UN ENFOQUE ESTOCASTICO Y MULTI-DEPOT PARA EL DISEÑO DE FLOTAS DE REPARTO: MODELACION Y ALGORITMO DE SOLUCION

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1 69 UN ENFOQUE ESTOCASTICO Y ULTI-DEPOT PARA EL DISEÑO DE FLOTAS DE REPARTO: ODELACION Y ALGORITO DE SOLUCION Pabo A. iranda, Rodrigo A. Garrido Departamento de Ingeniería de Transporte Pontificia Universidad Catóica de Chie Casia 306, Santiago 22, cod. 05, Chie. Te: (56 2) , Fax (56 2) e-mai: pmiranda@ing.puc.c, rgarrido@ing.puc.c RESUEN En e presente paper se desarroa un enfoque estocástico para e diseño de fotas de reparto, a cua es utiizada en a entrega de productos de una empresa distribuidora. Esta modeación se basa en a existencia de un conunto conocido de centros de distribución, de modo que se debe agrupar os cientes de dicha empresa en conuntos que serán servidos por un mismo camión. E modeo presentado permite decidir e número de camiones utiizados en e reparto de productos, y a asignación de cientes a cada uno de eos, respetando a restricción de capacidad de cada vehícuo. Lo anterior se hace considerando una demanda estocástica para cada uno de os cientes, modeada a través de su media y su varianza. E modeo desarroado se diferencia de os tradicionaes modeos encontrados en a iteratura, en que se asume simutáneamente a existencia de una restricción de capacidad estocástica, y a existencia de mútipes centros de distribución, os cuaes servirán de origen para as respectivas rutas de reparto. La modeación de costos de ruteo es reaizada a través de una estructura tipo Hub&Spokes. Adicionamente se presenta una heurística de resoución, unto a un agoritmo basado en reaación agrangeana que permite evauar a caidad de a soución entregada por a heurística.

2 70 Pabo A. iranda, Rodrigo A. Garrido. INTRODUCCION Y ANTECEDENTES GENERALES Dentro de a gestión de a cadena de abastecimientos o gestión ogística para empresas productoras-distribuidoras, os probemas se han casificado dentro de tres nivees erárquicos; e nive estratégico (argo pazo), nive táctico (mediano pazo) y nive operaciona (corto pazo). Dentro de primer nive se puede mencionar e diseño de a red de distribución y a panificación agregada de a producción. Dentro de nive operativo están as decisiones asociadas a ruteo diario de vehícuos de reparto y as decisiones de ordenamiento y/o abastecimiento de cada centro de distribución. Entre estos dos nivees, es decir en e nive táctico, están una serie de probemas, como e diseño de espacios de amacenamiento, definición de estrategias de distribución, eección de estrategias de inventario, etc., as cuaes a su vez pueden estar más cerca de nive operativo, o de nive estratégico. Uno de estos útimos probemas, es e diseño de fota de distribución y agrupación de cientes en zonas de demanda o rutas de reparto. Este probema, si bien puede ser considerado un probema de tipo táctico, especiamente porque es revisado cada períodos de tiempo reativamente cortos, se acerca bastante a nive estratégico, debido a a importancia dentro de diseño de a red de distribución, pudiendo incuso determinar e éxito o fracaso de una empresa. Para empresas de gran tamaño, donde os cientes pueden ser cientos o mies, a utiización de uicios de expertos puede tornarse impracticabe, de modo que a utiización de modeos matemáticos para resover este tipo de probemas se hace imprescindibe. En a iteratura se ha encontrado que e probema de agrupación de cientes, conocido como Custering Probem, es abordado mediante diferentes enfoques. Por un ado está a modeación discreta, como en Koskosidis and Powe (992) y Yang et a. (998) en que se debe decidir si un ciente pertenece o no a una ruta de reparto, versus una modeación continua, como en Novaes et a. (2000) y Newe and Daganzo (986), en que as zonas pueden ser definidas mediante coordenadas poares. Por otro ado está a modeación determinística, en contraste con una modeación estocástica, especiamente para a demanda de cientes y a restricción de capacidad. Ver Novaes et a. (2000), Powe et a. (995), Birge and Louveaux (997) y Stewart and Goden (983), en donde se muestra como incorporar programación estocástica a probemas de ruteo vehicuar. La modeación estocástica de restricciones consiste en estabecer una probabiidad o nive de servicio que restringe as souciones a no superar e consumo de un recurso, con una probabiidad igua a dicho nive de servicio. Este enfoque es conocido como Chance Constrained Probem. Este probema, Custering Probem, es considerado NP-Competo, de modo que su resoución de manera exacta para instancias de gran tamaño es prácticamente imposibe. De este modo en a iteratura se puede encontrar una serie de agoritmos, heurísticas y meta-heurísticas, que permiten encontrar buenas aproximaciones para este tipo de probemas. Uno de eos es e método de reaación agrangeana, que permite encontrar buenas souciones y buenas cotas duaes para a función obetivo, entregando además una cota para e error cometido por a soución encontrada por as heurísticas (duaity gap). En iranda and Garrido (2003), Garrido (2000), ekote and Daskin (200), Nozick (200), Koskosidis and Powe (992), Brame and Simchi-Levi (2000), y Daskin (995), es posibe encontrar heurísticas de soución y apicaciones de método de reaación agrangeana, a diferentes probemas asociados a a gestión ogística. En este documento se presenta una versión estocástica de probema de agrupación de cientes, considerando restricción de capacidad. Además se considera a existencia de mútipes depósitos

3 UN ENFOQUE ESTOCASTICO Y ULTI-DEPOT PARA EL DISEÑO DE FLOTAS DE REPARTO: ODELACION... 7 que servirán de origen para as respectivas rutas de reparto. Estos depósitos a su vez pueden o no ser servidos por una panta o proveedor. Esta estructura de a red de distribución es representada en a Figura. Se presenta además una heurística de soución que meora iterativamente una soución factibe, a través de meoras ocaes. Por otra parte se presenta una metodoogía basada en reaación agrangeana, que permite encontrar una cota inferior a vaor óptimo de probema, permitiendo evauar a caidad de as souciones entregadas por a heurística señaada. Figura : Representación Gráfica de una Red de Distribución de Productos En e Capítuo 2 se presenta e modeo matemático que resueve e probema descrito, Stochastic Capacitated uti-depot Custering Probem (SCDCP). E Capítuo 3 describe a heurística desarroada para a resoución de SCDCP. En e Capítuo 4 se describe a metodoogía utiizada para a obtención de una cota inferior a vaor óptimo de probema. E Capítuo 5 presenta os resutados de apicar as metodoogías descritas en e Capítuo 3 y Capítuo 4 a un eempo numérico. Finamente e Capítuo 6 presenta as principaes concusiones y una breve discusión de posibes extensiones y íneas de investigación. 2. UN ODELO ESTOCASTICO PARA LA AGRUPACION DE CLIENTES, CON RESTRICCION DE CAPACIDAD Y ULTIPLES DEPOSITOS E modeo que se presenta, SCDCP, permite diseñar a fota de reparto de una empresa con mútipes centros de distribución, os cuaes a su vez sirven a un conunto de cientes espaciamente distribuidos. Cada uno de estos cientes debe ser asignado a una ruta de entrega, a cua deberá ser servida por un camión de capacidad fia y conocida. Eventuamente cada camión deberá resover un probema de vendedor viaero, a fin de obtener una ruta de mínimo costo para a entrega de productos a os cientes asignados. Sin embargo en a presente investigación, dado e nive estratégico de probema, no se considera a eección de rutas específicas para cada custer o grupo de cientes. Lo anterior se ustifica además por e hecho de que a demanda de cientes es estocástica, de modo que cada ciente en un día cuaquiera posee una probabiidad mayor a cero de no presentar demanda. De este modo a ruta de entrega debe diseñarse día a día, dependiendo de os cientes que participen en cada instancia, en contraste con e probema de diseño de fota que es resueto a comienzos de período de panificación. De este modo, en vez de estudiar os costos dentro de cada custer basados en a búsqueda de rutas óptimas, se modearon dichos costos con una estructura tipo Hub&Spokes, en a cua existe

4 72 Pabo A. iranda, Rodrigo A. Garrido un costo de entrega directo a centroide de cada grupo de cientes o custer, y costos de transporte entre cada uno de os cientes y e respectivo centroide a cua ha sido asignado. Esta estructura de costos puede ser visuaizada en a Figura 2. En adeante nos referiremos indistintamente a rutas de reparto o custers. Por otro ado a modeación se basa en una estructura discreta, en a cua existe un conunto fio de centros de distribución y un conunto fio de cientes. Figura 2: Estructura de Costos de Ruteo Dentro de Cada Custer o Ruta de Entrega A continuación se definen os parámetros, conuntos y variabes que se utiizan en a modeación: : Conunto de cientes. X : Variabe binaria que indica si un ciente, ha sido eegido como centroide de agún custer o ruta de reparto. W : Variabe binaria que indica si e ciente es asignado a custer, es decir cuyo centroide es e ciente. D : Variabe que indica a media de a demanda de custer. V : Variabe que indica a varianza de a demanda de custer. RCap : Capacidad de os vehícuos utiizados para servir os cientes de cada custer. ν : Demanda media diaria de ciente. 2 σ : Varianza de a demanda diaria de ciente. CT : Costo de transporte entre e ciente o centroide y e centro de distribución más cercano a é. CR : Costo de transporte entre e ciente y e centroide. TGR : Gastos fios por período (diarios) asociados a un vehícuo de reparto. : Percenti de a distribución Norma (0,) que acumua una probabiidad θ. Z θ Así e modeo que resueve e probema descrito, SCDCP, es e siguiente: in ( TGR + CT) X + CR W () Sueto a: = = W = =,..., (2) = W X, =,..., (3) D + Z V RCap X =,..., (4) θ Debido a que potenciamente cuaquier ciente puede ser eegido como centroide de agún custer, este costo debe estar definido para todo par de cientes.

5 UN ENFOQUE ESTOCASTICO Y ULTI-DEPOT PARA EL DISEÑO DE FLOTAS DE REPARTO: ODELACION W ν = D,..., 2 W σ = V,..., { } = (5) = (6) W, X 0,, =,..., (7) La ecuación () representa os costos totaes de transporte de sistema, considerando a estructura presentada en a Figura 2. E primer término contempa os gastos fios que se incurren en una ruta de entrega, como gastos de mantenimiento, icencias, permisos de circuación, suedos, etc., representados por e parámetro TGR. Se contempa además e costo de transporte entre os centros de distribución y cada uno de os centroides. En este caso se asumirá que cada custer será asignado a centro de distribución más cercano a respectivo centroide. Este supuesto debe ser revisado y será discutido como una extensión de presente enfoque. E segundo término de () representa os costos de asignar cientes a cada uno de os custer eegidos. La restricción (2) obiga a que cada ciente sea asignado exactamente a un custer o centroide. Esta restricción es váida tanto para cientes que no representan centroides como para aqueos que han sido eegido como ta. De hecho si un ciente es eegido como centroide, es decir X =, automáticamente a soución impica asignar dicho ciente a sí mismo (W = ), pues obviamente e costo respectivo es cero (CR = 0). La restricción (3) estabece que sóo es posibe asignar cientes a otros que hayan sido eegidos como centroides (X = ). En caso contrario (X = 0), no debe ser posibe asignar cientes a dicho centroide. La restricción (4) estabece a restricción estocástica de capacidad. Esta restricción asegura que a demanda diaria generada en cada custer no supere a capacidad Rcap con una probabiidad θ. Las restricciones (5) y (6) estabecen a reación existente entre a media y a varianza de a demanda de cada custer y a media y a varianza de a demanda de cada ciente asignado a dicho custer. Finamente a restricción (7) estabece a integraidad de as variabes de modeo (W y X ). 3. HEURISTICA DE SOLUCION E presente capítuo describe de manera genera a heurística desarroada para resover e modeo SCDCP. Koskosidis and Powe (992), presentan un modeo determinístico para resover e custering, considerando una restricción de capacidad en cada custer. Además se asume a existencia de un único depósito a partir de cua deben partir os camiones. Los autores proponen una heurística para resover este probema, obteniendo resutados bastante eficientes. Sin embargo, dado que en e modeo estabecido en e Capítuo 2, se asume a existencia de mútipes centros de distribución, y a restricción de capacidad se estabece de manera estocástica, esta heurística no es apicabe a nuestro modeo. De este modo, se extendió dicha heurística con e fin de considerar as diferencias descritas. Este agoritmo se basa en, a partir de una soución inicia factibe, meorar dicha soución considerando un agoritmo de búsqueda oca. Así e agoritmo siempre va disminuyendo e vaor de a función obetivo de probema, de modo que, asumiendo a existencia de un optimo goba, a convergencia está garantizada (aunque no necesariamente a dicho óptimo goba). Lo anterior se ustifica por e hecho de que si en aguna iteración de agoritmo no se obtienen meoras, e agoritmo se detiene.

6 74 Pabo A. iranda, Rodrigo A. Garrido La heurística consiste básicamente en cuatro pasos: Paso I : Generación de soución inicia de centroides. Paso II : Asignación tipo greedy de cientes a centroides. Paso III : Reeección de centroides. Paso IV : Intercambio de cientes. E agoritmo itera entre os Pasos I y II, hasta encontrar una buena soución factibe. E paso I consiste en a eección de un conunto inicia de centroides en base agún criterio. En este caso se cacua e costo de estabecer cada uno de os cientes como centroide, y se eige os de menor costo. La asignación tipo greedy de Paso II, consiste en asignar os cientes a centroide más cercano, en caso que sea factibe; e paso además contempa a eección de un nuevo centroide, en caso que existan cientes que no se puedan asignar a ningún centroide. Luego, e Paso III, reaiza una optimización oca dentro de cada custer (compuesto por e centroide y os cientes asignados a é), reeigiendo e centroide de modo de minimizar os costos dentro de éste. Finamente, e Paso IV busca cambios de cientes asignados a diferentes centroides, de modo de reducir os costos totaes de ambos custers, respetando a restricción de capacidad de ambos. E agoritmo itera entre os pasos III y IV, hasta que no existan meoras en a soución. Las diferencias entre e agoritmo presentado en este artícuo y e propuesto por Koskosidis and Powe (992), están en e Paso I, donde a eección de centroides iniciaes se hace sobre a base de os costos de cada custer, os cuaes dependen de centro de distribución asociado a cada uno de os cientes. Simiarmente en e paso III, a reeección de centroide de cada custer, también depende de centro de distribución asociado a cada uno de os cientes de custer. Por otro ado en e Paso II, a asignación tipo greedy de cientes a centroides contempa a restricción de capacidad estocástica, dada por a expresión (4). Finamente, en e Paso IV, e intercambio de cientes es factibe si esta restricción de capacidad estocástica es respetada. Cabe señaar que, como a mayoría de os agoritmos de búsqueda oca tienden a encontrar souciones óptimos ocaes, es interesante anaizar si e agoritmo entrega meores souciones a considerar diferentes souciones iniciaes, representando una interesente ínea de investigación. La seección de un conunto de souciones iniciaes para comenzar e agoritmo puede ser reaizada sobre a base de uicios de expertos, coapsando esta aternativa en caso de tratarse de una cantidad de cientes muy grande. Por otro ado es interesante generar métodos automáticos para a obtención de diferentes souciones iniciaes, que no requieran de intervención humana. En reación con e probema de custering, diversos autores se han dedicado a definir agoritmos de búsqueda de una soución inicia y que resuten en buenas souciones finaes (sin a necesidad de obtención de varias souciones iniciaes). Koskosidis and Powe (992) presentan tres enfoques para a obtención una soución inicia tratando de minimizar a estructura de costos tipo Hub&Spokes, entregando resutados bastante eficientes. En e presente trabao se considera una de estas tres metodoogías, extendida a un caso estocástico y con a existencia de mútipes depósitos (dados por os Pasos I y II de a heurística).

7 UN ENFOQUE ESTOCASTICO Y ULTI-DEPOT PARA EL DISEÑO DE FLOTAS DE REPARTO: ODELACION OBTENCION DE UNA COTA INFERIOR, EDIANTE EL USO DE RELAJACION LAGRANGEANA En e presente capítuo se describe e enfoque utiizado para a obtención de una cota inferior para e vaor óptimo de probema. De este modo a diferencia entre a cota superior, obtenida mediante a heurística desarroada en e capítuo anterior, y a cota inferior obtenida mediante e presente enfoque, representa una cota superior para e error que se comete con a utiización de dicha heurística, o cota superior para e gap-dua. E enfoque se basa en reaación agrangeana combinado con e método de subgradiente, para a actuaización y optimización de as variabes duaes de as restricciones reaadas. La sección 4. presenta un fortaecimiento de probema SCDCP, de modo de meorar as cotas entregadas por e probema reaado. La sección 4.2 desarroa a reaación de as restricciones seeccionadas, descomponiendo e probema en un subprobema para cada ciente. Se presenta además a manera de resover cada uno de estos subprobemas. La sección 4.3 muestra como actuaizar, a partir de a soución de os subprobemas, as variabes duaes de as restricciones reaadas. 4.. Fortaecimiento de Probema SCDCP Se reaizaron dos cambios a a formuación de modeo. E primero consiste en a consideración de as restricciones (5) y (6), como desiguadades, es decir son reempazadas por: W ν D =,..., (8) 2 W σ V =,..., (9) Este cambio no atera a optimaidad de probema, debido a que para cuaquier soución factibe, considerando as restricciones (8) y (9), siempre será posibe reducir os vaores de D y V, acanzándose a iguadad y manteniéndose e vaor de a función obetivo inaterabe. Además, con e obetivo de robustecer a formuación de probema, se incorporaron as siguientes restricciones o cortes: 0 D Dmax =,..., (0) 0 V V =,..., () max Los parámetros D max y V max representan a máxima demanda media y varianza respectivamente, que es posibe asignar a un custer, respetando a capacidad disponibe. Este tipo de restricciones, conocidas normamente como restricciones de fortaecimiento, permiten meorar as cotas entregadas por a reaación. Es fáci ver que se puede obtener buenos vaores para D max y V max, buscando os cientes que presenten e mayor vaor para ν /σ 2 y σ 2 /ν, respectivamente. Luego, para e caso de D max, se determinará e máximo número de cientes de este tipo (es decir con una 2 media y una varianza igua a a media y a varianza de ciente con e mayor vaor para ν /σ ), de modo de acanzar en iguadad a restricción de capacidad, dada por a ecuación (4). Se procede de manera anáoga para a obtención de V max.

8 76 Pabo A. iranda, Rodrigo A. Garrido 4.2. Descomposición y Resoución de Subprobemas Las restricciones reaadas son as (2), (8) y (9), separando e probema en uno para cada ciente. De este modo si φ, φ 2 y φ 3 son os vectores de variabes duaes asociadas a as restricciones reaadas, a función dua-agrangeana, consistente en a incorporación de manera penaizada de as restricciones reaadas en a función obetivo, se escribe como: TGR CT X CR W W ( + ) + + φ = = = φ W ν D + φ W σ V = = Este probema, para vaores fios de as variabes duaes asociadas a as restricciones reaadas, se descompone en un probema para cada ciente, SP, e cua está dado por: 2 in ( ) φ φ ( φ ν φ σ φ ) TGR + CT X D V + CR + + W (3) sueto a: W X =,..., (4) D + Z θ V RCap X (5) 0 D Dmax 0 V V (6) max { } W, X 0, =,..., (7) Este subprobema se resueve de a siguiente manera: - Cacuar: 2 ( TGR CT ) CR φ ν φ σ φ = + Π + min + +,0 (8) donde: (2) = = 0 si φ φ 0 2 φ Dmax si φ > 0, φ = 0 3 φ Vmax si φ = 0, φ > 0 2 Π max max max, = RCap D φ D > φ V φ Dmax + φ si Z θ φ > 0, φ > 0 φ Dmax φ Vmax, φ ( RCap Z θ Vmax ) + φ Vmax si φ > 0, φ > 0 - Luego si < 0, hacer X =, 2 0 si CR + φ ν + φ σ φ 0 W = =,..., 2 si CR + φ ν + φ σ φ < 0 (9) (20)

9 UN ENFOQUE ESTOCASTICO Y ULTI-DEPOT PARA EL DISEÑO DE FLOTAS DE REPARTO: ODELACION y ( D, V) ( ) ( Dmax ) ( V ) = = = > = > D > > ( RCap Z θ V, V ) si > > 0,0 si φ φ 0,0 si φ > 0, φ = 0 0, max si φ 0, φ 0 2 RCap D φ max Dmax φ Vmax max, si Z θ φ 0, φ 0 φ Dmax φ Vmax max max φ 0, φ 0 - Si 0, entonces X = 0, D = V = 0, W = 0, =,...,,, (2) De este modo en cada iteración k, dado un conunto de variabes duaes asociadas a as restricciones reaadas, se dispondrá de as souciones de os subprobemas, consistentes en X, W, k D y V. ( ) 4.3. Actuaización de Variabes Duaes y Cácuo de Cota Inferior En cada iteración k, dado e vaor de as variabes duaes, φ (k), φ 2(k) y φ 3(k), y dados os vectores de hoguras de as restricciones reaadas (os cuaes se cacuas sobre a base de a soución de os subprobemas SP ), dados por: ( k) ( k) H = W (22) = ( k) ( k) ( k) = ( k) ( k) ( k) 2 = H2 D W ν (23) H3 V W σ (24) a actuaización de as variabes duaes está dada por: ( k + ) φ = φ + α H (25) φ = φ α (26) 2( + ) 2( ) ( ) ( ) max 0, 2 H 3( + ) 3( ) ( ) ( ) max 0, 3 H { } { } φ = φ α (27) E parámetro α representa e paso de avance, para e cua típicamente se utiiza a expresión: α ( k) ( k) = ρ ( ZSup ZInf ) ( k) 2 ( k) 2 ( k) 2 H + H2 + H3 Z Sup es a cota superior en evauación y que ha sido obtenida mediante a heurística descrita en e ( ) capítuo anterior; Z k es una cota inferior a vaor óptimo de probema SCDCP disponibe en Inf (28)

10 78 Pabo A. iranda, Rodrigo A. Garrido a iteración k; ρ es un parámetro de contro entre 0 y 2, que decrece conforme avanzan as iteraciones, especiamente cuando se observa un ato número de iteraciones en que no se obtiene meora en a cota inferior. Esta cota inferior se actuaiza en cada iteración según: Z ( k) ( k) ( k) ( k) ( TGR + CT ) X + CR W + φ W = = = = ax ZInf, 2( k) ( k) ( k) 3( k) ( k) 2 ( k) + φ W ν D + φ W σ V = = ( k+ ) ( k) Inf Finamente, e agoritmo se detiene en a medida que e vaor de Z Inf no meore uego de un número determinado de iteraciones sucesivas, o bien cuando a diferencia porcentua entre Z Sup y Z sea inferior a un vaor predeterminado, típicamente en torno a un % (entro otros criterios). Inf (29) 5. APLICACION NUERICA E procedimiento heurístico descrito en a sección 3 fue apicado a un eempo numérico, e cua considera 20 centros de distribución y 200 cientes. Los cientes fueron aeatoriamente ubicados en un área cuadrada de 000 km. de ancho, mientras que os centros de distribución fueron uniformemente distribuidos sobre dicha área. Para os gastos fios diarios, TGR, se estabeció un vaor de $0,000, mientras que os costos de transporte fueron estimados basados en un costo unitario de 56 $/km. La media de as demandas de os cientes fueron aeatoriamente simuadas en torno a 4 unidades, mientras que as varianzas fueron generadas aeatoriamente considerando un coeficiente de variación cercano a. Para a capacidad de os vehícuos se asumió un vaor de 60 unidades, mientras que e nive de servicio de a restricción de capacidad fue fiado en 90% (Z 0.9 =.28). La primera soución factibe encontrada por a heurística consideró 27 centroides. Luego, para e mismo número de centroides, se encontró una segunda soución a cua entregó un ahorro de 3.8%. Finamente a meor soución encontrada por e agoritmo entregó un ahorro de 33.4% respecto a a primera soución factibe, considerando a utiización de 40 centroides o custers. Se resovió además otras instancias de probema, considerando diferentes vaores de capacidad. Por eempo, para un aumento de a capacidad de un 6%, se obtuvo un aumento de os costos de un %, mientras que reduciendo a capacidad en un 6% se obtuvo un aumento de costos de un.2%. Cada instancia fue resueta en unos pocos segundos, en procesador Pentium IV (.7GHz) con 256B de memoria ram. Finamente se apicó a metodoogía propuesta en e Capítuo 4, para estimar e máximo error cometido por a heurística, a cua entregó un error máximo de un 2.92%, para a instancia cuya capacidad es de 60. Para un aumento de un 6% en a capacidad, a heurística cometió un error máximo de un 3.9%. Finamente para a instancia con una reducción de un 6% en a capacidad, a heurística presentó un error máximo de un 4.04%. Se debe notar que estos vaores son cotas superiores para e vaor desconocido de gap-dua, e cua es típicamente mayor que cero, para probemas enteros, o cua indica que as souciones encontradas por a heurística están cercanas a óptimo de probema.

11 UN ENFOQUE ESTOCASTICO Y ULTI-DEPOT PARA EL DISEÑO DE FLOTAS DE REPARTO: ODELACION CONCLUSIONES E INVESTIGACIONES FUTURAS En e presente paper se ha obtenido un modeo que permite diseñar a fota de reparto en un sistema de distribución con mútipes centros de amacenamiento y distribución, considerando una situación estocástica, especiamente para efectos de a restricción de capacidad para os cientes asignados a cada uno de os camiones de a fota. Se desarroó un agoritmo heurístico para resover este probema y un agoritmo para a búsqueda de una cota inferior a costo mínimo de a fota de reparto. Se apicó ambos agoritmos a una instancia con 20 centros de distribución y 200 cientes, obteniéndose en pocos segundos tanto a soución heurística, como a cota inferior de costo tota óptimo de sistema. Se debe destacar que e tamaño de este probema puede ser bastante reaista, manifestando a apicabiidad de presente enfoque, considerando que en situaciones en que os cientes sean mies, estos pueden ser agregados geográficamente reduciendo e tamaño de probema. En términos agorítmicos, es interesante estudiar a eficiencia de os agoritmos presentados, para diferentes configuraciones de cientes (cantidad, voumen y variabiidad de as demandas, distribución geográfica, etc.). Luego, se puede evauar a posibiidad de meorar a heurística presentada, comenzando a partir de diferentes souciones iniciaes encontradas sobre a base de diferentes criterios. Por otro ado, es posibe incorporar metodoogías conocidas como meta heurísticas, como os agoritmos genéticos, e anneaing simuado y a búsqueda tabú entre otros, que permitirían hacer búsquedas ocaes más inteigentes y sofisticadas. Así, se puede estudiar si as meoras obtenidas con este tipo de metodoogías, ustifican a mayor compeidad de impementación. Una de as extensiones básicas que puede ser desarroada, es a optimización de nive de servicio asociado a a restricción de capacidad, o cua requeriría e estabecimiento de un equiibrio entre os costos marginaes incurridos en e sistema de distribución, a aumentar e nive de servicio, y e beneficio margina de reducción de costos por a reducción de demanda eventuamente no satisfecha (o satisfecha con mayores costos de distribución) en caso que se supere a restricción de capacidad. Por otro ado, se debe recordar que en e Capítuo 2 se supuso que cada custer es asignado a centro de distribución más cercano a centroide respectivo, o cua es caramente discutibe ya que correspondería a un enfoque tipo greedy. Sin embargo, se pretende hacer interactuar este modeo, a modo de subprobema, con un modeo de ocaización de instaaciones, que permita asignar de manera óptima estos centroides o custers a os diferentes centros de distribución, decidiendo además a instaación de eos (pudiendo incuso eegirse a capacidad de dichos centros). Se destaca a posibiidad de evauar de manera más precisa, mediante simuación u otro enfoque, os costos de ruteo dentro de os custers, a fin de vaidar e enfoque estabecido. Así es posibe considerar estructuras de demanda más sofisticadas, que consideren correaciones entre demandas de diferentes cientes o correaciones temporaes de demanda. Finamente es posibe extender nuestro enfoque, considerando mútipes productos y mútipes períodos, en que os cientes presenten diferentes demandas en cada período.

12 80 Pabo A. iranda, Rodrigo A. Garrido AGRADECIIENTOS Se agradece a Fondo Naciona de Desarroo Científico y Tecnoógico, a través de proyecto FONDECYT , y a a empresa Nesté Chie S.A., por financiar y fomentar tanto ésta como otras investigaciones. REFERENCIAS Birge, J. R. and F. Louveaux (997) Introduction to Stochastic Programming. New York, Springer-Verag. Brame, J. and D. Simchi-Levi (2000) The Logic of Logistic. New York, Springer-Verag. Daskin,. S. (995) Network and Discrete Location: odes, Agorithms, and Appications. New York, Wiey-Interscience. Garrido, R. (2000) odeación de Sistemas de Distribución de Carga. Santiago, Ediciones Universidad Catóica de Chie. Koskosidis, Y. A. and W. B. Powe (992) Custering Agorithms for Consoidation of Customer Into Vehice Shipments. Transportation Research 26B (5): ekote, S. and. S. Daskin (200) An Integrated ode of Faciity Location and Transportation Network Design. Transportation Research 35A (6): iranda, P. A. and R. A. Garrido (2003) Incorporating Inventory Contro Decisions into a Strategic Distribution Network Design ode with Stochastic Demand. En proceso de revisión. Newe, G. F. and C. F. Daganzo (986) Design of utipe-vehice Deivery Tours-I: A Ring Radia Networks. Transportation Research 20B (5): Novaes, A. G. N., et a. (2000) A Continuous Approach to the Design of Physica Distribution Systems. Computers and Operations Research 27 (9): Nozick, L. K. (200) The Fixed Charge Faciity Location Probem With Coverage Restriction. Transportation Research 37E (4): Powe, W. B., et a. (995) Stochastic and Dynamic Networks and Routing. Handbooks in Operations Research & anagement Science 8 (3). Stewart, W. R. and B. L. Goden (983) Stochastic Vehice Routing: A Comprehensive Approach. European Journa of Operationa Research 2: Yang, J., et a. (998) On-Line Agorithm for Truck Feet Assignment and Scheduing under Rea-Time Information. Working Paper.