Dosificación Bloque 2

Transcripción

1 Dosificación Bloque 2 Aprendizaje esperado Resuelve problemas que impliquen el uso de las características y propiedades de triángulos y cuadriláteros. Semana Secuencia Eje Tema 9. Números fraccionarios Sentido numérico y pensamiento algebraico Números y sistemas de numeración 0 2. Significados de la parte decimal Sentido numérico y pensamiento algebraico Números y sistemas de numeración 3. Divisiones con cociente decimal Sentido numérico y pensamiento algebraico Problemas multiplicativos 2 4. Las alturas de los triángulos Forma, espacio y medida Figuras y cuerpos 3 5. Reproducción de figuras con cuadrículas Forma, espacio y medida Ubicación espacial El área de los paralelogramos 7. El factor constante de proporcionalidad Forma, espacio y medida Manejo de la información Medida Proporcionalidad y funciones Actividades de integración 94 5 Actividades lectoras Evaluación del bloque 2

2 Contenidos Disco compacto Páginas del libro Conocimiento de diversas representaciones de un número fraccionario: con cifras, mediante la recta numérica, con superficies, etc. Análisis de las relaciones entre la fracción y el todo. Diferentes representaciones 64 a 69 Análisis del significado de la parte decimal en medidas de uso común: por ejemplo, 2.3 metros, 2.3 horas. Parte decimal 70 a 73 Resolución de problemas que impliquen una división de números naturales con cociente decimal. División con cociente decimal 74 a 77 Localización y trazo de las alturas en diferentes triángulos. La altura de los triángulos 78 a 83 Reproducción de fi guras usando una cuadrícula en diferentes posiciones como sistema de referencia. Dibujo en una cuadrícula 84 a 89 Construcción y uso de una fórmula para calcular el área de paralelogramos (rombo y romboide). Identifi cación y aplicación del factor constante de proporcionalidad (con números naturales) en casos sencillos. Factor de proporcionalidad 90 a a y 0 02 y y 05 95

3 Planeaciones didácticas Bloque: 2 Duración: semana Número de sesiones: 5 Secuencia. Números fraccionarios Periodo: del al de de 2 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Contenido Números y sistemas de numeración Conocimiento de diversas representaciones de un número fraccionario: con cifras, mediante la recta numérica, con superficies, etcétera. Análisis de las relaciones entre la fracción y el todo. Desarrollo de la secuencia Etapa Sesión(es) Actividades Inicio Lo que sabemos Realizan actividades que refuerzan los conocimientos sobre fracciones de modo gráfico. Comparten las respuestas en equipos y reflexionan sobre la utilidad de las fracciones. Lo que estudiaremos Representación de fracciones Realizan ejercicios sobre representaciones gráficas de fracciones de un conjunto. Comparan sus estrategias en equipo. En la sección Historia de las matemáticas resuelven un problema que implica la suma de fracciones con números egipcios. Realizan una lectura sobre la representación gráfica de fracciones. En la sección Habilidades digitales revisan una lectura que contiene distintas representaciones de números fraccionarios y los identifican. Páginas del libro y 66 Desarrollo En equipo, realizan actividades sobre la representación de números enteros en la recta numérica y revisan sus respuestas con el resto del grupo. Leen sobre la representación de fracciones en la recta numérica. 96 Cierre Observaciones Representación de fracciones en la recta numérica En parejas, resuelven ejercicios de equivalencia de números fraccionarios con representación gráfica y en la recta numérica. Realizan una lectura sobre la representación numérica de fracciones equivalentes. En parejas resuelven ejercicios de simplificación de fracciones. Comparan sus respuestas. En la sección Practicamos en casa realizan ejercicios sobre representación gráfica y en la recta numérica de fracciones equivalentes a 4 6. Usan el recurso digital y practican las equivalencias de fracciones. Lo que aprendimos Realizan ejercicios de representación gráfica, lineal y numérica de fracciones. Llevan a cabo la autoevaluación individual. 67 a 69 69

4 Bloque: 2 Duración: semana Número de sesiones: 5 Secuencia 2. Significados de la parte decimal Periodo: del al de de 2 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Contenido Números y sistemas de numeración Análisis del significado de la parte decimal en medidas de uso común: por ejemplo, 2.3 metros, 2.3 horas. Desarrollo de la secuencia Etapa Sesión(es) Actividades Páginas del libro Inicio Desarrollo 2 Lo que sabemos Identifi can unidades de medida y sus fracciones mediante el uso del punto decimal. En grupo, resuelven una pregunta de equivalencia de números con decimales. Lo que estudiaremos La parte decimal en las medidas En equipo, realizan ejercicios en los cuales identifican el valor de medidas a partir de números decimales y números fraccionarios equivalentes. Para comprender el uso del punto decimal en las medidas, realizan en parejas ejercicios sobre la identificación de medidas fraccionarias a partir de sus equivalencias en unidades más pequeñas. Comparan las respuestas grupalmente y analizan las estrategias que utilizaron para solucionar los problemas anteriores Realizan una lectura sobre significados de la parte decimal. En equipo, resuelven un problema de conversión de una suma de fracciones a números decimales, tratando de usar la mayor cantidad de estrategias posible. En al sección Practicamos en casa resuelven problemas en los cuales deben identificar fracciones de medidas de tiempo. 7 a 73 Cierre Lo que aprendimos De modo individual, responden preguntas sobre la representación de medidas con números decimales. En grupo revisan sus respuestas. Realizan la autoevaluación individual Observaciones

5 Bloque: 2 Duración: semana Número de sesiones: 5 Secuencia 3. Divisiones con cociente decimal Periodo: del al de de 2 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Contenido Problemas multiplicativos Resolución de problemas que implican una división de números naturales con cociente decimal. Desarrollo de la secuencia Etapa Sesión(es) Actividades Inicio Lo que sabemos Resuelven problemas que implican divisiones con cociente decimal, representación de cantidades con números decimales, conversión de unidades de medida y relación entre multiplicación y división. Páginas del libro 74 Lo que estudiaremos Vamos dividiendo! Realizan sumas con números con punto decimal y divisiones con residuo distinto a 0. Desarrollo Cierre Realizan una lectura sobre el procedimiento para resolver divisiones con residuo distinto a 0. De modo individual, realizan divisiones con cociente decimal. Resuelven problemas que implican divisiones con cociente decimal. Comparan los resultados en grupo. Leen una explicación sobre las divisiones cuyo cociente es un número decimal periódico. Resuelven en equipo un problema que implica divisiones con cociente decimal, en ocasiones periódico. En la sección Practicamos en casa resuelven problemas que implican divisiones con cocientes decimales tanto fi nitos como infi nitos, de estos últimos periódicos y mixtos. Utilizan el recurso digital División con cociente decimal. Resuelven un acertijo utilizando divisiones con cocientes decimales. Lo que aprendimos Resuelven individualmente problemas que implican la división con cocientes decimales. Revisan las respuestas en grupo y corrigen sus errores. Realizan la autoevaluación individual. 74 a Observaciones

6 Secuencia 4. Las alturas de los triángulos Bloque: 2 Duración: semana Número de sesiones: 5 Eje: Forma, espacio y medida Periodo: del al de de 2 Contenido Figuras y cuerpos Localización y trazo de las alturas en diferentes triángulos. Desarrollo de la secuencia Etapa Sesión(es) Actividades Inicio Desarrollo Cierre Observaciones Lo que sabemos De modo individual, trazan un triángulo, señalan su altura e identifican la relación entre lados y vértices. Reflexionan las respuestas grupalmente. Páginas del libro Lo que estudiaremos Localizan, miden y trazan las alturas de un triángulo. En equipo, realizan una actividad en la que miden las tres alturas del triángulo de la figura. 78 a 79 Realizan una lectura para identificar las tres alturas de los triángulos. En parejas reflexionan sobre la relación entre los lados del triángulo y sus alturas. Miden el triángulo 2 de la figura y trazan las tres alturas de un triángulo. Realizan una lectura sobre las rectas perpendiculares a los lados de los triángulos y el ortocentro. En grupo, relacionan los lados con las alturas de un triángulo rectángulo, mediante un problema. Leen sobre el triángulo rectángulo y descubren que sus catetos son iguales a las alturas. En parejas realizan la medición de las tres alturas del triángulo 3 de la figura. En Historia de las matemáticas comprueban que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 80. En parejas realizan la medición de las tres alturas del triángulo 3 de la figura. Localizan el ortocentro del triángulo 3 de la figura. Leen sobre las características de los triángulos con un ángulo obtuso con respecto a sus alturas. En la sección Practicamos en casa trazan tres triángulos y localizan sus alturas y ortocentro. Realizan la actividad La altura de los triángulos que se propone en el disco compacto. Lo que aprendimos Individualmente realizan ejercicios que implican identificar alturas de triángulos y trazar las faltantes. Realizan la autoevaluación y y 8 82 y

7 Secuencia 5. Reproducción de figuras en cuadrículas Bloque: 2 Duración: semana Número de sesiones: 5 Eje: Forma, espacio y medida Periodo: del al de de 2 Contenido Ubicación espacial Reproducción de figuras usando una cuadrícula en diferentes posiciones como sistema de referencia. Desarrollo de la secuencia Etapa Sesión(es) Actividades Inicio Lo que sabemos Resuelven ejercicios sobre orientación y manejo de puntos cardinales. Comentan las respuestas en grupo. Páginas del libro 84 Lo que estudiaremos Cómo reproducir figuras en distintas cuadrículas Comparan la dificultad de copiar un dibujo sin cuadrícula y con cuadrícula. Realizan una lectura en donde se explica que una cuadrícula sirve como sistema de referencia. Reproducen un dibujo con una cuadrícula inclinada como sistema de referencia. 84 y 85 Desarrollo Leen una explicación acerca de cómo hacer más eficiente el sistema de referencia de una cuadrícula de letras y números. Trazan un dibujo en una cuadrícula, utilizando la cuadrícula con letras y números. Cierre En la sección Habilidades digitales se sugiere una página donde pueden hacer más dibujos con el uso de cuadrículas. En la sección Practicamos en casa completan las letras y números de una cuadrícula para copiar dos dibujos. Realizan la actividad Dibujo en una cuadrícula. Lo que aprendimos Realizan una copia de un dibujo utilizando la cuadrícula. Realizan una copia de una foto usando una cuadrícula inclinada como sistema de referencia. Comparten los dibujos con el grupo. Realizan la autoevaluación. 86 y y Observaciones

8 Bloque: 2 Duración: semana Número de sesiones: 5 Secuencia 6. El área de los paralelogramos Periodo: del al de de 2 Contenido Eje: Forma, espacio y medida Medida Construcción y uso de una fórmula para calcular el área de paralelogramos (rombo y romboide). Desarrollo de la secuencia Etapa Sesión(es) Actividades Lo que sabemos Inicio Identifi can fi guras planas de cuatro lados. Calculan áreas de cuadrados y rectángulos. Comparan las respuestas en grupo. Páginas del libro 90 Lo que estudiaremos El rombo y el romboide Identifi can lados opuestos paralelos de fi guras. Calculan el área de un romboide apoyados en una cuadrícula. 9 y 92 Realizan una lectura en la que se introduce el concepto de paralelogramo y se ejemplifica. Se explica la relación entre un romboide y un rectángulo. Leen un texto sobre cómo identifi car las alturas de un romboide y se introduce la fórmula para calcular su área. Desarrollo De manera individual, calculan el área de un paralelogramo con distintas bases y alturas. Refl exionan sobre la constancia del área sin importar qué lado del romboide se utiliza como base. Comparan sus respuestas con el resto del grupo. 92 y 93 En parejas, calculan el área de un rombo apoyados en una cuadrícula. Observan la relación entre el rombo y el rectángulo para calcular el área del primero. Realizan una lectura en la que se introduce la fórmula para calcular el área del rombo. En la sección Practicamos en casa calculan el área de rombos y romboides. 93 y 94 Cierre Observaciones Lo que aprendimos Trazan rombos y romboides con un área específi ca. Resuelven un problema calculando el área de un rombo. Comparan resultado con todo el grupo. Realizan la autoevaluación. 95 0

9 Secuencia 7. El factor constante de proporcionalidad Bloque: 2 Duración: semana Número de sesiones: 5 Eje: Manejo de la información Periodo: del al de de 2 Contenido Proporcionalidad y funciones Identificación y aplicación del factor constante de proporcionalidad (con números naturales) en casos sencillos. 02 Desarrollo de la secuencia Etapa Sesión(es) Actividades Inicio Desarrollo Cierre Observaciones Lo que sabemos Deducen la proporcionalidad de dos medidas constantes a partir de un dibujo de manos. Completan una tabla de proporcionalidad y explican sus observaciones. Lo que estudiaremos Aplicación del factor constante de proporcionalidad Realizan operaciones para deducir el factor de proporcionalidad. En un problema, identifican cuando una secuencia no es directamente proporcional. Comparan sus respuestas con todo el grupo. Realizan una lectura sobre el factor constante de proporcionalidad y la explicación de cómo calcularlo. Resuelven problemas en los que utilizan el factor constante de proporcionalidad. Resuelven problemas que implican el cálculo del factor constante de proporcionalidad. En Historia de las matemáticas revisan las características de la proporcionalidad. En la sección Practicamos en casa resuelven problemas en los que utilizan el factor constante de proporcionalidad.utilizan el recurso digital y practican lo aprendido sobre factores de proporcionalidad. Lo que aprendimos Resuelven problemas que implican el cálculo del tiempo a partir de distintas unidades. En actividad grupal verifi can las respuestas. Realizan la autoevaluación. Actividades de integración Realizan una lectura sobre vitrales mexicanos y responden preguntas en las que ponen en práctica los conocimientos que adquirieron en el bloque. Realizan la lectura Los cuatro dragones y evalúan su velocidad, su comprensión y la fluidez de lectura. Leen una explicación sobre el centro de gravedad. Responden preguntas que implican el cálculo del área de distintas fi guras geométricas. Páginas del libro y a y 0 02 y y 05

10 Sugerencias TIC Triángulos Qué hacer? Que los alumnos representen triángulos mediante una herramienta como Microsoft Paint permite que exploren e identifi quen sus propiedades. Cómo funciona? A continuación, pídales que midan sus lados y con la herramienta Texto anoten la longitud de cada lado. Solicite que tracen las alturas de los triángulos y localicen el punto donde se intersecan estas. Pídales guardar su trabajo en la computadora y en una memoria USB. Una vez guardadas las fi guras, invítelos a que elaboren, entre todos, un cuaderno de ejercicios, en un archivo electrónico o impreso, el cual podrá ser utilizado para que calculen el perímetro de cada fi gura o distingan sus propiedades y las identifiquen. Cómo utilizarlo en la escuela? En el bloque 2 puede utilizar Microsoft Paint como herramienta para: Trazar triángulos y cuadriláteros con diferentes características y propiedades. Microsoft Paint es una herramienta de dibujo para trazar fi guras geométricas, líneas e insertar textos. Con el uso de Paint también se desarrolla la coordinación ojo-mano. El formato más usual para las imágenes es el Jpg y pueden ser utilizadas en otras aplicaciones como Microsoft Word o Microsoft PowerPoint para elaborar documentos y presentaciones. Una manera de trabajar con este programa puede ser la siguiente: Dibuje en el pizarrón un triángulo y un cuadrilátero, como un rectángulo, y anote sus medidas. Luego, solicite a los alumnos que tracen una serie de triángulos con diversas medidas, de varios colores y grosores de línea. Sugiérales que empleen las herramientas del programa Triángulo, Rectángulo y Línea recta para trazar las fi guras. Relación con el programa de estudios Aprendizajes esperados Resuelve problemas que implican el uso de las características y propiedades de triángulos y cuadriláteros. Algunas recomendaciones Además de las actividades anteriores, puede utilizar algunos programas de geometría dinámica donde los alumnos puedan manipular los objetos geométricos y reconocer las propiedades de estos. Para ello ingrese a la página t-emat.dgme.sep.gob. mx/emat/ematherramientas.htm ahí encontrará diferentes software interesantes como Cabri. Utilicemos las TIC para aprender! 03

11 Evaluación Bloque 2 Nombre: Grupo: Número de lista: Subraya la respuesta correcta.. De las siguientes figuras, cuál no tiene 4 coloreado? a) b) c) d) 2. En un grupo de 40 personas, 3 8 son mujeres. Cuántos hombres hay en ese grupo? a) 35 hombres b) 25 hombres c) 5 hombres d) 5 hombres 3. Cuando la maestra le preguntó a Éric su estatura, él respondió Mido.5 metros. Cuál de las medidas es equivalente a la estatura de Éric? a) metro con 5 centímetros b) metro con 50 centímetros c) metro con 5 milímetros d) metro con 50 milímetros 4. Una cisterna tarda 6.25 horas en llenarse. Cuál de las opciones muestra la equivalencia correcta a esta medida? a) 6 horas con 25 minutos b) 6 horas con 22 minutos c) 6 horas con 8 minutos d) 6 horas con 5 minutos 5. Jorge quiere hacer 8 moños del mismo tamaño con 20 m de listón. Cuánto listón necesitará para cada moño? 04 a) 2.5 metros b) 2.55 metros c) 2.65 metros d) 2.7 metros

12 6. Por hacer 2 llamadas telefónicas, a Abril le cobran $33. Qué costo tiene cada llamada? a) $2.25 b) $2.50 c) $2.75 d) $ Cuál de los triángulos tiene incorrectamente señalada una de sus alturas? a) b) c) d) 8. Mónica tiene un terreno en forma de romboide de 25 m de largo y 2 m de altura. Cuál es la medida de la superficie de ese terreno? a) 300 m 2 b) 250 m 2 c) 225 m 2 d) 50 m 2 9. Jorge construirá un vitral en forma de rombo, con las medidas que se muestran. Qué cantidad de vidrio necesita? 20 cm 2 cm a) 20 cm 2 b) 240 cm 2 c) 480 cm 2 d) 600 cm 2 0. Observa la tabla de variación proporcional directa. Número de jabones Costo en pesos Cuál es el factor de proporcionalidad? a) 6 b) 2 c) 0 d) 8 05

13 2 Bloque Aprendizaje esperado que se alcanzará en este bloque: Resuelve problemas que implican el uso de las características y propiedades de triángulos y cuadriláteros. 06 PHZMAT5GDp07.indd PHZMAT5LAp04.indd /2/2 :59 7/8/2 4:47PM PM PHZMAT5

14 /2 4:47 PM Los buzos que estudian los ecosistemas acuáticos delimitan las regiones en estudio y se valen de figuras geométricas para delimitarlas. 07 PHZMAT5GDp07.indd PHZMAT5LAp04.indd 8/2/2 :59 7/3/2 3:39 PM PM

15 Números fraccionarios Lo que sabemos. De las figuras, todas excepto una están divididas en cuartos, es decir, en cuatro partes del mismo tamaño. Tacha la que no está dividida en cuartos. Si lo considera conveniente, reparta entre sus alumnos copias de figuras geométricas sin divisiones, y pídales que sombreen una fracción de manera que primero tengan que hacer la división en partes iguales. Por ejemplo, en un círculo, sombrear, en un cuadrado de 3 cm de 2 lado, sombrear 2 3, etcétera. Le recomendamos usar las actividades de esta página para recordar a los estudiantes que en una fracción, el denominador indica en cuántas partes se dividió un entero, y el numerador, cuántas de esas partes se incluyen. Luego, pida a los alumnos que escriban la fracción que corresponde al seleccionar 6 partes de un entero que se dividió en 9 partes iguales. 2. En cada figura de la ilustración anterior que no tachaste, traza las líneas que se requieran para que la figura quede dividida en octavos, es decir, en ocho partes del mismo tamaño. Después, en cada caso, sombrea la parte de la figura que representa la fracción El triángulo está divido en tres partes del mismo tamaño, es decir, en tercios. Traza las líneas que se requieran para dividirlo en sextos y sombrea la parte del triángulo que representa la fracción 5 6. En caso de que algún alumno todavía presente dificultades para representar fracciones mediante sombreado de áreas, puede pedirle que recorte una figura en la que se hayan marcado partes iguales y reúna la cantidad de partes que represente una fracción determinada, por ejemplo: recortar un cuadrado en el que se marcaron ocho partes iguales y luego identificar cuántas partes corresponden a la fracción, cuántas a la 8 fracción 2, y así sucesivamente Compara tus respuestas con las obtenidas por un compañero y si no coinciden analicen cuál es correcta. Después comenten con el grupo y el profesor lo siguiente: para qué sirven las fracciones? Escriban las conclusiones a las que llegaron en el cuaderno. Contenido: Conocimiento de diversas representaciones de un número fraccionario: con cifras, mediante la recta numérica, con superficies, etcétera. Análisis de las relaciones entre la fracción y el todo

16 Lo que estudiaremos Representación de fracciones. Rodeen la parte que corresponde a Rodeen la parte que corresponde a 2 5 del siguiente grupo de personas. de la siguiente colección de canicas. Aquí se aborda la representación de fracciones mediante subconjuntos de un grupo de objetos. Conviene que los alumnos determinen primero cuántos elementos forman la séptima parte de la primera colección, para que luego les resulte sencillo encontrar 3 séptimas partes de ella. 3. Rodeen la parte que corresponde a 6 del siguiente grupo de mariposas. 4. Al terminar, comparen con los demás equipos la estrategia que siguieron para hacer estos ejercicios. Historia de las matemáticas Hasta donde se sabe, los primeros en utilizar fracciones fueron los antiguos egipcios. Sin las fracciones, la construcción de las famosas pirámides de Egipto sería impensable. Las fracciones de numerador uno las representaban así: Combinándolas, representaban otro tipo de fracciones. Por ejemplo, para representar 3 4 tomaban en cuenta que 2 más 4 son 3 4, y escribían el símbolo de 2 junto al de 4 : Siguiendo el ejemplo, puedes escribir 3 8 usando símbolos egipcios? Para acompañar la actividad de Historia de las matemáticas, anote en el pizarrón los símbolos egipcios sin la equivalencia. Asigne a cada alumno una de las fracciones y pídale que entregue la parte de una hoja de reúso, que corresponda a la fracción que le tocó. Una vez que los alumnos investiguen en su libro el valor de las fracciones, permítales que intenten hacer los dobleces y los cortes necesarios en su hoja, sin ayuda. Si no entregan la fracción esperada de acuerdo con la representación egipcia, bríndeles alguna asesoría. Este tipo de actividad permite evaluar el manejo que tienen los alumnos de la representación, mediante áreas de las fracciones con numerador. 09 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico 65

17 Jugar con un geoplano refuerza la visualización de las fracciones. Por ello, pida a los alumnos que representen una figura plana (cuadrado, rectángulo, triángulo o rombo). Conviene que la figura sea lo más grande posible, es decir, que abarque la mayor cantidad de unidades (o clavos del geoplano) para que después pueda dividirla en partes iguales usando ligas. Una fracción puede representarse de muchas maneras diferentes. Una de ellas, a la que se le suele llamar sombreado de superficies, es la siguiente: trazamos una figura que represente una unidad (por ejemplo, un círculo, un rectángulo, un cuadrado u otro polígono regular). Lo dividimos en partes del mismo tamaño (en dos partes si lo que vamos a representar es medios, en tres si vamos a representar tercios y así sucesivamente) y sombreamos o coloreamos la parte que corresponde a la fracción que deseamos representar. Por ejemplo, en cualquiera de las siguientes figuras la parte sombreada representa la fracción 3 4, pues la superfi cie de cualquiera de ellas está dividida en cuatro partes del mismo tamaño (cuartos) y se sombrearon tres de ellas. Pida a los alumnos que identifiquen una fracción, como 7, en su fi gura y 8 la encierren en ligas rojas. Invítelos a ser creativos en la forma de dividir la fi gura que les tocó y a que verifi quen que todas las partes sean iguales. Cuando una fracción se refiere a una parte de un grupo o colección, una posibilidad para representarla es considerar el grupo o colección como el todo y de este señalar la parte que corresponde a la fracción que se desea representar. Por ejemplo, si la fracción 3 se refi ere a las tres cuartas partes de un grupo de 2 niños, podemos tomar 4 en cuenta que la cuarta parte de 2 niños son tres niños, y por tanto tres cuartas partes del grupo son nueve niños. Entonces, para representar a la fracción 3 dibujamos 2 niños y señalamos nueve. 4 Puede usar el texto de Habilidades digitales para generar una discusión grupal. Asegúrese de que los alumnos comprendan cada parte del enunciado haciendo preguntas como: Cuántos minutos tiene medio tiempo de un partido de futbol? Cuánto es la novena parte de 45 minutos? Han visto los vasos de licuadora graduados? Cómo interpretan la expresión sentiste que tu estómago se dividía en cuatro partes iguales? 0 Habilidades digitales Te compraste kilo y medio de salsa chamoy y un cuarto de chile piquín. En el medio tiempo del futbol, lo echaste en la licuadora hasta la línea que señala tres octavos. Lo mezclaste con la sexta parte de una botella de salsa botanera de medio litro. Antes de que reiniciara el partido, te tomaste tu receta en medio de la sala. Para cuando faltaban solo cinco minutos de futbol (una novena parte del segundo tiempo del partido), sentiste que tu estómago se dividía en cuatro partes iguales. Te dolió tanto que casi no pudiste moverte durante tres cuartos de hora. El doctor te visitó en tu cuarto: te recetó una tercera parte de una pastilla cada dos horas y media. Aprendiste la lección? Cuántos números fraccionarios se mencionan en la lectura? De cuántas formas distintas se representan los números fraccionarios en la lectura? Si quieres incrementar tus conocimientos sobre la representación de fracciones, revisa estas páginas: Se mencionan once números fraccionarios y se usan para representar fracciones de kilogramos, litros y tiempo. www2.gobiernodecanarias.org/educacion/7/webc/eltanque/ todo_mate/fracciones_e/ejercicios/fraccionesej0_p.html launch.html www2.gobiernodecanarias.org/educacion/7/webc/eltanque/ todo_mate/fracnum/fracnum_p.html 66 Contenido: Conocimiento de diversas representaciones de un número fraccionario: con cifras, mediante la recta numérica, con superficies, etcétera. Análisis de las relaciones entre la fracción y el todo

18 Representación de fracciones en la recta numérica. En el curso anterior representaron números enteros en rectas numéricas y ya saben que en ellas cada punto representa un número. Por ejemplo, en la siguiente recta numérica hay tres pequeñas marcas verticales que señalan tres puntos de la recta y cada uno representa un número. En este caso, los números representados son 0, y Pero en una recta numérica también se pueden representar números no enteros. Por ejemplo, fracciones. Diseñen una estrategia que les permita localizar en la recta anterior 2 y 3 4 y señálenlos. Diseñen una estrategia que les permita localizar en la recta anterior 3 y 5 6 y señálenlos. Al terminar compartan con otros compañeros sus señalamientos y la estrategia que siguieron para hacerlos. Es de esperarse que a los alumnos se les ocurra dividir la distancia entre 0 y en dos partes iguales e indicar que el punto corresponde a. Es más fácil que esto ocurra si se 2 da una discusión grupal acerca de las estrategias diseñadas por cada equipo. Una vez que descubran la forma de localizar, podrán localizar 2 las otras fracciones de manera análoga. En las rectas numéricas también se pueden representar fracciones. El segmento que comienza en el punto que representa a un número entero y termina en el que representa al número entero que sigue, representa una unidad. Por ejemplo, en la siguiente recta numérica, cada uno de los segmentos rojos representa una unidad, pero el azul no, porque empieza en y termina en 3, y 3 no es el número entero que sigue de. El segmento azul representa dos unidades. Haga notar que, como en la representación mediante sombreado de áreas, para localizar una fracción en la recta numérica primero se deben dividir las unidades en varias partes iguales, según el denominador de la fracción, y luego contar las partes que se piden, según el numerador Para señalar en ella alguna fracción, por ejemplo 7, una de las posibles estrategias es usar una regla 9 graduada para medir la longitud de un segmento que represente una unidad, y luego dividir entre nueve esa longitud y saber así de qué tamaño es un segmento que representa un noveno. Después multiplicamos esa longitud por siete para saber a qué distancia del cero debe estar el punto que represente Juan dice que en la siguiente recta numérica el número señalado con la marca roja representa 2 4. María dice que representa 2 y Laura dice que representa 3. Quién tiene razón? Subrayen la 6 respuesta correcta. 0 a) Juan b) María c) Laura d) Ninguno de los tres e) Los tres Para reforzar la comprensión de la localización de fracciones en la recta numérica, dibuje una recta numérica en el pizarrón y localice 2 puntos identificados con los números 0 y 2. Pregunte a sus alumnos dónde debe ir el. Aproveche sus respuestas, erróneas o correctas, para generar una discusión grupal que tenga por objetivo que los estudiantes argumentenen por qué es o no correcta cada sugerencia. Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico 67

19 3. Por otra parte, Juan dice que si el hexágono de la siguiente ilustración representa una unidad, la Para reforzar el manejo de las fracciones equivalentes, promueva un juego entre sus alumnos llamado Dominó de fracciones. Consiste en elaborar 25 piezas con dos números fraccionarios cada una, usando alguna de las representaciones de los números: 2,, 2, 2 y 2. Las fichas se colocan de manera que las 2 fracciones que estén contiguas sean equivalentes. parte verde representa 2 2. María dice que representa 6 y Laura que representa 4. Quién tiene 24 razón? Subrayen la respuesta correcta. a) Juan b) María c) Laura d) Ninguno de los tres e) Los tres 4. Comparen sus respuestas con el grupo y discutan las diferencias que se presenten. Dada una fracción hay muchas fracciones que son equivalentes a ella, es decir, que son el mismo número, pero escrito de manera diferente. Eso ocasiona que al usar representación numérica, una misma fracción pueda escribirse de distintas maneras. Por ejemplo, dado que partir una unidad en dos partes iguales y considerar una de ellas es equivalente a partir la unidad en cuatro partes iguales y considerar dos de ellas, y equivalente a su vez a partir la unidad en seis partes iguales y considerar tres de ellas, sucede que cuando el número señalado con la marca roja en la siguiente recta numérica se representa usando representación numérica, esta representación es 2 (un medio), pero también 2 4 (dos cuartos) y 3 6 (tres sextos). En discusión grupal, analice con sus alumnos por qué las fracciones con numerador siempre son irreducibles. Luego pregunte si las fracciones con denominador (enteros) son también irreducibles. Finalmente, pídales ejemplos de fracciones irreducibles en las que ni el numerador ni el denominador sean. De hecho, la representación numérica de dicho número es cualquier expresión de la forma: número entero, en la que el número de arriba (numerador) sea la mitad del de abajo (denominador). número entero Análogamente, cuando el hexágono de la actividad 2 representa una unidad, sucede que la representación numérica de la fracción representada por la parte verde no es únicamente 6 sino también 2 2 y 4 y cualquier otra expresión de la forma: número entero, en la que el numerador sea la 24 número entero sexta parte del denominador. Cuando una fracción se escribe en forma numérica y de modo que su numerador y denominador sean tan chicos como sea posible, se dice que la fracción en cuestión es irreducible. Por ejemplo, la fracción señalada en la recta numérica, escrita en forma irreducible, es, y la representada con la parte verde 2 del hexágono, escrita en forma irreducible, es Escriban las siguientes fracciones en forma irreducible. a) 6 2 = b) 8 = 4 c) 27 = 3 d) = 6. Comparen sus respuestas y discutan las diferencias que se presenten Contenido: Conocimiento de diversas representaciones de un número fraccionario: con cifras, mediante la recta numérica, con superficies, etcétera. Análisis de las relaciones entre la fracción y el todo

20 Diferentes representaciones Para reunir la localización de fracciones de varios denominadores en una recta numérica, trace en el pizarrón cinco rectas numéricas paralelas. En la primera de ellas localice los medios; en la segunda, los tercios; en la tercera, los cuartos; en la cuarta, los sextos; y en la última, todas las fracciones con denominadores 2, 3, 4 y 6. Practicamos en casa. Representa la fracción 4 6 en la forma que se solicita. a) Mediante sombreado de superficie en este rectángulo. b) Mediante sombreado de superficie en este hexágono. c) Marcando en la recta numérica el punto que representa d) Usando escritura numérica, de modo que el denominador sea 2. 2 e) Usando escritura numérica, de modo que la fracción sea irreducible. 2 3 Lo que aprendimos. Analiza qué fracción representa el punto señalado con la marca roja y usa el cuadrado de la ilustración para representarla usando sombreado de superficies En la recta numérica del ejercicio, señala el punto que representa el número Usa representación numérica para escribir la fracción que señalaste de tres maneras distintas. R. M En discusión grupal, pida a los alumnos que identifiquen la fracción irreducible que corresponde a cada uno de los puntos marcados en la última recta numérica. Aproveche la oportunidad para solicitarles que digan algunas fracciones equivalentes a cada fracción localizada, esté o no en el esquema. 4. Compara tus respuestas con las obtenidas por algunos de tus compañeros. Nos evaluamos Marca con una la opción que mejor represente tu desempeño. Indicadores 2 3 Conocimiento de diversas representaciones de un número fraccionario. Análisis de las relaciones entre la fracción y el todo Diseño y comunico estrategias En algunos casos, al ver la representación de una fracción se me dificulta detectar de qué fracción se trata. Me cuesta trabajo diseñar estrategias. Si veo la representación de una fracción, puedo saber de qué fracción se trata. Pero si lo que me piden es representar una fracción de una determinada manera, no siempre lo puedo hacer. Puedo diseñar estrategias, pero se me dificulta explicarlas. Interpreto bien distintas representaciones de fracciones y también puedo representar una fracción en la forma que me soliciten. Puedo diseñar estrategias y las explico con facilidad. 3 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico 69

21 Significados de la parte decimal 2 Lo que sabemos. Completa lo que se solicita. Es común que los estudiantes cometan los siguientes errores en el tipo de ejercicios de esta página: Decir que.4 h es una hora y cuarenta minutos, en lugar de una hora y = 24 minutos. Decir que.25 m es un metro y 25 milímetros, en lugar de un metro y 25 centímetros, o bien, un metro y 250 milímetros. Decir que L son 250 litros en lugar de 250 mililitros. Ilustración A Ilustración B Ilustración C Ilustración D Para que los alumnos identifiquen bien las unidades que corresponden a la parte decimal, deben conocer la escala de medidas de cada tipo. Si los alumnos no logran diferenciar entre.250 km y.250 m, repase con ellos la relación entre kilómetros, hectómetros, decámetros, metros, decímetros, centímetros y milímetros. Haga preguntas que les permitan identificar que una décima de kilómetro es lo mismo que un hectómetro, una centésima de kilómetro es lo mismo que un decámetro y una milésima de kilómetro es un metro. a) En la ilustración A, el 25 que está después del punto significa 25 centavos. En la B, signifi ca 25 centimetros. b) En la ilustración C, el 250 que está después del punto decimal significa 250 mililtros. En la D, significa 250 gramos. 2. En los números, el valor de cada cifra depende del lugar que ocupa. En.250 la cifra 5 significa 5 centésimos, porque está en el lugar de los centésimos. Responde. a) En el número anterior, qué cifra está en el lugar de los milésimos? b) Qué cifra está en el lugar de los décimos? Comenten en grupo y con el profesor lo siguiente: el número.250 es mayor, menor o igual que el número.25? Es igual. Lo que estudiaremos La parte decimal en las medidas Análogamente, conviene recordar que cada hora contiene 60 minutos y cada minuto 60 segundos, para que entiendan bien cómo identificar cuántos minutos corresponden a cada décima de hora.. Escriban la letra del inciso que corresponda con cada medida. $.4 e.4 metros k.4 kilos f.4 litros h.4 horas a 4 70 a) Una hora y veinticuatro minutos g) Un kilo y un cuarto de kilo b) Un peso y cuatro centavos h) Un litro y cuatrocientos mililitros c) Una hora y cuatro minutos i) Una hora y cuarenta minutos d) Un metro y cuatro centímetros j) Un kilo y cuatro gramos e) Un peso y cuarenta centavos k) Un metro y cuarenta centímetros f) Un kilo y cuatrocientos gramos l) Un litro y cuatro mililitros Contenido: Análisis del significado de la parte decimal en medidas de uso común: por ejemplo, 2.3 metros, 2.3 horas

22 Aunque los alumnos han trabajado los números decimales en diversos contextos, todavía no dominan este aprendizaje y sus conversiones entre los múltiplos y submúltiplos de algunas medidas, por eso anote en el pizarrón una tabla como la siguiente, para apoyar a los alumnos: Parte entera Parte decimal unidades. décimos centésimos Milésimos 2. Observen los números y rodeen el único que no es el mismo que los demás Comenten con los demás equipos sus respuestas para verificar si todos contestaron de manera correcta. En caso de existir diferencias, expongan sus razones para determinar quién dio las respuestas correctas y cuál fue la estrategia que siguieron para obtenerlas. 4. Como saben, 0.7 metros significa 7 décimos de metro, es decir, 7 décimas partes de un metro. Con base en esto, respondan. a) Cuántos centímetros tiene un metro? 00 Cuántos centímetros son la décima parte de un metro? 0 Cuántos centímetros son entonces 7 décimos de metro? 70 Cuántos centímetros son 4.7 metros? 470 b) Cuántos centavos son un peso? 00 Cuántos centavos son la décima parte de un peso? 0 Cuántos centavos son entonces 7 décimos de peso? 70 Cuántos centavos son 5.7 pesos? 570 c) Cuántos mililitros tiene un litro? 000 Cuántos mililitros son la décima parte de un litro? 00 Cuántos mililitros son entonces 7 décimos de litro? 700 Cuántos mililitros son 3.7 litros? 3700 d) Cuántos gramos son un kilogramo? 000 Cuántos gramos son la décima parte de un kilogramo? 00 Cuántos gramos son entonces 7 décimos de kilogramo? 700 Cuántos gramos son 2.7 kilogramos? e) Cuántos minutos tiene una hora? 60 Cuántos minutos son la décima parte de una hora? 6 Cuántos minutos son entonces 7 décimos de hora? 42 Cuántos minutos son.7 horas? Otra cosa que también ya saben es que 0.72 significa 72 centésimos. Con base en esto, respondan. a) Cuántos mililitros son la centésima parte de un litro? b) Cuántos mililitros son entonces 72 centésimos de litro? c) Cuántos mililitros son 3.72 litros? 3720 d) Cuántos gramos son la centésima parte de un kilogramo? e) Cuántos gramos son entonces 72 centésimos de kilogramo? f) Cuántos gramos son 2.72 kilogramos? Después de realizar las actividades de esta página, puede plantear las siguientes situaciones al grupo: Un botón mide 3 mm, cabrá en un ojal que tiene.5 cm de largo? Laura tardó 45 minutos en hacer un examen y Rubén tardó 0.75 h, quién tardó más tiempo? Se cuenta con 200 metros de maya ciclónica, alcanzará para hacer una barda de.3 km? Aproveche los errores que cometan los educandos para hacer nuevas preguntas que les ayuden a entender en qué se equivocaron. Recuerde que es fundamental que ellos sientan la confianza para decir lo que piensan aunque algunas veces se equivoquen. 5 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico 7

23 La identificación de 25 con 4 00 y con 0.25, o bien con 250 y con 0.250, les 000 será de gran utilidad a los alumnos en muchos contextos, no solo al referirse a medidas de tiempo. Asegúrese de que sus alumnos lo han comprendido bien. Tenga en cuenta que en el ejercicio donde se fracciona la hora, esta no cumple con la división decimal de sus diversas partes. Permita que los alumnos utilicen el reloj de pared para realizar sus conversiones y equivalencias. Es conveniente que busquen la manera de expresar como fracción los números decimales correspondientes a las partes de hora solicitadas, por ejemplo 75 centésimos es equivalente a 3 y de esta manera es 4 más fácil para ellos encontrar la cantidad de minutos que hay en 0.75 de hora. Por ningún motivo induzca el uso de la multiplicación de para calcular la cantidad de minutos que hay en una fracción decimal de una hora. 6. Cuántos minutos son de hora? 5 minutos 4 a) Escriban la fracción 4 de modo que el denominador sea 00: 4 = Usen lo anterior para contestar: b) Cuántos minutos son 25 centésimos de hora? e) Cuántos segundos son de hora? 900 segundos 4 f) Escriban la fracción de modo que el denominador sea 000: 4 = Usen lo anterior para contestar: g) Cuántos segundos son 250 milésimos de hora? h) Cuántos segundos son 25 milésimos de hora? i) Cuántos segundos son 0.25 horas? 5 minutos c) Cuántos minutos son 75 centésimos de hora? 45 minutos d) Cuántos minutos son.75 horas? 05 minutos 450 segundos 900 segundos 450 segundos 7. Reúnanse con otros equipos para que comparen sus respuestas. Después, con ayuda de su maestro, contesten la siguiente pregunta: Un cuarto de hora 5 minutos Media hora 30 minutos Tres cuartos de hora 45 minutos 4 h 0.25 h 2 h 0.5 h 3 4 h 0.75 h a) La estrategia que utilizaron fue la más adecuada para dar solución a las actividades? R. L. Por qué? R. M. Ejemplos: Se utilizó la estrategia graficar un reloj y dividir en partes iguales para contar lo que se pide, es una estrategia que implica mucho trabajo. Se utilizó la estrategia de realizar las operaciones de equivalencias entre los números presentados, es una estrategia más fácil y rápida. Significados de la parte decimal 6 Los alumnos pueden estar acostumbrados a identifi car un cuarto de hora con 5 minutos, lo que facilitará que identifi quen 5 minutos con 25 centésimos de hora. Si su manejo de las fracciones equivalentes es bueno, de lo anterior pueden concluir que 50 centésimos de hora corresponden a 30 minutos y 75 centésimos de hora corresponden a 45 minutos. Si es necesario, haga un resumen al final para que los estudiantes fijen las ideas principales. Sugerimos que emplee la tabla anterior. Cuando un número que no es entero no se escribe en forma de fracción sino usando escritura decimal, a las cifras que están después del punto las llamamos parte decimal. Cuando dicha parte se refiere a una cantidad no entera de alguna unidad de medida (por ejemplo, de metro, de litro, de kilogramo o de hora), para entender su significado basta tomar en cuenta que en cualquier número escrito en forma decimal, la primera cifra después del punto indica décimos, la segunda centésimos y la tercera milésimos. Por ejemplo, si una actividad dura.4 horas, podemos tomar en cuenta que el número 4 significa 4 décimos. Y como un décimo de hora son 6 minutos, entonces 4 décimos de hora son 24 minutos, por tanto.4 horas es una hora y 24 minutos. Por otra parte, también conviene tomar en cuenta que si a cualquier número se le aumentan ceros después de la última cifra posterior al punto decimal, el número sigue siendo el mismo, aunque escrito de diferente forma. Por ejemplo, si algo mide.4 metros, podemos tomar en cuenta que.4 es el mismo número que.40 y que.400. Si escribimos esta longitud como.4 sabemos que es metro y 4 décimos de metro, es decir, metro y 4 decímetros. Si la escribimos como.40 sabemos que es metro y 40 centésimos de metro, es decir, metro y 40 centímetros. Y si la escribimos como.400 metros sabemos que es metro y 400 milésimos de metro, es decir, metro y 400 milímetros. 72 Contenido: Análisis del significado de la parte decimal en medidas de uso común: por ejemplo, 2.3 metros, 2.3 horas

24 En discusión grupal, compare las estrategias que sus alumnos aplicaron para sumar 2 kg y 3 de kg. Si no 4 desarrollan varias estrategias diferentes, usted proponga algunas, de manera que comprendan que hay diversas formas de razonamiento válidas y se sientan en libertad de ser creativos cuando se les pida desarrollar estrategias. Por ejemplo, medio kilo son 500 gramos y tres cuartos de kilo son = 750 gramos. Por tanto, la suma de medio kilo y tres cuartos de kilo es igual a 500 gramos más 750 gramos, es decir, 250 gramos o.25 kilos. 8. Resuelvan en equipo. Laura compró 2 kg de carne molida y 3 de kg de bisteces. Cuántos kg compró en total, si dicha 4 cantidad se escribe en forma decimal?.250 kg Gana el equipo que encuentre más estrategias para solucionar el problema. Una estrategia consiste en realizar la operación: y convertir los números en decimales. Practicamos en casa. En algunos cálculos referidos a la administración de dinero, contadores y administradores en ocasiones consideran que cada año tiene 360 días, que conforman 2 meses, cada uno de 30 días. a) En ese caso, cuántos días son.4 meses? b) Cuántos días son.2 años? 432 días 42 días Parte decimal Organice un intercambio de experiencias al día siguiente para que los alumnos compartan sus ideas. 2. Muchos relojes indican la hora usando el símbolo : para separar la cantidad de horas y de minutos. Por ejemplo, :30 para indicar horas y 30 minutos. Eso ocasiona que el ver una expresión como 0.20 horas, muchas personas creen que significa 0 horas y 20 minutos. Investiga si algún familiar mayor que tú supone eso. Si lo supone, explícale cuántos minutos representa en realidad la parte decimal de la expresión 0.20 horas y por qué horas equivale a 0 horas y 2 minutos, porque el punto decimal equivale a dos Lo que aprendimos. Completa. décimas partes de una hora. Un décimo de hora son 6 minutos, multiplicado por dos son 2. a) 2.6 metros son 260 centímetros. d) 0.27 kilos son 270 gramos b).3 litros son 300 mililitros e) 2. pesos son 20 centavos c).2 horas son 72 minutos f).3 minutos son 78 segundos 2. Revisen las respuestas con la dirección de su profesor y corrijan los errores. Nos evaluamos Pida a sus alumnos que comparen las respuestas de la sección Lo que aprendimos con las de la página 70, al inicio de esta secuencia. Si no hay una diferencia notable en la cantidad de respuestas correctas y en la agilidad con la que los niños contestan, será necesario ubicar en qué tipo de medidas aún les cuesta trabajo entender el significado de la parte decimal y reforzar su comprensión con actividades adicionales. Marca con una la opción que mejor represente tu desempeño. Indicadores 2 3 Análisis del significado de la parte decimal en medidas de uso común: por ejemplo, 2.3 metros, 2.3 horas Actitud hacia las matemáticas A veces se me dificulta interpretar la parte decimal de longitudes, pesos, capacidades o tiempos. Considero que el hecho de que una misma cantidad pueda expresarse de distintas maneras es algo que solo sirve para confundir. La única parte decimal que a veces se me dificulta interpretar es la de cantidades de tiempo. Creo que es útil aprender a expresar una misma cantidad en distintas formas, pero esa característica de los números no me gusta porque me confunde. Interpreto sin ningún problema la parte decimal de longitudes, pesos, capacidades o tiempos. Saber que una misma cantidad puede expresarse de distintas maneras ocasiona que sienta que los números son más interesantes y atractivos de lo que suponía. 7 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico 73

25 3 Divisiones con cociente decimal Inicie con una práctica del cálculo mental de productos. Pregunte aleatoriamente a los alumnos e incluya multiplicaciones poco convencionales, como 5. Después, realice algunas rondas con el cálculo mental de cocientes. Incluya entre estos cocientes algunos que no sean exactos, pero que solamente incluyan medios, por ejemplo 3 entre 2. Lo que sabemos. Ana, Beatriz, Carlos y David desean repartirse $25 de manera que a todos les toque la misma cantidad. Subraya la afirmación correcta. a) Más de $7, pero menos de $8 b) Más de $5, pero menos de $6 c) Más de $6, pero menos de $7 2. Estela cortó un listón en 6 partes iguales. Cada parte mide 42.5 centímetros. Completa. a) El listón medía = 255 centímetros, es decir, 2.55 metros. 3. Cuál afirmación es falsa? Subráyala. a) Como 2 por 5 es 60, al dividir 60 entre 2 se obtiene 5. b) Como 2 por 5 es 60, al dividir 2 entre 5 se obtiene 60. c) Como 2 por 5 es 60, al dividir 60 entre 5 se obtiene 2. Partiendo de la idea de que la multiplicación es una suma repetida, en esta lección se aborda la división con cociente decimal a partir de sumas repetidas del cociente. Se espera que el alumno observe que si = 50, entonces 50 4 = 2.5. Si sus alumnos requieren alguna guía para responder las últimas preguntas de esta página, pídales observar los resultados que obtuvieron en las sumas del ejercicio anterior. 4. Comparen sus respuestas con otros compañeros y si hay diferencias, analicen quién tiene razón. Lo que estudiaremos Vamos dividiendo!. Realicen las sumas. a) = b) = c) = 2. Contesten. Puede aprovechar el conocimiento que tienen los alumnos acerca de la multiplicación por múltiplos de 0 para discutir ejemplos como los siguientes: = 2.4 porque = =.87 porque = 87 Después de varios ejemplos, pídales escribir y comentar la descripción de la regla. a) Cuál piensan que sea el resultado de la división 45 4?.25 8 Y el resultado de 50 4? 2.5 Cuál es el resultado de 43 4? 0.75 b) Escriban qué observaron para responder las preguntas anteriores. Que las divisiones con residuo no igual a cero se pueden hacer exactas utilizando números decimales. 74 Contenido: Resolución de problemas que implican una división de números naturales con cociente decimal