e s t r u c t u r a s

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1 MÓDULO PROFESIONAL ESTRUCTURAS DE CONSTRUCCIÓN Profesor: JORGE M. BADÁS PEITEADO UNIDAD DIDÁCTICA 1. CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS DE ESTÁTICA? ACTIVIDAD 1.1. FUERZAS Y MOMENTOS Página 1 de Estos están basados en el trabajo realizado durante una licencia de formación retribuída por la Consellería de Cultura, Educación e Ordenación Universitaria (Xunta de Galicia, 014) bajo licencia Creative Commons BY-NC-SA (reconocimiento - no comercial - compartir igual). Para ver una copia de esta licencia, visitar el enlace

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3 Índice 1. A1. Fuerzas y momentos Introducción Actividad Introducción a la Estática Fuerzas...7 Concepto de fuerza...7 Las fuerzas en los principios fundamentales de la estática...8 Sistema de fuerzas Momento de una fuerza respecto a un punto...11 Concepto de momento...11 Teorema de Varignon generalizado (Teorema de los momentos) Composición de fuerzas Composición de fuerzas coplanarias...13 Sistema de fuerzas colineales...13 Sistema de fuerzas concurrentes...13 Sistema de fuerzas coplanarias y no concurrentes...15 Par de fuerzas Composición de fuerzas concurrentes no coplanarias...18 Página 3 de 1..5 Descomposición de una fuerza...19 Descomposición de una fuerza en dos componentes concurrentes...19 Descomposición de una fuerza en dos componentes paralelas Condiciones generales de equilibrio de fuerzas en el plano...

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5 1. A1. Fuerzas y momentos 1.1 Introducción En la actividad que nos ocupa se aprenderán los siguientes conceptos y manejo de destrezas: Realizar operaciones de composición, descomposición y equilibrio de fuerzas. Manejar los métodos de la grafoestática. Calcular y aplicar momentos estáticos. Página 5 de

6 1. Actividad 1..1 Introducción a la Estática El estado de equilibrio o de movimiento de los cuerpos es producido por unas causas internas o externas a estos denominadas fuerzas. La parte de la Física que estudia las fuerzas que originan dichos estados de equilibrio (o de reposo) y movimiento de los cuerpos, se llama Mecánica. Atendiendo al tiempo, la Mecánica se divide en dos partes: Estática: Estudia las condiciones que deben de cumplir las fuerzas aplicadas a los cuerpos, para que estos se mantengan en equilibrio (como si sobre ellos no actuara ninguna clase de fuerza). Es decir, estudia sistemas estacionarios en los que el tiempo no es determinante. Dentro de los muchos conocimientos que engloba la Estática, su parte llamada Grafostática o Estática Gráfica estudia las condiciones necesarias para establecer el equilibrio de un sistema de fuerzas, empleando exclusivamente trazados geométricos. La resolución gráfica no posee la misma exactitud que la analítica, pero sus resultados están siempre dentro de las tolerancias admitidas. También dentro de la Estática se encuentra la Geometría de Masas, parte que estudia la distribución espacial de la masa en los sistemas materiales. Entres los conceptos que contemplan están los de centro de gravedad y momento de inercia a tratar en actividades posteriores. Página 6 de Dinámica: Estudia el movimiento de los cuerpos y a su vez se subdivide en: Cinemática: Estudia el movimiento de los cuerpos sin tener en cuente las fuerzas que lo producen. Cinética: Relaciona las fuerzas con los movimientos originados por ellas.

7 1.. Fuerzas Concepto de fuerza Las fuerzas representan las acciones que unos cuerpos ejercen sobre otros. Una fuerza es una magnitud vectorial. En consecuencia, se representa gráficamente por medio de un segmento rectilíneo al que se dará sentido colocando una punta de flecha en un extremo y que se denomina vector fuerza. Para su total identificación necesita cuatro elementos fundamentales: Punto de aplicación u origen O. Dirección de la fuerza que nos viene dada por su recta soporte ab. Magnitud, intensidad o módulo que es la longitud OB medida a cierta escala. Se representa como F. Sentido de la fuerza, que nos da la punta de flecha en el punto B. Página 7 de Un vector fuerza F que forma un determinado ángulo α con la horizontal viene determinado por sus proyecciones ortogonales sobre los ejes X e Y: F x = F cosα F y = F senα Si las dos expresiones anteriores se elevan el cuadrado y se suman miembro a miembro, tras simplificar obtendremos la expresión que nos dan el valor del módulo del vector fuerza: Fx + Fy = F cos α + F sen α

8 F Página 8 de ( cos α sen α ) x + Fy = F + F x y + F = F F + F = F 1 x y F = F + F x y Igualmente, de la imagen anterior podemos deducir el valor del ángulo α mediante relaciones trigonométricas: Fy F tg α = α = arctg F F x Si los extremos del vector fuerza vienen dados por sus coordenadas (X B, Y B ) y (X O, Y O ) también podremos determinar los ángulos que forma el vector con los ejes: FX X B X O X cosα = = α = ar cos F F FY YB YO Y cos β = = β = ar cos F F y x B B X F Y F O O Vamos a hacer el ejercicio 1, en el que descompondremos matemáticamente una fuerza en sus componentes. Las fuerzas en los principios fundamentales de la estática Relacionados con las fuerzas se encuentran los principios fundamentales de la estática, que pueden resumirse en los siguientes: Principio de las fuerzas iguales y opuestas. Dos fuerzas en la misma línea de acción, de igual intensidad y sentidos opuestos, se equilibran mutuamente. Como desarrollo de este principio resulta el teorema de la transmisibilidad: Cualquier fuerza puede ser desplazada sobre su línea de acción sin que se produzca variación en su efecto. Principio de la fuerzas concurrentes. Cualquier sistema de fuerzas concurrentes que actúe sobre un sólido, puede ser sustituido por una fuerza capaz de sustituir a todas las del sistema (llamada resultante), produciendo los mismos efectos. Como desarrollo de este principio se obtiene la regla del paralelogramo: La resultante

9 de dos fuerzas concurrentes es igual a la diagonal del paralelogramo construido tomando dichas fuerzas como lados. Principio de la igualdad de acción y reacción. La acción de una fuerza o sistema de fuerzas es contrarrestada por otra fuerza de igual intensidad, pero de sentido opuesto, llamada reacción. Sistema de fuerzas Es un conjunto de fuerzas que actúan sobre un cuerpo manteniendo o modificando su estado de equilibrio. Todas las fuerzas que forman un sistema se llaman fuerzas componentes y se denomina fuerza resultante a aquella que sería equivalente a todo el sistema formado por las componentes. Según la posición que adopte la línea de acción de cada una de las diferentes fuerzas que integran el sistema, este recibirá las denominaciones siguientes: Página 9 de Sistema de fuerzas coplanarias. Es aquel cuyas fuerzas integrantes están contenidas en el mismo plano. A su vez, esta clase de sistemas también podrían ser colineales o concurrentes. Sistema de fuerzas colineales. Aquellas cuyas fuerzas integrantes están situadas en la misma línea de acción. Sistemas de fuerzas concurrentes. Es aquel en el que las líneas de acción del conjunto de fuerzas, que forman el sistema, se cortan o concurren en un mismo punto. Sistemas de fuerzas no concurrentes. Las fuerzas no concurren todas en el mismo punto.

10 Sistema de fuerzas no coplanario. Es aquel cuyas fuerzas integrantes no están contenidas en el mismo plano. Esta clase de sistemas esta formada por fuerzas que se cruzan en el espacio. Página 10 de

11 1..3 Momento de una fuerza respecto a un punto Concepto de momento El momento de una fuerza F respecto a un punto O es la magnitud vectorial representada por el vector M O, entendiéndose como tal el producto de la fuerza F por la distancia perpendicular a ella desde el punto O. M O Página 11 de = F d El vector momento M O es perpendicular al plano determinado por la recta de acción de la fuerza y el punto O, indicándonos el efecto de giro que produce la fuerza sobre el centro de momentos. Por lo tanto, se suele representar de las dos siguientes maneras Si tomamos un punto A cualquiera perteneciente a la recta de acción de la fuerza F, siendo θ el ángulo que forman los vectores F y el vector OA, el momento viene dado por la siguiente expresión: M O = F OA senθ La unidad de medida de los momentos vendrá determinada por las unidades de fuerza y distancia (por ejemplo, KN m, N mm, etc). En lo que se refiere a su signo, generalmente se adopta el sentido antihorario como positivo.

12 Con el momento de una fuerza con respecto a un punto podremos conocer la capacidad de una fuerza (o de un sistema de fuerzas) para provocar una rotación alrededor de un eje que pasa por dicho punto. Tendrán una gran utilidad en el cálculo de elementos sometidos a flexión (como por ejemplo las vigas de un edificio). Teorema de Varignon generalizado (Teorema de los momentos) Página 1 de El momento respecto a un punto O de la resultante de un sistema de fuerzas es igual a la suma de los momentos respecto a O de todas las fuerzas del sistema. Si por ejemplo R = F 1 + F F n, siendo sus componentes concurrentes en un punto A, podemos aplicar que: M O = R d = Fi d i

13 1..4 Composición de fuerzas Componer fuerzas es la operación de reducir un sistema una sola fuerza equivalente llamada resultante. Se dice que dos sistemas de fuerzas son equivalentes cuando ejercen el mismo efecto sobre un cuerpo (tienen la misma resultante). Además, si la resultante es nula se dice que el sistema está en equilibrio. La resultante de un sistema de fuerzas puede encontrarse de forma gráfica o analítica Composición de fuerzas coplanarias Sistema de fuerzas colineales Cuando las fuerzas tienen el mismo sentido, el valor de la resultante R es igual a la suma de las intensidades F 1, F y F 3, del mismo sentido y colineal a ellas. Página 13 de Cuando las fuerzas tienen diferente sentido, la resultante es igual a la diferencia de intensidades de las fuerzas F 1 y F. La resultante es colineal a las citadas fuerzas y de sentido igual al de la mayor. Sistema de fuerzas concurrentes Si dos fuerzas F 1 y F concurren en un punto O, la resultante se obtiene aplicando el principio del paralelogramo comentado anteriormente. En el caso de que concurrieran tres o más fuerzas coplanarias en un punto O, aplicaríamos la ley del paralelogramo a dos fuerzas. La resultante de las anteriores se resolvería con la siguiente fuerza y así sucesivamente, hasta llegar a la resultante total R T del sistema.

14 Para simplificar este trazado geométrico, se suele recurrir al polígono de suma de fuerzas, trazando vectores equipolentes a los dados y ordenándolos uno a continuación de otro. Uniendo el primer punto con el último obtendremos el valor y la dirección de la resultante. Finalmente trasladaremos dicho vector resultante a su punto de paso en O. Página 14 de Analíticamente, las proyecciones de la resultante del sistema referidas a unos determinados ejes ortogonales son la suma algebraica de las proyecciones de los vectores a sumar. R = F + F F X Y 1 x 1 y x R = F + F F Para emplear ambas fórmulas se consideran positivas las fuerzas que se dirigen hacia aparte positiva de los ejes X e Y (hacia la derecha y hacia arriba respectivamente). y Nx Ny Esta resultante tendrá su punto de paso en el punto O origen de todas las fuerzas que componen el sistema. Vamos a hacer los ejercicios y 3, en los que obtendremos la resultante de un sistema de fuerzas concurrentes.

15 Sistema de fuerzas coplanarias y no concurrentes En este sistema, las fuerzas tienen dirección cualquiera. En algunos casos su composición se podría hacer aplicando el principio del paralelogramo prolongando las líneas de acción de las fuerzas dos a dos hasta que se corten. Pero en otros, como por ejemplo cuando las fuerzas fuesen paralelas, no podríamos emplear este método. Para resolver todos estos problemas resulta muy rápido y eficaz el método grafostático denominado polígono funicular. El proceso para su resolución es el siguiente: Se crea el polígono de suma de fuerzas con vectores fuerza F 1 ', F ', F 3 ',... equipolentes a las que integran el sistema. Cerrando el polígono, obtenemos la resultante R del sistema. Página 15 de Tras la construcción anterior se toma un punto O (denominado polo), perteneciente al plano del polígono de suma de fuerzas y se unen los extremos de cada fuerza con este punto. Los segmentos I, II, III, IV,... se llaman rayos polares.

16 Como podemos ver, la fuerza F 1 viene delimitada por los rayos I y II, la fuerza F por II y III, la fuerza F 3 por III y IV, etc. La resultante del sistema está limitada por el primero y por el último rayo. A continuación se crea sobre el sistema de fuerzas original el polígono funicular siguiéndose estos pasos: Se elige un punto arbitrario P, y se traza una paralela al rayo polar I por dicho punto hasta cortar a la línea de acción de F 1. Obtenemos así el punto a. Por el punto a se traza una paralela al rayo polar II hasta que corte a la línea de acción de la fuerza F en el punto b. Por el punto b se traza una paralela al rayo polar III hasta que corte a la línea de acción de la fuerza F 3 en el punto c. Repitiendo lo explicado, se completa el trazado de paralelas a todos los rayos polares, obteniendo el polígono funicular que es la figura formada por las rectas I, II, III, IV,... Página 16 de Comparándolo con lo comentado sobre el polígono de suma de fuerzas, sobre la línea de acción de F 1 se cortan los rayos I y II, sobre la línea de acción de F se cortan II y III, sobre la de F 3 se cortan III y IV, etc. Se prolongan los lados primero y último del polígono funicular hasta que se corten en un punto Z. Por dicho punto se traza una recta paralela a la resultante del polígono de suma y se aplica su módulo. En un sistema de fuerzas puede trazarse infinito funicular, ya que el polo O y el punto P

17 son arbitrarios (aunque siempre obtendremos el mismo resultado). En lo que se refiere a la solución analítica, de nuevo las proyecciones de la resultante del sistema referidas a unos determinados ejes ortogonales son la suma algebraica de las proyecciones de los vectores a sumar. R = F + F F X Y 1 x 1 y Página 17 de x R = F + F F Recordemos el criterio de signos a emplear en ambas fórmulas: Se consideran positivas las fuerzas que se dirigen hacia aparte positiva de los ejes X e Y (hacia la derecha y hacia arriba respectivamente). Para obtener el punto de paso de la resultante, emplearemos el teorema de Varignon generalizado (el momento respecto a un punto O de la resultante de un sistema de fuerzas es igual a la suma de los momentos respecto a O de todas las fuerzas del sistema). Si R = F 1 + F F n, la distancia a la que se encuentra dicha resultante con respecto a un punto O cualquiera podemos deducirla del teorema de Varignon generalizado: R d = y F d d = i i Nx Ny F d i R i Vamos a hacer el ejercicio 4, en el que obtendremos la resultante de un sistema de fuerzas gráficamente (empleando el polígono funicular) y de modo analítico. En el caso de que las fuerzas fuesen paralelas, para la resolución del problema se seguiría el mismo proceso. La resultante tendrá como módulo la suma de las distintas fuerzas, la misma dirección y el sentido obtenido de la suma. Vamos a hacer el ejercicio 5, en el que obtendremos la resultante de un sistema de fuerzas paralelas gráficamente (empleando el polígono funicular) y de modo analítico. Par de fuerzas Se podría considerar como un caso particular de fuerzas coplanarias no concurrentes. Se trata de un sistema formado por dos fuerzas del mismo módulo pero de sentido contrario. En este caso, la magnitud de la resultante se anula y el punto de paso Z de ésta se aleja indefinidamente. Al aplicar un par de fuerzas a un cuerpo se produce un giro que depende del valor de las

18 fuerzas que forman el par y de la distancia d perpendicular entre ambas (brazo del par). El momento de un par de fuerzas M, es una magnitud vectorial que tiene por módulo el producto de cualquiera de las fuerzas por la distancia perpendicular entre ambas. M = 1 F d = F d Composición de fuerzas concurrentes no coplanarias Su composición queda reducida a la aplicación sucesiva de composición de fuerzas concurrentes y coplanarias. En el caso particular de 3 fuerzas ortogonales entre sí, la resultante del sistema es igual a la diagonal del paralelepípedo de aristas iguales a los vectores fuerza. Página 18 de De un modo análogo a lo que sucede con las fuerzas concurrentes coplanarias, las coordenadas de la resultante del sistema referidas a tres ejes ortogonales son la suma algebraica de las proyecciones de los vectores a sumar. El módulo del vector resultante será: R = F + F F X Y 1 x 1 y x R = F + F F Z 1 z y R = F + F F X z R = R + R + R Y Z Nx Ny Nz

19 1..5 Descomposición de una fuerza Es la operación inversa a la composición de fuerzas, consistiendo en encontrar las componentes de un sistema partiendo de su resultante. Existe una gran variedad de casos, exponiéndose a continuación algunos de los más habituales: Descomposición de una fuerza en dos componentes concurrentes Dada una fuerza R, se quiere descomponer según dos direcciones a y b conocidas. Página 19 de El proceso a seguir es el del principio del paralelogramo pero en orden inversa: Por el origen de la resultante se traza una paralela a cualquiera de las dos direcciones. Por el extremo de la resultante, se traza una paralela a la otra dirección. Completando el paralelogramo, se obtienen las componentes con las direcciones solicitadas. Analíticamente, conocido el ángulo γ de la fuerza a descomponer así como los de las direcciones α y β, formularemos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitos donde F a y F b son los valores a obtener: R R X Y = F = F ax ay + F + F bx by R cosγ = F R senγ = F a a cosα + F senα + F b b cos β senβ Recordemos de nuevo el criterio de signos a emplear: Se consideran positivas las fuerzas que se dirigen hacia aparte positiva de los ejes X e Y (hacia la derecha y hacia arriba respectivamente).

20 Para evitar problemas con los signos de las fuerzas se recomienda introducir el valor de los ángulos formados con la parte positiva del eje horizontal y midiéndolos en el sentido contrario a las agujas del reloj. Midiendo así el ángulo, las operaciones trigonométricas que efectuemos sobre él nos darán directamente el signo adecuado. Vamos a hacer el ejercicio 6, en el que realizaremos de modo gráfico y analítico la descomposición de una fuerza en dos direcciones dadas. Descomposición de una fuerza en dos componentes paralelas Dada una fuerza R, se quiere descomponer según dos direcciones a y b paralelas a ella. Para resolver este caso emplearemos el polígono funicular de acuerdo con el siguiente proceso: Sobre un vector equipolente a R' se inicia la construcción de un polígono de suma de fuerzas. Se toma un punto O cualquiera como polo y se trazan los rayos polares I y III. Página 0 de Por un punto c' cualquiera perteneciente a la fuerza R original, se trazan paralelas a esos rayos polares I y III, obteniendo los puntos a' y b'. Uniendo ambos puntos obtendremos el rayo polar II. Trasladando el rayo polar II al polígono de suma de fuerzas, en su intersección con R nos permitirá obtener la magnitud de cada una de las componentes Fa y Fb. Finalmente, trasladaremos ambas componentes sobre las direcciones a y b.

21 Para resolver analíticamente el caso anterior, en el que las direcciones para la descomposición se encuentran cada una a un lado de la fuerza (y con el mismo sentido de esta), formularemos las siguientes ecuaciones: R = R d = Fi Página 1 de Fi di Vamos a hacer el ejercicio 7, en el que realizaremos de modo gráfico y analítico la descomposición de una fuerza sobre dos líneas de acción paralelas a ella.

22 1..6 Condiciones generales de equilibrio de fuerzas en el plano La condición para que un cuerpo rígido esté en equilibrio es que el sistema de fuerzas aplicadas a dicho cuerpo sea equivalente a cero. Es decir, la resultante del sistema ha de ser nulo y también lo tiene que ser el momento resultante relativo a un punto cualquiera. En consecuencia, para equilibrar un sistema de fuerzas en el plano, la Estática proporciona las siguientes ecuaciones: La suma algebraica de las fuerzas con respecto a un eje horizontal X es igual a cero. F X La suma algebraica de las fuerzas con respecto a un eje vertical Y es igual a cero. F Y La suma algebraica de los momentos de las fuerzas con respecto a un punto O es igual a cero. M o Página de = 0 = 0 = 0