intermedias, que se encuentran a 90, 10 y 15 kilómetros de Villacero. En la primera permanece 5 minutos; en la segunda, 10, y en la tercera, 5. El tiempo que tarda en realizar todo el recorrido, contando las paradas, es de 1 hora y 40 minutos. a) Calcula la velocidad media del tren considerando solo el tiempo que está en circulación. b) Si el primer tren sale a las siete de la mañana, averigua a qué hora pasa por cada parada y a qué hora llega a su destino. a) El tiempo que el tren está en marcha durante todo el trayecto es: 1 h 40 min 5 min 10 min 5 min 1 h 0 min 50 La velocidad media del tren es: 6,5 km/h 1,... b) Llegará al destino a las 8 h 40 min h 0 min 0,8 h 48 min. Por tanto, tardará en llegar a la estación de parada, 48 min 5 min 5 min 50 y, en consecuencia, llegará a las 7 h 5 min. 5 1 h 0 min 8 min. Por tanto, saldrá de la estación de parada a las 8 h 40 min 8 min 8 h min 50 80

78 AUTOEVALUACIÓN 5.A1 Descompón el número 7,85. a) En sus distintos órdenes de unidades. b) En unidades, centésimas y milésimas. c) En décimas y milésimas. a) 7,85 7 U 8 d c 5 m b) 7,85 7 U 8 c 5 m c) 7,85 78 d 5 m 5.A Un tubo está dividido en 11 partes de igual longitud. Se pintan 8 partes. a) Expresa mediante una fracción la parte del tubo que se ha pintado. b) Expresa el número decimal equivalente en forma aproximada con dos cifras decimales. 8 a) Parte del tubo pintada: 1 1 b) ,777 0,7 5.A En los Juegos Olímpicos de Sydney, las mejores marcas en lanzamiento de disco femenino fueron: A. Kelesidou (Grecia), con 65,71 metros, N. Sadova (Rusia), con 65,00 metros, E. Zvereva (Bulgaria), con 68,40 metros, S. Tsikouna (Grecia), con 64,08 metros, I. Yatchenko (Bulgaria), con 65,0 metros. Ordena estas marcas de mayor a menor. 1.ª E. Zvereva (68,40 m).ª A. Kelesidou (65,71 m).ª I. Yatchenko (65,0 m) 4.ª N. Sadova (65,00 m) 5.ª S. Tsikouna (64,08 m) 5.A4 Halla la diferencia entre la marca de Ellina Zvereva (68,40 metros) y la de Styliani Tsikouna (64,08 metros). 68,40 64,08 4, m La diferencia entre las marcas es de 4, metros. 5.A5 Calcula el resultado de estas operaciones. a) 0, c) 7, 0,1 b),1 0,001 d) a) 0, ,1 c) 7, 0,1,7 b),1 0, d) ,005 5.A6 Realiza las siguientes multiplicaciones. a) 0, 0,7 c),5 1,5 b) 0,045 0,7 d) 7, 0,0051 a) 0, c),5 0,7 1, , ,75 b) 0,045 d) 7, 0,7 0, ,0115 0,067 81

79 5.A7 Efectúa estas divisiones. a) 7,4 0,08 b) 0,054 0,5 c) 15 0,005 d) 5 0,0 e),4 0, f) 0,14 1,8 a) 7,4 0, d) , , b) 0,054 0,5 5,4 5 e),4 0, 0,77 0, , c) 15 0, f) 0,14 1,8 0, , A8 En una fiesta de cumpleaños, se utilizan 4 latas de refresco de 0, litros cada una, para llenar 5 vasos iguales. Qué capacidad tiene cada vaso? Expresa el resultado con dos cifras decimales. 0, 4 7,9 L 7,9 5 0,69 L 0, L Cada vaso tiene una capacidad de 0, litros. 5.A9 El precio de venta al público de un televisor de una marca nueva es 75,75 euros. Para promocionar la marca se hace una rebaja de del precio del televisor. Cuántos euros se necesitan para comprarlo? 5 75,7 87, ,7 87,09 68,66 Se necesitan 68,66 euros para comprar el televisor. 8

80 MURAL DE MATEMÁTICAS Jugando con las matemáticas EL TAMAÑO DE LOS VIRUS Por término medio, el tamaño de un virus es 0, metros. Averigua cuántos virus puestos en fila son necesarios para alcanzar 1 kilómetro de largo. Se dividen los metros que hay en un kilómetro, 1 km = m, entre el tamaño de un virus, 0, metros. Necesitaríamos ,666 virus para alcanzar un kilómetro. 8

81 6 EL LENGUAJE ALGEBRAICO. ECUACIONES EJERCICIOS PROPUESTOS 6.1 El perímetro de un rectángulo viene dado por la expresión: x y (x: largo; y: ancho). Calcula el perímetro de cualquier rectángulo; el que tú elijas. Respuesta abierta, por ejemplo, el perímetro de la tabla de una mesa de 1, metros de largo y 90 centímetros de ancho: El perímetro de la mesa mide 4, metros. P x y 1, 0,9,4 1,8 4, m 6. Expresa en lenguaje algebraico. a) El número natural anterior al número n. b) El doble de un número. c) El tercio de un número. d) El cuadrado de un número menos el mismo número. a) n 1 b) n c) x d) y y 6. Lee correctamente las siguientes expresiones algebraicas y escribe las frases correspondientes. a) a x c) a y e) (x y) b) y d) (a y) f) (p) a) Diferencia de dos números b) Doble de un número c) Diferencia de los cuadrados de dos números d) Cuadrado de la diferencia de dos números e) Cuadrado de la suma de dos números f) Cubo del doble de un número 6.4 Escribe la expresión algebraica de las siguientes frases. a) La diferencia de a y b. b) La diferencia del doble de a y del doble de b. c) El doble de la suma de a y b. a) a b b) a b c) (a b) 6.5 Calcula el valor numérico de 5a b. a) Para a 1 y b. b) Para a 4 y b 10. a) b) Indica cuál de los números siguientes es el valor numérico de la expresión x x 5, para x 1. a) 10 b) 10 c) 9 d) 7 Para x 1, el valor numérico es: ( 1) ( 1) Opera las siguientes expresiones algebraicas: a) a a b) 4b b c) 4x x a) a a 4a b) 4b b b c) 4x x x 84

82 6.8 Explica por qué cada una de estas expresiones no se puede reducir. a) y y b) a b c) 5p 5q a) Porque la letra y tiene distintos exponentes. b) Porque son distintas letras. c) Porque las letras son distintas. 6.9 Una tarifa de taxis viene dada por esta fórmula y 1,95 0,75 x, siendo x los kilómetros recorridos e y el coste del servicio. a) Qué significa 1,95 y 0,75 en la fórmula? b) Halla el coste de un recorrido de 5 kilómetros. a) 1,95 euros es el coste de la bajada de bandera, y 0,75 euros, el coste por kilómetro recorrido. b) y 1,95 0,75 5 5, Una empresa de alquiler de coches cobra 97 euros por día y 0,1 euros por kilómetro recorrido. Expresa mediante una fórmula el coste del alquiler c de un día, llamando x a los kilómetros recorridos. c 97,00 0,1 x 6.11 Halla el valor numérico de los dos miembros de la igualdad. x x 5x para x 1 Teniendo en cuenta el resultado puedes afirmar que es una identidad? x x 1 1 5x No es una identidad porque no se verifica para todos los valores de x; por ejemplo, para x 1 no se verifica. 6.1 Razona si las siguientes igualdades son o no identidades. a) 1x x 9x c) x 6 15 x 5 b) 4x 5 x x 7 d) x y z (x y z) a) Es una identidad, porque al operar el primer miembro se obtiene 9x, que es idéntico al segundo miembro. b) Es una identidad, porque al operar el primer miembro se obtiene x 7, que es idéntico al segundo miembro. c) No es una identidad, pues al reducir el primer miembro se obtiene x 9, que no es idéntico al segundo. d) Es una identidad, pues al aplicar la propiedad distributiva en el segundo miembro se obtiene una expresión idéntica a la del primer miembro. 6.1 Copia las siguientes expresiones y rellena con el signo igual ( ) o distinto ( ), según corresponda. a) 1 10 d) b) e) 0 4 c) f) 5 16 a) 1 10 d) b) e) 0 4 c) f) Encuentra la condición que debe cumplir la letra para que se verifiquen cada una de las siguientes ecuaciones. a) x 8 d) 4 x 10 b) a 6 e) 4r 0 c) 5 x f) 14 y 4 a) x 6 b) a 8 c) x d) x 4 e) r 5 f) y 10 85

83 6.15 Las siguientes ecuaciones son equivalentes? a) x 4 8 b) x 4 5 c) x 4 8 d) x 8 4 Son equivalentes las ecuaciones a, c y d porque tienen la misma solución, x 4. La b no es equivalente a las anteriores porque tiene distinta solución: x Escribe tres ecuaciones que sean equivalentes entre sí. Respuesta abierta, por ejemplo: 4x x 8 x 5x x 6 x Las tres ecuaciones son equivalentes porque tienen la misma solución, x Resuelve las siguientes ecuaciones. a) x c) 4 x b) 5 x d) 17 x 5 Como son ecuaciones sencillas, se puede calcular mentalmente el valor de la incógnita: a) x 1 b) x 1 c) x 8 d) x Aplica la regla de la suma para hallar el valor de x. a) 7x 6 x 8 5x b) 6x 4x 9 x 8 c) 4x 7 5x 1 a) 7x 6 x 8 5x Se resta 5x: x 6 x 8 Se resta x: x 6 8 Se suma 6: x 14 b) 6x 4x 9 x 8 Se resta x: 5x 4x 17 Se resta : 5x 4x 15 Se resta: x 15 c) 4x 7 5x 1 Se resta 4x: 7 x 1 Se suma: 8 x Se suma 8: 11 x 6.19 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) x 4 b) 5 x 0 4 a) x 4 b) 5 x 0 4 Se multiplica por 4: x 96 Se multiplica por : 5x Se divide entre : x Se resta 4: 5x 40 Se divide entre 5: x Halla el valor de x. a) x 4 4 x b) 5 x 7 x 5 a) x 4 4 x b) 5 x 7 x 5 Se suma x: 4x 4 4 Se multiplica por : 5x 1 x 75 Se suma 4: 4x 8 Se resta x: x 1 75 Se divide entre 4: x 7 Se resta 1: x 54 Se divide entre : x 18 86

84 6.1 Resuelve esta ecuación. Se suprimen paréntesis: Se opera para reducir términos: Se suma 8x: Se resta 8: Se divide entre 6: (x 6) 5( x) 10 4(6 x) x x x x x 6x x 4 x 7 6. Resuelve esta ecuación. 10x 55 10x 95 10x Se multiplica por : 10x 55 0x 95 10x Se opera 0x 10x: 10x 55 0x 95 Se resta 0x: 0x Se suma 55: 0x 40 Se divide entre 0: x RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 6. El doble de mi edad más 15 es la edad de mi padre que tiene 9 años. Cuántos años tengo? Interpretación del enunciado Lenguaje algebraico Cuántos años tengo? x El doble de mi edad x El doble de mi edad más 15 x 15 Es igual a la edad de mi padre: 9 años x 15 9 Ecuación: x 15 9 x x 4 x 1 Tengo 1 años. 6.4 En una clase de 7 alumnos hay 5 chicas más que chicos. Cuántos chicos y cuántas chicas hay? Interpretación del enunciado Lenguaje algebraico Número de chicos x Hay 5 chicas más que chicos x 5 El total de alumnos es 7 x x 5 9 Ecuación: x x 5 7 x 5 7 x x x 11 Hay 11 chicos y 16 chicas. 87

85 6.5 Daniel tiene ahora 8 años más que su hermana Cristina, pero dentro de 4 años la edad de Daniel será el doble de la de Cristina. Cuántos años tiene cada uno? Edad de Cristina ahora Interpretación del enunciado Daniel tiene ahora 8 años más que Cristina x 8 Dentro de 4 años la edad de Cristina será x 4 Lenguaje algebraico Dentro de 4 años la edad de Daniel será x 8 4 Dentro de 4 años la edad de Daniel será el doble de la de Cristina x 8 4 (x 4) x Ecuación: x 8 4 (x 4) x 1 x 8 x 1 1 x 8 1 x x 4 x 4 x 4 4 x 4 x x 4 x x x 4 x x Dentro de 4 años, Cristina tendrá 8 años, y Daniel, 16, que es el doble de 8. CÁLCULO MENTAL 6.6 Determina cuáles de las siguientes expresiones son igualdades. a) 5 e) b) c) 1 f) d) g) (1 5) 5 7 a) 5 e) b) c) 1 f) d) g) (1 5) Encuentra el valor que tiene que tomar cada letra para que se verifiquen las siguientes igualdades. a) y 8 c) t 5 5 e) x + b) x 6 d) z 10 5 f) p 15 5 a) y 6 c) t 40 e) x 1 b) x 4 d) z 15 f) p Resuelve estas ecuaciones. a) c 6 1 c) t e) 1 x 4 b) q d) y 7 f) 15 d 1 a) c 5 c) t = 1 e) x b) q 500 d) y 4 f) d 88

86 6.9 Halla el valor de la incógnita en cada ecuación. a) 4x = 0 c) 9z 45 e) 4p 44 g) 75 5x i) 5a 45 b) 16 = 4y d) x f) 0 10t h) 9q 90 j) 4x 0 a) x 5 c) z 5 e) p 11 g) x i) a 9 b) y 4 d) x 10 f) t h) q 10 j) x Calcula el valor de la incógnita para el cual se verifica la igualdad. a) 6y 1 c) 7 y e) x 9 11 g) p 4 i) 5 x t m b) 10 d) 5 5 f) r m h) 1 1 j) z 1 a) y = c) y 14 e) x 99 g) p 8 i) x 5 b) t = 0 d) m 5 f) r h) m 1 j) z EJERCICIOS PARA ENTRENARSE Letras y números 6.1 La superficie de un rectángulo es 4. La de otro rectángulo es 5. Cómo expresarías la superficie de un rectángulo cualquiera? Largo x ancho xy 6. Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones. a) El cubo de un número. b) El cuadrado de un número más el doble del mismo. c) Un número más el tercio del mismo. d) Un número par. e) Dos números enteros consecutivos. a) x b) a a c) b 1 b d) n e) n, n 1 6. Escribe con letras, números, y el signo igual ( ), las siguientes frases. a) El doble de un número más es igual a 1. b) La mitad de un número es igual a 9. c) El cuadrado de un número es igual a 16. a) x 1 b) z 9 c) t Escribe las siguientes operaciones en lenguaje ordinario. a) y c) 10 t e) y b) x d) x f) a a) Un número más. b) Un número menos. c) 10 menos un número. d) Triple de un número. e) Triple de un número menos. f) Cuadrado de un número. 89

87 6.5 Calcula los valores numéricos de las expresiones siguientes para x 1 y para x. a) 6x c) 4(1 x ) b) (x 1) d) x x 1 a) ( ) 14 b) (1 1) 0 ( 1) 9 c) 4 (1 1 ) 0 4 [1 ( ) ] 1 d) ( ) Halla el valor de y en las siguientes igualdades para el valor de x indicado. a) y 0,5 x para x 5 b) y 1,75x para x 6 a) y 0,5 5 10,5 b) y 1, ,5 6.7 Cuál de estas expresiones es una identidad? a) 4x 0 b) x y 1 c) x 6 (x ) La expresión c es una identidad porque, al aplicar la propiedad distributiva en el segundo miembro, el resultado es idéntico al primer miembro: (x ) x Para el valor de x indicado, comprueba si se cumple o no la igualdad. a) 4 4x 4 para x 5 b) 0 x para x 11 c) x 4 0 para x 4 d) 1 5x x x para x 1 a) 4 4x Sí se cumple la igualdad. b) 0 x 0 No se cumple la igualdad. c) x Sí se cumple la igualdad. d) 1 5x x x 6 1 No se cumple la igualdad. 6.9 Escribe en lenguaje algebraico. a) La edad de Carmen dentro de 6 años, si ahora tiene x años. b) La edad de Alberto hace 5 años, si ahora tiene x años. a) x 6 b) x Expresa en lenguaje ordinario. a) x b) (b ) c) xz d) x x e) a b f) x y a) Tercio de un número. b) Cuadrado de la suma de un número y. c) Producto de dos números. d) Diferencia del cuadrado de un número y del doble del mismo. e) Diferencia del doble de un número y del triple de otro número f) Diferencia del cuadrado de dos números. 90

88 6.41 Escribe con letras y números y utilizando el signo ( ). a) El doble de un número más 5 es igual a 7. b) Un número sumado a 6 es igual a. c) Un número más el doble del mismo es igual a 9. a) x 5 7 b) y 6 c) z z 9 Soluciones de una ecuación 6.4 Comprueba si el número asignado a x es la solución de la ecuación. a) x x d) 10(x ) 1 x b) 10x 50 x 5 e) 6x 1 5x x c) 5x 10 7x x 4 a) Sí es la solución. d) 0 1 No es la solución. b) Sí es la solución. e) Sí es la solución. c) 0 0 Sí es la solución. 6.4 Averigua para cada par de ecuaciones si son equivalentes. a) x 6 16 x b) 5y y 40 c) 9 x 6 6 x x 7 0 a) Son equivalentes porque tienen la misma solución, x 11. b) No son equivalentes porque tienen distinta solución, y 4 e y 8. c) Son equivalentes porque tienen la misma solución, x 9. Resolución de ecuaciones 6.44 Aplica la regla de la suma para resolver las siguientes ecuaciones. a) x 5 11 c) x 14 e) x 1 b) x 5 d) x 1 f) 5 x a) x 5 11 d) x 1 Se resta 5: x 6 Se resta 1: x b) x 5 e) x 1 Se resta : x Se suma x: 1 x Se suma 1: 4 x c) x 14 f) 5 x Se suma : x 17 Se suma x: 5 x Se resta 5: x 6.45 Aplica la regla del producto para resolver las siguientes ecuaciones. a) 4x 8 b) x 5 c) x 4 d) x a) 4x 8 c) x 4 7 Se divide por 4: x Se multiplica por 7: x 8 Se divide por : x 14 b) x 5 d) x Se multiplica por 1: x 5 Se multiplica por 15: 9x 18 Se divide por 9: x 91

89 6.46 Resuelve estas ecuaciones. a) 5x 0 0 d) x 55 b) x 5 4 e) 5 x 7 4 c) 6 7x 0 f) x a) 5x 0 0 5x x 6 d) x 5 x 5 x 10 b) x 5 4 x x 9 x e) 5 x x x 1 8 5x x 40 x 8 c) 6 7x 0 6 7x x 14 x x f) x x x x 150 x Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 5( x) (x 6) 10 4(6 x) c) (x ) 5(x 1) 6x b) 4(x ) 1 5(x 1) x d) (5x 9) (x 7) 11(x ) 7 a) 5( x) (x 6) 10 4(6 x) c) (x ) 5(x 1) 6x 10 5x x x x 9 5x 5 6x x x x 9 5 x x 8 8x 14 8x 8x x 9 x 5 x x 6x x 9 5 6x x x x 4 x 7 x 1 b) 4(x ) 1 5(x 1) x d) (5x 9) (x 7) 11(x ) 7 4x 8 1 5x 5 x 15x 7 x 1 11x 7 4x 7 x 5 1x 48 11x 15 4x 7 x x 5 x 1x x x 7 5 1x 11x 6 x x 11x 11x 6 11x x 1 x 6 x 6 9

90 6.48 Resuelve. a) x 4 c) x b) x x 5 d) 1 x x 4 a) x 4 ( x ) 4 ( ) x 8 x 8 x 5 b) x x 5 x (x 5) x x 15 x x x 15 x x 15 x 15 x 1 x 6 c) x x 1 8 ( 4) 4 x 1 x x 1 d) 1 x x 4 4x x 4 (4x ) x 4 8x 4 x 8 8x 4 x x 8 x 5x 4 8 5x x 4 5 x x 4 5 9

91 6.49 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) x 1 x b) x 5 4 x c) x 1 (x ) 7 d) 10x 95 x 10x 55 e) 5x 7 x 4 x a) x 1 x m.c.m.(6,, 4) 1 1 x 1 x 4 6 (x 1) 4(x 4) 4 x 4x 16 7 x 14 7 x x 41 x 41 x d) 10x 95 x 10x 55 0x (95 x) 10x 55 0x 95 x 10x 55 1x 95 10x 55 1x 95 10x 10x 55 10x 11x x x 40 x b) x 5 4 x m.c.m. (,, 4) 1 1 x 5 4 x x 5 x x 15 x x x x 69 x c) x 1 (x ) 7 6x x 6 7 e) 5x 7 x 4 x m.c.m.(,, 4) 1 1 5x 7 1 x 4 1 x (5x 7) 4(x 4) (x 9) 60 0x 4 8x 16 9x 7 60 x 58 9x 87 x 58 9x 9x 87 9x 1x x x 9 x 9 1 1x 4x x x x 5 5 x

92 PROBLEMAS PARA APLICAR 6.50 Tres amigos van a una librería a hacer compras. Juan gasta el doble que Alicia y Ana gasta el triple que Alicia. Si entre los tres gastan 7 euros, cuánto ha gastado cada uno? Gasto de Alicia: x Gasto de Juan: x Gasto de Ana: x Gasto total: x x x 7 Ecuación: x x x 7 6x 7 x 1 x 4, x 6 Alicia gasta 1 euros; Juan, 4, y Ana, Las medidas de la figura vienen dadas en centímetros. El perímetro mide 6 centímetros. Calcula los lados de la figura. Ancho Ancho: x Largo: x 5 Perímetro: x (x 5) 6 Ecuación: x (x 5) 6 x 4x x x x 6 6 x Doble del ancho + 5 x 4, x 5 4, 5 1,66 El ancho mide 4, centímetros, y el largo, 1, Un grupo de 5 amigos hace una competición con juegos de estrategia. Acuerdan repartir 10 euros en premios, de modo que a cada uno le correspondan 10 euros más que al que se quede en posición inmediata inferior. Cuántos euros recibe cada uno? Número de euros para el que queda en 5.ª posición: x Número de euros para el queda en 4.ª posición: x 10 Número de euros para el que queda en.ª posición: x Número de euros para el que queda en.ª posición: x Número de euros para el que queda en 1.ª posición: x El reparto total es: x (x 10) (x 10 10) (x ) (x ) 10 Ecuación: x (x 10) (x 10 10) (x ) (x ) 10 x x 10 x 0 x 0 x x x x 110 x El 5.º recibe euros; el 4.º, ; el.º, 4; el.º, 5, y el 1.º, 6. 95

93 6.5 La hermana mayor de Patricia tiene 6 años más que ella. Y su hermana menor tiene 8 años menos que ella. Si entre las tres suman 7 años. Cuántos años tiene Patricia? Edad de Patricia: x Edad de la hermana mayor: x 6 Edad de la hermana menor: x 8 Entre las tres suman: x x 6 x 8 7 Ecuación: x x 6 x 8 7 x 7 x 7 x 9 x 1 Patricia tiene 1 años El perímetro de un triángulo isósceles mide 0 centímetros. El lado desigual mide la mitad de uno de los lados iguales. Cuánto mide cada lado? Longitud de uno de los dos lados iguales: Longitud del lado desigual: x x x Perímetro: x x 0 x Ecuación: x x 0 x x x 40 5x 40 x x 8 4 Los lados iguales miden 8 centímetros cada uno, y el otro lado, 4 centímetros La diferencia de dos números es 10, siendo el menor la sexta parte del mayor. Cuál es el valor de cada uno? Número mayor: Número menor: x 6 x Diferencia: x 6 x 10 x Ecuación: x x x 60 5x 60 x x 1 6 El número mayor es 1, y el menor,. 96

94 6.56 El transporte de un tipo de libros se realiza en cajas de igual largo que ancho y de 0 centímetros de altura. Para reforzar las aristas de cada caja se aplica cinta adhesiva. Para una caja se necesitan 400 centímetros de cinta. Cuánto miden las aristas de una caja? Altura: 0 Cuatro aristas (en altura): 10 Una arista a lo largo o a lo ancho: Ocho aristas a lo largo o a lo ancho: x 8x Longitud de cinta: 10 8x 400 Ecuación: 10 8x x x 80 x 5 Las aristas de una caja miden 5, 5 y 0 centímetros El doble de las horas del día que han transcurrido es igual al cuádruplo de las horas que quedan por transcurrir. Qué hora es? Horas transcurridas: Horas que quedan por transcurrir: Doble de las horas transcurridas: x 4 x x Cuádruplo de las horas que quedan por transcurrir: 4 (4 x) Ecuación: x 4 (4 x) x 96 4x x 4x 96 4x 4x 6x 96 x 16 Son las La suma de tres números consecutivos es igual al doble del mayor más 1. Calcula los números. Un número: x Siguiente: x 1 Siguiente: x Ecuación: x x 1 x (x ) 1 x x 4 1 x x 5 x x x 5 x x 5 x 5 x = x 1 x 4 Los números son:, y 4. 97

95 6.59 El perímetro de esta pieza mide 8 centímetros. Calcula el valor de los lados desconocidos. x x Ecuación: 9 x x 4 8 4x 6 8 4x x 1 x x 6 cm x cm Los lados desconocidos miden 6 y 10 centímetros De una pieza de tela después de haber vendido la mitad, la quinta parte y la décima parte, quedan 0 metros. Halla la longitud de una pieza de tela. Longitud de la pieza de tela: x x x x Ecuación: x m.c.m.(, 5, 10) 10 x x x 10 x x 5x x x 00 10x 8x 00 x 00 x 100 La longitud de una pieza de tela es de 100 metros Un segmento que mide centímetros se parte en dos, de modo que una de las partes mide 6 centímetros más que la otra. Cuánto mide cada trozo? Longitud de una parte: Longitud de la otra parte: x x Ecuación: x ( x) 6 x x 6 x 8 x x x 8 x x x 8 x 14 x 14 8 Una parte mide 14 centímetros, y la otra, 8. 98

96 6.6 Tres personas se reparten 000 euros. Una recibe 65 euros más que otra, y esta 00 euros más que una tercera. Qué dinero recibe cada una? Dinero recibido por la tercera persona: x Ecuación: x (x 00) [(x 00) 65] 000 x x 00 x x x x 55 x 845 x x Las tres personas reciben 845 euros, y Una barra mide 74 centímetros y está pintada de azul y blanco. La longitud pintada de azul es 14 veces mayor que la mitad de la longitud pintada de blanco. Halla la longitud pintada de cada color. Longitud pintada de blanco: Longitud pintada de azul: Ecuación: 74 x 14 x 74 x 7x 74 x x 7x x 74 8x x 74 x 9,5 x 74 x 74 9,5 64,75 cm La parte pintada de blanco mide 9,5 centímetros, y la pintada de azul, 64, El padre de David tiene el triple de la edad de su hijo, y éste, tiene 4 años menos que su padre. Cuántos años tiene cada uno? Edad del hijo: x Edad del padre: x Ecuación: x x 4 x 4 x 4 4 x 4 x x 4 x x x 4 x 1 x x 6 David tiene 1 años, y su padre, En una bolsa hay bolas azules, blancas y rojas. El número de bolas rojas es igual al de bolas blancas más 14, y hay 6 bolas azules menos que blancas. Si en total hay 98 bolas, halla cuántas bolas hay de cada color. Número de bolas blancas: x Número de bolas rojas: x 14 Número de bolas azules: x 6 Ecuación: x (x 14) (x 6) 98 x x 14 x 6 98 x 8 98 x x 90 x 0 x + 14 = = 44 rojas Hay 0 bolas blancas, 44 rojas y 4 azules. x azules 99

97 REFUERZO Letras y números 6.66 Escribe en lenguaje matemático las siguientes frases. a) Dos números pares consecutivos. b) La edad dentro de 10 años de una persona que tiene ahora x años. c) La edad hace 1 año de un niño que ahora tiene y años. d) La mitad de un número es igual a 9. e) El perímetro de un cuadrado. a) n, n + b) x 10 c) y 1 d) x 9 e) 4x (x, lado) 6.67 Escribe en lenguaje ordinario frases que correspondan a las siguientes expresiones matemáticas. a) x 1 d) x b) x e) (a b) c) x 1 f) a b a) Un número más 1 d) Cuadrado de un número b) Triple de un número e) Cuadrado de la suma de dos números c) Un número menos 1 f) Suma de los cuadrados de dos números 6.68 t Halla el valor numérico de la expresión algebraica t 6 para los valores de 4. a) t 1 c) t 10 b) t 1 d) t 0 t 1 a) t t 1 b) t 6 ( 1) c) t 6 t d) t 6 t ( 0) Comprueba si se verifican las siguientes ecuaciones para el valor que se indica. a) 5x 4 para x 1 b) 4x x 5x 10 para x a) 4 No se cumple. b) 6 0 No se cumple Qué valor hay que asignar a x para que se verifique la ecuación? x 1 x 1 x 1 Resolución de ecuaciones Aplica la regla de la suma para resolver las siguientes ecuaciones. a) x 0 c) 1 x 1 b) x 5 1 d) x 15 a) x 0 c) 1 x 1 x x x 1 b) x 5 1 d) x 15 x x x 15 x x x x 15 1 x

98 6.7 Aplica la regla del producto para resolver las siguientes ecuaciones. a) x b) 1 7 x c) 57 x d) 4 x 5 a) x b) 1 7 x c) 57 x d) 4 x 5 x x 7 57 x 4 x 5 x 11 x 1 19 x 4x x x 6 0x x Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 5 x b) 9x 8 10x 7x 15 5x a) x 5 x x x 5 x x 5x 5 5x 5 5x 5 x 5 5 b) 9x 8 10x 7x 15 5x 19x 8 1x 15 19x 8 1x 1x 15 1x 7x x x 7 x Dos hermanos, Irene y Alejandro, tienen 7 discos. Irene tiene el doble de discos que Alejandro más 1. Cuántos discos tiene cada uno? Número de discos de Alejandro: Número de discos de Irene: x 7 x Ecuación: 7 x x 1 7 x x x 1 x 7 x x x 4 x 7 x discos Alejandro tiene 4 discos, e Irene,

99 6.75 La edad de Pablo es el doble que la de su hermana Fátima. En total suman 15 años. Qué edad tiene cada uno? Edad de Fátima: Edad de Pablo: x x Ecuación: x x 15 x 15 x 5 x 10 Fátima tiene 5 años, y Pablo, Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 5[(x 4) 6] 4(x 6) b) (x ) 6(5 x) x 4 c) x 8 5x 5 (x 6) 7x a) 5[(x 4) 6] 4(x 6) 5[x 4 6] 4x 4 5[x ] 4x 4 5x 10 4x 4 5x 10 4x 4x 4 4x x 10 4 x x 14 b) (x ) 6(5 x) x 4 x 6 0 6x x 4 4x 4 x 4 4x 4 4 x 4 4 4x x 8 7x 8 7x x 4 c) x 8 5x 5 (x 6) 7x x x 1 7x x 5x 1 x 5x 5x 1 5x x 1 x 1 x 9 x 6.77 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 4 x (x 1) x b) x 6 x 5 a) 4 x x (x 1) m.c.m.(, ) 6 x 6 b) x 5 ( ) x 6 ( ) (x 5) 6 4 x x 6 (x 1) 6 x 6 x 10 4x 1(x 1) x x 6 x x 10 x 8x 1x 1 x 4x x 1 x 4x x 1 x x x 4x 16 7x 1 0 x 4 7x x 1 7x 1 = 7 7 x

100 AMPLIACIÓN 6.78 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) x 1 x 4 x 1 b) x x x a) x 1 x 4 x 1 b) x x x m.c.m.(, 5, 4) 0 m.c.m.(8, 10, 4) 40 0 x 1 0 x 4 0 x x 40 x x (x 1) 4 (x 4) 5 (x ) 0 5 (x ) 4 (x ) 10 (x 5) 40 10x 10 4x 16 5x x 15 4x 1 10x x 11 0 x 7 10x 90 9x x 7 x 10x 90 x 9x 9 7 9x 90 x x x x 9 9 x Si tenemos 800 euros en billetes de 500 euros y de 100 euros, de manera que el número de estos es el doble que el de los primeros. Cuántos billetes se tienen de cada clase? Número de billetes de 500 euros: Número de billetes de 100 euros: x x Ecuación: 500x (x) x 00x x x x 4 x 4 8 Tenemos 4 billetes de 500 euros y 8 billetes de Hace 1 años, la edad de una madre era el cuádruplo de la de su hijo. Sabiendo que la madre tenía 7 años cuando nació el hijo. Cuáles son las edades actuales de ambos? Edad actual del hijo: x Edad actual de la madre: x 7 Edad del hijo hace 1 años: x 1 Edad de la madre hace 1 años: x 7 1 Ecuación: x (x 1) x 15 4x 48 x 15 x 4x 48 x 15 x x 6 x x 1 Edad actual del hijo: 1 años. Edad actual de la madre: años. La edad actual de la madre es de 48 años, y la del hijo, de 1. 10

101 Cervantes nació en el siglo XVI. La suma de las cifras del año de su nacimiento es 17 y la cifra de las unidades es 7. En qué año nació el autor de El Quijote? El siglo XVI comprende los años 1500 a 1599, ambos inclusive. El año es: 15d7, donde d es la cifra de las decenas. Ecuación: 1 5 d d 17 1 d d 4 La cifra de las decenas es 4, luego el año en que nació Cervantes fue el Con los baldosines cuadrados que tengo puedo formar un cuadrado y sobran. Si formo otro de 1 baldosín más por lado, faltan 46. Cuántos baldosines tengo? Lado del cuadrado: x Con los baldosines se puede formar un cuadrado y sobran : x Si el lado es x 1, faltan 46 para completar un cuadrado: (x 1) 46 Ecuación: x (x 1) 46 x x x 1 46 x x x x 45 x x x x x 4 x Tengo baldosines. PARA INTERPRETAR Y RESOLVER 6.8 El almacén En un almacén hay cajas marrones, amarillas y blancas, correspondiendo cada color a un tamaño determinado. Se almacenan apilando una caja encima de otra. Una pila formada por cajas marrones alcanza la misma altura que una de amarillas, y una pila de 4 cajas marrones y amarillas tiene la misma altura que una de 4 amarillas y una blanca. Si las cajas blancas tienen 50 centímetros de altura, qué altura tienen las demás? altura cajas marrones altura cajas amarillas x altura de caja marrón x altura cajas amarillas 50 cm altura caja blanca Ecuación: 4x x 6x 50 7x 6x 50 7x 6x 50 x 50 cm La altura de la caja marrón es de 50 cm La altura de la caja amarilla es de 75 cm 104

102 6.84 Visita al museo La comisión de actividades extraescolares de un colegio está estudiando las empresas que ofrecen autocares. La empresa Viajes Escolares, S.A., envía la siguiente respuesta comercial. Autocares: de 40 y de 50 plazas N. o total de autocares: 1 N. o total de plazas: 970 Averigua el número de autocares de cada tipo del que dispone la empresa x coches de 50 plazas y 1 x coches de 40 plazas 50x 40 (1 x) x x x 10 x coches de 50 plazas y 8 coches de 40 plazas AUTOEVALUACIÓN 6.A1 Escribe en lenguaje algebraico estas frases. a) El triple de un número más la mitad del mismo. b) Un número menos 10 es igual al triple de dicho número. a) x x b) x 10 x 6.A Calcula el valor numérico de la siguiente expresión para x. 1 x 6 x 5 4 Para x : 1 x 6 x 5 1 ( ) 6 ( ) A Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la regla de la suma. a) 5x 16 4x b) 1x x a) 5x 16 4x b) 1x x x 16 1x 6 11x 5 11x 11x x x 6 5 x 14 x x 11 6.A4 Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la regla del producto. a) 4x 48 b) x 5 1 c) x 7 x x a) 4x 48 b) 1 c) x 4 8 x x x 1 x 60 x 14 ( 1) ( x) ( 1) 14 x

103 6.A5 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 6(x 1) 4(x ) b) 5(x ) (x 6) c) 9(x 1) (5x ) 18 a) 6(x 1) 4(x ) b) 5(x ) (x 6) c) 9(x 1) (5x ) 18 6x 6 4x 8 10x 15 9x 18 18x 9 15x x 6 4x 4x 8 4x 10x 15 9x 9x 18 9x x 18 x 6 8 x x 6 x x x 14 x x 7 6.A6 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 1 x 10 b) 1 x 4 c) x 5 4 x x a) x x x x x 10 0 b) 1 x 4 x x 4 x 4 4 x 1 x 1 x 1 c) x 5 4 x m.c.m.(, 4, 6) 1 1 x x x 15 x x 15 x x x x x x x x A7 Halla el valor de x para el cual se cumple la ecuación. x 1 7 x 6 x 1 8 m.c.m.(1, 6, 8) 4 4 x x 6 4 x 1 8 (x 7) 4(x ) (x 1) 6x 14 8x 1 x 6x x 9 6x 14 5x 5x 9 5x x 14 9 x x 5 6.A8 El padre de Claudia tiene 7 años. Esta edad es 4 años más que el triple de la edad de Claudia. Calcula la edad de Claudia. Edad de Claudia: x Edad del padre: x 4 7 Ecuación: x 4 7 x x x 11 La edad de Claudia es 11 años. 106

104 6.A9 Para vallar un campo rectangular se han necesitado 850 metros de valla. El largo del campo es el doble del ancho más 5 metros. Calcula el largo y el ancho del campo. Ancho: x Largo: x 5 Ecuación: x (x 5) 850 x 4x x x x x A10 x 140 Ancho: 140 metros Largo: metros El ancho mide 140 metros, y el largo, 85. En un centro escolar se ha preparado una sala de proyección de cine, con varios bancos dispuestos uno detrás de otro. Si se colocan 10 alumnos en cada banco, quedan sin sitio 11 alumnos. Y si se colocan 11 alumnos en cada banco, quedan 7 plazas disponibles. Cuántos alumnos hay en el grupo? Número de bancos: x Número de alumnos con 10 en cada banco: 10x + 11 Número de alumnos con 11 en cada banco: 11x 7 Ecuación: 10x 11 11x 7 10x 11 10x 11x 7 10x 11 x x x Número de bancos: x 18 Número de alumnos: 10x alumnos En el grupo hay 191 alumnos. MURAL DE MATEMÁTICAS Jugando con las matemáticas LA BOTELLA CON TAPÓN El precio de una botella y su tapón es de 1,50 euros. Si la botella cuesta 1 euro más que el tapón, sabrías decir el precio de cada cosa? Precio del tapón: x Precio de la botella: x 1 Ecuación: x x 1 1,50 x 1 1,50 x 1 1 1,50 1 x 0, 50 x 0,5 La botella cuesta 1,5 euros, y el tapón, 0,5. 107

105 7 SISTEMA DE MEDIDAS EJERCICIOS PROPUESTOS 7.1 Mide el segmento AB eligiendo como cantidad de referencia otro segmento de menor longitud. B A u El segmento AB contiene 5 veces a u. Luego mide 5u. 7. Observa las dos figuras y averigua si tienen la misma cantidad de superficie. Ambas tienen la misma superficie: 1 cuadrados. 7. Indica la unidad que utilizarías para expresar estas magnitudes. a) La capacidad del depósito de gasolina de un coche. b) La distancia entre Bilbao y Cádiz. c) La masa de un envase de café. a) El litro. b) El kilómetro. c) El gramo. 7.4 Dibuja un segmento y mídelo con la regla graduada. a) Qué magnitud has medido? b) Cuánto mide el segmento que has dibujado? c) Qué unidad has utilizado? Respuesta abierta, por ejemplo: a) Longitud. b) 78 milímetros. c) El milímetro. 7.5 Expresa en metros estas longitudes. a) 5 dam b),7 km a) 5 dam 50 m b),7 km 700 m 108

106 7.6 Pasa las siguientes longitudes a centímetros. a) 1 00 mm b),7 km a) 1 00 mm 10 cm b),7 km cm 7.7 Pasa estas longitudes a las unidades que se indican en cada caso. a) m 7 cm a centímetros. b) m 5 dm a kilómetros. c) 8 km 5 dam a decámetros. d) 6 hm 50 m a decímetros. a) m 7 cm a centímetros 00 cm 7 cm 07 cm b) m 5 dm a kilómetros 0,00 km 0,0005 km 0,005 km c) 8 km 5 dam a decámetros 800 dam 5 dam 805 dam d) 6 hm 50 m a decímetros dm 500 dm dm 7.8 Pasa a metros cuadrados estas medidas. a) 5 dam b) 1,5 km c) 15 hm a) 5 dam 500 m b) 1,5 km m c) 15 hm m 7.9 Expresa estas superficies en centímetros cuadrados. a) 1 00 mm b),7 dam a) 1 00 mm 1 cm b),7 dam cm 7.10 A cuántos metros cuadrados equivalen estas superficies? a) 5 dam 6 m b) hm 00 dm a) 5 dam 6 m 500 m 6 m 506 m b) hm 00 dm m m 0 00 m 7.11 Expresa las siguientes superficies en áreas. a) ca b) 5 ha c) ha 50 a a) ca 10 a b) 5 ha 500 a c) ha 50 a 00 a 50 a 50 a 7.1 Pasa estas medidas a hectáreas. a) m c) 5 km b) dam d) 8 78 m a) m 10 hm 10 ha c) 5 km 500 hm 500 ha b) dam 14 hm 14 ha d) 8 78 m 0,878 hm 0,878 ha 7.1 Expresa estas superficies en metros cuadrados. a) 50 ha a b) 50 a 65 ca a) 50 ha a ca ca ca m b) 50 a 65 ca ca 65 ca ca m 7.14 Expresa estos volúmenes en centímetros cúbicos. a) 1 dm b) 0,5 dm c) 6 m a) 1 dm cm b) 0,5 dm 50 cm c) 6 m cm 109

107 7.15 Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas. a) El volumen de un televisor es menor que un metro cúbico. b) El volumen de tu libro de Matemáticas es mayor que un decímetro cúbico. c) El volumen del aula es mayor que un metro cúbico. d) El volumen de una caja de cerillas es menor que un centímetro cúbico. a) Cierta. b) Falsa. c) Cierta. d) Falsa Copia en tu cuaderno y completa estas igualdades con las unidades que faltan. a) 1 dam c) 1 km b) 1 hm d) 5, dam a) 1 dam m c) 1 km dam b) 1 hm dam d) 5,7 hm dam Expresa en metros cúbicos las siguientes medidas. a) 6 dam 5 m b) 0,5 hm 10 dam c) dm cm d) 0,050 dam 5 50 dm e) 0,005 km 0,05 hm f) 0,105 dam cm a) 6 dam 5 m m 5 m 6 05 m b) 0,5 hm 10 dam m m m c) dm cm 5 m 0,450 m 5,450 m d) 0,050 dam 5 50 dm 50 m 5,50 m 55,50 m e) 0,005 km 0,05 hm m m m f) 0,105 dam cm 105 m m 108 m Expresa estas medidas en centilitros. a),5 L c) 5 ml b) 0,5 dal d) 5 dl 75 ml a),5 L 50 cl c) 5 ml =,5 cl b) 0,5 dal = 500 cl d) 5 dl 75 ml = 50 cl + 7,5 cl = 57,5 cl Expresa en gramos las siguientes masas. a) 15 mg c) 7,5 dag mg b) 50 dg d) 6 kg 18 hg a) 15 mg 0,15 g c) 7,5 dag mg 75 g 8,5 g 8,5 g b) 50 dg 5 g d) 6 kg 18 hg g g g Pasa estas medidas a centímetros cúbicos. a) 5 L c) 8 cl b) 0,05 L d) 0,0075 kl a) 5 L 5 dm cm c) 8 cl 80 ml 80 cm b) 0,05 L 50 ml 50 cm d) 0,0075 kl 7,5 L ml cm 7.1 Expresa en litros estas medidas de volumen. a) 000 cm c) mm b),5 dm d) 58 m a) 000 cm dm L c) mm 0,0015 dm 0,0015 L b),5 dm,5 L d) 58 m dm L 110

108 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 7. Las ruedas de un coche tienen la forma de una circunferencia de 140 centímetros. Calcula cuántas vueltas dará cada una si el automóvil recorre esta distancia: 19 km 1 hm 5 dam m. Distancia recorrida en centímetros: 19 km 1 hm 5 dam m cm Número de vueltas: Cada rueda da vueltas. 7. La masa de un camión vacío es de 5 t 6 q 8 kg, y puede cargar 8 contenedores si la masa de cada uno es de 6 mag 4 kg 5 hg. Cuánto sería la masa del camión totalmente cargado? Masa del camión vacío: 5 t 6 q 8 kg kg Masa de cada contenedor: 6 mag 4 kg 5 hg ,5 64,5 kg Masa total: , kg La masa total del camión totalmente cargado sería de 6,14 toneladas. CÁLCULO MENTAL 7.4 Expresa estas longitudes en centímetros. a) 1 m c) hm b) 5 dm d) 10 km a) 1 m 1 00 cm c) hm cm b) 5 dm 50 cm d) 10 km cm 7.5 A cuántos metros equivalen estas longitudes? a) 5 dam c) 0,007 km b) 1,5 dm d) 500 mm a) 5 dam 50 m c) 0,007 km 7 m b) 1,5 dm 0,15 m d) 500 mm 0,5 m 7.6 Expresa estas medidas de capacidad en litros. a) 8 dal c) cl b) 6 hl d) 50 ml a) 8 dal 80 L c) cl 0, L b) 6 hl 600 L d) 50 ml 0,50 L 7.7 Pasa a centilitros estas medidas. a) 4,5 L c) 5,5 ml b) 0,6 dal d) 0,0005 hl a) 4,5 L 450 cl c) 5,5 ml,55 cl b) 0,6 dal 600 cl d) 0,0005 hl 5 cl 7.8 Escribe las siguientes masas en gramos. a) 5 kg c) mg b) 1 dag d) 60 dg a) 5 kg g c) mg 5 g b) 1 dag 10 g d) 60 dg 6 g 111

109 7.9 Expresa en kilogramos estas masas. a) 50 g c) 0,5 t b) 0,5 dag d) mg a) 50 g 0,50 kg c) 0,5 t 500 kg b) 0,5 dag 0,005 kg d) mg kg 7.0 Pasa las siguientes superficies a metros cuadrados. a) 5 dam c) cm b) 0 km d) 0,05 hm a) 5 dam 500 m c) cm 8 m b) 0 km m d) 0,05 hm 500 m 7.1 Expresa en kilómetros cuadrados estas superficies. a) m c) dam b) 750 hm d) dm a) m 0,005 km c) dam,50 km b) 750 hm 7,50 km d) dm 0,01 km 7. Escribe estas medidas en centímetros cúbicos. a) 0,1 dm c) mm b) 0,5 m d) 0,0007 dam a) 0,1 dm 100 cm c) mm 1 cm b) 0, 5 m cm d) 0,0007 dam cm 7. Pasa estas medidas de volumen a litros. a) 7 dm b) 50 dm c) m a) 7 dm 7 L b) 50 dm 50 L c) m 000 L 7.4 Expresa las siguientes medidas de capacidad en centímetros cúbicos. a) 1 L b) 0,5 L c) 500 cl a) 1 L 1 dm cm b) 0,5 L 0,5 dm 500 cm c) 500 cl ml cm Unidades de longitud EJERCICIOS PARA ENTRENARSE 7.5 Copia en tu cuaderno y completa las siguientes igualdades. a) dam dm mm b) 0,75 m cm mm c),5 km m cm a) dam 00 dm mm b) 0,75 m 75 cm 750 mm c),5 km 500 m cm 11

110 7.6 Completa estas igualdades con el número o unidad que corresponda. a) 5 m c) 6, hm b) 10 km hm m d) cm,5 dam 500 a) 5 m 50 dm mm c) 6, hm 60 m cm b) 10 km 100 hm m d) 500 cm,5 dam 500 cm 7.7 Ordena de menor a mayor.,5 dam 400 dm 0,075 km mm Reducimos a la misma unidad, por ejemplo, a metros:,5 dam 5 m 400 dm 40 m 0,075 km 75 m mm 50 m Orden de menor a mayor:,5 dam 0,075 km 400 dm mm 7.8 Añade la medida necesaria para que sume 1 metro en cada caso. a) 5 cm cm c) 7, dm b) 5 mm d) 0,0006 km a) 5 cm 95 cm c) 7, dm,8 dm b) 5 mm 775 mm d) 0,0006 km 0,0004 km Unidades de superficie 7.9 Expresa en metros cuadrados estas superficies. a),5 hm b) 50 dm a),5 hm m b) 50 dm,50 m 7.40 Copia en tu cuaderno y completa. a) dam m c),6 m 60 b) 5,50 dm mm d) km 50 hm a) dam 00 m c),6 m 60 dm b) 5,50 dm mm d),50 km 50 hm 7.41 Expresa estas superficies en áreas. a) 7 ha c) 100 ca b) 0,7 ha d) 50 ca a) 7 ha 700 a c) 100 ca 1 a b) 0,7 ha 70 a d) 50 ca 0,5 a 7.4 Pasa a metros cuadrados estas medidas. a) cm c) 500 dm e) 4 ca g) 1,5 ha b) a d),5 a f) 7 dm h) 0,5 ca a) cm 0,000 m e) 4 ca 4 m b) a dam 00 m f) 7 dm 0,7 m c) 500 dm 5 m g) 1,5 ha 1,5 hm m d),5 a,5 dam 50 m h) 0,5 ca 0,5 m 11

111 7.4 Expresa en áreas las siguientes superficies. a) hm d) 5 dam b) 700 dm e) 5 ca c) ca f) ha a) hm ha 00 a d) 5 dam 5 a b) 700 dm 0,7 dam 0,7 a e) 5 ca 0,05 a c) ca 10 a f) ha 00 a Unidades de volumen 7.44 Haz un dibujo para explicar cuántos centímetros cúbicos contiene un decímetro cúbico. 1 dm = 10 cm 1 dm = 10 cm 1 dm = 10 cm 1 dm cm 7.45 Explica cuántos centímetros cúbicos contiene un metro cúbico. Sabemos que una unidad de volumen es veces mayor que la del orden inmediato inferior. Tenemos entonces que: 1 m dm A su vez, 1 dm cm Luego 1 m dm cm Un metro cúbico contiene un millón de centímetros cúbicos Expresa en centímetros cúbicos estas medidas. a) 1 dm c) m b) 1 dam d) 0,5 m a) 1 dm cm c) m cm b) 1 dam 0,500 dam cm d) 0,5 m cm 7.47 Pasa estos volúmenes a decímetros cúbicos. a) 0,5 cm c) 0,00050 m b) 10 dam d) cm a) 0,5 cm 0,0005 dm c) 0,00050 m 0,50 dm b) 10 dam dm d) cm 0,00 dm 7.48 Completa estas igualdades con las unidades que faltan. a) 1 dm c) 1 m b) 1 cm d) 5,7 dam a) 1 dm cm c) 1 m dm b) 1 cm mm d) 5,7 dam m 114

112 7.49 Ordena de menor a mayor. 0,0 m 500 cm dm 0,005 km Expresamos todas las cantidades en la misma unidad de medida, por ejemplo, en decímetros cúbicos: 0,0 m 0 dm 500 cm 0,500 dm dm dm 0,005 km dm Orden de menor a mayor: 500 cm 0,0 m dm 0,005 km 7.50 Indica qué medida hay que sumar a las siguientes para obtener 1 decímetro cúbico en cada caso. a) 7 cm c) 0,0001 m b) 00 cm d) mm a) 7 cm 97 cm c) 0,0001 m 0,1 dm ; 0,1 dm 0,9 dm b) 00 cm 700 cm d) mm 0,01 dm ; 0,01 dm 0,988 dm Unidades de capacidad 7.51 Copia en tu cuaderno y completa estas igualdades. a) 15 cl L ml c) dal 50 L kl b) 0,05 kl cl L d) 0,5 kl a) 15 cl 0,15 L 150 ml c) 5 dal 50 L 0,050 kl b) 0,05 kl 500 cl 5 L d) 0,5 kl 500 L 5 hl 7.5 Ordena de mayor a menor. 5 dal 0,6 hl 500 L 0,1 kl Expresamos todas las cantidades en la misma unidad de medida, por ejemplo, en litros. 5 dal 50 L 0,6 hl 60 L 500 L 500 L 0,1 kl 100 L Orden de mayor a menor: 500 L 0,1 kl 0,6 hl 5 dal 7.5 Une con flechas las medidas de capacidad que suman 1 litro. 0 cl 50 ml 0,05 dal 80 cl 5 ml 97,5 cl 75 cl 0,5 L 0 cl 50 ml 0,05 dal 80 cl 5 ml 97,5 cl 75 cl 0,5 L 115

113 Unidades de masa 7.54 Expresa las siguientes cantidades en gramos. a) 5 dag d) 0,015 mg b) 7,5 hg e) 0,1 cg c) mg f) 0,005 t a) 5 dag 50 g d) 0,015 mg 0, g b) 7,5 hg 750 g e) 0,1 cg 0,001 g c) mg 7,5 g f) 0,005 t g 7.55 Completa con los signos >, <,, según corresponda. a) 5 g mg c) 0 cg 0,0 g b) 1 kg 100 g d) 0,1 hg 0,01 kg a) 5 g mg c) 0 cg 0,0 g b) 1 kg 100 g d) 0,1 hg 0,01 kg Relación entre las unidades de volumen y de capacidad 7.56 Expresa estas medidas de capacidad en decímetros cúbicos. a) 1 L c) 500 cl b) 1 kl d) ml a) 1 L 1 dm c) 500 cl 5 L 5 dm b) 1 kl L dm d) ml 1 L 1 dm 7.57 Pasa las siguientes medidas a centímetros cúbicos. a) 1 L c) 1 ml b) 1 cl d) 500 dl a) 1 L 1 dm cm c) 1 ml 1 cm b) 1 cl 10 ml 10 cm d) 500 dl ml cm 7.58 A cuántos litros equivalen estos volúmenes? a) 10 dm b) cm c) mm a) 10 dm 10 L b) cm 1 dm 1 L c) mm 1 dm 1 L 7.59 A cuántos mililitros equivalen las siguientes medidas de volumen? a),5 cm b) 10 mm c) 0,5 dm a),5 cm,5 ml b) 10 mm 0,010 cm 0,010 ml c) 0,5 dm 500 cm 500 ml 7.60 Ordena estas medidas de menor a mayor, expresando todas ellas en unidades de capacidad. L dm cm 0,01 kl Elegimos como unidad de capacidad el litro: L dm L cm 1 dm 1 L 0,01 kl 10 L Orden de menor a mayor: cm L dm 0,01 kl 116

114 7.61 Ordena de mayor a menor estas medidas, expresando todas en unidades de volumen. 0,5 dam 0 kl L 0,0001 hm Pasamos todas las cantidades a dm : 0,5 dam dm 0 kl L dm L dm 0,0001 hm dm Orden de mayor a menor: 0,5 dam 0,0001 hm 0 kl L 7.6 Calcula esta resta: 1 ml 1 mm 1 ml 1 mm 1 cm 1 mm mm 1 mm 999 mm PROBLEMAS PARA APLICAR El largo de una plaza rectangular es 1, hectómetros, y su ancho 75 metros. Cuántos metros hay que caminar para dar una vuelta completa a la plaza? Perímetro de la plaza 1, 75,4 hm 150 m 40 m 150 m 90 m Para dar una vuelta completa a la plaza hay que caminar 90 metros. La distancia de la casa de Julia al colegio es de 0,550 kilómetros. Si cada paso de Julia mide unos 65 centímetros, cuántos pasos deberá dar para ir de casa al colegio? Dividimos la distancia de la casa al colegio por la medida del paso de Julia, pero teniendo cuidado de reducir ambas cantidades a la misma unidad: 0,550 km 550 m cm ,15 Julia deberá dar 846 pasos Calcula la superficie de esta alfombra rectangular Superficie: 1,75 0,95 1,665 cm La superficie de la alfombra es 1,665 cm. Una piscina se llena con 450 metros cúbicos de agua. Cuántos decímetros cúbicos de agua habría que verter para llenar tres cuartas partes de su capacidad? Volumen de la piscina: 450 m dm Agua que hay que verter: dm dm Hay que verter dm. Un antibiótico viene preparado en sobres de 500 miligramos. El médico ha indicado una dosis máxima diaria de 1,5 gramos. Cuántos sobres hay que consumir para tomar la dosis diaria indicada? Dosis indicada: 1,5 g mg de antibiótico. Sobres necesarios: Hay que consumir sobres de antibiótico. 117

115 7.68 Un depósito contiene 1 metro cúbico de agua. Cuántas botellas de 1,5 litros se pueden llenar con el agua del depósito? Agua del depósito: 1 m dm L Número de botellas: ,5 666,67 Se pueden llenar 666 botellas El largo de un campo de fútbol mide 90 metros, y el ancho mide los 4 del largo. Cuántas vueltas hay que dar al campo para recorrer 4 kilómetros? Largo: 90 m Ancho: ,5 m Una vuelta: 90 67, m Se quiere recorrer: 4 km m Número de vueltas: ,7 Hay que dar al campo 1 vueltas, aproximadamente. Si una chapa de 6 metros de largo por 4 de ancho se recortara en cuadraditos de 1 centímetro de lado y se pusieran todos en fila, qué longitud se alcanzaría? Largo: 6 m 600 cm Ancho: 4 m 400 cm Superficie: cm La chapa contiene cuadrados de 1 cm de lado. Si uniéramos estos cuadrados formando una fila, alcanzaría una longitud de 400 metros. Un terreno rústico de 5 hectáreas está valorado en euros y se desea vender por metros cuadrados. Cuál es el precio del metro cuadrado? Superficie del terreno: 5 ha 500 a ca m Precio del metro cuadrado: El precio del metro cuadrado es de 9 euros. Una ballena azul pesa unos kilogramos. Solo su lengua pesa 4 toneladas. Cuántas veces pesa más la ballena que su lengua? Masa de la ballena: kg Masa de la lengua: 4 t kg = 5 La ballena pesa 5 veces más que su lengua. Cuántos cubos de agua de 1 centímetro de arista hay que verter en un recipiente para tener 5 litros de agua? Capacidad: 5 L 5 dm cm. Luego en el recipiente hay que verter cubos de agua de 1 centímetro de arista La arista de un cubo mide medio metro. Cuántos cubos de 1 decímetro de arista puede contener? Medio metro de arista 0,5 m 5 dm A lo largo se pueden poner 5 cubos; a lo ancho, 5, y a lo alto, 5. En total: cubos 7.75 El depósito de una motocicleta tiene una capacidad de 5 litros. Se llena de gasolina, y en un viaje se consumen 4 partes del combustible. Calcula cuántos centímetros cúbicos quedan en el depósito. Gasolina consumida: 4 de 5 L 4 5 L,75 L,75 dm = 750 cm En el depósito quedan cm 750 cm = 1 50 cm. 118

116 7.76 La figura muestra el plano de una habitación cuyas medidas están expresadas en metros Si se va a embaldosar la habitación con baldosas cuadradas de 0 centímetros de lado, cuántas baldosas se necesitarán? Superficie a embaldosar: (4 8) ( ) 8 m cm Superficie de cada baldosa: cm Número de baldosas: ,11 Se necesitarán 11 baldosas. Para construir un prisma de base cuadrada con varillas de alambre se ha utilizado 1 metro de alambre. La altura del prisma es tres veces mayor que el lado de la base. Calcula cuántos centímetros mide cada arista del prisma. Lado de la base: x Total lados de las dos bases: 8x Una arista lateral: x Total aristas laterales: 1x Total aristas del prisma: 8x 1x 0x La longitud total de las aristas es de 1 m 100 cm 0x 100 x 5 El lado de la base mide 5 centímetros, y cada arista lateral, 5 15 cm. Unidades de longitud REFUERZO 7.78 Expresa estas medidas de longitud en metros. a) 1 hm d) 50 mm b) 4 dam e),5 cm c) 0,5 km f) 0,075 dm a) 1 hm 1 00 m d) 50 mm 0,05 m b) 4 dam 40 m e),5 cm 0,05 m c) 0,5 km 500 m f) 0,075 dm 0,0075 m 7.79 Copia en tu cuaderno y completa las siguientes igualdades. a),5 dam = m = cm b) 0,8 km = m = mm c) 50 cm = m = dam d) 7,4 hm = m = dm a),5 dam 5 m 500 cm b) 0,8 km 800 m mm c) 50 cm,5 m 0,5 dam d) 7,4 hm 740 m dm 119

117 7.80 El ancho de una ventana mide 60 centímetros, y el alto, los 8 5 del ancho. Calcula cuántos metros de madera se necesitan para enmarcar la ventana. Ancho de la ventana: 60 cm Alto de la ventana: cm 96 cm Marco de la ventana: cm Para enmarcar la ventana se necesitan,1 metros de madera. Unidades de superficie y de volumen 7.81 Expresa en metros cuadrados las siguientes medidas de superficie. a) dam d) 0,01 km b) 10 dm e),85 hm c) 150 cm f) mm a) dam 00 m d) 0,01 km m b) 10 dm 0,10 m e),85 hm m c) 150 cm 0,0150 m f) mm 0,01 m 7.8 Pasa a decímetros cúbicos estas medidas de volumen. a) mm d) 0,005 hm b) 10 cm e) 0,00050 km c) 0,001 dam f) 0,001 m a) mm 1 dm d) 0,005 hm dm b) 10 cm 0,010 dm e) 0,00050 km dm c) 0,001 dam dm f) 0,001 m 1 dm Unidades de capacidad y de masa 7.8 Pasa a litros estas medidas de capacidad. a) 4 hl d) 10 dl b) 17 dal e),5 ml c),5 kl f) 0,75 cl a) 4 hl 400 L d) 10 dl 1 L b) 17 dal 170 L e),5 ml 0,005 L c),5 kl 500 L f) 0,75 cl 0,0075 L 7.84 Copia y completa esta tabla. kg hg dag g 0, kg hg dag g 0,75 7, , ,5 1,

118 7.85 Un camión cisterna, de 4 kilolitros de capacidad, tiene que abastecer de agua a una población en una emergencia. Cuántos litros de agua se podrán servir a cada una de las 50 familias de la población? Capacidad de la cisterna en litros: 4 kl L Para cada familia: L A cada familia se le pueden servir 80 litros de agua. Relación entre volumen y capacidad 7.86 Pasa a litros estas medidas de volumen. a) dm c) 1 hm b) 5 dam d) 0,5 dm a) dm L b) 5 dam m dm L c) 1 hm dam m dm L d) 0,5 dm 0,5 L 7.87 Expresa en centímetros cúbicos estas medidas de capacidad. a) 5 L c) 0,5 dal b) cl d) 0,001 L a) 5 L ml cm c) 0,5 dal 5 L 5 dm cm b) cl 0 ml 0 cm d) 0,001 L 1 ml 1 cm 7.88 Un grifo mal cerrado gotea 15 milímetros cúbicos de agua por segundo. Cuántos litros de agua se pierden si permanece goteando 7 días completos? 7 días 168 horas minutos segundos Pérdida de agua: mm mm Litros de agua que se pierden: mm 9 07 cm 9,07 dm 9,07 L AMPLIACIÓN 7.89 En un frasco de jarabe de 10 mililitros de capacidad solo quedan 4 centilitros de jarabe. Qué fracción de la capacidad del frasco contiene jarabe? En el frasco quedan 4 cl 40 ml de jarabe Fracción de lo que queda: La fracción de la capacidad del frasco que contiene jarabe es La suma de las aristas de un cubo es de 1 4 milímetros. Con cuántos centilitros de agua se llena este cubo? El cubo tiene 1 aristas iguales. Cada arista mide: mm. Volumen del cubo: 10 mm mm 1 061,08 cm 1 061,08 ml 106,108 cl El cubo se llena con 106,108 centilitros de agua. 11

119 Julia ha tomado doble cantidad de batido de chocolate que Pedro, y Antonio el doble que Julia. Entre los tres han tomado litros y medio. Cuántos centilitros de batido ha tomado cada uno? Lo resolvemos mediante una ecuación. Batido que toma Pedro: x Batido que toma Julia x Batido que toma Antonio 4x Ecuación: x x 4x,5 7x,5, 5 7 0,5 Pedro ha tomado: 0,5 L 50 cl; Julia ha tomado: 1 L 100 cl; Antonio ha tomado: L 00 cl. La superficie de la base de un cubo es 5 centímetros cuadrados. Cuántos litros de agua se pueden verter en él? Arista del cubo: 5 15 cm Volumen del cubo: 15 cm 75 cm,75 dm,75 L En el cubo se pueden verter,75 litros de agua. 7.9 Cuál es la profundidad de esta piscina si para llenarla se necesitan litros de agua? Volumen de la piscina: L dm m largo ancho profundidad m 50 m 1 m profundidad m Profundidad = ,8 m La piscina tiene una profundidad de 1,8 metros PARA INTERPRETAR Y RESOLVER 7.94 Información nutricional Por 100 ml Proteínas, g Azúcares,8 g Grasas 1,9 g Fibra 0,6 g Sodio 50 mg Calcio 10 mg Vitaminas 0,5 mg a) Indica la cantidad de cada nutriente que hay en un vaso de 50 mililitros y en una botella de un litro de esta bebida. b) La cantidad diaria recomendada de calcio es de 800 miligramos. Si se quiere cubrir la cuarta parte de dicha cantidad consumiendo esta bebida, cuánto se deberá beber al día? a) En 50 ml En 1 L b) ml Proteínas 8,5 g 10 Hidratos de carbono 7 g Grasas 4,75 g Fibra alimentaria 1,5 g Sodio 0,5 g Calcio 1, g Vitaminas 0,005 g 1

120 1 zusso 5 zutten 1 zutto 5 zutten 1 rachan 5 chan 1 glochan 0,5 chan 7.95 Zuttelechtan MONEDAS 1 zummo 15 zutten UNIDADES DE LONGITUD 1 matchan 5 chan Daniel compró en Zuttelechtan por 10 zutten una tela que medía 8 chan de largo. Al llegar a casa y medir el largo de la tela vio que era de 4 metros, y al hacer sus cuentas comprobó que le había costado 60 euros. La distancia entre dos ciudades de Zuttelechtan es de matchan, y el viaje cuesta un zummo más un zusso. Expresa la distancia en kilómetros y calcula su precio en euros. Del enunciado se deduce que 8 ch se corresponden con 4 metros. Es decir 1 m ch También se deduce que 10 zutten son 60 euros. Es decir 1 zutten 6 euros Matchan chan chan m 5 km 1 mm 0,01 m 0,06 chan 0,06 0,5 tch 0,05 1 zummo 1 zusso zutten = 900 euros AUTOEVALUACIÓN 7.A1 Una barra para colgar cortinas mide,4 metros. a) Cuántos centímetros mide? b) Y cuántos milímetros? a),4 m 4 cm b),4 m 40 mm 7.A Una botella de refresco tiene una capacidad de 0 centilitros. Expresa esta medida en las siguientes unidades. a) Litros b) Mililitros a) 0 cl 0,0 L b) 0 cl 00 ml 7.A La masa de un envase de café es 50 gramos. Cuántos envases hay que comprar para tener un kilogramo de café? 1 kg g Hay que comprar 4 envases. 7.A4 La superficie de un campo de fútbol mide metros cuadrados. Expresa esta medida en cada una de estas unidades. a) Hectómetros cuadrados b) Hectáreas c) Áreas d) Decámetros cuadrados a) m 0,6075 hm b) m 0,6075 ha c) m 60,75 a d) m 60,75 dam 1

121 7.A5 El suelo de una cocina mide 4 metros de largo y,5 metros de ancho. Se desea solar con baldosas cuadradas de 5 centímetros de lado. a) Se necesita un número exacto de baldosas? b) Cuántas baldosas se necesitan? a) 4 m 400 cm Se necesitan 16 baldosas a lo largo.,5 m 50 cm Se necesitan 10 baldosas a lo ancho. Sí se necesita un número exacto de baldosas. b) Se necesitan baldosas. 7.A6 Si un depósito contiene 7,850 metros cúbicos de agua, cuántos bidones de 5 litros se pueden llenar con toda el agua del depósito? Capacidad del depósito: 7,850 m dm L Número de bidones: Se pueden llenar bidones. 7.A7 Ordena de menor a mayor estas cantidades.,5 dal 0,041 m 5 dm 500 cl 1 00 L Expresamos todas las cantidades en la misma unidad, el litro.,5 dal 5 L 0,041 m 41 L 5 dm 5 L 500 cl 5 L 1 00 L,5 dal 0,041 m 500 cl 5 dm 1 00 L 7.A8 Se desea vender un terreno cuya superficie es media hectárea. Cuánto cuesta si el valor del metro cuadrado es 1,50 euros? Superficie en metros cuadrados: 0,5 ha 50 a ca m Coste del terreno: , El coste del terreno es de euros. 7.A9 En una ciudad, el metro cúbico de agua cuesta 0,75 euros. Una familia consume unos 400 litros diarios. Cuál será el importe, aproximado, que tendrá que pagar cada trimestre por el consumo de agua? Consumo aproximado por trimestre: L dm 6 m Importe: 6 0,75 7 El importe que tiene que pagar por cada trimestre es de 7 euros. 7.A10 Cuál es el máximo número de cubos de 4 centímetros de arista que puede contener un cubo de decímetros de arista? 4 cm dm Arista del cubo contenedor: dm 0 cm Veces que contiene la arista del contenedor a la arista de cada cubo: Se pueden colocar 5 cubos a lo largo, 5 cubos a lo ancho y 5 cubos a lo alto. En total, cubos. El número máximo de cubos que se pueden colocar es

122 MURAL DE MATEMÁTICAS Jugando con las matemáticas EL PASTEL MISTERIOSO Si un pastel pesa kilogramos más que medio pastel, cuánto pesa un pastel y medio? Peso del pastel: Peso de medio pastel: x x x Ecuación: x x 6 x x Peso de un pastel y medio: x 6 9 kg 15

123 8. MAGNITUDES PROPORCIONALES. PORCENTAJES EJERCICIOS PROPUESTOS 8.1 Halla la razón entre 5 y. 5,5. La razón entre 5 y es,5. 8. Comprueba si son ciertas estas proporciones. 7 a) b) a) 6 no son proporción, ya que b) si son proporción, ya que Qué valor ha de tomar x para que los números, 5, 1 y x formen una proporción? De la proporción 5 1 resulta: x x 1 5 x Calcula el valor de las letras en las siguientes proporciones. 6 a) x c) 6 z y b) d) 6 15 t 1 6 a) x x c) z z z 0 z y b) y d) t 1 15 t 1 5 t t Comprueba si la siguiente tabla corresponde a magnitudes directamente proporcionales. Magnitud 1. a Magnitud. a No son magnitudes directamente proporcionales Razona si son directamente proporcionales. a) La altura de un árbol y la longitud de su sombra. b) El número de obreros y el tiempo que tardan en construir un puente. a) Sí son directamente proporcionales porque a medida que aumenta la altura, aumenta la longitud de la sombra. b) No son directamente proporcionales porque a medida que aumenta el número de obreros, disminuye el tiempo que tardan en construir el puente. 16

124 8.7 Completa las siguientes tablas que relacionan magnitudes directamente proporcionales, e indica, para cada tabla, la razón de proporcionalidad. a) Magnitud 1. a b) Magnitud. a 1 Magnitud 1. a 5 8 Magnitud. a a) Magnitud 1. a b) Magnitud. a Magnitud 1. a Magnitud. a La razón de proporcionalidad es. La razón de proporcionalidad es Pablo compra bocadillos por,5 euros. a) Cuántos bocadillos podrá comprar con 0 euros? b) Cuánto costarán 7 bocadillos? a) Número de bocadillos Euros ( ),5 1,19 1, 5 1,19 0,8 0 Pablo podrá comprar bocadillos. b) Bocadillos Euros ( ),5 1, 5 0,84 7 0,84 7 5,88 Los 7 bocadillos costarán 5,88 euros. 8.9 Ana compra 5 kilogramos de peras por 7,50 euros. a) Cuánto le costarán 7 kilogramos? b) Cuántos kilogramos comprará con 6 euros? a) Peras (kg) Euros ( ) 5 7,50 1 7, 50 1, ,5 10,5 Siete kilogramos le costarán 10,50 euros. 6 b) Por 6 euros nos darán: 4 kg de peras. 1, 50 17

125 8.10 Una máquina fabrica clavos en 5 horas. a) Cuánto tiempo necesitará para hacer clavos? b) Cuántos clavos fabrica en 7 horas? c) Si un día solo funciona horas, cuántos clavos fabrica? a) Se resuelve con una regla de tres simple: clavos 5 horas clavos x ,5 Necesitará 1 horas y 0 minutos b) clavos 5 horas 10 x00 clavos x En 7 horas fabrica clavos. 5 c) clavos 5 horas 10 x00 clavos x En horas fabrica 400 clavos Con 00 kilogramos de harina se elaboran 50 kilogramos de pan. a) Cuántos kilogramos de harina se necesitan para hacer un pan de kilogramos? b) Cuántos panecillos de 150 gramos se podrán hacer con 500 kilogramos de harina? a) 00 kg de harina 50 k 0x0 kg de harina x 5 0 1,6 50 Para hacer un pan de kilogramos se necesitan 1,6 kilogramos de harina. b) 00 kg de harina 50 k 500 kg de harina x x kg de pan 00 Como cada panecillo pesa 150 gramos, se podrán hacer: ,6 panecillos con 500 kilogramos de harina Indica el porcentaje expresado por las siguientes razones y números decimales. a) 1 00 c) 0, b) 1 00 d) 0,7 a) % 1 00 c) 0,007 0,7 % 99 b) 99 % 1 00 d) 0,7 7 % 8.1 Encuentra la razón y el número decimal equivalentes a cada uno de los siguientes porcentajes. a) 70 % c) 1 % b) 95 % d) 0,09 % 70 1 a) 70 % 0,7 c) 1 % 0, b) 95 % 0,95 d) 0,09 % 0, 09 0,

126 8.14 Aplica los siguientes porcentajes a la cantidad 5 400, utilizando la razón y el número decimal equivalentes en cada caso. a) 1 % c) 1 % b) 5 % d) 5,5 % 1 a) 1 % de ; 0, b) 5 % de ; 0, c) 1 % de ; 0, d) 5,5 % de , ; 0, Una marca de margarina tiene un 85 % de grasa. Cuántos gramos de grasa hay en 500 gramos de esta margarina? 85 % de 500 0, g de grasa. En 500 gramos de margarina hay 45 gramos de grasa Unos ciclistas han recorrido 45 kilómetros de una etapa que tiene 180 kilómetros. Qué porcentaje de la etapa han recorrido? x x de x Han recorrido el 5 % de la etapa El 15 % de los alumnos de Secundaria de un centro escolar participan como voluntarios en una campaña para mantener limpia su ciudad. Si participan 4 alumnos, cuántos alumnos de Secundaria hay en el centro? 4 alumnos x alumnos x % 100 % Hay 160 alumnos de Secundaria en el centro Calcula la cantidad que resulta después de aplicar los siguientes aumentos a euros. a) 0 % c) 9 % b) 40 % d) 4 % a) 1, c) 1, b) 1, d) 1, Calcula la cantidad que resulta después de aplicar las siguientes disminuciones a 00 litros. a) 10 % c) 78 % b) 50 % d) % a) 0, L c) 0, L b) 0, L d) 0, L 8.0 Ana ahorra 1 euros todos los meses para colaborar con una ONG. A partir de enero decide aumentar un 5 % la cantidad de dinero que ahorra cada mes. Cuántos euros ahorra a partir de ese momento? 1 1,5 15 euros ahorra Ana al mes a partir de enero. 19

127 8.1 Luis compra un libro que cuesta 18 euros. Al ir a pagar le hacen un 15 % de descuento. a) Cuánto dinero le descuentan? b) Cuánto le cuesta el libro? 15 a) 15 % de 18 18,70 euros le descuentan a Luis b) 18,7 15,0 euros le cuesta el libro a Luis. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 8. Un coche gasta 68,7 litros de gasolina en un viaje entre dos ciudades que se encuentran a una distancia de 748 kilómetros y 400 metros. a) Cuánto gastará si recorre 1 06 kilómetros? b) Cuánto gastará si hace un viaje de 89 kilómetros? c) Cuántos kilómetros recorrerá con 5,6 litros? Son magnitudes directamente proporcionales, lo resolvemos reduciendo a la unidad. a) Gasolina (L) 68,7 68,7 0, ,4 Distancia (km) 748,4 0, ,67 litros gastará si recorre 1 06 kilómetros. 1 b) 0,09 89 = 5,01 litros gastará si hace un viaje de 89 kilómetros. c) Gasolina (L) Distancia (km) 68,7 748,4 7 48, 4 10,89 5,6 58,70 kilómetros recorrerá con 5,6 litros. 1 10,89 68, 7 8. En una tienda, para conseguir nuevos clientes, se anuncia una rebaja del 1,6 % sobre el precio de venta de todos sus artículos. En otra tienda se tacha el precio de un artículo que marcaba 18,60 euros y se pone debajo 11,0 euros como precio nuevo, y aplicando la misma proporción, se rebajan todos los artículos. En cuál de las dos se hace mayor descuento? x x de 18,60 11,0 18,60 11,0 x 11, , ,60 En la segunda tienda se hace un 9,5 % de descuento. Por tanto, se hace más descuento en la segunda tienda. CÁLCULO MENTAL 8.4 Calcula el valor de las siguientes razones. a) 1 c) b) d) a) 1 c) b) d)

128 8.5 La razón entre 10 y 5 es. Da otros tres pares de números cuya razón sea. Respuesta abierta, por ejemplo: 6 y ; 8 y 4; 1 y Comprueba si son verdaderas o no las siguientes proporciones. a) b) 1,5 5 a) Luego sí forman proporción. b) 9 7,5 5 1,5. Luego no forman proporción. 8.7 Halla el valor de x para que se cumplan las siguientes proporciones. a) 1 4 x b) x a) x 1 b) x 5 x 8.8 Copia y completa la tabla, calculando de modo que las magnitudes sean directamente proporcionales. Magnitud 1. a Magnitud. a Magnitud 1. a Magnitud. a Copia y completa la tabla, calculando de modo que las magnitudes sean directamente proporcionales. Magnitud 1. a Magnitud. a Magnitud 1. a Magnitud. a Calcula los siguientes porcentajes. a) 10 % de 650 c) 10 % de 0 b) 5 % de 400 d) 1 % de 0 a) 10 % de 650 = 0,1 650 = 65 c) 10 % de 0 = 0,1 0 = b) 5 % de 400 = 0,5 400 = 100 d) 1 % de 0 = 0,01 0 = 0, 11

129 EJERCICIOS PARA ENTRENARSE Razones y proporciones 8.1 Halla la razón entre 16 y Escribe la razón entre 7 y Cuántas veces es mayor 55 que 15? es 17 veces mayor que Halla x para que la razón entre 7 y x sea,45. 7 x,45 x 7, Indica dos números cuya razón sea,5. Respuesta abierta. Por ejemplo, los números 5 y, cuya razón es, Indica dos números cuya razón sea 5. Respuesta abierta. Por ejemplo, los números 10 y, cuya razón es Qué valor tiene que tomar x para que los números 4, 7, x y 1 formen una proporción? 4 7 x x Averigua si son verdaderas o no las siguientes proporciones. a) b) a) Por tanto, no es cierta la proporción. b) Por tanto, es cierta la proporción. Calcula el valor de las letras en las siguientes proporciones. a) c) x 5 x 6 8 b) 4 1 t 10 d) z 1 a) x 0 5 6,67 5 x 15 b) 4 t t 4 10 t 5 t c) 1 5 x 15 8 x d) 1 0 z z 1 0 z 19 8 z 1 1 1

130 Porcentajes 8.40 Asocia cada fracción con el porcentaje equivalente % 75 % 60 % 50 % 5 % 0 % 40 % % 0 % 5 50 % % 5 40 % 4 75 % % Asocia cada porcentaje con el número decimal equivalente. % 1 % 58 % 10 % 0 % 99 % 0,1 % 0,1 0,58 0, 0,99 0,0 0,001 0,01 % 0,0 1 % 0,01 58 % 0,58 10 % 0,1 0 % 0, 99 % 0,99 0,1 % 0, Encuentra la fracción irreducible que representa cada uno de los siguientes porcentajes. a) 15 % d) 90 % b) 19 % e) % c) 16 % f) 10 % a) 15 % d) 90 % b) 19 % e) % c) 16 % = f) 10 % La parte coloreada de rojo representa un aumento. Indica cuál es su valor. 100 % La parte coloreada de rojo es 0, 0 %. Representa un aumento del 0 %. 1 0 Magnitudes directamente proporcionales 8.44 Copia y completa las siguientes tablas que relacionan magnitudes directamente proporcionales. a) Magnitud 1. a Magnitud. a 10 b) Magnitud 1. a Magnitud. a a) Magnitud 1. a Magnitud. a b) Magnitud 1. a 4, , Magnitud. a 5 7,5 15,5 5 1

131 8.45 Copia y completa las siguientes tablas que relacionan magnitudes directamente proporcionales. a) Magnitud 1. a 1 4 b) Magnitud. a 4 Magnitud 1. a Magnitud. a 0,5 a) Magnitud 1. a 1 4 b) Magnitud. a Magnitud 1. a Magnitud. a 0,5 0, Di en qué casos las magnitudes son directamente proporcionales. Razona tu respuesta. a) Altura de un edifico y longitud de su sombra. b) Número de personas y tiempo que tardan en pintar una valla. c) Número de grifos de una bañera y tiempo que tardan en llenarla. a) Magnitudes directamente proporcionales, porque a medida que aumenta la altura, aumenta la sombra. b) Magnitudes no son directamente proporcionales, porque cuantas más personas pinten la valla, menos tiempo tardan. c) Magnitudes no son directamente proporcionales, porque cuantos más grifos haya, menos tiempo se tardará en llenarla Pon un ejemplo de dos magnitudes que cumplan cada una de estas condiciones. a) Que sean directamente proporcionales. b) Que no sean directamente proporcionales. Respuesta abierta: a) Cantidad de carne y precio que se paga por ella. b) Peso y edad de una persona Si dos cintas de vídeo cuestan 5 euros, cuánto costarán 7 cintas? Se trata de magnitudes directamente proporcionales. cintas 5 euros 7 cintas x euros x ,50 euros costarán 7 cintas Cuántos cartones de leche podré comprar con 1 euros? Se trata de magnitudes directamente proporcionales. cartones x cartones x 1 16,9 1,4 1,4 euros 1 euros Podrá comprar 16 cartones de leche. 14

132 Cálculo de porcentajes 8.50 Halla n sabiendo que: a) El 0 % de n es 1 c) El 56 % de n es 11 b) El 16 % de n es 8 d) El 14 % de n es 11 a) n c) n b) n d) n , Responde a las siguientes preguntas. a) Qué tanto por ciento de 8 es 14? b) Qué tanto por ciento de es 4? c) Qué tanto por ciento de 10 es 6? a) x , 14 es el 50 % de 8. 8 b) x ,5, 4 es el 1,5 % de. c) x , 6 es el 60 % de Sustituye n por el valor que corresponda. a) n % de 8 es 6 c) n % de 85,5 es 57 b) n % de 10 es 5 d) n % de 75 es 15 x x a) de 8 es x El 75 % de 8 es x x b) de 10 es x El 50 % de 10 es x x c) de 85,5 es 57 85,5 57 x ,67 El 66,67 % de 85,5 es , 5 x x d) de 75 es x El 0 % de 75 es Copia y completa la tabla calculando el 5 % de cada cantidad ,5 6,5, Cuál de los siguientes números es el 7 % de 400? a) 14 b) 48 c) 168 d) 18, de El 7 % de 400 es 168; por tanto, es el apartado c

133 8.55 Copia y completa la tabla aplicando a los siguientes porcentajes. 5% 50% 75% 100% 1% 16% 7% 5% 50% 75% 100% 1% 16% 7% Copia y completa para que se cumpla la igualdad, como muestra el ejemplo. a) 5 % 75 % 100 % b) 5 % 100 % c),5 % 100 % a) 5 % 75 % 100 % b) 5 % 95 % 100 % c) 97,5 %,5 % 100 % 8.57 Elige la cantidad más próxima al 0 % de 51. a) b) c) 500 d) % de 51 0, ,4 La cantidad más próxima es 700, correspondiente al apartado d Al comprar este televisor nos hacen un descuento del 1 %. Cuánto pagaremos? Si nos descuentan el 1 %, pagaremos el 88 % de 9, % de 9,96 0,88 9,96 90,6 pagaremos al comprar el televisor Un aparato de aire acondicionado cuesta 480,1 euros y hay que añadirle un 16 % de IVA. Cuál es el precio final? 1,16 480,1 557,04 es el precio final del aparato de aire acondicionado. PROBLEMAS PARA APLICAR 8.60 El Parque Nacional de las Tablas de Daimiel tiene una superficie de 1 98 hectáreas. Cuántas veces es mayor el Parque Nacional de Cabañeros si la superficie de este son hectáreas? , 1 98 El Parque Nacional de Cabañeros es 0 veces mayor que el de las Tablas de Daimiel. 16

134 8.61 En una tienda de electrodomésticos van a rebajar un 1 % todos sus artículos. Calcula la cantidad de dinero que descuentan en estos electrodomésticos y el precio final. a) b) a) Descuento: 40,1 0,1 40,81 b) Descuento: 6 0,1 8, Precio final: 40,1 0,88 99,1 Precio final: 6 0,88 07, Al acabar el año, una tienda de deportes ha decidido subir un 18 % el precio de todos sus artículos. Calcula el precio de estos artículos después del incremento. a) b) a) Precio final: 1 1,18 4,78 b) Precio final: 89 1,18 105,0 8.6 En un centro escolar hay,4 veces más alumnos de Secundaria que de Bachillerato. Si el número de alumnos de Bachillerato es 10, cuántos alumnos hay de Secundaria?, alumnos de Secundaria Una asociación de vecinos organiza una excursión para las personas mayores del barrio. Por cada 10 mujeres asisten 6 hombres. Si el número total de mujeres es 140, cuántos hombres van a la excursión? Si x es el número total de hombres, se verifica: 10 mujeres 140 mujeres x hombres x hombres A la excursión van 84 hombres Luisa tenía ahorrados,60 euros y se ha gastado el 5 % de sus ahorros en un regalo de cumpleaños para su padre. Cuánto le ha costado el regalo? 5 % de,66 0,5,66 11,78 ha costado el regalo Después de haber consumido el 1 % del depósito de gasolina de un coche quedan 44 litros. Cuál es la capacidad del depósito? % de x 44 0,88 x 44 x 50 litros es la capacidad del depósito. 0,88 17

135 8.67 Los embalses que abastecen una ciudad se encuentran al % de su capacidad, lo que representa 176 kilómetros cúbicos. Cuál es su capacidad total? Sea x la capacidad total de los embalses, entonces: % de x 176 x 176 x km 1 00 La capacidad total de los embalses es de 800 km La factura de electricidad se ha reducido 1,75 euros. Si el mes pasado se pagaron 5 euros, qué porcentaje supone esa disminución? x x de 5 1,75 5 1,75 x 1, % La disminución supone un 5 % La superficie de Andalucía es de kilómetros cuadrados. Sabiendo que la superficie total de España es de kilómetros cuadrados, qué porcentaje del total de la superficie de España ocupa Andalucía? x x de x , Andalucía representa el 17,1 % de la superficie de España El 16 % de los alumnos de un colegio estuvieron enfermos con gripe durante el curso pasado. a) Si hubo 144 enfermos con gripe, cuántos alumnos tiene el colegio? b) Si el colegio tuviera 1 50 alumnos, cuántos alumnos habrían estado enfermos con gripe? a) Si x es el número total de alumnos del colegio: % de x 144 x 144 x El colegio tiene 900 alumnos. 16 b) 16 % de Habrían estado enfermos 16 alumnos. 18

136 8.71 Cuánto cuestan 8 paquetes de azúcar? paquetes 8 paquetes,76 euros x euros x,76 8 7,6 Los 8 paquetes cuestan 7,6 euros. 8.7 Si 7 metros de tela han costado euros, cuánto costarán 1 metros de esa tela? 7 metros 1 metros x x 1 101, Los 1 metros de tela costarán 101,88. Un calentador de agua consume 900 litros de gas en 5 horas y media. Otro calentador consume 100 litros de gas en horas y media. Cuál de los dos calentadores gasta más por hora? Se pasan las horas a minutos. Primer calentador Agua (L) Tiempo (h) ,6 1 x ,6 0 5,5 Segundo calentador Agua (L) Tiempo (h) 100, ,57 1 x ,57 10,5 Gasta más por hora el primer calentador: 16 litros En un supermercado han cambiado los precios de algunos productos: el kilogramo de arroz ha pasado de 1,8 euros a 1,54 euros y el kilogramo de garbanzos, de 1,51 euros ahora cuesta 1,45 euros. a) Qué tanto por ciento ha subido el kilogramo de arroz? b) Qué porcentaje ha bajado el kilogramo de garbanzos? x x a) de 1,8 1,54 1,8 1,54 x 1, , ,8 El kilogramo de arroz ha subido un 11,6 %. x x b) de 1,51 1,45 1,51 1,45 x 1, , ,51 El kilogramo de garbanzos ha bajado un,97 %. 19

137 REFUERZO Razones y proporciones 8.75 Halla la razón entre 70 y La razón entre 70 y 7 es Halla x para que la razón entre 1 y x sea,4. 1 1,5 x 5 x, Escribe una proporción que tenga como extremos y 15, y como medios, 9 y Señala cuáles de los siguientes pares de razones forman proporción e indica, en su caso, la razón de proporcionalidad. a) 1 y 6 6 c) 4 5 y 5 6 b) 8 4 y 6 d) 6 8 y 4 a) 1 6, ya que 1 6 6, forman proporción y la razón de proporcionalidad es. 6 b) 8 4 6, ya que 8 4 6, forman proporción y la razón de proporcionalidad es. c) 4 5 5, ya que , no forman proporción. 6 d) 6 8 4, ya que 6 4 8, forman proporción y la razón de proporcionalidad es Halla el valor de x en las siguientes proporciones. 4 x a) b) x 4 x a) x b) 8 1 x x Porcentajes 8.80 Expresa las siguientes fracciones como porcentajes. a) 1 b) c) 50 4 d) 1 0 a) 1 0,5 50 % c) 0,75 75 % 4 b) 0,04 4 % d) 1 0,40 40 %

138 8.81 Expresa los siguientes decimales como porcentajes. a) 0,15 b) 0,5 c) 0,91 d) 0,01 a) 0,15 15 % c) 0,91 91 % b) 0,5 50 % d) 0,01 1% Encuentra el número decimal equivalente a los siguientes porcentajes. a) 5 % b) 1 % c) 99 % d),5 % 5 99 a) 5 % 0,5 c) 99 % 0, b) 1 % ,01 d),5 %,5 0, Halla n sabiendo que: a) El 5 % de n es 10. b) El 7 % de n es a) El 5 % de n es 10 0,5 n 10 n 840 0, b) El 7 % de n es 108 0,5 n 180 n 840 0, 75 Responde a las siguientes preguntas. a) Qué tanto por ciento de 0 es 6? b) Qué tanto por ciento de 9 es 18? x x a) de x es el 0 % de x x b) de x ,57 18 es el 19,57 % de Magnitudes directamente proporcionales 8.85 Copia y completa la siguiente tabla que relaciona magnitudes directamente proporcionales. Magnitud 1. a Magnitud. a 9 Magnitud 1. a Magnitud. a Cuántos CD podremos comprar con 6 euros? 5 CD x CD 1,0 euros 6 euros Podremos comprar 5 CD con 6 euros. x , 0 141

139 AMPLIACIÓN 8.87 En una empresa hay dos categorías de puestos de trabajo. Al empezar el año se incrementa el sueldo de este modo: Categoría 1.ª: de 680 euros a 75. Categoría.ª: de 91 euros a Ha sido el aumento proporcional? El aumento es proporcional si se verifica: Pero la igualdad no es cierta, ya que: Por tanto, el aumento no ha sido proporcional Una tarta de 6 raciones necesita huevos, 100 gramos de mantequilla, 10 gramos de chocolate y 60 gramos de levadura. Qué cantidades serán necesarias para hacer una tarta de 8 raciones? Huevos: 6 raciones 8 raciones huevos x huevos x 8 4 huevos 6 Mantequilla: 6 raciones 8 raciones 100 g x x , gramos de mantequilla 6 Chocolate: 6 raciones 8 raciones 10 g x x gramos de chocolate 6 Levadura: 6 raciones 8 raciones 60 g x x gramos de levadura 6 Por tanto, para hacer una tarta de 8 raciones son necesarios 4 huevos, 1, gramos de mantequilla, 160 gramos de chocolate y 80 gramos de levadura Dos equipos de baloncesto han obtenido el siguiente número de aciertos: Equipo A: de 0 tiros, 0 encestados. Equipo B: de 45 tiros, 0 encestados. Cuál de los dos equipos tiene mayor efectividad? Se calcula cuál de las dos razones es mayor Equipo A: 0 0 Equipo B: Luego los dos equipos han tenido la misma efectividad. 14

140 8.90 La figura indica que por cada 100 metros de avance en horizontal se ascienden 5 metros: se dice que su pendiente es del 5 %. 5 m m Cuál es la pendiente de un tramo de carretera en el que por cada 500 metros de avance en horizontal se ascienden 0 metros? 0 Se ascienden 0 metros por 500 metros de avance horizontal: % La pendiente del tramo de carretera es del 6 %. La pendiente de un tramo de carretera es del 8 %. Si un coche avanza en horizontal 50 metros, cuántos metros habrá ascendido? 8 8% Por 50 m de avance horizontal asciende 0 metros También se puede calcular directamente, aplicando el 80 % a 50 metros. PARA INTERPRETAR Y RESOLVER 8.9 La factura eléctrica Ricardo Requena, cliente y a la vez empleado de la compañía eléctrica Eleólica, S.A., ha recibido la siguiente información. ELEÓLICA, S.A. Conexión: 1,5. Consumo mensual: Primeros 50 kw: 0,1 /kw Descuento empleados: 15 % Impuesto ecológico comunitario: 0,5 % IVA: 16 % A partir de 50 kw: 0,11 /kw (Los impuestos se aplican una vez realizado el descuento) Si en el último mes ha consumido 90 kw, cuánto deberá abonar en la próxima factura? Conexión: 1,5 Consumo: 50 kwh kwh 15,4 Compensación (1,5 5 15,4) 0,15 8,09 Impuesto ecológico 45,81 0,005 0, IVA 45,81 0,16 7, TOTAL 45,81 0, 7, 5,7 euros 14

141 8.9 Subidas y bajadas de precios OFERTA Programas para PC: Juegos Aplicaciones Enciclopedias Etc Todos a 0 la unidad! Tras leer el cartel Pedro ahorró para comprar un programa. Cuando fue a la tienda, le dijeron que todos los programas habían sufrido una subida del 15 %. Le recomendaron que esperase una semana, porque entonces comenzarían las rebajas, con descuentos de 15 % en juegos, 10 % en aplicaciones, 14 % en enciclopedias y 15 % en el resto. Qué programas podrá adquirir Pedro? 1 0,87 1 0,87 0,1 1, 15 Para poder adquirir un programa, es necesario que lo bajen en más de un 1 %. Por tanto podrá adquirir cualquier programa menos las aplicaciones. AUTOEVALUACIÓN 8.A1 Halla la razón entre los siguientes números. a) 84 y 16 c) 18 y 6 b) 7 y 15 d) 1,5 y 0,5 a) 8 4 5,5 c) 1 8 0, b) 7 4,8 d) 1, , 5 8.A Calcula el valor de las letras en las siguientes proporciones. a) x b) 1 x 0 a) x 1 x 6,6 x 10 x b) 0 x 1 x A Copia y completa la siguientes tabla que relaciona magnitudes directamente proporcionales e indica la razón de proporcionalidad. Magnitud 1. a 1 4 Magnitud. a Razón de proporcionalidad: 1 0, 5 Magnitud 1. a 1 4 Magnitud. a

142 8.A4 Razona en qué casos las magnitudes son directamente proporcionales. a) Cantidad de limones en kilogramos y precio por kilogramo. b) Distancia entre dos ciudades y tiempo que se tarda en llegar de una a otra. c) Números de asientos vacíos en el cine y personas que asisten a una sesión. a) Directamente proporcionales. Si aumenta el número de kilogramos de limones, aumenta el precio. b) Directamente proporcionales. Si la distancia aumenta, el tiempo aumenta. c) No son directamente proporcionales. Si el número de personas que asisten aumenta, el número de asientos vacíos disminuye. 8.A5 8.A6 Encuentra la razón y el número decimal equivalentes a cada uno de los siguientes porcentajes. a) 70 % b) 95 % c) 1 % d) 0,09 % 70 a) 70 % 0, c) 1 % 0, b) 95 % 0,95 d) 0,09 % 0, 09 0, Para hacer litros de zumo de naranja se necesitan 16 naranjas. a) Cuántas naranjas se necesitan para hacer 5 litros de zumo? b) Cuántos litros de zumo se consiguen si se utilizan 1 naranjas? Se trata de magnitudes directamente proporcionales a) b) L 5 L L x L 16 naranjas x naranjas 16 naranjas 1 naranjas x x naranjas x x 1,65 litros se consiguen utilizando 1 naranjas A7 En una de las casetas de la Feria del Libro de una ciudad se han vendido en un día 1 ejemplares, que equivalen al 0 % de los libros. Calcula el número total de libros que tiene la caseta. 1 libros x libros 0 % 100 % 1 x x libros tenía la caseta A8 En una caja de galletas, la etiqueta anuncia que contiene un 5 % más de lo habitual. Si la caja contenía 4 galletas, cuántas contiene el nuevo envase? 4 1,5 0 galletas contiene el nuevo envase. 8.A9 Laura ha comprado una camisa que cuesta 18 euros. Al ir a pagar le hacen un 5 % de descuento. a) Cuánto dinero le descuentan? b) Cuánto le cuesta la camisa? a) 18 0,5 4,50 le descuentan. b) 18 0,75 1,50 le cuesta la camisa. MURAL DE MATEMÁTICAS Jugando con las matemáticas A PARES En una localidad hay personas. Un 76 % de ellas utiliza un par de gafas. Del resto, la mitad utiliza dos pares de gafas, y la otra mitad, ninguno. Cuántos pares de gafas se utilizan en total en esa localidad? gafas se utilizan en total en esa localidad. 145

143 9 FUNCIONES EJERCICIOS PROPUESTOS 9.1 Escribe las coordenadas de los puntos que aparecen en la figura. C Y 1 B A D O 1 X E F A(, ), B(0, ), C(, ), D( 4, 0), E(, ), F(1, ) 9. Representa en unos ejes de coordenadas los siguientes puntos. A(, ) B(5, ) C(, 1) D(1, 1) E(0, 4) Y E C 1 A O 1 D B X 9. Representa en unos ejes de coordenadas estos puntos e indica en qué cuadrante está cada uno. A(1, ) B(, 1) C( 4, ) D(0, 1) E(0, ) Y C E 1 A B O 1 D X A está en el 1. er cuadrante, B, en el. o ; C, en el. o ; D y E, sobre los ejes. 146

144 9.4 La tabla refleja la evolución de la población española, en millones de personas, a lo largo del siglo xx. Año Población a) En función de qué varía la población? b) Cuál era la población en el año 1990? c) En qué año la población era de 8 millones de personas? d) En qué años la población estuvo entre 0 y 5 millones de personas? a) Del año en que nos encontremos. b) 9 millones de habitantes. c) En d) En 1960 y La tabla muestra el número de toneladas de pilas recogidas en puntos limpios de España. Año Toneladas a) Depende la cantidad de pilas de los años? b) Cuántas toneladas de pilas se recogieron en el año 1997? c) En qué año se recogieron menos pilas? Y más? a) Depende del año en el que estemos. b) En 1997 se recogieron 150 toneladas de pilas. c) El año en el que se recogieron menos pilas fue 1996, y el año en el que más se recogieron fue La tabla muestra el número de horas que dedica Ana a la lectura durante una semana. Día L M X J V S D Horas 1 1,5 1,75 0,5 1 1,5 a) Qué día dedica más horas a la lectura? b) Dedica algunos días el mismo número de horas a la lectura? c) Qué día dedica menos horas? a) El día que más horas dedica a la lectura es el miércoles. b) Sí, el lunes y el sábado, una hora, y el martes y el domingo, una hora y media. c) El viernes, que dedicó media hora. 9.7 La temperatura de un enfermo en la UCI de un hospital está registrada permanentemente por un aparato. Un día se obtuvo este registro: Temperatura (ºC) O Hora del día a) Cuál es su temperatura a las 8.00? b) En cierto momento, el paciente sufrió un paro cardiaco con un brusco descenso de la temperatura. A qué hora se inició? c) Cuándo empezó la recuperación? a) A las ocho de la mañana, la temperatura era de 7,5. b) A las c) A las

145 9.8 En una revista de coches aparece la gráfica siguiente, para expresar cómo el consumo de gasolina de cierto modelo de coche depende de la velocidad a la que circula. Consumo de gasolina (litros por cada 100 km) O Velocidad (km/h) a) Si el coche circula a 80 kilómetros por hora, cuántos litros consume cada 100 kilómetros? b) A qué velocidad se consume menos? c) Qué ocurre al aumentar la velocidad? a) Consume unos 5,5 litros cada 100 kilómetros. b) El menor consumo se produce a 70 kilómetros por hora. c) Al aumentar la velocidad, aumenta también el consumo de gasolina. 9.9 A partir de los valores de la tabla, escribe la fórmula que relaciona las dos magnitudes. y x x y En la fórmula y x, calcula el valor de y para cada uno de los siguientes valores de x. a) b) 6 c) 0 d) 1 e) 5 a) y 8 b) y = 6 0 c) y = 0 d) y = ( 1) 1 e) y = ( 5) Escribe la fórmula que relaciona el lado del cuadrado con su área. Si S es el área o superficie y l es el lado, la fórmula es: S l. Escribe una fórmula general en la que a un número entero le corresponde su cuadrado menos 5. y x 5 Escribe una fórmula general que relaciona un número entero con más el número multiplicado por 4. y 4x Halla el valor de la variable dependiente en la fórmula y x 4 para los siguientes valores de la variable independiente. a) x 5 b) x 1 c) x 8 d) x a) y b) y ( 1) 4 5 c) y ( 8) 4 68 d) y Determina la fórmula de la función que relaciona estos valores y completa la tabla. x y 6 x y La fórmula de la función es: y x. 148

146 9.16 Indica si son o no funciones las siguientes relaciones. a) Relacionamos cada número natural con su anterior y con su posterior. b) Asociamos cada número entero con su opuesto. c) Hacemos corresponder cada número con los dígitos que lo forman. d) Asociamos cada número entero de dos cifras con su cifra de las decenas. Son funciones b y d. No son funciones a y c Dibuja la gráfica de la función y x 1. x y Y 1 O 1 y = x + 1 X 9.18 Dibuja la gráfica de la función y x. x y Y 1 O y = x + 1 X 9.19 La fórmula que expresa el perímetro de un triángulo equilátero en función de su lado es: P l. Representa gráficamente dicha función. P l Perímetro de un triángulo 1 P = L O 1 Longitud del lado 9.0 Para hacer un bizcocho se necesitan dos medidas de harina por cada yogur. Representa la gráfica de la función. h y Yogures Harina Harina 1 O 1 h = y Yogures 149

147 9.1 El precio del revelado de un carrete es 1 euro y por cada foto cobran 0,50 euros. Representa la gráfica de esta función. Fotos Euros y 0,5x 1 Euros O 4 y = 0,5x + 1 Fotos 9. Copia y completa en tu cuaderno esta tabla y dibuja la gráfica de la función asociada. x y 6 Y La fórmula de la función es: y x. x y = x y O 1 X 9. Representa estas funciones. a) y 4x d) y x b) y x e) y x c) y x f) y 5x Y y = 5x y = 4x O 1 y = x X y = x y = x 9.4 y = x El peso de un objeto en la Luna es la sexta parte de su peso en la Tierra. Representa la función que da el peso de un objeto en la Luna. y 1 6 x x y Peso en la Luna 1 O y = 1 x Peso en la Tierra 150

148 9.5 La razón de proporcionalidad de dos magnitudes directamente proporcionales es 0,5. a) Escribe la fórmula de la función que relaciona las dos magnitudes. b) Representa gráficamente la función. a) y 0,5x b) x y Y 1 O 1 y = 0,5x X RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 9.6 Busca un contraejemplo que pruebe que la función que aplicada a un número, lo multiplica por y al resultado le resta 1; no es la misma función que aplicada al mismo número, le resta 1 y el resultado lo multiplica por. Dibuja sus gráficas. Respuesta abierta. En general, x 1 (x 1). Por ejemplo, si x 5, (5 1). Las gráficas son: y x 1 y (x 1) Y Y x y O 1 y = x 1 X x y O 1 y = (x 1) X 9.7 Las funciones y x 4 e y x dan el mismo resultado cuando se aplican a x 6. a) Quiere decir esto que son la misma función? b) Explica tu respuesta. a) No. b) Porque en otros valores dan diferentes resultados. Así, en x 9, la primera función da de resultado y 9 4 5, mientras que la segunda da y

149 CÁLCULO MENTAL 9.8 Completa en tu cuaderno la tabla, sabiendo que un kilogramo de patatas cuesta 0,60 euros. Cantidad (kg) Precio ( ) Cantidad (kg) Precio ( ) 1, 1,8,4,6 9.9 Dadas las tablas siguientes: a) x y b) x y c) x y Cuáles corresponden a funciones de proporcionalidad directa? La única que es de proporcionalidad directa es la a, y la constante de proporcionalidad es. 9.0 Completa en tu cuaderno las tablas asociadas a las siguientes funciones. a) y x x y b) y x 7 x y c) y x x y 7 10 a) x y b) x y c) x y

150 EJERCICIOS PARA ENTRENARSE Coordenadas en el plano 9.1 Representa estos puntos de coordenadas. A(, ) B( 1, 5) C(0, 7) D(, 6) E(5, 0) F(4, 5) Y C B 1 A O 1 E X D F 9. Escribe las coordenadas de los puntos representados en la siguiente figura. D Y E 1 C O 1 B A X F G H A(6, 1), B(4, 0), C(0, 1), D(, 4), E( 6, 0), F(, ), G(0, ), H(, ) 9. Indica en qué cuadrante están estos puntos. a) A(5, ) c) C(, 1) b) B(, ) d) D(0, 8) Escribe cuáles son la abscisa y la ordenada de cada uno de ellos. a) El punto A está en el cuadrante IV, la abscisa es 5 y la ordenada es. b) El punto B está en el cuadrante I, la abscisa es y la ordenada es. c) El punto C está en el cuadrante III, la abscisa es y la ordenada es 1. d) El punto D está en el eje Y, la abscisa es 0 y la ordenada es 8. Relaciones dadas por tablas 9.4 Pedro está viajando en tren. La tabla muestra la distancia, expresada en kilómetros, que le falta para llegar a su destino a medida que pasa el tiempo, expresado en horas. a) Cuánto dura el viaje? b) Entre qué horas adelanta más kilómetros? c) Hay una única distancia para cada hora? Tiempo (h) Distancia (km) a) Cuatro horas. b) Entre las 1.00 y las 1.00 adelanta 155 km. c) Sí. 15

151 9.5 La tabla recoge las dimensiones de diferentes rectángulos cuya superficie mide 6 metros cuadrados. Base (m), Altura (m) 14,4 9 Completa la tabla Base (m), Altura (m) 18 14, Relaciones dadas por gráficas y fórmulas 9.6 Halla el valor de la variable dependiente, para los números, 1, 0, 1 y, en estas fórmulas. a) y x b) y x c) y 4x a) b) c) x y x y 1 1 x y La gráfica muestra la evolución de las ventas de un producto nuevo a medida que transcurren los meses desde que salió al mercado. a) En qué mes hubo más ventas? b) En qué mes hubo menos ventas? c) Hubo dos meses las mismas ventas? d) Le corresponde a cada mes un único número de ventas? a) En el cuarto mes. b) En el segundo mes. c) Sí, el tercero y el quinto mes. d) Sí. Ventas 1000 O Meses 9.8 Expresa mediante una fórmula las siguientes frases. a) Asociamos a cada número x su doble. b) Asociamos a cada número x su triple más dos. c) Asociamos a cada número x su cuadrado menos tres. d) Asociamos a cada número x el opuesto de su cuadrado. a) y x b) y x c) y x d) y x Funciones y gráficas 9.9 María quiere regalar a su madre bombones. Elige un tipo de bombones que cuestan 5 euros cada kilogramo. a) Escribe una fórmula que relacione la cantidad de bombones que compra María con lo que tiene que pagar. b) Corresponde la fórmula anterior a una función? c) Cuál es la variable independiente y cuál la variable dependiente? a) y 5x, donde x es el número de kilogramos de bombones, e y, el coste de los bombones. b) Sí, porque para cada cantidad de bombones hay un único precio. c) La variable independiente es la cantidad de bombones. La variable dependiente es el precio en euros. 154

152 9.40 El área del círculo en función del radio viene dada por esta fórmula: A r, donde vale aproximadamente,14. a) Construye una tabla para distintos valores de r. b) Representa gráficamente los valores de la tabla. c) Tiene sentido unir los puntos obtenidos? d) Le corresponde a cada radio un único valor del área del círculo? a) R A,14 1,56 8,6 50,4 78,5 14 b) Área 50 O 5 Radio 9.41 c) Sí tiene sentido unir los puntos, porque la función puede tomar cualquier valor real positivo. d) Sí. Para la función y x 1, calcula los valores de la variable independiente conociendo los siguientes valores de la variable dependiente. a) y 1 b) y 10 c) y 8 d) Representa gráficamente la función. a) 1 x 1 0 x x 0 b) 10 x 1 9 x x c) 8 x 1 9 x x d) Y O 1 y = x +1 X 9.4 Indica cuáles de estos puntos pertenecen a la función y x 1. a) A(1, 0) b) B(0, 1) c) C(4, ) d) D(4, ) Representa gráficamente los puntos anteriores y comprueba cuáles están en la gráfica de la función. Los puntos que pertenecen a la función dada son el A y el D, pues y 4 1. Y y = x +1 1 A O 1 B C D X 155

153 Función de proporcionalidad directa 9.4 Escribe la fórmula de las funciones lineales cuyas razones de proporcionalidad sean las siguientes. a) b) 5 c) 1 d) 1 7 a) y x b) y 5x c) y 1 x d) y 1 7 x 9.44 Representa en los mismos ejes de coordenadas la gráfica de las siguientes funciones de proporcionalidad directa. a) y 0,5x y x y x y x b) y 0,5x y x y x y x a) Y y = x b) y = x y = x y = x y = x Y y = x 1 y = 0,5x y = 0,5x 1 O 1 X O 1 X 9.45 Dada la función de proporcionalidad directa y x, responde a los siguientes apartados. a) Averigua los números que faltan. f()? f( 1)? f(? ) 6 b) Representa gráficamente esta función. a) f() 6 f( 1) ( ) ( 1) f(x) x 6 x b) Y y = x 1 O 1 X 156

154 PROBLEMAS PARA APLICAR 9.46 La gráfica muestra la temperatura de un horno mientras se hace un bizcocho. Temperatura (ºC) O Tiempo (min) a) En qué momento se alcanza la mayor temperatura? Cuál es esta? b) Cuándo la temperatura es de 50 C? c) Entre qué minutos se aprecia una subida fuerte de la temperatura? d) Le corresponde a cada tiempo una única temperatura? a) A los 40 minutos. b) A los minutos y a los 65 minutos. c) En los 10 primeros minutos y de los 0 a los 40 minutos. d) Sí Una ONG compra 10 vacunas para niños por cada euro que aportamos. a) Escribe la fórmula que relaciona la cantidad de dinero aportada con las vacunas compradas. b) Es una función de proporcionalidad directa? c) Cuál es la razón de proporcionalidad? d) Represéntala. a) y 10x, donde x es el número de euros que aportamos. b) Es una función de proporcionalidad directa. c) La constante de proporcionalidad es 10. d) Vacunas y = 10x 10 O 1 Euros ( ) 9.48 Describe la gráfica del siguiente paseo en bicicleta. Distancia al punto de partida (km) 4 O Tiempo (min) En los primeros 6 minutos recorre kilómetros. Luego aumenta mucho la velocidad, ya que en los 4 minutos siguientes avanza otros kilómetros. Tras este acelerón descansa seis minutos. 157

155 9.49 En los triángulos de altura, la función que asocia el área con cada base, b, viene dada por la fórmula. A b a) Construye una tabla con valores para las dos variables. b) Representa la función. a) b A 6 9 b) Área A = b. 1 O 1 Dimensiones de la base 9.50 Haz una gráfica para ilustrar la caminata que realiza Alejandro. En la primera hora anda kilómetros. Hace un kilómetro más en la siguiente hora y luego descansa otra hora. Se aleja un kilómetro más durante una hora y decide regresar a casa. En la siguiente hora, de regreso, hace 4 kilómetros y descansa una hora. Tras el descanso, recorre el kilómetro que le falta para llegar en un tiempo similar. Distancia (km) 1 O 1 Tiempo (h) 158

156 9.51 El franqueo postal se rige por la siguiente tabla. Peso (g) Franqueo ( ) Hasta 0 g 0,7 De más de 0 g hasta 50 g 0,40 De más de 50 g hasta 100 g 0,55 De 100 g hasta 50 g 0,89 De 50 g hasta 500 g 1,58 De 500 g hasta g,1 De g hasta 000 g,80 Alberto ha escrito cartas a algunos amigos. La carta que envía a Alejandro pesa 15 gramos; la de Inés, 80; la de Elena, 90, y la de Pedro, 500. a) Qué franqueo tendrá que poner a cada carta? b) Es posible que a dos cartas con distinto peso les corresponda el mismo franqueo? c) La relación definida en la tabla es una función? a) Tiene que poner a la de Alejandro 0,7 euros; a las de Inés y Elena, 0,55, y a la de Pedro,,1. b) Sí es posible. c) Sí es una función porque a cada peso le corresponde un único franqueo. 9.5 La siguiente gráfica indica el tiempo que tardan en hacer su recorrido seis personas. D Distancia (km) 1 A B C F E O Tiempo (min) a) Qué persona es más rápida, E o F? b) Dibuja un punto que represente a una persona más rápida que C. Hay más de una? c) Es la gráfica de una función? Razona la respuesta. a) Es más rápida F porque en el mismo tiempo recorre más distancia. b) Cualquier punto situado en la región sombreada sería válido; por ejemplo (15, ). D Distancia (km) 1 A B (15, ) C F E O Tiempo (min) c) La gráfica no representa una función, pues hay un valor de abscisas, 5, al que corresponden dos ordenadas: 1,5 y,5. 159

157 REFUERZO Coordenadas de puntos 9.5 Escribe las coordenadas de estos puntos. Y D C 1 B E O 1 A X F H G A(4, 0), B(, ), C(0, ), D(, 1), E( 6, 0), F( 4, ), G(0, 5), H(, ) 9.54 Representa los siguientes puntos. A(, 4) B(0, 5) C(, 0) D(4, ) Indica a qué cuadrante corresponde cada uno de ellos. A Y 1 C O 1 X D B A está en el II cuadrante; B, en el eje Y; C, en el eje X, y D, en el IV cuadrante. Tablas, gráficas y fórmulas 9.55 Una tarifa de aparcamiento viene dada por esta tabla. Tiempo Precio ( ) Cada una de las tres primeras horas 1 Cada una de las tres horas siguientes 0,70 A partir de la sexta hora 0,50 a) Explica por qué la tabla representa una función. b) El padre de Juan estuvo horas y 40 minutos. Cuánto tuvo que pagar? a) La tabla representa una función porque a cada valor de la variable independiente corresponde uno solo de la variable dependiente. b) El padre de Juan pagó,70 euros. 160

158 9.56 Una función asigna a cada número el 5. a) Escribe la fórmula de esta función. b) Construye una tabla con cinco valores para la variable independiente y los correspondientes para la variable dependiente. c) Representa gráficamente la función. a) y 5 b) x y c) Y Y = 5 1 O 1 X Funciones de proporcionalidad directa y gráficas 9.57 Halla el valor de la variable dependiente para los números, 0, 1 y en las siguientes funciones. a) y x b) y x 5 c) y x d) y x(x 1) Indica cuáles son de proporcionalidad directa. a) f( ) 6 f(0) 0 f(1) f() 4 Esta función es de proporcionalidad directa. b) f( ) 4 f(0) 5 f(1) 8 f() 11 Esta función no es de proporcionalidad directa. c) f( ) f(0) 0 f(1) 1 f() Esta función es de proporcionalidad directa. d) f( ) 6 f(0) 0 f(1) f() 6 Esta función no es de proporcionalidad directa Representa gráficamente estas funciones de proporcionalidad directa. a) y 5x b) y 5x c) y 1 x d) y x e) y 0,5x f) y 0,5x 5 y = 5x Y y = x 5 y = 5x y = x y = 1 x y = 1 x 4 1 O 1 y = 1 x 4 X 161

159 9.59 Escribe las fórmulas de las funciones lineales cuyas razones de proporcionalidad sean las siguientes. a) b) c) 1 5 d) 1 a) y x b) y x c) y 1 5 x d) y 1 x AMPLIACIÓN 9.60 La siguiente tabla corresponde a una función f. a) Completa los números que faltan. b) Encuentra la fórmula de dicha función. x 0 1?... f(x) 4 6 8? 1... a) x f(x) b) y 4 x Se llama diagonal de un polígono al segmento que une dos vértices no consecutivos. Estudia cuántas diagonales tiene un polígono de, 4, 5, 6,, x lados. a) Construye una tabla. b) Representa los valores de la tabla. c) Se pueden unir los puntos obtenidos? a) Número de lados del polígono x Número de diagonales x(x ) Desde cada vértice se pueden trazar diagonales a todos los vértices menos a sí mismo y a los dos adyacentes; por tanto, x(x ) diagonales. Se divide entre para no contar las diagonales que se repiten, y queda x(x ) diagonales de un polígono de x lados. b) N. o de diagonales 1 O 1 N. o de lados c) Los puntos obtenidos no se pueden unir, porque solo hay polígonos con un número entero de lados. 16

160 9.6 Un granjero tiene 7 metros de valla para hacer un corral de gallinas de forma rectangular. a) Cómo cambiará el área del corral al variar la longitud de uno de los lados? b) Construye una tabla de valores. c) Representa los valores de la tabla. a) Perímetro x y 7 Luego: x y 6 x De donde: y 6 x S x(6 x) y b) x x S x(6 x) c) Área (S) y = x (6 x ) O Lado (x ) 9.6 Una empresa petrolífera paga a sus empleados según los metros excavados. El primer metro lo paga a 90 euros, y los restantes, a 60 euros cada uno. a) Construye una tabla de valores. b) Representa la gráfica asociada a la tabla anterior. c) Determina la fórmula que permite calcular el precio en función de los metros excavados. a) N. o de metros Coste en euros b) Coste ( ) y = 60(x 1) O 1 N. o de metros c) y 60(x 1) 90, siendo x el número de metros excavados, e y, el coste en euros. 16

161 PARA INTERPRETAR Y RESOLVER 9.64 Al encuentro Pablo se encuentra en la cima, C, de un monte, y Eva, en el punto más bajo, B, del mismo. A las diez de la mañana parten uno al encuentro del otro. La gráfica representa la distancia de B a la que se encuentra cada uno en función del tiempo. a) Cuánto mide el monte? Km. C b) A qué hora se encuentran? Qué distancia ha recorrido 8 cada uno hasta ese momento? c) Calcula la velocidad media que han llevado Pablo y Eva. Pablo 6 4 Eva E Min. B a) La distancia entre los puntos C y B es de 9 km. b) Se encuentran a la hora y media del inicio del recorrido, es decir a las 11 h 0 min. En este momento, Pablo ha bajado 6 km y Eva ha subido km. 6 c) Las velocidades medias son 1,5 4 km/h para Pablo y km/h 1, Oferta de trabajo En un periódico se publica la siguiente oferta de empleo. EMPRESA EUROPEA BUSCA INFORMÁTICO/A Se exige: Certificación oficial. Inglés nivel medio. Edad de 0 a 40 años. Se ofrece: Contrato de dos años. Sueldo primer semestre: euros (total de los seis meses). A partir del séptimo mes, el sueldo se aumentará 50 euros cada mes. Enviar currículum vitae antes de 15 días. Cuánto ganaría cada mes la persona que contratasen para ese trabajo? Elabora una gráfica que refleje esos datos. Los 6 primeros meses ganaría euros al mes, el séptimo mes euros, el octavo y así sucesivamente, 50 euros más cada mes. Sueldo ( ) O Mes 164

162 AUTOEVALUACIÓN 9.A1 Representa en unos ejes de coordenadas: A(0, ) B(, ) C(4, 0) D(, ) B Y A 1 O 1 C X D 9.A Representa en unos ejes de coordenadas un punto P de abscisa 1 y ordenada. Y 1 O 1 X P 9.A Escribe las coordenadas de los puntos de la figura. Y A 1 O B 1 X C D A(, ), B(1, 0), C( 1, ), D(4, ) 9.A4 Dada la función y x 1: Construye una tabla con cinco valores para la variable independiente y los correspondientes valores para la variable dependiente. Representa gráficamente la función. Es función de proporcionalidad directa? Razona la respuesta. a) x y b) Y 1 O 1 y = x 1 X c) No es función de proporcionalidad, su gráfica no es una recta que pasa por el origen. 165

163 9.A5 Escribe la fórmula de una función lineal de razón de proporcionalidad. Representa gráficamente dicha función. y x Y 1 y = x O 1 X 9.A6 Dada f(x) x, halla los valores que faltan. a) f( 4)? b) f(? ) 1 c) f(0)? a) f(-4) ( 4) 8 b) f(x) 1 1 x x 1 c) f(0) A7 Indica cuál es la variable independiente y cuál la dependiente para la siguiente función. Distancia (m) O Tiempo (min) La variable independiente es el tiempo. La variable dependiente es la distancia recorrida. 9.A8 La tabla muestra la variación de peso de un recién nacido en sus primeras semanas de vida. Semanas Peso (kg),0,15,0,40,55 a) Entre qué semanas ha disminuido el peso? b) Cuándo se ha producido el mayor aumento de peso? a) El peso ha disminuido a lo largo de la primera semana. b) Entre la primera y la segunda semana y entre la tercera y la cuarta se ha producido el mayor aumento de peso, este ha sido de 150 gramos. 9.A9 La relación que asocia a cada moneda su valor en euros y su valor en céntimos de euro, es una función? Razona la respuesta. Esa relación no es una función, pues para cada valor de la variable independiente (valor de las monedas) hay dos valores de la variable dependiente (valor en euros y valor en céntimos de euro). 166

164 9.A10 Representa en los mismos ejes las funciones y x e y x. Y y = x y = x 1 O 1 X MURAL DE MATEMÁTICAS Jugando con las matemáticas LA CALCULADORA Carolina ha inventado una calculadora con una tecla roja y otra verde de forma que cuando introduces un número en la pantalla, si pulsas la tecla roja, la máquina se encarga de multiplicar el número por y al resultado sumarle ; mientras que si pulsas la tecla verde, la calculadora multiplica por el número que tiene en la pantalla y al resultado le resta 5. Carolina escribe el número 4 en la pantalla y juega a pulsar sucesivamente la tecla roja y la tecla verde. Cuántas veces tiene que pulsar cada una de las teclas para que aparezca en la pantalla un número mayor que 1 000? 4 R 11 V 8 R 59 V 17 R 47 V 1 06 ( veces cada tecla). 167

165 10 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD EJERCICIOS PROPUESTOS 10.1 Se lanza un dado, y se obtienen estos resultados. Construye una tabla estadística Datos Recuento Frecuencia absoluta Frecuencia relativa 1 /// 0 4 //// 4 0 /// //// /// 0 6 /// La duración, en minutos, de 10 llamadas telefónicas ha sido: Elabora una tabla estadística. Duración Frecuencia Frecuencia en minutos absoluta relativa

166 10. La tabla recoge la edad de un grupo de jóvenes encuestados. Edad (años) Frecuencia absoluta a) Realiza el diagrama de barras. b) Dibuja el polígono de frecuencias. a) 0 b) 18 Frecuencias absolutas Frecuencias absolutas Edad (años) Edad (años) 10.4 Las veces que han ido al teatro un grupo de amigos en un año son: a) Representa los datos en un diagrama de barras. b) Dibuja el polígono de frecuencias. a) b) Frecuencias absolutas 1 Frecuencias absolutas N. o de veces N. o de veces 10.5 Realiza un diagrama de sectores con los siguientes datos. o o e i u e a a e e i a i i e 60 n n.o total de datos frecuencia absoluta correspondiente Vocal Frecuencia absoluta a e 5 i 4 o u 1 15 a: n n 7 e: n n 10 5 i: n n 96 4 o: n n 48 u: n n 4 1 Vocal i 4 Vocal o Vocal u 1 Vocal a Vocal e 5 169

167 10.6 Representa los datos de la tabla en un diagrama de sectores. Edad (años) Frecuencia absoluta n n.o total de datos frecuencia absoluta correspondiente Edad Frecuencia absoluta años: n n años: n n años: n n años: n n años: n n años 0 19 años 5 15 años 5 16 años 8 17 años 10.7 Calcula la media aritmética simple de este conjunto de datos Datos Frecuencias absolutas Productos Media aritmética simple 4 8 1, Para hallar la puntuación final de una prueba de atletismo se multiplica por el resultado de la primera marca, por 4 el de la segunda y por 5 el de la tercera. Las marcas de Belén son 9, 5 y. Halla la media aritmética ponderada que obtiene Media aritmética ponderada 5 7 4, Halla la moda de los siguientes conjuntos de datos. a) 1 4 b) a a a a a a a a a a a a a a a a a c) a a a a a a a a b a a a a a a a a d) a) Moda b) Moda a c) Moda a d) Moda 1 y 170

168 10.10 Se ha lanzado un dado y se han obtenido los siguientes resultados de la tabla. Cara Frecuencia absoluta a) Dibuja un diagrama de barras. b) Halla la media aritmética y la moda. a) Frecuencias absolutas Cara b) Media aritmética 1 98, Moda Se lanzan dos monedas distintas y se anotan los resultados. a) Escribe el espacio muestral. b) Indica el suceso sacar dos caras o dos cruces. a) E {(C, C), (C, X), (X, C), (X, X)} b) Sacar dos caras o dos cruces: {(C, C), (X, X)} 10.1 Tenemos una caja con bolas rojas, y verdes. Se sacan a la vez y se anotan los colores. Escribe el espacio muestral y el suceso salir al menos dos bolas iguales. Espacio muestral: E {(r, r, v), (r, v, v), (v, v, v)} Salir al menos dos iguales: {(r, r, v), (v, v, r), (v, v, v)} 10.1 En una baraja española de 40 cartas, halla: a) La probabilidad de obtener un oro. b) La probabilidad de obtener un as. c) La probabilidad de sacar el as de oros. a) P(oro) 1 0 0, b) P(as) 0, c) P(as de oros) 0, Tenemos tres cajas de distintos colores: roja, azul y amarilla. Alberto quiere colocar, sin mirar, una bola azul en la caja de su color. Halla la probabilidad de que Alberto acierte. P(acierto) 1 0, 171

169 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Realiza un diagrama de las posibilidades que existen de ordenar las letras de la palabra ROSA, sin repetir ninguna letra y sin que importe que la palabra compuesta tenga sentido. O S A A S ROSA ROAS R O A A O SROA SRAO R S O A A O RSOA RSAO S O R A A R SORA SOAR A S O O S RASO RAOS A R O O R SARO SAOR R S A A S ORSA ORAS R O S S O AROS ARSO O S R A A R OSRA OSAR A O R S S R AORS AOSR A R S S R OARS OASR S R O O R ASRO ASOR Utiliza un diagrama para escribir todos los números de dos cifras distintas que se pueden formar con los dígitos 1,,, 4 y Seis amigas, Ana, Bea, Claudia, Daniela, Elena y Flor, se quieren apuntar a un torneo de tenis por parejas. Haz un diagrama para representar las distintas formas posibles que tienen de hacerlo. Ojo, ten cuidado con las parejas que se repiten! B C D E A C D E B D E C E D E F F F F F CÁLCULO MENTAL Halla la media de los siguientes datos. a) 4, 7 b) 10, 1 c) 7, 4, 1 d) 61, 6, 6 a) Media 4 7 5,5 b) 11 c) 4 d) 6 17

170 10.19 Calcula el valor de la letra x para que la media de: a) 5, x sea 4 b) 7, 7, x sea 7 c) x, 6 sea 5,5 d),, x sea 4 a) x b) x 7 c) x 5 d) x Calcula si son ciertas las siguientes afirmaciones. a) La media de 10 y 1 es 11,5. b) La media de 60, 58 y 56 es 58. c) La media de 110, 110, 110 y 110 es 110. d) La media de 1 y 14 es 1,5. a) Falsa, la media es 11. b) Cierta. c) Cierta. d) Falsa, la media es Determina cuál de las probabilidades de estos sucesos es mayor. a) Obtener cara en el lanzamiento de una moneda. b) Obtener un múltiplo de tres al lanzar un dado con las caras numeradas del 1 al 6. a) P(cara) 1 0,5 b) P(múltiplo de ) 0, 6 Es mayor la probabilidad de obtener una cara en el lanzamiento de una moneda. EJERCICIOS PARA ENTRENARSE Datos estadísticos. Frecuencias 10. Se ha preguntado a lectores cuál fue el género del último libro que leyeron y se ha elaborado la siguiente tabla con los resultados. Género Número de lectores Novela 5 Poesía Teatro 4 Construye la tabla estadística con las frecuencias absolutas y relativas. Datos Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Novela 5 5 Poesía 4 Teatro

171 10. El número de veces al mes que Ana ha ido al teatro en un año ha sido: A partir de estos datos, construye una tabla con las frecuencias absolutas y relativas. Datos Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Con esta lista de números: a) Realiza el recuento de los datos. b) Construye la tabla con las frecuencias absolutas y relativas. a) y b) Recuento y tabla de frecuencias. Datos Recuento Frecuencia absoluta Frecuencia relativa 5 10 ///// //// /// 1 1 /// //// //

172 Gráficos estadísticos 10.5 A 0 jóvenes se les ha preguntado sobre sus revistas favoritas y el resultado se recoge en esta tabla. Históricas 1 a) Forma la tabla estadística. b) Representa los datos mediante un diagrama de barras. c) Representa los datos mediante un diagrama de sectores. a) Tabla estadística: Tipo N. o de jóvenes Deportes 10 Científicas Divulgación 1 Animales 5 Tipo Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Deportes Científicas 0 Divulgación Animales Históricas b) Diagrama de barras: Frecuencias absolutas Deportes Científicas Divulgación Animales Históricas 60 n c) Diagrama de sectores: n.o total de datos frecuencia absoluta correspondiente Tipo Frecuencia absoluta Deportes 10 Científicas Divulgación 1 Animales 5 Históricas 1 0 Deportes: n 1 n 10 0 Científicas: n n 4 Divulgación: n 1 n 144 Animales: n n 60 5 Históricas: n n 1 1 Animales 5 Divulgación 1 Históricas 1 Deportes 10 Científicas 175

173 10.6 Los componentes de un grupo juvenil de baile tienen las siguientes edades: a) Realiza el recuento y construye una tabla estadística. b) Dibuja el diagrama de barras. c) Dibuja el diagrama de sectores. a) Tabla estadística: b) Diagrama de barras: Datos Recuento Frecuencia absoluta Frecuencia relativa 8 1 //// /// //// //// / //// //// / //// /// Frecuencias absolutas Edad (años) c) Diagrama de sectores: 60 n n.o total de datos frecuencia absoluta correspondiente Edad Frecuencia absoluta años: n n años: n 1 n años: n n años: n n años: n n años: n n 0 16 años 6 17 años 4 15 años 4 18 años 1 años 8 14 años

174 10.7 Se ha preguntado a un grupo de estudiantes de una escuela de idiomas por el idioma que cursan. El resultado se refleja en el siguiente diagrama de barras. Frecuencias absolutas Idiomas que se cursan Francés Inglés Alemán Italiano Construye la tabla estadística con frecuencias absolutas y relativas. Idioma Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Francés Inglés Alemán Italiano Media aritmética y moda 10.8 Calcula la media aritmética de los siguientes datos. a) 6, 7, 8, 8, 9 b) 9, 11, 1, 1, 14, 18, 0 c) 1, 15, 6, 7, 7,, 1 d) 7, 1, 11, 8, 11, 1, 8, 8, a) Media 7,6 5 Moda b) Media 1,86 7 No tiene moda c) Media 9,14 7 Moda 7 y d) Media 9,44 9 Moda 8 177

175 10.9 En una competición de gimnasia rítmica hay tres pruebas: la puntuación de la primera tiene valor cuádruple; la puntuación de la segunda tiene valor triple, y la puntuación de la última se valora el doble. a) Nuria obtiene las siguientes puntuaciones. Primera prueba Segunda prueba Tercera prueba Halla la puntuación final calculando la media aritmética ponderada. b) Pilar obtiene las siguientes puntuaciones. Primera prueba Segunda prueba Tercera prueba Halla la puntuación final calculando la media aritmética ponderada. c) Compara las puntuaciones finales de las dos gimnastas. d) Cómo serían las puntuaciones finales de las dos gimnastas si las de todas las pruebas tuvieran el mismo valor? a) Nuria: Puntuación final 50, 9 b) Pilar: Puntuación final 49,88 9 c) Nuria obtiene más puntuación que Pilar. d) Si las puntuaciones de los tres jueces tuviesen el mismo valor, las puntuaciones finales serían las siguientes. Nuria: Puntuación final ,66 Pilar: Puntuación final , En este caso, la diferencia de puntuaciones entre ambas patinadoras es mayor Observa la tabla y contesta. Lugar de vacaciones N. o de jóvenes Playa 0 Montaña 8 Viaje cultural 4 Qué lugar de vacaciones es la moda de los datos que aparecen en ella? La moda es la playa Halla la moda de los siguientes datos La moda es 10. Datos Frecuencia absoluta

176 Probabilidad de un suceso aleatorio 10. Se realiza un experimento aleatorio que consiste en anotar el número de la bola sacada de una caja con siete bolas numeradas del 1 al 7. a) Forma el espacio muestral. b) Escribe los elementos del suceso sacar un número par. c) Escribe los elementos del suceso sacar un número menor o igual que. a) E {1,,,4,5,6,7} b) Suceso sacar un número par: {, 4, 6} c) Suceso sacar un número menor o igual que : {1,, } 10. Se lanza un dado con las caras numeradas del 1 al 6. Halla la probabilidad de los siguientes sucesos. a) Obtener la cara 1. b) Obtener un múltiplo de 4. c) Obtener un número mayor que. a) P(1) 1 6 b) P(múltiplo de 4) P(4) 1 6 c) P(número mayor que ) P(4,5,6) Se le pregunta a una persona por su fecha de nacimiento. Calcula la probabilidad de que esa persona: a) Naciera en diciembre. b) Naciera el día 0 de mayo. 1 a) P(diciembre) 1 b) P(0 de mayo)

177 PROBLEMAS PARA APLICAR 10.5 Las temperaturas, en grados centígrados, en una ciudad española durante un mes de invierno fueron las siguientes: A partir de esta información, responde a los siguientes apartados. a) Realiza el recuento de datos. b) Construye una tabla con los datos, las frecuencias absolutas y los productos de los datos por las frecuencias absolutas. c) Calcula la temperatura media que hizo en la ciudad ese invierno. d) Determina la moda de las temperaturas. e) Alejandro fue a esa ciudad un día de ese mes. Cuál fue la probabilidad de que la temperatura fuera de 1 C? a) y b) Recuento y tabla de frecuencias. Temperaturas mínimas Recuento Frecuencia absoluta Producto 7 /// //// //// / //// //// //// / c) Media 08 10,7 0 0 d) La moda es e) P(1 ) Se tienen cinco bolsas con fichas rojas y verdes como muestra la figura. Si sacamos una ficha de cada una de las bolsas, en cuál es más fácil obtener roja? La probabilidad de sacar una ficha roja en cada bolsa es: 7 En la bolsa que hay 11 fichas: P(roja) 0, En la bolsa que hay 1 fichas: P(roja) 0,58 1 En la bolsa que hay 7 fichas: P(roja) 1 6 0,59 7 En la bolsa que hay fichas: P(roja) 1 4 0,64 6 En la bolsa que hay 11 fichas: P(roja) = = 0, Por tanto, es más fácil obtener ficha roja en las bolsas que contienen 11 y fichas. 180

178 10.7 El servicio de control de calidad de un gran almacén ha pesado 0 paquetes de arroz etiquetados con 50 gramos. Los resultados obtenidos, en gramos, son: a) Cuál es el peso medio de los paquetes de arroz que se han pesado? b) Cuál es el valor de la moda? c) Qué tanto por ciento de paquetes tienen pesos superiores a lo etiquetado? a) Efectuamos el recuento: Peso (g) Recuento Frecuencia absoluta Producto 0 // / 1 1 // / //// //// /// / /// / / / /// 75 5 / / El peso medio es: ,97 gramos. 0 b) La moda es 45 gramos. c) Paquetes con pesos superiores al peso etiquetado hay 5 de un total de 0; por tanto, representa un 16,67 % Se toma una de estas figuras. Halla la probabilidad de que la figura sea: a) Un círculo. b) El triángulo azul. a) P(círculo) 6 1 b) P(triángulo azul)

179 10.9 Se han echado bolas por uno de los aparatos. Hemos contado 86 bolas en la caja A y 614 bolas en la caja B. Qué aparato se ha utilizado, el 1 ó el? Si la bola cae desde el aparato 1, tenemos una posibilidad de que caiga en B; sin embargo, si cae desde el aparato, tenemos dos posibilidades de que lo haga en B. Por tanto, se ha utilizado el aparato Para calcular la nota de final de curso, un profesor hace tres exámenes por trimestre. Los segundos ejercicios de cada trimestre valen el doble que los primeros, y los terceros el triple que los primeros. Las notas de Inés y Rafa son las que se muestran en la tabla. Trimestre 1 Trimestre Trimestre Inés Rafa Calcula la media ponderada de cada uno en cada trimestre. Inés Rafa Trimestre 1 Media P 6 1 5,8 Media P 6 6 1,5 6 6 Trimestre Media P 4 5,8 Media P Trimestre Media P ,16 Media P 7 8 6, La altura media de 6 hombres es 1,79 y la de 5 mujeres es 1,64. Cuál será la altura media del grupo? Suma de las tallas de los hombres: 1, ,74 m Suma de las tallas de las mujeres: 1,64 5 8, m Suma de las tallas del grupo: 10,74 8, 18,94 m Altura del grupo: 18, 94 1,7 m 11 18

180 REFUERZO Datos y gráficos estadísticos 10.4 Se ha lanzado una moneda 18 veces y ha salido 6 veces cara. Halla la frecuencia absoluta y relativa de los sucesos salir cara y salir cruz. Frecuencia absoluta (cara) 6 6 Frecuencia relativa (cara) 1 8 Frecuencia absoluta (cruz) 1 Frecuencia relativa (cruz) El número de hijos de 18 familias seleccionadas al azar es el siguiente: a) Realiza el recuento de datos. b) Construye la tabla estadística. c) Dibuja un diagrama de barras. a) y b) Recuento y tabla de frecuencias. N. o de hijos Recuento Frecuencia absoluta Frecuencia relativa 0 /// //// / //// / / / / c) Diagrama de barras: 8 Frecuencias absolutas Número de hijos 18

181 10.44 Se han revisado 0 paquetes de tornillos y en cada uno se han encontrado estos tornillos defectuosos a) Realiza el recuento de datos. b) Construye la tabla de frecuencias. c) Representa el diagrama de sectores. a) y b) Recuento y tabla de frecuencias. Defectuosos Recuento Frecuencia absoluta Frecuencia relativa 9 0 //// //// //// //// // //// 5 0 // 0 4 // c) Diagrama de sectores: 60 n n.o total de datos frecuencia absoluta correspondiente 0 tornillos defectuosos: n n tornillos defectuosos: n 1 n 144 tornillos defectuosos: n n 60 5 tornillos defectuosos: n n 4 4 tornillos defectuosos: n n 4 4 defectuosos defectuosos defectuosos 5 0 defectuosos 9 1 defectuoso 1 Media aritmética y moda Halla la media y la moda de estos datos Media 1 4 0, Hay dos modas, el 0 y el

182 10.46 Calcula la media y la moda de los siguientes datos. a) 4, 6, 7, 8, 9, 10, 1 b),, 8, 8,, 6, 7, 5, 9, a) Media No hay moda b) Media 5 5, Moda: hay tres modas, el, el y el 8. Probabilidad Se lanza un dado que tiene tres caras con una A, dos caras con una B y una cara con una C. Qué letra es más probable que aparezca? La cara más probable es la cara A, ya que: P(cara A) 6 P(cara B) 6 P(cara C) Se lanza un dado con las caras numeradas del 1 al 6. Cuál es la probabilidad de que el número obtenido sea mayor que? P(número mayor que ) Una urna tiene siete bolas azules y seis verdes. Se extrae una bola al azar. Halla la probabilidad de estos sucesos. a) Sacar bola azul. b) Extraer bola verde. 7 6 a) P(azul) b) P(verde) En un aparcamiento están aparcados ahora mismo coches y 8 motos. Se oye el motor de un vehículo. Qué probabilidad hay de que sea un coche? P(coche) AMPLIACIÓN Halla la probabilidad de que al lanzar un dado con las caras numeradas del 1 al 6, la suma de las caras visibles sea múltiplo de 5. Cara oculta Suma de las caras visibles = 0 múltiplo de = = = = = 15 múltiplo de 5 P(la suma de las caras visibles es múltiplo de 5) 6 185

183 10.5 Una moneda está cargada de modo que la probabilidad de que aparezca cara es el doble de que aparezca cruz. Halla la probabilidad de que salga cara y la de que salga cruz. C suceso salir cara X suceso salir cruz P(C) P(X) Como P(C) P(X) 1, sustituyendo resulta: P(X) P(X) 1 P(X) 1; P(X) 1 y P(C) 10.5 Se lanzan dos monedas. a) Describe el espacio muestral. b) Qué es más probable obtener, dos caras o una cara y una cruz? 1. o Si las monedas se lanzan consecutivamente: a) E {CC, CX, XC, XX} b) P(CC) 1 4 P(una cara y una cruz) P(CX, XC) 4 1 Por tanto, es más probable obtener una cara y una cruz que obtener dos caras.. o Si las monedas se lanzan a la vez: Monedas iguales: a) E {CC, CX, XX} b) P(CC) 1 P(una cara y una cruz) P(CX) 1 Por tanto, tienen la misma probabilidad de salir. Monedas distintas: a) E {CC, CX, XC, XX} b) P(CC) 1 4 P(una cara y una cruz) P(CX, XC) 4 1 Por tanto, es más probable obtener una cara y una cruz que obtener dos caras Dos niños escriben, cada uno por separado, un número con las cifras 4, 6 y 7. Halla la probabilidad de que los dos formen el mismo número. En primer lugar vemos cuántos números se pueden formar con las cifras 4, 6 y 7: Las posibles combinaciones que son: 467, 476, 647, 674, 746, er niño. o niño 1. er niño. o niño 1. er niño. o niño 1. er niño. o niño 1. er niño. o niño 1. er niño. o niño Luego la probabilidad pedida es P(formen el mismo número)

184 10.55 Se realiza un experimento que consiste en abrir al azar una guía telefónica, anotar los dos últimos dígitos del primer abonado de la página y hallar el resto al dividir por 5 el número que forman estos dígitos. Cuál es la probabilidad de que al hacer esto con un abonado elegido al azar dé resto 0? Al dividir un número por 5 y anotar el resto pueden ocurrir 5 casos. Que tenga resto 0. Que tenga resto 1. Que tenga resto. Que tenga resto. Que tenga resto 4. El espacio muestral es E {0,1,,,4} Los dos últimos dígitos pueden ir desde el 00 hasta el 99. Por tanto, hay 100 números, de los que 0 tienen resto 0, 0 tienen resto 1, etc. Luego los sucesos elementales del experimento son equiprobables. Entonces, P(tenga resto 0) 1 0, Se pide a dos chicas que escriban, por separado, una de las cinco vocales. a) Cuál es la probabilidad de que las dos escriban la a? b) Cuál es la probabilidad de que las dos escriban la misma? El número de casos posibles del experimento es 5: {aa, ae, ai, ao, au, ea, ee, ei, eo, eu, ia, ie, ii, io, iu, oa, oe, oi, oo, ou, ua, ue, ui, uo, uu} 1 a) P(escriban las dos chicas la a) 5 b) P( escriban la misma letra) Calcula la probabilidad de que la matrícula de un coche de 4 dígitos. a) Termine en 87. b) Sea múltiplo de 4. c) Tenga las cuatro cifras iguales. a) Los dos últimos dígitos de las matrículas de un coche pueden tomar 100 valores posibles desde 00 hasta 99 y, de ellos, solo el 87 es favorable. Por tanto, P(acabe en 87) b) Un número es múltiplo de 4 si sus dos últimas cifras son múltiplo de 4. Número de casos posibles 100, casos favorables Por tanto, P(sea múltiplo de 4) c) Matrículas con las cuatro cifras iguales hay 10: 0000, 1111,,, 9999, y el número total de matrículas es Por tanto, P(cuatro cifras iguales)

185 PARA INTERPRETAR Y RESOLVER Yendo a clase Los diagramas de barras muestran el tiempo que tardan los alumnos de los tres grupos de 1.º de ESO de un centro en llegar a clase. Grupo 1.º A Grupo 1.º B Grupo 1.º C Más de 0 17% Menos de 10 17% Más de 0 % Menos de 10 17% Entre 10 y 0 % Más de 0 17% Entre 10 y 0 66% Entre 10 y 0 50% Menos de 10 50% Asocia cada uno con su correspondiente diagrama de sector. Gráfico de sectores 1: grupo C Gráfico de sectores : grupo A Gráfico de sectores : grupo B Ahorro de agua El Gobierno ha promovido una campaña de reducción del gasto de agua. Este histograma representa el agua ahorrada por las familias que formaron parte de la muestra utilizada para estudiar la bondad de las medidas. Porcentajes de familias Litros diarios de ahorro a) Qué porcentaje de familias de la muestra ahorraron entre 10 y 0 litros diarios? b) Ocho familias de la muestra ahorraron menos de 10 litros diarios. Cuántas familias ahorraron entre 0 y 40 litros diarios? a) % de familias ahorraron entre 10 y 0 litros diarios b) Si el 0% son 8 familias, el 15% son familias que ahorraron entre 0 y 40 litros diarios

186 AUTOEVALUACIÓN 10.A1 En un supermercado se ha hecho un estudio sobre el tipo de refrescos vendidos en un día y se han obtenido los siguientes datos. Tipo Botes vendidos De naranja 150 De limón 00 De cola 400 Otros 50 a) Forma la tabla estadística. b) Representa los datos en un diagrama de barras. a) Tabla estadística: Tipo Frecuencia absoluta Frecuencia relativa De naranja De limón De cola Otros b) Diagrama de barras: 400 Frecuencias absolutas Naranja Limón Cola Otros 10.A Los goles que un equipo de fútbol sala metió en los distintos partidos de un torneo fueron: a) Calcula la media de los datos. b) Cuál es la moda? a) Media , b) La moda es 6 goles. 189

187 10.A En una bolsa hay 7 bolas rojas, 5 verdes y 4 amarillas. Se extrae una bola. Halla la probabilidad de los sucesos. a) Salir una bola roja. b) Salir una bola verde. 7 a) P(roja) b) P(verde) A4 Un examen consta de tres partes: un test, un problema y el desarrollo de un tema. Para dar la calificación final multiplicamos por 1 la nota del test, por la nota de la parte práctica y por el desarrollo del tema. Nuria obtuvo un 7 en el test, un 6 en la parte práctica y un 9 en el desarrollo del tema. Cuál será su calificación final? Media aritmética ponderada 4 6 7, A5 Se extrae una carta de la baraja española. Halla la probabilidad de estos sucesos. a) Obtener una espada. b) Sacar una sota. c) Obtener una figura. d) Sacar la sota de espadas. a) P(una espada) b) P(una sota) c) P(una figura) d) P(sota de espadas) A6 En una caja hay 9 bolas numeradas del 1 al 9. Si se extrae una bola al azar, determina: a) El espacio muestral del experimento. b) La probabilidad de que sea mayor que. c) La probabilidad de que sea inferior a 6. d) La probabilidad de que sea mayor que y menor que 7. a) E {1,,,4,5,6,7,8,9} b) P(mayor que tres) 6 9 c) P(inferior a 6) 5 9 d) P(mayor que e inferior a 7)

188 MURAL DE MATEMÁTICAS Jugando con las matemáticas JUNTANDO MONEDAS Sabrías decir de cuántas formas se pueden reunir euros utilizando solo monedas de 1 euro, de 50 céntimos y de 0 céntimos? Una pista: haz un cuadro similar a este y vete escribiendo el número y tipo de monedas que necesitas en cada caso. Número de monedas 1 euro céntimos céntimos

189 11 FORMAS GEOMÉTRICAS EJERCICIOS PROPUESTOS 11.1 Dos puntos determinan una recta. a) Cuántas rectas se pueden trazar con un solo punto? b) Cómo son las rectas que pasan por ese punto? a) Tantas como se quiera. b) Secantes, porque se cortan todas en ese punto. 11. Dibuja dos rectas paralelas a la recta r que pasen por los puntos A y B. A B r A r B 11. La medida de un ángulo Ap es y la de otro ángulo Bp es Son suplementarios los ángulos Ap y Bp? Ap Bp Ap y Bp no son suplementarios La medida del ángulo Ap es a) Halla el complementario de Ap. b) Cuánto mide el suplementario de Ap? a) El complementario de Ap es: 90 Ap b) El suplementario de Ap es: 180 Ap

190 11.5 Halla los valores de los ángulos que faltan. 10º A C B Bp 10 por ser opuestos por el vértice. Ap es el suplementario de 10 ; por tanto: Ap Cp Ap 60 por ser opuesto a Ap por el vértice Calcula los ángulos que faltan. 45º A B Llamamos Cp al ángulo que mide 45. Bp y Cp son ángulos agudos y tienen lados paralelos dos a dos, luego Bp Cp 45. Ap y Cp tienen lados paralelos dos a dos; Ap es un ángulo obtuso, y Cp, un ángulo agudo, luego son suplementarios, Ap 180 Cp Identifica en la figura los elementos de la circunferencia que aparecen marcados en rojo. Si el radio mide 1,5 centímetros, cuánto mide el diámetro? B A O Cuerda A B O Radio Como d r 1,5 cm El diámetro mide cm. 19

191 11.8 Dibuja un círculo de 5 centímetros de diámetro y dos radios que formen ángulo recto. Qué figura circular resulta? O 5 cm La figura resultante es un sector circular Dibuja un círculo de centímetros de radio y una circunferencia de centímetros de diámetro con el mismo centro. Qué figura circular resulta entre ambos? cm O 1,5 cm Resulta una corona circular Indica la posición relativa de esta circunferencia y cada una de las rectas. p u s t q r Rectas exteriores: q y r Rectas secantes: s y t Rectas tangentes: p y u El radio de una circunferencia mide decímetros. La distancia de una recta al centro de la circunferencia es 4 decímetros. Cuál es su posición relativa? Como la distancia de la recta al centro, 4 dm, es mayor que el radio, dm, son exteriores. 194

192 11.1 Cómo son una recta y una circunferencia si la longitud del radio de la circunferencia es de 7 centímetros y la distancia de su centro a la recta es 10 centímetros? Como la distancia de la recta al centro, 10 cm, es mayor que el radio, 7 cm, son exteriores El radio de una circunferencia mide 4 centímetros. Si la distancia de su centro a una recta es 4 centímetros, cuál es su posición relativa? La distancia de la recta al centro, 4 cm, es igual que el radio, 4 cm; por tanto, son tangentes Indica la posición relativa de estas circunferencias. Tangente interior Secante Tangente exterior Interior Cómo son dos circunferencias si sus radios miden 14 y 10 centímetros, respectivamente y la distancia entre sus centros es centímetros? Como la distancia entre los centros, cm, es menor que la diferencia de los radios, cm, las circunferencias son interiores Los radios de dos circunferencias miden 4 y 6 centímetros, respectivamente. La distancia entre sus centros es de centímetros. Cuál es su posición relativa? Como la distancia entre los centros, cm, es igual a la diferencia de los radios, 6 4 cm, las circunferencias son tangentes interiores Traza las mediatrices de dos segmentos paralelos de 4 y 6 centímetros de longitud. A 6 cm B C 4 cm D 195

193 11.18 La distancia del punto A al punto M es,5 centímetros. Si M es el punto medio del segmento AB, cuánto mide el segmento AB? Por ser M el punto medio del segmento AB, la distancia del punto M al punto B es igual que la distancia del punto A al punto M. Por tanto, el segmento AB mide: distancia AB distancia AM distancia MB distancia AM,5 5 cm Dibuja un segmento vertical de 7 centímetros de longitud. a) Traza su mediatriz utilizando regla y compás. b) Comprueba que el punto de corte de la mediatriz con el segmento es su punto medio. a) A B b) Con la regla se comprueba que la distancia del punto M a A y de M a B es de,5 cm Traza la bisectriz del siguiente ángulo utilizando regla y compás. 5º 5 o 11.1 Cuánto miden los dos ángulos en que la bisectriz divide un ángulo recto? Como los divide en dos ángulos iguales, cada uno mide: Se traza la bisectriz de un ángulo llano. Cuánto miden los ángulos que se forman? Cada uno mide:

194 11. Dibuja la bisectriz de los siguientes ángulos. a) Un ángulo obtuso. b) Un ángulo cóncavo. a) b) B A 11.4 Calcula la medida del ángulo central Ap en los siguientes casos. a) b) 95º 10º 160º A 0º A 97º a) Ap 60 ( ) 105 b) Ap 60 ( ) El diámetro de una circunferencia mide 6 centímetros. Dibuja un arco de 90 y su ángulo central. Al ser el radio la mitad del diámetro, este mide: r 6. La medida de un arco es la misma que la de su ángulo central correspondiente; por tanto, hay que dibujar un ángulo central de o O cm 197

195 11.6 Las circunferencias de los dibujos se han dividido en partes iguales. Determina la medida de los arcos que se indican. a) b) A A O O B B a) Como la circunferencia mide 60, si se divide en 5 partes iguales, el ángulo central de cada uno es: El arco correspondiente mide lo mismo que el ángulo central, 7. 5 Como el arco AB abarca dos de las 5 partes de la circunferencia, el arco mide b) Como la circunferencia mide 60, si se divide en 6 partes iguales, el ángulo central de cada uno es: El arco correspondiente mide lo mismo que el ángulo central, Como el arco AB abarca dos de las 6 partes de la circunferencia, el arco mide En una semicircunferencia, cuánto miden el ángulo central y su arco correspondiente? El ángulo central mide 180. El arco correspondiente mide lo mismo que el ángulo central, La circunferencia se ha dividido en arcos iguales. Cuánto mide el ángulo inscrito Ap? A O Como la circunferencia se ha dividido en 5 arcos iguales, cada uno de ellos mide: El arco que abarca Ap es de las 5 partes de la circunferencia, el arco mide: 7 16 El ángulo inscrito Ap mide la mitad del arco que abarca: Ap

196 11.9 Cuánto mide el ángulo inscrito que abarca una semicircunferencia? Como la medida del ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del arco que abarca y esta coincide con la medida del ángulo central, 180, por ser una semicircunferencia, obtenemos: Ap El ángulo inscrito que abarca una semicircunferencia mide 90. A O 11.0 Un ángulo inscrito está formado por dos semirrectas tangentes. Con ayuda de un dibujo, calcula cuánto vale el ángulo central correspondiente. A O La medida del ángulo inscrito, 180, es igual a la mitad de la medida del arco que abarca, 60 ; por tanto, la medida de un arco es la misma que la de un ángulo central. El ángulo central mide El radio de una circunferencia mide 9 centímetros. Cuál es la longitud de esa circunferencia? La longitud de la circunferencia es: L r, ,5 cm 11. En un campo de fútbol, el radio del círculo central mide 9,15 metros. Calcula la longitud de la circunferencia que hay que pintar. La longitud de la circunferencia que hay que pintar es: L r,14 9,15 57,46 m 11. El radio de una circunferencia mide 6 centímetros. Cuál es la longitud de un arco de 10? L arco de 10 r n, ,56 cm La longitud de un arco de 10 y radio 6 cm es 1,56 cm El diámetro de una circunferencia mide 8 decímetros. Cuál es la longitud de un arco de 85? r d 4 dm L arco de 85 6 r n 0, ,9 dm 60 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 11.5 Sobre una recta dada, construye un ángulo de 45. C C A B r A B r A B r A 45 o B r Se fijan dos puntos A y B en la recta r. Se traza una recta perpendicular a r por B. Con centro en B, se lleva la distancia AB sobre la perpendicular a r. El ángulo CAB mide 45, porque el triángulo ABC es isósceles rectángulo. 199

197 11.6 Sobre una recta dada, construye un ángulo de 10. C C A B r A B r A 60 o B r 10 o A B r Se fijan dos puntos A y B en la recta r. Con centro en A, se traza un arco de radio AB, y con centro en B, se traza un arco de radio AB. Se determina el punto C. El ángulo qcab mide 60º, porque el triángulo ABC es equilátero. El ángulo suplementario de Ap mide 10º. CÁLCULO MENTAL 11.7 Calcula la medida de los ángulos en que la bisectriz divide a cada uno de los siguientes. a) 40 b) 10 c) 180 d) 10 La bisectriz divide un ángulo en dos partes iguales: a) b) 60 c) d) Calcula la medida del ángulo central cuando el ángulo inscrito en una circunferencia mide: a) 0 b) 50 c) 60 d) 80 La medida del ángulo central es el doble de la medida del ángulo inscrito. a) 0 60 b) c) d) Elige y razona la respuesta. El ángulo Ap de la figura mide: a) 0 b) 15 c) 60 d) 10 O A 60º El ángulo Ap, por ser inscrito, tiene como medida la mitad del arco que abarca: Ap Calcula la longitud de una semicircunferencia de centímetros de diámetro. Se calcula la longitud de una circunferencia y la dividimos por. r d 1 cm L circunferencia r,14 1 6,8 cm L semicircunferencia L circunferencia 6, 8,14 cm 00

198 11.41 Cuánto mide el complementario de 60? a) 10 b) 90 c) 180 d) 0 Dos ángulos son complementarios si suman 90 ; por tanto, el complementario de 60 es el del apartado d, Halla el valor de los ángulos Bp y Dp de la figura. B 0º D 160º Bp es opuesto por el vértice a 160. Entonces, Bp 160. Dp es opuesto por el vértice a 0. Entonces, Dp Un alumno dice que los ángulos Ap, Bp y Cp son iguales. Por qué? A B C O M N Son iguales por ser ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco En un segmento de 10 decímetros de longitud se traza la mediatriz. Cuánto mide cada una de las partes que resultan? La mediatriz pasa por el punto medio, así que divide el segmento en dos partes iguales. Cada una mide 5 cm. EJERCICIOS PARA ENTRENARSE Ángulos Clasifica los siguientes ángulos. a) c) b) d) a) Obtuso y convexo. c) Obtuso y cóncavo. b) Agudo y convexo. d) Obtuso y convexo. 01

199 11.46 Calcula, cuando sea posible, el complementario y el suplementario de: a) Ap 5 15 b) Cp 108 c) Bp 4 7 d) Dp 89 0 a) Complementario: 90 Ap Suplementario: 180 Ap b) Complementario: No se puede calcular porque es el ángulo que hay que sumar a Cp para obtener 90 y Cp es mayor de 90. Suplementario: 180 Cp c) Complementario: 90 Bp Suplementario: 180 Bp d) Complementario: 90 Dp Suplementario: 180 Dp Si Ap es un ángulo agudo y Bp es obtuso, pueden sumar 90? Por qué? Porque Bp, al ser obtuso, ya mide más de 90. Ángulos iguales Dibuja dos ángulos iguales a Ap utilizando ángulos de lados paralelos. A C B Calcula los ángulos que faltan en la figura. C 80º B D Se considera Ap 80. Bp 80, por ser opuesto a Ap por el vértice. Cp es el suplementario de Bp, entonces: Cp 180 Bp Dp Cp 100 por ser Dp y Cp opuestos por el vértice. 0

200 11.50 Con el valor de uno de los ángulos de la figura, calcula el valor del resto. C B 75º G D F E H Se considera Ap 75. Bp 75 por ser Ap y Bp opuestos por el vértice. Ep y Fp son ángulos agudos y de lados paralelos a Bp. Por tanto, Ep Fp Bp 75. Cp es el suplementario de 75, entonces: Cp Dp Cp 105 por ser Dp y Cp opuestos por el vértice. Gp es el suplementario de Ep 75, entonces: Gp Hp Gp 105 por ser Gp y Hp opuestos por el vértice. Posiciones de rectas y circunferencias Cuál es la posición relativa de una recta situada a 8 centímetros de una circunferencia de 6 centímetros de radio? Como la distancia de la recta al centro de la circunferencia es mayor que el radio de la misma, la recta es exterior a la circunferencia. r O 6 cm 8 cm 11.5 Dibuja dos circunferencias tangentes interiores y una recta tangente a ambas. r 11.5 Traza una circunferencia de 0, decímetros de radio y dos rectas tangentes a ella y paralelas entre sí. r 0, dm cm r O cm s 0

201 11.54 Si el centro de una circunferencia está sobre otra circunferencia, cuál es la posición relativa de las dos circunferencias? Las dos circunferencias resultan secantes. C 1 C Dos circunferencias tienen de radio 6 y 8 centímetros, respectivamente. a) Cuál es su posición relativa si la distancia entre los centros es 14 centímetros? b) Y si fuera 10 centímetros? a) b) 6 cm 8 cm 14 cm 6 cm 8 cm 10 cm Tangentes exteriores Secantes Mediatriz y bisectriz Calcula el ángulo Ap de la figura. Bisectriz A 5º 7 La bisectriz divide Ap en dos ángulos iguales de 5 7 ; entonces: Ap Traza las bisectrices de los ángulos Ap y Bp y di qué observas. B A B A Las bisectrices de los dos ángulos coinciden en la misma recta. 04

202 11.58 Traza las mediatrices de los segmentos AC y BD y di qué observas. A D B C A D B C La mediatriz del segmento DB contiene el segmento AC. La mediatriz del segmento AC contiene el segmento DB En la siguiente figura, r es la mediatriz del segmento AB. Halla B. A r Para obtener B hay que prolongar el segmento que une A con M, y con un compás se traza el arco, con centro M y radio MA. El punto obtenido de la intersección del arco con la recta que contiene AM es B. A M r B Ángulos centrales y ángulos inscritos Calcula los ángulos Ap y Bp de las siguientes figuras. a) b) 55º A 75º B La medida del ángulo central es el doble del arco que abarca el ángulo inscrito correspondiente. a) Ap b) Bp

203 11.61 Halla el valor del ángulo central Ap utilizando los datos de cada figura. a) b) 80º A 10º 7º A 4º 49º 10º a) Ap b) Ap Determina la medida de los siguientes ángulos inscritos, sabiendo que la circunferencia se ha dividido en partes iguales. a) b) A A a) La circunferencia se ha dividido en 5 arcos iguales, luego miden: Como Ap es inscrito y abarca el arco de 7, mide la mitad de este: Ap 7 6 b) Esta circunferencia se ha dividido en 9 arcos iguales, luego miden: Como Ap es inscrito y abarca un arco de 40, mide la mitad de este: Ap Los seis arcos en los que se ha dividido la circunferencia son iguales. Calcula los ángulos inscritos, Ap, Bp, Cp, Dp, Ep y Fp. B A F D E Los seis arcos en que se ha dividido la circunferencia son iguales. Luego cada arco mide: Según los arcos que abarca cada ángulo y teniendo en cuenta que al ser inscritos, equivalen a la mitad de ese arco, se obtiene: Ap Bp Dp Ep Fp

204 Longitud de circunferencia y arcos Calcula la longitud de una circunferencia: a) De 7 centímetros de radio. b) De 18 decímetros de diámetro. c) Si un arco de 90 mide 1,57 metros. a) La longitud de la circunferencia es: L r 7 = 4,96 cm b) La longitud de la circunferencia es: L d 18 = 56,5 dm c) Si se conoce la longitud de un arco de 90, se sabe la longitud de 1 4 de la circunferencia, puesto que Entonces, la longitud de la circunferencia es: L 4 1,57 L 6,8 m El diámetro de una circunferencia mide 6 centímetros. Determina el valor de la longitud de un arco con los siguientes grados. a) 0 b) 10 c) 45 d) 90 a) L 6 r n 0 0 1,57 cm 60 b) L r n 10 6,8 cm c) L 6 r n 0 45,6 cm 60 d) L 6 r n ,71 cm 60 PROBLEMAS PARA APLICAR Se quiere forrar el borde de una mesa circular de 90 centímetros de diámetro. Cuántos metros de material se necesitan? Se necesitan: L r 45 8,6 cm,8 metros de material Los compañeros de Ismael tienen que calcular en cuántas partes iguales ha dividido una circunferencia sabiendo que el ángulo central que une dos puntos consecutivos es de 45. Como el ángulo central que une dos puntos consecutivos es de 45, al dividir 60 entre 45 debe darnos el número de partes. Por tanto, la circunferencia se ha dividido en: 60 8 partes Calcula los ángulos Bp y Cp indicados de la siguiente figura. B El ángulo Bp es inscrito; por tanto, mide la mitad del central: C O 54º El arco correspondiente al ángulo Cp es el suplementario de 54, es decir, El ángulo Cp es inscrito, luego su medida es:

205 11.69 Rosa y Luis quieren dibujar en el suelo dos circunferencias tangentes exteriores de y 8 centímetros de diámetro. Si ellos se sitúan en el centro, a qué distancia deben colocarse uno del otro? Para que sean tangentes, solo deben tener un punto común, y eso sólo es posible cuando la distancia entre los centros es igual a la suma de los radios. C 1 C 4 cm Por tanto, Rosa y Luis deben situarse a 1,5 4 5,5 cm de distancia. 1,5 cm Copia la figura y construye a partir de ella los ángulos inscritos cuyas medidas son las siguientes. a) 18 b) 6 c) 54 d) 7 El arco de cada división mide: Luego basta construir ángulos inscritos que abarquen 1,, y 4 divisiones, respectivamente. Si consideramos el ángulo inscrito que abarca: 1 división: divisiones: divisiones: divisiones: o 54 o 6 o 18 o Observa la báscula de la figura. a) Qué ángulo recorre la aguja al pasar de un kilogramo a otro? b) Y cuando recorre 100 gramos? a) Ángulo recorrido al pasar de un kilogramo a otro: b) Como un kilogramo equivale a 10 veces 100 g, el ángulo que recorre la aguja en este caso es:

206 11.7 Cuánto mide el borde de la tapa de una cacerola de aluminio de 4 centímetros de diámetro? Las cacerolas tienen formas circulares. Por tanto, su tapa es un círculo, y el borde de esta, una circunferencia. El borde mide: L d 4 75,6 cm 11.7 En la noria de la figura, a qué distancia se encuentra cada cestillo si el diámetro de la noria es de 75 centímetros? Si la noria tiene 6 cestillos y están todos a la misma distancia, el ángulo central que abarca dos cestillos consecutivos mide: Como el radio es la mitad del diámetro, r 7 5 7,5 cm La longitud del arco que hay entre un cestillo y otro es: L 6 r n 0 7, ,5 cm Calcula la diferencia entre las longitudes de las circunferencias de las monedas de 0 céntimos de euro y 50 céntimos de euro. Indica cómo has hallado los datos que necesitas para ello. Para poder calcular las longitudes hay que hallar primero el diámetro de cada una de las monedas. El diámetro de la moneda de 0,0 es,5 mm y el de la moneda de 0,50 es 4,5 mm. Sus longitudes son: L 0,0 d,5 = 69,87 mm L 0,50 d 4,5 = 76,15 mm La diferencia entre las longitudes es: L 0,50 L 0,0 76,15 69,87 6,8 mm Un relojero quiere construir un reloj de esfera circular de 8 decímetros de diámetro. a) Cuánto miden los ángulos centrales que se forman al unir el centro de la circunferencia con cada uno de los números que marcan la hora? b) Cuál es la longitud del arco de circunferencia que une cada número con el siguiente? a) En el reloj hay que poner 1 números, así que habrá 1 ángulos centrales. Cada uno de ellos medirá: b) La longitud del arco de circunferencia que le corresponde a cada ángulo de 0 es: L r n 4 0,09 dm El radio de la rueda de un remolque mide 60 centímetros. Cuánto mide la longitud de la huella que deja en el suelo en una vuelta? La longitud de la huella de la rueda es: L r 60 76,8 cm,8 m 09

207 11.77 El ecuador terrestre tiene kilómetros de longitud aproximadamente. Si suponemos que la Tierra es una esfera perfecta, cuánto mide el radio de la Tierra? La longitud de la circunferencia es: L r r ,8 r r ,4 km 6, 8 El radio mide 6 69,4 km. REFUERZO Posiciones relativas El radio de una circunferencia mide 1 centímetro y el diámetro de otra mide 50 milímetros. La distancia entre sus centros es,5 centímetros. Cuál es su posición relativa? Las circunferencias son tangentes exteriores porque la distancia entre los centros es igual a la suma de los radios. 1 cm,5 cm,5 cm Junto a dos circunferencias concéntricas de radios y 6 centímetros, respectivamente, se dibuja una recta a una distancia del centro de centímetros. Qué posición tiene la recta respecto a cada una de las circunferencias? La situación del problema queda reflejada en la figura. 6 cm cm cm La recta es exterior a la circunferencia de cm de radio y secante a la circunferencia de 6 cm de radio. Mediatriz y bisectriz Traza dos rectas secantes que se corten formando un ángulo de 90 y las bisectrices de los 4 ángulos formados. Bisectriz r 1 r Bisectriz 10

208 11.81 En un círculo de 10 centímetros de diámetro se considera un sector circular de 90 y su cuerda correspondiente. Qué relación existe entre la bisectriz del sector y la mediatriz de la cuerda? B Cuerda Mediatriz Bisectriz O A La bisectriz del sector y la mediatriz de la cuerda coinciden. Ángulos: iguales, centrales e inscritos 11.8 Son iguales el complementario de 40 y el suplementario de 147 0? Complementario de 40 : Suplementario de : No son iguales porque no miden lo mismo Cómo son y cuánto miden los arcos que abarcan un ángulo central de 75 y un ángulo inscrito de 7 0? El arco que abarca el ángulo central mide lo mismo que él. Por tanto, es de 75. El arco que abarca el ángulo inscrito es el doble de su medida. Entonces es de 7 0 = 75. Los dos miden lo mismo, 75 ; por tanto, son iguales Cuánto mide el ángulo Ap de la figura? A Como la circunferencia se ha dividido en 9 partes iguales, cada arco mide: El ángulo Ap abarca dos arcos de 40, es decir, abarca un arco de 80. Como Ap es un ángulo inscrito: Ap

209 Longitudes de circunferencias y arcos En una circunferencia de radio 4 centímetros dibuja un ángulo inscrito de 0. a) Cuánto mide el ángulo central correspondiente? b) Cuál es la longitud del arco de circunferencia que abarca? a) Si el ángulo inscrito es de 0, el arco que abarca es el doble, 60. El ángulo central mide lo mismo que el arco que abarca, 60. b) L 6 r n ,19 cm 60 La longitud de arco mide 4,19 cm. A Calcula la longitud de la circunferencia. 4 cm B C A D El diámetro de la circunferencia coincide con el lado del cuadrado. Entonces mide 4 cm. Su longitud es: L d 4 1,56 cm AMPLIACIÓN Encuentra un ángulo que sea igual a su complementario y otro que sea igual a su suplementario. En el primer caso hay que encontrar un ángulo que sumado con él mismo dé 90. Ese ángulo es: En el segundo caso hay que encontrar un ángulo que sumado con él mismo dé 180. El ángulo es: Calcula los ángulos que faltan en esta figura. B C A 14º Bp 14 por ser opuestos por el vértice. Ap es el suplementario de 14. Entonces, Ap Cp Ap 8 por ser opuestos por el vértice. 1

210 11.89 Estudia el ángulo que forman las bisectrices de dos ángulos. a) Suplementarios. b) Complementarios. a) b) B Bisectriz A B Bisectriz A Forman un ángulo de 90. Forman un ángulo de Si una circunferencia de 9 centímetros de diámetro se divide en 10 arcos iguales, cuál es la longitud de cada uno de ellos? Si la circunferencia se ha dividido en 10 arcos iguales, cada ángulo central mide: Como el radio es la mitad del diámetro, r 9 4,5 cm Entonces, la longitud de uno de los arcos es: L 6 r n 0 4,5 60,8 cm La longitud de un arco de circunferencia correspondiente a un ángulo central de 0 mide 6 centímetros. a) Cuál es la longitud de la circunferencia? b) Y la del diámetro? a) Si el ángulo central mide 0, el arco también. La circunferencia se ha dividido en un número entero de arcos de 0 de amplitud, es decir, en 60 1 arcos, que mide 0 cada uno 6 centímetros. Luego la longitud de la circunferencia es: cm 1 b) L d 1,14 d d 99,6 cm, 14 1

211 11.9 Calcula los ángulos inscritos indicados en las siguientes figuras. a) b) A B C A B a) Los 6 arcos en que se ha dividido la circunferencia son iguales. Luego miden: Los ángulos son inscritos; por tanto, miden la mitad del arco que abarcan: Ap abarca 4 arcos de 60 : Ap Cp abarca 1 arco de 60 : Cp b) Los 5 arcos en que se ha dividido la circunferencia son iguales. Luego miden: Los ángulos son inscritos; por tanto, miden la mitad del arco que abarcan: Ap abarca 1 arco de 7 : Ap Bp abarca arcos de 7 : Bp La longitud de una semicircunferencia es 9,4 centímetros. a) Cuál es la longitud de la circunferencia? b) Cuánto mide el radio? a) Una semicircunferencia es la mitad de una circunferencia. Entonces: L 9,4 18,84 cm. b) Utilizando la fórmula de la longitud de la circunferencia y sustituyendo en ella el valor obtenido en el apartado anterior: L r 18,84 r 18,84 6,8 r r 1 8, 84 cm 6, 8 El radio mide cm Determina el valor de los ángulos que faltan en la figura sabiendo que Ap Cp 94. A B D C E F H G Ap y Cp son iguales por ser opuestos por el vértice y entre los dos suman 94 : Ap Cp Ep y Gp son los correspondientes de Ap y Cp. Por tanto, Ep Gp Ap Cp 47. Bp es el suplementario de Ap: Bp 180 Ap Dp Bp 1 por ser opuestos por el vértice. Fp y Hp son los correspondientes de Bp y Dp. Entonces, Fp Hp Bp Dp 1. 14

212 PARA INTERPRETAR Y RESOLVER Entradas para el cine Roberto va a adquirir una entrada para el cine por internet. En la pantalla del ordenador le ofrecen el siguiente esquema de la sala de cine: Altavoz Pantalla Altavoz m A B C D E F Con ayuda de regla y compás, indica los asientos adecuados para que Roberto: a) Esté situado a ocho metros de cada uno de los altavoces. b) Esté situado a ocho metros de uno de los altavoces y a siete metros de la pantalla. Altavoz Pantalla Altavoz a) El asiento más adecuado es el C5. b) Los asientos más adecuados son el D4 y el D m A B C D E F Abastecimiento de energía Se quiere situar un transformador eléctrico que permita abastecer de energía a cuatro casas. a) Sería posible encontrar un punto equidistante de las cuatro casas independientemente de cómo estas se encuentren situadas? b) Intenta hallar dicho punto en el caso representado en el siguiente dibujo. Transformador a) No se puede en todos los casos ya que las mediatrices de los segmentos de extremos dos de las casas no tienen que pasar todas por un mismo punto fijo. b) En este caso sí es posible ya que las mediatrices pasan todas por un mismo punto. 15

213 AUTOEVALUACIÓN 11.A1 Una recta está a una distancia de 50 milímetros del centro de una circunferencia de 10 centímetros de diámetro. Qué posición tienen la recta y la circunferencia? El radio de la circunferencia es la mitad del diámetro: 5 cm 50 mm. Como la recta está a la misma distancia del centro que cualquier punto de la circunferencia, es tangente a ella. 11.A Calcula el ángulo central correspondiente a un ángulo inscrito de 84. El ángulo central es el doble del ángulo inscrito. Entonces, el ángulo central mide A Cuál es el complementario y el suplementario de los ángulos? a) b) 6 5 c) 87 a) Complementario: Suplementario: b) Complementario: Suplementario: c) Complementario: Suplementario: A4 Halla la medida del ángulo inscrito en cada caso. a) b) A A a) Como la circunferencia se ha dividido en 4 arcos iguales, cada uno mide: El ángulo inscrito abarca dos arcos, es decir, abarca un arco de Ap b) Como la circunferencia se ha dividido en 6 arcos iguales, cada uno mide: El ángulo inscrito abarca dos arcos, es decir, abarca un arco de Bp A5 11.A6 En una circunferencia de centímetros de diámetro, calcula la longitud del arco que abarca un ángulo inscrito de 45. El arco que abarca el ángulo inscrito es el doble de su medida: El radio de la circunferencia es la mitad del diámetro: r 11 cm. Entonces, la longitud del arco es: L 6 r n ,7 cm 60 Dibuja la bisectriz de un ángulo de 45 e indica cuánto miden cada uno de los ángulos en que queda dividido por ella. La bisectriz divide un ángulo en dos iguales. Cada uno de estos mide:

214 11.A7 Explica por qué los ángulos Bp y Cp son iguales al ángulo Ap. B A C Bp y Ap son ángulos iguales por ser opuestos por el vértice. Cp Ap por ser ángulos de lados paralelos. 11.A8 Una circunferencia de 6 decímetros de radio se divide en partes iguales. Cuánto mide el arco correspondiente a cada una de ellas? Si la circunferencia se ha dividido en arcos iguales, cada ángulo central mide: La longitud de cada parte de los arcos es: L 6 r n ,56 dm A9 Un arco de 90 de una circunferencia mide 5,1 centímetros. Cuánto mide la longitud de la circunferencia? 5,1 r n r 5, cm L = r, ,48 cm 60 n La longitud de la circunferencia es de 100,48 cm. 11.A10 Calcula la longitud de una semicircunferencia sabiendo que el radio mide 5 centímetros. L circunferencia r,14 5 1,4 cm L semicircunferencia L circunferencia 15,7 cm MURAL DE MATEMÁTICAS Jugando con las matemáticas CAMBIO DE RUMBO El pez del dibujo está formado por ocho segmentos. Cambia de lugar tres segmentos como máximo para que el pez nade en sentido contrario. 17

215 1 FIGURAS PLANAS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1 Dibuja polígonos convexos de, 4 y 5 lados con sus correspondientes diagonales. Cuántas hay en cada uno? Triángulo (0 diagonales) Cuadrilátero ( diagonales) Pentágono (5 diagonales) 1. Dibuja las siguientes figuras planas. a) Un polígono cóncavo regular. b) Una figura que no sea un polígono. a) Al ser un polígono cóncavo, tiene al menos un ángulo mayor de 180. Si fuera regular, debería tener todos los ángulos iguales, y eso es imposible, porque no existe un polígono regular con los ángulos mayores de 180. b) No es un polígono porque los lados se cortan y no están unidos sucesivamente. 1. Dibuja un pentágono regular en una circunferencia circunscrita de 4 centímetros de radio. Cuánto mide el lado del pentágono? Se dibuja la circunferencia de 4 cm de radio y 5 ángulos centrales de 7. 7 o El lado del pentágono mide 4,70 cm. 18

216 1.4 Se puede dibujar un hexágono de 6 centímetros de lado en una circunferencia de 6 centímetros de diámetro? No porque en el radio de la circunferencia circunscrita a un hexágono regular tiene la misma medida que el lado del hexágono. Y el radio de esa circunferencia es de cm y no de 6 cm. 1.5 Construye un decágono regular de 5 milímetros de lado. Se dibuja un decágono regular en una circunferencia cualquiera. Luego se prolonga un lado del decágono hasta que tenga 5 mm y se dibujan los radios y las paralelas para obtener la circunferencia circunscrita al polígono buscado. 1.6 Dibuja un octógono de,5 centímetros de lado. a) Cuánto mide el radio de la circunferencia circunscrita? b) Cómo construirías un cuadrado a partir del octógono? Cuánto mediría su lado? Se realiza como en el ejercicio anterior pero con un octógono. a) El radio de la circunferencia mide 4,58 cm b) Uniendo vértices no contiguos dejando uno entre ellos. Su lado mediría: l (4,58) 8) (4,5 6,48 cm 1.7 Dibuja un triángulo rectángulo isósceles. Para que sea rectángulo debe tener un ángulo de 90, y para que sea isósceles, los catetos deben medir lo mismo. cm cm 1.8 Fíjate en el rectángulo y el romboide. a) Qué tienen en común? b) En qué se diferencian? a) Son paralelogramos con lados paralelos iguales. b) En que el rectángulo tiene los cuatro ángulos iguales, y el romboide los tiene iguales dos a dos. 19

217 1.9 Clasifica los polígonos. a) De tres lados. b) De cuatro lados. a) Triángulo escaleno acutángulo. b) Cuadrilátero, paralelogramo, romboide Se puede construir un triángulo de manera que sus ángulos midan 105, 45 y 5? Razona la respuesta. La suma de los ángulos de un triángulo debe ser 180. Se suman los ángulos dados: ; por tanto, no se puede construir el triángulo En un triángulo rectángulo un ángulo agudo mide 0. Cuánto mide el otro? En un triángulo rectángulo, un ángulo mide 90, y conocemos otro que mide 0. Como la suma de los ángulos de un triángulo es 180, el otro ángulo mide: Contesta a las siguientes cuestiones sobre un heptágono regular. a) Cuál es la suma de sus ángulos interiores? b) Cuánto mide cada uno de ellos? c) Si el heptágono fuera irregular, valdrían lo mismo? a) La suma de sus ángulos interiores es: 180 (n ) 180 (7 ) b) Al ser regular, todos los lados y ángulos miden lo mismo. Cada ángulo mide: , c) Podrían valer lo mismo. Por ejemplo, si en el primer heptágono, que es regular, sustituimos cualquier lado, por ejemplo, b, por otro segmento paralelo b, los ángulos permanecen iguales, pero los lados a, b y c varían. b c b c a a 1.1 Son iguales los siguientes rectángulos? cm 4 cm 4 cm cm Sí, porque tienen los lados iguales y los ángulos correspondientes iguales Si dos cuadrados tienen un lado igual, se puede decir que son iguales? Sí, porque los cuadrados tienen todos los ángulos iguales a 90 y todos los lados iguales. Por tanto, si coinciden en un lado, coinciden en todos. 0

218 1.15 Si dos rombos tienen un lado igual, se puede decir que son iguales? No necesariamente. Solo se puede afirmar que al ser los lados de un rombo iguales, los dos rombos tienen los lados iguales, pero no se puede asegurar que sus ángulos también lo sean Son iguales dos hexágonos regulares con los lados iguales? Como los ángulos de cualquier hexágono regular miden 10 y sus lados son iguales, los hexágonos son iguales Indica cuáles de las rectas dibujadas en la figura son ejes de simetría. a b c d Los ejes de simetría son: a y d 1.18 Dibuja un triángulo equilátero de 8 centímetros de lado y traza en él todos los ejes de simetría. Cuánto mide el ángulo que forman dos ejes contiguos? El ángulo que forman dos ángulos contiguos mide: Traza todos los ejes de simetría que tiene un hexágono regular cuya circunferencia circunscrita tiene 5 centímetros de radio. Cuánto mide el ángulo que forman dos ejes contiguos? El ángulo que forman dos ángulos contiguos mide:

219 1.0 Dibuja un triángulo con los datos siguientes. a) Un lado mide 7 centímetros, y los ángulos contiguos, 45 y 6. b) Un ángulo es recto, y los catetos miden y 4 centímetros. c) Dos lados miden 5 y 6 centímetros, y el ángulo que forman es de 108. a) Dibujamos el segmento a 7 y, con vértice en sus extremos, construimos los ángulos Cp 45 y Bp 6. El punto de corte es el otro vértice, A, del triángulo. 45 o 7 cm 6 o b) Dibujamos el ángulo recto. A partir de su vértice y sobre cada uno de sus lados dibujamos los segmentos a y b 4. Unimos los extremos de los segmentos y obtenemos el triángulo. cm 4 cm c) Dibujamos el ángulo Cp 108 con el compás o el transportador. A partir de su vértice y sobre cada uno de sus lados dibujamos los segmentos a 5 y b 6. Unimos los extremos de los segmentos y obtenemos el triángulo. 5 cm 108 o 6 cm Las medidas de los lados de un triángulo son: 5 centímetros, 7,0 centímetros y 5 milímetros. Los lados de otro triángulo miden: 7 milímetros,,5 centímetros y 0,5 decímetros. Dibújalos y estudia si son iguales. Si ponemos todas las medidas en centímetros, los lados de los triángulos coinciden: 5; 7, y,5 cm. Por el primer criterio de igualdad de triángulos, estos dos triángulos son iguales ya que tienen los lados iguales. 7,0 cm = 7 mm 5 mm =,50 cm 5 cm = 0,5 dm Es posible construir un triángulo con los lados iguales a 4, 6 y 10 centímetros? Por qué? No, porque la suma de las medidas de los lados más pequeños debe ser mayor que la del grande. Al intentar dibujarlo, resultaría un segmento. Dibuja las mediatrices de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 8 centímetros y el ángulo que forman es de 80. Señala el circuncentro. 8 cm 80 o 8 cm C 1.4 Traza las mediatrices de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 y 5 centímetros. Dónde se cortan? 5 cm C Las tres mediatrices se cortan en el circuncentro. 1 cm

220 1.5 Uno de los lados de un triángulo mide 7 centímetros, y sus ángulos contiguos, 65 y 40. a) Señala su circuncentro. b) Dibuja la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo. a) Construimos el triángulo dibujando el lado. En sus extremos trazamos dos semirrectas con las medidas de los ángulos, y donde se cortan está el otro vértice. Luego, trazamos las mediatrices y señalamos el punto donde se cortan, que es el circuncentro. C 65 o 40 o 7 cm b) Es la circunferencia que tiene como centro el circuncentro y por radio la distancia de este punto a cualquiera de los vértices del triángulo. C 65 o 40 o 7 cm 1.6 Traza las bisectrices de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 4 y centímetros. Una vez realizado el triángulo, trazamos las bisectrices de los tres ángulos. cm 4 cm 1.7 Uno de los lados de un triángulo mide 6 centímetros, y los ángulos contiguos a él, 45 y 80. a) Señala el incentro. b) Cuál es el radio de la circunferencia tangente a los tres lados del triángulo? 80 o I P 45 o 6 cm Dibujamos el triángulo empezando por el lado y luego, en sus extremos, midiendo los ángulos. Las semirrectas que determinan esos ángulos se cortan en un punto que es el otro vértice del triángulo. a) Luego, trazamos las bisectrices de los ángulos, y el punto de corte es el incentro, I. b) El radio de la circunferencia tangente a los tres lados es la longitud del segmento IP.

221 1.8 En un triángulo isósceles los lados iguales miden 7 centímetros cada uno y el ángulo que forman, 10. a) Dibuja su incentro. b) Dibuja la circunferencia tangente a los tres lados del triángulo. a) Una vez dibujado el triángulo, trazamos las bisectrices de los ángulos, y el punto de corte es el incentro, I. 7 cm 10 o I 7 cm b) La circunferencia es la que tiene su centro en el incentro del triángulo, y su radio es la distancia del incentro a uno de los lados del triángulo. 7 cm 10 o I 7 cm 1.9 Traza las alturas de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 6 centímetros cada uno y el ángulo que forman es de cm 70 o 6 cm 1.0 Dibuja un triángulo rectángulo isósceles de catetos iguales a 5 centímetros. Halla el ortocentro e indica con qué otro punto coincide. El ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto. 5 cm O 5 cm 4

222 1.1 Los tres lados de un triángulo miden 5, 4 y 8 centímetros. a) Traza sus alturas. b) Señala su ortocentro e indica si es interior o exterior al triángulo. a) y b) El ortocentro es exterior al triángulo. 4 cm 8 cm 5 cm O 1. Copia los siguientes triángulos y dibuja sus medianas. A a) b) F C B E G a) b) A F C B E G 1. Halla el baricentro de un triángulo de lados 8, 6 y 10 centímetros. Es necesario trazar las tres alturas? Construimos el triángulo; luego, dos medianas, y el punto de corte de estas es el baricentro. Por tanto, no es necesario trazar las alturas. 10 cm 6 cm G 8 cm 1.4 Comprueba que en un triángulo isósceles la mediana sobre el lado desigual lo divide en dos triángulos iguales. B T 1 T En un triángulo isósceles trazamos la mediana sobre el lado desigual. Se forman dos triángulos rectángulos, T 1 y T, con los lados iguales. Las hipotenusas, por ser los lados iguales de un triángulo isósceles. Los catetos mayores, por ser la mediana, y los catetos menores, por ser la mitad de la base del triángulo inicial. Por tanto, aplicando el criterio 1, T 1 y T son iguales. A C 5

223 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1.5 Escribe la fórmula que da la medida de un ángulo de un polígono regular en función del número de lados. Número de lados Número máximo de triángulos Medida de todos Medida de cada del polígono en que se puede dividir los ángulos ángulo n n 180 (n ) 180 (n ) n 1.6 Encuentra la fórmula que da la medida de un ángulo central de un polígono regular en función del número de lados. Triángulo equilátero Cuadrado Pentágono n lados n CÁLCULO MENTAL 1.7 Qué tipo de polígono ilustra cada uno de los siguientes dibujos? a) b) c) STOP a) Pentágono convexo irregular. b) Octógono convexo regular. c) Cuadrilátero (trapezoide). 1.8 Qué cuadriláteros son los que tienen los lados iguales? Y cuáles tienen los ángulos iguales? Los cuadrados y los rombos son los cuadriláteros que tienen los lados iguales. Los cuadrados y los rectángulos son los cuadriláteros que tienen los ángulos iguales. 6

224 1.9 Un triángulo rectángulo tiene los dos catetos iguales. Qué puedes decir de los ángulos agudos correspondientes? Los ángulos agudos correspondientes son iguales. Se trata de un triángulo rectángulo isósceles Di cuáles son las rectas r, s y t trazadas en el siguiente triángulo. t r B r es la altura sobre el lado BC. s es la mediana sobre el lado AC. A s C t es la mediatriz del lado AB Cuánto mide cada uno de los ángulos de un triángulo equilátero? Los tres ángulos de un triángulo suman 180, y en un triángulo equilátero, los tres ángulos son iguales. Entonces, cada ángulo mide: Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) Hay paralelogramos que no son rombos. b) Hay trapecios que tienen los cuatro ángulos iguales. c) Hay cuadriláteros que son rombos y rectángulos a la vez. d) Hay rectángulos que tienen los cuatro ángulos iguales, pero no rectos. a) Verdadero. Por ejemplo, los rectángulos y los romboides. b) Falso. Si tienen los cuatro ángulos iguales, son rectángulos o cuadrados. c) Verdadero. Por ejemplo, el cuadrado. d) Falso. Los rectángulos, por definición, tienen los cuatro ángulos rectos. 1.4 En los siguientes triángulos, calcula el ángulo o los ángulos que faltan. a) b) c) d) A 90º A 80º a 55º 110º A A 5º D b a) Ap Ap Ap 5 b) Ap Ap Ap Ap Ap 100 Ap c) Ap Ap Ap 5 d) Ap Ap Ap 0 7

225 EJERCICIOS PARA ENTRENARSE Polígonos 1.44 Clasifica los siguientes polígonos. a) b) c) d) a) Pentágono irregular cóncavo. b) Heptágono regular convexo. c) Octógono irregular cóncavo. d) Hexágono irregular convexo Cuántos ángulos iguales tiene un octógono regular? Como es un polígono regular, tiene todos sus lados iguales y todos sus ángulos iguales. Por tanto, tiene 8 ángulos iguales El lado de un cuadrado mide,5 centímetros, y el de otro, 5 milímetros. Razona si son iguales. Si la medida de los lados se expresa en la misma unidad, centímetros, los dos miden lo mismo,,5 cm. Por tanto, si tienen sus lados y sus ángulos iguales, los dos cuadrados son iguales Calcula cuántas diagonales tiene un heptágono. Sea n el número de lados de un polígono. El número de diagonales de un polígono de 7 lados, es decir, del heptágono, es: n (n ) 7 (7 ) Completa en tu cuaderno las siguientes frases. a) El cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos y los ángulos iguales es un b) El polígono con dos lados iguales que forman ángulo recto y un tercer lado distinto es un c) El polígono con sus cuatro lados iguales y los ángulos iguales dos a dos es un d) El triángulo con los tres lados distintos es a) Rectángulo c) Rombo b) Triángulo rectángulo isósceles d) Escaleno 1.49 Verdadero o falso?: Si las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares, se trata de un rombo. Dibuja las figuras correspondientes para razonar tu respuesta. Es falso porque el trapezoide también cumple esa condición. Rombo Trapezoide 8

226 Construcción de polígonos regulares 1.50 Construye un eneágono regular sabiendo que el diámetro de su circunferencia circunscrita mide 7 centímetros Traza un pentágono regular de centímetros de lado. 1.5 Construye un octógono regular en una circunferencia circunscrita de 8 centímetros de diámetro. Une con segmentos los vértices no consecutivos del octógono. La figura que obtienes de este modo, es regular? Se obtiene un triángulo equilátero. Suma de los ángulos de un polígono 1.5 Calcula el ángulo Ap en los siguientes triángulos. a) b) 49º 65º 6º A 80º A a) Ap Ap Ap 68 b) Ap Ap Ap 5 9

227 1.54 En el siguiente trapecio rectángulo falta un ángulo. Cuánto mide? 90º 90º 0º La suma de los ángulos de un cuadrilátero es 180 (4 ) 60. Los ángulos conocidos suman: Si se llama Ap al ángulo que falta, se obtiene: Ap Calcula la suma de los ángulos interiores de estos polígonos. a) Trapezoide c) Octógono regular b) Dodecágono d) Eneágono regular a) Tiene 4 lados. Entonces, 180 (4 ) 60 c) Tiene 8 lados. Entonces, 180 (8 ) b) Tiene 1 lados. Entonces, 180 (1 ) d) Tiene 9 lados. Entonces, 180 (9 ) Contesta a las siguientes preguntas sobre un decágono. a) En cuántos triángulos se puede dividir? b) A partir del resultado anterior, cuánto miden sus ángulos? a) En unidades menos que el número de lados que tiene. Por tanto, en 8 triángulos. b) Sus ángulos miden: 180 (10 ) Clasifica según su suma los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Al ser un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos mide 90, y la suma de los otros dos ángulos agudos es 90, luego son complementarios Un triángulo tiene dos lados iguales y uno de los ángulos mide 60. Se puede afirmar que es un triángulo equilátero? Si el ángulo que forman los lados iguales mide 60, entonces los ángulos de la base miden lo mismo: Ap Ap Ap = Por tanto, el triángulo es equilátero. a 60 o a Si tiene dos lados iguales, los ángulos de la base han de ser iguales, y si uno de ellos es el de 60, el otro también debe medir 60. Entonces, el tercer ángulo también es de 60. Por tanto, el triángulo también es equilátero. a 60 o a 1.59 En un triángulo se sabe que un ángulo es igual a la suma de los otros. Qué clase de triángulo es? Sean Ap, Bp y Cp los tres ángulos. Como Ap Bp Cp y 180 Ap Bp Cp 180 Ap Ap Luego el triángulo es rectángulo. 0

228 Igualdad de polígonos 1.60 Son iguales los siguientes romboides? Por qué? Sí son iguales porque tienen los lados y los ángulos iguales Estudia si son iguales los siguientes triángulos. B D A 60º 4º 4,5 cm C En el triángulo ABC se conocen un lado y los dos ángulos contiguos. Si en el triángulo DEF un lado y los dos ángulos contiguos coincidieran con el anterior, serían iguales según el tercer criterio de igualdad. En DEF se conocen dos ángulos. Se puede hallar el tercero: Fp 180 Fp Fp 4 Entonces, en DEF, el lado conocido y los ángulos contiguos a él coinciden con los de ABC. Por tanto, son iguales. F 4,5 cm 60º 77º E 1.6 El lado de un triángulo mide 48 milímetros, y sus ángulos contiguos, 5 y 80. En otro, un lado mide 0,48 decímetros, y el ángulo opuesto, 65. Se puede afirmar que son iguales? El lado conocido mide lo mismo, 0,48 dm 48 mm. Veamos si miden lo mismo los ángulos contiguos. 180 Ap Bp 65 Ap Bp 115 ; entonces, en el segundo triángulo, entre los dos ángulos desconocidos suman 115, pero eso no significa que uno sea de 5 y otro de 80, podrían ser también de 40 y de 75. En ese caso, los ángulos contiguos al lado conocido no coincidirían. Por tanto, no se puede afirmar que sean iguales. Simetrías en las figuras planas 1.6 En un rectángulo, son ejes de simetría sus diagonales? Hay algún eje de simetría? No son ejes de simetría sus diagonales. Sí las rectas que unen los puntos medios de los lados opuestos Dibuja las siguientes figuras y señala, si los tienen, los ejes de simetría. a) Trapecio rectángulo. b) Triángulo isósceles. a) b) No tiene ejes de simetría. 1

229 1.65 Dibuja un cuadrado y traza en él todos sus ejes de simetría. Por qué punto pasan todos ellos? Pasan todos por el centro del cuadrado. Rectas y puntos de un triángulo 1.66 Dibuja un triángulo equilátero de 8 centímetros de lado y traza en él las mediatrices, bisectrices, medianas y alturas. Señala los puntos de corte correspondientes. Qué observas? B B B B 8 cm 8 cm 8 cm 8 cm 8 cm 8 cm 8 cm 8 cm O O O O A 8 cm C A 8 cm C A 8 cm C A 8 cm C Mediatrices Bisectrices Alturas Medianas O Circuncentro O Incentro O Ortocentro O Baricentro Se observa que el circuncentro, el incentro, el ortocentro y el baricentro son el mismo punto, O Los lados de un triángulo miden 6, 4 y 7 centímetros. a) Dibuja una circunferencia que pase por los tres vértices del triángulo. Cuál es el centro? b) Traza la circunferencia que es tangente a los tres lados. a) El centro de la circunferencia es el circuncentro (punto de corte de las mediatrices), y el radio es la distancia del centro a uno de los vértices del triángulo. 4 cm 6 cm C 7 cm b) El centro de la circunferencia es el incentro (punto de corte de las bisectrices), y el radio es la distancia del centro a uno de los lados del triángulo. 4 cm I 6 cm 7 cm

230 1.68 El triángulo de la figura es rectángulo en B. C C E A º D B Calcula los ángulos indicados con letras. M es el punto donde se interseca la altura desde B, con el segmento AC. ABM y BMC son triángulos rectángulos. En ABM: Dp Dp Dp 58 En ABC, Dp y Ep son complementarios: Dp Ep 90 Ep Ep En BMC, Ep y Cp son complementarios: Ep Cp 90 Cp Cp 58 PROBLEMAS PARA APLICAR 1.69 Para dibujar un terreno con forma triangular se han medido dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos. Es suficiente con esas medidas para tener determinado el terreno? Sí es suficiente con esos datos para determinar el triángulo, basta unir los dos extremos de los lados. a D b 1.70 Explica si son iguales las siguientes figuras. a) Dos triángulos equiláteros. b) Dos triángulos rectángulos de catetos centímetros. a) No son iguales, porque aunque tengan los ángulos iguales, los lados pueden ser distintos. b) Sí, porque se verifica el segundo criterio de igualdad de los triángulos A Ana le gusta mucho el diseño y va a hacer una colección de colgantes y pulseras que llamará Geometría regular. No sabe si le gusta más el tamaño que tienen si están inscritos en una circunferencia de 10 milímetros de radio o si su lado mide 10 milímetros, y probará con un pentágono regular y un cuadrado para elegir los más pequeños. Cuáles elegirá? Dibujar las figuras en la circunferencia circunscrita de 10 mm de radio para hallar la longitud del lado: El lado del pentágono es 1,16 cm. El lado del cuadrado es 1,40 cm. Son más pequeños si los hace de 10 mm de lado.

231 1.7 Observa el dibujo. Halla el punto donde hay que colocar la pelota para que esté a la misma distancia de los tres jugadores. Cómo se llama ese punto? El punto que se encuentra a la misma distancia de los jugadores es el punto del triángulo que está a la misma distancia de los tres vértices, es decir, donde se cortan las tres mediatrices, el circuncentro. 1.7 La profesora de Matemáticas propone un juego a sus alumnos. Tienen que adivinar qué polígono dibuja en un papel sabiendo solamente la suma de los ángulos interiores del mismo. Qué polígonos ha dibujado en cada caso? a) La suma de los ángulos es 180. b) La suma de los ángulos es 60. c) La suma de los ángulos es 70. La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es: 180 (n ) a) 180 (n ) 180 n 1 80 n, el polígono es un triángulo. 180 b) 180 (n ) 60 n 60 n n 4, el polígono es un cuadrilátero. 180 c) 180 (n ) 70 n 7 0 n 4 n 6, el polígono es un hexágono Dos pintores van a pintar una pared triangular y tienen los dos la misma cantidad de pintura. Cómo tienen que repartirse la pared para que los dos pinten la misma superficie? Se dibuja la mediana por un vértice cualquiera, y así el triángulo queda dividido en dos regiones de igual superficie. 4

232 1.75 Laura ha ido con sus padres a Nueva York y dice que allí las señales de tráfico no son iguales que las de España. La profesora enseña a la clase algunas de ellas. Estudia los polígonos y los ejes de simetría que aparecen en estas señales. Las cuatro señales son cuadrados. Se comprueba que cada eje divide las figuras en dos partes iguales Los abuelos de Pablo tienen un prado sin cercar en forma triangular y un caballo. Quieren atar el caballo de modo que desde un punto pueda ir lo más lejos posible, alcanzando solamente a dos lados del prado pero sin pacer la hierba de la vecina. a) Dónde tienen que colocar la estaca? b) Haz la construcción correspondiente. a) La estaca pueden colocarla en cualquier punto de cualquier bisectriz, ya que equidista de los lados. b) Trazado de la bisectriz: Con centro en B, trazamos con el compás dos segmentos C iguales BM y BN sobre los lados. Con el centro en los puntos M y N y radio BM, trazamos sendos arcos que se cortan en un punto P. La recta BP es la bisectriz. P M A N B REFUERZO Polígonos 1.77 Clasifica los siguientes polígonos según el número de lados, convexidad y regularidad. a) b) a) Hexágono irregular cóncavo. b) Pentágono regular convexo. 5

233 1.78 Completa el cuadro poniendo SÍ o NO en las casillas vacías. Los 4 lados son iguales Los 4 ángulos son iguales Es un paralelogramo Rombo Romboide Rombo Romboide Los 4 lados son iguales SÍ NO Los 4 ángulos son iguales NO NO Es un paralelogramo SÍ SÍ 1.79 Halla el valor de los ángulos que faltan en los polígonos. a) b) B 57º A 90º 64º A B a) Ap 57 porque los dos ángulos están formados por lados paralelos. Como la suma de los ángulos de un cuadrilátero es 60, entonces: Bp Bp Bp Bp Bp 46 Bp b) La suma de los ángulos de un pentágono es: 180 (5 ) 540 Ap Ap Ap 79 Igualdad de polígonos 1.80 Estudia si son iguales estos cuadriláteros. Los dos tienen los lados iguales y los ángulos iguales. Por tanto, son iguales. 6

234 1.81 Cuánto debe valer el ángulo Dp para que los dos triángulos sean iguales? B E 6 cm 8º 6 cm A 4 cm 56º C D D 4 cm F Por el. criterio de igualdad de triángulos: dos triángulos son iguales si tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido entre ellos; por tanto, para que sean iguales los triángulos se debe verificar que Dp Ap. Calculamos: Ap Ap Ap Dp Ap 4 Rectas y puntos en un triángulo 1.8 En un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 8 centímetros y el ángulo que forman 100 traza: a) La mediatriz del lado desigual. b) La bisectriz del ángulo desigual. c) La altura sobre el lado desigual. d) La mediana sobre el lado desigual. e) Cómo son las cuatro rectas trazadas? a) c) 8 cm 100 o 8 cm 8 cm 100 o 8 cm b) d) 8 cm 100 o 8 cm 8 cm 100 o 8 cm e) Todas las rectas coinciden. 7

235 AMPLIACIÓN 1.8 Copia en tu cuaderno el siguiente triángulo. a) Señala los puntos medios de los lados. b) Une los puntos medios formando un nuevo triángulo. A c) Traza las medianas de los dos triángulos. Cómo son? B d) Señala el baricentro. C a) A b) M A M P B P B N N C C c) y d) A Las medianas de los dos triángulos coinciden. Por tanto, el baricentro, G, también. M T R B P G S N C 1.84 En un trapecio rectángulo se sabe que la altura es igual a la diferencia de las bases. Cuánto miden sus ángulos? A B En el trapecio de la figura, BH HC, puesto que la altura es igual a la diferencia de las bases. Como el triángulo BCH es rectángulo isósceles, Cp 45 D H C La suma de todos los ángulos es 60, entonces: Bp Por tanto: Bp

236 1.85 En un cuadrado se construyen cuatro triángulos, uno equilátero y los otros tres isósceles, tal como se indica en la figura. Calcula la medida del ángulo Xp. A B D O X C Indicación: Los lados cortados con el signo (II) son iguales. El triángulo AOB es equilátero, de modo que sus ángulos miden 60. Los triángulos AOD y BOC son isósceles. Por tanto, tienen dos ángulos iguales e iguales entre sí. En esos triángulos, Ap Bp Como entre los tres ángulos deben sumar 180 y los otros dos son iguales, esos valen: cada uno. En el punto O se conocen tres de los ángulos que aparecen en la figura: 60, 75 y 75. Falta Xp. Como entre todos suman una vuelta completa, 60 : Xp 60 ( ) Xp 150 PARA INTERPRETAR Y RESOLVER 1.86 Muchas condiciones Dadas las siguientes figuras: a) A B D G F E b) C A B D F E G C Indica si verifican o no cada una de las siguientes condiciones: 1. El triángulo ABC es rectángulo en B. c) B A D E F G d) C A B D F E G C. BD es una altura del triángulo ABC.. EF es un segmento contenido en una mediatriz del triángulo ABC. 4. GE es perpendicular a CB en su punto medio. 5. E es el circuncentro del triángulo ABC. a) No verifica la condición 4. a b) No verifica la condición 1. a,4. a y 5. a c) Verifica todas las condiciones d) No verifica la condición. a 9

237 1.87 La recta de Euler A a) Mide las dimensiones de este triángulo y cópialo en tu cuaderno. b) Halla el baricentro, el ortocentro y el circuncentro del triángulo de la figura. Qué observas? c) Compara las distancias del baricentro y el circuncentro al ortocentro. Qué observas? C B a) A Ortocentro B Baricentro Circuncentro C b) Los tres puntos están alineados. c) La distancia del baricentro al ortocentro es dos tercios la del circuncentro al ortocentro. AUTOEVALUACIÓN 1.A1 Clasifica, según los ángulos y los lados los siguientes polígonos. a) b) c) a) Cuadrilátero convexo. b) Hexágono cóncavo. c) Triángulo convexo. 40

238 1.A Construye un triángulo sabiendo que dos de sus lados miden 5 y 4 centímetros y el ángulo que forman es de 6. Qué tipo de triángulo se obtiene? Se dibuja el ángulo con el transportador. A partir de su vértice y sobre cada uno de sus lados se dibujan los segmentos de 4 y 5 centímetros. Se unen los extremos de los segmentos y se obtiene el triángulo. Resulta un triángulo escaleno porque la medida del tercer lado no coincide con ninguno de los dos dados. 4 cm 65 o 5 cm 1.A Se trazan todas las diagonales desde uno de los vértices de un polígono de 11 lados. a) Cuántos triángulos se obtienen? b) Cuánto mide la suma de los ángulos interiores de ese polígono? a) Se obtienen unidades menos que el número de lados del polígono. Por tanto: 11 9 triángulos b) La suma es: 180 (n ) 180 (11 ) A4 Dos lados de un triángulo miden 4 y 7 centímetros y forman un ángulo de 110. Traza las alturas y halla el ortocentro. Se dibuja el triángulo y se trazan las alturas a los lados (perpendiculares a los lados que pasan por el vértice opuesto). Pero como el triángulo es obtusángulo, para trazar las alturas hay que prolongar dos de sus lados. El ortocentro queda en el exterior del triángulo. 4 cm 110 o 7 cm O 1.A5 De un triángulo rectángulo se sabe que un ángulo agudo mide 18. Cuánto mide el otro? Como entre los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman 90, el otro mide:

239 1.A6 En un triángulo de lados 5, 8 y 10 centímetros. a) Halla el incentro. b) Traza una circunferencia tangente a los tres lados del triángulo. a) El incentro es el punto de corte de las bisectrices. b) La circunferencia tiene el centro en el incentro, y Es suficiente con trazar dos de ellas. el radio es la distancia de este a un lado del triángulo. 5 cm I 10 cm 5 cm I 10 cm 8 cm 8 cm 1.A7 Calcula los ángulos que faltan en estas figuras. a) b) 69º A 6º A 8º B B 6º a) Como es un trapecio isósceles, Ap 69. Por tratarse de un cuadrilátero, la suma de sus ángulos debe ser 60, y como los dos conocidos suman 18, se obtiene: Bp Bp Bp Bp Bp 111 b) Como es un cuadrilátero, la suma de sus ángulos debe ser 60. Los conocidos suman: 60 Ap Ap Ap 70 4

240 MURAL DE MATEMÁTICAS Jugando con las matemáticas TRIÁNGULOS MÁGICOS Corta dos veces el triángulo de la figura de forma que, juntando las piezas resultantes, obtengas un rectángulo. Se corta el triángulo por los segmentos DE y DF, donde D y E son los puntos medios de los lados AB y BC, respectivamente, y DF es perpendicular a AC. Colocamos las partes formando el rectángulo pedido. B D 1 E D E D 1 1 A F B A C 4

241 1 LONGITUDES Y ÁREAS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1 Calcula el perímetro de las siguientes figuras. a),5 cm b) 4 cm cm 4 cm cm a) p 4, cm b) p 4 9 cm 1. Halla el perímetro de estas figuras. a) Un cuadrado de 6 centímetros de lado. b) Un triángulo isósceles cuya base mide 5 centímetros, y cuyos lados iguales miden 8 centímetros. c) Un pentágono regular de 4 centímetros de lado. a) Perímetro cm b) Perímetro cm c) Perímetro cm 1. Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden lo siguiente. a) y 4 centímetros, respectivamente. b) 6 y 8 centímetros, respectivamente. a) Por el teorema de Pitágoras: a b c a 4 a 5 a 5 5 cm b) Por el teorema de Pitágoras: a b c a = 6 8 a 100 a cm 1.4 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 1 centímetros, y un cateto, 1 centímetros. Cuánto mide el otro? Por el teorema de Pitágoras: a b c 1 1 c c c 5 5 cm 1.5 Es posible que en un triángulo rectángulo la hipotenusa mida centímetros, y cada cateto, 1 centímetro? Si el triángulo es rectángulo, debe cumplir el teorema de Pitágoras: a b c. Sustituyendo en la fórmula, se obtiene: Como la igualdad que se obtiene es falsa, es imposible que el triángulo sea rectángulo. 44

242 1.6 Calcula la diagonal de estas figuras. a) Un rectángulo cuyos lados miden 1 y 5 centímetros, respectivamente. b) Un cuadrado de 6 centímetros de lado. a) Como la diagonal con los lados forma un triángulo rectángulo, se aplica Pitágoras: d 5 1 d 6 d 6 5,10 cm b) Como la diagonal con los lados forma un triángulo rectángulo, se aplica Pitágoras: d 5 cm 1 cm d 6 6 d 7 d 7 8,49 cm d 6 cm 1.7 Halla la medida de la altura de estos triángulos. a) Equilátero, cuyo lado mide 10 centímetros. b) Isósceles, con la base de 4 centímetros, y lados iguales de centímetros. Si se observa la figura: 6 cm B a) La altura h es BH, cateto del triángulo rectángulo AHB. Por ser equilátero, AH es el semilado de la base: cm Utilizando el teorema de Pitágoras: a b c 10 5 c c c 75 8,66 cm b) La altura h es BH, cateto del triángulo rectángulo AHB. 10 cm h A 5 cm H B C Por ser isósceles, AH es el semilado de la base: 4 Utilizando el teorema de Pitágoras: cm cm h a b c c 9 4 c c 5,4 cm A cm H C 1.8 Calcula el área de estas figuras, tomando como unidad de medida el cuadrado de la cuadrícula. a) b) a) La superficie contiene 1 cuadrados. Por tanto, el área es de 1 unidades. b) La superficie contiene 1 cuadrados. Por tanto, el área es de 1 unidades. 1.9 Halla el área de las figuras del ejercicio 8, usando como unidad de medida el triángulo rectángulo. a) La superficie contiene 6 triángulos rectángulos. Por tanto, el área es de 6 unidades. b) La superficie contiene 4 triángulos rectángulos. Por tanto, el área es de 4 unidades. 45

243 1.10 Observa las siguientes figuras. Tienen la misma área? La superficie de ambas figuras contiene 5 cuadrados; por tanto, el área de las dos figuras coincide y es de 5 unidades Calcula el área de estas figuras en las que las medidas vienen dadas en centímetros. a) b) a) A l A 4 16 cm b) A b h A cm 1.1 Halla el área de la figura cuyas medidas vienen dadas en centímetros, descomponiéndola antes en rectángulos y cuadrados La figura se puede descomponer en un rectángulo y un cuadrado. A rectángulo b h cm A cuadrado l 4 16 cm 4 1 A figura 48 cm 16 cm 64 cm Halla el área de un paralelogramo de 5 centímetros de base y 0 milímetros de altura. 4 Altura h 0 mm cm A b h 5 15 cm 1.14 Dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos midan y 7 centímetros, respectivamente. Calcula su área. La base y la altura del triángulo rectángulo coinciden con sus catetos. A b a 7 10,5 cm cm 7 cm 46

244 1.15 Determina el área de cada triángulo formado a partir de la diagonal de un paralelogramo de 4 metros de base y metros de altura. Expresa el resultado en centímetros cuadrados. El área de cada triángulo es la mitad del área del paralelogramo. A paralelogramo b h 4 1 m cm A triángulo = cm El área de cada triángulo es de cm Calcula el área de estos trapecios. a) b) 4 cm 1 cm 6 cm 9 cm 8 cm 10 cm a) A B b h cm b) A B b h cm 1.17 Halla el área del siguiente trapecio. cm 4 cm 5 cm Se calcula la altura h, utilizando el teorema de Pitágoras en el triángulo señalado: La base es: 5 1 cm cm Entonces: h 1 4 h h 15,87 cm 4 cm h A B b h 5,87 15,48 cm 1 cm 47

245 1.18 Halla por triangulación el área del trapezoide. 5 cm 10 cm 5 cm 8 cm Se puede descomponer en dos triángulos: uno isósceles cuyos lados iguales miden 6 cm y otro rectángulo de catetos 8 cm y cm. La hipotenusa de éste último es la base del primero. Por Pitágoras se calcula la base del triángulo isósceles: a 8 a 68 a 68 8,5 cm Para obtener la altura de este triángulo, se aplica de nuevo Pitágoras en el triángulo que tiene como hipotenusa uno de los lados iguales y como catetos, la mitad de la base y la altura: 6 4,1 h 6 17,06 h h 18,94 4,5 cm El área del triángulo rectángulo es: A r b a 8 8 cm Y el área del triángulo isósceles es: A i b a 8,5 4,5 17,94 cm Entonces, el área del trapezoide es: A A i A r 17,94 8 5,94 cm 1.19 Halla el área de un decágono regular de 5 centímetros de lado y 9 centímetros de apotema. Se calcula el perímetro: p cm A p a cm 1.0 Cuál es el área del pentágono regular de 8 centímetros de lado y 5 centímetros de radio? Se calcula la apotema utilizando el teorema de Pitágoras en el triángulo señalado. 5 a 4 a a 9 cm Entonces, A p a n l a cm El área del pentágono es de 60 cm. a 5 cm 4 cm 1.1 Cuál es el área de un círculo de 10 metros de radio? A r 10 14,16 m 1. Calcula el área del círculo de la figura. 4 cm El diámetro del círculo coincide con el lado del cuadrado, 4 cm. Por tanto, el radio mide: r 4 cm. A r 1,56 cm 48

246 1. Determina el área de la siguiente superficie. A AB = 5 cm BC = cm B C La figura está formada por dos semicírculos de 5 y cm de diámetro, respectivamente. Semicírculo de diámetro AB Semicírculo de diámetro BC A r,5 9,81 cm A r 1 1,57 cm El área de la figura es: A figura 9,81 cm 1,57 cm 11,8 cm 1.4 Calcula el área de una corona circular formada por dos circunferencias concéntricas de radios 1,60 y 1,0 centímetros, respectivamente. A = (R r ) (1,60 1,0 ) 1,1,5 cm 1.5 En un círculo de decímetros de radio se considera un sector circular cuyo ángulo determinado es de 10. Cuál es su área? A r 6 n ,19 dm Halla el área del segmento circular de la figura. El área del segmento circular se puede obtener restando al área del sector circular correspondiente el área del triángulo formado. A sector r n ,07 cm A b a triángulo 4,50 cm El área del segmento circular es: A A sector A triángulo 7,07 4,50,57 cm 1.7 Calcula el área de la zona coloreada en verde. cm cm Se observa que se trata de un círculo donde se ha quitado un cuadrado: A círculo r 8,6 cm A cuadrado l 4 cm Entonces, el área de la zona coloreada es: A A círculo A cuadrado 8,6 4 4,6 cm 49

247 1.8 Halla el área de la siguiente figura; todas las medidas están expresadas en metros. 1,5 7 La figura se puede descomponer en dos rectángulos y un triángulo. A rectángulo 1 b h 1,5 4,5 m A rectángulo b h 7 14 m A triángulo b h 4 1,5 m 1,5 1 1,5 4 El área de la figura es: A 4,5 m 14 m m 1,5 m 7 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1.9 Estima el área del triángulo de la figura, sabiendo que el lado de cada uno de los cuadrados de la cuadrícula mide 1 decímetro. El área se calcula completando cuadrados con las regiones de la cuadrícula que forman el triángulo, pintando del mismo color aquellas regiones d el triángulo que unidas forman un cuadrado. El área es, aproximadamente, de 5,5 dm. 1.0 Determina de forma aproximada el área de este cuadrilátero. Considera que el lado de cada cuadrado de la cuadrícula mide centímetros. El área se calcula completando cuadrados con las regiones de la cuadrícula que forman el cuadrilátero, pintando del mismo color aquellas regiones del cuadrilátero que unidas forman un cuadrado. Tenemos 6 cuadrados y cada cuadrado mide 4 cm, luego el área es, aproximadamente, de cm. 50

248 CÁLCULO MENTAL 1.1 Calcula el lado de estas figuras. a) Un cuadrado de 6 decímetros de perímetro. b) Un triángulo equilátero de 4 centímetros de perímetro. a) p 4 l 6 4 l l 6 9 dm 4 b) p l 4 l l 4 14 cm 1. Comprueba cuáles de los siguientes triángulos son rectángulos. Las medidas vienen dadas en centímetros. a), 4 y 5 c) 6, 8 y 10 b) 5, 8 y 10 d) 5, 1 y 1 Para que el triángulo sea rectángulo debe cumplir el teorema de Pitágoras: a b c. a) Se cumple el teorema de Pitágoras, el triángulo es rectángulo. b) No se cumple el teorema de Pitágoras, el triángulo no es rectángulo. c) Se cumple el teorema de Pitágoras, el triángulo es rectángulo. d) Se cumple el teorema de Pitágoras, el triángulo es rectángulo Calcula la diagonal de un rectángulo cuya base mide 0 centímetros y cuya altura mide 40 centímetros. A Como la diagonal con los lados forma un triángulo rectángulo, se aplica Pitágoras: d d d cm Cuánto mide el lado de un cuadrado si su área es 81 metros cuadrados? C B A l 81 l l 81 9 m 1.5 Halla la base de un rectángulo, sabiendo que su superficie mide 48 centímetros cuadrados, y su altura, 6 centímetros. A b h 48 b 6 b 8 cm 1.6 Las siguientes cantidades corresponden a triángulos. Averigua los datos que faltan. Base (cm) Altura (cm) Área (cm ) Base (cm) Altura (cm) Área (cm )

249 1.7 Calcula cuánto vale el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, si los cuadrados construidos sobre los catetos tienen por área las siguientes medidas dadas en centímetros cuadrados. a) 9 y 16 c) 6 y 64 b) 5 y 144 d) 4 y 16 Según la interpretación geométrica del teorema de Pitágoras, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma del área de los cuadrados construidos sobre los catetos. a) A cm c) A cm b) A cm d) A cm EJERCICIOS PARA ENTRENARSE Teorema de Pitágoras 1.8 Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 y 1 centímetros, respectivamente. Calcula el valor de la hipotenusa. Utilizando el teorema de Pitágoras: a b c a a 194 1,9 cm. La hipotenusa vale 1,9 cm. 1.9 Los siguientes datos, en centímetros, corresponden a las medidas de los lados de dos triángulos. Son triángulos rectángulos? a) 15, 0 y 5 b), 6 y 8 Para que el triángulo sea rectángulo debe cumplir el teorema de Pitágoras: a b c. a) Se cumple el teorema de Pitágoras, luego es un triángulo rectángulo. b) No se cumple el teorema de Pitágoras, luego no es un triángulo rectángulo Halla el lado que falta en cada uno de los siguientes triángulos. a) b) c) d) 7 cm cm 6 cm 10 cm 6 cm cm 7 cm 9 cm a) Aplicando el teorema de Pitágoras: a b c 10 c c c 96 9,80 cm. b) Aplicando el teorema de Pitágoras: a b c a 6 a 45 a 45 6,71 cm. c) Aplicando el teorema de Pitágoras: a b c a 7 7 a 98 a 98 9,90 cm. d) Aplicando el teorema de Pitágoras: a b c 9 6 c 81 6 c c 45 6,71 cm. 5

250 Cálculo de distancias 1.41 Halla la diagonal del rectángulo cuyos lados tienen las siguientes medidas. a) 5 y 1 centímetros. b) 1 y 8 centímetros. La diagonal con los lados forma un triángulo rectángulo, se aplica Pitágoras: a) d 1 5 d 169 d cm b) d 1 8 d 1 5 d 15 5 cm b d c 1.4 Calcula la altura del triángulo equilátero cuyo lado, en centímetros, mide lo siguiente. a) 8 b) 1 c) 18 d) 6 La altura, c, es uno de los catetos del triángulo rectángulo que forma esta junto con un lado del triángulo y la mitad de la base. Utilizando el teorema de Pitágoras: a) a b c 8 4 c c La altura mide: c 48 6,9 cm b) a b c 1 6 c c La altura mide: c ,9 cm c) a b c 18 9 c 4 81 c La altura mide: c 4 15,59 cm d) a b c 6 1 c c La altura mide: c 507,5 cm a b c 1.4 Determina la altura sobre el lado desigual de un triángulo isósceles, sabiendo que sus lados miden 5,5 y 6 decímetros, respectivamente. La altura es uno de los catetos del triángulo rectángulo que forma esta junto con un lado del triángulo y la mitad de la base. Utilizando el teorema de Pitágoras: a b c 5 c 5 9 c c 16 4 dm La altura mide 4 dm. 5 5 c 1.44 Con los datos de la figura, calcula el lado del cuadrado. 6 cm El diámetro del círculo coincide con la diagonal del cuadrado: d 6 1 cm Esta forma con los lados del cuadrado un triángulo rectángulo cuyos catetos son iguales. A B Utilizando el teorema de Pitágoras: a b c l 1 cm 1 l l 144 l l l 7 8,49 cm El lado del cuadrado mide 8,49 cm. D l C 5

251 1.45 Las diagonales de un rombo miden 6 y 8 centímetros, respectivamente. Halla la longitud del lado. El triángulo AOB del rombo es un triángulo rectángulo. Los lados AO y OB son la mitad de las diagonales. Utilizando el teorema de Pitágoras en el triángulo AOB se obtiene el lado del rombo. a 4 a 9 16 a 5 5 cm A a 4 B O Área de figuras planas 1.46 Calcula el área de las siguientes figuras, cuyas longitudes vienen dadas en centímetros. 4 a) b) 4 a) A b h 4 8 cm b) A b a 4 4 cm 1.47 Halla el área de estas figuras. a) Un cuadrado de lado 6 decímetros. b) Un romboide de 5 centímetros de base y centímetros de altura. a) A l A 6 A 6 dm b) A b h A 5 A 15 cm 1.48 Cuál es el área de las siguientes figuras cuyas medidas vienen expresadas en decímetros? a) 5,5 b) 4,5 5 a) A b a 5,5 4,5 1,8 dm b) A B b h 5 10,5 dm 1.49 Halla el área de estos polígonos regulares. a) b),5 m,5 cm 5,8 cm 4 m a) A p a n l a 6 4,5 4 m b) A p a 1, 5 5,8 11,8 cm 54

252 1.50 Calcula el área de estas figuras; las medidas vienen dadas en centímetros. a) b) a) Para calcular el área es necesario hallar primero la altura. El romboide se descompone en un trapecio y un triángulo rectángulo del que conocemos la hipotenusa y un cateto. Utilizando el teorema de Pitágoras: = 5 h h 5 16 h 16 4 cm El área es: A b h cm 9 h 1 b) Hay que hallar la altura del triángulo. Se observa en la figura que: La altura h es BH, cateto del triángulo AHB. AH es la mitad de la base. Utilizando el teorema de Pitágoras: B 5,5 h 5 6,5 h h 18,75 4, cm 5 h 5 El área del triángulo es: A b a 5 4, 10,8 cm A,5 H C 1.51 Determina el área por triangulación. a) b) cm 5 cm 4 cm 4 cm cm 1 cm 4 cm 5 cm 1 cm 4 cm a) Dibujando la diagonal de arriba a abajo se obtienen dos triángulos rectángulos: A T1 4 4 cm A T, 4,98 cm El área de la figura es: A A T1 A T 4 4,98 cm 8,99 cm b) Al dibujar la diagonal horizontal, resultan dos triángulos rectángulos: A T1 7, ,98 cm A T cm El área de la figura es: A A T1 A T 4 4,98 cm 8,99 cm 55

253 1.5 Calcula el área por cuadriculación. El área es de 10,5 unidades cuadradas. Área del círculo y de figuras circulares 1.5 Calcula el área de un círculo, sabiendo que su diámetro mide 8 centímetros. El área mide: A r 4 50,4 cm 1.54 Cuál es el área de una corona circular cuyo radio mayor mide 8, centímetros y cuyo radio menor mide 5 centímetros? A (R r ) (8, 5 ) 4,4 = 1,6 cm 1.55 Halla el área de estos sectores circulares. a) 0 5 cm b) 7 cm 150 a) A r 6 n ,54 cm 60 b) A r 6 n ,11 cm 60 56

254 Composición y descomposición de figuras 1.56 Calcula el área de las siguientes figuras. a) c) e) b) d) f) a) La figura se puede descomponer en un rectángulo y un semicírculo. A semicírculo r 14,1 cm A rectángulo b h 6 cm A figura 14,1 cm 6 cm 0,1 cm 6 b) La figura se puede descomponer en un rectángulo y dos trapecios iguales. A rectángulo b h 4 8 cm A trapecio B b h ,5 cm A figura 8 cm 16,5 cm 41 cm c) La figura se descompone en dos romboides y un sector circular. 8 A romboide cm A sector circular r 6 n ,67 cm 60 A figura A romboide A sector circular 18 cm 104,67 60,67 cm 6 d) La figura se puede descomponer en un rectángulo y un romboide. 4 A rectángulo b h cm A romboide b h cm 5 A figura 0 cm 4 cm 54 cm 6 e) La figura se puede descomponer en un semicírculo y un rectángulo menos un semicírculo. A semicírculo r,5 19, cm A rectángulo b h 7,5 4,5 cm A semicírculo r 1,5,5 cm 7,5 7,5 A figura 19, cm (4,5 cm,5 cm ) 40, cm f) La figura está formada por un triángulo isósceles y un cuadrado al que se le ha quitado un semicírculo. Utilizamos el teorema de Pitágoras para hallar la altura del triángulo. h 5 5 h 5 9 h h 16 4 cm A triángulo cm 6 A cuadrado 6 6 cm 6 57

255 PROBLEMAS PARA APLICAR 1.57 Iván quiere enmarcar una acuarela que le ha regalado una amiga. El cuadro tiene,5 centímetros de largo y 4 centímetros de ancho. Si el metro del marco que ha elegido cuesta 15 euros, cuánto le costará enmarcar la acuarela? Se debe calcular la longitud del marco, que es el perímetro de un rectángulo. p, cm 1,1 m El marco costará: 15 1,1 16, Un albañil apoya una escalera de 5 metros contra un muro vertical. El pie de la escalera está a metros del muro. Calcula la altura a la que se encuentra la parte superior de la escalera. Utilizando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo que forma la escalera con el muro y el suelo: 5 h h h 1 4,58 m La parte superior de la escalera se encuentra a una altura de 4,58 metros Un carpintero construye marcos rectangulares de madera para ventanas. Para que no se deformen, clava un travesaño en diagonal. Una de las ventanas mide 1, metros de base y metros de altura. El carpintero ha cortado un travesaño de metros. Ha hecho lo correcto? El travesaño es la diagonal de un rectángulo. Por tanto, para que sea correcto, se debe cumplir el teorema de Pitágoras: 1, 9 1,44 4 Como la igualdad no es cierta, el travesaño que ha cortado no es de la longitud correcta Para celebrar el Día de las Matemáticas, Andrea y sus compañeros están haciendo figuras planas y las están rodeando de cintas de colores. Ella tiene que hacer un octógono y decorarlo con 50 centímetros de cinta roja. Cuánto debe medir el lado del octógono? Como la cinta debe rodear el octógono, el perímetro de este debe coincidir con los centímetros de cinta que tiene. Entonces, 50 8 l, siendo l el lado del octógono. El lado debe medir: l 5 0 6,5 cm El padre de Carlos ha comprado dos alfombrillas para el ratón del ordenador. Una es cuadrada de 19,5 centímetros de lado, y la otra, circular de 11 centímetros de radio. Carlos cree que es mejor la circular porque ocupa mayor superficie, pero su padre opina que es mejor la cuadrada. Cuál de los dos tiene razón? A cuadrada l 19,5 80,5 cm A circular r 11 79,94 cm Aunque la diferencia es mínima, tiene razón el padre de Carlos. 58

256 1.6 Un solar cuadrado mide metros cuadrados. Cuántos metros mide su lado? Como A l l Por tanto, cada lado mide: l m 1.6 La superficie de un rectángulo mide 0 metros cuadrados, y el ancho, 10 metros. Cuánto mide el largo? Como A b h 0 b 10 El largo mide: b 0 m Calcula el área de esta pared de ladrillos, sabiendo que las medidas vienen dadas en centímetros. El número total de ladrillos que forman la pared son 6. A ladrillo b h 11 5 cm A total cm El área de la pared es de cm Julia ha construido una casita de muñecas con unos trozos de madera que ha encontrado. El diseño de la casa no es regular por la forma que tenía la madera. 1 cm 4 cm Ahora la va a decorar y en el suelo pondrá un papel adhesivo que parece parquet. Cuántos centímetros cuadrados necesita para el suelo del dormitorio si su forma es la del dibujo? 1 cm cm Trazando la diagonal de arriba a abajo el cuadrilátero queda dividido en dos triángulos rectángulos. A T cm A T 7,07 7,07 5 cm El área de la figura es: A A T1 A T 4 5 cm 49 cm Necesita 49 cm de papel adhesivo para el dormitorio Una fuente circular tiene alrededor un seto. Determina el área del seto si la fuente tiene 4 metros de diámetro, y el seto, 1,45 metros de ancho. El área del seto es el de una corona circular. El radio del círculo menor es: r 4 m El radio del círculo mayor es: R r 1,45,45 m A seto (R r ) (,45 ) 4,81 m El área del seto mide 4,81 m. 59

257 1.67 Cuántas baldosas de 0 centímetros de lado se necesitan para solar un salón como el de la figura? 5,45 m,05 m,10 m El salón se puede descomponer en dos rectángulos.,5 m A rectángulo 1 b h,5,10 10,075 m A rectángulo b h 5,45,05 11,175 m A salón 10,075 11,75 1,475 m cm A baldosa l cm Número de baldosas: ,08 El número de baldosas que se necesitan aproximadamente para el salón es de 6. REFUERZO Teorema de Pitágoras. Cálculo de distancias 1.68 Son rectángulos los triángulos cuyos lados, en centímetros tienen estas medidas? a) 4, 5 y 8 b) 0,5; 1 y 1 a) Para que el triángulo sea rectángulo, debe cumplir el teorema de Pitágoras: a b c No se verifica el teorema de Pitágoras; por tanto, no es rectángulo. b) 1 0,5 144, No se verifica el teorema de Pitágoras; por tanto, no es rectángulo Halla la diagonal de un cuadrado, sabiendo que el lado mide 8,6 centímetros. La diagonal forma con los lados un triángulo rectángulo. Utilizando el teorema de Pitágoras: d 8,6 8,6 d 147,9 d 147,9 1,16 cm La diagonal del cuadrado mide 1,16 cm Con los datos de la figura, calcula el lado del triángulo equilátero. 5 cm 10 cm B El triángulo ABC es equilátero; por tanto, el lado AC AM a. Como el triángulo AOM es rectángulo, se aplica el teorema de Pitágoras. 10 a 5 a a 75 8,66 cm El lado del triángulo es: 8,66 17, cm. A 10 cm a O H 5 cm C 60

258 Áreas de figuras planas 1.71 Calcula el área de estos triángulos. a) b) 5 cm cm 8 cm 4 cm a) A b a 5 7,5 cm b) A b a cm 1.7 Halla el área de las siguientes figuras planas. a) 1, cm b),8 cm 5, cm, cm cm a) A B b h, 1,,8 6, cm b) A p a n l a 6 5, 1,8 cm Área del círculo y de figuras circulares 1.7 Calcula el área de estas figuras circulares. a) b) 18 cm 7 cm 150 a) r d 9 cm A r 9 54,4 cm b) A r 6 n ,11 cm 60 61

259 Composición y descomposición de figuras 1.74 Calcula el área de las siguientes figuras. a) b) 7 cm 9 cm cm 4 cm 5 cm a) La figura se descompone en un rectángulo menos un semicírculo. A figura A rectángulo A semicírculo b h r cm 1,57 cm 1,4 cm El área de la figura es de 1,4 cm. b) La figura es el resultado de unir un rectángulo y un trapecio isósceles. A figura A rectángulo A trapecio b h B El área de la figura es de cm. h h cm 7 cm cm AMPLIACIÓN 1.75 Calcula la apotema del hexágono regular cuyo lado mide 6 centímetros. El radio de la circunferencia coincide con el lado del hexágono. Se observa en la figura que la apotema, junto con uno de los radios BC y la mitad de otro lado, HC, forma un triángulo rectángulo, del que la apotema es un cateto. Aplicando el teorema de Pitágoras: 6 a 6 9 a a 7 5,0 cm A a B H 6 C 1.76 Cuántos centímetros de alambre se necesitan para construir un rombo si sus diagonales miden 18 y 1 centímetros, respectivamente? Se calcula el lado del rombo que junto con la mitad de las diagonales forma un triángulo rectángulo, AOB, en el que el lado AB es la hipotenusa. B Utilizando el teorema de Pitágoras: l l ,8 cm A 6 cm 9 cm O 18 cm El perímetro del rombo es: p 4 l 4 10,8 4,8 cm. Se necesitan 4,8 cm de alambre. 1 cm 1.77 Halla el lado del cuadrado, sabiendo que su área es igual a la de un círculo de 1 metro de radio. A círculo r 1 =,14 m Como A cuadrado A círculo A cuadrado l,14 l,14 1,77 m El lado del cuadrado mide 1,77 m. 6

260 1.78 Calcula el área de las superficies coloreadas y exprésala en centímetros cuadrados. a) b) c) 1 dm 1 dm 1 dm a) La superficie es un sector circular de 90 de ángulo y 1 dm 10 cm de radio. A sector circular r 6 n ,50 cm 60 El área de la superficie coloreada es de 78,50 cm. b) Esta figura resulta de restar al sector circular del apartado a) un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden 1 dm = 10 cm. A A sector circular A triángulo 78,50 b h 78, ,50 cm El área de la superficie coloreada es de 8,50 cm. c) La figura está formada por un rectángulo de base dm 0 cm y altura 1 dm 10 cm al que se le han quitado tres círculos de diámetro 1 dm 10 cm. Su área es: A figura A rectángulo A círculo b h r ,5 cm El área de la superficie coloreada es de 64,5 cm Averigua la medida de los lados de esta figura. 16 cm 0 cm 15 cm El triángulo ADC es rectángulo. Aplicando el teorema de Pitágoras: AD AD 175 1, cm El triángulo ABD es rectángulo. Aplicando el teorema de Pitágoras: A B AB 16 1, 80,96 AB 80,96 8,99 cm Si M es el punto de corte de la altura del trapecio, BM AD, el triángulo BMC es rectángulo. Aplicando el teorema de Pitágoras: BC BM + MC AD MC BC 1, (15 8,99) 175,0 6,1 11,15 D 16 cm 0 cm 15 cm M C BC 11,15 14,5 cm Los lados de la figura miden 1,, 8,99 y 14,5 cm. 6

261 1.80 Una cancha de baloncesto es rectangular, de 6 metros de largo y 14 metros de ancho. a) Calcula la base y la altura de un triángulo acutángulo de la misma superficie. b) Si la cancha fuera circular y tuviera la misma superficie, cuál sería su radio? a) A rectángulo A triángulo b h b h Puede haber dos soluciones. La base del triángulo es el doble que la del rectángulo, y las alturas son iguales. Entonces, la base del triángulo mide 5 m, y la altura, 14 m. Pero también puede ser que las bases sean iguales y la altura del triángulo sea el doble que la del rectángulo. Entonces, la base mide 6 m, y la altura, 8 m. b) A rectángulo A círculo 64 b h r 6 14 r r 64 r 115,9, 14 El radio sería: r 115,9 10,77 m Determina la medida del ángulo, x, del siguiente sector circular, sabiendo que su área es,14 decímetros cuadrados. dm x A sector circular r 6 n 0,14 6 x 0 x, El ángulo del sector circular mide 40. PARA INTERPRETAR Y RESOLVER 1.8 Reparto de parcelas Jardín Zona deportiva 40 m Lola ha comprado una parcela de metros cuadrados que quiere dividir en tres zonas como muestra la figura: 75 metros cuadrados para la casa, 85 metros cuadrados para el jardín, y el resto para la zona deportiva. Calcula las dimensiones que ha de tener cada zona. Casa 50 m La extensión de la zona deportiva será: m El ancho de la zona deportiva deberá ser: 9 00,5 m El largo de la zona de la casa deberá ser: 10 m 50,5 El largo del jardín deberá ser: m 64

262 1.8 En el geoplano En una trama realizada con un tablero y clavos hemos colocado una cuerda que mide 5 centímetros. Calcula la distancia entre dos puntos consecutivos de la trama y el área del triángulo construido en ella. Aplicando el teorema de Pitágoras y tomando como unidad la distancia entre dos puntos de la trama: L Por tanto, 1 unidades se corresponden con 5 cm; es decir, cada unidad equivale a 4 cm La base del triángulo mide 10 unidades es decir 40 cm La altura del triángulo mide 4 unidades es decir 16 cm El área del triángulo será: S cm AUTOEVALUACIÓN 1.A1 Un cateto de un triángulo rectángulo mide 5 centímetros, y la hipotenusa, 8 centímetros. Cuánto mide el otro cateto? Utilizando el teorema de Pitágoras: a b c 8 5 c 64 5 c c 9 6,4 cm El otro cateto mide 6,4 cm. 1.A El perímetro de un decágono regular es 18 metros. Cuánto mide cada uno de sus lados? El perímetro es: p 10 l l Entonces, cada lado mide: l 1 8 1,8 m 10 Cada lado del decágono mide 1,8 m. 1.A Determina los valores indicados con letras en las siguientes figuras. a) b) d 8 cm 8 cm a 8 cm a a) Utilizando el teorema de Pitágoras: d 8 8 d 18 d 18 11,1 cm b) Utilizando el teorema de Pitágoras: 8 a a 64 a a 6 4 a 5,66 cm 1.A4 Calcula el área de estas figuras planas cuyas medidas vienen dadas en centímetros. a) b) 4 6 a) A b a cm b) A p a n l a 7 1 cm 65

263 1.A5 Qué longitud debe tener una escalera para que alcance la altura de 10 metros, si su base se apoya a metros de la pared? La escalera forma con el muro y el suelo un triángulo rectángulo en el que ella es la hipotenusa. Utilizando el teorema de Pitágoras: e 10 e 109 e ,44 m. La escalera debe tener una longitud de 10,44 m. 1.A6 Halla el área de una corona circular de 8, centímetros de radio mayor y 5 centímetros de radio menor. A (R r ) (8, 5 ) 4,4 1,6 cm El área de la corona mide 1,6 cm. 1.A7 Calcula el área de las siguientes figuras. a) b) 9 cm 10 cm 1,5 cm a) A sector circular r 6 n ,78 cm 60 b) La figura es la mitad de una corona circular de radio mayor cm y radio menor 1,5 0,5 cm. A (R r ) ( 0,5 ),75 5,89 cm 1.A8 Averigua el área de estas figuras. 6,4 cm a) b) 8,5 cm,1,1 8,5 cm 10, cm,,, 9,6 cm 1,5 cm 4,5 cm a) La figura está formada por un rectángulo y un trapecio isósceles. A rectángulo b h 10, 8,5 86,7 cm A trapecio B b (,1 10,,1) 6,4 h 8,5 10,4 8,5 88,4 cm El área de la figura es: A A rectángulo A trapecio 86,7 88,4 175,10 cm b) Esta figura está formada por un trapecio isósceles y un triángulo. A trapecio B b h 9,6 A triángulo b a 9,6 1,5 64,8 cm, 4,5 8,8 cm El área de la figura es: A A trapecio A triángulo 8,8 64,8 9,6 cm 66

264 MURAL DE MATEMÁTICAS Jugando con las matemáticas DESCOMPONIENDO FIGURAS Divide esta figura en otras cuatro que tengan la misma forma. 67

265 14 CUERPOS GEOMÉTRICOS. VOLÚMENES EJERCICIOS PROPUESTOS 14.1 Qué condiciones debe cumplir un prisma triangular para ser regular? Dibújalo Para que un prisma triangular se regular su base tiene que ser un triángulo equilátero y sus cara regulares rectángulos. 14. Dibuja el desarrollo plano de un ortoedro y el de un cubo. A D B A F E C D G H B A B F E A C G H D C D B A F E C D G H B A B F E A C G H D C D B A 14. Dibuja una pirámide que no sea regular y describe sus elementos. Vértice Cara lateral Altura Base 14.4 Dibuja una pirámide regular, de modo que tenga cinco caras laterales. Qué polígono forma su base? 14.5 La base de esta pirámide es un pentágono. Elige como base de una pirámide un triángulo rectángulo. Puedes construir con esta base una pirámide regular? No se puede construir una pirámide regular eligiendo como base un triángulo rectángulo pues este no es un polígono regular. 68

266 14.6 Con un cuadrado como base, podrías dibujar una pirámide que fuera poliedro regular? Con un cuadrado como base no se puede dibujar una pirámide que sea poliedro regular pues el poliedro no tendría todos sus lados iguales: la base sería un cuadrado y las caras laterales triángulos Dibuja un cilindro y señala sus elementos. Generatriz Altura Base 14.8 Una cartulina tiene forma de rectángulo. Cuántos cilindros distintos puede generar? Dibújalos. C D B C B C A D A D B A Puede generar dos cilindros: uno con generatriz el lado AB, y el otro con generatriz el lado BC Dibuja un cono y señala sus elementos. Generatriz Radio Vértice Altura Base Una cartulina tiene forma de triángulo rectángulo escaleno. Cuántos conos distintos puede generar? Puede generar dos conos, eligiendo como eje de giro cada uno de los dos catetos Dibuja una esfera y señala sus elementos. Diámetro Radio Centro 69

267 14.1 Señala los elementos que obtienes al cortar una esfera por un plano secante. Casquete esférico R Casquete esférico 14.1 Determina el volumen de los siguientes cuerpos, tomando como unidad un cubo. a) b) a) 8 cubos b) 7 cubos Averigua el volumen del cuerpo de la figura si cada cubo representa 1 decímetro cúbico. El volumen del cuerpo es: dm Determina el volumen de este ortoedro si las medidas vienen dadas en centímetros. V 6 1,5 18 cm 6 1, Calcula el volumen, en decímetros cúbicos, de los ortoedros cuyas medidas se indican. a) a 4 dm b dm c 7 dm b) a 0,5 dm b 5 cm c 1 dm c) a 0,07 m b 0,8 dm c 4,5 cm d) a 8 m b 80 dm c 800 cm a) V dm c) V 0,7 0,8 0,45 0,8 dm b) V 0,5,5 1 1,5 dm d) V dm dm 70

268 14.17 Calcula el volumen de estos poliedros si las medidas vienen expresadas en centímetros. a) 5,88 b) 9 4, a) V A base h p a h 9,4 4, ,49 cm b) V 1 A base h cm La base de un prisma es un hexágono regular de lado 7 centímetros y apotema 6,06 centímetros. Halla el volumen del prisma sabiendo que su altura mide 10 centímetros. V A base h p a h 4 6, ,6 cm El volumen del prisma es de 1 7,6 cm La base de una pirámide es un cuadrado de 5 centímetros de lado, y la altura es el triple del lado de la base. Halla el volumen de la pirámide. Altura de la pirámide: 5 15 cm V 1 A base h cm 14.0 Calcula el volumen de estos cilindros sabiendo que las medidas vienen dadas en centímetros. a) b) a) V A base h r h, ,8 cm b) V A base h r h,14, cm 14.1 Calcula el volumen de estos conos cuyas medidas vienen dadas en centímetros. a) b) a) V 1 r h 1, ,67 cm b) V 1 r h 1, ,4 cm 71

269 14. Calcula el volumen de estas esferas cuyas medidas vienen dadas en centímetros. a) b) 1,4 a) V 4 r 4,14,49 cm b) V 4 r 4,14 6,7 1 59,194 cm 14. El diámetro de un balón reglamentario de fútbol mide, centímetros. Calcula su volumen en decímetros cúbicos. V 4 r 4,14 11, ,540 cm 14.4 Calcula el volumen de la siguiente semiesfera. 4 cm V 1 4 r 1 4,14 4 1,97 cm RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 14.5 De un bloque de madera con forma de ortoedro y dimensiones 90, 48 y 6 centímetros, queremos obtener piezas cúbicas del mayor tamaño posible sin que nos sobre nada de madera. a) Cuáles son las dimensiones de las aristas de los cubos? b) Cuántos cubos podemos obtener? a) Para obtener a partir del ortoedro un número exacto de cubos, la arista de cada cubo tiene que ser divisor de 90, 48 y 6. Y para que sea del mayor tamaño posible, la medida de la arista tiene que ser el máximo común divisor de dichas dimensiones: m.c.d.(90, 48, 6) 6 La arista de cada cubo debe ser de 6 centímetros. b) Volumen del bloque de madera: cm Volumen de cada cubo: 6 16 cm Número de cubos: Un fabricante de zapatos, los empaqueta en cajas de dimensiones 50, 0 y 0 centímetros. Quiere transportar las cajas en contenedores cúbicos lo más pequeños posibles, de modo que en ellos quepan exactamente las cajas. a) Cuál es el volumen del contenedor? b) Cuántas cajas pueden transportarse en cada contenedor? a) Para que en el contenedor cúbico quepan un número exacto de cajas, la medida de la arista del contenedor tiene que ser múltiplo de la medida de las aristas de las cajas: 50, 0 y 0 cm. Y como el contenedor ha de ser lo más pequeño posible, su arista tiene que ser el mínimo común múltiplo de 50, 0 y 0: m.c.m.(50, 0, 0) 5 00 El volumen del contenedor es: cm. b) Volumen de cada caja: cm cajas 7

270 CÁLCULO MENTAL 14.7 Las siguientes cantidades vienen dadas en metros, y corresponden a distintas habitaciones. Calcula el volumen de cada una de ellas. a) 4 b) 10 8 c) a) V 4 6 m b) V m c) V m 14.8 Determina el volumen de las siguientes cajas cuyas medidas vienen dadas en centímetros. a) 4 6 c) 5 4 b) 15 4 d) 6 5 a) V cm c) V cm b) V cm d) V cm 14.9 Averigua las aristas de los ortoedros sabiendo el volumen que ocupan. a) 4 cm d) 50 cm b) 18 cm e) 00 cm c) 0 cm f) cm Respuesta abierta, por ejemplo: a) cm, cm, 4 cm d) 5 cm, cm, 5 cm b) 6 cm, cm, 1 cm e) 10 cm, 5 cm, 4 cm c) 5 cm, cm, cm f) cm, 1 cm, 1 cm 14.0 Dado el volumen y la altura de los siguientes ortoedros de base cuadrada, halla el lado de la base. a) 100 cm ; 4 cm b) 80 cm ; 5 cm c) 108 cm ; cm a) cm 5 cm b) cm 4 cm c) cm 6 cm 14.1 El primer dato corresponde al área de la base de un prisma y el segundo, a la altura. Calcula el volumen de cada prisma. a) 6 cm ; 4 cm b) 10 cm ; 8 cm c) dm ; 0 cm a) 4 cm b) 80 cm c) cm 14. Calcula el volumen que contienen los vasos cilíndricos cuyos radios y alturas se indican. a) Radio 10 cm Altura 10 cm b) Radio 1 dm Altura 10 cm c) Radio 5 cm Altura 4 cm a) V r h, cm b) V r h, cm c) V r h, cm 7

271 EJERCICIOS PARA ENTRENARSE Poliedros 14. Calcula la suma de los ángulos de las caras que concurren en un vértice de los poliedros regulares. Qué observas? TETRAEDO: En un vértice concurren tres triángulos equiláteros; CUBO: En un vértice concurren tres cuadrados; OCTAEDRO: En un vértice concurren cuatro triángulos equiláteros; DODECAEDRO: En un vértice concurren tres pentágonos regulares; ICOSAEDRO: En un vértice concurren cinco triángulos equiláteros; Observamos que en todos los casos la suma de los ángulos es menor de Cuál de estos dos desarrollos planos daría lugar a un ortoedro? Dibújalo. El segundo desarrollo es el que da lugar a un ortoedro Si una pirámide tiene 8 aristas, qué polígono es su base? Dibuja la pirámide. La base es un cuadrado Existe alguna pirámide con 9 aristas? Razona la respuesta. NO. El número de aristas de una pirámide es la suma de las aristas de la base más las aristas que no están en ella; ambos números de aristas son iguales, porque en los dos casos coinciden con el número de vértices de la base, por tanto, el número total de aristas de una pirámide siempre es par porque es el resultado de multiplicar por dos el número de vértices de la base Dibuja una pirámide cuya base sea un cuadrilátero y su desarrollo plano. 74

272 Cuerpos redondos 14.8 La altura de un cilindro mide 10 centímetros y el radio de sus bases, 4 centímetros. Cuáles son las medidas del rectángulo de su desarrollo plano? ALTURA: es igual a la altura del cilindro, es decir, 10 cm. BASE: es igual a la longitud de la circunferencia de su base, es decir, 4 5,1 cm 14.9 Indica cuáles de estas figuras generan un cono al girar en torno a uno de sus lados. a) Un cuadrado. b) Un pentágono regular. c) Un triángulo rectángulo. d) Un triángulo equilátero. Solamente el triángulo rectángulo, que puede generar dos conos diferentes, eligiendo como eje de giro cada uno de los dos catetos El radio de un cono mide 10 centímetros. Cuánto mide el arco del sector circular correspondiente a su desarrollo? La longitud del arco del sector circular del desarrollo del cono es igual a la longitud de la circunferencia de la base del mismo: 10 6,8 cm Los radios de dos esferas miden 6 y 8 centímetros, respectivamente. Si la distancia entre sus centros es de 14 centímetros, cuántos puntos tienen en común? Las esferas tienen un único punto en común, ya que son tangentes El diámetro de una pelota de plástico mide 1 centímetros. Cuánto mide la circunferencia máxima? La circunferencia máxima mide: 1 7,7 cm Volumen del prisma 14.4 Calcula el volumen de las siguientes cajas. a) b) cm m cm 4 cm 4 m 1,5 m a) V 4 16 cm b) V 4 1,5 18 m El área de la base de este prisma mide 6,16 centímetros cuadrados. Calcula su volumen. 8 cm V A base h 6, ,8 cm 75

273 14.45 Calcula el volumen de este prisma.,5 cm,5 cm 8 cm V A base h,5,5 8 5 cm Volumen de la pirámide Calcula el volumen de esta pirámide. 8 cm 5 cm cm V 1 A base h cm La base de la pirámide representada en la figura es un rectángulo, de largo el doble que de ancho. Calcula su volumen. 1 cm cm Largo de la base: cm 6 cm V 1 A base h 1 (6 ) 1 7 cm La base de la siguiente pirámide es un cuadrado. Cuál es su volumen? 10 cm 4 cm V 1 A base h , cm 76

274 Volumen del cilindro y del cono Calcula el volumen de los cilindros sabiendo que las medidas de la altura y el radio de la base son las siguientes. a) h 8 cm r 50 mm b) h 0 cm r 1 dm c) h,5 dm r 15 cm a) V r h, cm b) V r h, cm c) V r h, ,5 cm Halla el volumen de los conos sabiendo que las medidas de la altura y el radio de la base son las siguientes. a) h 0,5 dm r 1 cm b) h 0 cm r 1 dm c) h r r 50 mm 5 a) V 1 r h 1, , cm b) V 1 r h 1, , cm c) V 1 r h 1, mm 5, cm Calcula el volumen de un cono cuya generatriz mide 5 centímetros y el diámetro de su base 18 centímetros. Para calcular la altura del cono aplicamos el teorema de Pitágoras: h , cm V 1 r h 1,14 9, 1 977,069 cm h 9 cm 5 cm Volumen de la esfera 14.5 Calcula el volumen de las esferas de radio el indicado. Expresa el resultado en centímetros cúbicos. a) 1,1 cm b) 1,5 dm c) 0,05 m a) V 4 r 4,14 1,1 5,57 cm b) V 4 r 4, cm c) V 4 r 4,14 5 5, cm 14.5 El diámetro interior de una esfera hueca mide medio metro. Expresa su capacidad en litros. Radio: 1 0,5 0,5 m,5 dm V 4 r 4,14,5 67,417 dm Como 1 dm 1 L, la capacidad de esta esfera es de 67,417 litros. 77

275 14.54 Observa las figuras y estima cuál tiene mayor volumen, un cubo de 1 metro de arista o una esfera de 1 metro de diámetro. 1 m 1 m Comprueba tu estimación calculando los volúmenes de ambos cuerpos. Observando ambas figuras vemos que el cubo tiene mayor volumen que la esfera, ya que esta se podría introducir en el cubo, quedando huecos en el mismo. V cubo a 1 1 m V esfera 4 r 4,14 0,5 0,5 m PROBLEMAS PARA APLICAR La arista de un depósito cúbico mide 1,5 metros. Con cuántos litros de agua se llenará? V a 1,5,75 m 75 dm 75 L El depósito se llena con 75 litros Para construir parte de los cimientos de un edificio se ha tenido que hacer un cilindro de 6 metros de diámetro y 5 metros de profundidad. Cuántos metros cúbicos de tierra se han tenido que extraer? V r h, , m El radio de la Tierra mide 6 69 kilómetros, y el de la Luna, 1 78 kilómetros. Cuántas veces es mayor el volumen de la Tierra que el de la Luna? V Tierra 4 r 4, km V Luna 4 r 4, km V Tierra , V Luna 1 78 El volumen de la Tierra es 49, veces mayor que el de la Luna Calcula el volumen de este salón. El volumen del salón es igual al de un ortoedro de 6 m de largo, 4 m de ancho y m de alto, menos el volumen de la esquina, que es otro ortoedro de 1 m de largo por 1 m de ancho y m de alto. V ortoedro salón m V salón 7 69 m V esquina 1 1 m 78

276 14.59 Se han fabricado unos radiadores eléctricos para calentar recintos de entre 60 y 65 metros cúbicos. Comprarías un radiador de este tipo para un salón que tiene 6 metros de largo,,8 metros de ancho y,8 metros de alto? V salón 6,8,8 6,84 m Como el volumen del salón está comprendido entre 60 y 65 m, sí compraríamos el radiador Una torre tiene forma de pirámide hexagonal regular. El lado de la base mide metros y la apotema 1,7 metros. La altura de la pirámide mide 6 metros. Halla su volumen. V 1 A base h 1 p a h 1 1 1,7 6 0,64 m En un recinto ferial se ha instalado una carpa, siendo la parte inferior cilíndrica y la superior cónica. El diámetro de la parte cilíndrica mide 0 metros y su altura 10 metros. La altura de la parte cónica es de 8 metros. Cuál es el volumen del circo? V cilindro r h, m V cono 1 r h 1, m V circo m m m 14.6 Un bloque de madera de forma de ortoedro tiene 1 metro de largo, 1 metro de ancho y medio metro de alto. Cuál es el máximo número de bloques cúbicos de 1 decímetro de arista que se pueden obtener serrando adecuadamente el bloque? La arista del cubo cabe 10 veces en el largo del ortoedro. La arista del cubo cabe 10 veces en el ancho del ortoedro. La arista del cubo cabe 5 veces en el alto del ortoedro. El número máximo de bloques cúbicos será: El diámetro de la base de un vaso cilíndrico mide 4,5 centímetros, y la altura, 5 centímetros. Con el refresco de una botella de 1,5 litros, cuántos vasos se pueden llenar? V vaso r h,14,5 5 79,481 cm V botella 1,5 L 1,5 dm cm ,481 18,87 Se pueden llenar 18 vasos Las aristas de una caja de madera miden, y decímetros. a) Cuántas bolas de 1 decímetro de diámetro caben en la caja? b) Calcula el volumen de la caja que queda sin ocupar. a) En un piso se pueden colocar 4 bolas. Se pueden formar pisos. Luego caben 1 bolas. b) V una bola 4 r 4,14 0,5 0,5 dm V 1 bolas 1 0,5 dm 6,76 dm V caja 1 dm El volumen de la caja que queda sin ocupar es: 1 dm 6,76 dm 5,74 dm La altura de una torre cónica es 5 del diámetro, que mide 8 metros. Calcula el volumen de la torre. Altura de la torre: 5 8 m 4,8 m V 1 r h 1,14 4 4,8 80,84 m 79

277 14.66 Dos canicas de 1 centímetro de diámetro se guardan en un tubo del mismo diámetro y 5 centímetros de longitud. a) Qué volumen queda sin ocupar en el tubo? b) Es mayor o menor que el de una canica? a) V tubo r h,14 0,5 5,95 cm V canica 4 r 4,14 0,5 0,5 cm V dos canicas 0,5 cm 1,046 cm V sin ocupar,95 cm 1,046 cm,879 cm b) El volumen que queda sin ocupar en el tubo es mayor que el de una canica Observa las medidas de la pieza y calcula el volumen del material del que está construida. V total cm V agujero cm V pieza 160 cm 40 cm 10 cm Observa las medidas del tubo y calcula el volumen del material del que está construido. V total r h, cm V cilindro vacío r h, cm V tubo 86 cm 1 56 cm 6 80 cm Prismas y pirámides REFUERZO Dibuja un poliedro regular cuyas caras sean cuadrados. Señala sus elementos. Vértice Cara CUBO Arista 80

278 14.70 Un prisma cuya base es un rectángulo, es regular? Y una pirámide? Dibújalos. Si la base de un prisma es un rectángulo el prisma no puede ser regular, porque el rectángulo no es un polígono regular. Si la base de una pirámide es un rectángulo, la pirámide no puede ser regular porque el rectángulo no es un polígono regular Expresa en decímetros cúbicos el volumen de un cubo de arista 0,8 metros. V a 0,8 0,51 m 51 dm 14.7 Calcula el volumen de este prisma. 4 cm,75 cm 10 cm V A base h p a h 0, cm 14.7 Calcula el volumen de esta pirámide. 7 cm cm cm V 1 A base h 1 ( ) 7 1 cm 81

279 14.74 La base de un prisma recto es un cuadrado de 49 centímetros cuadrados, y su altura mide el triple del lado de la base. Calcula el volumen de este prisma. Lado de la base: 49 7 cm Altura del prisma: 7 cm 1 cm V A base h cm Cuerpos redondos Dibuja un cilindro, un cono y sus desarrollos planos. Indica en ellos sus elementos. Base V V r Radio Superficie lateral Base r g Radio g Dibuja un plano que corte una esfera y marca los dos casquetes esféricos. Señala el radio de la sección. Sección Casquete esférico Radio r de la sección R R Casquete esférico Determina el volumen de estos cuerpos cuyas medidas se indican en las siguientes figuras. a) b) 5 cm 70 cm cm 4 dm a) V r h,14 5 6,8 cm b) V 1 r h 1, ,667 cm Calcula el volumen de estas esferas y expresa los resultados en centímetros cúbicos. a) b) 1,5 cm 10 dm a) V 4 r 4,14 1,5 14,1 cm b) V 4 r 4, ,67 cm 8

280 14.79 El diámetro de un vaso cilíndrico mide 7 centímetros y la altura 8 centímetros. Calcula su volumen. V r h,14,5 8 07,7 cm Se tiene una canica de 1 centímetro de radio y otra de centímetros. a) Calcula el volumen de cada canica. b) Cuántas veces es mayor el volumen de una canica respecto al de la otra? a) V 4 r 4,14 1 4,187 cm V 4 r 4,14,49 cm b),49 4, El volumen de la canica de radio es 8 veces mayor que el de la otra canica. AMPLIACIÓN Un depósito tiene forma de prisma hexagonal regular. El lado de la base mide 1 metro, y la altura del prisma metros. Se echa agua a razón de 100 litros por minuto. Calcula el tiempo que tarda en llenarse. Para calcular la apotema, se aplica el teorema de Pitágoras: a 1,5 0 0,75 0,87 m V A base h p a h 6 0,87 5, m 5 0 dm 5 0 L ,0 minutos 5 min 1 seg a 1 cm 0,5 cm 14.8 Un recipiente cilíndrico de plomo sin tapa tiene de dimensiones exteriores las siguientes: 17 centímetros de diámetro y 16 centímetros de altura. El espesor de la base mide 6 milímetros y el de la parte lateral, 4 milímetros. Cuánto pesa el recipiente si un decímetro cúbico de plomo pesa 11,4 kilogramos? V total r h,14 8, ,84 cm Dimensiones del cilindro vacío: Diámetro de la base: 17 cm 0,4 cm 17 cm 0,8 cm 16, cm Radio de la base: 16, cm 8,1 cm Altura: 16 cm 0,6 cm 15,4 cm 16 cm 8,5 0,4 V cilindro vacío r h,14 8,1 15,4 17,64 cm V material 69,84 cm 17,64 cm 457, cm 0,457 dm Peso del recipiente: 0,457 11,4 5,1 kilogramos. 0, Una pelota de plástico tiene 50 milímetros de diámetro exterior y 4 milímetros de espesor. Cuántos kilogramos de plástico necesita una fábrica que produce pelotas, sabiendo que 1 decímetro cúbico de plástico pesa 0,85 kilogramos? V pelota 4 r 4,14,5 65,417 cm Dimensiones de la esfera vacía: Diámetro: d 5 0,4 5 0,8 4, cm Radio: r 4, cm,1 cm V esfera vacía 4 r 4,14,1 8,77 cm V material 65,417 cm 8,77 cm 6,644 cm 0,06644 dm Masa de cada pelota: 0, ,85 0,06 kilogramos. Masa total: 0,06 kg kg de plástico necesita. 8

281 14.84 El área total de un cubo hueco es 16 decímetros cuadrados. Podrá contener este cubo un número exacto de ortoedros de base cuadrada de lado centímetros y centímetros de altura? Área de una cara: dm Longitud de la arista: 6 6 dm 60 cm La arista del cubo es múltiplo de y de : a lo largo caben 0 ortoedros; a lo ancho, 0, y a lo alto, 0. El cubo sí puede contener un número exacto de ortoedros: ortoedros. PARA INTERPRETAR Y RESOLVER Midiendo la lluvia Paco y su vecino han colocado en sus tierras recipientes como los que aparecen en la figura, para medir el agua que cae cuando llueve. Calcula la altura alcanzada por el agua en cada recipiente tras una tormenta en la que cayeron 15 litros por metro cuadrado. 10 m 8 cm 6 cm Primera figura: Habrá recogido ,15 litros 150 cm Aplicando la fórmula del volumen de un cilindro: V 10 h 150 Despejando el valor de la altura: h ,5 cm 100 Segunda figura: Habrá recogido ,07 litros 7 cm Aplicando la fórmula del volumen de un ortoedro: V 8 6 h = 7 Despejando el valor de la altura: h 7 1,5 cm 48 84

282 14.86 Caminos de hormigas La figura representa un cubo y su desarrollo. Señala sobre el desarrollo los vértices que faltan por nombrar, y sobre el cubo, el trayecto PQRGS que ha seguido una hormiga al caminar sobre su superficie. A B D C H E G F A D Q B C S H R G E F D P A Q C B S E F H R G A B P D Q C B A D S H R G F E H E F AUTOEVALUACIÓN 14.A1 Indica qué tipo de cuerpo geométrico representa cada una de las siguientes figuras. a) b) c) d) e) f) a) Cilindro b) Ortoedro c) Cono d) Semiesfera e) Casquete esférico f) Pirámide 85

283 14.A Calcula el volumen de los siguientes poliedros. a) 6 cm b) 4,5 cm 8 cm 7 cm 4,1 cm a) V A base h 4, cm b) V 1 A base h 1 0 4,1 7 14,5 cm 6 cm 14.A El diámetro de un cono mide 1, decímetros. La altura mide los 4 del diámetro. Determina el volumen de este cono. d 1, dm 1 cm r 6 cm h 4 1 cm 9 cm V 1 r h 1, ,1 cm 14.A4 Un recipiente de plástico tiene forma de semiesfera, de 4 centímetros de diámetro. Halla el volumen de líquido que puede contener y exprésalo en centímetros cúbicos, y su capacidad, en litros. V semiesfera r, ,8 cm,617 dm,6 L 14.A5 Las medidas de una piscina son 50 metros, 1 metros y 18 decímetros. Se llena hasta los cuatro quintos de su capacidad. Cuántos metros cúbicos de agua se necesitarán para llenarla? V ,8 m m Los cuatro quintos: m 1 51 m Se necesitan 1 51 m para llenar la piscina. 14.A6 Un gran depósito de agua de forma cilíndrica de 10 metros de diámetro y 8 metros de altura, abastece a otros depósitos más pequeños de forma cúbica y arista 1,5 metros. A cuántos depósitos puede abastecer hasta llenarlos de agua? V cilindro r h, m 68 m V cubo a 1,5 m,75 m 68, depósitos 14.A7 Cuántos paquetes se pueden colocar en la caja del dibujo? V caja B h V paquete B h El número de paquetes que caben en la caja son: